Multi-objective Optimization of the Dry Core Reactor Based on Multi-physical Field Simulation and VIKOR Decision
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摘要: 金属导体用量和损耗是干式铁心电抗器优化设计过程中需要考虑的关键因素，为有效降低损耗和成本，本文提出基于多物理场仿真和VIKOR决策的干式铁心电抗器多目标优化方法。以干式铁心电抗器为研究对象，建立磁场–流场–温度场模型，将磁场计算获得的铁心和线圈损耗密度作为热源，经过流–热耦合计算得到电抗器温度分布；建立磁场–结构场模型，将基于磁场计算得到的电磁力作为应力项，从而获得铁心及线圈振动位移分布，通过有限元仿真与拉丁超立方试验设计相结合的方法，得到不同结构参数下铁心电抗器温升与振动位移结果。为进一步简化优化流程，采用灵敏度分析方法进行参数降维，建立设计参数与温升、振动之间的代理模型，并采用多目标遗传算法得到满足电抗器性能要求的Pareto前沿解集。考虑到电抗器金属导体用量与损耗之间相互冲突，引入VIKOR综合决策方法，在确定优化目标权重的基础上，计算Pareto解集的利益比率大小，以最小利益比率确定最优设计参数组合，通过仿真验证优化设计方法的正确性。优化后的铁心电抗器与优化前相比，在损耗仅增加4.4%的情况下，铁心和线圈金属导体用量分别减少了3.0%和16.6%，同时在满足设计要求的基础上温升和振动分别降低了7.4%和16.7%。所提方法可以有效提升电抗器性能，为电抗器优化设计提供指导。Abstract: The loss and the amount of metal conductors are the key factors to be considered in the optimization design of the dry-core reactor. In order to effectively reduce the loss and cost, this paper proposed a multi-objective optimization method for the dry-core reactor based on the multi-physical field simulation and the VIKOR decision. Firstly, the dry-core reactor was taken as the research object, and the magnetic field-flow field-temperature field model was established. The loss density of the core and the coil obtained from the magnetic field calculation was used as the heat source, and the reactor temperature distribution was obtained through the fluid-thermal coupling calculation; Then the magnetic field-structure field model was established. Taken the electromagnetic force calculated based on the magnetic field as the stress item, the vibration displacement distribution of the core and coil were calculated. The temperature rise and vibration displacement results of the core reactor under different structural parameters were obtained by combining the finite element simulation and the Latin hypercube test design. In order to further simplify the optimization process, the sensitivity analysis method was used to reduce the dimension of parameters. The agent model among the design parameter, the temperature rise and the vibration was established considering key parameters. The multi-objective genetic algorithm was used to obtain the Pareto frontier solution set that meets the performance requirements of the reactor. Considering the conflict between the amount of metal conductor and the loss of the reactor, the VIKOR comprehensive decision method was introduced. On the basis of determining the weight of the optimization objective, the benefit ratio of the Pareto solution set was calculated. The optimal design parameter combination was determined by the minimum benefit ratio. The correctness of the optimization design method was verified by simulation. Compared with that before optimization, the