GIS设备用表带触指电连接结构接触电阻的分形理论计算与分析

 引用本文: 杨为, 朱太云, 任汀, 等. GIS设备用表带触指电连接结构接触电阻的分形理论计算与分析 [J]. 工程科学与技术, 2023, 55(4): 11-20.
YANG Wei, ZHU Taiyun, REN Ting, et al. Calculation and Analysis of the Electrical Contact Resistance of the Strap Contacts Used in GIS Equipment Based on the Fractal Model [J]. Advanced Engineering Sciences, 2023, 55(4): 11-20.
 Citation: YANG Wei, ZHU Taiyun, REN Ting, et al. Calculation and Analysis of the Electrical Contact Resistance of the Strap Contacts Used in GIS Equipment Based on the Fractal Model [J]. Advanced Engineering Sciences, 2023, 55(4): 11-20.

## GIS设备用表带触指电连接结构接触电阻的分形理论计算与分析

• 收稿日期:  2022-08-24
• 网络出版时间:  2023-07-06 10:53:59
• 中图分类号: TM85

## Calculation and Analysis of the Electrical Contact Resistance of the Strap Contacts Used in GIS Equipment Based on the Fractal Model

• 摘要: 电连接结构的接触电阻（electrical contact resistance，ECR）是评价电接触系统可靠性的重要指标。表带触指是环保气体GIS设备中重要的电连接部件，其ECR不仅影响回路总电阻，通流过大导体振动、安装不当等因素也会导致电接触不良，引发触指局部过热，引起绝缘放电等故障，还会关系到环保气体GIS设备的运行稳定性。为研究触指ECR的产生机理和变化规律，采用MATLAB和激光共聚焦显微镜捕捉接触区域灰度图像，获得触指接触区域的名义接触面积Aa和分形维数D；运用分形理论模型，数值计算了表带触指电连接结构的ECR，并通过ECR试验测量，验证了应用分形理论模型解析计算表带触指电连接结构ECR的合理性和准确性；研究了表带触指电接触过程中的弹性变形、第一弹塑性变形、第二弹塑性变形和塑性变形4个阶段，对比分析了不同分形维数对触指电接触实际接触面积的影响规律。研究发现：分形理论模型可用于GIS设备用表带触指的接触电阻理论计算；触指电接触表面形貌越复杂，分形维数越大，触点变形越先进入弹塑性阶段，也越易进入第二弹塑性变形阶段，达到相同承载能力所需实际接触面积也越小。研究成果有助于环保气体GIS电连接结构的优化设计，可为环保气体GIS设备触指电连接结构的多物理场计算和电接触性能的状态评估提供理论基础。

Abstract: Contact resistance of an electrical connection structure (ECR) is an important indicator to evaluate the reliability of the electrical contact system. The strap contact is an important electrical connection component in eco-friendly insulating gas GIS equipment. Its ECR will affect the total resistance of the equipment. Factors such as the excessive current flow, the conductor vibration, and the improper installation can also leads to poor electrical contact, local overheating of the strap contacts, insulation discharge and other failures, which is directly related to the operation stability of environmental protection gas GIS equipment. To study the mechanism and regularity of ECR, MATLAB and laser confocal microscope were used to capture the grayscale image of the contact area in this paper. The nominal contact area Aa and fractal dimension D of the contact area were obtained. Using the fractal theoretical model, the contact resistance of the strap contact was numerically calculated. The rationality and accuracy of applying the fractal theoretical model to analytically calculate the contact resistance of the electrical connection structure was verified through ECR test measurements. Since ECR is closely related to the actual contact area, the elastic deformation, the first elastic-plastic deformation, the second elastic-plastic deformation and the plastic deformation during the electrical contact process of the strap contact were studied. What's more, the effect of different fractal dimensions on the actual contact area of the electrical contact was studied. The research found that the fractal theoretical model can be used for the theoretical calculation of ECR for the strap contact of the GIS equipment. It was obtained that the larger the fractal dimension of the electrical contact surface, the earlier the contact deformation enters the elastic-plastic stage, and the easier it is to enter the second elastic stage. In the plastic deformation stage, the more complex the surface morphology, the smaller the actual contact area required to achieve the same bearing capacity. The research results are helpful for the optimal design of the eco-friendly insulating gas GIS electrical connection structure, and can provide a theoretical basis for the multi-physics calculation of the eco-friendly insulating gas GIS equipment electrical connection structure and the state evaluation of the electrical contact performance.

• “双碳”目标和背景下，环保气体绝缘开关设备GIS发展前景广阔[1]。GIS设备载流导体长径比大，金属外壳与载流导体膨胀收缩产生相对位移差，通常采用插接式滑动触头进行补偿，故而电接触部件成为电连接结构的关键部件。然而，GIS设备运行条件复杂苛刻，且随着中国特高压输电技术的不断发展，一次设备的运行电流大幅增加，触指电连接结构成为影响电力设备安全可靠运行的关键环节和薄弱部位[2-4]

GIS中心载流导体分段处常采用弹簧、表带和梅花等类型的触指电连接结构。表带触指多圈同向安装在公头外侧或母头内壁上，触指叶片之间靠不锈钢龙骨连接并保持一定间距。表带触指能够在一定范围接触压力条件下保持良好的机械和电接触性能。GIS设备的公头与母头会因膨胀收缩产生周期往复运动[2]；同时，GIS导体会因电磁力作用发生振动，引起各个触指叶片通流不均匀，严重时将引发局部过热和电接触故障。近年来，GIS设备中大量使用的触指电连接结构因电接触区的性能劣化导致的事故时有发生，严重威胁了电网的安全稳定运行（图1）。因此，电连接结构的可靠性至关重要，其中，接触电阻是评价此可靠性的一项重要指标。

