引用本文: 石钰锋, 张涛, 曹成威, 等. 基于双参数地基的隧道预支护拱棚壳体力学模型 [J]. 工程科学与技术, 2023, 55(4): 142-152.
SHI Yufeng, ZHANG Tao, CAO Chengwei, et al. Mechanical Shell Model of Tunnel Arch Shed Pre-support Based on Two-parameter Foundation [J]. Advanced Engineering Sciences, 2023, 55(4): 142-152.
 Citation: SHI Yufeng, ZHANG Tao, CAO Chengwei, et al. Mechanical Shell Model of Tunnel Arch Shed Pre-support Based on Two-parameter Foundation [J]. Advanced Engineering Sciences, 2023, 55(4): 142-152.

## 基于双参数地基的隧道预支护拱棚壳体力学模型

• 收稿日期:  2022-10-13
• 网络出版时间:  2023-03-16 11:01:03
• 中图分类号: TU91

## Mechanical Shell Model of Tunnel Arch Shed Pre-support Based on Two-parameter Foundation

• 摘要: 隧道预支护技术作为重要施工辅助方法，除能够有效加固围岩外，还具有良好的承载、抑制变形作用。为了更好地模拟隧道预支护拱棚的真实受力，基于注浆管棚、水平旋喷拱棚所呈现出的壳体特性，首先，建立正交曲线坐标系，通过位移函数求解控制方程；然后，引入Pasternak地基模型，建立Pasternak双参数地基的拱棚壳体力学模型；最后，推导出拱棚挠度、内力、地基反力的解析解表达式。将所提模型进行案例计算和数值验证，再对预支护拱棚的变形、横纵向受力及地基接触反力进行分析，探讨了拱棚设计参数对旋喷拱棚变形的影响。与既有文献的分析方法对比表明，所提模型考虑了岩土体的连续性和注浆加固区整体性影响，相比传统方法理论上更贴近拱棚预支护真实受力状态；解析法和数值法得出的整体挠度曲线均呈勺形分布，结果吻合程度较好。力学分析表明：纵向上，拱棚能很好地调整压力分布，一定程度上使内部围岩处于免压状态；以开挖面为界，拱棚纵向弯矩、剪力的影响范围约为5倍开挖进尺。横向上，拱脚处剪应力起主导作用，拱顶处主要由正应力主导且容易发生材料破坏。不同参数对拱棚结构变形影响程度不同，总体表现为初始挠度>开挖进尺>桩径>开挖高度。

Abstract: As an important construction auxiliary method, tunnel pre-supporting technology not only effectively strengthens the surrounding rock, but also has good bearing and restraining deformation. To better simulate the real stress of the tunnel pre-supporting arch shed, firstly, the orthogonal curve coordinate system was established based on the shell characteristics of the grouting pipe shed and the horizontal jet grouting arch shed, and the control equation was solved by the displacement function. Then, the Pasternak foundation model was introduced, and the mechanical shell model of the arch shed on the Pasternak two-parameter foundation was established. Finally, the analytical solution expressions of the deflection, internal force, and foundation reaction force of the arch shed were derived. The proposed model was subjected to case calculation and numerical verification, and then the deformation, transverse and longitudinal forces, and foundation contact reaction force of the pre-supporting arch shed were analyzed. The influence of arch shed design parameters on the deformation of the jet grouting arch shed was discussed. Compared with the analysis methods in the existing literature, the proposed model considers the continuity of rock-soil mass and the integrity of the grouting reinforcement area, which is closer to the real stress state of arch shed pre-support in theory compared with the traditional method. The overall deflection curves obtained by the analytical method and the numerical method are all ‘spoon-shaped’ distributions, and the results are in good agreement. The mechanical analysis shows that in the longitudinal direction, the arch shed can adjust the pressure distribution well to a certain extent, and the internal surrounding rock is in a pressure-free state. Taking the excavation face as the boundary, the influence range of the longitudinal bending moment and shear force of the arch shed is about 5 times the excavation footage. Transversely, the shear stress at the arch foot plays a leading role, and the vault is mainly dominated by normal stress and prone to material damage. Different parameters have different effects on the deformation of the arch shed structure, and the impact degree decreases in the following order: initial deflection > excavation footage > pile diameter > excavation height.

• 注浆管棚、水平旋喷拱棚作为隧道工程常用的超前预支护手段，两者均处于隧道外轮廓范围内，且都是通过钢管和注浆体或相互咬合的旋喷桩体形成具有一定强度的类似于拱棚壳体的加固区。除有效加固围岩外，此类支护方法还具有良好的承载特性，以防止隧道塌方、冒顶，抑制围岩变形，从而被广泛应用于软弱地层隧道[1-4]

目前，国内外学者对隧道预支护拱棚的力学机制开展了一系列研究。在试验和数值分析方面，Aksoy等[5]通过现场监测结合数值模拟，研究了管棚和锚杆支护体系对隧道上方地层变形的影响；Juneja等[6]开展离心机模型试验，模拟了隧道开挖过程，并对管棚预支护效果进行了分析；Nikbakhtan等[7]依托实际工程，通过一系列试验研究了注浆压力和注浆流量对水平旋喷拱棚力学特性的影响；张慧乐[8]、柳建国[9]等对水平旋喷拱棚进行现场荷载破坏试验，认为可将裂缝的产生与扩展作为水平旋喷拱棚结构破坏前的预警。在理论解析方面，Flora等[10]通过2维解析模型对水平旋喷拱棚进行参数分析，给出了最优预支护的形状及最小厚度；苟德明[11]、贾金青[12]、王海涛[13]等为研究管棚力学行为特性，基于弹性地基梁理论，推导了管棚的受力和变形解析公式，并对其参数影响进行了分析；郑俊杰等[14]考虑开挖面前方围土体基床系数分布规律影响，建立了变基床系数的弹性地基梁模型；王道远等[15]针对软弱地层洞口段管棚特点，建立Pasternak弹性地基梁模型，预测管棚变形量，克服了Winkler地基模型的缺陷，结果与现场实测吻合程度较好；王文等[16]利用欧拉–伯努利梁方程和Pasternak弹性地基梁模型，为管棚的受力变形提供了分析预测方法；雷小朋[17]基于水平旋喷拱棚成壳特性，使用传统壳体力学模型进行研究，建立静力平衡方程，获得拱棚内力解析解；宋战平等[18]基于Winkler弹性地基模型，考虑相邻管棚之间的横向作用力，将注浆管棚视为壳体结构，建立了考虑注浆加固区整体性的管棚力学解析模型；Li等[19]考虑管棚施工时间及管棚钢管与围岩的相互作用，建立了半圆形预支护边界上作用于管棚各钢管的围岩压力计算模型；Wu等[20]改进了传统的管棚弹性地基梁模型，建立了弹性地基上管棚的各向异性板模型，地基反力采用双曲线模型。

