速度与压强作为描述不可压缩流体的基本变量，一直是水动力学研究的重点对象。目前，瞬态流速场的测量已因粒子图像测速技术（particle image velocimetry，PIV）的快速发展而变得成熟，而瞬态压强场的测量尚无可靠解决方案。传统的压强测量技术以接触式、非瞬时和单点测量为主^[1-2]。例如，壁面压强的测量可通过在模型表面打孔布置测压管、压强传感器或使用基于压敏涂层的技术^[3-4]来实现；基于皮托管原理的探头则是测量流动内部单点平均压强的主要手段。

近年来，基于PIV的压强场测量技术得到越来越多的关注，许多学者对该技术的具体实现途径进行对比研究，并将其初步应用于一些典型流动。由PIV速度场重构压强梯度场有拉格朗日法和欧拉法两种实现途径。Jakobsen等^[5]针对流体中波的传播问题对拉格朗日法和欧拉法进行了比较分析；de Kat等^[6]基于高斯涡模型及典型湍流流动的研究表明，拉格朗日方法和欧拉方法得到的结果没有明显区别；Violato等^[7]发现拉格朗日法更适用于圆柱翼形绕流。由压强梯度计算压强场主要有直接积分法和泊松方程法。直接积分法的代表实现途径为Liu等^[8]提出的虚拟边界全向积分方法，虚拟边界的类型分别有矩形^[9]、圆形^[10]及旋转平行射线^[11]。虚拟边界全向积分方法被应用于测量湍流边界层^[12]和空腔剪切流^[13-14]中的压强场；Zhang等^[15]基于层析粒子图像测速技术测量了具有柔性壁面槽道的3维压强场。Fujisawa等^[16]通过求解压强泊松方程，获得了圆柱绕流瞬时压强分布；Auteri等^[17]提出了一种改进的泊松方程方法。

还有一些研究致力于分析基于PIV的压强场测量方法的准确性以及测量误差的影响因素。Charonko^[18]以及van Gent等^[19]先后使用理论涡模型和数值模拟流场分析了不同实现途径下压强的测量精度。Mcclure和Yarusevych^[20]利用圆柱绕流直接数值模拟数据，评估了噪声对压强测量结果的影响，并提出了最优测量参数取值方法。刘顺等^[21]基于管流突扩流和偏置绕流数值模拟流场，研究了噪声、速度场测量精度、插值算法以及边界条件的类型对压强测量精度的影响。王勇等^[22]通过对流高斯涡理论模型发现速度梯度离散格式、速度场精度、噪声和流动类型会对压强梯度重构精度产生影响。余英俊等^[23]基于圆柱绕流流场研究了PIV流场的时空分辨率和边界条件对压强场测量精度的影响。可见，对基于PIV的压强场测量技术测量精度的研究还缺少真实湍流瞬态流场数据的支撑，结果还不能完全指导该技术在真实湍流中的应用；同时，基于PIV的压强场测量技术在明渠紊流研究还未得到专门研究和应用。与其他壁面流动相比，明渠紊流具有自由水面，极靠近水面的流场难以准确测量，基于PIV的压强场测量技术面临如何合理给定边界条件等特殊问题。

本文利用明渠紊流直接数值模拟（direct numerical simulation，DNS）和PIV实测流场，使用欧拉法及直接积分法实现了基于PIV的明渠紊流压强场测量技术，研究压强场测量精度、误差来源及主要影响因素，并初步应用于明渠均匀紊流时均压强和压强紊动强度的测量，验证该压强测量方法在明渠紊流中的适用性。

1.   基本原理与方法

1.1   压强测量的基本原理

基于PIV速度场测量压强场的理论基础为不可压缩流体的Navier–Stokes（N–S）方程：

式中： ${\text{d}}{{\boldsymbol{u}}}{\text{/d}}t$ 为物质加速度； ${{\boldsymbol{u}}}$ 为流速；ρ为流体密度；ν为运动黏度系数； ${{\boldsymbol{f}}}$ 为单位质量力；p为压强，由流体静压强p_s和动压强p_d组成，即：

