Deformation Analysis of Shield Tunnel Undercrossing Existing Pipeline Considering Shear Deformation
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摘要: 对近邻上覆既有管线进行盾构开挖会引起管线产生附加变形，从而影响既有管线的安全。已有的理论研究将既有管线简化成Euler–Bernoulli梁搁置在Winkler和Pasternak地基模型上，未考虑管线的剪切效应及三参数Kerr地基模型对管–土相互作用的影响。基于此，本文提出一种可预测管线纵向变形的解析方法。采用Loganathan公式获得隧道开挖引起的周围土体自由竖向位移，把土体自由竖向位移附加在既有管线轴线上方，将既有管线简化成可考虑剪切变形的Timoshenko梁，采用Kerr地基模型模拟管–土相互作用；提出剪切层弯矩的计算假设，结合管线两端的边界条件获得管线在盾构隧道下穿作用下的受力变形响应。工程案例研究结果表明：与已有文献理论分析方法比较，该方法计算得出的理论解析结果更加贴近实测数据；与Euler–Bernoulli梁计算结果比较， Timoshenko梁给出的计算结果更具有优越性。参数研究表明：随着既有管线剪切刚度的增大，管线抵抗变形的能力逐渐增强，从而导致隧道下穿引起的管线变形逐步减小，但会引起管线内力反向增大；随着地层损失率增大，既有管线受到的外力逐步增大，使得管线变形及其内力也逐渐增大；随着管线直径的逐渐增大，管线在隧道下穿作用下引起的管–土相互作用力逐渐增大，最终导致既有管线所受到的应力应变增大。
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关键词:
- 盾构隧道 /
- 既有管线 /
- Timoshenko梁 /
- Kerr地基模型 /
- 解析解
Abstract: The deformation of pipeline can be induced by adjacent tunneling, in turn, the safety of pipeline will be affected. Most of the theoretical studies in this regard simplify the existing pipelines as Euler–Bernoulli beams lying on the Winkler and Pasternak foundation models, without considering the shear effect of pipelines and the influence of the three-parameter Kerr foundation model on the pipeline-soil interaction. Based on this, an analytical method for predicting the longitudinal deformation of pipelines was proposed. Firstly, the vertical soil-free settlement around the tunnel induced by tunneling was calculated by the Loganathan function, then the soil-free settlement was put upon the centerline of an existing pipeline, to simplify the tunnel as the Timoshenko beam and the three-type Kerr foundation model was selected to simulate the pipeline-soil interaction, a bending moment assumption of the shear layer was proposed and the response of existing pipeline could be solved by considering with the boundary conditions at the ends of the pipeline. The results of the engineering case study show that compared with the theoretical analysis method in the existing literature, the theoretical analysis calculated by the method in this paper is closer to the existing measured data. Compared with the calculation results of the Euler–Bernoulli beam, the Timoshenko beam calculation results are more advantageous. Further parameter studies show that with the increment of the shear stiffness of the existing pipeline, the ability of pipeline to resist deformation gradually increases, which will lead to the gradual decrease of pipeline deformation but will cause the reverse increment of pipeline internal force. With the increment of volume loss rate, the external force on the existing pipeline gradually increases, which results in the increase of pipeline deformation and internal force. With the gradual increment of the diameter of the pipeline, the pipeline-soil interaction force caused by the tunneling underneath is gradually increased, which eventually leads to the stress and strain of the existing pipeline.-
Keywords:
- shield tunneling /