综上可知，对于管棚、旋喷拱棚预支护的研究较多，在力学模型上，主要有弹性地基梁模型、传统壳体模型。虽然地基梁模型能很好地模拟管棚受力机理，但未考虑横向作用影响，特别是对于注浆管棚和水平旋喷拱棚预支护，其呈现壳体特性更明显，此类模型未能真实反映预支护拱棚受力特性。而传统壳体模型不考虑结构–土相互作用，计算结果往往偏于不安全。

为此，将隧道预支护拱棚体简化为完整的壳结构，建立综合考虑上覆荷载、几何参数、结构–土作用特性、支护要素等多因素的3维壳体力学模型，考虑岩土体的连续性和注浆加固区的整体性，引入Pasternak双参数地基模型，推导拱棚壳体模型的挠度、内力、地基接触反力解析解，并以实际工程为算例，结合数值和既有理论模型对比验证，对预支护拱棚力学特性进行分析，旨在为拱棚预支护作用机理分析和设计提供参考。

管棚预支护时，钢管沿隧道拱部外轮廓均匀布设，向前方围岩注浆，形成类似拱棚的壳体加固区；水平旋喷拱棚预支护时，以一定桩间距排列，环向形成相互咬合的壳体拱棚结构，以保障隧道安全开挖。在分析时可将拱棚结构等效为完整的壳结构，图1为概化后的拱棚模型示意图，图2为拱棚力学简化示意图。图2中，a为已施作初期支护区长度，s为单次开挖进尺，d为松动区水平投影长度，q为拱棚上部围岩荷载，h为开挖高度， $\varphi$ 为围岩内摩擦角，q0为假定上部围岩荷载为均布荷载时的取值，λ为侧压力系数，eh为侧向围岩荷载，p为拱棚横向上的地基接触反力。

图  1  拱棚概化模型示意图
Fig.  1  Schematic diagram of conceptual arch shed model
图  2  拱棚力学简化示意图
Fig.  2  Simplified schematic diagram of arch shed mechanics

根据隧道开挖进程和支护情况，拱棚受力模式可大致划分为4个区域：

1）已施作初期支护区（AB段），此时掌子面距离拱棚前端较远，由拱棚和初支共同承担上部围岩荷载，且可认为拱棚具有一定的初始位移（初始挠度 ${\omega _0}$ 和转角 ${\theta _0}$ ）。因为拱棚是预先施工结构，可把拱棚初始位移等效成初支的既定位移（工程中可量测，可视为拱顶下沉值）。

2）未施作初期支护区（BC段，长度为单次开挖进尺s），由拱棚全部承担上部围岩荷载。

3）隧道开挖松动区（CD段），拱棚同时受到围岩荷载和地基反力。

4）隧道开挖未松动区（DE段），围岩未发生明显松动和形变，为简化分析，围岩压力视为0。

以拱棚纵向（柱面母线方向）为α轴，以拱棚环向（柱面导线方向）为β轴，以竖向（壳面法线）为γ轴，建立正交曲线坐标系，如图3所示。

图  3  正交曲线坐标系
Fig.  3  Orthogonal curvilinear coordinate system

基于拱棚外荷载与内力之间关系，可推导柱壳的平衡微分方程表达式：

 $$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial {N_1}}}{{\partial \alpha }} + \frac{{\partial {S_{ 12}}}}{{\partial \beta }} + {q_x} = 0 , \\ \frac{{\partial {N_2}}}{{\partial \beta }} + \frac{{\partial {S_{ 21}}}}{{\partial \alpha }} + {q_y} = 0 , \\ - \frac{{{N_2}}}{R} + \frac{{\partial {Q_1}}}{{\partial \alpha }} + \frac{{\partial {Q_2}}}{{\partial \beta }} + {q_{\textit{z}}} = 0 , \\ \frac{{\partial {M_{12}}}}{{\partial \alpha }} + \frac{{\partial {M_2}}}{{\partial \beta }} - {Q_2} = 0 , \\ \frac{{\partial {M_{12}}}}{{\partial \beta }} + \frac{{\partial {M_1}}}{{\partial \alpha }} - {Q_1} = 0 \\ \end{gathered} \right.$$ (1)

根据拱棚形变和位移之间关系，可得到柱壳的几何方程：

 $$\left\{ \begin{array}{l} {\varepsilon _1} = \dfrac{{\partial u}}{{\partial \alpha }} , \\ {\varepsilon _2} = \dfrac{{\partial v}}{{\partial \beta }} + \dfrac{w}{R} , \\ {\varepsilon _{12}} = \dfrac{{\partial u}}{{\partial \beta }} + \dfrac{{\partial v}}{{\partial \alpha }} , \\ {\chi _1} = - \dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\alpha ^2}}} , \\ {\chi _2} = - \dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\beta ^2}}} , \\ {\chi _{12}} = - \dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial \alpha \partial \beta }} \\ \end{array} \right.$$ (2)

式（1）～（2）中， $u$ $v$ $w$ 代表在 $\alpha$ $\;\beta$ $\gamma$ 方向的中面位移， $N_1$ $N_2$ 为中面单元拉应力， $S_{ 12}$ $S_{ 21}$ 为平错力， $M_1$ $M_2$ 为中面弯矩， $M_{12}$ $M_{21 }$ 为中面扭矩， $Q_1$ $Q_2$ 为横向剪力， $\varepsilon_1$ $\varepsilon_2$ $\alpha$ $\; \beta$ 方向的正应变， $\varepsilon_{12}$ 为切应变， $\; \chi_1$ $\; \chi_2$ 为主曲率 $k_1$ $k_2$ 的改变， $\;\chi_{12}$ 为沿 $\alpha$ $\;\beta$ 方向的扭矩改变， $q_x$ $\alpha$ 方向围岩压力分量， $q_y$ $\;\beta$ 方向围岩压力分量， $q_{\textit{z}}$ $\gamma$ 方向围岩压力分量， $R$ 为柱壳曲率半径。

参照经典弹性力学薄壳问题求解方法，引入位移函数F=F(α, β)，获取薄柱壳中面位移方程：

 $${\qquad \left\{ \begin{array}{l} u = \dfrac{\partial }{{\partial \alpha }}\left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\beta ^2}}} - \mu \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\alpha ^2}}}} \right)F, \\ v = \dfrac{\partial }{{\partial \beta }}\left[ {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\beta ^2}}} - \left( {2 + \mu } \right)· \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\alpha ^2}}}} \right]F, \\ w = R{\nabla ^4}F \\ \end{array} \right.}$$ (3)