对于具有自由液面的明渠水流，根据水静力学基本理论可知，静压强与质量力满足如下关系：

将式（2）及式（3）代入式（1）可得：

根据式（4）可知，动压强场与速度场之间的理论关系为：

式中，μ为动力黏度系数。为叙述方便，后文中将动压强简称为压强。由式（5）可知，当流体密度ρ与动力黏度系数μ已知时，压强梯度场可通过计算物质加速度项 ${\text{d}}{{\boldsymbol{u}}}{\text{/d}}t$ 与黏性项 $\;\mu {\nabla ^2}{{\boldsymbol{u}}}$ 重构得到，进一步结合边界条件可通过积分或者求解泊松方程测得压强场。据此，将基于PIV的压强场测量方法分为两个阶段：第1阶段为通过速度场重构压强梯度场；第2阶段为由压强梯度场积分得到压强场。

1.2   根据速度场重构压强梯度场

在不可压缩流体的N–S方程中，物质加速度可以写为两种不同的计算形式，即拉格朗日形式和欧拉形式。根据物质加速度的不同计算形式，压强梯度重构方法也分为拉格朗日法和欧拉法^[17]，本文使用欧拉法计算压强梯度。

欧拉法中物质加速度的计算是基于固定的流速测点进行的，其计算形式为：

由欧拉法重构压强梯度时，压强梯度可以表示为：

当利用PIV测得的2维流场序列计算压强梯度场时，式（7）可具体展开为如下分量形式：

式（8）～（9）中：x为沿水流方向的坐标，以下称纵向；y为沿水深方向的坐标，以下称垂向。式（8）和（9）各项均采用2阶中心差分格式离散。因此，若流场序列的采样间隔为Δt，根据t–Δt、t、t+Δt这3个时刻的速度场可得到t时刻的压强梯度场。

1.3   压强场积分方法

采用直接积分法计算压强场，直接积分法是结合边界条件对压强梯度沿着测量区域进行空间积分，进而推求压强场的一种方法。流场中任一点的压强都可以表示为：

式中， $p_{{{s}}_{\text{u}}}$ 为待求点s_u的压强， $p_{{{s}}_{{\rm{ref}}}}$ 为参考点s_ref的压强， ${{\boldsymbol{s}}}$ 为积分路径。在已知测量区域内各点的压强梯度值后，结合式（10）通过两点之间的积分即可得到待测点的压强值。但是由于积分误差会沿着积分路径传播，选择不同的积分路径会产生不同的误差积累。尽可能多地沿着不同路径进行积分，再取各路径平均值可以有效解决这个问题。

本文采用Liu等^[8]提出的虚拟边界全方向积分方法对压强梯度进行积分，该方法在测量区域周围创建矩形虚拟区域，首先结合边界条件计算真实区域边界点上的压强值，然后沿着虚拟边界上网格点之间的连线进行加权全向路径积分，避免了积分次数在测量区域边界附近偏大而产生的误差积累。

1.4   明渠紊流瞬时流场及压强场数据

用于研究基于PIV的压强场测量技术的流场数据包括明渠紊流直接数值模拟（DNS）流场和明渠紊流实测PIV流场。明渠紊流DNS数据由清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室提供，模拟工况的雷诺数Re=2 850，摩阻雷诺数Re_τ=180，模拟区域大小为L_x×L_y×L_z=8 $ {\text{π}} $ h×h×3 $ {\text{π}} $ h，h为明渠水深，网格数量为N_x×N_y×N_z=456×80×360。模型采用的内尺度无量纲纵向网格间距Δx⁺=9.91，展向网格间距Δz⁺=4.71，垂向网格间距0.25≤Δy⁺≥5.05。从DNS输出的各时刻3维流场中提取位于计算域中垂面的2维流场，由于计算网格大小沿垂向不均匀，采用线性插值方法将流场数据插值到均匀网格上，插值后垂向网格间距Δy⁺=3.60。从中垂面截取一矩形测量区域，其垂向尺寸为全水深，纵向尺寸为水深的2倍，测点网格数量为49×40。从计算结果中选取1 000个连续瞬时速度场和压强场进行分析，相邻流场时间间隔Δt=0.05 s。