- existing pipeline /
- Timoshenko beam /
- Kerr foundation model /
- analytical solution
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城市地铁的发展大大缓解了城市地面交通的压力，促进了城市经济的繁荣发展，因此其安全性受到各方的重视。其中，时有出现盾构隧道穿越邻近既有管线的情况，因此保证邻近管线的稳定和安全已成为岩土工程领域研究的热点。
相比有限元模拟[1-4]和室内试验[5-8]方法，理论解析法具有简单实用、耗能耗时小的特点，可以用来初步快速预测管线在隧道下穿作用下的响应应答。已有的理论研究基于两阶段分析法：首先，基于Loganathan等[9]提出的能够准确估算隧道开挖引起周边土体位移自由变化的计算公式；然后，将所得的自由土体位移作为应力附加在既有管线的轴线上，基于不同的梁模型和地基模型获得既有管线竖向变形控制方程，求解得到管线应答响应。张治国等[10]基于Winkler地基模型研究了类矩形隧道开挖引起邻近管线变形解析；周先成[11]和张陈蓉[12]等基于Winkler地基模型，考虑到既有管线管片间存在不连续接口的工况，获得下穿隧道对既有管线的变形响应解答；Liang等[13-14]基于Winkler地基模型，将上覆既有隧道简化为不考虑剪切刚度的Euler–Bernoulli梁和考虑剪切刚度的Timoshenko梁，分别获得既有隧道在下穿隧道作用下的解析解和简化计算方法；李海丽等[15]基于Winkler地基模型，引入土体刚度衰减对管–土相互作用的影响，提出了管线变形响应的等效分析方法。由于Winkler地基模型缺乏考虑土体间剪切效应对土与结构相互作用的影响，使得Winkler地基模型解析理论结果与实测数据存在误差。为了克服这一缺点， Pasternak弹性地基模型[16]作为一种可考虑土体剪切效应的双参数地基模型受到越来越多学者的关注。张桓等[17]考虑到管线与侧向土体的相互作用，将侧向地层位移转化为附加应力施加在管线两侧，从而获得Pasternak地基模型下盾构隧道引起上覆管线变形响应；可文海等[18]基于迭代法修正了Pasternak地基模型土体剪切刚度，进一步获得精确的管线变形响应；林存刚等[19]考虑到管片间的非连续特性，利用差分法获得Pasternak地基模型下管线变形解析；梁荣柱等[20]基于Euler–Bernoulli梁和Pasternak地基模型，利用差分法获得新建隧道对上覆既有隧道简化计算方法；Liang等[21]考虑到地基参数的非线性，提出了非线性Pasternak地基模型下隧道开挖引起上覆隧道变形响应；何小龙等[22]基于Pasternak地基模型，将管–土分离的情况纳入考虑的范围，解析得到基坑开挖引起邻近管线的变形解答。
综上所述，有关邻近开挖引起既有管线及隧道变形响应的解析方法大多数都是将隧道或管线简化为简单的Euler–Bernoulli梁而没有考虑梁体的剪切变形。然而，隧道及管线是由众多管片和螺栓互相连接而成的复合结构，其相邻管片接头处剪切刚度会显著低于管片，此时不仅需要考虑管片间纵向方向变形，还要考虑管片环间的剪切变形[23]。同样地，目前报道的理论解析大部分用Winkler和Pasternak地基模型来模拟土与结构相互作用，较少文献报道计算精度更高的Kerr地基模型。冯国辉等[24-27]指出Kerr地基模型计算结果与实测数据吻合较好。
在已有研究基础上，提出了一种新的解析方法：通过Loganathan公式估算隧道开挖引起周边土体的自由竖向位移，将土体自由竖向位移转化为应力附加在既有管线的轴线上，把既有管线简化成可考虑剪切变形的Timoshenko梁，利用Kerr地基模型模拟管–土相互作用，提出剪切层弯矩的假设，并结合管线两端的边界条件获得管线变形解答。最后，分析了不同的管线剪切刚度、地层损失率、管线直径对既有管线结构变形的影响。
1. 分析方法
1.1 基本假定
针对计算模型的特点，提出基本计算假定：
1）既有管线假定为无限长的Timoshenko梁搁置在弹性地基模型上；
2）弹性地基模型采用Kerr地基模型；
3）管–土变形协调一致，不考虑管线与土体脱离的情况。
1.2 自由位移场求解
1.2.1 盾构开挖引起的土体自由位移场
Loganathan等[9]就软土地区土层变形特性提出隧道开挖引起周围土体自由位移变化的经验公式，其表达式为：
$$ \begin{aligned}[b]& {U_{\text{T}}}\left( {x,{\textit{z}}} \right) = \varepsilon {R^2} \cdot {{\text{e}}^{\left( { - \frac{{1.38{x^2}}}{{{{\left( {H + R} \right)}^2}}} - \frac{{0.69{{\textit{z}}^2}}}{{{H^2}}}} \right)}}\Biggr[ { - \frac{{{\textit{z}} - H}}{{{x^2} + {{\left( {{\textit{z}} - H} \right)}^2}}}}+ \\&\qquad \left( {3 - 4\nu } \right)\frac{{{\textit{z}} + H}}{{{x^2} + {{\left( {{\textit{z}} + H} \right)}^2}}} - {\frac{{2{\textit{z}}\left( {{x^2} - {{\left( {{\textit{z}} + H} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + {{\left( {{\textit{z}} + H} \right)}^2}} \right)}^2}}}} \Biggr] \end{aligned} $$ (1) 式中，R为开挖隧道半径，H为开挖隧道轴线埋深，x为既有管线与开挖隧道中心线水平距离，z为既有管线中心线距地表垂直距离，ε为等效地层损失比，
$\nu $ 为土体泊松比。1.2.2 盾构开挖引起既有管线轴线位置的土体自由竖向位移
图1为盾构隧道开挖对既有管线的影响模型，其中，z0为管线埋深，D为直径。
图 1 盾构隧道开挖对既有管线的影响模型Fig. 1 Simplified model for the influence of shield tunneling on the existing pipeline
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由图1可见，理想情况下既有管线与开挖隧道轴线垂直，但实际工程中这种情况很少出现。若开挖隧道轴线与既有管线轴线存在夹角θ，如图2所示，那么，实际隧道开挖引起既有管线轴线处土体自由竖向位移为：
图 2 管线与隧道相交示意图Fig. 2 Schematic diagram of relative position between the tunnel and pipeline下载:
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$$ \begin{aligned}[b]& {U_{\text{T}}}\left( {x,{\textit{z}}} \right) = {\varepsilon _0}{R^2} \cdot {{\text{e}}^{\left( { - \frac{{1.38{{\left( {x\sin \;\theta } \right)}^2}}}{{{{\left( {H + R} \right)}^2}}} - \frac{{0.69{{\textit{z}}^2}}}{{{H^2}}}} \right)}}\cdot\Biggr[ { - \frac{{{\textit{z}} - H}}{{{{\left( {x\sin \;\theta } \right)}^2} + {{\left( {{\textit{z}} - H} \right)}^2}}}} + \\&\;\;\; \left( {3 - 4\nu } \right)\cdot\frac{{{\textit{z}} + H}}{{{{\left( {x\sin\; \theta } \right)}^2} + {{\left( {{\textit{z}} + H} \right)}^2}}} - {\frac{{2{\textit{z}}\left( {{{\left( {x\sin \;\theta } \right)}^2} - {{\left( {{\textit{z}} + H} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {{{\left( {x\sin\; \theta } \right)}^2} + {{\left( {{\textit{z}} + H} \right)}^2}} \right)}^2}}}} \Biggr] \end{aligned} $$ (2) 1.3 管线变形理论推导
图3为 Kerr地基模型。
图 3 Kerr地基模型Fig. 3 Kerr foundation model下载:
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由Kerr地基模型理论可知，隧道变形w(x)满足：
$$ w(x) = {w_1}(x) + {w_2}(x) $$ (3) 式中，w1(x)为上层弹簧的位移，w2(x)为地基剪切层的位移。由两层弹簧的受力特性得到：
$${\qquad {p_1}\left( x \right) = c{w_1}\left( x \right) = c\left( {w\left( x \right) - {w_2}\left( x \right)} \right) }$$ (4) 式中，p1(x)为隧道下层弹簧反力, c为上层弹簧刚度。
$$ {p_2}\left( x \right) = k{w_2}\left( x \right) $$ (5) 式中，p2(x)为剪切层下层弹簧反力, k为下层弹簧刚度。
对于剪切层受力特性有：
$$ {p_1}\left( x \right) = - {G_{\text{s}}}\cdot\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^2}}} + k{w_2}\left( x \right) $$ (6) 式中，Gs为剪切层刚度。
将式（4）～（6）合并可得：
$${\qquad w(x) = \left( {1 + \frac{k}{c}} \right){w_2}(x) - \frac{{{G_{\text{s}}}}}{c}\cdot\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}(x)}}{{{\text{d}}{x^2}}} }$$ (7) 由Timoshenko梁[21]的曲率方程可得：
$$ \frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}} = - \frac{M}{{EI}} - \frac{{ {q\left( x \right) - {p_1}\left( x \right)} }}{W} $$ (8) 式中：EI为管线弯曲刚度；M为梁的弯矩；W为梁的剪切刚度，
$ W{\text{ = }}\mu GA $ ，其中，G为管线剪切模型，A为管线模截面面积，对于圆形截面，$\;\mu $ 取值0.96；q(x)为管线所受附加应力，q(x)=cuT(x,z)。根据Timoshenko梁[21]理论可得：$$ \frac{{{{\text{d}}^2}M}}{{{\text{d}}{x^2}}} = - \left( {q\left( x \right) - {p_1}\left( x \right)} \right)D $$ (9) 假设其剪切层满足：
$$ \frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} = - \frac{{{M_{\text{t}}}}}{{EI}} $$ (10) 式中，Mt为剪切层的弯矩。
将式（6）～（8）代入式（9）可得：
$$ \begin{aligned}[b]& \frac{{{{\text{d}}^6}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^6}}} - \left( {\frac{{c + k}}{{{G_{\text{s}}}}} + \frac{{Dc}}{W}} \right)g\cdot\frac{{{{\text{d}}^4}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^4}}} + \left( {\frac{{Dc}}{{EI}} + \frac{{Dck}}{{W{G_{\text{s}}}}}} \right)g\cdot\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}}- \\&\qquad \frac{{Dck}}{{EI{G_{\text{s}}}}}\cdot g{w_2} = - \frac{{Dc}}{{EI{G_{\text{s}}}}}\cdot gq + \frac{{Dc}}{{W{G_{\text{s}}}}}\cdot g\cdot \frac{{{{\text{d}}^2}q}}{{{\text{d}}{x^2}}}\\[-15pt] \end{aligned} $$ (11) 式（11）为隧道下穿影响下既有管线的纵向变形控制方程。由于式（11）为6阶平衡微分方程，获得其解析解难度较大。为了简化计算方法，采用差分法获得数值解。将既有管线离散为n+7个点（其中管线两端存在6个虚点），相邻虚点之间间距为l，且l=L/n，L为管线长度。管线离散化如图4所示。