式（3）中的第3个方程要求满足以下条件：

 $$\nabla^8 F+\frac{E t}{R^2 D} ·\frac{\partial^4 F}{\partial \alpha^4}=\frac{q_{\rm{n}}-p_{\rm{n}}}{R D}$$ (4)

拱棚前端位于围岩基层，考虑到岩土体的连续性和剪切变形作用，为此引入双参数模型中的Pasternak地基模型[11]进行求解（ ${p_{\rm{n}}} = kw - {G_{\text{p}}}{\nabla ^2}w$ ），并将其代入式（4）可得：

 $${\left( {{\nabla ^2}} \right)^4}F - \frac{{{G_{\text{p}}}}}{{RD}}\cdot {\nabla ^2}w + \frac{k}{{RD}}\cdot w + \frac{{Et}}{{{R^2}D}}\cdot \frac{{{\partial ^4}F}}{{\partial {\alpha ^4}}} = \frac{{{q_{\rm{n}}}}}{{RD}}$$ (5)

式（3）～（5）中：k为基床系数；Gp为地基剪切模量；pn为地基接触反力； ${\nabla ^2}$ 为Laplace算子；E为拱棚等效弹性模量；t为拱棚等效厚度；μ为材料泊松比；D为拱棚的抗弯刚度， $D = \dfrac{{E{t^3}}}{{12}}\left( {1 - {\mu ^3}} \right)$ qn为法向围岩荷载。

式（5）为Pasternak地基上法向荷载作用下预支护拱棚的控制微分方程。

对于薄壳结构，可用 $S$ 来代替 $S_{12}$ $S_{21}$ ，用 $M_{12 }$ 代替 $M_{21 }$ ，最终可推导出中面各内力表达式：

 $${\qquad \qquad \left\{ \begin{array}{l} {N_1} = Et\dfrac{{{\partial ^4}F}}{{\partial {\alpha ^2}\partial {\beta ^2}}} , \\ {N_2} = Et\dfrac{{{\partial ^4}F}}{{\partial {\alpha ^4}}} , \\ S = - Et\dfrac{{{\partial ^4}F}}{{\partial {\alpha ^3}\partial \beta }} , \\ {M_1} = - RD\left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\alpha ^2}}} + \mu \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\beta ^2}}}} \right){\nabla ^4}F , \\ {Q_1} = - RD\dfrac{\partial }{{\partial \alpha }}{\nabla ^6}F , \\ {M_2} = - RD\left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\beta ^2}}} + \mu \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\alpha ^2}}}} \right){\nabla ^4}F , \\ {Q_2} = - RD\dfrac{\partial }{{\partial \beta }}{\nabla ^6}F , \\ {M_{12}} = - \left( {1 - \mu } \right)RD\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial \alpha \partial \beta }}{\nabla ^4}F \\ \end{array} \right. }$$ (6)

基于位移法求解时，边界条件可以通过位移函数F=F(α, β)表示，由方程（3）求解中面位移 $u$ $v$ $w$ ，再通过式（6）即可求解壳体中面各内力。

将作用于拱棚的上部围岩荷载视为均布荷载，此时法向荷载 $q_{\rm{n}}$ 仅为 $\alpha$ 的函数。整个分析模型简化为绕中心轴对称法向荷载的圆柱壳体结构，并联立方程（3），则微分方程（5）可简化为：

 $${\qquad \frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^4}}} - \frac{{{G_{\text{p}}}}}{D}· \frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^2}}} + \frac{1}{D}\left( {\frac{{Et}}{{{R^2}}} + k} \right)w = \frac{{{q_{\rm{n}}}}}{D} }$$ (7)

微分方程（7）为简化后的Pasternak双参数地基上预支护拱棚在法向荷载作用下轴对称弯曲的控制微分方程，其中柱壳中面位移与挠度之间的关系为：

 $$\left\{ \begin{gathered} u = - \mu \frac{{{{\text{d}}^3}F}}{{{\text{d}}{\alpha ^3}}} , \\ v = 0 , \\ w = R\cdot \frac{{{{\text{d}}^4}F}}{{{\text{d}}{\alpha ^4}}} \\ \end{gathered} \right.$$ (8)

控制微分方程（7）的通解可表示为：

 \begin{aligned}[b] w =& {{\text{e}}^{ - {a_m}\alpha }}\left[ {{C_{1m}}\cos \left( {{b_m}\alpha } \right) + {C_{2m}}\sin \left( {{b_m}\alpha } \right)} \right] + \\& {{\text{e}}^{{a_m}\alpha }}\left[ {{C_{3m}}\cos \left( {{b_m}\alpha } \right) + {C_{4m}}\sin \left( {{b_m}\alpha } \right)} \right] + {w^*} \end{aligned} (9)

式中：ambm为参数； ${C}_{1m}、{C}_{2m}、{C}_{3m}、{C}_{4m}$ 为待定系数，可通过预支护拱棚边界条件确定； ${w^ * }$ 为与法向围岩荷载 ${q_{\rm{n}}}$ 有关的特解，当 ${q_{\rm{n}}}$ 为均布荷载 ${q_0}$ 时，取 ${w^ * }$ =R2qn/(Et+kR2)。

对拱棚进行力学分析，如图4所示。

图  4  拱棚力学分析图
Fig.  4  Mechanical analysis diagram of arch shed

1）BC段，即开挖未支护段，预支护拱棚不受地基反力，只受围岩荷载作用，由式（7）可知控制微分方程为：

 $$\frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^4}}} + \frac{{Et}}{{{R^2}D}}· w = \frac{{{q_{\rm{n}}}}}{D}$$ (10)

求解方程（10），与之对应的微分方程解为：

 {\qquad \begin{aligned}[b] {w_1} =& {{\text{e}}^{ - \xi \alpha }}\left[ {{C_{11}}\cos \left( {\xi \alpha } \right) + {C_{12}}\sin \left( {\xi \alpha } \right)} \right] + \\&{{\text{e}}^{\xi \alpha }}\left[ {{C_{13}}\cos \left( {\xi \alpha } \right) + {C_{14}}\sin \left( {\xi \alpha } \right)} \right] + {\mathop {{w}}\nolimits_1^*} \end{aligned} } (11)

式中， $\xi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{\left( {\dfrac{{Et}}{{{R^2}D}}} \right)^{\frac{1}{4}}}$ ${w^ * } = \dfrac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et + k{R^2}}}$