明渠均匀紊流PIV流场在清华大学长20 m、宽0.3 m的高精度明渠玻璃水槽中测得。水槽底坡S=0.15%，水深h=4 cm，摩阻流速u^*=2.43 cm/s，摩阻雷诺数Re_τ=920。利用自主研发的高频PIV系统测量水流纵垂面2维流场，该系统使用的高速相机分辨率为2 560×1 920像素，试验时通过降低图像分辨率以实现1 200 Hz的图像采集帧频，经图像判读后得到的流场采样频率为1 200 Hz，图像判读窗口尺寸为24×24像素，窗口之间的重叠率为50%，最终得到的瞬时流场中测点间的无量纲间距Δx⁺=Δy⁺=7.96。关于试验水槽及PIV系统的详细介绍参见文献[24]，本文对使用该工况测得的1 000帧连续流场进行分析。

2.   压强场测量精度分析

2.1   误差分析方法

由于无法通过试验直接测量瞬时压强场真值，基于明渠紊流DNS瞬时流场及压强场对基于PIV技术的压强场测量技术进行误差分析。定义流场中同一点压强的测量（重构）值与真值之差为绝对偏差，再将绝对偏差与时均压强垂线剖面上的最大值之比定义为相对误差。分别统计压强相对误差的均值E（以下称平均偏差）与方差 $M_{\rm{rms}} $ （以下称均方根误差）作为误差特征值，计算公式如下：

式（11）～（12）中，M、N分别代表流场中测点总行数与总列数， ${p}_{ij}^{\text{com}} $ 为根据速度场数据得到第i行第j列测点的压强测量值， ${p}_{ij}^{\text{dns}} $ 为DNS得到的第i行第j列测点的压强真值， ${p}_{\text{avg}}^{\text{max}} $ 为时均压强垂线剖面上的最大值。

2.2   压强场测量误差

利用明渠紊流DNS速度场采用欧拉法重构得到压强梯度场，再使用虚拟边界全向积分方法结合边界条件得到实测压强场。为消除边界条件对测量结果的影响，积分时将DNS得到的测量区域四周边界上各点的压强真值作为边界条件。利用1 000个时间间隔为0.05 s的连续瞬时速度场重构得到了998个实测瞬时压强场，并将第一个时刻记为0 s。对比了各个瞬时真实压强场与实测压强场，各个时刻结果规律类似，为直观展示测量误差来源，在此选择压强测量误差较小的t=46 s时刻结果进行展示，后文将就相同时刻的压强梯度场重构结果及压强场积分结果进行分析。图1为t=46 s时刻的真实压强场与实测压强场对比云图。由图1可知，实测压强场与真实压强场具有一致的分布特征和数值量级，表明基于PIV的压强场测量技术是可行的。利用式（11）和（12）分别计算实测压强场的平均偏差和均方根误差，发现t=46 s时刻压强场测量平均偏差E=–0.1%，均方根误差M_rms=8.3%。

图  1  t=46 s时刻压强场真实值与实测值对比

Fig.  1  Comparison of accurate value and measured value of pressure field at 46 s

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图2为压强场测量误差随时间的变化过程。由图2（a）可知，实测压强场的平均偏差E随时间在较大范围内变化，但误差正负概率基本相等，且小误差出现概率大于大误差，平均偏差的时均值约为0.4%。上述结果意味着，使用基于PIV的压强测量方法可以准确测量明渠紊流的时均压强场。从图2（b）可知，各时刻压强场测量值的均方根误差随时间变化更为剧烈，均方根误差的时均值约为25%，表明基于PIV的压强测量方法得到的压强紊动参数精度相对较差。为了研究压强场测量技术的误差规律，后文分别分析了由速度场重构压强梯度场阶段和由压强梯度场积分得到压强场阶段中的误差水平以及不同边界条件给定方法和不同测量参数对压强场测量结果的影响。