图  1  GIS设备用触指电连接结构故障现场
Fig.  1  Fault scene of the electrical connection structure of the contact finger for GIS equipment

接触电阻源于不规则触指表面与导电杆的接触面之间通电后产生的导电斑点[5]。当电连接结构通流，电流流过触指表面众多尺寸较小的导电斑点时，发生大幅收缩，产生收缩电阻[5]。除此之外，触指与导体的显微表面凹凸不平，接触面是众多导电斑点构成的集合，并非理想平面接触，故触指电连接结构的实际接触面积与名义接触面积有所不同，其实际接触面积与触指和导体表面的粗糙度、接触压力载荷等因素相关[5]

由于导电斑点微观结构不规则，经典数学难以表征，随着非线性科学的发展，分形理论被应用于微观层面，可用于建立更为精准的粗糙表面接触模型[6-8]。Mandelbrot于1975年描述了分形几何，后续建立了分形理论用以研究分形特征和应用[9]。Majumdar等[10-11]开发了一种新的各向同性粗糙表面之间的电接触理论模型，发现接触面积小于临界接触面积的所有接触点都是塑性接触；当接触载荷增加时，这些塑性变形点会连接到一起而形成弹性接触，但所用分形粗糙参数与尺度无关。杨红平等[12]基于分形理论，表征了粗糙微凸体表面，计算获得了微凸体在不同塑性指数下的接触刚度和接触载荷间的关系。Liou等[13]建立了球体和圆柱体表面微凸体的分形参数模型，推导了弹性、弹塑性和塑性变形3个阶段的尺寸分布函数，得到接触微凸体弹性、弹塑性和完全塑性的变形机制与经典（统计）理论描述一致，在各种情况下预测的接触载荷和实际接触面积结果与使用统计方法获得的结果非常吻合。

综上所述，国内外研究学者针对接触电阻计算的分形理论模型开展了大量工作，为分形理论模型在电接触领域的应用奠定了坚实的基础[14]。然而，有关实际GIS设备用表带触指接触电阻的理论计算报道较少。本文基于分形理论模型，运用MATLAB识别触指接触区域灰度图像，获得了表带触指接触面的分形维数D，试验对比分析了分形理论应用于接触电阻理论计算的合理性，并研究了不同分形维数D对表带触指电接触面实际接触面积和变形状态的影响。研究成果有助于环保气体GIS电连接结构的优化设计，可为环保气体GIS设备触指电连接结构的多物理场计算和电接触性能的状态评估提供理论基础。

粗糙面表面轮廓曲线测试表明粗糙面具有复杂而精细的结构，经典的几何语言很难描述其局部和整体。分形理论通过定义分形维数D提供了一种描述表面粗糙度的方法，相比较统计方法，其对粗糙表面进行表征和建模的准确性较好。分形维数D表示图形的维数，其计算公式为：

 $$D = - \frac{{\lg \;{{N}}}}{{\lg\; {{\varepsilon }}}}$$ (1)

式中，N表示各个区域的像素数量，ε表示计算区域和原图的相对大小。

针对粗糙表面的研究，分形维数的计算方法众多，其中以均方根和结构函数法较为常见，后者计算精度高[9]

然而，表带触指的接触区域十分不规则，形状类似圆柱面，通过计算式（1）无法表征触指触点的真实形貌，因此，通过结合图像识别技术，获取更接近真实形貌的分形维数D。但结构完全不同的表面也有可能具有相近甚至相同的分形维数D，说明仅用分形维数D无法唯一确定表面。Majumdar等[15]运用结构参数G表示粗糙表面的特征尺度参数，以进一步完善对表面微观形貌的描述。在获取分形维数D和结构参数G的基础上，Kogut等[16]提出一种接触电阻计算的综合理论，获得了已知材料特性和各向同性，均匀导电表面的接触电阻与接触载荷和接触面积之间的关系，为计算触指静态接触电阻提供了重要的理论依据。

实际触指电连接结构是触指粗糙表面和公头/母头导体粗糙表面之间的电接触，为简化计算，可将两个粗糙表面的接触等效为一个刚性的光滑平面接触与一个粗糙平面接触[17]。M–B分形接触模型[18]给出了在分形粗糙表面接触理想的刚性平面时，微凸体接触面积的分布密度函数为：

 $$n(a) = \frac{D}{2}{\varphi ^{(2 - D)/2}}{a_1}^{D/2}{a^{ - (D + 2)/2}}$$ (2)

实际接触面积Ar为：

 $${\qquad\quad Ar = \int_0^{{a_1}} {n(a)} a{\text{d}}a = \frac{D}{{2 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}{a_1}}$$ (3)

式（2）～（3）中，a为接触面积，al为微凸体接触面积最大值，ϕ为分形区域扩展系数。在已知分形维数的情况下，分形区域扩展系数ϕ可通过方程（4）计算求得[10]

 $${\qquad \frac{{{\varphi ^{(2 - D)/2}} - {{(1 + {\varphi ^{ - D/2}})}^{ - (2 - D)/D}}}}{{(2 - {D} )/D}} = 1}$$ (4)

