基于自适应卡尔曼滤波加速度与位移融合的结构位移实时估计

曾竞骢 施袁锋 戴靠山 廖光明

曾竞骢, 施袁锋, 戴靠山, 等. 基于自适应卡尔曼滤波加速度与位移融合的结构位移实时估计 [J]. 工程科学与技术, 2023, 55(4): 188-196. doi: 10.15961/j.jsuese.202200013
引用本文: 曾竞骢, 施袁锋, 戴靠山, 等. 基于自适应卡尔曼滤波加速度与位移融合的结构位移实时估计 [J]. 工程科学与技术, 2023, 55(4): 188-196. doi: 10.15961/j.jsuese.202200013
ZENG Jingcong, SHI Yuanfeng, DAI Kaoshan, et al. Real-time Structural Displacement Estimation by Fusing Acceleration and Displacement Data with Adaptive Kalman Filter [J]. Advanced Engineering Sciences, 2023, 55(4): 188-196. doi: 10.15961/j.jsuese.202200013
Citation: ZENG Jingcong, SHI Yuanfeng, DAI Kaoshan, et al. Real-time Structural Displacement Estimation by Fusing Acceleration and Displacement Data with Adaptive Kalman Filter [J]. Advanced Engineering Sciences, 2023, 55(4): 188-196. doi: 10.15961/j.jsuese.202200013

基于自适应卡尔曼滤波加速度与位移融合的结构位移实时估计

基金项目: 国家自然科学基金项目(51878426);成都市科技项目(2019-GH02-00081-HZ)
详细信息
    • 收稿日期:  2022-01-06
    • 网络出版时间:  2022-11-15 12:36:04
  • 作者简介:

    曾竞骢(1998—),男,硕士生. 研究方向:结构健康监测. E-mail:jingcong.z@qq.com

    通信作者:

    施袁锋, 副教授,E-mail: shiyuanfeng@scu.edu.cn

  • 中图分类号: TU317;O32

Real-time Structural Displacement Estimation by Fusing Acceleration and Displacement Data with Adaptive Kalman Filter

  • 摘要: 实时高精度位移测量在工程结构的安全和寿命评估方面有着重要作用。为提高基于全球导航卫星系统技术的位移测量的精度及稳定性,本文提出了一种融合加速度和位移数据的自适应多速率卡尔曼滤波方法,来实时获取精度提升的位移信息。由于不合理的噪声参数设置会使位移估计的精度严重下降,利用加速度和位移数据测量噪声各自的特点,以分开估计相应噪声方差的思路来实现自适应估计;考虑传感器噪声的性质,自适应滤波中对噪声参数的估计可简化为仅对位移噪声方差进行估计;利用Sage-Husa估计器实现位移噪声方差的自适应估计,使滤波能在噪声参数未准确获知的情况下进行稳定的位移实时估计。讨论了自适应滤波中初始噪声参数的影响,确定了初始系统噪声参数的选取原则;分别在时不变与时变位移噪声环境下,观察该滤波应用于不同频率的谐波位移信息下的估计性能;以某1.5 MW风电塔在风–地震耦合作用下塔顶结构响应的数值模拟,说明本文的自适应滤波在一般工程结构应用中的有效性。结果表明,即使初始噪声参数设置有误或位移噪声具有时变性,本文方法依然具有较好的估计效果及鲁棒性。研究成果可为结构实时高精度位移监测提供一定理论支撑与参考。

     

    Abstract: Real-time high-precision displacement measurement is important for the safety and life-cycle assessment of engineering structures. To improve the accuracy and stability of displacement measurement based on Global Navigation Satellite System (GNSS) technology, an adaptive multi-rate Kalman filter is proposed to fuse the acceleration and displacement data. Due to unreasonable settings of noise parameters, the accuracy of displacement estimation can be seriously degraded. By utilizing the characteristics of acceleration and displacement measurement noises, the adaptive estimation is realized through estimating the variance of their corresponding noises separately. Considering the noise characteristics of accelerometer and GNSS device, the estimation of noise parameters in the adaptive filter is simplified to estimate only the variance of displacement noise. The Sage-Husa estimator is used to realize the adaptive estimation of displacement noise variance so that the filter can reach a stable real-time displacement estimation under inaccurate noise parameters. First, the settings of initial noise parameters in the proposed adaptive filter are discussed to determine its rule. Then the displacement estimation performance of the filter at different signal frequencies is discussed through the harmonic displacement under time-invariant noise and time-varying noise. Finally, the effectiveness of the proposed technique is demonstrated by using a numerical simulation response from a 1.5 MW wind turbine tower under wind-earthquake coupling. The results show that even if the initial noise parameters are inaccurate and the displacement measurement noise is time-varying, the proposed technique still has satisfactory performance and robustness in real-time estimation. This research can provide a reference for real-time and high-precision displacement monitoring of structures.

     

  • 结构位移是反映结构性能状态的重要指标之一,其信息的准确获取对结构的安全运行和寿命评估具有重要的作用[1]。传统的结构位移测量技术主要是接触式的位移传感技术,但由于需要固定平台,其一般仅适用于小型结构。为了克服接触式技术的应用缺陷,业界提出了基于非接触式光学、计算机视觉和全球导航卫星系统(global navigation satellite system,GNSS)的位移测量技术[2]。其中,由于GNSS技术可以直接得到监测点的3维坐标[3]而受到了广泛的关注。不过,受其自身采样频率的限制,GNSS技术不易准确测量振动频率带宽在2 Hz以上的位移信号[4];另外其精度与稳定性也受天气情况、多路径误差、周期性跳变等影响[5]。因此,如何提高GNSS位移测量的精度及稳定性是目前亟待解决的问题[6]

    在基于振动的工程结构健康监测中,常在结构中布置加速度传感器来获得加速度响应[7]。加速度传感器相比于GNSS设备具有更高的采样频率,且加速度可由数值积分近似获得位移。然而,实际上由于初始状态未知,积分过程会产生趋势项,导致获得的位移对低频成分不敏感[8],一般较难准确测量带宽在0.2 Hz以下的位移[9]