图  2  压强场测量误差随时间的变化过程

Fig.  2  Changing process of measuring error of pressure field with time

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3.   测量误差来源及影响因素分析

3.1   压强梯度重构误差

利用1 000个时间间隔为0.05 s的连续时刻明渠紊流DNS瞬时速度场，采用欧拉法得到998个瞬时重构压强梯度场，同时将DNS压强场进行2阶中心差分得到压强梯度场的近似真值。定义流场中同一点压强梯度的重构值与真值之差为绝对偏差，将绝对偏差与同时刻测量区域内压强梯度最大值之比定义为相对误差，同样以压强梯度相对误差的平均偏差与均方根误差作为误差特征值。

图3为t=46 s时刻流场的压强梯度两个分量的真实值与重构值云图的对比，其中， $\partial p/\partial x$ 为纵向压强梯度， $\partial p/\partial y$ 为垂向压强梯度。

图  3  t=46 s时刻真实压强梯度场与重构压强梯度场对比

Fig.  3  Comparison between DNS pressure gradient filed and calculated pressure gradient filed at 46 s

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由图3（a）及3（b）可知，明渠紊流压强梯度的纵向分量和垂向分量具有基本一致的数量关系；对比图3（a）与（c）或者图3（b）与图3（d）可知，真实压强梯度场与重构压强梯度场虽然整体具有基本一致的分布特征，但在局部区域存在较为明显的差异。计算该时刻压强梯度场重构的平均偏差和均方根误差，发现压强梯度纵向分量的平均偏差为1%，均方根误差为37%；压强梯度垂向分量的平均偏差为–1.6%，均方根误差为21%。上述压强梯度场的重构误差在量级上与图1所示的压强场测量误差基本一致。

为了统计压强梯度场的重构误差，计算了全部998个瞬时压强梯度两个方向分量的平均偏差和均方根误差。图4为纵向压强梯度场重构误差随时间的变化过程。从图4（a）可见，重构得到压强梯度纵向分量的平均偏差虽然随时间在较小范围内变化，但负值误差出现概率略大于正值误差，平均偏差的时间平均值为–3%。从图4（b）可见，各时刻压强梯度纵向分量重构值的均方根误差随时间变化较为剧烈，均方根误差的时均值约为37%。

图  4  纵向压强梯度场重构误差随时间的变化过程

Fig.  4  Changing process of reconstruction error of streamwise direction pressure gradient field with time

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图5为垂向压强梯度场重构误差随时间的变化过程。从图5（a）可见，重构得到的压强梯度垂向分量的平均偏差随时间在较小范围内变化，且平均偏差正负概率基本相等，平均偏差的时均值仅约为–0.2%。从图5（b）可见，各时刻压强梯度垂向分量重构值的均方根误差随时间变化相对集中，均方根误差的时均值约为23%。通过比较压强梯度纵、垂向分量的误差特征，可以发现纵向分量的重构误差相对于垂向分量更大。根据误差传递函数，进一步统计得到压强梯度重构的均方根误差的时均值约为43%。

图  5  垂向压强梯度场重构误差随时间的变化过程

Fig.  5  Changing process of reconstruction error of wall-normal direction pressure gradient field with time

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3.2   压强积分误差

为了分析压强梯度积分过程产生的误差，将DNS模拟的真实压强梯度场积分得到积分压强场，并将其与真实压强场之差定义为积分误差。同样将平均偏差与均方根误差作为压强积分误差的特征值。图6为t=46 s时刻真实压强场与积分压强场云图的对比。从图6可见，积分压强场与真实压强场具有高度一致的分布特征和数值大小。计算该时刻压强场积分的平均偏差和均方根误差，发现平均偏差为–0.2%，均方根误差为1.2%，表明所用的积分方法可以足够准确地计算压强场。

图  6  t=46 s时刻真实压强场与积分压强场对比

Fig.  6  Comparison between DNS pressure filed and integral pressure filed at 46 s