微凸体结构的变形方式可分为3个阶段：弹性阶段、弹塑性阶段和完全塑性变形阶段。图2为单个微凸体在承载接触压力前后的变形轮廓示意图。图2中，l为微凸体底部的尺寸（基底长度），l′为微凸体变形量为ω时变形后微凸体与初始未变形微时凸体交点间的长度，lr为微凸体变形量为ω时与刚性平面的实际接触长度。

图  2  承载接触压力前后微凸体轮廓示意图
Fig.  2  Schematic diagram of asperity profile before and after bearing contact pressure

电连接结构的表面均进行过机加工，表面形貌精细到原子尺度仍具有精细的自相似结构。分形几何学的Weierstrass–Mandelbrot分形函数（简称W–M函数）满足粗糙表面自仿射性及其他相关数学特性，因此可以利用2维W–M函数表达某一具体的粗糙表面轮廓，数学模型如式（5）所示[9]

 $${\qquad\quad {\textit{z}}(x) = {G^{D - 1}}{l^{2 - D}}{\text{cos}}\;\frac{{{\text{π}}x}}{l}, - \frac{l}{2} \lt x \lt \frac{l}{2} }$$ (5)

根据式（5）可推导出微凸体顶端曲率半径β为：

 $$\beta = {\left| {\frac{{{{(1 + {{{\textit{z}}'}^2})}^{3/2}}}}{{{\textit{z}}''}}} \right|_{x = 0}} = \frac{{{l^D}}}{{{{\text{π}}^2}{G^{D - 1}}}}$$ (6)

微凸体的高度为：

 $$\delta = {\textit{z}}(0) = {G^{D - 1}}{l^{2 - D}}$$ (7)

微凸体的实际变形量为：

 $${\qquad\quad \omega = \delta - {\textit{z}}\left(\frac{{l'}}{2}\right) = {G^{D - 1}}{l^{2 - D}}\left[ {1 - \cos \left(\frac{{{\text{π}}l'}}{{2l}}\right)} \right] }$$ (8)
##### 1.3.1   弹性变形阶段

当微凸体承载压力较小，根据Herz弹性接触理论[19]，微凸体的最大接触压力P0为：

 $${P_0} = \frac{{2E}}{{\text{π}} }{\left( {\frac{\delta }{\beta }} \right)^{\frac{1}{2}}}$$ (9)

式中，E为等效弹性模量，与电连接两个接触体材料的弹性模量和泊松比有关。由Herz理论还可得到微凸体发生弹性变形时，实际接触面积a为：

 $$a = {\text{π}}\beta \omega$$ (10)

接触载荷F为：

 $$F = \frac{4}{3}E{\beta ^{\frac{1}{2}}}{\omega ^{\frac{3}{2}}}$$ (11)

根据文献[15]，半径为β的微凸体与光滑刚性平面接触，临界弹性接触变形量为：

 $${\omega _{{\text{ec}}}} = {\left( {\frac{{{\text{π}}{K}\theta }}{2}} \right)^2}\beta$$ (12)

式中：θ为衡量微凸体变形能力的参数， $\theta = H/E$ H为较软材料的硬度；K为材料的磨损系数，K=2.8。

将式（6）和（12）代入式（10）中可以得到微凸体临界弹性接触面积为：

 $${\alpha _{{\text{ec}}}} = \frac{1}{{\text{π }}}{\left( {\frac{{{ K}\theta }}{2}} \right)^2}{\left( {\frac{{{l^D}}}{{{G^{D - 1}}}}} \right)^2}$$ (13)

将式（6）、（11）和（13）结合，可以得到当单个微凸体发生弹性变形时（临界弹性变形也适用），接触载荷F与接触面积a之间的关系为：

 $$F = \frac{{4{E}{{\text{π}}^{1/2}}{G^{D - 1}}}}{{3{l^D}}}{a^{3/2}}$$ (14)
##### 1.3.2   弹塑性变形阶段

Kogut等[16]仿真计算了不同分形维数D和结构参数G时粗糙表面的接触电阻，得到微凸体第一弹塑性变形区为 ${\omega _{{\text{ec}}}} \lt \omega \leq 6{\omega _{{\text{ec}}}}$ ，第二弹塑性变形区为 $6{\omega _{{\text{ec}}}} \lt \omega \leq 110{\omega _{{\text{ec}}}}$ ；在这两个区域形成的关键临界接触面积分别为：

 $${\qquad {a _{{\text{epc}}}} = 0.93{\text{π}}\beta {\omega _{{\text{ec}}}}{\left( {\frac{{6{\omega _{{\text{ec}}}}}}{{{\omega _{{\text{ec}}}}}}} \right)^{1.136}} = {7.119\;7}{a _{{\text{ec}}}} }$$ (15)
 $${\quad {{{a}}_{{{\rm{pc}}} }} = 0.94{\text{π}} \beta {\omega _{{{\rm{ec}}} }}{\left( {\frac{{110{\omega _{{{\rm{ec}}} }}}}{{{\omega _{{\rm{ec}}}}}}} \right)^{1.146}} = {205.382\;7}{{{a}}_{{{\rm{ec}}} }} }$$ (16)

式中，aepcapc分别为第一弹塑性、第二弹塑性的临界接触面积。

##### 1.3.3   完全塑性变形阶段

当微凸体的实际变形量大于110 ${\omega _{{\rm{ec}}}}$ 时，微凸体发生完全塑性变形，接触载荷F与面积a之间的关系为：

 $${{F}} = {{H}}a$$ (17)

此时，接触面积为：

 $${{a}} = 2{\text{π}} \beta \omega$$ (18)