    结合位移及加速度测量技术在结构响应测量中各自的优点,有学者尝试将加速度与位移数据进行融合,以获得精度更高的位移信息,更好地辅助结构损伤识别的应用[10]。Smyth等[11]提出了一种多速率卡尔曼滤波(multi-rate kalman filter,MKF),实现了不等采样频率下的加速度与位移数据的融合。此后又有多位学者利用该技术进行结构位移的测量[12]、地震位移的恢复[13]以及考虑数值积分误差[1]、充分使用残差信息[14]等因素对MKF做一些改进。在噪声参数已知的情况下,卡尔曼滤波是一种线性最优估计[15]。然而,实际由于噪声参数的未知,使用非真实的噪声参数可能导致滤波性能的下降甚至发散[16]。因此,有学者提出了自适应噪声参数的卡尔曼滤波(adaptive multi-rate kalman filter,AMKF),包括基于最小二乘法[17]、极大似然法[18]等。尽管AMKF可同时估计系统的输入和输出噪声参数,但不能实时估计噪声参数,且对噪声随时间的变化并不敏感。Niu等[19]研究了系统输出噪声已知时,系统输入噪声实时估计的方法。虽然Niu等[19]实现了输入噪声参数的实时估计,但相比于加速度传感器的噪声,该方法并没有考虑到GNSS设备的测量噪声更不稳定这一因素。Li等[20]提出了一种基于主成分分析的子空间方法,实现了时变噪声方差的估计,但该方法要求同时使用多个加速度计,并且假定各加速度计噪声均为强度相同的高斯白噪声,实际情况下可能不满足。从以上学者的研究可知,目前的AMKF仍存有无法实时估计噪声参数和未有效利用传感器特性或滤波使用条件较难满足的缺点。

    本文使用一种基于Sage–Husa估计器的AMKF来融合加速度和位移,实现位移噪声参数的实时估计,从而获得精度提升的位移;从不同频率的谐波信号出发,讨论了AMKF在不同程度时不变噪声下的表现情况,同时还观察了滤波在时变噪声下的位移估计性能;最后,以某1.5 MW风电塔振动响应数值模拟的实例,展现使用本文AMKF进行位移估计的效果。

    假设在同步采集的条件下进行加速度和位移数据融合。如果两者采样频率不同,那么假设其具有公共的同步时刻。

    同一测点的加速度和位移的融合,理论上可由加速度积分获得位移的方法建立式(1)的离散状态空间方程表示[11]

    $$ \left\{ \begin{array}{l} {{\boldsymbol{y}}_{k + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{k + 1}}} \\ {{{\dot x}_{k + 1}}} \end{array}} \right] = {\boldsymbol{C}}{{\boldsymbol{y}}_k} + {\boldsymbol{D}}{{{u}}_k} + {{\overline {\boldsymbol{w}}}_k} ,\\ {{\textit{z}}_k} = {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{y}}_k} + {v_k} \\ \end{array} \right. $$ (1)

    式中: $ {x_{k + 1}} $ $ {\dot x_{k + 1}} $ 分别为 $ k + 1 $ 时刻的位移、速度; ${\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{T_{\rm{a}}}} \\ 0&1 \end{array}} \right]$ ,其中, $ {T_{\rm{a}}} $ 为加速度的采样间隔; ${\boldsymbol{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {T_{\rm{a}}^2/2} \\ {T_{\rm{a}}^2} \end{array}} \right]$ ${{\boldsymbol{y}}_{k }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{k }}} \\ {{{\dot x}_{k }}} \end{array}} \right]$ zk为测点在k时刻测得的位移; ${\boldsymbol{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]$ ${\overline {\boldsymbol{w}}_k} = - {\boldsymbol{D}}{w_k}$ ${w_k}$ ${v_k}$ 分别为加速度和位移的测量噪声; ${u_k}$ 为测点在 $ k $ 时刻真实的加速度。假设离散的噪声 ${w_k}$ ${v_k}$ 是白噪声时,其方差分别为 $ E[w_k^2] = q $ $E[v_k^2] = r$ E[ ]为期望算子。因此,系统输入噪声 ${\overline {\boldsymbol{w}}_k}$ 的协方差矩阵 ${{\boldsymbol{Q}}_k}$ 和系统输出噪声 ${v_k}$ 的协方差 ${R_k}$ 为:

    $$ {{\boldsymbol{Q}}_k} = E[{\overline {\boldsymbol{w}}_k}\;\overline {\boldsymbol{w}}_k^{\rm{T}}] = q{\boldsymbol{D}}{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}} = q\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {T_{\rm{a}}^4/4}&{T_{\rm{a}}^3/2} \\ {T_{\rm{a}}^3/2}&{T_{\rm{a}}^2} \end{array}} \right] $$ (2)
    $$ {R_k} = E[v_k^2] = r $$ (3)

    在噪声 ${w_k}$ ${v_k}$ 无关的条件下,式(1)的卡尔曼滤波方程可表述为[16]

    量测更新:

    $$ {e_k} = {{\textit{z}}_k} - {\boldsymbol{H}}{\hat {\boldsymbol{y}}_{k|k - 1}} $$ (4)
    $$ {\hat {\boldsymbol{y}}_{k|k}} =\left[ {\begin{array}{l} {\hat {{x}}_{{k}\left| {{k}} \right.}}\\ {\hat {{\dot x}}_{{k}\left| {k} \right.}} \end{array}} \right] = {\hat {\boldsymbol{y}}_{k|k - 1}} + {{\boldsymbol{K}}_k}{e_k} $$ (5)
    $$ {{\boldsymbol{P}}_{k|k}} = \left( {{\boldsymbol{I}} - {{\boldsymbol{K}}_k}{\boldsymbol{H}}} \right){{\boldsymbol{P}}_{k|k - 1}} $$ (6)