图 4 既有管线离散化图Fig. 4 Existing pipeline discretization下载:
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那么式（11）可简化为：
那么式（11）可化为：
$$ \begin{aligned}[b]\qquad & \frac{{{{\left( {{w_2}} \right)}_{i + 3}} - 6{{\left( {{w_2}} \right)}_{i + 2}} + 15{{\left( {{w_2}} \right)}_{i{{ + }}1}} - 20{{\left( {{w_2}} \right)}_i} + 15{{\left( {{w_2}} \right)}_{i{{ - }}1}} - 6{{\left( {{w_2}} \right)}_{i - 2}}{{ + }}{{\left( {{w_2}} \right)}_{i - 3}}}}{{{l^6}}} - \\&\qquad \left( {\frac{{c + k}}{{{G_{\text{s}}}}} + \frac{{Dc}}{W}} \right)g\cdot\frac{{{{\left( {{w_2}} \right)}_{i + 2}} - 4{{\left( {{w_2}} \right)}_{i + 1}} + 6{{\left( {{w_2}} \right)}_i} - 4{{\left( {{w_2}} \right)}_{i - 1}} + {{\left( {{w_2}} \right)}_{i - 2}}}}{{{l^4}}} + \\&\qquad \left( {\frac{{Dc}}{{EI}} + \frac{{Dck}}{{W{G_{\text{s}}}}}} \right)g\cdot\frac{{{{({w_2})}_{i + 1}} - 2{{({w_2})}_i} + {{({w_2})}_{i - 1}}}}{{{l^2}}} - \frac{{Dck}}{{EI{G_{\text{s}}}}}\cdot g{\left( {{w_2}} \right)_i} = - \frac{{Dc}}{{EI{G_{\text{s}}}}}\cdot g{q_i} + \frac{{Dc}}{{W{G_{\text{s}}}}}\cdot g\cdot \frac{{{q_{i + 1}} - 2{q_i} + {q_{i - 1}}}}{{{l^2}}}\end{aligned} $$ (12) 式中，(w2)i–3、(w2)i–2、(w2)i–1、(w2)i、(w2)i+1、(w2)i+2及(w2)i+3分别代表节点i–3、i–2、i–1、i、i+1、i+2及i+3竖向位移。
结合式（7）～（9）可知，管线的纵向位移w(x)、弯矩M(x)、剪力Q(x)的表达式分别为：
$$ {\qquad {w(x)_i} = \left( {1 + \frac{k}{c}} \right){w_2} - \frac{{{G_{\text{s}}}}}{c}\cdot \frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} }$$ (13) $${\qquad {M(x)_i} = - EI{\left( {\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}} + \frac{{\left[ {q\left( x \right) - {p_1}\left( x \right)} \right]D}}{W}} \right)_i}} $$ (14) $$ \begin{aligned}[b] {Q(x)_i} =& {\left. {\frac{{{\text{d}}M}}{{{\text{d}}x}}} \right|_i} = \\& - EI{\left\{ {\gamma \cdot \frac{{{{\text{d}}^3}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^3}}} - \frac{{{G_{\rm{s}}}}}{c}\cdot \frac{{{{\text{d}}^5}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^5}}} - \frac{{kD}}{W}\cdot \frac{{{\text{d}}{w_2}}}{{{\text{d}}x}} + \frac{D}{W}\cdot \frac{{{\text{d}}q}}{{{\text{d}}x}}} \right\}_i}\end{aligned} $$ (15) 式中，
$ \gamma = 1 + \dfrac{k}{c} + \dfrac{{D{G_{\text{s}}}}}{W} $ 。为了消去管线两端6个虚拟单元，可根据实际两端边界条件进行简化，无限长管线两端受到隧道开挖的影响很小，圆管线两端节点为0和n节点，则可将两端简化成两个自由端，这样可知管线自由端弯矩M=0，剪切层弯矩Mt=0，剪力Q=0，即：
$$ \left\{ \begin{gathered} {M_{{\text{t0}}}} = {M_{{\text{tn}}}} = 0, \\ {M_0} = {M_n} = 0, \\ {Q_0} = {Q_n} = 0 \\ \end{gathered} \right. $$ (16) 将式（13）～（15）代入式（16），式（12）简化为：
$${\quad \left({{\boldsymbol{K}}}_{1}-{{\boldsymbol{K}}}_{2}+{{\boldsymbol{K}}}_{3}-{{\boldsymbol{K}}}_{4}\right) g{{{w}}}_{2}={{\boldsymbol{Q}}}_{1}-{{\boldsymbol{Q}}}_{2}-{{\boldsymbol{Q}}}_{3} }$$ (17) 式中，K1、K2、K3、K4、Q1 、Q2及Q3分别为：