分析第1.3节可知，触指粗糙表面和电极之间的接触载荷与实际接触面积分别是所有微凸体接触载荷之和与接触面积之和，而根据微凸体尺寸和承受载荷的不同，微凸体的变形分为弹性变形、第一弹塑性变形、第二弹塑性变形和完全塑性变形。因此，实际接触面积是以上变形接触面积的总和。当实际接触面积处于相应区间范围内时，即可唯一求得此时的实际接触面积和接触载荷。实际接触面积的计算方法为：

 $$A{{r}} = {A_{{\rm{re}}}} + {A_{{\rm{rep1}}}} + {A_{{\rm{rep2}}}} + {A_{{\rm{rp}}}}$$ (19)
 $${A_{{\rm{re}}}} = \int_0^{{{{a}}_{{\rm{ec}}}}} {n(a)} a{\rm{d}}a = \frac{D}{{2 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}{a_{{\rm{ec}}}}^{(2 - D)/2}{a_1^{D/2}}$$ (20)
 \begin{aligned}[b] {A_{{\rm{rep1}}}} =& \int_{{a_{{\rm{ec}}}}}^{{{{a}}_{{\rm{epc}}}}} {n(a)} a{\rm{d}}a = \frac{D}{{2 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}[{a_{{\rm{epc}}}^{(2 - D)/2}} -\\& {a_{{\rm{ec}}}^{(2 - D)/2}}]{a_1^{D/2} }\end{aligned} (21)
 \begin{aligned}[b] {A_{{\rm{rep2}}}} =& \int_{{a_{{\rm{epc}}}}}^{{{{a}}_{{\rm{pc}}}}} {n(a)} a{\rm{d}}a = \frac{D}{{2 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}[{a_{{\rm{pc}}}^{(2 - D)/2}} - \\& {a_{{\rm{epc}}}^{(2 - D)/2}}]{a_1^{D/2}} \end{aligned} (22)
 \begin{aligned}[b] {A_{{\rm{rp}}}} =& \int_{{a_{{\rm{pc}}}}}^{{{{a}}_1}} {n(a)} a{\rm{d}}a = \frac{D}{{2 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}[{a_1^{(2 - D)/2}} - \\& {a_{{\rm{pc}}}^{(2 - D)/2}}]{a^{D/2}} \\ \end{aligned} (23)

式中，Are为弹性变形接触面积，Arep1为第一弹塑性变形接触面积，Arep2为第二弹塑性变形接触面积，Arp为完全塑性变形接触面积。

实际接触载荷Fr的计算方法为：

 $${\qquad\quad F{{r}} = {F_{{\rm{re}}}} + {F_{{\rm{rep1}}}} + {F_{{\rm{rep2}}}} + {F_{{\rm{rp}}}} }$$ (24)

式中，Fre为弹性变形接触载荷，Frep1为第一弹塑性变形接触载荷，Frep2为第二弹塑性变形接触载荷，Frp为完全塑性变形接触载荷。

需要说明的是，由于微凸体基底长度l随着接触面积变化而变化，即对于不同的微凸体，基底长度l不同，且基底长度l与接触面积之间的关系并非已知线性关系，接触微凸体总基底长度的积分无法计算。

为了解决上述难题，令临界弹性接触面积等于M–B分形接触模型[17]给出的临界接触面积 ${{{G}}^{{2}}}/(K\varphi / 2)^{2/(D - 1)}$ ，可求得临界基底长度lec。这样一来，在计算所有弹性接触微凸体的接触载荷时，将基底长度视为常数lec，此时的临界基底长度相当于一个基准值描述所有微凸体，只是不同尺寸的微凸体的基底长度与临界基底长度相差某一个倍数λ，在计算基底长度积分时，可以等效为λlec的积分。通过计算发现，λ的取值只影响载荷数量级，并不影响载荷变化趋势，此时，只需要辅以试验确定λ的取值，就能求解出实际接触面积和载荷之间的关系：

 \begin{aligned}[b] {F_{{\rm{re}}}} =& \int_0^{{{{a}}_{{\rm{ec}}}}} {Fn(a)} a{\rm{d}}a = \frac{D}{{3 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}\frac{{4E{{\text{π}} ^{1/2}}{G^{D - 1}}}}{{3{{{l}}^D}}} \times \\& {a_{{\rm{ec}}}^{(3 - D)/2}}{a_1^{D/2}}\\[-10pt] \end{aligned} (25)
 \begin{aligned}[b] {F_{{\rm{rep1}}}} =& \int_{{a_{{\rm{ec}}}}}^{{{{a}}_{{\rm{epc}}}}} {Fn(a)} {\rm{d}}a = \frac{D}{3}KH{\varphi ^{(2 - D)/2}} \times \frac{{{{1.281\;6}}{a_{{\rm{ec}}}}^{ - {{0.254\;4}}}}}{{1.425 - 0.568D}} \times \\& \left( {{a_{{\rm{epc}}}^{{{1.254\;4}}} - 0.5D} - {a_{{\rm{ec}}}^{{{1.254\;4}}} - 0.5D}} \right){a_1^{D/2}} \\[-10pt]\end{aligned} (26)
 \begin{aligned}[b] {F_{{\rm{rep1}}}} =& \int_{{a_{{\rm{epc}}}}}^{{{{a}}_{{\rm{pc}}}}} {Fn(a)} {\rm{d}}a = \frac{D}{3}KH{\varphi ^{(2 - D)/2}} \times \\& \frac{{1.717{a_{{\rm{ec}}}^{ - {{0.102\;1}}}}}}{{1.263 - 0.573D}}\left[ {{a_{{\rm{pc}}}^{{{1.102\;1}} - 0.5D}} - {a_{{\rm{epc}}}^{{{1.102\;1}}} - 0.5D}} \right]{a_1^{D/2}} \end{aligned} (27)
 \begin{aligned}[b] {F_{{\rm{rp}}}} =& \int_{{a_{{\rm{pc}}}}}^{{{{a}}_1}} {Fn(a)} {\rm{d}}a = H\frac{D}{{2 - D}}{\varphi ^{(2 - D)/2}}[{a_1^{(2 - D)/2}} - \\& {a_{{\rm{pc}}}^{(2 - D)/2}}]{a_1^{D/2}} \end{aligned} (28)

