Analytical Solution for Longitudinal Seismic Responses of Fault-crossing Tunnels
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摘要: 隧道穿越断层区域在地震中易受到严重破坏，是隧道抗震设防的重点控制区域。针对现有设计方法很少考虑隧道穿越断层的现状，基于穿越断层隧道地震响应特点，将隧道沿纵向简化为3段位于不同地层条件的黏弹性地基上的剪切梁，推导了地震动下穿越断层隧道纵向地震稳态响应的解析表达式，建立了面向工程设计的穿越断层隧道纵向抗震简化分析方法。首先，采用Kelvin黏弹性地基上的剪切梁模拟衬砌节段，基于格林函数法、拉普拉斯正逆变换和留数法推导衬砌节段在荷载激励下沿纵向的响应。其次，结合衬砌连续性条件获得穿越断层隧道纵向响应解析解。然后，通过与数值分析结果的对比，验证了本文方法的有效性和可行性。最后，采用该解析方法进行了敏感性参数分析，探究了边界条件、结构刚度、断层破碎带性质、围岩阻尼等关键因素对穿越断层隧道结构地震响应的影响规律。结果表明：1）增大衬砌的弯曲刚度会减小衬砌上的位移响应，但同时会显著增大衬砌上的内力响应值；2）加固断层围岩可减小衬砌在地震动作用下的位移响应，也使衬砌的内力响应减小，并减小断层对隧道沿纵向地震响应的影响范围；3）阻尼的存在使衬砌的振动沿隧道纵向出现异步性，加载波的频率越高，异步性越明显。该解析方法能够快速计算得到穿越断层隧道的地震响应，为相关隧道工程的抗减震设计提供参考。Abstract: The areas where tunnels run through faults are the key areas for seismic design and easily to be seriously damaged in earthquakes. Since the current design methods seldom considered tunnels passing through faults, the tunnel was simplified to three shear beams on a viscoelastic foundation under different strata along the longitudinal direction, and the analytical solution of the longitudinal seismic steady-state responses of tunnels passing through the faults was derived. A simplified analysis method was proposed for the longitudinal seismic responses of tunnels passing through faults. First, a shear beam on Kelvin’s viscoelastic foundation was utilized to simulate the lining segment. The longitudinal responses of a lining segment under external loads were derived by using Green’s function method, Laplace transform, Laplace inverse transform, and residue theorem. Then, the analytical solution of longitudinal responses of the tunnel crossing the fault was obtained by combining with the continuity condition of the lining segment. Next, the validity and feasibility of the proposed method were verified by comparing with the numerical analysis. Finally, the sensitivity analysis of parameters was conducted using the proposed method to reveal the influences of parameters on seismic responses of tunnels through faults. The results showed that increasing the bending stiffness of the lining could reduce the displacement responses of the lining, but at the same time significantly increased the internal forces of the lining. Reinforcing the fault surrounding rock could reduce the displacement responses of the lining, as well as the internal force responses of the lining, and reduce the influence range of the fault on the seismic responses of the tunnel along the tunnel axis under the action of ground motion. The damping made the vibration of the tunnel lining appear asynchronous along the longitudinal direction. The higher the frequency of the wave was, the more obvious the vibration asynchrony of tunnel lining was. The proposed method could make a quick calculation of the seismic responses of fault-crossing tunnels, which provided a reference for the seismic design of related tunneling projects.