consumption of iron core and coil metal conductors of the optimized iron core reactor decreases by 3.0% and 16.6% respectively with the loss increased by 4.4%. At the same time, the temperature rise and vibration decreases by 7.4% and 16.7% respectively on the basis of meeting the design requirements. The proposed method can effectively improve the performance and provide guidance for the optimization design of reactors.
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Keywords:
- core reactor /
- finite element modeling /
- agent model /
- multi-objective optimization /
- VIKOR decision
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随着干式铁心电抗器的容量和电压等级逐渐提高，电抗器整体漏磁相应增大，使得电抗器温升和振动问题日益严重[1-2]。电抗器温度过高会加速绝缘老化，引发绝缘开裂或匝间短路，同时电抗器振动过大会导致结构件松动，易导致局部线圈脱落及绝缘受损。目前工程上主要通过改变电抗器本体结构以降低温升及振动[3]。然而，改变结构参数必然会导致金属导体用量与损耗产生变化，且两者之间互相冲突，在设计过程中无法同时兼顾。因此，提出合理的多目标优化方法以寻求导体用量和损耗之间的最优解，对干式铁心电抗器设计优化和性能提升具有重要指导意义。
一般而言，准确计算干式铁心电抗器的温升及振动性能参数是电抗器优化设计的首要切入点。目前，关于电抗器单物理场的基本理论和方程相对完备，数值计算方法也较成熟。
在温升计算方面：廖才波等[4]将有限元法和有限体积法结合，根据温度场结果对变压器损耗进行修正，求解变压器流场–温度场，将结果与经验公式的热点温度计算结果进行对比，验证了方法的有效性；姜志鹏等[5]采用有限容积法对3维模型进行稳态求解，研究了包封轴向及径向温度分布规律，并通过光纤测温法验证温度场数值计算的合理性；谢裕清等[6]针对变压器线圈区域进行建模，在计算线圈温升时考虑了温度对物性参数和线圈损耗的影响，采用最小二乘有限元法和迎风有限元法分别对流场和温度场进行求解，该方法与Fluent软件的计算结果相比误差小于1 K；周利军等[7]利用多面体网格技术对线圈、油流等区域进行精密剖分，对比分析了不同网格剖分方法对温度场计算的影响，为3维温度场网格处理提供参考。
在振动特性计算方面：Bakshi等[8]提出了计算线圈不同路径方向上电磁力的解析公式；王革鹏等[9]通过有限元仿真研究铁心心柱不同位置电磁力的分布规律以及不同的气隙垫块材料对振动结果的影响；张鹏宁等[10]通过测量单片硅钢片轧制方向（RD）与垂直于轧制方向（TD）的磁致伸缩及磁化特性，比较并联电抗器与变压器模型铁心的振动，揭示了麦克斯韦力的影响规律；祝丽花等[11]提出一种磁–机械强耦合方法对变压器铁心振动进行有限元计算，通过比较实验测量结果与计算值证实了模型的正确性；Gao等[12]通过改变铁心柱气隙材料以降低振动，并给出了确定气隙材料最佳硬度的方法。
然而，干式铁心电抗器在实际运行过程中处于电磁、热及应力等多物理场之中。上述研究对多个物理场之间的耦合效应分析较少，也仅从局部结构着手，无法准确获取电抗器整体温升和振动分布。
在干式铁心电抗器优化设计过程中，优化目标函数和约束条件的定义是优化设计的关键问题，更需要明晰的是，电抗器性能指标众多，相互冲突的优化目标非常典型，设计过程中应考虑多个优化目标之间的权衡[13-14]。
在温升优化方面：Smolka等[15-16]基于有限元仿真及遗传算法，通过调整线圈和气道的结构参数以降低线圈损耗，但该方法需要开展大量尝试性实验，计算量大；Yuan等[17]研究了铁心电抗器线圈结构参数调整对电感和线圈温升的影响规律，基于粒子群优化算法获得最佳的线圈结构参数，提高了金属导体利用率。由于电抗器铁心独特的叠式结构，其电磁特性主要由铁饼之间的气隙结构决定[18-19]。铁心电抗器气隙结构对电磁特性的影响也是近年来的热点问题。众多学者研究了不同气隙分布下，铁心电抗器漏磁分布，得到气隙结构对电抗器铁心振动的影响规律，提出通过调整电抗器铁心气隙长度的排列方式，来实现特高压并联电抗器减振的目标[20-23]。陈锋等[24]提出了一种基于等式约束规划的降维算法，将有等式约束优化问题转换成无等式约束优化问题，减少了优化设计变量。Gao等[12,25]建立了考虑电抗器电磁力和磁致伸缩力的3维振动仿真模型，提出了改变铁心叠层结构和材料硬度的方法，降低了电抗器的振动。张成芬等[26]以电抗器金属导体用量和损耗作为优化对象，采用改进NSGA– Ⅱ算法获得了最佳的绕组结构参数。然而上述研究侧重于单目标优化，未能综合考虑温度及振动等性能参数，不利于满足电抗器轻质化、低损耗的设计要求。
本文通过多物理场仿真计算获取了干式铁心电抗器整体温度及振动位移分布，并提出了解决导体用量和损耗之间冲突关系的优化设计方法。首先建立铁心电抗器3维模型，计算得到电抗器的电磁场、温度场及结构场的仿真结果。其次，结合拉丁方试验设计思想，建立了电抗器结构参数代理模型并基于灵敏度技术对设计变量进行降维处理。进一步，采用多目标遗传算法得到满足电抗器温升和振动性能要求的Pareto设计参数解集，应用VIKOR决策方法对性能指标进行分析，折中得到1组最佳结构参数。最后，通过仿真验证了优化设计的有效性，为铁心电抗器的优化设计提供了新的思路和方法。
1. 干式铁心电抗器基本结构及参数
本文的研究对象为单相干式铁心电抗器，额定电压为10 kV，频率为50 Hz，为了兼顾计算精度和计算效率，做出简化模型。干式铁心电抗器结构模型如图1所示。
图 1 干式铁心电抗器3维模型Fig. 1 Three-dimensional model of dry core reactor