    时间更新:

    $$ {\hat {\boldsymbol{y}}_{k + 1|k}} = \left[ {\begin{array}{l} {\hat {{x}}_{{k}+1\left| {{k}} \right.}}\\ {\hat {{\dot x}}_{{k}+1\left| {k} \right.}} \end{array}} \right] = {\boldsymbol{C}}{\hat {\boldsymbol{y}}_{k|k}} + {\boldsymbol{D}}{{\boldsymbol{u}}_k} $$ (7)
    $$ {{\boldsymbol{P}}_{k + 1|k}} = {\boldsymbol{C}}{{\boldsymbol{P}}_{k|k}}{{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}} + {{\boldsymbol{Q}}_k} $$ (8)

    卡尔曼增益矩阵:

    $${\qquad {{\boldsymbol{K}}_k} = {{\boldsymbol{P}}_{k|k - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}{\left( {{\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{P}}_{k|k - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}} + {R_k}} \right)^{ - 1}} }$$ (9)

    式(4)~(9)中,ek为滤波在k时刻的新息, ${\hat {{{\boldsymbol{y}}}}_{{{k}}\left| {{{k}}} \right.}}$ 为滤波在k时刻的后验估计, ${\hat {{x}}_{k|k}}、 {\hat {{\dot x}}_{{k}\left| {k} \right.}}$ 分别为位移和速度在k时刻的后验估计, ${{\boldsymbol{P}}_{{{k}}\left| {{k}} \right.}}$ k时刻滤波的后验误差协方差, ${\hat {{x}}_{k+1|k}}、 {\hat {{\dot x}}_{{k}+1\left| {k} \right.}}$ 分别为位移和速度在k+1时刻的先验估计,yk+1|k为滤波在k+1时刻的先验估计,Pk+1|k为滤波在k+1时刻的先验误差协方差。

    当加速度和位移的采样频率一致时,可以直接利用式(7)~(9)估计系统状态。当加速度采样频率高于位移采样频率,且二者相除为整数时,在无位移测量的时刻,可直接采用式(10)和(11)作为系统的量测更新:

    $$ {\hat {\boldsymbol{y}}_{k + 1|k + 1}} = {\hat {\boldsymbol{y}}_{k + 1|k}} $$ (10)
    $$ {{\boldsymbol{P}}_{k + 1|k + 1}} = {{\boldsymbol{P}}_{k + 1|k}} $$ (11)

    上述考虑不同采样频率进行系统状态估计的过程即为MKF。

    由于MKF在仅执行时间更新的时刻,通过加速度数值积分来获得位移,这会使位移估计产生趋势项,导致其在可执行量测更新的时刻发生跳变。为减小跳变现象,采用RTS平滑[16],平滑区间选择为前后位移测量的时间间隔。由于每次平滑的区间长度较小,因此,可近似于实时更新。

    不准确的噪声信息可能会导致卡尔曼滤波精度下降甚至发散,因此,噪声参数的自适应估计是卡尔曼滤波应用中的关键问题[21]。在自适应方法中,可同时估计系统输入、输出噪声协方差的Sage-Husa估计器,得到广泛应用[22-24]。但由于两种噪声的协方差都是由信息估计得到,所估计的噪声统计特征是相关的,同时进行估计可能会引起滤波的发散[24]

    由式(2)和(3)中 ${{\boldsymbol{Q}}_k}$ ${R_k}$ 的特殊结构,卡尔曼滤波中协方差的估计问题就转化为相应噪声方差的估计问题。为避免进行加速度噪声方差和位移噪声方差的同时估计,对两种传感器特性进行比较后采用分开估计。与GNSS设备相比,加速度传感器的测量噪声一般更稳定,可提前确定一个较准确的加速度噪声方差先验值。由此,本文利用Sage–Husa估计器仅对位移噪声方差进行自适应估计。

    式(4)可改写为:

    $$ {e_k} = {\boldsymbol{H}}\left( {{{\boldsymbol{y}}_k} - {{\hat {\boldsymbol{y}}}_{k|k - 1}}} \right) + {v_k} $$ (12)

    利用 ${v_k}$ $\left( {{{\boldsymbol{y}}_k} - {{\hat {\boldsymbol{y}}}_{k|k - 1}}} \right)$ 无关的条件,得到系统输出噪声 ${v_k}$ 的协方差 ${R_k}$ 为:

    $$ {R_k} = E[e_k^2] - {\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{P}}_{k|k - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}} $$ (13)

    式中, $ E[e_k^2] $ 在理论上表示随机序列 $e_k^2$ 的集平均,然而在实际的自适应方法中,假设 ${e_k}$ 是各态历经的平稳随机过程时,可以时间平均近似代替集平均。因此,可构造 ${R_k}$ 的等加权递推估计 ${\hat R_k}$ [25]

    $$ \begin{aligned}[b] {{\hat R}_k} = &\frac{1}{k}\mathop \sum \limits_{i = 1}^k \left( {e_i^2 - {{\boldsymbol{HP}}_{i|i - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}} \right) = \\& \frac{1}{k}\left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^{k - 1} \left( {e_i^2 - {{\boldsymbol{HP}}_{i|i - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}} \right) + \left( {e_k^2 - {{\boldsymbol{HP}}_{k|k - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}} \right)} \right] = \\& \left( {1 - \frac{1}{k}} \right){{\hat R}_{k - 1}} + \frac{1}{k}\left( {e_k^2 - {{\boldsymbol{HP}}_{k|k - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}} \right)\\[-15pt] \end{aligned} $$ (14)

    为控制噪声估计对于噪声变化的敏感性,需要控制当前时刻信息在噪声估计过程中的权重,因此引入衰减系数 ${d_k}$

    $$ {d_k} = \left( {1 - \lambda } \right)/\left( {1 - {\lambda ^k}} \right) $$ (15)

    式中, $\lambda $ 为遗忘因子,取值位于0~1之间[26],为保证滤波稳定运行,通常取 $0.95 < \lambda < 0.99$ [23]。取值越小代表当前时刻信息在噪声估计中占比越大,对位移测量噪声的变化越敏感。经优化比较分析,本文遗忘因子取0.98。

    把式(15)的衰减系数 ${d_k}$ 代替式(14)中的 $\dfrac{1}{k}$ ,可得:

    $$ {\hat R_k} = \left( {1 - {d_k}} \right){\hat R_{k - 1}} + {d_k}{\rho _k} $$ (16)