$$\begin{aligned}[b]& {{\boldsymbol{K}}_1} =\\[-2pt]& \frac{1}{{{l^6}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&{14}&{ - 10}&2&0&0&0& L &0 \\ 5&{ - 14}&{14}&{ - 6}&1&0&0& L &0 \\ { - 4}&{14}&{ - 20}&{15}&{ - 6}&{ - 1}&0& L &0 \\ 1&{ - 6}&{15}&{ - 20}&{15}&{ - 6}&1& L &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& L &1&{ - 6}&{15}&{ - 20}&{15}&{ - 6}&1 \\ 0&L &0&{ - 1}&{ - 6}&{15}&{ - 20}&{14}&{ - 4} \\ 0& L &0&0&1&{ - 6}&{14}&{ - 14}&5 \\ 0& L &0&0&0&2&{ - 10}&{14}&6 \end{array}} \right]\end{aligned} $$ (18) $$\begin{aligned}[b]& {{\boldsymbol{K}}_2} =\\[-2pt]& \frac{{{\chi _1}}}{{{l^4}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_1}}&{ - 2{T_2}}&{{T_1}}&0&0&0&0& L &0 \\ 2&5&{ - 4}&1&0&0&0& L &0 \\ 1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&0&0& L &0 \\ 0&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&0& L &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& L &0&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&0 \\ 0&L&0&0&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1 \\ 0& L &0&0&0&1&{ - 4}&5&2 \\ 0& L &0&0&0&0&{{T_1}}&{ - 2{T_2}}&{{T_1}} \end{array}} \right] \end{aligned}$$ (19) $$\begin{aligned}[b]& {{\boldsymbol{K}}_3} =\\[-2pt]& \frac{{{\chi _2}}}{{{l^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {E_1}}&{2{E_2}}&0&0&0&0&0& L &0 \\ {{E_2}}&{ - 2}&1&{ - 1}&0&0&0& L &0 \\ 0&1&{ - 2}&1&0&0&0& L &0 \\ 0&0&1&{ - 2}&1&0&0& L &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& L &0&0&1&{ - 2}&1&0&0 \\ 0&L&0&0&0&1&{ - 2}&1&0 \\ 0& L &0&0&0&{ - 1}&1&{ - 2}&{{E_2}} \\ 0& L &0&0&0&0&0&{2{E_2}}&{ - {E_1}} \end{array}} \right] \end{aligned}$$ (20) $$ {{\boldsymbol{K}}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} N&0&0&0&0&0&0& L &0 \\ 0&N&0&0&0&0&0& L &0 \\ 0&0&N&0&0&0&0& L &0 \\ 0&0&0&N&0&0&0& L &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& L &0&0&0&N&0&0&0 \\ 0&L&0&0&0&0&N&0&0 \\ 0& L &0&0&0&0&0&N&0 \\ 0& L &0&0&0&0&0&0&N \end{array}} \right] $$ (21) $$ {\qquad {{\boldsymbol{Q}}_1} = \frac{{Dc}}{{W{G_{\text{s}}}}}\left[ \begin{array}{c} {q_1} - 2{q_0} + {q_{ - 1}} \\ {q_2} - 2{q_1} + {q_0} \\ \vdots \\ {q_n} - 2{q_{n - 1}} + {q_{n - 2}} \\ {q_{n + 1}} - 2{q_n} + {q_{n - 1}} \\ \end{array} \right] } $$ (22) $${\qquad {{\boldsymbol{Q}}_2} = \frac{{Dc}}{{EI{G_{\text{s}}}}}{\left[ {{q_0},{q_1},{q_2},\cdots,{q_{n - 2}},{q_{n - 1}},{q_n}} \right]^{\text{T}}} }$$ (23) $$ {\qquad {{\boldsymbol{Q}}_3}{\text{ = }}{\left[ {{W_{\text{1}}},{W_{\text{2}}},0,\cdots ,0,{W_{\text{3}}},{W_{\text{4}}}} \right]^{\text{T}}}} $$ (24) 式（18）～（24）中，
$$ \begin{aligned}[b]& {\chi }_{1}=\frac{c+k}{{G}_{\text{s}}}+\frac{Dc}{W},{\chi }_{2}=\frac{Dc}{EI}+\frac{Dck}{W{G}_{\text{s}}},{T}_{1}=\frac{2\gamma c}{{\chi }_{1}{G}_{\text{s}}},\\& {E}_{1}=\frac{Dkc}{{\chi }_{2}W{G}_{\text{s}}},{E}_{2}=\frac{Dc}{{\chi }_{2}EI},N=\frac{Dkc}{W{G}_{\text{s}}},\gamma \text{=1+}\frac{k}{c}+\frac{D{G}_{\text{s}}}{W},\\& {W}_{\text{1}}=\frac{Dc}{W{G}_{\text{s}}{l}^{2}}\left({q}_{1}+{q}_{0}-{q}_{-1}\right),{W}_{\text{2}}=\frac{Dc}{W{G}_{\text{s}}{l}^{2}}{q}_{0},\\& {W}_{\text{3}}=\frac{Dcl}{W{G}_{\text{s}}{l}^{2}}{q}_{n},{W}_{4}=\frac{Dc}{W{G}_{\text{s}}{l}^{2}}\left({q}_{n-1}+{q}_{n}-{q}_{n+1}\right)。\end{aligned} $$ 此时，剪切层位移w2(x)可通过解析得到；将得到的结果代入式（13）～（15），即可得到隧道的纵向位移w(x)、弯矩M(x)、剪力Q(x)。值得注意的是，当Timoshenko梁剪切刚度
$ W = \infty $ 时，本文解析中的Timoshenko梁将退化成Euler–Bernoulli梁（E–K法）。1.4 地基模型参数确定