为消除量纲影响，将式（25）～（28）进行归一化处理，两边同时除以EAa。则有： ${{{l}}^*} = \dfrac{{{{{l}}_{\max }}}}{{\sqrt {Aa} }}$ ${{{l}}_{\max }}$ 为最大微凸体尺寸； $A{r^*} = \dfrac{{A{{r}}}}{{Aa}}$ ${{{a}}_{{\rm{ec}}}^*} = \dfrac{{{{{a}}_{{\rm{ec}}}}}}{{A{{a}}}}$

因此，当材料属性θ、分形维数D、结构参数G保持不变时，统一量纲后的接触载荷是最大接触面积和实际接触面积的函数。对以上不同变形阶段接触载荷加和，即可得到电接触表面总接触载荷与实际接触面积的函数表达式：

 \begin{aligned}[b] F{{r}}^{*}=&\frac{4{{\text{π}} }^{1/2}{G}^{*(D-1)}}{3{l}^{*D}}{g}_{1}(D){a}_{{\rm{ec}}}^{*(3-D)/2}A{{r}}^{*D/2}+\frac{D}{3}K\theta {g}_{2}(D)\times \\& \frac{{1.281\;6}{a}_{{\rm{ec}}}^{*-{0.254\;4}}}{1.425-0.568D}\times [({{7.119\;7}}{a}_{{\rm{ec}}}^{*})^{({1.254\;4}-0.5D)}]-\\& -{a}_{{\rm{ec}}}^{*(1.254\;4-0.5D)} \times A{{r}}^{*D/2} + \frac{D}{3}K\theta {g}_{2}(D)\frac{1.717{a}_{{\rm{ec}}}^{*-{0.102\;1}}}{1.263-0.573D} \times\\& [({{205.382\;7{a}_{{\rm{ec}}}^{*}}})^{(1.102\;1-0.5D)}- ({{7.119\;7{a}_{{\rm{ec}}}^{*}}})^{(1.102\;1-0.5D)}]\cdot\\& A{{r}}^{*D/2}+\frac{\theta }{{g}_{3}(D)}[{g}_{3}(D)A{r}^{*(2-D)/2}-\\& ({{205.382\;7{a}_{{\rm{ec}}}^{*}}})^{(2-D)/2}]A{{r}}^{*D/2}{,}\;1 \lt D \lt 2\\[-10pt] \end{aligned} (29)

式中， ${{{g}}_1}({{D}}) = \dfrac{{{D}}}{{3 - D}}{\left( {\dfrac{{2 - D}}{D}} \right)^{D/2}}{\varphi ^{{{\frac{{(D - 2)}}{4}}^2}}}$ ${{{g}}_2}({{D}}) = {\left( {\dfrac{{2 - D}}{D}} \right)^{{D}/{2}}}\cdot {\varphi ^{\frac{{{{(D - 2)}^2}}}{4}}}$ ${{{g}}_3}({{D}}) = {\left( {\dfrac{{2 - D}}{D}} \right)^{{D}/{2}}}{\varphi ^{\frac{{ - {{(D - 2)}^2}}}{4}}}$

综上，结合分形理论及经验公式推导得到了接触载荷Fr、实际接触面积Ar的内在关系。由于施加载荷P和接触载荷Fr相等，因此，通过与式（29）形成无量纲等式，可以求解触指电接触面各个变形阶段的接触载荷，最终实现接触电阻的理论计算。结合Holm接触电阻计算经验公式[6]，推导出分形模型计算接触电阻的公式如下：

 $${R_{{\rm{ce}}}} = \frac{\rho }{{2\sqrt {{A_{{\rm{re}}}}/{\text{π}} } }} = \frac{{\rho \sqrt {(2 - D){\text{π}} } }}{{2\sqrt {D{a_{\rm{l}}^{D/2}}{a_{{\rm{ec}}}^{(1 - D/2)}}{\varphi ^{(1 - D/2)}}} }}$$ (30)
 $${R_{{\rm{cep1}}}} = \frac{{\rho \sqrt {(2 - D){\text{π}} } }}{{2\sqrt {D{a_{\rm{l}}^{D/2}}\left({{{a}}_{{\rm{epc}}}^{(1 - D/2)}} - {a_{{\rm{ec}}}^{(1 - D/2)}}\right){\varphi ^{(1 - D/2)}}} }}$$ (31)
 $${R_{{\rm{cep2}}}} = \frac{{\rho \sqrt {(2 - D){\text{π}} } }}{{2\sqrt {D{a_{\rm{l}}^{D/2}}\left({{{a}}_{{\rm{pc}}}^{(1 - D/2)}} - {a_{{\rm{epc}}}^{(1 - D/2)}}\right){\varphi ^{(1 - D/2)}}} }}$$ (32)
 $${R_{{\rm{cp}}}} = \frac{{\rho \sqrt {(2 - D){\text{π}} } }}{{2\sqrt {D{a_{\rm{l}}^{D/2}}\left({{{a}}_{{{\rm{l}}}}^{(1 - D/2)}} - {a_{{\rm{pc}}}^{(1 - D/2)}}\right){\varphi ^{(1 - D/2)}}} }}$$ (33)
 $$R_{{{\rm{c}}}} = \frac{1}{{1/{R_{{\rm{ce}}}} + 1/{R_{{{\rm{cep}}} 1}} + 1/{R_{{\rm{cep2}}}} + 1/{R_{{\rm{cp}}}}}}$$ (34)