2） DE段，围岩未发生松弛，预支护拱棚法向荷载 $q_{\rm{n}}=0$ ，则该段控制微分方程为：

 $${\qquad \frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^4}}} - \frac{{{G_{\text{p}}}}}{D}\cdot \frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^2}}} + \frac{1}{D}\left( {\frac{{Et}}{{{R^2}}} + k} \right)w = 0}$$ (12)

由于前端固定于围岩内，故趋于拱棚前端时，由于前端处于未松动区，可视为 $w \rightarrow 0$ ，可得方程（12）解为：

 $${\qquad {w_3} = {{\text{e}}^{ - {a_m}\alpha }}\left[ {{C_{21}}\cos \left( {{b_m}\alpha } \right) + {C_{22}}\sin \left( {{b_m}\alpha } \right)} \right]}$$ (13)

3）CD段，预支护拱棚既受法向荷载 $q_{\rm{n}}$ ，同时存在地基接触反力 $p_{\rm{n}}$ ，则该段控制微分方程为：

 $${\qquad \frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^4}}} - \frac{{{G_{\text{p}}}}}{D}\cdot \frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{\alpha ^2}}} + \frac{1}{D}\left( {\frac{{Et}}{{{R^2}}} + k} \right)w = \frac{{{q_{\rm{n}}}}}{D} }$$ (14)

微分方程（14）属非齐次微分方程，通解表达式为：

 $${w_2} = {w_3} + {{{w}}_2^*} = {{\text{e}}^{ - {a_m}\alpha }}\left[ {{C_{21}}\cos \left( {{b_m}\alpha } \right) + {C_{22}}\sin \left( {{b_m}\alpha } \right)} \right] + {{{w}}_2^*}$$ (15)

引入边界条件：在D点时，满足拱棚预支护结构连续性假定条件： ${\left[ {{w_2}} \right]_{\alpha = s + d}} = {\left[ {{w_3}} \right]_{\alpha = s + d}}$ ${\left[ {{\theta _2}} \right]_{\alpha = s + d}} = {\left[ {{\theta _3}} \right]_{\alpha = s + d}}$ ${\left[ {w_2^ * } \right]_{\alpha = s + d}}{{ = }}0$ ${\left[ {{\text{d}}{w_2}^ * /{\text{d}}\alpha } \right]_{\alpha = s + d}}{{ = }}0$

代入D点边界条件，可得方程（14）的通解为：

 $${w_2} = {w_3} + \frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et}}\left\{ {1 - {\text{cosh}}\left[ {{b_m}\left( {\alpha - s - d} \right)} \right]{\text{cos}}\left[ {{b_m}\left( {\alpha - s - d} \right)} \right]} \right\}$$ (16)

B点为有一定初始变形的约束端，满足边界条件：

 $$\left\{ \begin{gathered} {w_1}{|_{\alpha = 0}} = {w_0} ， \\ {{\theta _1}{|_{\alpha = 0}} = {{\left[ {\frac{{{\text{d}}{w_1}}}{{{\text{d}}\alpha }}} \right]}_{\alpha = 0}} = {\theta _0}} \end{gathered} \right.$$ (17)

C点满足挠度、转角、弯矩、剪力连续条件，则有：

 $$\left\{ \begin{gathered} {w_1}{|_{\alpha = s}} = {w_2}{|_{\alpha = s}} , \\ {\left[ {\frac{{{\text{d}}{w_1}}}{{{\text{d}}\alpha }}} \right]_{\alpha = s}} = {\left[ {\frac{{{\text{d}}{w_2}}}{{{\text{d}}\alpha }}} \right]_{\alpha = s}} , \\ {\left[ {\frac{{{{\text{d}}^2}{w_1}}}{{{\text{d}}{\alpha ^2}}}} \right]_{\alpha = s}} = {\left[ {\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{\alpha ^2}}}} \right]_{\alpha = s}} , \\ {\left[ {\frac{{{{\text{d}}^3}{w_1}}}{{{\text{d}}{\alpha ^3}}}} \right]_{\alpha = s}} = {\left[ {\frac{{{{\text{d}}^3}{w_2}}}{{{\text{d}}{\alpha ^3}}}} \right]_{\alpha = s}} \\ \end{gathered} \right.$$ (18)

将方程（11）、（13）、（16）分别代入边界条件（17）和（18）中进行求解，可得6阶矩阵方程式（19）：

 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&1&0&0&0 \\ {{{ - }}\xi }&\xi &\xi &\xi &0&0 \\ {{{\text{e}}^{ - s\xi }}\cos (s\xi )}&{{{\text{e}}^{ - s\xi }}\sin (s\xi )}&{{{\text{e}}^{s\xi }}\cos (s\xi )}&{{{\text{e}}^{s\xi }}\sin (s\xi )}&{ - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}}\cos (s{b_m})}&{ - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}}\cos (s{b_m})} \\ {{\varphi _{41}}}&{{\varphi _{42}}}&{{\varphi _{43}}}&{{\varphi _{44}}}&{{\varphi _{45}}}&{{\varphi _{46}}} \\ {2{\xi ^2}{{\text{e}}^{ - s\xi }}\sin (s\xi )}&{ - 2{\xi ^2}{{\text{e}}^{ - s\xi }}\cos (s\xi )}&{ - 2{\xi ^2}{{\text{e}}^{s\xi }}\sin (s\xi )}&{2{\xi ^2}{{\text{e}}^{s\xi }}\cos (s\xi )}&{{\varphi _{55}}}&{{\varphi _{56}}} \\ {{\varphi _{61}}}&{{\varphi _{62}}}&{{\varphi _{63}}}&{{\varphi _{64}}}&{{\varphi _{65}}}&{{\varphi _{66}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}} \\ {{C_{12}}} \\ {{C_{13}}} \\ {{C_{14}}} \\ {{C_{21}}} \\ {{C_{22}}} \end{array}} \right]{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _1}} \\ {{\theta _0}} \\ {{\psi _3}} \\ {{\psi _4}} \\ {{\psi _5}} \\ {{\psi _6}} \end{array}} \right]$$ (19)