地基模型参数的确定对于计算结果的正确性起到关键作用，由简化弹性空间法[28]可得：
$${\qquad c = 3k,k = {{4{E_{\text{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{E_{\text{s}}}} {3{z_0}}}} \right. } {3{{\textit{z}}_0}}},{G_{\text{s}}} = {{2{E_{\text{s}}}{{\textit{z}}_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{E_{\text{s}}}{{\textit{z}}_0}} {9\left( {1 + \nu } \right)}}} \right. } {9\left( {1 + \nu } \right)}} }$$ (25) 式中，Es为土体弹性模量，z0为既有隧道埋置深度。简化弹性空间法引入假设较多，其计算结果不够理想。进一步地，冯国辉等[25]提出了可考虑实际工况下的修正地基基床系数：
$${\qquad c = 7k,k = {{4{E_{\text{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{E_{\text{s}}}} {3{z_0}}}} \right. } {3{{\textit{z}}_0}}},{G_{\text{s}}} = {{2{E_{\text{s}}}{{\textit{z}}_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{E_{\text{s}}}{{\textit{z}}_0}} {9\left( {1 + \nu } \right)}}} \right. } {9\left( {1 + \nu } \right)}}} $$ (26) 2. 算例验证
为了验证本文提出方法的正确性，收集深圳地铁一期工程益田站至香蜜湖站区间隧道下穿电缆管线工程的实测数据及其既有理论分析[15]和Marshall离心机数据[8]，并与本文方法进行了比较分析。
2.1 工程实例
以深圳地铁一期工程为案例，此工程在盾构隧道开挖时上覆电缆管线产生下沉位移。工程实况：管线直径D=3.0 m，管道壁厚t=0.12 m，管道泊松比vs=0.17，管线轴线埋深z0=8.7 m；开挖隧道半径R=3 m，隧道轴线埋深H=14.4 m。根据张桓等[17]的研究，取土体弹性模量Es=8.2 MPa，土体泊松比为v=0.3，开挖隧道引起周围土体平均地层损失率ɛ=0.84%。由志波由纪夫[29]及Wu[30]等的计算可知，既有管线抗弯刚度和剪切刚度分别为5.87×107 kN·m2和1.16×107 kN/m。张桓等[17]对该工程开展了理论研究，研究表明，考虑侧向土体作用比不考虑侧向土体的Pasternak地基模型更加接近实测数据，但并未考虑管线的剪切刚度及模拟管–土相互作用精度更高的Kerr地基模型。
图5为本文方法计算结果与实测数据及既有文献研究结果的对比。文献[17]基于Euler–Bernoulli梁和Pasternak地基模型，利用差分法获得管线变形响应。由图5可见：相比于Pasternak地基模型，考虑管线侧向土体作用下计算的管线变形峰值更接近实测数据，其计算结果精度会有所提高；然而，本文采用Kerr地基模型和Timoshenko梁模型模拟管线竖向变形，其计算结果更贴近于实测值，尤其在管线中心点附近的计算结果与实测结果基本相同，但仍稍微小于实测值。产生这一现象的原因是新建隧道的不断掘进，土体的卸载导致管–土刚度不断降低，本文解难以考虑土体刚度削弱的影响。综上，文献[17]考虑侧向作用与本文方法的计算结果均能较好地预测管–土相互作用，本文方法在预测管线最大变形位移方面具有一定的优越性，而实际工程中更加关注邻近卸载对既有管线的最大位移，这进一步说明本文方法的实用价值。
图 5 管线位移计算值与实测值对比Fig. 5 Comparison of the calculated and measured results of deformation of pipeline下载:
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2.2 离心机数据
Marshall等[8]使用超重力离心机试验进行了新建隧道下穿既有管线引起管–土相互作用的研究。试验分别设置3种不同地层损失率的工况，为了验证本文方法的正确性，取其中两种地层损失率ɛ分别为0.5%和1.0%；为了简化试验，土体采用干硅砂，土体泊松比v为0.4，弹性模量Es为19.52 MPa；新建隧道半径R=2.3 m，隧道轴线埋深H=13.65 m；管道直径D=2.6 m，轴线埋深z0=5.6 m，由文献[29-30]的计算得既有管线抗弯刚度和剪切刚度值分别为2.56×107 kN·m2和1.66×107 kN/m；其他试验条件及土体参数详见文献[8]。
图6为不同地层损失率下隧道开挖下穿既有管线引起管线下沉位移对比。由图6可见，两种不同计算方法得到的管线下沉位移趋势与离心机数据均具有较好的一致性。相比离心机实测值，本文方法预测管线最大位移值略小，这是因为随着新建隧道开挖，管线周围土体卸载导致管–土体刚度不断降低，但本文解难以考虑土体刚度削弱的影响。相比本文方法的解析结果， E–K法解析结果更加低估管线的下沉变形，其原因是Euler–Bernoulli梁梁体剪切刚度被视为无穷大，此时管线刚度相比实际刚度偏大，管线在同样大小外力作用下抵抗变形的能力增大。总体来说，本文解析及退化的解析预测结果与离心机试验结果较为符合，验证了本文方法的合确性。
图 6 不同地层损失率下不同方法管线位移计算值与实测值对比Fig. 6 Comparison of the calculated and measured results of deformation of pipeline under different volume loss rates下载:
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3. 参数分析
为研究管线剪切刚度、地层损失率和管线直径变化对既有管线受力变形的影响，以Marshall等[8]超重力离心机试验的基本工况为基本参数，采用控制变量法对管–土相互作用进行参数分析。
3.1 管线剪切刚度
为了研究管线受力变形与管线剪切刚度之间的关系，取5组剪切刚度W展开参数分析，取
$ W $ =${f}_{{\rm{s}}}$ (W)eq, 其中，$ W $ eq为管线初始剪切刚度，系数$ {f}_{{\rm{s}}} $ =0.1、0.2、1.0、5.0、10.0。采用本文方法计算管线变形及弯矩。图7和8分别为不同剪切刚度下管线位移曲线和最大位移变化曲线。由图7可见，管线变形位移图呈现正对称分布特点，随着剪切刚度的增大，管线纵向位移不断减小。由图8可见，管线最大变形位移随管线剪切刚度增大而逐步减小，其减小速率逐渐变缓。其原因是管线剪切刚度的增大引起其抵抗变形能力的增强，剪切刚度增大到一定的程度时，剪切刚度的变化对管线最大变形位移不再敏感。
