Vibration Characteristics Analysis of Hypoid Gear Transmission System for Drive Axle
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摘要: 驱动桥是微车传动系统的核心部件之一，承受复杂的载荷，影响整车的安全、舒适和动力，其振动和噪声对整车舒适性（NVH）性能有重要影响。为掌握驱动桥振动响应的影响规律，实现驱动桥动态特性的主动控制，本文以驱动桥准双曲面齿轮传动系统为研究对象，考虑主从齿时变啮合刚度、阻尼、传动误差和冲击等激励，基于集中质量法构建驱动桥齿轮传动系统的多变参数耦合振动模型，并依据牛顿第二定律推导其振动微分方程组，采用RK算法求解方程组；对比准双曲面齿轮修形优化前后主、从动齿轮的垂直、扭转和轴向振动数值解，并讨论输入转速和加载扭矩的改变对系统振动特性的影响规律。结果表明：优化后的齿轮运转振动值减小；主从齿的垂直和轴向振动规律复杂，处于近似混沌运动状态；扭转方向上呈现拟周期运动；输入转速和加载扭矩的改变对主从齿轴向振动影响最大，垂直方向次之，扭转方向最小。进一步对驱动桥总成进行振动测试分析，结果表明，新状态样件的动态性能更优，测试数据的趋势与理论分析结果符合较好。该研究成果可应用于分析驱动桥的关键激励因素，预测振动响应，提升产品的动态性能。Abstract: The drive axle is one of the core components of the micro-vehicle transmission system, which bears complex loads and affects the safety, comfort and power of the vehicle. The performance of drive axle has a significant effect on vehicle NVH (noise vibration and harshness). In order to obtain the influence laws of drive axle vibration response and further implementthe active control of the dynamic characteristics, a multi-factor coupling vibration model is established based on lumped mass method considering the key excitations of the hypoid gear transmission system in drive axle, including time-varying mesh stiffness, damping, transmission error and impact. The differential equations of the nonlinear vibration model were derived on the basis of Newton’s Law, which are further solved by the Runge-Kutta method. After performing the optimization of the hypoid gears, the influence laws of input speed and load torque changes on the vibration characteristics are discussed considering the numerical solutions on the verticality, torsion and axial directions for both the driving and driven gears. Computational results indicate that the proposed solution can reduce the gear vibration, and a nearly chaotic phenomenon is caused by the complicated vibration laws of the vertical and axial dimensions for the driving gear and driven gear, while a quasi-periodic state is for the torsional dimension. In addition, the changes in input speed and loading torque have the largest impacts on the axial vibration, followed by the vertical dimension, and the smallest in the torsional dimension. The results of the vibration test and data analysis for the gear transmission system also demonstrate that higher dynamic performance can be obtained for optimized samples, which also supports the theoretical analysis of the drive axle. The proposed approach is expected to be applied to improve dynamic performance of certain products by analyzing the key excitation factors and predicting the vibration response of the drive axle.
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Keywords:
- hypoid gear /
- lumped mass method /
- vibration characteristics /
- chaotic motion /
- dynamic performance
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随着全球汽车产业轻量化的发展趋势、汽车排放法规以及客户对汽车动力稳定性和振动噪声控制的严格要求，汽车传动装置正向轻量化、高效率、低噪声和高可靠性等方向发展。驱动桥作为微车传动系统的核心组成部件之一，受载工况十分复杂，其工作性能直接关系到整车的安全性、舒适性以及动力性等，尤其运行的振动和噪声对整车舒适（noise vibration and harshness，NVH）性能的直接影响甚大。降低驱动桥振动与噪声是增强汽车产品竞争力的最有效途径之一，也是国内外学术界和汽车工程界的研究热点。
Wang等[1]考虑非线性支撑、不同刚度、动态力等，分析非线性因素对齿轮振动模型的影响。Zhu等[2]对准双曲面齿轮进行啮合接触分析，研究其啮合机理和多种非线性激励因素对系统振动响应的影响规律。Yang等[3]考虑齿隙和非对称啮合效应，研究了啮合刚度和不对称性因素对齿轮动态响应的影响规律。Wang等[4]研究非线性时变参数的准双曲面齿轮动力学特性，揭示陀螺效应、旋转轴刚度、轻扭载等因素对系统动态特性的影响，用于指导传动系统的改进。Yavuz等[5]研究包含时变刚度和齿侧间隙的平行轴齿轮和相交轴齿轮振动模型，并提出一种模态叠加求解法来研究多齿轮啮合传动系统的非线性动力学问题。魏莎等[6]总结了近年来考虑多种非线性因素的齿轮振动研究。Guerine等[7]重点分析随机参数（阻尼、刚度、质量）相互间耦合后对系统的振动影响。周驰等[8]研究输入变转矩外部激励对驱动桥振动系统的影响规律，重点分析支承刚度和传动误差随转矩改变的变化趋势。Choi等[9]研究导致驱动桥主减速器齿轮产生振动和噪声的因素，通过优化齿形降低振动，并研究负载改变对系统振动特性带来的影响。蒋进科[10]、聂少武[11]、Simon[12]、杜进辅[13]等通过齿面修形改善了齿面接触区域，有效提升了齿轮啮合的平稳性。Shi等[14]分析传动轴的同轴度差和质量不平衡对齿轮转子系统动态响应的作用。Athanasopoulos等[15]提出计算驱动桥齿轮副全接触路径滑动、滚动速度的新方法，分析引入摩擦的啮合性能。Mohammadpour等[16]建立集润滑轴承、齿轮接触的动力学模型，并分析驱动桥齿轮差分特性。
从上述国内外关于驱动桥齿轮传动系统的振动与噪声相关研究成果来看，不同学者考虑的基础参数各有不同，建模和分析都忽略了一些非线性时变因素，其振动特性研究还不够深入，有些工作还缺乏试验数据。作者借鉴已有的研究成果，以驱动桥准双曲面齿轮传动系统为研究对象，开展非线性振动特性研究，为其后续的动态优化设计、振动与噪声预测等提供理论依据。
1. 主减速器系统内部激励
动态激励是驱动桥系统产生振动和噪声的根本原因，尤其是齿轮啮合过程中的内部动态激励，主要有3个方面：齿形误差或齿面磨损不均匀造成的冲击；齿轮受载后发生变形，造成沿啮合线法线上的脉动力；内部系统中各旋转零件的偏心质量。后续构建驱动桥齿轮传动系统的多因素耦合振动模型时，引入的内部激励主要包括主减齿轮的啮合时变刚度、制造安装误差引起的误差激励以及齿轮啮入冲击等。齿轮啮合时内部激励计算流程图如图1所示。通过主减速器主从动齿轮的啮合接触分析，可准确进行内部激励的计算，相关齿轮几何接触分析和承载接触分析、齿轮副啮合接触分析见文献[2,5,14,17]所述方法。
图 1 内部激励计算流程图Fig. 1 Calculation flow chart of internal excitations
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1.1 时变刚度激励
主减速器齿轮的啮合刚度是驱动桥系统动力学中决定齿轮动载荷、负载量和主减振动与噪声的重要参数之一。由于主减速器齿轮的啮合重合度并非整数，随啮合过程的重复变化呈周期性循环，同时伴随着齿轮弹性变形、啮合位置的周期性变化，继而使得齿轮的啮合刚度随时间周期变化。利用齿轮副承载接触分析得到啮合线上不同啮合位置的接触力和接触变形，从而得到一系列不同位置的啮合刚度离散点，再求取该时刻的等效啮合刚度值，具体计算方法参考文献[18]。
由于求得的主减速器齿轮的啮合刚度是一系列离散值，相邻两数据对应的时间点间的步长一定，而时间段内的其他点的啮合刚度值未知，且振动微分方程组的求解需要连续时间点上的刚度值。故需将这一系列离散刚度值拟合成关于时间连续变化的曲线，以满足后续振动微分方程组求解。采用8阶Fourier级数形式拟合离散刚度值，能有效满足拟合曲线的精度要求。拟合的主减速器齿轮的综合啮合刚度曲线如图2所示。
图 2 综合啮合刚度拟合曲线Fig. 2 Synthetical mesh stiffness curve下载:
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1.2 传动误差激励
主减速器齿轮啮合过程中，其传动误差激励主要由制造与安装误差、齿轮热变形、主从动齿轮轴线夹角偏离90°等引起，且呈现周期性交替变化。主减速器齿轮的制造过程中，每一工艺环节都可能造成误差累积，最终导致齿轮的基节、齿距、压力角、齿形、齿向等都出现一定偏差。故啮合齿廓与理论啮合状态发生偏离，使齿轮的瞬时传动比改变，对正常运转齿轮的振动和噪声会产生较大影响[19]。建立驱动桥齿轮传动系统的多因素耦合振动模型时，将制造安装产生的传动误差采用简谐函数表示：
$$ {e_{\text{m}}}(t) = e{}_{{\text{r}}0} + {e_{\text{r}}}{\text{sin}}\;(2{\text{π}}t/{T_{\text{c}}} + \varphi ) $$ (1) 式中：
$e{}_{{\text{r}}0}$ 、${e_{\text{r}}}$ 为齿轮误差常值和幅值；${T_{\text{c}}}$ 为齿轮啮合周期，${T_{\text{c}}} = 2{\text{π}}/(\omega Z)$ ，其中，$\omega $ 为齿轮工作圆频率，$\omega = n{\text{π}}/30$ ，Z为齿数；$\varphi $ 为误差相位角。加工齿轮的机床分度机构带来的齿形误差：
$$ {e_{\text{h}}}(t) = {e_{\text{r}}}{\text{sin}}\;({Z_{\text{w}}}\omega t + \varphi ) $$ (2) 式中，
${Z_{\text{w}}}$ 为分度蜗轮的齿数。按照主减速器齿轮7级加工精度要求，查取齿轮手册有齿距极限偏差20 μm，齿形误差11 μm。根据不同输入转速工况确定齿轮工作圆频率，将齿形误差按上述简谐函数写成关于时间连续变化函数。通过Fourier级数展开式，将制造安装产生的误差与齿形误差进行合成，其主减速器齿轮系统等效综合传动误差拟合曲线如图3所示。
图 3 综合传动误差拟合曲线Fig. 3 Synthetical transmission error curve下载:
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1.3 计算冲击激励
主减速器齿轮啮合过程中，因齿轮误差、受载变形和其他因素导致的偏差等而存在啮合基节误差，将导致理论啮入点与实际啮入点不一致，形成啮入冲击。而齿轮退出啮合时，理论啮出点与实际啮出点位置不同，形成啮出冲击。上述啮合全程中所存在的冲击就是啮合冲击，其随着啮合过程的往复形成具有周期性的冲击力，主要包括啮入、啮出和节点冲击3种情况。3种不同的冲击载荷对齿轮系统传动的影响程度不一样，啮入冲击的影响比啮出和节点冲击大得多，故后文驱动桥齿轮传动系统的振动模型仅代入啮入冲击参数。
最大啮入冲击力