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干式铁心电抗器铁心部分由冷轧取向硅钢片构成，心柱各铁饼之间被多个气隙均匀分割，气隙采用环氧层压玻璃布板作间隔。线圈部分由多层筒式结构绕制而成，线圈内导线为绝缘层包裹的扁铜线，层数为3层，层间通过撑条固定连接，在线圈之间形成轴向散热气道。铁心外部通过夹件及拉杆固定，铁心叠片系数为0.97。主要结构参数见表1。
表 1 铁心电抗器结构参数Table 1 Structural parameters of core reactor结构 参数 值 铁心 铁心直径/mm 270 铁扼高度/mm 135 铁饼高度/mm 50 气隙总高度/mm 96 气隙数 8 心柱截面积/cm2 570 线圈 内层线圈宽度/mm 15 中层线圈宽度/mm 30 外层线圈宽度/mm 30 线圈高度/mm 468 导线截面积/mm2 8.64 2. 铁心电抗器多物理场仿真计算
2.1 铁心电抗器多物理场数学模型
1）磁场模型
在电抗器运行工况下，铁心处在交变磁场中，电抗器铁心中的磁场微分方程为：
$$ \sigma \cdot \frac{{\partial {\boldsymbol{A}}}}{{\partial t}} + \nabla \times \left( {\mu _0^{ - 1}\mu _{{\rm{r}}}^{ - 1}\nabla \times {\boldsymbol{A}}} \right) = {\boldsymbol{J}} $$ (1) 式中：
$\sigma $ 为电导率；$\;{\mu _0}$ 为真空磁导率，数值为4π×10–7 H/m；$\;{\mu _{{\rm{r}}}}$ 为相对磁导率；${\boldsymbol{A}}$ 为矢量磁位；J为线圈电流密度。铁心电抗器的电磁场是时变的，它满足Maxwell方程组的3维瞬态电磁场方程，如式（2）所示：
$$ \frac{\partial }{{\partial x}}\left(\upsilon \cdot \frac{{\partial {\boldsymbol{A}}}}{{\partial x}}\right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left(\upsilon \cdot \frac{{\partial {\boldsymbol{A}}}}{{\partial y}}\right) + \frac{\partial }{{\partial {\textit{z}}}}\left(\upsilon \cdot \frac{{\partial {\boldsymbol{A}}}}{{\partial {\textit{z}}}}\right) = - {\boldsymbol{J}} + \sigma \cdot \frac{{\partial {\boldsymbol{A}}}}{{\partial t}} $$ (2) 式中，
$ \upsilon $ 为材料的磁阻率。2）温度场模型
干式铁心电抗器运行时，铁心及线圈会产生损耗，这些损耗将转变为热能发散到周围的介质中，从而引起电抗器发热。其中，传热过程分为3种：热传导、热对流和热辐射。结合铁心电抗器实际运行情况及热能传递相关定义可知：在铁心及线圈区域，热能主要以热传导的形式在固体材料内部高温部分向低温部分传导；在电抗器线圈气道、线圈表面以及铁心表面，热能主要以热对流和热辐射形式进行传递。
热传导的微分方程遵循能量守恒定律：
$$ \begin{aligned}[b] & \rho c\left(\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + {v_x} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial x}} + {v_y} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial y}} + {v_{\textit{z}}} \cdot \frac{{\partial T}}{{\partial {\textit{z}}}}\right)= \\&\qquad {\lambda _x} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{{\partial ^2}x}} + {\lambda _y} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{{\partial ^2}y}} + {\lambda _{\textit{z}}} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{{\partial ^2}{\textit{z}}}} + {q_{{\rm{w}}}} \end{aligned}$$ (3) 式中，ρ为金属的密度，c为比热，vx、vy、vz分别为沿x、y、z轴方向的速度分量，λx、λy、λz为材料沿x、y、z轴方向的导热系数，T为温度，qw为单位时间流过单位面积的热流量。若不考虑质量传递，且温度为稳态时，式（3）可简化为：
$$ {\lambda _x} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{{\partial ^2}x}} + {\lambda _y} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{{\partial ^2}y}} + {\lambda _{\textit{z}}} \cdot \frac{{{\partial ^2}T}}{{{\partial ^2}{\textit{z}}}} + {q_{w}} = 0 $$ (4) 3）结构场模型
通过有限元法计算得到矢量磁位，再结合虚位移原理可计算得到相应的电磁力F，如下所示：