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数次地震调查表明，隧道穿越断层处受地震破坏严重[1]。Wang等[2]调查了集集地震后隧道的损害情况，发现57座隧道中的49座发生了不同程度的破坏，且穿越断层带的隧道几乎都会受到破坏。汶川地震后，高波等[3]对地震灾区沿线隧道进行震害调查，结果表明，隧道洞身受到严重破坏的主要原因是隧道穿越断层。地震中破坏最严重的隧道，如龙溪隧道、紫坪铺隧道等几乎全部穿越活动断层。其中：龙溪隧道穿越断层附近破坏最为严重，其破坏分布范围为距断层50 m左右；断层附近的隧道衬砌混凝土产生多处裂缝、剥落，也出现剪切错台现象，仰拱严重隆起，尤其是隧道与断层交界面附近，隧道发生严重坍塌。紫坪铺隧道穿越多条断层，地震后的断层未发生错动，隧道主要受到强震作用的影响，隧道震害主要分布在穿越断层位置处，主要有衬砌剥落、环向、横向裂缝、衬砌结构错台。Li[4]对汶川地震中隧道的震害进行了分析，将其破坏主要归因于断层的次生破坏、围岩突变、软岩和围岩中地应力的变化。Lai等[5]对汶川地震中52座隧道进行了调查，发现最严重的震害发生在断层破碎带处，其次是洞口处和普通段。与上述情况相对应的现状是近年来新建的川藏铁路、“一带一路”倡议沿线的中亚D线、雅万高铁等重大工程将穿越多条活动断层带，这不可避免地要修建大量穿越断层隧道[6]。因此，迫切需要开展穿越断层隧道结构动力响应的研究。
针对地震动对穿越断层隧道的影响，不少研究者从数值分析、模型试验等方面开展了研究，并取得了较为丰富的研究成果。Wen等[7]通过数值模型研究了地震动作用下断层对隧道的影响范围。赵颖[8]应用无限元边界模拟了地震动对跨断层隧道的影响。赵密[9]、Huang[10]等基于近场波动有限元方法，结合黏弹性人工边界条件，开展了P波作用下跨断层隧道的地震响应分析。信春雷等[11]通过振动台模型试验研究了跨走滑断层隧道设置套管式可变形抗减震措施的动力响应特性和破坏形态。Yan等[12]基于“引”和“让”的减震设计思路，提出两种具体的柔性接头形式，并通过振动台试验验证了穿越断层隧道设置提出接头的有效性。何川[13]、李林[14]等研究了地震动作用下穿越断层隧道的动力响应特性，表明隧道断层处围岩有较大的响应特性，断层带段与质量较好围岩段动力响应不同步。方林等[15]以西藏隧道工程为背景，通过振动台试验研究发现穿越断层隧道与均质围岩隧道地震响应规律相似。耿萍等[16]基于振动台试验研究了穿越断层隧道合理的设防长度，提出在断层与隧道轴线夹角为35°～90°时，合理设防长度为3.5倍隧道跨度。刘云等[17]采用跨断层隧道与普通隧道的振动台对比试验，研究了跨断层隧道衬砌裂缝的发展过程和地震响应规律，发现跨断层隧道的横断面震害程度明显大于纵向。Fan等[18]通过振动台试验研究表明，水平垂直隧道轴线地震波引起隧道衬砌侧壁产生较大响应，竖直方向地震波引起隧道衬砌拱顶产生较大响应。以上的数值方法和模型试验研究可考虑复杂结构及围岩和隧道的非线性行为，但需要大量的计算成本，会影响其在实际工程中的应用。但理论解析法可避免上述缺点，在分析隧道结构动力学问题本质方面有着数值法和模型试验不可替代的作用。此外，理论解析解可快速计算出隧道的近似响应，为隧道的初步设计提供参考[19]。
在解析解方面，土–结构相互作用法被广泛应用于隧道纵向响应的研究，主要采用弹性地基梁模型考虑结构与围岩的相互作用[20]。Yang等[21-22]建立了Rayleigh波和SH波入射下隧道的纵向地震响应解析解。Franza等[23]采用等效的铁木辛柯梁求解既有隧道或管道的土–结构相互作用问题。张斌伟等[24]基于经典反应位移法引入了隧道的自重惯性力项，利用变形传递系数求解得到隧道的纵向地震响应解，该方法中的变形传递系数的取值对结果影响很大。赵建沣[25]将隧道围岩假定为纵向单一均质弹性模型，基于格林函数法推导了隧道纵向响应的解析解，重点研究了正断层错动形式下的隧道结构地震动响应。Yu等[26]建立了土岩变化地层的隧道纵向简化模型，推导了隧道纵向地震响应的解析解，并引入相位角模拟行波效应，研究不同相位角下隧道的纵向响应。黄芸等[27]根据误差方程和上覆土体的剪切变形机理推导了不排水条件下的土体变形公式，得到了正断层错动引起的隧道变形反应值。然而，针对穿越断层隧道纵向地震响应理论解析方法的研究目前还较少。因此，如何建立合理的穿越断层隧道力学模型及地震响应解析表达式，是指导穿越断层隧道结构抗震设计的坚实基础。