${F_{{\text{cs}}}}$ 计算式为[20]：$$ {F_{{\text{cs}}}} = {{\Delta }}v\sqrt {\frac{{b{I_1}{I_2}}}{{{q_{\text{s}}}({I_1}R_{{\text{b2}}}^2 + {I_2}R_{{\text{b1}}}^2)}}} $$ (3) 式中：Δν为啮入冲击速度，
$\text{Δ}v\text{=}l{\omega }_{\text{p}}\text{cos}\;{\phi }_{1}－{R}_{\text{a}2}{\omega }_{\text{g}}\text{cos}\;{\phi }_{2}$ ，其中，l为啮合点到主齿中心距离，$ {R_{{\text{a}}2}} $ 为从齿的齿顶圆半径，$ {\omega _{\text{p}}} $ 、$ {\omega _{\text{g}}} $ 为主从齿角速度，$ \phi_{1} $ 、$ \phi_{2} $ 分别为$ l{\omega _{\text{1}}} $ 、$ {R_{{\text{a}}2}}{\omega _{\text{2}}} $ 速度与偏离理论的瞬时啮合线夹角；b为齿宽；$ I_{1} $ 、$ I_{2} $ 分别为主从齿的转动惯量；$R_{{\text{b1}}}^{}$ 、$R_{{\text{b2}}}^{}$ 分别为主从齿的瞬时啮合线对应的瞬时基圆半径；${q_{\text{s}}}$ 为综合柔度。主齿转速1500 r/min时，一对齿轮间的啮合冲击力变化曲线如图4所示。
图 4 啮入冲击力曲线Fig. 4 Mesh impact curve下载:
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2. 齿轮传动系统空间动力学模型
驱动桥的实际运行工况十分复杂，为简化计算模型，将齿轮、差壳等各个零件视为刚体，支撑位置处的刚度均为定值，不考虑啮合间的摩擦；同时，以等效弹簧刚度来替代振动系统中齿轮啮合副、回转副和支撑轴承等处所存在的弹性变形，建立驱动桥耦合振动模型如图5所示。图5中：差速器齿轮结构具有对称性，其工作中A、B、C、D 4点处啮合模型的参数种类一致，图中仅画出A点代表的振动模型；系统中运动零件包括主动齿轮、从动齿轮、2个行星齿轮、2个半轴齿轮、2根半轴和差壳；关于主从动齿轮、半轴的扭转刚度与扭转阻尼，以及弯曲刚度与阻尼未单独标出，在建立振动微分方程组时说明。
图 5 驱动桥齿轮传动系统的非线性振动模型Fig. 5 Nonlinear vibration model of gear transmission system in drive axle下载:
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驱动桥传动系统的广义自由度坐标向量
${\boldsymbol{X}}$ ：$$ \begin{aligned}[b] {\boldsymbol{X}} =& [{x_{{\text{p}}j}},{y_{{\text{p}}j}},{{\textit{z}}_{{\text{p}}j}},{\theta _{{\text{p}}xj}},{x_{{\text{g}}j}},{y_{{\text{g}}j}},{{\textit{z}}_{{\text{g}}j}},{\theta _{{\text{g}}yj}},{x_{{\text{a}}j}},{y_{{\text{a}}j}}, \\&{{\textit{z}}_{{\text{a}}j}},{\theta _{{\text{a}}xj}}, {\theta _{\text{n}}},{x_{{\text{b}}j}},{y_{{\text{b}}j}},{{\textit{z}}_{{\text{b}}j}},{\theta _{{\text{b}}yj}},{x_{{\text{c}}j}},{y_{{\text{c}}j}},{{\textit{z}}_{{\text{c}}j}},{\theta _{{\text{c}}yj}}{]^{\rm{T}}} \end{aligned} $$ (4) 式中：
${x_{{\text{p}}j}}$ 、${y_{{\text{p}}j}}$ 、${{\textit{z}}_{{\text{p}}j}}$ 为主动齿轮后端与前端轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移振动位移；${\theta _{{\text{p}}xj}}$ 为支撑点绕x方向的转角振动位移，其中， j=1,2；${x_{{\text{g}}j}}$ 、${y_{{\text{g}}j}}$ 、${{\textit{z}}_{{\text{g}}j}}$ 为从动齿轮左端与右端轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移振动位移；${\theta _{{\text{g}}yj}}$ 为支撑点绕y方向的转角振动位移；${x_{{\text{a}}j}}$ 、${y_{{\text{a}}j}}$ 、${{\textit{z}}_{{\text{a}}j}}$ 为行星齿轮支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移振动位移；${\theta _{{\text{a}}xj}}$ 为支撑点绕x方向的转角振动位移；${\theta _{\text{n}}}$ 为行星齿轮轴的转角振动位移；${x_{{\text{b}}j}}$ 、${y_{{\text{b}}j}}$ 、${{\textit{z}}_{{\text{b}}j}}$ 为半轴齿轮支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移振动位移；${\theta _{{\text{b}}yj}}$ 为支撑点绕y方向的转角振动位移；${x_{{\text{c}}j}}$ 、${y_{{\text{c}}j}}$ 、${{\textit{z}}_{{\text{c}}j}}$ 为半轴轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移振动位移；${\theta _{{\text{c}}yj}}$ 为支撑点绕y方向的转角振动位移。主齿后端轴承支撑中心点振动方程：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {m_{{\text{p}}x1}}{{\ddot x}_{{\text{p}}1}} + {c_{{\text{p}}x1}}{{\dot x}_{{\text{p}}1}} + {k_{{\text{p}}x1}}f({x_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}x1}}) + {c_{{\text{p}}x}}({{\dot x}_{{\text{p}}1}} + {{\dot x}_{{\text{p}}2}}) + \\\quad {k_{{\text{p}}x}}[f({x_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}x1}}) + f({x_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}x2}})] = - {F_{{\text{p}}x1}}{{,}} \\ {m_{{\text{p}}y1}}{\ddot y_{{\text{p}}1}} + {c_{{\text{p}}y1}}{\dot y_{{\text{p}}1}} + {k_{{\text{p}}y1}}f({y_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}y1}}) = - {F_{{\text{p}}y1}}{{ ,}} \\{m_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{p}}1}} + {c_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{p}}1}} + {k_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}f({{\textit{z}}_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}) + {c_{{\text{p}}{\textit{z}}}}({{\dot {\textit{z}}}_{{\text{p}}1}} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\text{p}}2}}) + \\\quad {k_{{\text{p}}{\textit{z}}}}[f({{\textit{z}}_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}) - f({{\textit{z}}_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}{\textit{z}}2}})] = - {F_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}{{ ,}} \\ {I_{{\text{p}}x1}}{\ddot \theta _{{\text{p}}x1}} + {c_{{\text{p}}xn1}}({\dot \theta _{{\text{p}}x1}} - {\dot \theta _{{\text{p}}x2}}) + {k_{{\text{p}}xn1}}({\theta _{{\text{p}}x1}} - {\theta _{{\text{p}}x2}}) = \\ \quad - {R_{{\text{p}}x1}}{F_{{\text{p}}x1}} + {T_{\text{h}}} \end{array}\right. $$ (5) 主齿前端轴承支撑中心点振动方程：
$$ \left\{\begin{gathered} {m_{{\text{p}}x2}}{{\ddot x}_{{\text{p}}2}} + {c_{{\text{p}}x2}}{{\dot x}_{{\text{p}}2}} + {k_{{\text{p}}x2}}f({x_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}x2}}) + {c_{{\text{p}}x}}({{\dot x}_{{\text{p}}1}} + {{\dot x}_{{\text{p}}2}}) + \\\quad {k_{{\text{p}}x}}[f({x_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}x1}}) + f({x_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}x2}})] = - {F_{{\text{p}}x2}} - {F_{{\text{mpg}}x}} - {F_{{\text{s}}x}}{{ ,}} \\ {m_{{\text{p}}y2}}{\ddot y_{{\text{p}}2}} + {c_{{\text{p}}y2}}{\dot y_{{\text{p}}2}} + {k_{{\text{p}}y2}}f({y_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}y2}}) = - {F_{{\text{p}}y2}} - {F_{{\text{mpg}}y}} - {F_{{\text{s}}y}}{{ ,}} \\ {m_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{p}}2}} + {c_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{p}}2}} + {k_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}f({{\textit{z}}_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}) + {c_{{\text{p}}{\textit{z}}}}({{\dot {\textit{z}}}_{{\text{p}}2}} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\text{p}}1}}) + \\\quad {k_{{\text{p}}{\textit{z}}}}[f({{\textit{z}}_{{\text{p}}2}},{b_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}) - f({{\textit{z}}_{{\text{p}}1}},{b_{{\text{p}}{\textit{z}}1}})] = - {F_{{\text{p}}{\textit{z}}2}} - {F_{{\text{mpg}}{\textit{z}}}} - {F_{{\text{s}}{\textit{z}}}}{{ ,}} \\ {I_{{\text{p}}x2}}{{\ddot \theta }_{{\text{p}}x2}} + {c_{{\text{p}}x{\text{n}}2}}({{\dot \theta }_{{\text{p}}x2}} - {{\dot \theta }_{{\text{p}}x1}}) + {k_{{\text{p}}x{\text{n}}2}}({\theta _{{\text{p}}x2}} - {\theta _{{\text{p}}x1}}) = \\\quad - {R_{{\text{p}}x2}}{F_{{\text{p}}x2}} - {R_{{\text{mpg}}x1}}{F_{{\text{mpg}}x}} - {R_{{\text{pgs}}x1}}{F_{{\text{s}}x}} \\ \end{gathered} \right. $$ (6) 从齿两端轴承支撑中心点振动方程：