$$ {\boldsymbol{F}} = \frac{{\displaystyle\int_v {\left[ {{\boldsymbol{J}}{\rm{d}}{\boldsymbol{A}} - {\rm{d}}\left( {\dfrac{1}{2}{\boldsymbol{JA}}} \right)} \right]{\rm{d}}{V_{\rm{e}}}} }}{{{\rm{d}}{\boldsymbol{g}}}} = \frac{{\displaystyle\int_v {\dfrac{1}{2}{\boldsymbol{J}}{\rm{d}}{\boldsymbol{A}}{\rm{d}}{V_{\rm{e}}}} }}{{{\rm{d}}{\boldsymbol{g}}}} $$ (5) 式中，dg为虚位移，Ve为体积分布力。
通过电磁场可计算出磁通密度和外部电流密度，然后在结构力场中将计算结果作为应力激励，求解微分方程，实现耦合。计算结构场时，可以认为电抗器铁心的振动频率是在低频段，此时可以忽略阻尼力的影响[27]，采用弹性力学对铁心进行振动分析，振动方程为：
$$ {\boldsymbol{M}} \cdot \frac{{{\partial ^2}{\boldsymbol{X}}}}{{\partial {t^2}}} + {\boldsymbol{KX}} = {\boldsymbol{F}}(t) $$ (6) 式中，
${\boldsymbol{M}}$ 为质量矩阵，${\boldsymbol{K}}$ 为刚度矩阵，${\boldsymbol{X}}$ 为待求的振动位移矢量，${\boldsymbol{F}}(t)$ 为力矢量[28]。2.2 材料参数与边界条件设置
2.2.1 材料参数设置
铁心电抗器的材料属性见表2。气隙由环氧树脂材料填充，线圈和铁心部分材料分别设置为铜和硅钢片，电抗器磁场–流场–温度场计算受到周围空气热特性影响，将空气域各物性参数设置为随温度T变化的表达式，T的单位是开尔文（K）。
表 2 材料属性Table 2 Material properties材料 物性参数 取值 气隙材料
（环氧树脂）热导率/(W·m–1·K–1) 0.46 比热容/(W·kg–1·K–1) 550 密度/(kg·m–3) 2 000 杨氏模量/GPa 60 泊松比 0.38 线圈（铜） 热导率/(W·m–1·K–1) 400 比热容/(W·kg–1·K–1) 385 密度/(kg·m–3) 8940 杨氏模量/GPa 350 泊松比 0.35 铁心 热导率/(W·m–1·K–1) 40 比热容/(W·kg–1·K–1) 350 密度/(kg·m–3) 7650 杨氏模量/GPa 300 泊松比 0.30 磁致伸缩系数/ppm 1.474 空气 热导率/(W·m–1·K–1) –0.0023+1.155×10–4T 比热容/(W·kg–1·K–1) 1047.64–0.373T+9.45×10–4T2 密度/(kg·m–3) 3.102–0.009T+8.614×10–6T2 动力黏度/(kg·m–1·s–1) –8.383×10–7+8.36×10–8T 2.2.2 边界条件设置
在磁场模型中，矢量磁位A在电抗器外部空间逐渐衰减，设置空气域边界数值为0，为磁绝缘边界条件。
在温度场模型中，认为空气域边界流速为0，因此动量边界设定为无滑移；铁心与线圈损耗作为温度场仿真热源条件，线圈和铁心设置为固体，模型边界的环境温度设置为20 ℃。
在结构力场模型中，铁心与线圈受到的电磁力、磁致伸缩力作为结构场的体载荷条件，考虑到实际情况下，结构件对铁心夹紧力的作用，设置铁心柱下边界为固定约束，即振动位移为0，表面为静止壁面。
2.3 网格剖分
采用四面体单元对干式铁心电抗器模型进行有限元网格剖分，为保证仿真模型具有较高的计算精度，网格剖分采用不均分布网格的划分方式，划分结果如图2所示。
图 2 网格剖分结果Fig. 2 Results of mesh generation下载:
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2.4 仿真结果分析
为了探究结构参数变化对电抗器各项性能的影响，对上述电抗器模型进行仿真分析。磁场仿真计算中采用电流激励，频率设置为50 Hz，求解时步长设置为0.1 ms。0.005 s时电流达到峰值，为了避免励磁涌流对结果的影响，选取第2个周期内峰值电流对应的结果，此时铁心和线圈的磁通密度B如图3所示。
图 3 铁心电抗器磁场分布图Fig. 3 Magnetic field distribution of core reactor下载:
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根据图3结果可知，铁心柱以及铁窗拐角处的磁通密度最大，最大值为1.26 T。对于线圈部分，漏磁分布沿径向方向向外逐渐递减，内层线圈的漏磁最大，最大漏磁为0.15 T。根据式(7)计算电抗器电感值为94.58 mH，与实际电感误差仅为3%，验证了本文磁场仿真计算的准确性。
$$ {W_{{{\rm{mf}}}}} = \frac{{L {I^2}}}{2} $$ (7) 式中，
${W_{{\rm{mf}}}}$ 为磁场总磁能，I为激励电流，L为电感值。1）磁场–流场–温度场仿真计算
由电抗器传热机理可知，其温度随热源变化而变化，同时金属材料属性也会随温度变化而改变，为双向耦合过程。仿真计算中，以铁心和线圈周期平均损耗密度作为流场–温度场热源项，线圈热源变化曲线如图4所示。
图 4 线圈热源随时间的变化Fig. 4 Change of coil loss with time下载:
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根据图4可以看出在0～1 h线圈损耗显著增加，电抗器运行4 h后线圈损耗趋于稳定，此时电抗器温度也基本保持不变。铁心电抗器流场–温度场仿真采用瞬态计算，计算总时长设为10 h，时间步长为0.1 h。电抗器运行10 h后的温度分布如图5所示。
图 5 电抗器温度分布Fig. 5 Reactor temperature distribution下载:
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计算结果表明，铁心最高温度为70.07 ℃，线圈最高温度为103.15 ℃。由图5可知，线圈温度明显高于铁心温度，究其原因是线圈损耗远远大于铁心损耗。通过数值计算得到电抗器在额定运行工况下的铁心损耗为0.95 kW，线圈损耗为6.68 kW，考虑到电抗器温升性能的限制，需进一步研究线圈结构的温度分布。为探究铁心电抗器线圈部分温升变化规律，选取线圈中轴线轴向路径（C1，C2，C3）并提取电抗器运行温度分布。路径提取与温度分布结果如图6所示。