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为了统计由压强梯度场积分得到压强场阶段产生的误差大小，计算了全部998个瞬时压强场积分过程中的平均偏差和均方根误差。图7为压强场积分误差随时间的变化过程，从图7（a）可看出，积分压强场的平均偏差随时间仅在±2%的范围内变化，绝大多数时刻集中在0附近，且平均偏差沿E=0对称分布，平均偏差的正负概率基本相等，时均值约为0。从图7（b）可看出，各时刻压强场积分计算的均方根误差随时间也在较小的范围内变化，均方根误差的最大值约为5%，且大多数时刻的均方根误差在3%以下，均方根误差的时均值约为1.7%。由压强场积分误差大小可知，一旦压强梯度值足够准确，则压强场的测量误差会大幅度减小。对比压强梯度重构误差和压强积分误差结果可知，压强场积分引起的测量误差较小，由速度场重构压强梯度场这一阶段是基于PIV的压强场测量方法的主要误差来源。

图  7  压强场积分误差随时间的变化过程

Fig.  7  Changing process of integral error of pressure field with time

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3.3   边界条件对测量误差的影响

基于PIV的压强场测量技术可使用介于狄利克雷边界条件和诺依曼边界条件之间的边界条件给定方式，包括测量区域边界上有限点的压强值和其他点由式（8）和（9）计算得到的压强梯度值，其中压强值可通过压强传感器测定。为了分析压强测点布置方式对压强场测量结果的影响，利用明渠紊流DNS数据，研究典型边界条件给定方法对测量误差的影响。将第1.4节中介绍的测量区域作为第1种尺寸，再截取大小为其1/4的区域作为第2种尺寸，对这两种大小的矩形测量区域进行分析。

表1为8种不同边界条件下压强场测量误差的对比结果。其中：第1～6种分别在边界上给定1、2、3、4、8、12个均匀分布的测点的真实压强值，其余点给定压强梯度计算值；第7种给定测量区域边界上所有点的真实压强值；第8种将第1种边界中的压强梯度计算值改为压强梯度真实值。将各种边界条件下测得的压强场与真实压强场进行对比，统计得到全部998个瞬时压强场测量结果的平均偏差E和均方根误差M_rms。表1中，E₁、M_rms1和E₂、M_rms2分别表示第1种尺寸和第2种尺寸测量区域的测量误差结果。可见：根据第8种边界条件得到的压强测量误差明显低于第1种边界条件，进一步说明压强梯度重构误差是压强测量误差的主要来源；比较第1到第7种边界条件的压强测量误差，可以发现测量误差随着边界上压强真值点数量的增多而减小。当压强真值给定点的数量为4个时，压强测量值的平均偏差显著减小，实际应用时建议可在测量边界上均匀布置4个压强传感器。

考虑到明渠紊流纵垂面测量区域同时具有水面、床面、入流侧及出流侧4种不同类型的边界，当边界上给定压强真实值的边界点数量为4个时，进一步分析边界点位置对压强场测量精度的影响。分别考虑将4个压强边界点均匀分布在水面、床面、入流侧、出流侧和测量区域4个角点5种工况。表2为5种情况下压强测量值的平均偏差与均方根误差的统计结果。由表2可见：当4个压强边界点均位于入口侧或出口侧时，压强场测量的误差较大；当4个测压点均位于水面或床面时，虽然平均偏差数值较小，但是均方根误差仍明显偏大；当4个压强边界点均匀分布在测量区域4个角点时，压强场测量值的误差最小。

3.4   流场测量参数对压强测量误差的影响

流场采样时间间隔Δt和测点间距Δx是影响压强梯度重构精度的重要误差源。本节基于明渠紊流DNS流场和PIV流场，分析内尺度无量纲采样间隔Δt⁺（Δt⁺=Δt∙u^*2/ν，其中，u^*为摩阻流速，ν为动力黏度系数）和内尺度无量纲测点间距Δx⁺（Δx⁺=Δx∙u^*/ν）对压强场测量精度的影响。