式中，

 $$\begin{gathered} {\varphi _{41}} = - \xi {{\text{e}}^{ - s\xi }} \left[ {\cos ( s\xi ) + \sin (s\xi )} \right] , {\varphi _{42}} = - \xi {{\text{e}}^{ - s\xi }} \left[ {\sin ( s\xi ) - \cos ( s\xi )} \right] , \\ {\varphi _{43}} = \xi {{\text{e}}^{s\xi }}\left[ {\cos (s\xi ) - \sin (s\xi )} \right] , {\varphi _{44}} = \xi {{\text{e}}^{s\xi }}\left[ {\sin (s\xi ) + \cos (s\xi )} \right] , \\ {\varphi _{45}} = {{\text{e}}^{ - s{a_m}}}\left[ {{b_m}\sin (s{b_m}) + {a_m}\cos (s{b_m})} \right] , \\ {\varphi _{46}} = - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}}\left[ {{b_m}\cos (s{b_m}) - {a_m}\sin (s{b_m})} \right] , \\ {\varphi _{55}} = - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}}\left[ {2{a_m}{b_m}\sin (s{b_m}) + \left( {{a_m^2} - {b_m^2}} \right)\cos (s{b_m})} \right] , \\ {\varphi _{56}} = - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}}\left[ { - 2{a_m}{b_m}\cos (s{b_m}) + \left( {{a_m^2} - {b_m^2}} \right)\sin (s{b_m})} \right] , \\ {\varphi _{61}} = 2{\xi ^3}{{\text{e}}^{ - s\xi }} \left[ {\cos ( s\xi ) - \sin ( s\xi )} \right] , {\varphi _{62}} = 2{\xi ^3}{{\text{e}}^{ - s\xi }} \left[ {\cos ( s\xi ) + \sin ( s\xi )} \right] , \\ {\varphi _{63}} = - 2{\xi ^3}{{\text{e}}^{s\xi }} \left[ {\cos ( s\xi ) + \sin ( s\xi )} \right] , {\varphi _{64}} = 2{\xi ^3}{{\text{e}}^{s\xi }} \left[ {\cos ( s\xi ) - \sin ( s\xi )} \right] , \\ {\varphi _{65}} = - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}} \left[ {b_m}({b_m^2} - 3{a_m^2})\sin (s{b_m}) - {a_m}({a_m^2} - 3{b_m^2})\cos (s{b_m}) \right] , \\ {\varphi _{66}} = - {{\text{e}}^{ - s{a_m}}} \left[ {{b_m}({b_m^2} - 3{a_m^2})\cos (s{b_m}) + {a_m}({a_m^2} - 3{b_m^2})\sin (s{b_m})} \right] , \\ {\psi _1} = {w_0} - \frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et + k{R^2}}} , \\ {\psi _3} = \frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et}}\left[ {1 - \cos \left( {{b_m}d} \right){\text{cosh}}\left( {{b_m}d} \right)} \right] - \frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et + k{R^2}}} , \\ {\psi _4} = - {b_m}\frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et}}\left[ {{\text{cosh}}\left( {{b_m}d} \right)\sin \left( {{b_m}d} \right) - \cos \left( {{b_m}d} \right){\text{sinh}}\left( {{b_m}d} \right)} \right] , \\ {\psi _5} = 2{b_m^2}\frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et}}\sin \left( {{b_m}d} \right){\text{sinh}}\left( {{b_m}d} \right) , \\ {\psi _6} = - {b_m^3}\frac{{{R^2}{q_{\rm{n}}}}}{{Et}}\left[ {{\text{cinh}}\left( {{b_m}d} \right)\sin \left( {{b_m}d} \right) + \cos \left( {{b_m}d} \right){\text{sinh}}\left( {{b_m}d} \right)} \right] , \\ {a_m} = {\left\{ {\frac{1}{2}\left[ {\sqrt {\frac{1}{D}\left( {\frac{{Et}}{{{R^2}}} + Rk} \right)} + \frac{{R{G_{\text{p}}}}}{{2D}}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}} , \\ {b_m} = {\left\{ {\frac{1}{2}\left[ {\sqrt {\frac{1}{D}\left( {\frac{{Et}}{{{R^2}}} + Rk} \right)} - \frac{{R{G_{\text{p}}}}}{{2D}}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}} 。 \\ \end{gathered}$$

通过矩阵求解方程组（19），可求出待定系数 ${C}_{11}、{C}_{12}、{C}_{13}、{C}_{14}、{C}_{21}、{C}_{22}$ ，再将其代入各分区段微分方程解，即可求出拱棚壳体挠度表达式。

将挠度方程表达式代入地基反力计算公式 $p(\alpha ) = kw(\alpha ) - {G_{\rm{p}}}{{{\rm{d}}{w^2}(\alpha )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rm{d}}{w^2}(\alpha )} {{\rm{d}}{\alpha ^2}}}} \right. } {{\rm{d}}{\alpha ^2}}}$ ，即可求得隧道开挖面前方预支护拱棚所受地基反力。

将挠度方程表达式代入内力表达式（6），即可求出在轴对称荷载作用下的预支护拱棚内力。

对于注浆型管棚预支护，除了可有效加固围岩，也形成拱壳加固区域，预支护机理与水平旋喷拱棚类似。因此，选取注浆型管棚案例，与既有相关研究成果对比，以验证本文所提双参数地基的预支护拱棚壳体力学模型的有效性。

以川藏公路二郎山隧道预支护工程为算例[13,18]，该隧道洞口岩土体破碎，稳定性较差，为保证隧道安全施工，采用超前注浆型管棚进行预支护处理。洞口处埋深10 m，开挖高度约7 m；初支采用栅格拱架混凝土，单次开挖进尺为1.5 m；管棚单次钻孔长30 m，直径D=102 mm，钢管厚度δ=10 mm，环向间距为40 cm；通过钢管侧壁梅花孔向围岩注浆，最后形成拱壳加固区。图5为注浆管棚布置[13]

图  5  注浆管棚布置
Fig.  5  Layout of grouting pipe shed

对于注浆型管棚，参照文献[11]简化认为管棚注浆加固区厚度等于钢管外间距；同时参考文献[11,13]，把管棚与注浆加固区按照刚度等效原理确定拱棚壳体等效弹性模量E=9.25 GPa；作用于壳体拱棚的竖向荷载按照太沙基公式确定[18]；为与既有理论方法对比，计算参数参考文献[12-13,18]，表1为具体计算参数。

表  1  二郎山隧道最终计算参数
Table  1  Final calculation parameters of Erlangshan tunnel
 类别 具体参数信息 围岩 重度γ=22 kN/m3，内摩擦角 $\varphi$=30°，黏聚力c=55 kPa，泊松比μ=0.3，侧压力系数λ=0.4 管棚 预支 护体系 拱棚等效弹性模量E=9.25 GPa，泊松比μ=0.26，拱棚等效厚度t=0.3 m，埋深H=10 m 初始参数 基床系数k=2.0×104 kN/m3，地基剪切模量Gp=1×104 kN/m2；初始挠度w0=3 mm，初始转角θ0=0.6°；开挖进尺s=1.5 m，松动区水平投影长 $d =h· {\tan ^{ - 1} }(45^\circ + \varphi /2) \approx {\text{4} }{\text{.0 m} }$，总计算长度取s+d+1.5×4≈12.0 m