$$ \left\{\begin{gathered}{m_{{\text{g}}x1}}{\ddot {x}_{{\text{g}}1}} + {c_{{\text{g}}x1}}{\dot {x}_{{\text{g}}1}} + {k_{{\text{g}}x1}}f({x_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}x1}}) = - {F_{{\text{g}}x1}} - ({F_{{\text{mpg}}x}} + {F_{{\text{s}}x}})/2{{ ,}} \\ {m_{{\text{g}}y1}}{{\ddot {y}}_{{\text{g}}1}} + {c_{{\text{g}}y1}}{{\dot y}_{{\text{g}}1}} + {k_{{\text{g}}y1}}f({y_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}y1}}) + {c_{{\text{g}}y}}({{\dot x}_{{\text{g}}1}} + {{\dot x}_{{\text{g}}2}}) + \\\quad {k_{{\text{g}}y}}[f({y_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}y1}}) + f({y_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}y2}})] = - {F_{{\text{g}}y1}} - ({F_{{\text{mpg}}y}} + {F_{{\text{s}}y}})/2{{ ,}} \\ {m_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{g}}1}} + {c_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{g}}1}} + {k_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}f({{\textit{z}}_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}) + {c_{{\text{g}}{\textit{z}}}}({{\dot {\textit{z}}}_{{\text{g}}1}} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\text{g}}2}}) + \\\quad {k_{{\text{g}}{\textit{z}}}}[f({{\textit{z}}_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}) - f({{\textit{z}}_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}{\textit{z}}2}})] = - {F_{{\text{g}}{\textit{z}}1}} - ({F_{{\text{mpg}}{\textit{z}}}} + {F_{{\text{s}}{\textit{z}}}})/2{{ ,}} \\ {I_{{\text{g}}y1}}{{\ddot \theta }_{{\text{g}}y1}} + {c_{{\text{g}}y{\text{n}}1}}({{\dot \theta }_{{\text{g}}y1}} - {{\dot \theta }_{{\text{g}}y2}}) + {k_{{\text{g}}y{\text{n}}1}}({\theta _{{\text{g}}y1}} - {\theta _{{\text{g}}y2}}) = \\\quad - {R_{{\text{g}}y1}}{F_{{\text{g}}y1}} - ({R_{{\text{mpg}}y2}}{F_{{\text{mpg}}y}} + {R_{{\text{pgs}}y2}}{F_{{\text{s}}y}})/2 + {T_{\text{d}}} \\ \end{gathered}\right. $$ (7) $$ \left\{\begin{gathered}{m_{{\text{g}}x2}}{\ddot x_{{\text{g}}2}} + {c_{{\text{g}}x2}}{\dot x_{{\text{g}}2}} + {k_{{\text{g}}x2}}f({x_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}x2}}) = - {F_{{\text{g}}x2}} - ({F_{{\text{mpg}}x}} + {F_{{\text{s}}x}})/2{{ ,}} \\ {m_{{\text{g}}y2}}{{\ddot y}_{{\text{g}}2}} + {c_{{\text{g}}y2}}{{\dot y}_{{\text{g}}2}} + {k_{{\text{g}}y2}}f({y_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}y2}}) + {c_{{\text{g}}y}}({{\dot x}_{{\text{g}}1}} + {{\dot x}_{{\text{g}}2}}) + \\\quad {k_{{\text{g}}y}}[f({y_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}y1}}) + f({y_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}y2}})] = - {F_{{\text{g}}y2}} - ({F_{{\text{mpg}}y}} + {F_{{\text{s}}y}})/2{{ ,}} \\ {m_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{g}}2}} + {c_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{g}}2}} + {k_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}f({{\textit{z}}_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}) + {c_{{\text{g}}{\textit{z}}}}({{\dot {\textit{z}}}_{{\text{g}}2}} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\text{g}}1}}) + \\\quad {k_{{\text{g}}{\textit{z}}}}[f({{\textit{z}}_{{\text{g}}2}},{b_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}) - f({{\textit{z}}_{{\text{g}}1}},{b_{{\text{g}}{\textit{z}}1}})] = - {F_{{\text{g}}{\textit{z}}2}} - ({F_{{\text{mpg}}y}} + {F_{{\text{s}}y}})/2{{ ,}} \\ {I_{{\text{g}}y2}}{{\ddot \theta }_{{\text{g}}y2}} + {c_{{\text{g}}y{\text{n}}2}}({{\dot \theta }_{{\text{g}}y2}} - {{\dot \theta }_{{\text{g}}y1}}) + {k_{{\text{g}}y{\text{n}}2}}({\theta _{{\text{g}}y2}} - {\theta _{{\text{g}}y1}}) = \\\quad - {R_{{\text{g}}y2}}{F_{{\text{g}}y2}} - ({R_{{\text{mpg}}y2}}{F_{{\text{mpg}}y}} + {R_{{\text{pgs}}y2}}{F_{{\text{s}}y}})/2 + {T_{\text{d}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 半轴齿轮中心点振动方程：
$$ \left\{\begin{gathered} {m_{{\text{b}}xi}}{{\ddot x}_{{\text{b}}i}} + {c_{{\text{b}}xi}}{{\dot x}_{{\text{b}}i}} + {k_{{\text{b}}xi}}f({x_{{\text{b}}i}},{b_{{\text{b}}xi}}) = \cos\; {\theta _{\text{b}}}[{c_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}}- \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}1}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} \times f({\delta _{{\text{maib1}}}} - {e_{{\text{ab}}1}},{b_{{\text{ab}}1}}) + {c_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b2}}}} - \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}2}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - {e_{{\text{ab}}2}},{b_{{\text{ab}}2}})]{{ ,}} \\ {m_{{\text{b}}yi}}{{\ddot y}_{{\text{b}}i}} + {c_{{\text{b}}yi}}{{\dot y}_{{\text{b}}i}} + {k_{{\text{b}}yi}}f({y_{{\text{b}}i}},{b_{{\text{b}}yi}}) = - \sin \;{\theta _{\text{b}}}\sin ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}} \times \\\quad (i - 1)/n)[{c_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}1}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} \times f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} - {e_{{\text{ab}}1}}, \\\quad {b_{{\text{ab}}1}}) + {c_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}2}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - {e_{{\text{ab}}2}},{b_{{\text{ab}}2}})]{{ ,}} \\ {m_{{\text{b}}{\textit{z}}i}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{b}}i}} + {c_{{\text{b}}{\textit{z}}i}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{b}}i}} + {k_{{\text{b}}{\textit{z}}i}}f({{\textit{z}}_{{\text{b}}i}},{b_{{\text{b}}{\textit{z}}i}}) = - \sin \;{\theta _{\text{b}}}\cos ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}} \times \\\quad (i - 1)/n)[{c_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}1}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} \times f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} - {e_{{\text{ab}}1}}, \\\quad {b_{{\text{ab}}1}}) + {c_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}2}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - {e_{{\text{ab}}2}},{b_{{\text{ab}}2}})]{{ ,}} \\ {I_{{\text{b}}yi}}{{\ddot \theta }_{{\text{b}}yi}} + {c_{{\text{b}}y{\text{n}}i}}({{\dot \theta }_{{\text{b}}yi}} - {{\dot \theta }_{{\text{g}}yi}}) + {k_{{\text{b}}y{\text{n}}i}}({\theta _{{\text{b}}yi}} - {\theta _{{\text{g}}yi}}) = \\\quad {R_{{\text{bb}}}}\cos \;{\theta _{\text{b}}} \times \sin ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)[{c_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} - \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}1}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}1}}f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}1}} - {e_{{\text{ab}}1}},{b_{{\text{ab}}1}}) + {c_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}2}}) + {k_{{\text{ma}}i{\text{b}}2}}f({\delta _{{\text{ma}}i{\text{b}}2}} - {e_{{\text{ab}}2}},{b_{{\text{ab}}2}})] + {T_{{\text{bs}}i}} \\ \end{gathered}\right. $$ (9) 半轴轴承支撑中心点振动方程：