式中，Rce为弹性变形产生的接触电阻，Rcep1为第一弹塑性变形产生的接触电阻，Rcep2为第二弹塑性变形产生的接触电阻，Rcp为完全塑性变形产生的接触电阻，Rc为总接触电阻。

由上述计算过程可知，接触面参数不变时，接触载荷直接决定了电接触面的变形区域及接触面积的大小，且二者存在一一对应关系。由此设计并开展了GIS设备用表带触指触点区域的微观形貌参数测量，为表带触指电连接结构接触电阻的理论计算提供基础参数。

试验对象为GIS设备用LA-CUD型表带触指，材料为铍铜表面镀银，镀层厚20 μm[20]图3为激光共聚焦显微镜（型号为奥林巴斯LEXT OLS4100）拍摄得到的接触区域3维实拍图与高度图。其中，图3（a）为触指实物照片和触点放大图，图3（b）为激光共聚焦显微镜自带软件对扫描结果分析得到的高度和轴测图。

图  3  表带触指实物和接触区域3维实拍图
Fig.  3  3D real images of the physical object and contact area

图3（a）可知：接触过程中，触点高度越高，表面越平滑，在灰度图像中更接近白色；当表面出现凹坑或斜坡时，在灰度图像中就更接近黑色，因此可以根据灰度图像获取接触区域的分形维数D。由图3（b）可知，触点接触前后均为不规则表面，整个接触区域存在22 μm的高度差，并且测得单片触指接触区域的投影面积约为1.3×10–7 m2。由于现有手段难以获得准确的名义接触面积，且投影面积与名义接触面积数量级相近，故将投影面积近似为名义接触面积Aa

分形维数D的获取步骤如下：

1）运用激光共聚焦显微镜自带软件对扫描结果进行分析，获得实拍、彩色、灰度图像；

2）截取256×256像素的灰度图像，运用MATLAB软件对图像进行识别，绘制对应的3维立体图；

3）运用差分盒子法计算分形维数D

差分盒子法的原理是将一幅大小为M×N的图像分为大小相等的若干k×k子块[8]，图像(x,y)处的灰度值为f(x,y)，总的灰度级为Q。此时，将图像视为3维物体的表面灰度集(x,yf(x,y))；XY平面上是k×k的网格，每个网格上有若干个盒子叠加，盒子高度h=(Q–1)×k/min(M, N)。若在第(i, j)个网格中，第m个盒子中所包含网格内的灰度为最小值，第l个盒子中所包含网格内的灰度为最大值，则覆盖第(i, j)个网格的盒子数nr(i, j)=lm+1，覆盖全部网格的盒子数Nr= $\displaystyle\sum$ nr(i, j)。可求得分形维数为：

 $$D = \lim \frac{{\lg\; {N_r}}}{{\lg (1/{{r}})}}$$ (35)

式中，r=k/min(M, N)。通过改变网格k的大小计算1组Nr，对lg(1/r)和lg Nr进行线性回归，其斜率即分形维数D

根据接触区域多个位置的灰度图像获取分形维数D，取平均值后得到本文研究对象表带触指接触区域分形维数D=1.5。

表带触指接触电阻测量系统示意图和实物图分别如图45所示。测量系统主要由表带触指、上下极板、压力加载装置和直流低电阻测量装置组成。在下极板开槽，将表带触指放入槽内，分别与上下极板电接触，触指与触指之间并联连接。

图  4  接触电阻测量系统示意图
Fig.  4  Schematic diagram of contact resistance measurement system
图  5  接触电阻测量系统实物
Fig.  5  Physical of contact resistance measurement system

压力加载系统是指在表带触指和电极之间施加正压力的系统，其加载器采用气缸结构，可通过上支撑杆对上电极施加最大值为800 N的正压力。上支撑杆与上电极采用滚动轴承活动连接，可保证上电极在往复运动的过程中受到均匀向下的正压力。压力传感器串联在上支撑杆和上电极之间，可对正压力的变化进行实时测量。由于接触电阻为微欧级别，选取QJ36S-2直流低电阻测试仪进行测量。整个系统放置在一个可封闭的不锈钢腔体中。具体试验步骤为：

1）将下电极安装在基座中，拧紧螺丝完全固定，将2×10片表带触指安装在卡槽中，上电极安装在水平作动杆上，电子水平仪保证水平。

2）将热电偶布置在上下电极槽内，测量位置靠近触指触点。

3）打开气缸，调节上支撑杆，调整压力传感器显示数值为20 N。

4）关闭不锈钢腔门，抽真空后向罐体内注入表压为0的氮气作为保护气，避免因金属电极发热而加速接触区域氧化。

5）打开直流低电阻测试仪电源，将正负极短接，预热15 min。

6）预热完成后，将正负极连接在接线端子上，待示数稳定后记录电阻值。

7）改变载荷从20 N逐级升高至220 N，间隔为10 N，即平均到每片触指载荷的变化范围为1至11 N，间隔为0.5 N。每次升高正压力后间隔30 min测量1次数据。