图6为对二郎山隧道应用本文拱棚壳体力学模型所得管棚挠度与文献[12-13,18]理论方法结果的对比分析。

图  6  应用不同力学模型时二郎山隧道管棚挠度对比
Fig.  6  Comparison of pipe roof deflection of Erlangshan tunnel when different mechanical models are applied

图6可知：应用Winker地基梁模型计算的最大挠度为15.23 mm，应用Pasternak弹性地基梁模型所得挠度比应用Winker模型略大，是因为Winker为单参数模型，存在地基不连续性缺陷，只考虑了地基反力系数。采用考虑注浆壳体加固区影响简化方法[18]所得最大挠度为10.26 mm，相比Winker和Pasternak地基梁模型结果均小，这是由于地基梁模型以单根管棚为研究对象，未考虑加固圈对管棚整体性的影响。文献[18]方法的本质是在单参数地基模型基础上简化得来，但考虑了注浆加固区整体效应，结果在反映真实受力特性上得到了改善。本文壳体力学模型的挠度计算结果与文献[18]规律相似，最大挠度在开挖面附近，纵向挠度曲线衰减速率相近，最大挠度值为12.16 mm。由于本文方法考虑了地基剪切模量，相比文献[18]理论方法的结果略大（Δw=1.90 mm）。

综上所述，本文所提壳体力学模型计算结果与既有理论模型成果规律类似，结果介于弹性地基梁和壳体加固区简化模型（单参数地基）之间。由于文中模型考虑了岩土体的剪切变形作用（双参数地基），理论上与拱棚预支护真实受力特性更接近。

某隧道为客运共线双线铁路隧道，开挖断面面积约115 m2。隧道洞身穿越强风化花岗岩层，采用台阶法（带仰拱）施工，上台阶每次循环进尺1.2 m，下台阶每次进尺2.0 m，滞后上台阶4.0 m；采用复合式衬砌，初期支护形式为钢拱架+钢筋网+35 cm C25喷混；在隧道拱部采取高压水平旋喷拱棚预支护，旋喷桩设计桩径为50 cm，环向桩间距为35 cm，周边设计旋喷桩53根，注浆压力为20～30 MPa，水灰比为1∶1。图7为隧道开挖断面示意图。图7中，H为隧道埋深，C为开挖高度，r为开挖半径。

图  7  隧道开挖断面示意图
Fig.  7  Schematic diagram of tunnel excavation section

将本文解析方法引入工程案例中，采用MIDAS/GTS NX有限元软件建立3维数值模型。隧道模型横向取100.0 m（为降低边界效应，左右两侧各取4倍开挖宽度），竖向取55.0 m，纵向开挖方向取40.0 m，隧道网格划分如图8所示。

图  8  隧道网格划分示意图
Fig.  8  Schematic diagram of tunnel grid division

模型侧面采用法向位移约束，模型顶面设为自由面，底面采用固定约束；围岩采用Mohr-Coulomb本构模型，初支采用板单元，通过等效方法将钢架弹性模量折算给喷混结构[11]；水平旋喷拱棚和初期支护取弹性本构计算，旋喷拱棚根据等效刚度原则设为均质厚度、连续的柱壳结构[21]。根据地质勘查资料和水平旋喷桩试桩数据结果，围岩和支护参数见表2

表  2  围岩和支护计算参数
Table  2  Calculation parameters of surrounding rock and support
 材料 ρ/(g·cm–3) E/GPa μ c/kPa ϕ/(°) 粉质黏土 1.8 0.02 0.40 18.5 17.8 强风化花岗岩 2.0 0.08 0.35 65.0 25.0 中风化花岗岩 2.2 2.20 0.25 400.0 45.0 水平旋喷拱棚 2.3 8.00 0.20 — — 初期喷混 2.4 28.60 0.20 — — 钢拱架 7.8 210.00 0.18 — —

结合地勘资料和岩土工程相关经验[22-23]，取围岩基床系数k=3.8×104 kN/m3，地基剪切模量Gp=1.5×104 kN/m2，循环进尺s为1.2 m，上台阶高度h=5.0 m，松动区 $d \approx {\text{3}}{\text{.2 m}}$ ，计算范围取s+d+3.6 m。水平旋喷拱棚与初期支护连接端的初始挠度w0=3 mm，初始转角θ0=0.5°。以拱顶处水平旋喷桩所在位置为计算对象，利用MATLAB软件计算待定系数，得到各区间段的挠度方程，图9为解析方法与数值方法的对比结果。

图  9  拱棚拱顶处挠度解析解和数值解对比
Fig.  9  Comparison of analytical solution and numerical solution of deflection at vault of arch shed

图9可知：拱顶处整体挠度曲线呈现勺形分布形态，在开挖面后方附近挠度值最大；随开挖距离的增加，挠度值逐渐减小。以隧道开挖面为界，水平旋喷桩前方纵向挠度影响范围约为开挖进尺的3～4倍。

在整体挠度曲线的变化趋势上，本文解析结果与数值解吻合度较高，尤其是在掌子面集中变形处，误差约为5.8%。因此，本文力学模型能够较好地反映隧道开挖过程中拱棚和围岩的共同受力和变形特性，其有效性能够得到进一步保障。由于在计算过程中采用定值参数进行求解，而实际工程中围岩部分参数会因开挖扰动呈动态变化，导致解析结果与数值解仍存在一定的差异。

##### 4.3.1   挠度分析

由于水平旋喷拱棚为3维空间结构体，以隧道中线为基准轴，采用壳体力学解析模型，选取A、B、C、D特征位置进行分析，如图10所示。

图  10  特征位置示意图
Fig.  10  Schematic diagram of feature location

图11为水平旋喷拱棚空间挠度分布。

图  11  水平旋喷拱棚空间挠度分析
Fig.  11  Spatial deflection analysis of horizontal jet grouting arch shed

图11可知：A、B、C、D所在位置纵向挠度形态基本相同，最大挠度发生在开挖面附近；纵向上，挠度影响区大致可分为临空影响区、开挖扰动区、前方稳定区，与拱棚壳体模型简化分区相一致的，表明拱棚在空间上起杠杆作用，能够有效将开挖临空面承受的上部荷载向未开挖稳定区传递；横向上，拱顶处挠度最大，沿拱脚方向逐渐减小，从拱顶A到拱脚D，最大挠度值减幅66.6%，这说明施工过程中应重点关注拱顶处旋喷桩挠度变形。