$$ \left\{\begin{gathered}{m_{{\text{c}}xi}}{\ddot x_{{\text{c}}i}} + {c_{{\text{c}}xi}}{\dot x_{{\text{c}}i}} + {k_{{\text{c}}xi}}f({x_{{\text{c}}i}},{b_{{\text{c}}xi}}) = - {F_{{\text{c}}xi}}{{ ,}} \\ {m_{{\text{c}}yi}}{{\ddot y}_{{\text{c}}i}} + {c_{{\text{c}}yi}}{{\dot y}_{{\text{c}}i}} + {k_{{\text{c}}yi}}f({y_{{\text{c}}i}},{b_{{\text{c}}yi}}) + {c_{y{\text{ab}}i}}({{\dot y}_{{\text{b}}i}} + {{\dot y}_{{\text{c}}i}}) + \\\quad {k_{y{\text{ab}}i}}[f({y_{{\text{b}}i}},{b_{{\text{b}}yi}}) + f({y_{{\text{c}}i}},{b_{{\text{c}}yi}})] = - {F_{{\text{c}}yi}}{{ ,}} \\ {m_{{\text{c}}{\textit{z}}i}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{c}}i}} + {c_{{\text{c}}{\textit{z}}i}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{c}}i}} + {k_{{\text{c}}{\textit{z}}i}}f({{\textit{z}}_{{\text{c}}i}},{b_{{\text{c}}{\textit{z}}i}}) + {c_{{\text{bc}}}}({{\dot {\textit{z}}}_{{\text{c}}i}} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\text{b}}i}}) + \\\quad {k_{{\text{bc}}}}[f({{\textit{z}}_{{\text{c}}i}},{b_{{\text{c}}{\textit{z}}i}}) - f({{\textit{z}}_{{\text{b}}i}},{b_{{\text{b}}{\textit{z}}i}})] = - {F_{{\text{c}}{\textit{z}}i}}{{ ,}} \\ {I_{{\text{c}}yi}}{\ddot \theta _{{\text{c}}yi}} + {c_{{\text{c}}y{\text{n}}i}}({\dot \theta _{{\text{c}}yi}} - {\dot \theta _{{\text{b}}yi}}) + {k_{{\text{c}}y{\text{n}}i}}({\theta _{{\text{c}}yi}} - {\theta _{{\text{b}}yi}}) = - {R_{{\text{c}}yi}}{F_{{\text{c}}yi}} + {T_{\text{b}}} \end{gathered}\right. $$ (10) 行星齿轮中心点振动方程：
$$ \left\{\begin{gathered} {m_{{\text{a}}xj}}{{\ddot x}_{{\text{a}}j}} + {c_{{\text{a}}xj}}{{\dot x}_{{\text{a}}j}} + {k_{{\text{a}}xj}}f({x_{{\text{a}}j}},{b_{{\text{a}}xj}}) = \cos \;{\theta _{\text{a}}}[{c_{{\text{ma}}1{\text{b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}1{\text{b}}i}} - \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) + {k_{{\text{ma}}1{\text{b}}i}} \times f({\delta _{{\text{ma}}1{\text{b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}}) + {c_{{\text{ma}}2{\text{b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma}}2{\text{b}}i}} - \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) + {k_{{\text{ma2b}}i}}f({\delta _{{\text{ma2b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}})]{{ ,}} \\ {m_{{\text{ay}}j}}{{\ddot y}_{{\text{a}}j}} + {c_{{\text{ay}}j}}{{\dot y}_{{\text{a}}j}} + {k_{{\text{ay}}j}}f({y_{{\text{a}}j}},{b_{{\text{ay}}j}}) = \sin\; {\theta _{\text{a}}}\sin \;{\phi _{\text{a}}}[{c_{{\text{ma1b}}i}} \times \\\quad ({{\dot \delta }_{{\text{ma1b}}i}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) + {k_{{\text{ma1b}}i}}f({\delta _{{\text{ma1b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}}) - {c_{{\text{ma2b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma2b}}i}} - \\\quad {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) - {k_{{\text{ma2b}}i}}f({\delta _{{\text{ma2b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}})]{{ ,}} \\ {m_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}{{\ddot {\textit{z}}}_{{\text{a}}j}} + {c_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}({{\dot {\textit{z}}}_{{\text{a}}j}} - {{\dot \theta }_{\text{n}}}{R_{\text{a}}}) + {k_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}f({{\textit{z}}_{{\text{a}}j}} - {\theta _{\text{n}}}{R_{\text{a}}},{b_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}) = - \\\quad \sin \;{\theta _{\text{a}}}\cos\; {\phi _{\text{a}}}[{c_{{\text{ma1b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma1b}}i}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) + {k_{{\text{ma1b}}i}}f({\delta _{{\text{ma1b}}i}} - \\\quad {b_{{\text{ab}}i}}) + {c_{{\text{ma2b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma2b}}i}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) + {k_{{\text{ma2b}}i}}f({\delta _{{\text{ma2b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}})]{{ ,}} \\ {I_{{\text{a}}xj}}{{\ddot \theta }_{{\text{a}}xj}} + {c_{{\text{a}}x{\text{n}}j}}{{\dot \theta }_{{\text{a}}xj}} + {k_{{\text{a}}x{\text{n}}j}}{\theta _{{\text{a}}xj}} = [{c_{{\text{ma1b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma1b}}i}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) + \\\quad {k_{{\text{ma1b}}i}}f({\delta _{{\text{ma1b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}}) - {c_{{\text{ma2b}}i}}({{\dot \delta }_{{\text{ma2b}}i}} - {{\dot e}_{{\text{ab}}i}}) - \\\quad {k_{{\text{ma2b}}i}}f({\delta _{{\text{ma2b}}i}} - {e_{{\text{ab}}i}},{b_{{\text{ab}}i}})]{R_{{\text{ab}}}}\sin\; {\theta _{\text{a}}} \\ \end{gathered}\right. $$ (11) 行星齿轮轴振动方程：
$$ {I_{\text{n}}}{\ddot \theta _{\text{n}}} + \sum\limits_{j = 1}^m {{K_{\text{r}}}{R_{{\text{bb}}}}({\theta _{\text{n}}}{R_{{\text{bb}}}} - {{\textit{z}}_{{\text{a}}j}})} + {K_{\text{n}}}{\theta _{\text{n}}} = {T_{j{\text{m}}}} $$ (12) 式（5）～（12）中：