    式中, $\; {\rho _k} = e_k^2 - {{\boldsymbol{HP}}_{k|k - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}$

    Sage–Husa估计器在系统建模误差较大的情况下,可能会出现发散的情况[23]。因此,需要对当前时刻的噪声方差估计分量 $\;{\rho _k}$ 进行限制,来抑制滤波的发散,限制条件为: $\;{\rho _{\min}} \leqslant {\rho _k} \leqslant {\rho _{\max}}$ 。设置 $\;{\rho _{\min}}$ 以保证 ${\hat R_k}$ 正定;设置 $\;{\rho _{\max}}$ ,避免因为统计数据不足而使 ${\hat R_k}$ 异常增大。

    对于土木工程结构,在实际工作环境下的传感器噪声幅值为10%的响应均方根较为合理[18],当噪声幅值达到50%响应均方根时已属于过大的噪声[11],此时,即便噪声参数合理也往往难以得到较好的结果。所以,可以考虑将 ${\hat R_k}$ 限制于 $\left[ {{0.1}^2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{{{i}} = 1}^{{{k - 1}}} \mathop {{{\hat x}}}\nolimits_{{{i|i}}}^2 } \right)/\left( {k - 1} \right),\right. \left.{{0.5}^2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {\mathop {\hat x}\nolimits_{i|i}^2 } } \right)/\left( {k - 1} \right) \right]$ 。本文选取 $\;{\rho _k}$ 的限制条件为:

    $$ \left\{ \begin{gathered} {\rho _{\min}} = {0.05^2}{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {\mathop {\hat x}\nolimits_{i|i}^2 } } \right)/\left( {k - 1} \right)}, \\ {\rho _{\max}} = {0.60^2}{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {\mathop {\hat x}\nolimits_{i|i}^2 } } \right)/\left( {k - 1} \right)}\\ \end{gathered} \right. $$ (17)

    将式(16)的 ${\hat R_k}$ 替换式(9)的 ${R_k}$ 即为本文的AMKF。

    为了反映位移估计误差相较于测量误差的减小程度,提出以改善率 $\delta_{\text{IR}} $ 来评估滤波的有效性。 $\delta_{\text{IR}} $ 的定义如下:

    $$ \delta_{\text{IR}} = \left[ {1 - \frac{{\sqrt {\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {x_i - {{\hat x}_{i|i}}} \right)}^2}} } \right)/N} }}{{\sqrt {\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {x_i - {{\hat {\textit{z}}}_i}} \right)}^2}} } \right)/N} }}} \right] \times 100\text{%} $$ (18)

    式中, $N$ 为位移测量数据总的数据点数, $\hat x$ 为对应时刻的位移估计值。由于滤波在运行时长较短时,会由于数据量较少而使参数估计出现较大误差。因此,采用滤波运行1 s后的数据计算改善率 $\delta_{\text{IR}} $

    为讨论AMKF的性能随信号频率变化的规律,通过位移信号为正弦波形式的情况分析讨论。此位移信号可以表示为:

    $$ x\left( t \right) = 10\sin \left( {2{\text{π}} ft + {\text{π}} /3} \right) $$ (19)

    式中: $f$ 为位移信号的频率,Hz; $t$ 为时间,s。相应的速度和加速度可直接通过式(19)的求导获得。

    选取时间 $t = [0,40]$ s,加速度采样频率100 Hz,位移采样频率10 Hz。由于基于GNSS的位移测量常应用于大型桥梁、高耸塔架等长周期结构。这类结构的1阶频率一般小于1 Hz,本文重点讨论频率在 $f = [0.1,1]$ Hz范围内的信号。但为了解本文方法对结构较高频位移的估计效果,对验证信号的频率范围进行拓宽,即选定信号频率为 $f = 0.1,\;0.2,\;\cdots,\;1.0,\;2.0,\; 3.0,\;4.0,\;5.0$ Hz。

    首先,考虑测量噪声为白噪声,并假定位移、加速度的噪声处于同一水平。如时不变噪声下,10%的响应均方根噪声水平代表位移噪声的标准差 ${\sigma _{\rm{d}}}$ =10% ${\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{{\dot x}_{i|i}} /N}} }$ ,加速度噪声的标准差 ${\sigma _{\rm{a}}}$ =10% ${\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{{\ddot x}_{i|i}}/N }} }$ 。考虑到噪声样本随机性对改善率的偏差影响,第5.1、5.2节中,各情况改善率均是经过200次蒙特卡洛仿真后的统计结果。

    由于位移经GNSS设备测量得到,位移噪声的统计特征可能会带有时变特性[21]。因此,设置方差随时间线性增长的时变位移噪声:噪声均值为0,起点处噪声标准差 ${\sigma _{{\rm{d,v}}}}(1) = 10\text{%} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{{\dot x}_{i|i}} /N}} }$ ,终点处标准差 ${\sigma _{{\rm{d,v}}}}(N) = 50\text{%} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{{\dot x}_{i|i}}/N }} }$ 的高斯噪声。由于加速度传感器在实际使用中相对稳定,加速度噪声可近似视为时不变噪声。因此,本文的时变噪声条件设置为:加速度噪声 ${\sigma _{\rm{a}}} = 10\text{%} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{{\dot x}_{i|i}} /N}} }$ ,位移噪声 ${\sigma _{\rm{d}}} = {\sigma _{{\rm{d,v}}}}(k)$

    在系统的噪声统计特性参数( ${Q_k}$ ${R_k}$ )确切已知的情况下,卡尔曼滤波是线性最优估计。当使用不合理的噪声参数时,可能造成滤波精度的严重下降。因此,需要考虑噪声初值选取对滤波位移估计结果的影响。