##### 4.3.2   纵向受力分析

以隧道拱顶桩体A所在位置为例，图121314分别为该位置地基接触反力、纵向弯矩、纵向剪力曲线。

图  12  地基接触反力曲线
Fig.  12  Foundation contact reaction force curve
图  13  纵向弯矩分布
Fig.  13  Longitudinal bending moment distribution

图12可知：随着与开挖面距离逐渐增加，接触反力逐渐减小至0。由于开挖未支护段形成了临空面，地基接触反力在0～1.2 m范围内为0；在掌子面处最大，达到84.87 kPa，小于直接作用的竖向围岩压力。结果表明，拱棚预支护承担了部分开挖临空面的围岩荷载，使内部围岩在一定程度上处于免压状态，进而使传递至围岩地基的压力减小，并将荷载转移到前方未开挖段和后方初期支护段，从而达到稳定开挖面围岩的作用。

图13可知：解析解和数值解纵向弯矩整体分布规律相似，开挖面附近主要承受正弯矩，距离开挖面越远，弯矩呈现先减小、后反向增大、最后逐渐减小至0的规律；最大正弯矩计算值相差13%，最大负弯矩计算值相差27%。由于拱棚后方支撑在初支结构上，加之初始挠度和转角的作用，起始位置弯矩为负值。结果表明，在纵向空间上，拱棚预支护能起到地基壳作用以调整压力分布。

图14可知：解析解和数值解得出的纵向剪力结果吻合较好，剪力最大值相差9.6%；整体曲线表现为在开挖面处剪力较小，在开挖面前后存在两个剪力极值点；距离开挖面前方6 m后，剪力逐渐减小至0。结果表明：开挖对拱棚弯矩、剪力的影响范围为开挖面前方约5倍开挖进尺内。

图  14  纵向剪力分布
Fig.  14  Longitudinal shear distribution
##### 4.3.3   横向受力分析

选取开挖面所在横断面分析内力，根据壳体单元内力和应力两者关系[24-25]，即表达式（20），可通过壳单元内力求得相对应应力：

 $$\left\{ \begin{gathered} {\sigma _x} = \frac{{{N_1}}}{t} + \frac{{6{M_1}}}{{{t^2}}}， \\ {\sigma _y} = \frac{{{N_2}}}{t} + \frac{{6{M_2}}}{{{t^2}}}， \\ {\tau _{xy}} = {\tau _{yx}} = \frac{{{S_{ 12}}}}{t} + \frac{{6{M_{12}}}}{{{t^2}}} \\ \end{gathered} \right.$$ (20)

式中，σxσy为正应力，τxyτyx为剪应力。

图15为横向内力计算分布。由图15可知：N1在拱顶处最大，向两侧拱脚方向呈非线性减小，沿隧道中线对称分布，拱顶应力为拱脚的4.8倍，再次证明了拱棚的承压特性；N2横向分布与N1相似，但量值更大，表明环向上呈现整体承压状态；S12沿隧道中线呈反对称分布，在拱顶处为0，两侧拱脚处最大，表明旋喷拱棚在横向上符合拱壳结构受力特点。

图  15  横向内力分布
Fig.  15  Transverse internal force distribution

根据所提壳体力学模型计算结果和图15：内力M1M2数值较小，M12M21均为0；S12在拱脚处最大。则由式（20）求得正应力 ${\sigma _x}$ ${\sigma _y}$ 值均较小，相对应的剪应力 ${\tau }_{y{\textit{z}}}、{\tau }_{x{\textit{z}}}$ 相对于 ${\tau _{xy}}$ 很小，可忽略不计，因此拱脚处剪应力起主导作用。

旋喷壳体N1N2在拱顶处取得最大值，代入内力和应力表达式，剪应力 ${\tau }_{xy}、{\tau }_{y{\textit{z}}}$ 值较小可忽略，主要受正应力 ${\sigma _x}$ ${\sigma _y}$ 作用。且由于N2相比N1大得多，则有 $\sigma_{y}\gg \sigma_{x}$ ，即 ${\sigma _y}$ $\sigma_{x}$ 分别为对应壳体单元的最大主应力和最小主应力，根据强度破坏准则，可以判定在拱顶处拱棚结构容易发生材料破坏。施工中应确保桩体咬合完整，避免出现断桩、桩身不均匀等问题。

拱棚预支护发挥作用时，不仅与设计参数有直接关联，而且与施工因素密不可分。拱棚结构不容许发生大变形，可将拱顶水平旋喷桩变形量和发展趋势作为重要的控制标准。因此，以拱顶处旋喷桩为研究对象，根据建立的壳体力学模型探讨不同参数对拱棚变形的影响规律。

##### 4.4.1   桩径

为分析桩径对拱棚结构挠度的影响，选取工程中大断面隧道常用桩径尺寸40、50、60、70 cm，保持其他参数不变，结果如图16所示。

图  16  桩径对拱棚挠度影响分析
Fig.  16  Analysis of the influence of pile diameter on the deflection of arch shed

图16可看出，纵向上，水平旋喷桩挠度随桩径增大而减小，且减小速率在变缓。桩径从40 cm到70 cm，最大挠度减少40.9%，表明增大桩径，旋喷拱棚抗弯刚度相应增大，支护效果显著增强，但增强幅度随桩径增加有所减弱。因此，依托工程的设计桩径选择50 cm不仅可满足安全要求，也兼具经济性。

##### 4.4.2   初始挠度

初始挠度对拱棚变形影响结果如图17所示。由图17可知，旋喷桩挠度随初始挠度增大而增大，挠度最大值基本呈现线性增长趋势。初始挠度从0 mm增加到7 mm，最大挠度值增长了224%，说明初始挠度对拱棚整体挠度有着重要影响。因此，在实际工程中，如果初期支护强度较低时，则不能很好地发挥拱棚预支护效果，因而每次循环进尺结束应及时封闭成环，对于软弱地层隧道可在拱脚处加设锁脚锚管以增强支护刚度，更好地保障预支护拱棚后端支撑于稳定的基层。

图  17  初始挠度对拱棚变形影响分析
Fig.  17  Analysis of the influence of initial deflection on the deformation of arch shed
##### 4.4.3   开挖高度

软弱围岩隧道多采用分部开挖，以台阶法施工为例，不同上台阶高度对旋喷拱棚变形影响结果如图18所示。

图  18  上台阶开挖高度对拱棚挠度影响分析
Fig.  18  Analysis of the influence of the excavation height of the upper step on the deflection of the arch shed