图 6 轴向温度分布Fig. 6 Axial temperature distribution下载:
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由图6可知，电抗器运行稳定后的最高温度位于中层线圈上，从轴向方向看，线圈温度先增后减，热点温度位于线圈中上部分。从传热学角度分析，线圈周围空气受热膨胀，密度减小，流向电抗器上端，由于流体的黏性作用，会在电抗器各个表面形成一个静止的换热层。随着电抗器高度的变化，换热层厚度不断增加，导致流体流动速度减弱，上端散热较慢使得温度较高。
2）磁场–结构场仿真计算
在磁场–振动模型中添加磁致伸缩模型，将铁心的磁致伸缩力以及线圈受到电磁力作为固体力学模块的荷载激励，设置硅钢片的磁致伸缩模型参数为各向同性。其磁致伸缩力的分布规律与磁通密度分布规律大致相同，铁心的拐角处的应力最大，0.025 s时线圈受到电磁力最大，在径向方向上表现为从内到外逐渐衰减，电磁力最大值位于线圈中部，分布规律与图3（b）线圈漏磁分布规律相同。根据应力结果计算得到图7所示的电抗器振动位移分布。
图 7 电抗器振动位移分布Fig. 7 Vibration displacement distribution of reactor下载:
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电抗器底端设置为固定约束，导致电抗器下铁轭端不能发生自由变形，受约束条件的影响，铁轭上部的应力较大，所以上铁轭的自由变形更为严重。线圈受到的电磁力在径向方向上由内层到外层逐渐衰减，线圈上下两端固定且位移为0，线圈的形变趋势在径向方向上向外扩张，轴向方向上有上下两侧向内挤压的趋势，在层线圈的中部位置处形变最为严重，最大位移为0.15 μm。
3. 铁心电抗器多目标优化
3.1 优化模型建立
由上述结果可知，电抗器热点温度位于线圈部分，振动形变主要集中在铁心部分，若要对铁心电抗器结构参数进行调整，必然会导致温升与振动发生变化，因此铁心结构与线圈结构需同时纳入设计变量考虑范畴中。
工程设计中通常控制金属导体质量（铁心质量与铜导线质量）以实现成本优势，但随着电抗器质量的减少其铁耗与铜耗会相应增大，致使铁心电抗器轻质化与低损耗这两个目标相互冲突，无法同时满足最优解。为了兼顾铁心电抗器轻质化与低损耗的设计要求，建立多目标优化模型，目标函数如式（8）所示。
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_1} = {({m_{{{\rm{fe}}}}})_{\min }}, \\ {F_2} = {({m_{{{\rm{cu}}}}})_{\min }}, \\ {F_3} = {(P)_{\min }} \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 式中，
$ {m_{{{\rm{fe}}}}} $ 表示铁心质量，${m_{{{\rm{cu}}}}}$ 表示线圈质量，$P$ 表示电抗器损耗值。考虑到电抗器实际运行工况要求，电感偏差需控制在5%以内，具体约束条件设置如下：
$$ {\rm{s.\;t}}.\left\{ \begin{array}{l}{X}_{il}\le {X}_{i}\le {X}_{iu},\\ 0.95L\le {L}_{{\rm{s}}}\le 1.05L,\\ {T}_{{\rm{s}}}<{T}_{\mathrm{max}},\\ {D}_{{\rm{s}}}<{D}_{\mathrm{max}}\end{array}\right. $$ (9) 式中，Xi为第i个结构参数取值，Xil和Xiu分别为结构参数最小设计值和最大设计值，
$ {L_{\rm{s}}} $ 为优化后的电感值，Ts和Ds分别为电抗器优化后的最高温度和最大振动位移，Tmax和Dmax分别为电抗器允许的最高温度和最大振动位移。3.2 优化设计流程
本文的优化设计流程如图8所示。首先确定优化目标与对应参数范围，接下来采用拉丁超立方试验设计方法生成样本点并计算样本响应值，进而建立克里格模型，并在设计变量对目标的敏感性分析的基础上选择关键设计变量，在完成设计变量前处理后，采用多目标遗传算法（NSGA– Ⅱ）获得最优解集，最后通过VIKOR综合决策选择最优解。
图 8 优化设计流程Fig. 8 Flow chart for optimal design下载:
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由于电抗器结构参数众多，每个参数取值范围之间的组合方式复杂，使用有限元仿真模型计算量大。因此，为了选择具有代表性的试验参数，节约优化时间，采用拉丁超立方试验设计方法对铁心电抗器优化设计进行简化。其原理是使产生的样本点之间的最小距离最大化，让样本点尽量均匀地分布在设计空间内，这些有代表性的点具有“随机、均匀、分散”的特点。拉丁超立方试验设计方法不仅可以高效地选择铁心电抗器结构参数组合，并且结合灵敏度分析方法，可得到设计变量对于电抗器各物理场的影响程度，从而实现参数降维。
根据电抗器的结构特点，初步筛选出可能影响电抗器性能目标的结构参数作为设计变量，结构参数选取如图9所示。
图 9 铁心电抗器2维对称YOZ面视图Fig. 9 YOZ plane view of two-dimensional symmetry of core reactor下载:
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结合干式铁心电抗器电气及绝缘性能参数要求确定设计变量允许范围，结构参数选取及取值范围见表3。
表 3 结构参数及取值范围Table 3 Structural parameters and value range结构参数 取值范围 线圈高度Hc/mm 412～508 气道宽度d/mm 10.4～14.2 气隙高度g/mm 10～14 内层线圈宽度w1/mm 12.5～17.5 中层线圈宽度w2/mm 24～36 外层线圈宽度w3/mm 24～36 铁扼高度wb/mm 122～148 铁心中轴线距离wd/mm 480～580 铁饼高度we/mm 48～60 内层线圈到铁心距离wn/mm 60～72 铁心半径wr/mm 116～150 3.2.1 试验设计