    以不变噪声幅值为10%的响应均方根值为例,输入噪声 $q$ 确切已知,输出噪声初值 ${R_1}$ 变化下,AMKF位移估计改善率的统计结果见表1

    表  1  不同R1值AMKF的改善率
    Table  1  Improvement ratios of AMKF under different R1 values
    ${R_1}$ ${R_1} \cdot \sigma _{{\rm{a}}}^{ - 2}$ $\delta_{\text{IR}} $(0.1 Hz)/% $\delta_{\text{IR}} $(1.0 Hz)/% $\delta_{\text{IR}} $(5.0 Hz)/%
    5.0×10–15 1.0×10–14 75.99 39.92 21.65
    0.1 0.2 76.14 39.92 22.26
    0.5 1.0 76.04 39.50 22.02
    50.0 100.0 75.58 36.71 22.10
      注: $\delta_{\text{IR}} $(0.1 Hz)、 $\delta_{\text{IR}} $(1 Hz)和 $\delta_{\text{IR}} $(5 Hz)分别为信号频率在 $ f $=0.1、1.0、5.0 Hz时的AMKF改善率。

    表1可以看出,即使 ${R_1}$ 取值偏大或者极端小,对最终改善率的影响不大。这是由于AMKF可以对系统输出噪声 ${R_k}$ 进行实时自适应估计。因此,对于初值 ${R_1}$ 的取值不需做过多要求,可根据使用时设备精度范围,设置一个相对较小的值,本文 ${R_1}$ 取0.1。

    由于加速度传感器较GNSS设备更为稳定,因此,在实际使用中容易获得一个较为准确的先验加速度噪声方差,但这个噪声方差往往在真实的噪声方差 $\sigma _{\rm{a}}^2$ 附近进行波动。在时不变和时变噪声下 $q$ 值波动对AMKF的影响如图12所示。

    图  1  不同系统输入噪声参数下AMKF的改善率(噪声时不变)
    Fig.  1  Improvement ratios of AMKF under different noise levels on the system input (time-invariant noise)
    下载: 全尺寸图片
    图  2  不同系统输入噪声参数下AMKF的改善率(噪声时变)
    Fig.  2  Improvement ratios of AMKF under different noise levels on the system input (time-varying noise)
    下载: 全尺寸图片

    图1的信号频率 $f$ =0.5 Hz。由图12可以看出:不论噪声是否时变,AMKF改善率最高时对应的最优 $q$ 值总在真实加速度噪声 $\sigma _{\rm{a}}^2$ 附近波动;AMKF的改善率随着 $q$ 值的减小而对 $q$ 值的变化逐渐敏感。这是因为 $q$ 值减小会使卡尔曼增益减小,导致位移观测值对位移后验估计的贡献减小,进而使得时间更新的数值积分过程过度影响了位移的后验估计[1]

    由以上分析可知:虽然最优的 $q$ 值在 $\sigma _{\rm{a}}^2$ 值附近小范围波动,但在真实值 $q = \sigma _{\rm{a}}^2$ 时,滤波始终能保持一个较优的改善率,因此,可近似地将 $q = \sigma _{\rm{a}}^2$ 视为最优值。这也说明,考虑加速度传感器噪声的稳定性得到的先验值是一个合理选择。另一方面,由于自适应滤波的改善率随着 $q$ 取值远离最优值而降低,且 $q$ 取值越小,改善率减小越快。因此,在实际应用时,如果难以先验得到准确的 $\sigma _{\rm{a}}^2$ ,将 $q$ 值取得稍大是一种更优的选择。

    选取 $q = \sigma _{\rm{a}}^2$ $q = 10\sigma _{\rm{a}}^2$ 两种情况进行对比。选取 $q = \sigma _{\rm{a}}^2$ 代表已知最优系统输入噪声参数时,滤波的表现情况;选取 $q = 10\sigma _{\rm{a}}^2$ 则代表滤波在噪声参数选取不理想时的表现情况。假定加速度测量噪声服从高斯白噪声分布的情况下,由统计学中的3 $\sigma $ 原则可知,先验加速度噪声方差 $ \leqslant 9\sigma _{\rm{a}}^2$ 的概率为99.73%。考虑极端情况,将 $q$ 值取得稍大,即可认为 $q = 10\sigma _{\rm{a}}^2$ 是系统输入噪声参数极不理想的情况。

    设置不同的噪声参数初值,各种滤波表现情况见表2

    表  2  设置不同的噪声初值各种滤波表现情况
    Table  2  Filter variants with different initial settings of noise parameters
    情况 方法 系统输出噪声参数 ${R_1}$ 系统输入噪声参数 $q$
    A MKF 0.1 10 $\sigma _{\rm{a}}^2$
    B MKF $\sigma _{\rm{d}}^2$或 $\sigma _{ {\rm{d,v} } }^2(1)$ $\sigma _{\rm{a}}^2$
    C AMKF 0.1 10 $\sigma _{\rm{a}}^2$
    D AMKF 0.1 $\sigma _{\rm{a}}^2$
    E MKF $\sigma _{ {\rm{d,v} } }^2(k)$ $\sigma _{\rm{a}}^2$

    表2可知:

    1)当初始噪声参数都不正确时,MKF与AMKF的位移估计效果如情况A和C,此时, ${R_1}$ =0.1, $q = 10\sigma _{\rm{a}}^2$

    2)在时不变噪声或者时变噪声下,实际使用MKF的情况如情况B:在时不变噪声条件下, ${R_1} = \sigma _{\rm{d}}^2$ ;在时变噪声条件下, ${R_1} = \sigma _{{\rm{d,v}}}^2(1)$ $\sigma _{{\rm{d,v}}}\left( k \right) $ 表示k时刻的时变位移噪声。情况B反映了在时不变噪声下,理想的MKF的运行效果以及在时变噪声下,仅初始噪声参数正确的MKF的运行效果。

    3)情况D反映系统输入噪声参数正确时AMKF的运行效果,即在任意噪声条件下满足 ${R_1}$ =0.1, $q = \sigma _{\rm{a}}^2$

    4)情况E反映时变噪声下,理想的MKF的运行情况,即时变噪声条件,其任意时刻的系统输出噪声参数总是满足 ${R_k} = \sigma _{{\rm{d,v}}}^2\left( k \right)$