图18可知：随着上台阶开挖高度的增加，拱棚最大挠度值有所增大，挠度为0的位置逐渐远离掌子面；当上台阶高度从4 m增大到7 m，最大挠度增长18.9%，总体增幅不大。因为上台阶高度越大，隧道前方最大松弛范围增大，潜在破裂面逐渐向前推移，导致挠度曲线逐步向前下方推移。

##### 4.4.4   开挖进尺

选取常用开挖进尺0.6、1.2、1.8、2.4 m分析计算，开挖进尺对旋喷拱棚挠度影响结果如图19所示。由图19可知：拱棚挠度随开挖进尺增加而增大，最大挠度所在处逐渐滞后于开挖面；开挖进尺从0.6 m增加到2.4 m，最大挠度值增幅为46.9%，最大挠度值呈加速增长趋势，这表明开挖进尺对拱棚结构变形有很大的影响。因此，在隧道施工中不能一味强调施工进度而忽略开挖进尺的影响，也不能纯粹强调安全而使用短进尺开挖，应结合工程实际选用合理的开挖进尺。

图  19  开挖进尺对拱棚挠度影响分析
Fig.  19  Analysis of the influence of excavation footage on the deflection of arch shed

将隧道预支护拱棚简化为壳体结构，建立了基于Pasternak双参数地基的拱棚壳体力学模型，推导了挠度、内力、地基接触反力解析解，并对拱棚力学机制进行探讨，主要结论如下：

1）通过算例分析，由于本文模型考虑了地基连续性和加固区整体性影响，相比弹性地基梁和传统壳体模型，计算结果更加接近拱棚真实受力状态。依托实际工程，对比解析解和数值解，水平旋喷拱棚均在开挖面附近变形最大，前方影响范围约3～4倍开挖进尺，两者数据吻合程度较好，纵向整体挠度曲线相似，采用弹性地基的壳体理论分析模型可满足工程需要。

2）根据隧道开挖进程和支护情况，拱棚纵向挠度影响可分为临空影响区、开挖扰动区、前方稳定区。在空间上，预支护拱棚能很好地调整压力分布，一定程度上使内部围岩处于免压状态。以开挖面为界，弯矩、剪力影响范围为约5倍开挖进尺内。在横向上，拱顶处挠度变形最大，向拱脚方向逐渐减小。拱棚壳体整体表现承压特性，拱脚处剪应力起主导作用，拱顶处主要由正应力主导且容易发生材料破坏。

3）不同参数对拱棚结构变形影响程度不同，总体表现出初始挠度>开挖进尺>桩径>开挖高度。其中：拱棚最大挠度随初始挠度增加呈线性增长趋势；随开挖进尺增加呈线性加速增长趋势；随开挖高度增加而减小，但减小速率变缓。

为计算方便，文中所提模型假设拱棚上部围岩荷载为均布模式，且在弹性范围内进行分析，对计算结果有一定影响。当开挖面水平约束不足时，前方未开挖区参数常为变量，今后可将地基系数变化特性纳入壳体力学模型中进一步深入研究。

• 图  1   拱棚概化模型示意图

Fig.  1   Schematic diagram of conceptual arch shed model

图  2   拱棚力学简化示意图

Fig.  2   Simplified schematic diagram of arch shed mechanics

图  3   正交曲线坐标系

Fig.  3   Orthogonal curvilinear coordinate system

图  4   拱棚力学分析图

Fig.  4   Mechanical analysis diagram of arch shed

图  5   注浆管棚布置

Fig.  5   Layout of grouting pipe shed

图  6   应用不同力学模型时二郎山隧道管棚挠度对比

Fig.  6   Comparison of pipe roof deflection of Erlangshan tunnel when different mechanical models are applied

图  7   隧道开挖断面示意图

Fig.  7   Schematic diagram of tunnel excavation section

图  8   隧道网格划分示意图

Fig.  8   Schematic diagram of tunnel grid division

图  9   拱棚拱顶处挠度解析解和数值解对比

Fig.  9   Comparison of analytical solution and numerical solution of deflection at vault of arch shed

图  10   特征位置示意图

Fig.  10   Schematic diagram of feature location

图  11   水平旋喷拱棚空间挠度分析

Fig.  11   Spatial deflection analysis of horizontal jet grouting arch shed

图  12   地基接触反力曲线

Fig.  12   Foundation contact reaction force curve

图  13   纵向弯矩分布

Fig.  13   Longitudinal bending moment distribution

图  14   纵向剪力分布

Fig.  14   Longitudinal shear distribution

图  15   横向内力分布

Fig.  15   Transverse internal force distribution

图  16   桩径对拱棚挠度影响分析

Fig.  16   Analysis of the influence of pile diameter on the deflection of arch shed

图  17   初始挠度对拱棚变形影响分析

Fig.  17   Analysis of the influence of initial deflection on the deformation of arch shed

图  18   上台阶开挖高度对拱棚挠度影响分析

Fig.  18   Analysis of the influence of the excavation height of the upper step on the deflection of the arch shed

图  19   开挖进尺对拱棚挠度影响分析

Fig.  19   Analysis of the influence of excavation footage on the deflection of arch shed

表  1   二郎山隧道最终计算参数

Table  1   Final calculation parameters of Erlangshan tunnel

 类别 具体参数信息 围岩 重度γ=22 kN/m3，内摩擦角 $\varphi$=30°，黏聚力c=55 kPa，泊松比μ=0.3，侧压力系数λ=0.4 管棚 预支 护体系 拱棚等效弹性模量E=9.25 GPa，泊松比μ=0.26，拱棚等效厚度t=0.3 m，埋深H=10 m 初始参数 基床系数k=2.0×104 kN/m3，地基剪切模量Gp=1×104 kN/m2；初始挠度w0=3 mm，初始转角θ0=0.6°；开挖进尺s=1.5 m，松动区水平投影长 $d =h· {\tan ^{ - 1} }(45^\circ + \varphi /2) \approx {\text{4} }{\text{.0 m} }$，总计算长度取s+d+1.5×4≈12.0 m

表  2   围岩和支护计算参数

Table  2   Calculation parameters of surrounding rock and support

 材料 ρ/(g·cm–3) E/GPa μ c/kPa ϕ/(°) 粉质黏土 1.8 0.02 0.40 18.5 17.8 强风化花岗岩 2.0 0.08 0.35 65.0 25.0 中风化花岗岩 2.2 2.20 0.25 400.0 45.0 水平旋喷拱棚 2.3 8.00 0.20 — — 初期喷混 2.4 28.60 0.20 — — 钢拱架 7.8 210.00 0.18 — —
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