针对现有设计方法未考虑隧道穿越断层的现状，本文主要以以地震震动影响为主的隧道（如汶川地震的紫坪铺隧道）为研究对象，通过考虑剪切变形影响的剪切梁模型模拟隧道衬砌，采用黏弹性地基模拟围岩与隧道的相互作用，建立穿越断层隧道纵向简化力学模型，推导穿越断层隧道纵向地震稳态响应的解析表达式，提出穿越断层隧道纵向抗震简化分析方法，并将分析计算结果与数值分析结果进行对比，验证其有效性和可行性；基于此，结合本文给出的解析表达式分析不同参数对穿越断层隧道地震响应的影响规律。
1. 力学模型与解析解
1.1 力学模型与控制方程
如图1所示，某均质隧道穿越一断层，隧道结构抗弯刚度为EI（E为隧道衬砌的弹性模量，I为隧道横截面的惯性矩）。为获得该穿越断层隧道的地震动响应解析解，对穿越断层分段隧道模型简化，将隧道穿越断层区域简化为上盘、断层和下盘3个区域。
图 1 穿越断层隧道纵向简图Fig. 1 Longitudinal profile of the tunnel through fault
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为简化分析，对该穿越断层隧道做如下假定：
1）围岩区域满足连续、均匀和各项同性；地震作用下围岩与隧道的相互作用符合Kelvin黏弹性模型，考虑断层破碎带与上、下盘围岩的性质不同，上盘、断层和下盘的地基弹性抗力系数分别为K1、K2、K3，阻尼系数分别为c1、c2、c3。
2）隧道简化为3段处于不同地层条件中的黏弹性地基梁，隧道衬砌沿纵向满足连续性、均匀性和各向同性，衬砌响应可采用考虑了剪切变形的剪切梁模型模拟。
3）不考虑初始地应力的影响，衬砌响应只考虑地震作用引起的增量。
4）地震作用下，围岩自由场位移可简化为一正弦波形[28-29]。
定义隧道位置围岩的自由场位移为wg，表示为：
$$ {w_{\text{g}}} = D\cos \;\theta \;\sin \left(\frac{{2{\text{π}}x}}{{L_{\rm{w}}/\cos\; \theta }} + \alpha \right) $$ (1) 式中：D为围岩自由场位移峰值；θ为地震波入射角度；x表示沿x轴纵向的坐标值；Lw为地震波波长；α为位移函数的相位角，可通过改变α模拟行波效应。
采用黏弹性地基上的剪切梁模型模拟隧道与围岩的相互作用，剪切梁的控制方程可表示为：
$${\quad \left\{ \begin{gathered} EI\varphi '' + \kappa GA(w' - \varphi ) = 0, \\ \kappa GA(w'' - \varphi ') - \mu \ddot w = K(w - {w_{\text{g}}}) + c(\dot w - {{\dot w}_{\text{g}}}) \\ \end{gathered} \right.} $$ (2) 式中：
$\varphi $ 为梁弯曲所引起的旋转角，$\varphi $ ′、$\varphi $ ″分别为梁旋转角对位置x的1阶和2阶导数；w为梁的位移，w′、w″分别为梁位移对位置x的1阶和2阶导数，$ \dot w $ 、$ \ddot w $ 分别为梁位移对时间项t的1阶和2阶导数；$ {\dot w_{\text{g}}} $ 和$ {\ddot w_{\text{g}}} $ 分别为围岩自由场位移对时间项t的1阶和2阶导数；κ为剪切修正系数；G为剪切模量；A为横截面面积；μ =ρA，ρ为梁的单位体积质量；K为地基弹性抗力系数；c为地基（对应工程中的围岩）阻尼系数。1.2 衬砌节段的纵向稳态响应解析解
本节主要考虑隧道衬砌处于均一地层的工况。采用剪切梁模型模拟衬砌节段，假定衬砌节段所受外荷载为简谐位移荷载ug(x,t)=Ug(x)∙eiΩt，其中Ug(x)表示作用的外荷载激励关于x的表达式，则衬砌节段位移和转角分别可假定为：
$$ w(x,t) = W(x) \cdot {{\text{e}}^{{\text{i}}\varOmega t}} $$ (3) $$ \varphi (x,t) = \varPhi (x) \cdot {{\text{e}}^{{\text{i}}\varOmega t}} $$ (4) 式中，W(x)和
$ \varPhi {\text{(}}x{\text{)}} $ 分别为衬砌节段位移和旋转角，Ω为荷载频率，i为虚部。将式（3）、（4）代入式（2），消去时间变量，则式（2）可表示为：