${k_{{\text{p}}x1}}$ 、${k_{{\text{p}}y1}}$ 、${k_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}$ ，${c_{{\text{p}}x1}}$ 、${c_{{\text{p}}y1}}$ 、${c_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}$ ，${b_{{\text{p}}x1}}$ 、${b_{{\text{p}}y1}}$ 、${b_{{\text{p}}{\textit{z}}1}}$ 分别为主动齿轮后端轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{{\text{p}}x}}$ 、${c_{{\text{p}}x}}$ 分别为主动齿轮轴向拉伸或压缩的刚度和阻尼；${k_{{\text{p}}x2}}$ 、${k_{{\text{p}}y2}}$ 、${k_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}$ ，${c_{{\text{p}}x2}}$ 、${c_{{\text{p}}y2}}$ 、${c_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}$ ，${b_{{\text{p}}x2}}$ 、${b_{{\text{p}}y2}}$ 、${b_{{\text{p}}{\textit{z}}2}}$ 分别为主动齿轮前端轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{{\text{g}}x1}}$ 、${k_{{\text{g}}y1}}$ 、${k_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}$ ，${c_{{\text{g}}x1}}$ 、${c_{{\text{g}}y1}}$ 、${c_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}$ ，${b_{{\text{g}}x1}}$ 、${b_{{\text{g}}y1}}$ 、${b_{{\text{g}}{\textit{z}}1}}$ 分别为从动齿轮与差速器系统右端轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{{\text{g}}x2}}$ 、${k_{{\text{g}}y2}}$ 、${k_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}$ ，${c_{{\text{g}}x2}}$ 、${c_{{\text{g}}y2}}$ 、${c_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}$ ，${b_{{\text{g}}x2}}$ 、${b_{{\text{g}}y2}}$ 、${b_{{\text{g}}{\textit{z}}2}}$ 为从动齿轮与差速器系统左端轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{{\text{g}}y}}$ 、$ {c_{{\text{g}}y}} $ 为从动齿轮与差速器系统轴向拉伸或压缩的刚度和阻尼；${k_{{\text{a}}xj}}$ 、${k_{{\text{a}}yj}}$ 、${k_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}$ ，${c_{{\text{a}}xj}}$ 、${c_{{\text{a}}yj}}$ 、${c_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}$ ，${b_{{\text{a}}xj}}$ 、${b_{{\text{a}}yj}}$ 、${b_{{\text{a}}{\textit{z}}j}}$ （j=1，2）为行星齿轮支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{{\text{b}}xj}}$ 、${k_{{\text{b}}yj}}$ 、${k_{{\text{b}}{\textit{z}}j}}$ ，${c_{{\text{b}}xj}}$ 、${c_{{\text{b}}yj}}$ 、${c_{{\text{b}}{\textit{z}}j}}$ ，${b_{{\text{b}}xj}}$ 、${b_{{\text{b}}yj}}$ 、${b_{{\text{b}}{\textit{z}}j}}$ （j=1，2）为半轴齿轮支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{y{\text{ab}}j}}$ 、${c_{y{\text{ab}}j}}$ （j=1，2）为半轴的轴向拉伸或压缩的刚度和阻尼；${k_{{\text{c}}xj}}$ 、${k_{{\text{c}}yj}}$ 、${k_{{\text{c}}{\textit{z}}j}}$ ，${c_{{\text{c}}xj}}$ 、${c_{{\text{c}}yj}}$ 、${c_{{\text{c}}{\textit{z}}j}}$ ，${b_{{\text{c}}xj}}$ 、${b_{{\text{c}}yj}}$ 、${b_{{\text{c}}{\textit{z}}j}}$ （j=1，2）为半轴的轴承支撑中心点分别沿x、y、z 3个方向的平移刚度、阻尼和半支撑间隙；${k_{{\text{mpg}}}}$ 、${c_{{\text{mpg}}}}$ 、${b_{{\text{pg}}}}$ 、${e_{{\text{pg}}}}$ 分别为主从动齿轮的时变啮合刚度、啮合阻尼、半齿侧间隙、综合啮合误差；${k_{{\text{mab}}i}}$ 、${c_{{\text{mab}}i}}$ 、${b_{{\text{ab}}i}}$ 、${e_{{\text{ab}}i}}$ 为行星齿轮与半轴齿轮的时变啮合刚度、啮合阻尼、半齿侧间隙、啮合误差；${m_{mhi}}$ 、${I_{mhi}}$ （m=p，g，a，b，c；h=x，y，z；i=1，2）分别为支撑中心点分别沿各平移方向上的等效集中质量及各自绕轴线的转动惯量；${k_{mh{\text{n}}i}}$ 、${c_{mh{\text{n}}i}}$ （m= p，g，a，b，c；h=x，y，z；i=1，2）为支撑中心点绕各坐标轴线的扭转刚度和扭转阻尼； f(H,b)为间隙函数；T为转矩；Fs为冲击力；R为各力旋转半径；e为传递误差。计算齿轮间的啮合力[21]：
$$ {F_{{\text{mesh,}}i}} = {k_{{\text{mv,}}i}}(t){f_{{\text{m}}i}}({X_i}) + {c_{{\text{mv,}}i}}(t){\dot X_i} $$ (13) 式中，
${k_{{\text{mv,}}i}}(t)$ 为啮合刚度，${f_{{\text{m}}i}}({X_i})$ 为间隙函数，${c_{{\text{mv,}}i}}(t)$ 为啮合阻尼，${\dot X_i}$ 为移动速度。${f_{{\text{m}}i}}({X_i})$ 为间隙非线性函数：$$ {f}_{\text{m}i}({X}_{i})=\left\{ \begin{array}{l}{X}_{i}-{b}_{\text{n}},\;{X}_{i} > {b}_{\text{n}}{;}\\ 0,\;-{b}_{\text{n}}\le {X}_{i}\le {b}_{n}{;}\\ {X}_{i}+{b}_{\text{n}},\;{X}_{i} < -{b}_{\text{n}}\end{array}\right. $$ (14) 式中：
${X_i}$ 为相对位移，$ {X}_{i}={R}_{\text{p}}{\theta }_{\text{p}}－{R}_{\text{g}}{\theta }_{\text{g}}－{e}_{\text{t}} $ ，${e_{\text{t}}}$ 为简谐函数静态传递误差；${b_{\text{n}}}$ 为1/2齿侧间隙。主从动齿的啮合力
${F_{{\text{mpg}}}}$ 计算式：$$ {F_{{\text{mpg}}}} = {c_{{\text{mpg}}}}({\dot \delta _{{\text{mpg}}}} - {\dot e_{{\text{pg}}}}) + {k_{{\text{mpg}}}}f({\delta _{{\text{mpg}}}} - {e_{{\text{pg}}}},{b_{{\text{pg}}}}) $$ (15) 沿啮合点法线方向的相对位移
${\delta _{{\text{mpg}}}}$ 计算式：$$ \begin{aligned}[b] {\delta _{{\text{mpg}}}} = &({x_{\text{p}}} + {r_{{\text{p}}1}}{\theta _{{\text{p}}y}})\cos\; {\delta _{\text{p}}}\sin\; {\alpha _{\text{n}}} - ({x_{\text{g}}} + {r_{{\text{p}}2}}{\theta _{{\text{g}}y}}) \times \\& \cos\; {\delta _{\text{g}}}\sin\; {\alpha _{\text{n}}} + (({y_{\text{p}}} + {r_{{\text{p}}1}}{\theta _{{\text{p}}x}})(\cos\; {\delta _{\text{p}}}\cos\; {\alpha _{\text{n}}}\sin\; {\beta _{\text{p}}} + \\& \sin\; {\delta _{\text{p}}}\sin\; {\alpha _{\text{n}}}) - ({y_{\text{p}}} - {r_{{\text{p}}2}}{\theta _{{\text{g}}x}})(\cos\; {\delta _{\text{g}}}\cos\; {\alpha _{\text{n}}}\sin\; {\beta _{\text{g}}} + \\& \sin\; {\delta _{\text{g}}}\sin\; {\alpha _{\text{n}}})) - ({{\textit{z}}_{\text{p}}}(\sin\; {\delta _{\text{p}}} \times \cos\; {\alpha _{\text{n}}}\sin\; {\beta _{\text{p}}} + \\& \cos\; {\delta _{\text{p}}}\sin\; {\alpha _{\text{n}}}) - {{\textit{z}}_{\text{g}}}(\sin\; {\delta _{\text{g}}} \times \cos\; {\alpha _{\text{n}}} \times \sin\; {\beta _{\text{g}}} + \\& \cos\; {\delta _{\text{g}}}\sin\; {\alpha _{\text{n}}})) + {e_{{\text{pg}}}}(t) \\[-10pt] \end{aligned} $$ (16) 式中，
${\delta _{\text{p}}}$ 、${\delta _{\text{g}}}$ 分别为主、从动齿轮节锥角，${\alpha _{\text{n}}}$ 为法向压力角，$\;{\beta _{\text{p}}}$ 、$\;{\beta _{\text{g}}}$ 分别为主、从动齿轮中点螺旋角，${r_{{\text{p}}1}}$ 、${r_{{\text{p}}2}}$ 为参考点半径。半轴齿轮与行星齿轮沿啮合点法线方向的相对位移
${\delta _{{\text{ma}}1{\text{b}}i}}$ 、${\delta _{{\text{ma}}2{\text{b}}i}}$ 计算式：$$ \begin{aligned}[b] {\delta _{{\text{ma}}1{\text{b}}i}} =& - ( - {x_{{\text{b}}1}}\cos ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)\sin\; {\theta _{\text{b}}} - {y_{{\text{b}}1}} \times \\& \sin ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)\sin\; {\theta _{\text{b}}} + {{\textit{z}}_{{\text{b}}1}}\cos\; {\theta _{\text{b}}} + {\theta _{{\text{b}}x1}}{R_{{\text{bb}}}} \times \\& \cos ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)\cos\; {\theta _{\text{b}}} + {\theta _{{\text{b}}y1}}{R_{{\text{bb}}}}\sin ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - \\& 1)/n)\cos\; {\theta _{\text{b}}} + {\theta _{{\text{b}}{\textit{z}}1}}{R_{{\text{bb}}}}\sin\; {\theta _{\text{b}}}) - ( - {x_{{\text{a}}1}}\cos\; {\phi _{\text{a}}}\sin\; {\theta _{\text{a}}} + \\& {y_{{\text{a}}1}}\sin\; {\phi _{\text{a}}}\sin\; {\theta _{\text{a}}} + {{\textit{z}}_{{\text{a}}1}}\cos\; {\theta _{\text{a}}}) + {\theta _{{\text{a}}x1}}{R_{{\text{ab}}}}\cos\; {\phi _{\text{a}}}\cos\; {\theta _{\text{a}}} - \\& {\theta _{{\text{a}}y1}}{R_{{\text{ab}}}}\sin\; {\phi _{\text{a}}}\cos\; {\theta _{\text{a}}} + {\theta _{{\text{a}}{\textit{z}}1}}{R_{{\text{ab}}}}\sin\; {\theta _{\text{a}}} + {e_{{\text{ab}}1}}(t)\\[-10pt] \end{aligned} $$ (17) $$ \begin{aligned}[b] {\delta _{{\text{ma2b}}i}} =& - ({x_{{\text{b}}2}}\cos ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)\sin\; {\theta _{\text{b}}} - {y_{{\text{b}}2}} \times \\& \sin ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)\sin\; {\theta _{\text{b}}} + {{\textit{z}}_{{\text{b}}2}}\cos\; {\theta _{\text{b}}} + {\theta _{{\text{b}}x2}}{R_{{\text{bb}}}} \times \\& \cos ({\phi _{\text{b}}} + 2{\text{π}}(i - 1)/n)\cos\; {\theta _{\text{b}}} - {\theta _{{\text{b}}y2}} \times {R_{{\text{bb}}}}\sin ({\phi _{\text{b}}} + \\& 2{\text{π}}(i - 1)/n)\cos\; {\theta _{\text{b}}} - {\theta _{{\text{b}}{\textit{z}}2}}{R_{{\text{bb}}}}\sin\; {\theta _{\text{b}}}) + {x_{{\text{a}}2}}\cos\; {\phi _{\text{a}}} \times \\& \sin\; {\theta _{\text{a}}} - {y_{{\text{a}}2}}\sin\; {\phi _{\text{a}}}\sin\; {\theta _{\text{a}}} - {{\textit{z}}_{{\text{a}}2}}\cos\; {\theta _{\text{a}}} + {\theta _{{\text{a}}x2}}{R_{{\text{ab}}}}\cos\; {\phi _{\text{a}}} \times \\& \cos\; {\theta _{\text{a}}} - {\theta _{{\text{a}}y2}}{R_{{\text{ab}}}}\sin\; {\phi _{\text{a}}}\cos\; {\theta _{\text{a}}} + {\theta _{{\text{a}}{\textit{z}}2}}{R_{{\text{ab}}}}\sin\; {\theta _{\text{a}}} + {e_{{\text{ab}}2}}(t) \end{aligned} $$ (18) 式中，
${\theta _{\text{a}}}$ 、${\theta _{\text{b}}}$ 分别为行星齿轮和半轴齿轮的轴向分力与啮合线夹角，${\phi _{\text{a}}}$ 、${\phi _{\text{b}}}$ 分别为行星齿轮和半轴齿轮的径向分力与切向分力的正弦角，${R_{{\text{ab}}}}$ 、${R_{{\text{bb}}}}$ 分别为行星齿轮和半轴齿轮的中点基圆半径。对上述${\delta _{{\text{mpg}}}}$ 、${\delta _{{\text{ma}}1{\text{b}}i}}$ 和${\delta _{{\text{ma}}2{\text{b}}i}}$ 求1阶导数可得${\dot \delta _{{\text{mpg}}}}$ 、${\dot \delta _{{\text{ma}}1{\text{b}}i}}$ 和${\dot \delta _{{\text{ma}}2{\text{b}}i}}$ 。3. 振动特性分析
驱动桥系统包含传动零部件的基本参数见表1。针对2阶微分方程组引入的时变啮合刚度、啮合误差及啮合冲击等因素，将数据通过Fourier级数拟合成关于时间连续变化的曲线，再采用变步长4阶Runge-Kutta求解耦合振动模型。
表 1 零部件基本参数Table 1 Part parameters参数 齿数 端面模数/mm 质量/kg 转动惯量/(kg·m2) 阻尼比 轴承型号 半轴参数 主齿 10 3.953 1.208 6.958×10–4 0.08 主齿后端HM86649，
主齿前端HM89449，
差速器两端32008X1WC，
半轴46T080805质量6.247 kg，
转动惯量
2.147×10–3 kg·m2从齿 43 3.953 3.184 2.306×10–2 0.08 行星齿轮 10 5.565 0.146 7.732×10–5 0.08 半轴齿轮 16 5.565 0.288 1.525×10–4 0.08 3.1 优化前后的对比
基于格里森Ease–off模块完成齿面的自由修形。根据齿轮传动误差幅值最小、接触印痕和V/H比值来筛选失配系数的最佳修正值，齿轮修形后的空载和满载对应的接触印痕、传动误差如图6所示，要求印痕不出现边缘接触、齿面中间偏小端、沿齿面均匀分布。
图 6 主齿面修形后的接触印痕和传动误差Fig. 6 Contact patterns and transmission errors after pinion tooth surface modification下载:
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结合有限元加载模拟工况，修形前、后的齿面接触应力如图7所示。由图7可见，修形改善了齿顶边缘应力集中现象。
图 7 修形前、后齿面的接触应力Fig. 7 Contact stress of tooth surface before and after modification下载:
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按设定工况为例：输入转速1 500 r/min、输入转矩273 N·m，求解驱动桥振动微分方程组，获得主、从动齿轮的垂直、扭转和轴向的振动数值解，以及其他旋转零件质心处的振动特性值。以主动齿轮垂直振动特性为例分析，对比优化前后的分析数值来说明系统优化后的性能提升。驱动桥振动系统运转到既定工况，且处于稳定工作时的主齿垂直振动位移与频谱情况如图8所示。由图8可见：优化前振动平衡位置处于开始点2.3 μm处，且在12 ms后稳定，位移幅值约18 μm；传动系统优化后振动平衡位置处于开始点0.5 μm处，且在8 ms后稳定，位移幅值约13.5 μm，比优化前的幅值降低25%。
图 8 主齿垂直振动位移与频谱Fig. 8 Vertical vibration displacement and frequency spectrum of pinion下载:
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对垂直振动位移数据进行FFT转换，其幅值谱中2 000 Hz波段内的位移峰值较丰富，包含频率成分十分复杂。优化前后位移峰值分别为13.56和7.54 μm，对应频率257.8 Hz。按照给定的主齿输入转速1 500 r/min，垂直振动位移峰值所在频率与主从齿的啮合频率250 Hz相近，与主减齿轮系统的运转规律相符合。主齿垂直振动位移求1阶导数后得到垂直振动速度与频谱如图9所示。
图 9 主齿垂直振动速度与频谱Fig. 9 Vertical vibration velocity and frequency spectrum of pinion下载:
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求得垂直振动位移和速度响应后，采用相图来说明驱动桥的主齿动态系统在相平面上的运动状态，以位移作横坐标、速度作纵坐标。同时，去掉稳态前的瞬态响应数据，按激励周期作为时间段对数据采样，再将得到的散点数据绘制在位移和速度平面内。优化前后的主齿垂直振动位移和速度相图与Poincaré截面如图10所示。由图10可见：优化前后的主齿振动稳定后，相图逐渐形成反复内心形和不规则椭圆相互连接且环绕闭合的曲线，具有一定的复杂性，优化后的曲线重复性比优化前的重复性要好些；Poincaré截面内每一散点与各自的相图曲线皆是逐一对应，其散点呈现心形与环形结合分布，印证相图分析的结果。
图 10 优化前后的主齿垂直振动位移和速度相图及Poincaré截面Fig. 10 Vertical vibration displacement & velocity phase and Poincaré section of pinion before and after optimization下载:
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在得到主齿大端支撑点垂直振动位移与垂直振动速度后，按照支撑圆锥滚子轴承的刚度和阻尼系数，分别与位移、速度相乘，得到支撑轴承的弹性力、黏性力，再求和，计算出支撑轴承的动载荷。传动系统优化前后主齿前端支撑轴承的垂直动载荷如图11所示。由图11可见：在10 ms以后振动稳定，优化前动载荷幅值为180 N、优化后动载荷幅值为120 N，降低了33%，其值远小于轴承基本负荷条件下动态额定值。
图 11 优化前后主齿前端支撑轴承垂直动载荷Fig. 11 Vertical dynamic load of pinion front support bearing before and after optimization下载:
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求得主齿的垂直振动位移、垂直振动速度、支撑轴承垂直动载荷以及主从齿间的啮合力之后，再代入原驱动桥振动系统的微分方程组，可求出主齿的垂直振动加速度。系统处于稳定工作时主齿的垂直振动加速度情况如图12所示。
图 12 主齿的垂直振动加速度与频谱Fig. 12 Vertical vibration acceleration and frequency spectrum of pinion下载:
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由图12可见：优化前振动加速度幅值50 m/s2，优化后为41 m/s2，比优化前降低了18%，这与垂直振动位移和振动速度的趋势相同；对垂直振动加速度的数据进行FFT转换，得加速度幅值谱，2 000 Hz波段内的加速度峰值比较丰富，包含的频率成分十分复杂；优化前后加速度峰值分别为39.04和20.55 m/s2，二者对应峰值频率为234.4和265.6 Hz，与主从齿的啮合频率250 Hz接近，同主齿的垂直振动位移、垂直振动速度频谱数据保持一致。
逐一对比图8～12的传动系统优化前后主、从动齿轮的垂直、扭转和轴向振动数值解，数据表明：主、从齿垂直和轴向振动比扭转振动复杂，扭转振动具有良好规律性，呈现拟周期运动，而轴向振动十分复杂，处在近混沌运动状态；传动系统优化后主、从齿垂直和轴向振动数据好于优化前，与垂直振动数据分析结果一致；优化前后的扭转振动数据变化不大。
3.2 外部激励的影响
驱动桥传动系统的耦合振动模型包含多种非线性内外部激励因素，文中仅讨论输入转速和加载扭矩的外部激励改变对驱动桥传动系统振动特性的影响规律。主减速器齿轮的啮合频率由输入转速来确定，对应到汽车上即不同档位下行驶，而建立的驱动桥的耦合振动模型中包含的众多非线性因素（啮合刚度、误差等）都是与啮合频率有关的函数式表达，是一个重要的外部激励参数，故需讨论输入转速变化对整个驱动后桥振动系统的影响规律。为讨论单一参数变化的影响，求解振动微分方程组时，只改变输入转速，其余参数值保持不变。外部激励输入转速分别为500、1 000及2 000 r/min时，主动轮与从动轮的振动特性如图13～18所示。
图 13 主动轮与从动轮振动位移和速度相图（n=500 r/min）Fig. 13 Vibration displacement & velocity phase of pinion and driven gear ( n=500 r/min)下载:
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图 14 主动轮与从动轮振动加速度（n=500 r/min）Fig. 14 Vibration acceleration of pinion and driven gear (n=500 r/min)下载:
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图 15 主动轮与从动轮振动位移和速度相图（n=1 000 r/min）Fig. 15 Vibration displacement & velocity phase of pinion and driven gear ( n=1 000 r/min)下载:
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图 16 主动轮与从动轮振动加速度（n=1 000 r/min）Fig. 16 Vibration acceleration of pinion and driven gear (n=1 000 r/min)下载:
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图 17 主动轮与从动轮振动位移和速度相图（n=2 000 r/min）Fig. 17 Vibration displacement & velocity phase of pinion and driven gear ( n=2 000 r/min)下载:
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图 18 主动轮与从动轮振动加速度（n=2 000 r/min）Fig. 18 Vibration acceleration of pinion and driven gear (n=2 000 r/min)下载:
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图13～18中，列出了垂直、轴向与扭转3个方向上的振动位移和速度相图、振动加速度。由图13～18可见：随输入转速的变大，振动位移、振动速度和振动加速度都有不同程度的增加；主、从齿在扭转方向上的振动趋势基本保持不变，但垂直和轴向振动的规律性较差，尤其是轴向振动，已经呈现双不规则椭圆相互连接且交叉环绕扩展的闭合曲线，逐渐向近混沌运动演变；输入转速的改变对主、从齿轴向振动影响最大，垂直方向次之，扭转方向最小。
在不同加载扭矩激励下仿真得到主、从齿的相图和加速度规律，其与图13～18中3个方向的运动规律相似。限于篇幅，不再重复给出数据图，只对加载转矩对应的仿真结果加以说明。仿真获得了加载转矩分别为100、500、800 N·m时主动轮与从动轮的振动特性，数据表明：随输入转矩的变大，振动位移、振动速度和振动加速度都有不同程度的增加；从主、从齿各方向的振动相图看，主、从齿在垂直和扭转方向上的振动趋势基本保持不变，但垂直和轴向振动的规律性较差，尤其轴向振动，已经呈现双不规则椭圆相互连接且交叉环绕扩展的闭合曲线，逐渐向近混沌运动演变。输入转矩的改变对主从齿轴向振动影响最大，垂直方向次之，扭转方向最小，与输入转速的影响趋势相似。
4. 振动测试
依据QC/T533—1999[22]、GB/T6882—2008[23]对驱动桥传动系统进行振动测试，采用三向加速度传感器获取加速度振动信号，使用多通道信号采集处理系统与数据分析软件对采集的振动信号进行记录和后续数据处理。实验主要设备：LMS SCADAS 40通道型高精度信号采集处理系统、PCB_356A26三向加速度传感器、LMS Test.lab数据采集与信号处理软件。实验中三向加速度传感器布置点如图19所示。
图 19 三向加速度传感器布置方案Fig. 19 Placement scheme of triaxial acceleration sensors下载:
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分析驱动桥主减速器壳体底部的垂直方向振动，并将设计方案优化前后的相关测试值进行比较。驱动桥总成振动测试试验台如图20所示。对驱动桥进行振动测试：调试好测试系统，按照低速、中速、高速分别正转和反转运行一段时间，磨合后放掉废油再重新注入齿轮油，并让其正转，调到指定动力参数；当运转平稳后开始采集数据，分别测试4组指定条件下驱动桥的主减速器壳体底部的垂直方向振动。
图 20 驱动桥总成振动测试试验台Fig. 20 Vibration experiment platform of drive axle下载:
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试验参数：工况1，输入扭矩200 N·m，试验转速800 r/min；工况2，输入扭矩200 N·m，试验转速1 500 r/min；工况3，输入扭矩400 N·m，试验转速800 r/min；工况4，输入扭矩400 N·m，试验转速1 500 r/min。给出4组测试工况下的主减速器壳体底部振动加速度如图21所示。由图21可见：新状态下的驱动桥振动加速度幅值小于原状态的值，峰值数量也比原状态下的要少；新状态下的主减速器壳体底部垂直振动加速度变化趋势与理论上主齿的振动趋势类似，由于理论研究中还忽略掉摩擦和润滑油阻尼等，与实际工况有些差距，测试的振动加速度幅值比理论值小。
图 21 主减速器壳体底部振动加速度Fig. 21 Vibration acceleration at bottom of reducer case下载:
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4组试验测试值见表2。表2中，主减速器壳体底部垂直方向平衡位置点的振动位移、振动速度和振动加速度都取测试3次后的平均值作为测试值。由表2可知：在相同加载扭矩下，随着转速变大，垂直振动位移、速度、加速度值均增大；在相同转速下，随着加载扭矩增加，垂直振动位移、速度、加速度值均变大，表明负载扭矩和转速都对驱动桥振动响应有激发作用；在相同负载扭矩或相同转速的情况下，优化后驱动桥的主减速器壳体底部垂直振动位移、振动速度、振动加速度的测试值均低于原状态驱动桥的主减速器壳体底部相应值。试验证明优化后驱动桥具有更好的振动特性，与理论研究的结果一致，且运行过程中的噪声更低。
表 2 试验测试值Table 2 Test data工况编号 振动位移/μm 振动速度/(mm∙s–1) 振动加速度/(m∙s–2) 优化前 优化后 优化前 优化后 优化前 优化后 1 10.226 8.366 0.793 0.622 0.207 0.143 2 13.635 12.603 0.925 0.869 0.404 0.315 3 14.296 11.056 0.957 0.716 0.424 0.294 4 19.673 16.427 1.162 1.027 0.612 0.533 5. 结 论
1）以实现驱动桥动态特性的主动控制为目标，开展驱动桥准双曲面齿轮传动系统振动特性分析。通过驱动桥齿轮LTCA分析，获得引起齿轮传动系统振动的啮合刚度、传动误差、啮合冲击等关键内部激励因素。
2）基于集中质量法构建驱动桥齿轮传动系统的多变参数耦合振动模型，并依据牛顿第二定律推导其振动微分方程组，采用RK算法求解方程组。对比齿面修形优化前后主、从动齿轮的垂直、扭转和轴向的振动数值解，仿真数据为驱动桥动态设计和振动噪声抑制提供理论依据。
3）研究输入转速和加载扭矩的改变对驱动桥传动系统振动特性的影响规律。结果表明，转速和加载扭矩对主、从齿轴向振动影响最大，垂直方向次之，扭转方向最小，为驱动桥振动响应的预测提供数据支撑。
4）完成驱动桥加载工况的振动实验测试，新状态样件的动态性能更优，测试数据的趋势与理论分析结果符合较好。
后续将继续分析内部激励因素变化对系统的影响规律，并将摩擦因素、热变形、质量偏心等考虑在内，建立更加精确的耦合振动模型来预测响应趋势。
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图 1 内部激励计算流程图
Fig. 1 Calculation flow chart of internal excitations
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图 2 综合啮合刚度拟合曲线
Fig. 2 Synthetical mesh stiffness curve
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图 3 综合传动误差拟合曲线
Fig. 3 Synthetical transmission error curve
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图 4 啮入冲击力曲线
Fig. 4 Mesh impact curve
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图 5 驱动桥齿轮传动系统的非线性振动模型
Fig. 5 Nonlinear vibration model of gear transmission system in drive axle
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图 6 主齿面修形后的接触印痕和传动误差
Fig. 6 Contact patterns and transmission errors after pinion tooth surface modification
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图 7 修形前、后齿面的接触应力
Fig. 7 Contact stress of tooth surface before and after modification
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图 8 主齿垂直振动位移与频谱
Fig. 8 Vertical vibration displacement and frequency spectrum of pinion
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图 9 主齿垂直振动速度与频谱
Fig. 9 Vertical vibration velocity and frequency spectrum of pinion
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图 10 优化前后的主齿垂直振动位移和速度相图及Poincaré截面
Fig. 10 Vertical vibration displacement & velocity phase and Poincaré section of pinion before and after optimization
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图 11 优化前后主齿前端支撑轴承垂直动载荷
Fig. 11 Vertical dynamic load of pinion front support bearing before and after optimization
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图 12 主齿的垂直振动加速度与频谱
Fig. 12 Vertical vibration acceleration and frequency spectrum of pinion
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图 13 主动轮与从动轮振动位移和速度相图（n=500 r/min）
Fig. 13 Vibration displacement & velocity phase of pinion and driven gear ( n=500 r/min)
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图 14 主动轮与从动轮振动加速度（n=500 r/min）
Fig. 14 Vibration acceleration of pinion and driven gear (n=500 r/min)
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图 15 主动轮与从动轮振动位移和速度相图（n=1 000 r/min）
Fig. 15 Vibration displacement & velocity phase of pinion and driven gear ( n=1 000 r/min)
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图 16 主动轮与从动轮振动加速度（n=1 000 r/min）
Fig. 16 Vibration acceleration of pinion and driven gear (n=1 000 r/min)
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图 17 主动轮与从动轮振动位移和速度相图（n=2 000 r/min）
Fig. 17 Vibration displacement & velocity phase of pinion and driven gear ( n=2 000 r/min)
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图 18 主动轮与从动轮振动加速度（n=2 000 r/min）
Fig. 18 Vibration acceleration of pinion and driven gear (n=2 000 r/min)
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图 19 三向加速度传感器布置方案
Fig. 19 Placement scheme of triaxial acceleration sensors
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图 20 驱动桥总成振动测试试验台
Fig. 20 Vibration experiment platform of drive axle
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图 21 主减速器壳体底部振动加速度
Fig. 21 Vibration acceleration at bottom of reducer case
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表 1 零部件基本参数
Table 1 Part parameters
参数 齿数 端面模数/mm 质量/kg 转动惯量/(kg·m2) 阻尼比 轴承型号 半轴参数 主齿 10 3.953 1.208 6.958×10–4 0.08 主齿后端HM86649，
主齿前端HM89449，
差速器两端32008X1WC，
半轴46T080805质量6.247 kg，
转动惯量