在分析流场采样时间间隔对压强场测量误差的影响时，保持测点间距不变，通过选取不同时间间隔的速度场差分计算压强梯度，得到不同采样时间间隔下的测量压强场。在利用DNS流场分析时，将压强场测量结果与真实压强场进行比较，在利用实测PIV流场分析时，由于缺少真实压强场，近似认为无量纲采样间隔最小时测得的压强场为准确值。图8为流场采样时间间隔对压强场测量误差的影响。从图8可见，压强场测量误差随着采样时间间隔的增加而增大，并在内尺度无量纲采样间隔Δt⁺为5时趋于稳定。

图  8  流场采样时间间隔对压强场测量误差的影响

Fig.  8  Influence of flow fields sampling time interval on pressure field measurement error

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在分析流场测点间距大小对压强场测量误差的影响时，保持采样间隔不变，通过将流场数据插值到不同尺寸的网格上来达到改变测点间距的目的，在插值时使纵向Δx与垂向Δy的测点间距相等。图9为流场测点间距对压强场测量误差的影响。

图  9  流场测点间距对压强场测量误差的影响

Fig.  9  Influence of flow field measurement point spacing on pressure field measurement error

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由图9可知，两种流场得到的误差具有基本一致的变化趋势及相同的数值变化范围，压强场测量误差随测点间距的增加先减小后增大，并在内尺度无量纲测点间距Δx⁺为7时达到最小值，但该测点间距最优值的普适性尚待更多数据支撑。

4.   压强场测量方法在明渠紊流中初步应用

利用基于明渠紊流DNS速度场测量得到的压强场数据统计了压强时均值和紊动强度，同时由DNS真实压强场统计得到压强时均值和紊动强度的真实值。图10为压强时均值及紊动强度测量值与真实值沿垂向分布的对比。图10中，压强时均值p_avg与紊动强度p_rms均由压强最大值p_max进行无量纲化。

图  10  压强时均值及紊动强度测量值与真实值沿垂向分布的对比

Fig.  10  Comparison between measured value and accurate value of time-averaged pressure and turbulence intensity along vertical distribution

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从图10（a）可见，压强时均值测量结果与真实值在全水深范围内均吻合较好，最大相对误差约为2%，与第2.2节分析得到压强测量值基本无偏差的结论相符。从图10（b）可见，压强紊动强度测量值在y/h>0.15范围内小于真实结果，在0.05<y/h<0.15范围内大于真实结果，除极靠近床面的少数点外，压强紊动强度测量值与真实值具有基本一致的垂向分布规律，从床面到水面先增大后减小，在y/h=0.15处取得最大值。上述结果表明，基于PIV压强测量方法可以较为可靠地测量明渠紊流压强均值，在测量压强紊动强度时，虽然数值误差相对较大，但是仍然可以得到较好的垂向分布趋势。

5.   结　论

本文选用欧拉法根据流速场重构压强梯度场，再采用虚拟边界全向积分方法计算压强场，实现了基于PIV的明渠紊流压强场测量技术。基于时间解析的明渠紊流DNS数据和实测PIV流场，对该测量技术的精度、误差来源及主要影响因素进行了分析，得出以下结论：

1）在应用于明渠紊流瞬时压强场的测量时，基于本文数据，该技术的测量结果无平均偏差，但均方根误差相对较大可达25%。

2）在该测量技术的两个主要步骤中，压强场积分引起的测量误差较小，根据瞬时流场重构压强梯度场是测量误差的主要来源。

3）边界条件给定方法对压强测量误差有较大影响，在矩形测量区域边界上给定压强值的边界点数量增加到4个时，测量误差会显著降低，且将边界点均匀分布在测量区域4个角点为最优布置方式。

4）流场采样时间间隔和测点间距会对压强测量结果产生影响，压强场测量误差随流场采样间隔的增加而增大，随流场测点间距的增加先减小后增大；基于本文数据发现在内尺度无量纲流场测点间距为7左右时误差最小，但该测点间距最优值的普适性尚待更多数据支撑。

5）在明渠均匀紊流中的初步应用表明，基于PIV的压强测量技术可准确测量压强均值，压强紊动强度测量误差尽管相对较大，但测得的垂向分布趋势接近。