$$ \left\{ \begin{gathered} EI\varPhi '' + \kappa GA(W' - \varPhi ) = 0, \\ \kappa GA(W'' - \varPhi ') + \mu {\varOmega ^2}W - KW - {\text{i}}c\varOmega W = - K{U_{\text{g}}} - {\text{i}}c\varOmega {U_{\text{g}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (5) 式中，
$ \varPhi ' $ 和$ \varPhi '' $ 分别为衬砌节段旋转角关于x的1阶和2阶导数，$ W' $ 和$ W'' $ 分别为衬砌节段位移关于x的1阶和2阶导数。式（5）消去变量Φ可得：
$$ \begin{aligned}[b] & W'''' + \frac{{\mu {\varOmega ^2} - K - {\text{i}}c\varOmega }}{{\kappa GA}}W'' - \frac{{\mu {\varOmega ^2} - K - {\text{i}}c\varOmega }}{{EI}}W = \\& \qquad - \left(\frac{K}{{\kappa GA}} + \frac{{{\text{i}}c\varOmega }}{{\kappa GA}}\right){{U}_{\text{g}}''} + \frac{{K + {\text{i}}c\varOmega }}{{EI}}{U_{\text{g}}}\end{aligned} $$ (6) 式中，
$ W'''' $ 为衬砌节段位移对x的4阶导数，$ {U''_{\text{g}}} $ 为外荷载对x的2阶导数。引入系数a1、a2、b1、b2，则式（6）可简化为：
$$ { \quad W'''' + {a_1}W'' + {a_2}W = {b_1}{{U}_{\text{g}}''}(x) + {b_2}{U_{\text{g}}}(x) }$$ (7) 式中，
$ {a_1} = \dfrac{{\mu {\varOmega ^2} - K - {\text{i}}c\varOmega }}{{\kappa GA}} $ ，${a_2} = - \dfrac{{\mu {\varOmega ^2}}}{{EI}} + \dfrac{K}{{EI}} + \dfrac{{{\text{i}}c\varOmega }}{{EI}}$ ，${b_1} = - \left(\dfrac{K}{{\kappa GA}} + \dfrac{{{\text{i}}c\varOmega }}{{\kappa GA}}\right)\text{，}{b_2} = \dfrac{{K + {\text{i}}c\varOmega }}{{EI}}$ 。式（7）的解析解可根据格林函数方法求得，即：
格林函数
$ G(x,{x_0}) $ 为荷载作用于任意一点x0产生的位移场，则$ G(x,{x_0}) $ 为式（8）的解：$$ W'''' + {a_1}W'' + {a_2}W = {b_1}\delta ''(x - {x_0}) + {b_2}\delta (x - {x_0}) $$ (8) 式中，
$ \delta (x) $ 为狄拉克函数，$ \delta ''(x - {x_0}) $ 为狄拉克函数对x的2阶导数。对式（8）采用叠加原理，如式（9）所示，即可求解式（7）：
$$ W(x) = \int_0^L {{U_{\text{g}}}({x_0})} G(x,{x_0}){\text{d}}{x_0} $$ (9) 式中，L表示衬砌节段的长度。
下面对式（7）进行具体求解。首先，对式（8）左、右边做拉普拉斯正变换，然后左右移项合并，整理得到：
$$ \begin{aligned}[b]& \hat W(s,{x_0}) = {\text{L}}[W(x)] = \\&\qquad \frac{1}{{{s^4}L + {a_1}{s^2} + {a_2}}}[({b_1}{s^2} + {b_2}){{\text{e}}^{ - s{x_0}}} + ({s^3} + {a_1}s)W(0) + \\&\qquad ({s^2} + {a_1})W'(0) + sW''(0) + W'''(0)]\\[-10pt] \end{aligned}$$ (10) 式中：s为复变量；