试验测得的电阻值为上电极体电阻、下电极体电阻、表带触指体电阻和总接触电阻之和。由于表带触指体电阻可忽略不计[21]，因此，将测得的总电阻减去上、下电极的体电阻，即可得到总的接触电阻。

触指接触电阻测量对精度要求高，测量过程中的误差来源有3个方面：一是螺栓和电极连接接触面的接触电阻，这是无法避免但可以被抵消的；二是直流低电阻测试仪自身的系统误差；三是通流后，接触电阻随接触面温度升高而变化。为消除以上误差，首先，利用相同的接线装置测量上、下电极的体电阻，两者相减后测量误差和毫伏表的系统误差也被减去，从而避免结果的分散性。其次，每次试验前保证直流低电阻测试仪充分预热，测量过程间隔保证一致。

但是，在电接触理论中，触点的温升难以通过试验测量，为消除温度误差，通常采用VT关系计算触点的温升[22]。Konchits等[23]建立了电接触中的VT关系，在电–热平衡且与周围环境电绝缘和热隔离的情况下，该关系对于同类材料的任意形状电接触皆有效：

 $${T_3}{\text{ = }}\sqrt {\frac{{{U_{\text{c}}^2}}}{{4L}} + {T_1^2}}$$ (36)

式中：Uc为接触电势；T1为基体温度；L为Wiedemann-Franz常数，其值为2.44×10–8 V2/K2T3为触点温度。

通过计算得到触点相比表带触指基体温度升高了0.22 ℃，结合热电偶测量基体温度校正之前相减得到的接触电阻，可得到最终的接触电阻测量值。

表带触指材料为铜基表面镀银，电极材料为铝合金，理论计算时基于接触材料特性设置两个接触表面的相关参数，见表1

表  1  分形数值计算用粗糙表面参数
Table  1  Rough surface parameters required by fractal calculation
 接触面 材料 弹性 模量 E/GPa 泊松 比ν 电阻率 ρ/(Ω·m) 屈服强 度/MPa 分形维 数D 特征尺 度G/m 名义接 触面积 Aa/m2 铍铜 128 0.34 1.71×10–8 140 1.5 1×10–7[21] 1.3×10–7 铝合金 72 0.35 2.73×10–8 310 银 73 0.38 1.59×10–8 35

由于单片触指额定载荷约为5 N[20]，因此设定载荷为1～10 N。采用本文分形理论模型数值计算得到了一组不同载荷下单片触指的接触电阻Rc，并将第2节试验测量的表带触指接触电阻与之对比，结果如图6所示。

图  6  单片触指ECR分形计算和试验测量结果
Fig.  6  Single-piece ECR fractal calculation and test measurement results

工程实际中，表带触指单片合适压力为2.5～5.0 N之间，当单片压力为5 N时，触指额定ECR为320 μΩ[20]。由于测量误差等原因，试验得到的触指ECR为355 μΩ，相对误差11%，表明表带触指电连接结构的接触电阻试验测量结果合理。

图6（a）可知，试验测量和分形模型计算得到的表带触指ECR变化趋势相近，分形理论模型计算结果整体高于试验测量值。当所受载荷为1～10 N时，分形理论模型计算得到表带触指电接触区域处于第一弹塑性变形阶段，接触电阻由弹性和弹塑性变形两个阶段组成。当单片触指载荷为1～3 N时，整体接触电阻偏高，之后随着载荷增大，接触面积增加，接触电阻缓慢减小，变化趋势与触指接触电阻试验测量结果基本一致。

图6（b）可知，分形理论计算结果相对误差约为20%。当载荷为1～3 N时，相对误差较小，约为10%；随着载荷从4 N增大至10 N，由于试验过程中表带触指发生了偏转，导致接触面积增大，ECR减小，因此相对误差略微增大，在10%～20%之间波动。综上可知，接触电阻试验结果验证了分形理论模型数值计算单片表带触指不同压力下接触电阻的合理性，可为触指电连接结构的电磁–热–流体场的仿真计算提供理论基础。

从式（30）～（33）可以看出，接触电阻与实际接触面积Ar*有关，Ar*=Ar/Aa。为了探究不同表带触指表面微观形貌、接触载荷对接触电阻和实际接触面积Ar*的影响规律，通过改变触指表面分形维数D和载荷范围，获得了弹性变形、第一弹塑性变形两个阶段电接触量纲为1的实际接触面积Ar*与载荷Fr*的关系，如图7所示。

图  7  量纲为1的载荷与实际接触面积的关系
Fig.  7  Relationship between the load and the actual contact area with dimension one

图7（a）可以看出：当载荷较小时，触指表面微凸体只发生弹性变形，Fr*Ar*成正比。由于弹性变形属于可恢复的初始阶段，微小的载荷变化将导致接触面积出现较大波动。不同分形维数下实际接触面积的变化趋势相近，因此随着D增大，实际接触面积指数级增大，数值差异较大。

图7（b）可以看出：分形维数D相同时， Fr*Ar*之间近似呈线性关系，斜率有小幅度改变；随着分形维数D的增大，Fr*Ar*的直线坡度也随之增大，且增大幅度也随之增大。这是由于：D越大，粗糙表面微观形态越复杂，单位面积上的微凸体数量越多，在实际接触面积同样的情况下，粗糙面微凸体承载的接触压力减小，变形量减小，单个微凸体的承载力增加。