通过拉丁超立方试验设计方法对干式铁心电抗器设计变量选取40组样本组合，结合有限元仿真可以得到在不同结构参数下的仿真结果。试验设计结果如图10所示。
图 10 试验设计结果Fig. 10 Experimental design results下载:
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从样本组的损耗和金属导体质量分布可以看出，在金属导体用量最低点时，其对应损耗值并非最小值，意味着金属导体用量和损耗目标无法同时寻得最优解。进一步，在试验设计基础上进行优化，寻找最优结构参数。
3.2.2 灵敏度分析
优化涉及参数众多，为提高优化效率，本文采用灵敏度分析来研究结构参数对电抗器各物理场特性指标的影响规律。根据其相关程度，选取相关程度较高的参数进行下一步优化，从而实现铁心电抗器优化设计的参数降维。其中，灵敏度指标定义为：
$$ S({x_i}) = \frac{{Z\left( {E\left( {Y/{x_i}} \right)} \right)}}{{Z\left( Y \right)}} $$ (10) 式中，xi为结构参数，Y为各个系统的状态变量值，
$Z\left( {E\left( {Y/{x_i}} \right)} \right)$ 为$ E\left( {Y/{x_i}} \right) $ 的无条件方差，$Z\left( Y \right)$ 为$ Y $ 的无条件方差。通过式（10）可以定量得到电抗器各子系统设计变量对各物理场特性指标的影响程度，即灵敏度。灵敏度越大对状态变量的影响程度越大。基于样本数据，建立设计参数与状态变量的响应关系，从而得到归一化后的灵敏度结果，如图11所示。
图 11 结构参数灵敏度Fig. 11 Sensitivity of structural parameters下载:
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由图11可知，对电磁场而言，气隙高度g对电感值的影响十分显著，气隙的分布会改变铁心电抗器内部磁通磁路分布，从而改变主电感和漏电感大小；铁心半径对电感大小也有一定影响，铁心半径增大，主磁通磁路面积相应增大，导致主电感增大；温度场主要受气道宽度与线圈宽度的影响，其余结构参数对温度场分布也有一定影响；不同结构参数对铁心电抗器振动位移的影响规律较为复杂，气隙高度的影响最为显著。为简化优化过程，采用代理模型技术，构建结构参数与不同物理场之间的响应模型。
3.2.3 代理模型建立
根据不同结构参数下的温度和振动位移仿真结果，得到反应结构参数与电抗器温升及振动位移之间变化关系的代理模型，如图12所示。采用相对误差分析方法对各代理模型进行检验，其误差满足要求。电抗器温度随气道宽度的增加而减小，变化趋势同时受到线圈宽度的影响。电抗器振动位移与气隙高度和铁心直径的响应关系较为复杂，随着铁心直径的增加，振动位移总体呈现先下降后上升的趋势，中间部分的变化较为平缓。
图 12 温升及振动代理模型Fig. 12 Proxy model of temperature rise and vibration下载:
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3.2.4 基于NSGA– Ⅱ的帕累托解集
代理模型揭示了结构参数对性能目标的响应关系，进一步提升了优化算法的寻优空间。为了更清晰地展示损耗与铁心和线圈金属导体质量目标的分布情况，将设计样本与初始值相比较，以比值形式表示：
$$ {k_{\rm{P}}} = \frac{P}{{{P_0}}} \text{，}{k_{\rm{c}}} = \frac{{{m_{{\rm{cu}}}}}}{{{m_{{\rm{cu}}\_0}}}}\text{，} {k_{\rm{f}}} = \frac{{{m_{{\rm{fe}}}}}}{{{m_{{{\rm{fe}}\_0}}}}} $$ (11) 式中，kp、kc、kf分别为损耗变化率、线圈质量变化率和铁心质量变化率，P0、mcu_0、mfe_0分别为初始损耗、线圈质量和铁心质量。
为有效实现电抗器损耗和金属导体用量的多目标优化，选用多目标遗传算法NSGA– Ⅱ对设计参数进行全局优化搜索，权衡计算成本和优化结果的准确性，将种群大小设置为50，将最大迭代次数设置为100。优化后的帕累托前沿结果如图13所示。从图13中可以看出，损耗、铁心质量和线圈质量在3维空间的分布规律复杂，难以通过主观判断从中选取电抗器的最优结构参数样本点。
图 13 优化后的帕累托前沿Fig. 13 Optimized pareto frontier下载:
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4. 优化结果及验证
考虑到电抗器优化目标之间相互矛盾，为了在Pareto前沿中寻找最佳设计方案，采用VIKOR综合决策方法对优化目标进行评价，选取最优方案。
4.1 VIKOR决策
VIKOR决策是一种基于Lp-metric聚合函数的多准则决策方法，用以客观地解决多属性、多指标复杂优化系统的综合决策[29]。VIKOR采用折中思想，通过比较实际方案与最理想方案和最不理想方案的接近程度来择优，实现方案各属性互相让步的折中妥协解。基于VIKOR法的干式铁心电抗器多目标优化决策步骤如下：
1）归一化处理
铁心电抗器各个决策指标之间的量纲不同，为了简化计算过程，方便对比分析决策指标，需要将数据矩阵进行标准化处理，以消除量纲对最终结果的影响，使不同决策指标具有可比性。
2）权重系数计算
指标的权重是指标对于最终目标的贡献程度。本文采用层次分析法确定mfe、mcu、P这3个决策指标的重要程度，对其进行综合考虑得到判断矩阵V。
$$ {\boldsymbol{V}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{1/3} \\ 1&1&{1/3} \\ 3&3&1 \end{array}} \right] $$ (12) 计算判断矩阵V最大特征值对应的特征向量