图 7 不同剪切刚度下管线位移曲线Fig. 7 Deformation curves of pipeline in different shear stiffness conditions下载:
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图 8 不同剪切刚度下管线最大位移曲线Fig. 8 Maximum deformation curves of pipeline in different shear stiffness conditions下载:
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图9和10分别为不同管线剪切刚度下管线弯矩曲线和最大弯矩变化曲线。由图9可见：弯矩图呈现正对称分布的特点；随着管线剪切刚度的增大，管线的正弯矩值在不断增大而最大负弯矩基本不变。由图10可见：管线剪切刚度的增大会引起最大正弯矩值不断增大，但其增长速率逐渐变缓；当管线刚度增长到5Weq时，管线最大弯矩基本上不再变化。
图 9 不同剪切刚度下管线弯矩曲线Fig. 9 Bending moment curves of pipeline in different shear stiffness conditions下载:
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图 10 不同剪切刚度下管线最大弯矩曲线Fig. 10 Maximum bending moment curves of pipeline in different shear stiffness conditions下载:
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3.2 地层损失率
取5组地层损失率ɛ为0.5%、1.0%、1.5%、 2.0%、2.5%，计算管线变形及弯矩。
图11和12分别为不同地层损失率下管线纵向位移曲线和特定位置处管线位移变化。由图11可见，管线变形位移呈现正对称分布特点，地层损失率的增大会引起竖向位移逐渐增大。由图12可见，随着地层损失率不断增大，离管线特定距离处的管线位移也逐渐增大，且呈线性相关。这是因为增大地层损失率会引起管线受到的附加应力线性增大，致使管线每个位置的管线位移与地层损失率线性相关。
图 11 不同地层损失率下管线位移曲线Fig. 11 Deformation curves of pipeline in different volume loss下载:
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图 12 不同地层损失率下管线特定位置处位移曲线Fig. 12 Specific position deformation curves of pipeline in different volume loss下载:
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图13和14分别为不同地层损失率下管线弯矩变化曲线和特定位置处管线最大弯矩变化。
图 13 不同地层损失率下管线弯矩曲线Fig. 13 Bending moment curves of pipeline in different volume loss下载:
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图 14 不同地层损失率下管线最大弯矩曲线Fig. 14 Maximum bending moment curves of pipeline in different volume loss下载:
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由图13可见，管线弯矩呈现正对称分布特点，管线弯矩随着地层损失率增大而明显增大。由图14可见，管线受到的最大正弯矩和最大负弯矩随着地层损失率的增大而增大，且呈现线性相关。这一现象同样归因于管线受到的附加应力线性增大，致使管线最大正负弯矩值也线性增大。
3.3 管线直径
取5组不同管线直径D为3.0、2.5、2.0、1.5和1.0 m。为了验证本文解和退化解间的关系，在此次参数分析中，获得退化解E–K法和本文解的计算结果并展开分析。
图15和16分别为不同管线直径下管线纵向位移曲线和管线弯矩变化曲线。由图15和16可见，管线位移及弯矩曲线均呈现正对称分布特点，随着管线直径增大，既有管线竖向位移及弯矩逐步增大，且呈近似线性增大。
图 15 不同直径下管线位移曲线Fig. 15 Deformation curves of pipeline in different pipeline diameters下载:
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图 16 不同直径下管线弯矩曲线Fig. 16 Bending moment curves of pipeline in different pipeline diameters下载:
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图17和18分别为不同管线直径下，采用本文方法和本文方法退化解E–K法计算获得的管线最大位移和最大弯矩变化曲线对比。由图17和18可见：采用本文方法时，管线位移和弯矩曲线与管线直径近似呈正线性变化；当采用退化解E–K法时，管线变形及其弯矩变化和本文方法的分析结果基本相同；退化解低估管线的变形，而高估管线的内力，其原因是Euler–Bernoulli梁梁体剪切刚度被视为无穷大，此时梁体抵抗变形的能力增强，管–土之间相互作用力也会变强，从而导致管线变形位移的减小及弯矩的增大。
图 17 不同计算方法下管线最大位移曲线Fig. 17 Maximum deformation curves of pipeline in different calculation method下载:
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图 18 不同计算方法下管线最大弯矩曲线Fig. 18 Maximum bending moment curves of pipeline in different calculation method下载:
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4. 结 论
本文基于两阶段分析法提出了一种可用于预测盾构隧道下穿既有管线引起的管–土相互作用的解析方法。得到结论如下：