    为了观察MKF与AMKF的位移估计结果随信号频率变化的规律及在多自由度结构响应下的有效性,以单频率的简谐波信号及多自由度的风电塔有限元模型响应为例,对表2所示的5种情况进行比较分析。

    结构位移实时估计需要滤波具有良好的鲁棒性,在外界干扰加大后依然能保持较好的效果。滤波位移估计结果随信号频率变化的规律及滤波在不同噪声程度下的性能表现,如图3所示。

    图  3  0.1~5.0 Hz频率段下各滤波的改善率
    Fig.  3  Improvement ratios of filter variants for signals in 0.1~5.0 Hz frequency band
    下载: 全尺寸图片

    图3(a)中各曲线的趋势可以看出,MKF和AMKF两种方法的位移估计改善率都随着信号频率的增加而逐渐减小。这是由于滤波在无位移观测值的时刻,位移是通过加速度二次积分估计,在信号采样频率不变的情况下,信号频率越高数值积分误差越大。

    比较图3(a)各情况的结果,可以得到:

    1)对于情况A,不正确的噪声参数使得MKF的改善率随着噪声的增加出现了明显降低。在噪声参数不正确的情况下,MKF难以在高噪声环境下稳定工作,即当信号频率较高时,其改善率会快速下降,直至失去对位移估计的改善能力。

    2)情况B作为所有噪声参数均正确的MKF,保持了较高的改善率,并且在相同信号频率下的改善率没有随着噪声的增加而出现明显波动。

    3)对情况C,虽然噪声参数初值 ${R_1}$ $q$ 都不正确降低了AMKF的改善率,但依然优于同频率下的情况A。且在同一频率下,情况C面对不同程度的噪声,依然有较稳定的改善率,表明在噪声参数不正确的情况下,AMKF有较好的鲁棒性。

    4)在个别高频低噪声条件下,情况D改善率退化至情况C改善率附近,但在其他频率下,依然要优于情况C。对比情况B和D可以发现,系统输入噪声参数正确时,AMKF对位移的估计效果仅略低于理想条件的MKF。

    虽然在高频低噪声条件下,参数正确的AMKF能对位移估计有一定的改善能力;但此时加速度积分误差对估计精度的影响已大于噪声参数的影响,即使噪声参数正确,滤波的改善能力也较弱。因此,当结构处于较高频振动时,为保证算法有较高的位移估计精度,需要提高信号的采样频率。

    在实际使用时,受多路径误差、可见卫星数量等因素影响,位移噪声可能会出现较大变化。因此,考虑时变位移噪声下滤波改善率是有意义的。时变噪声下MKF与AMKF的表现情况,如图3(b)所示。由图3(b)可知:同时不变噪声条件一样,情况A表现最差,随着信号频率接近位移采样的奈奎斯特频率,情况A会逐渐失去对位移估计的改善能力,情况C明显优于情况A;对比情况B和 D,可以发现在时变噪声下,情况B改善率出现了明显的下降;情况D和E在同频率下的改善率非常接近,这表明在时变噪声条件下,系统输入噪声参数正确的AMKF效果依然与理想状况下的MKF相近。

    由上述分析可知,不论位移测量噪声是否时变、噪声参数初值是否正确,相比于同情况的MKF、AMKF都有较好的识别表现;并随着系统输入噪声参数 $q$ 越接近真实值,AMKF也越接近理想的MKF。

    利用ABAQUS建立此风电塔有限元模型,其一阶和2阶频率分别为0.484和4.157 Hz[27]。由于中国西部风电塔大量建设区域同样也是地震易发区,地震作用可能导致风电塔紧急制动措施失效,风电塔同时遭受风和地震影响的情况不可忽视[28]。因此,考虑风和地震作用耦合,得到的风电塔塔顶位移响应和加速度响应,其塔顶位移及位移频谱如图4所示。

    图  4  风电塔塔顶位移及位移频谱
    Fig.  4  Top displacement and displacement spectrum of the wind turbine
    下载: 全尺寸图片

    由于风电塔所处自然环境条件较为恶劣,GNSS设备受多路径误差、可见卫星数量变化、电磁环境等干扰严重,因此,仅考虑时变噪声情况。时变噪声下滤波位移估计的改善率见表3

    表  3  不同滤波情况下风电塔位移估计的改善率
    Table  3  Improvement ratios of displacement estimation for the wind turbine tower under filter variants
    情况 时变噪声下改善率/%
    A 25.33
    B 69.61
    C 69.63
    D 74.94
    E 75.19

    表3可知,情况D与情况E表现相似,其改善率最优;情况B与情况C改善率相似,且优于情况A。

    为了直观地反映以上结论,表3为蒙特卡洛仿真的位移时程和对应的位移误差如图5所示。

    图  5  时变噪声下风电塔位移估计结果与误差
    Fig.  5  Displacement estimation results and error of the wind turbine under time-varying noise
    下载: 全尺寸图片

    图5可知,情况A位移估计结果最差,其估计值在真实值上下出现了较大的跳变;情况C位移估计表现良好,与理想的MKF差距不明显;不论在何种噪声条件下,情况D位移时程曲线几乎与理想的MKF重合,这说明了本文AMKF应用于多自由度结构进行位移估计的有效性。

    虽然从表3图5的情况E可以看出,在噪声参数正确的情况下MKF表现较好,但在实际使用时,一方面MKF噪声参数一般都是固定的,不具备自我调节噪声参数的能力;另一方面,对GNSS设备而言,时变的测量噪声参数难以在各时刻都准确获得。因此,在实际使用中,MKF通常难以长时间稳定地提供一个较好的结果。而本文使用的AMKF,不论位移噪声是否时变、初始噪声参数是否正确,依然能提供较为优异的位移估计结果。因此,相比于MKF,AMKF是一种实际使用中更优的数据融合方法。

    本文基于Sage–Husa噪声估计器,提出了一种能自适应估计系统输出噪声的AMKF方法,用于加速度与位移数据的融合。讨论了不同系统输入、输出噪声参数取值时AMKF位移估计结果的有效性,并提出了AMKF的噪声参数初值选取的可行方案。利用频率不同的谐波位移信号及风电塔有限元仿真的位移进一步对AMKF的效果进行了验证,并与传统MKF的结果进行对比,证明AMKF是一种较优的实时位移估计方法。具体结论如下:

    1)不论位移噪声是否时变,使用的AMKF能够在噪声参数初值不合理的情况下,提供一个较优的估计结果;同时,在噪声参数初值与实际值差异过大的情况下也能保持较好的识别效果,其对于系统输出噪声参数初值及系统输入噪声参数选取的宽松性为实际使用带来了更好的容错率,表现出了较好的鲁棒性。

    2)对于系统输入噪声参数的取值,随着其越来越接近真实值,AMKF的改善率也越高;对于系统输出噪声参数的初值,由于其取值对AMKF影响轻微,AMKF对初值的选取并没有过多的要求。

    3)在信号采样频率固定的情况下,AMKF方法的位移估计效果会随着位移信号频率的增加而降低。因此,如果实际应用中信号的频率过高,需要考虑提高传感器的采样频率,以得到更优的位移估计结果。

    4)本文的自适应方法作为一种次优估计方法,尽管能够在噪声参数取值有误的情况下提供一个较优的滤波结果,但要更精准地对信号进行分析还是依赖于原始信号的质量及各种后处理措施。滤波的真正实时性与精确性不可兼得。

  • 图  1   不同系统输入噪声参数下AMKF的改善率(噪声时不变)

    Fig.  1   Improvement ratios of AMKF under different noise levels on the system input (time-invariant noise)

    下载: 全尺寸图片

    图  2   不同系统输入噪声参数下AMKF的改善率(噪声时变)

    Fig.  2   Improvement ratios of AMKF under different noise levels on the system input (time-varying noise)

    下载: 全尺寸图片

    图  3   0.1~5.0 Hz频率段下各滤波的改善率

    Fig.  3   Improvement ratios of filter variants for signals in 0.1~5.0 Hz frequency band

    下载: 全尺寸图片

    图  4   风电塔塔顶位移及位移频谱

    Fig.  4   Top displacement and displacement spectrum of the wind turbine

    下载: 全尺寸图片

    图  5   时变噪声下风电塔位移估计结果与误差

    Fig.  5   Displacement estimation results and error of the wind turbine under time-varying noise

    下载: 全尺寸图片

    表  1   不同R1值AMKF的改善率

    Table  1   Improvement ratios of AMKF under different R1 values

    ${R_1}$ ${R_1} \cdot \sigma _{{\rm{a}}}^{ - 2}$ $\delta_{\text{IR}} $(0.1 Hz)/% $\delta_{\text{IR}} $(1.0 Hz)/% $\delta_{\text{IR}} $(5.0 Hz)/%
    5.0×10–15 1.0×10–14 75.99 39.92 21.65
    0.1 0.2 76.14 39.92 22.26
    0.5 1.0 76.04 39.50 22.02
    50.0 100.0 75.58 36.71 22.10
      注: $\delta_{\text{IR}} $(0.1 Hz)、 $\delta_{\text{IR}} $(1 Hz)和 $\delta_{\text{IR}} $(5 Hz)分别为信号频率在 $ f $=0.1、1.0、5.0 Hz时的AMKF改善率。

    表  2   设置不同的噪声初值各种滤波表现情况

    Table  2   Filter variants with different initial settings of noise parameters

    情况 方法 系统输出噪声参数 ${R_1}$ 系统输入噪声参数 $q$
    A MKF 0.1 10 $\sigma _{\rm{a}}^2$
    B MKF $\sigma _{\rm{d}}^2$或 $\sigma _{ {\rm{d,v} } }^2(1)$ $\sigma _{\rm{a}}^2$
    C AMKF 0.1 10 $\sigma _{\rm{a}}^2$
    D AMKF 0.1 $\sigma _{\rm{a}}^2$
    E MKF $\sigma _{ {\rm{d,v} } }^2(k)$ $\sigma _{\rm{a}}^2$

    表  3   不同滤波情况下风电塔位移估计的改善率

    Table  3   Improvement ratios of displacement estimation for the wind turbine tower under filter variants

    情况 时变噪声下改善率/%
    A 25.33
    B 69.61
    C 69.63
    D 74.94
    E 75.19
  • [1] Kim K,Sohn H.Dynamic displacement estimation by fusing LDV and LiDAR measurements via smoothing based Kalman filtering[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2017,82:339–355. doi: 10.1016/j.ymssp.2016.05.027
    [2] Kim J,Kim K,Sohn H.Autonomous dynamic displacement estimation from data fusion of acceleration and intermittent displacement measurements[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2014,42(1/2):194–205. doi: 10.1016/j.ymssp.2013.09.014
    [3] 戴吾蛟,伍锡锈,罗飞雪.高楼振动监测中的GPS与加速度计集成方法研究[J].振动与冲击,2011,30(7):223–226. doi: 10.13465/j.cnki.jvs.2011.07.008

    Dai Wujiao,Wu Xixiu,Luo Feixue.Integration of GPS and accelerometer for high building vibration monitoring[J].Journal of Vibration and Shock,2011,30(7):223–226 doi: 10.13465/j.cnki.jvs.2011.07.008
    [4] 余加勇,邵旭东,孟晓林,等.联合GNSS和加速度计的桥梁结构动态监测试验[J].中国公路学报,2014,27(2):62–69. doi: 10.19721/j.cnki.1001-7372.2014.02.008