$ W(0) $ 、$ W'(0) $ 、$ W''(0) $ 、$ W'''(0) $ 分别为衬砌节段位移，以及衬砌节段位移对x的1阶、2阶和3阶导数在坐标0点的值，可视为常数，可以通过衬砌节段两端的边界约束条件求得[30]。然后，对式（10）进行拉普拉斯逆变换[31]得到：
$$ \begin{aligned}[b] G(x,{x_0}) =& W(x,{x_0}) = \\& {{\text{L}}^{ - 1}}\left[\frac{1}{{{s^4} + {a_1}{s^2} + {a_2}}}({b_1}{s^2} + {b_2}){{\text{e}}^{ - s{x_0}}}\right] + \\& {{\text{L}}^{ - 1}}\left[\frac{1}{{{s^4} + {a_1}{s^2} + {a_2}}}({s^3} + {a_1}s)W(0)\right] + \\& {{\text{L}}^{ - 1}}\left[\frac{1}{{{s^4} + {a_1}{s^2} + {a_2}}}({s^2} + {a_1})W'(0)\right] + \\& {{\text{L}}^{ - 1}}\left[\frac{1}{{{s^4} + {a_1}{s^2} + {a_2}}}sW''(0)\right] + \\& {{\text{L}}^{ - 1}}\left[\frac{1}{{{s^4} + {a_1}{s^2} + {a_2}}}W'''(0)\right] \end{aligned} $$ (11) 利用留数法对式（11）进行求解，整理得到：
$$\begin{aligned}[b] G(x,{x_0}) =& H(x - {x_0}){\phi _1}(x - {x_0}) + W(0){\phi _2}(x) + \\& W'(0){\phi _3}(x) + W''(0){\phi _4}(x) + W'''(0){\phi _5}(x) \end{aligned} $$ (12) 式中，
$\phi_1 $ ～$\phi_5 $ 分别为：$$ \left\{ \begin{array}{l} {\phi }_{1}(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{4}{\psi }_{i}(x)({b}_{1}{s}_{i}{}^{2}+{b}_{2})},\\ {\phi }_{2}(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{4}{\psi }_{i}(x)({s}_{i}{}^{3}+{a}_{1}{s}_{i})},\\ {\phi }_{3}(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{4}{\psi }_{i}(x)({s}_{i}{}^{2}+{a}_{1})},\\ {\phi }_{4}(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{4}{\psi }_{i}(x){s}_{i}},\\ {\phi }_{5}(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{4}{\psi }_{i}(x)}\end{array} \right.$$ (13) 式中，si（i=1、2、3、4）为s4+a1s2+a2=0的根，ψi（i=1、2、3、4）分别为：
$$\left\{ \begin{array}{l} {\psi }_{1}(x)=\dfrac{{\text{e}}^{{s}_{1}x}}{({s}_{1}-{s}_{2})({s}_{1}-{s}_{3})({s}_{1}-{s}_{4})},\\ {\psi }_{2}(x)=\dfrac{{\text{e}}^{{s}_{2}x}}{({s}_{2}-{s}_{1})({s}_{2}-{s}_{3})({s}_{2}-{s}_{4})},\\ {\psi }_{3}(x)=\dfrac{{\text{e}}^{{s}_{3}x}}{({s}_{3}-{s}_{1})({s}_{3}-{s}_{2})({s}_{3}-{s}_{4})},\\ {\psi }_{4}(x)=\dfrac{{\text{e}}^{{s}_{4}x}}{({s}_{4}-{s}_{1})({s}_{4}-{s}_{2})({s}_{4}-{s}_{3})} \end{array}\right.$$ (14) 最后，根据叠加原理式（9）可得到式（7）的解析解，则衬砌节段沿纵向的弯矩M和剪力Q分别为：