1）基于两阶段法，采用Loganathan公式获得隧道开挖引起邻近土体自由竖向位移场；将既有管线简化为无限长的Timoshenko梁，采用Kerr地基模型模拟管–土相互作用，并提出了剪切层弯矩的假设，考虑管线两端的边界情况，获得了管线纵向变形解析解。
2）将既有文献中的理论解析与本文计算方法结合实际工程案例进行对比，本文理论计算结果更符合实测数据；相比于本文方法可退化解，本文理论计算结果更具有优越性。
3）本文对盾构隧道引起既有管线纵向受力变形不同影响因素的研究结果表明：随着管线剪切刚度的增大，其纵向变形减小，弯矩增大；地层损失率及管线直径的增大均会引起管线变形及其弯矩的近似线性增大；相比于本文方法，本文可退化的E–K法计算结果低估了管线变形，高估了管线内力。
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图 1 盾构隧道开挖对既有管线的影响模型
Fig. 1 Simplified model for the influence of shield tunneling on the existing pipeline
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图 2 管线与隧道相交示意图
Fig. 2 Schematic diagram of relative position between the tunnel and pipeline
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图 3 Kerr地基模型
Fig. 3 Kerr foundation model
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图 4 既有管线离散化图
Fig. 4 Existing pipeline discretization
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图 5 管线位移计算值与实测值对比
Fig. 5 Comparison of the calculated and measured results of deformation of pipeline
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图 6 不同地层损失率下不同方法管线位移计算值与实测值对比
Fig. 6 Comparison of the calculated and measured results of deformation of pipeline under different volume loss rates
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图 7 不同剪切刚度下管线位移曲线
Fig. 7 Deformation curves of pipeline in different shear stiffness conditions
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图 8 不同剪切刚度下管线最大位移曲线
Fig. 8 Maximum deformation curves of pipeline in different shear stiffness conditions
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图 9 不同剪切刚度下管线弯矩曲线
Fig. 9 Bending moment curves of pipeline in different shear stiffness conditions
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图 10 不同剪切刚度下管线最大弯矩曲线
Fig. 10 Maximum bending moment curves of pipeline in different shear stiffness conditions
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图 11 不同地层损失率下管线位移曲线
Fig. 11 Deformation curves of pipeline in different volume loss
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图 12 不同地层损失率下管线特定位置处位移曲线
Fig. 12 Specific position deformation curves of pipeline in different volume loss
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图 13 不同地层损失率下管线弯矩曲线
Fig. 13 Bending moment curves of pipeline in different volume loss
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图 14 不同地层损失率下管线最大弯矩曲线
Fig. 14 Maximum bending moment curves of pipeline in different volume loss
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图 15 不同直径下管线位移曲线
Fig. 15 Deformation curves of pipeline in different pipeline diameters
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图 16 不同直径下管线弯矩曲线
Fig. 16 Bending moment curves of pipeline in different pipeline diameters
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图 17 不同计算方法下管线最大位移曲线
Fig. 17 Maximum deformation curves of pipeline in different calculation method
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图 18 不同计算方法下管线最大弯矩曲线
Fig. 18 Maximum bending moment curves of pipeline in different calculation method
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