图8为当分形维数D不同，仅改变载荷P的大小时，弹性变形接触面积在实际接触面积中的占比Are/Ar与量纲为1的实际接触面积Ar/Aa间的关系。由图（8）可知：在载荷逐渐增加，接触面积逐渐增大的过程中，触指电接触粗糙表面的接触从最初的弹性阶段过渡到弹塑性变形阶段。当实际接触面积Ar/Aa相同时，分形维数D越大，Are/Ar越大。这是因为分形维数D表示表面复杂程度，D越大则相同面积下微凸体越多，其抵抗变形的能力就越强，弹性面积在实际接触面积中的占比就越大。当分形维数D相同时，随着实际接触面积Ar/Aa增大，弹塑性由临界点开始进入，此时Are/Ar从第一个临界点开始减小。

图  8  弹性面积占比与实际接触面积的关系
Fig.  8  Relationship between the percentage of elastic area and the actual contact area

表2给出了不同分形维数下，电接触从弹性变形过渡到第一弹塑性变形和从第一弹塑性变形过渡到第二弹塑性变形阶段弹性面积占比变化时的实际接触面积。由于分形维数衡量的是粗糙表面的微观结构复杂程度[24]，由每一次弹性面积占比变化的临界点可以看出，触点的分形维数越大，变形越先进入弹塑性阶段，同理也容易进入第二弹塑性变形阶段。即：分形维数越大，在实际接触面积较小时，就从弹性变形过渡到第一弹塑性变形阶段，或是从第一弹塑性变形过渡到第二弹塑性变形阶段。

表  2  不同分形维数下弹性面积占比变化时的实际接触面积（量纲为1）
Table  2  Actual contact area with dimension one when the percentage of elasticarea changes under different fractal dimensions
 分形维数 弹性到第一弹 塑性变形阶段 第一弹塑性到第二 弹塑性变形阶段 1.3 1.2×10–11 — 1.5 1.4×10–14 0.200 1.7 8.0×10–15 0.008 1.9 1.2×10–15 0.007

通过以上分析发现，触指表面微观形貌越复杂，达到相同承载能力所需的实际接触面积就越小。实际工况下，由于接触压力的变化，触点后一个阶段的变形会影响前一个阶段的变形[25-26]，通过微观观测很难辨别不同的形变位置，故可以根据表2推测当下接触状态是哪几个形变阶段的叠加。

将表带触指电连接结构的接触电阻计算和分形理论模型相结合，提出表带触指接触电阻理论研究思路，适用于不同型号与尺寸的触指结构，可为环保气体GIS设备电连接结构的设计和运维提供新的途径和方法，为揭示接触电阻变化趋势和实际运行条件之间的关系提供理论支持。主要结论如下：

1）利用激光共聚焦显微镜捕捉触指接触区域灰度图像，获得了名义接触面积Aa；并运用MATLAB和差分盒子法原理，得到了表带触指接触区域的分形维数D

2）自主设计了一套表带触指ECR测量装置，得到了与厂家提供标准值误差为11%的ECR测量值。对比发现，采用分形理论计算结果略高于试验值，当法向压力为1～3 N时，相对误差为10%，最大误差不超过20%。

3）对比分析了分形维数D一定时，电连接结构接触载荷Fr*和实际接触面积Ar*之间的关系。表带触指在发生弹性变形时Fr*Ar*呈正相关，发生第一弹塑性变形时Fr*Ar*呈线性正比关系。

4）接触区域的分形维数D越大，触点变形越先进入弹塑性阶段，达到相同承载能力所需实际接触面积越小。

• 图  1   GIS设备用触指电连接结构故障现场

Fig.  1   Fault scene of the electrical connection structure of the contact finger for GIS equipment

图  2   承载接触压力前后微凸体轮廓示意图

Fig.  2   Schematic diagram of asperity profile before and after bearing contact pressure

图  3   表带触指实物和接触区域3维实拍图

Fig.  3   3D real images of the physical object and contact area

图  4   接触电阻测量系统示意图

Fig.  4   Schematic diagram of contact resistance measurement system

图  5   接触电阻测量系统实物

Fig.  5   Physical of contact resistance measurement system

图  6   单片触指ECR分形计算和试验测量结果

Fig.  6   Single-piece ECR fractal calculation and test measurement results

图  7   量纲为1的载荷与实际接触面积的关系

Fig.  7   Relationship between the load and the actual contact area with dimension one

图  8   弹性面积占比与实际接触面积的关系

Fig.  8   Relationship between the percentage of elastic area and the actual contact area

表  1   分形数值计算用粗糙表面参数

Table  1   Rough surface parameters required by fractal calculation

 接触面 材料 弹性 模量 E/GPa 泊松 比ν 电阻率 ρ/(Ω·m) 屈服强 度/MPa 分形维 数D 特征尺 度G/m 名义接 触面积 Aa/m2 铍铜 128 0.34 1.71×10–8 140 1.5 1×10–7[21] 1.3×10–7 铝合金 72 0.35 2.73×10–8 310 银 73 0.38 1.59×10–8 35

表  2   不同分形维数下弹性面积占比变化时的实际接触面积（量纲为1）

Table  2   Actual contact area with dimension one when the percentage of elasticarea changes under different fractal dimensions

 分形维数 弹性到第一弹 塑性变形阶段 第一弹塑性到第二 弹塑性变形阶段 1.3 1.2×10–11 — 1.5 1.4×10–14 0.200 1.7 8.0×10–15 0.008 1.9 1.2×10–15 0.007
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