${\boldsymbol{p}} = ({p_1},{p_2},{p_3})$ ，并将其归一化处理得到的结果作为权重系数。计算过程如式（13）所示：$$ {u_i} = \frac{{{p_i}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{p_i}} }} $$ (13) 式中，i=1、2、3时，ui分别为mfe、mcu、P 3个决策指标的权重系数，经计算，其取值分别为0.2、0.2、0.6。
3）利益比率计算
确定指标的正负理想解，对于成本型指标定义正理想解为指标的最小值，负理想解为指标的最大值。
$$ d_j^ + = min({r_{ij}}) $$ (14) $$ d_j^ - = \max ({r_{ij}}) $$ (15) 式中，rij为归一化后的Pareto解中第i个最优解第j个决策指标的数据，
$ d_j^ + $ 为正理想解，$ d_j^ - $ 为负理想解。按照式（16）和式（17）计算Pareto解的群体效益值Si和最小个体遗憾值Ri。
$$ {S_i} = \sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{u_j}(d_j^ + - {r_{ij}})}}{{(d_j^ + - d_j^ - )}}} $$ (16) $$ {R_i} = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant j \leqslant 5} \left[ {\frac{{{u_j}(d_j^ + - {r_{ij}})}}{{(d_j^ + - {r_{ij}})}}} \right] $$ (17) 式（16）～（17）中，m为Pareto可行解个数，uj为第j个决策指标的权重。
利用式（18）计算Pareto解的利益比率Q，利益比率越小，表明决策指标离正理想解越近，方案越优。
$$ Q = \frac{{v({S_i} - \min ({S_i}))}}{{(\max ({S_i}) - \min ({S_i}))}} + \frac{{(1 - v)({R_i} - \min ({R_i}))}}{{(\max ({R_i}) - \min ({R_i}))}} $$ (18) 式中，v为决策机制系数。本文v取0.5进行决策计算，计算利益比率Q的结果如图14所示。
图 14 利益比率Q值Fig. 14 Q value of benefit ratio下载:
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由图14可知，第119组方案（图中红色五角星）的利益比率Q最小，Q为0.0156，对应的最优方案与优化前的初始结构参数比较见表4。VIKOR法得到的电抗器性能参数与初始值相比，各项指标均有明显改善，优化后的干式铁心电抗器铁心质量与线圈质量分别降低3.0%和16.6%，损耗增加了4.4%，满足设计要求。
表 4 最优结构参数取值Table 4 Optimal value of structural parameters结构参数 Hc/mm d/mm g/mm w1/mm w2/mm w3/mm wb/mm wd/mm we/mm wn/mm wr/mm 初始值 468 12.5 12 15 30 30 135 500 50 70 135.0 最优值 432 13.7 13 15 24 34 123 532 48 62 136.5 4.2 仿真验证
为了验证优化设计的有效性和准确性，根据表4中最优设计变量取值建立干式铁心电抗器3维仿真模型，在保持其他电气参数恒定的条件下，分析比较其温升特性和振动特性，计算结果如图15所示。各性能参数优化结果见表5。
图 15 最优参数下的优化结果Fig. 15 Optimization results under optimal parameters下载:
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由图15可知，电抗器最高温度和最大振动位移分别为94.7 ℃和1.0 μm，与表5中性能参数最优值进行比较，误差满足要求，仿真结果验证了优化设计方法的正确性。
表 5 性能参数优化结果Table 5 Performance parameter optimization results性能参数 P/W mfe/kg mcu/kg T/℃ D/μm 初始值 7582.7 887.2 714.3 102.3 1.2 最优值 7915.2 862.2 595.8 94.5 1.0 5. 结 论
本文以干式铁心电抗器金属导体用量和损耗为优化目标，通过建立磁场–流场–温度场模型和磁场–振动模型，结合优化设计方法，实现了干式铁心电抗器电磁–热–结构多物理场优化，获得了最佳的设计参数，得到以下结论：
1）建立电抗器磁场–流场–温度场和磁场–结构仿真模型，得到了电抗器温升和振动分布特点，可知铁心电抗器热点温度位于中层线圈中上部分，振动位移主要集中在铁心上部。
2）将电抗器多物理场仿真计算和拉丁超立方试验设计相结合，通过灵敏度分析得到电抗器温升主要受气道宽度和铁心气隙高度的影响，振动位移主要受气隙高度和铁心半径的影响。
3）通过多目标优化设计，得到铁心电抗器结构参数可行解，结合VIKOR综合决策方法，获得最优解。优化结果表明：在损耗仅增加4.4%的情况下，铁心和线圈的金属导体质量减少了3.0%和16.6%；同时温升及振动在满足设计要求的基础上分别降低了7.4%和16.7%。多物理场仿真模型的仿真结果验证了上述优化理论和决策方法的正确性。
综上，本文所提的方法可有效提升电抗器性能，为了能更准确地获取电抗器的性能参数，考虑温度、应力等因素对材料磁特性模型影响的数值模拟方法将成为今后的研究方向。
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图 1 干式铁心电抗器3维模型
Fig. 1 Three-dimensional model of dry core reactor
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图 2 网格剖分结果
Fig. 2 Results of mesh generation
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图 3 铁心电抗器磁场分布图
Fig. 3 Magnetic field distribution of core reactor