2.147×10–3 kg·m2从齿 43 3.953 3.184 2.306×10–2 0.08 行星齿轮 10 5.565 0.146 7.732×10–5 0.08 半轴齿轮 16 5.565 0.288 1.525×10–4 0.08 表 2 试验测试值
Table 2 Test data
工况编号 振动位移/μm 振动速度/(mm∙s–1) 振动加速度/(m∙s–2) 优化前 优化后 优化前 优化后 优化前 优化后 1 10.226 8.366 0.793 0.622 0.207 0.143 2 13.635 12.603 0.925 0.869 0.404 0.315 3 14.296 11.056 0.957 0.716 0.424 0.294 4 19.673 16.427 1.162 1.027 0.612 0.533 -
[1] Wang Jungang,Mo Ruina.Nonlinear characteristics of a geared rotor system considering different support stiffness[J].Science of Advanced Materials,2017,9(11):1910–1921. doi: 10.1166/sam.2017.3244 [2] Zhu Haimin,Chen Weifang,Zhu Rupeng,et al.Modelling and dynamic analysis of the spiral bevel gear-shaft-bearing-gearbox coupling system[J].Mathematical Problems in Engineering,2019,2019(pt.19):1–16. doi: 10.1155/2019/9065215 [3] Yang Junyi,Peng Tao,Lim T C.An enhanced multi-term harmonic balance solution for nonlinear period-one dynamic motions in right-angle gear pairs[J].Nonlinear Dynamics,2012,67(2):1053–1065. doi: 10.1007/s11071-011-0048-9 [4] Wang Yawen,Yang Junyi,Guo Dong,et al.Vibration and sound radiation analysis of the final drive assembly considering the gear-shaft coupling dynamics[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part C:Journal of Mechanical Engineering Science,2016,230(7/8):1258–1275. doi: 10.1177/0954406216632021 [5] Yavuz S D,Saribay Z B,Cigeroglu E.Nonlinear dynamic analysis of a drivetrain composed of spur,helical and spiral bevel gears[J].Nonlinear Dynamics,2020,100(4):3145–3170. doi: 10.1007/s11071-020-05666-8 [6] 魏莎,韩勤锴,褚福磊.考虑不确定性因素的齿轮系统动力学研究综述[J].机械工程学报,2016,52(1):1–19. doi: 10.3901/JME.2016.01.001 Wei Sha,Han Qinkai,Chu Fulei.Review on research of uncertain dynamics for gear system[J].Journal of Mechanical Engineering,2016,52(1):1–19 doi: 10.3901/JME.2016.01.001 [7] Guerine A,El Hami A,Walha L,et al.A perturbation approach for the dynamic analysis of one stage gear system with uncertain nnparameters[J].Mechanism and Machine Theory,2015,92:113–126. doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2015.05.005 [8] 周驰,王琪,丁炜琦,等.输入转矩对驱动桥系统动力学特性的影响[J].机械工程学报,2016,52(2):134–143. doi: 10.3901/JME.2016.02.134 Zhou Chi,Wang Qi,Ding Weiqi,et al.Dynamics of drive axle system with effects of input torque[J].Journal of Mechanical Engineering,2016,52(2):134–143 doi: 10.3901/JME.2016.02.134 [9] Choi B J,Yoon J H,Oh J E.A study on axle gear whine noise reduction with deflection test[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part D:Journal of Automobile Engineering,2012,226(2):225–233. doi: 10.1177/0954407011414470 [10] 蒋进科,方宗德,刘钊.Ease-off拓扑修形准双曲面齿轮齿面多目标优化设计方法[J].西安交通大学学报,2019,53(6):44–53. doi: 10.7652/xjtuxb201906007 Jiang Jinke,Fang Zongde,Liu Zhao.Design of multi-objective tooth optimization for hypoid gear with ease-off topological modification[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2019,53(6):44–53 doi: 10.7652/xjtuxb201906007 [11] 聂少武,蒋闯,邓效忠,等.Ease-off拓扑修正的准双曲面齿轮齿面修形方法[J].中国机械工程,2019,30(22):2709–2715. doi: 10.3969/j.issn.1004-132X.2019.22.010 Nie Shaowu,Jiang Chuang,Deng Xiaozhong,et al.Flank modification method of hypoid gears with ease-off topology correction[J].China Mechanical Engineering,2019,30(22):2709–2715 doi: 10.3969/j.issn.1004-132X.2019.22.010 [12] Simon V V.Multi-objective optimization of hypoid gears to improve operating characteristics[J].Mechanism and Machine Theory,2020,146:103727. doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2019.103727 [13] 杜进辅,方宗德,张永振.摆线齿准双曲面齿轮齿面主动设计[J].国防科技大学学报,2015,37(6):167–174. doi: 10.11887/j.cn.201506030 Du Jinfu,Fang Zongde,Zhang Yongzhen.Active tooth surface design of cycloid hypoid gears[J].Journal of National University of Defense Technology,2015,37(6):167–174 doi: 10.11887/j.cn.201506030 [14] Shi Zhenghong,Lim T C.Effect of shaft misalignment on hypoid gear pair driven through a universal joint[J].International Journal of Automotive Technology,2020,21(2):371–383. doi: 10.1007/s12239-020-0035-6 [15] Athanasopoulos E,Salpistis C,Mohammadpour M,et al.Calculation of the kinematics of hypoid gears towards developing a method for an equivalent crossed helical gear pair selection for use in tribological experimental evaluations[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part K:Journal of Multi-Body Dynamics,2017,231(3):519–537. doi: 10.1177/1464419317725943 [16] Mohammadpour M,Johns–Rahnejat P M,Theodossiades S,et al.Effect of tapered roller bearing supports on the dynamic behaviour of hypoid gear pair differentials[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part D:Journal of Automobile Engineering,2016,230(8):1090–1104. doi: 10.1177/0954407015598677 [17] 陈忠敏,侯力,段阳,等.变双曲圆弧齿线圆柱齿轮非线性振动特性分析[J].工程科学与技术,2017,49(2):209–216. Chen Zhongmin,Hou Li,Duan Yang,et al.Analysis of nonlinear vibration on a cylindrical gear with variational hyperbola and circular-arc-tooth-trace[J].Advanced Engineering Sciences,2017,49(2):209–216 [18] Xu Jinli,Zeng Fancong,Su Xingyi.Coupled bending-torsional nonlinear vibration and bifurcation characteristics of spiral bevel gear system[J].Shock and Vibration,2017,2017(pt.12):1–14. doi: 10.1155/2017/6835301 [19] 常乐浩,刘更,吴立言.齿轮综合啮合误差计算方法及对系统振动的影响[J].机械工程学报,2015,51(1):123–130. doi: 10.3901/JME.2015.01.123 Chang Lehao,Liu Geng,Wu Liyan.Determination of composite meshing errors and its influence on the vibration of gear system[J].Journal of Mechanical Engineering,2015,51(1):123–130 doi: 10.3901/JME.2015.01.123 [20] Ding Han,Rong Shifeng,Rong Kaibin,et al.Semi-FEM dynamic meshing impact forecasting model for spiral bevel and hypoid gear transmission[J].Applied Mathematical Modelling,2022,104:279–305. doi: 10.1016/j.apm.2021.11.014 [21] 菅光霄,王优强,于晓,等.振动与接触冲击耦合作用下的齿轮弹流润滑研究[J].振动与冲击,2020,39(21):226–232. doi: 10.13465/j.cnki.jvs.2020.21.030 Jian Guangxiao,Wang Youqiang,Yu Xiao,et al.Elasto-hydrodynamic lubrication of gears under coupling of vibration and contact impact[J].Journal of Vibration and Shock,2020,39(21):226–232 doi: 10.13465/j.cnki.jvs.2020.21.030 [22] 中华人民共和国机械工业部.汽车驱动桥.台架试验方法:QC/T 533—1999[S].北京:机械工业出版社,1999. [23] 中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局.声学 声压法测定噪声源声功率级 消声室和半消声室精密法:GB/T 6882—2008[S].北京:中国标准出版社,2008.