    Yu Jiayong,Shao Xudong,Meng Xiaolin,et al.Experimental research on dynamic monitoring of bridges using GNSS and accelerometer[J].China Journal of Highway and Transport,2014,27(2):62–69 doi: 10.19721/j.cnki.1001-7372.2014.02.008
    [5] Kim K,Choi J,Chung J,et al.Structural displacement estimation through multi-rate fusion of accelerometer and RTK-GPS displacement and velocity measurements[J].Measurement,2018,130:223–235. doi: 10.1016/j.measurement.2018.07.090
    [6] Hwang J,Yun H,Park S K,et al.Optimal methods of RTK-GPS/accelerometer integration to monitor the displacement of structures[J].Sensors(Basel),2012,12(1):1014–1034. doi: 10.3390/s120101014
    [7] Zhu Hongping,Gao Ke,Xia Yong,et al.Multi-rate data fusion for dynamic displacement measurement of beam-like supertall structures using acceleration and strain sensors[J].Structural Health Monitoring,2020,19(2):520–536. doi: 10.1177/1475921719857043
    [8] Hong Y H,Lee Se gun,Lee H S.Design of the FEM-FIR filter for displacement reconstruction using accelerations and displacements measured at different sampling rates[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2013,38(2):460–481. doi: 10.1016/j.ymssp.2013.02.007
    [9] Yu Jiayong,Meng Xiaolin,Shao Xudong,et al.Identification of dynamic displacements and modal frequencies of a medium-span suspension bridge using multimode GNSS processing[J].Engineering Structures,2014,81:432–443. doi: 10.1016/j.engstruct.2014.10.010[LinkOut
    [10] Yu Jiayong,Meng Xiaolin,Yan Banfu,et al.Global Navigation Satellite System-based positioning technology for structural health monitoring:A review[J].Structural Control and Health Monitoring,2020,27(1):1–27. doi: 10.1002/stc.2467
    [11] Smyth A,Wu Meiliang.Multi-rate Kalman filtering for the data fusion of displacement and acceleration response measurements in dynamic system monitoring[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2007,21(2):706–723. doi: 10.1016/j.ymssp.2006.03.005
    [12] Bock Y,Melgar D,Crowell B W.Real-time strong-motion broadband displacements from collocated GPS and accelerometers[J].Bulletin of the Seismological Society of America,2011,101(6):2904–2925. doi: 10.1785/0120110007
    [13] Li Xingxing,Ge Maorong,Zhang Yong,et al.High-rate coseismic displacements from tightly integrated processing of raw GPS and accelerometer data[J].Geophysical Journal International,2013,195(1):612–624. doi: 10.1093/gji/ggt249
    [14] Zhao Donghua,Liu Xiaochen,Zhao Huijun,et al.Seamless integration of polarization compass and inertial navigation data with a self-learning multi-rate residual correction algorithm[J].Measurement,2021,170:108694. doi: 10.1016/j.measurement.2020.108694
    [15] Xiao Xuan,Shen Kai,Liang Yuan,et al.Kalman filter with recursive covariance estimation for protection against system uncertainty[J].IET Control Theory & Applications,2020,14(15):2097–2105. doi: 10.1049/iet-cta.2019.1476
    [16] Dan S.Optimal State Estimation:Kalman,H Infinity,and Nonlinear Approaches[M].Hoboken:John Wiley & Sons,Inc.,2006.
    [17] 林旭,罗志才.位移和加速度融合的自适应多速率Kalman滤波方法[J].地球物理学报,2016,59(5):1608–1615. doi: 10.6038/cjg20160506

    Lin Xu,Luo Zhicai.A new adaptive multi-rate Kalman filter for the data fusion of displacement and acceleration[J].Chinese Journal of Geophysics,2016,59(5):1608–1615 doi: 10.6038/cjg20160506
    [18] Xu Yan,Brownjohn J M W,Hester D,et al.Long-span bridges:Enhanced data fusion of GPS displacement and deck accelerations[J].Engineering Structures,2017,147:639–651. doi: 10.1016/j.engstruct.2017.06.018
    [19] Niu J,Xu C.Real-time assessment of the broadband coseismic deformation of the 2011 tohoku-Oki earthquake using an adaptive Kalman filter[J].Seismological Research Letters,2014,85(4):836–843. doi: 10.1785/0220130178
    [20] Li Z,Chang C C.Adaptive quantification of noise variance using subspace technique[J].Journal of Engineering Mechanics,2013,139(4):469–478. doi: 10.1061/(asce)em.1943-7889.0000499
    [21] Odelson B,Rajamani M,Rawlings J.A new autocovariance least-squares method for estimating noise covariances[J].Automatica,2006,42(2):303–308. doi: 10.1016/j.automatica.2005.09.006
    [22] Narasimhappa M,Mahindrakar A D,Guizilini V C,et al.MEMS-based IMU drift minimization:Sage husa adaptive robust Kalman filtering[J].IEEE Sensors Journal,2020,20(1):250–260. doi: 10.1109/JSEN.2019.2941273
    [23] 石勇,韩崇昭.自适应UKF算法在目标跟踪中的应用[J].自动化学报,2011,37(6):755–759.

    Shi Yong,Han Chongzhao.Adaptive UKF method with applications to target tracking[J].Acta Automatica Sinica,2011,37(6):755–759
    [24] Sun Jin,Xu Xiaosu,Liu Yiting,et al.FOG random drift signal denoising based on the improved AR model and modified sage-husa adaptive Kalman filter[J].Sensors(Basel),2016,16(7):1073. doi: 10.3390/s16071073
    [25] 严恭敏,翁浚.捷联惯导算法与组合导航原理[M].西安:西北工业大学出版社,2019:159–161.
    [26] Song Mingming,Astroza R,Ebrahimian H,et al.Adaptive Kalman filters for nonlinear finite element model updating[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2020,143:106837. doi: 10.1016/j.ymssp.2020.106837
    [27] Dai Kaoshan,Huang Yichao,Gong Changqing,et al.Rapid seismic analysis methodology for in-service wind turbine towers[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2015,14(3):539–548. doi: 10.1007/s11803-015-0043-0
    [28] 梅竹,胡皓,戴靠山,等.长周期地震动–脉动风耦合作用下风电塔架动力响应分析与混合试验初步验证[J].工程力学,2021,38(增刊1):58–65. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.06.S011

    Mei Zhu,Hu Hao,Dai Kaoshan,et al.Dynamic response analysis and preliminary verification of hybrid test of wind power tower under the coupling of long period ground motion and fluctuating wind[J].Engineering Mechanics,2021,38(Supp1):58–65 doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.06.S011
图(5)  /  表(3)

本文结构

    /

    返回文章
    返回