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图 4 线圈热源随时间的变化
Fig. 4 Change of coil loss with time
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图 5 电抗器温度分布
Fig. 5 Reactor temperature distribution
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图 6 轴向温度分布
Fig. 6 Axial temperature distribution
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图 7 电抗器振动位移分布
Fig. 7 Vibration displacement distribution of reactor
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图 8 优化设计流程
Fig. 8 Flow chart for optimal design
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图 9 铁心电抗器2维对称YOZ面视图
Fig. 9 YOZ plane view of two-dimensional symmetry of core reactor
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图 10 试验设计结果
Fig. 10 Experimental design results
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图 11 结构参数灵敏度
Fig. 11 Sensitivity of structural parameters
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图 12 温升及振动代理模型
Fig. 12 Proxy model of temperature rise and vibration
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图 13 优化后的帕累托前沿
Fig. 13 Optimized pareto frontier
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图 14 利益比率Q值
Fig. 14 Q value of benefit ratio
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图 15 最优参数下的优化结果
Fig. 15 Optimization results under optimal parameters
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表 1 铁心电抗器结构参数
Table 1 Structural parameters of core reactor
结构 参数 值 铁心 铁心直径/mm 270 铁扼高度/mm 135 铁饼高度/mm 50 气隙总高度/mm 96 气隙数 8 心柱截面积/cm2 570 线圈 内层线圈宽度/mm 15 中层线圈宽度/mm 30 外层线圈宽度/mm 30 线圈高度/mm 468 导线截面积/mm2 8.64 表 2 材料属性
Table 2 Material properties
材料 物性参数 取值 气隙材料
（环氧树脂）热导率/(W·m–1·K–1) 0.46 比热容/(W·kg–1·K–1) 550 密度/(kg·m–3) 2 000 杨氏模量/GPa 60 泊松比 0.38 线圈（铜） 热导率/(W·m–1·K–1) 400 比热容/(W·kg–1·K–1) 385 密度/(kg·m–3) 8940 杨氏模量/GPa 350 泊松比 0.35 铁心 热导率/(W·m–1·K–1) 40 比热容/(W·kg–1·K–1) 350 密度/(kg·m–3) 7650 杨氏模量/GPa 300 泊松比 0.30 磁致伸缩系数/ppm 1.474 空气 热导率/(W·m–1·K–1) –0.0023+1.155×10–4T 比热容/(W·kg–1·K–1) 1047.64–0.373T+9.45×10–4T2 密度/(kg·m–3) 3.102–0.009T+8.614×10–6T2 动力黏度/(kg·m–1·s–1) –8.383×10–7+8.36×10–8T 表 3 结构参数及取值范围
Table 3 Structural parameters and value range
结构参数 取值范围 线圈高度Hc/mm 412～508 气道宽度d/mm 10.4～14.2 气隙高度g/mm 10～14 内层线圈宽度w1/mm 12.5～17.5 中层线圈宽度w2/mm 24～36 外层线圈宽度w3/mm 24～36 铁扼高度wb/mm 122～148 铁心中轴线距离wd/mm 480～580 铁饼高度we/mm 48～60 内层线圈到铁心距离wn/mm 60～72 铁心半径wr/mm 116～150 表 4 最优结构参数取值
Table 4 Optimal value of structural parameters
结构参数 Hc/mm d/mm g/mm w1/mm w2/mm w3/mm wb/mm wd/mm we/mm wn/mm wr/mm 初始值 468 12.5 12 15 30 30 135 500 50 70 135.0 最优值 432 13.7 13 15 24 34 123 532 48 62 136.5 表 5 性能参数优化结果
Table 5 Performance parameter optimization results
性能参数 P/W mfe/kg mcu/kg T/℃ D/μm 初始值 7582.7 887.2 714.3 102.3 1.2 最优值 7915.2 862.2 595.8 94.5 1.0 -
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