$$ M = - EI\left[w''(x,t) + \frac{{\mu {\varOmega ^2} - K - {\text{i}}c\varOmega }}{{\kappa GA}} \cdot w(x,t) + \frac{K}{{\kappa GA}}{u_{\text{g}}}\cdot(x,t)\right] $$ (15) $$ Q = \frac{{EI\left( {\mu {\varOmega ^2} - K - {\text{i}}c\varOmega } \right)}}{{\kappa GA}}\cdot w'(x,t) - EIw'''(x,t) - \frac{{EIK}}{{\kappa GA}}\cdot{{u}_{\text{g}}'}(x,t) $$ (16) 式（16）中，
$ w''' $ 为衬砌节段位移关于x的3阶导数，$ {u'_{\text{g}}} $ 为外荷载的1阶导数。1.3 穿越断层隧道纵向响应解析解
为获得隧道穿越断层受地震动影响的纵向响应解析解，建立如图2所示的力学模型，3段衬砌分别为
$x \in [0,L_1^ - )$ ，$ x \in (L_1^ + ,{({L_1} + {L_2})^ - }) $ 和$x \in ({({L_1} + {L_2})^ + },L)$ 。为简化计算，3个衬砌节段分别建立自己的局部坐标系${O_1} - {x_1}{y_1}$ 、$ {O_2} - {x_2}{y_2} $ 和$ {O_3} - {x_3}{y_3} $ ，分别研究各衬砌节段的变形和内力。其中，节段间位移、内力满足连续性条件。
图 2 穿越断层隧道简化力学模型Fig. 2 Simplified mechanical model of the tunnel through fault下载:
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根据解析解求解推导过程可发现，各段衬砌的格林函数表达形式相对比较固定，因此各段衬砌的格林函数可假定为：
$$\begin{aligned}[b] {G_j}(x,{x_{j0}}) =& H({x_j} - {x_{j0}}){\phi _{j1}}({x_j} - {x_{j0}}) + \\& {A_j}{\phi _{j2}}({x_j}) + {B_j}{\phi _{j3}}({x_j}) + {C_j}{\phi _{j4}}({x_j}) + {D_j}{\phi _{j5}}({x_j}), \\& \qquad \qquad j = 1,2,3 \\[-10pt] \end{aligned} $$ (17) 式中，
$ {A_j} = {W_j}(0) $ ，$ {B_j} = {W'_j}(0) $ ，$ {C_j} = {W''_j}{\text{ }}(0) $ ，$ {D_j} = {W'''_j}{\text{ }}(0) $ ，下标j表示第j段衬砌。为了减少未知系数，假定两端边界为自由边界，即两端边界弯矩和剪力均为0，即：
$$ {C}_{m}+\frac{\mu {\varOmega }^{2}-{K}_{m}-\text{i}{c}_{m}\varOmega }{\kappa GA}\cdot{A}_{m}=0,m=1\text{,}\text{ }3 $$ (18) $$ {D}_{m}+\frac{\mu {\varOmega }^{2}-{K}_{m}-\text{i}{c}_{m}\varOmega }{\kappa GA}\cdot{B}_{m}=0,m=1\text{,}\text{ }3$$ (19) 在衬砌节段间，隧道的地震响应满足连续性要求，因此，式（17）满足以下连续性条件：
在上盘与断层的衬砌连接处：
$$\left\{ \begin{array}{l} {{W}_{1}|}_{{x}_{1}={L}_{1}{}^-}={{W}_{2}|}_{{x}_{2}={0}^+},\\ {{\varPhi }_{1}|}_{{x}_{1}={L}_{1}{}^-}={{\varPhi }_{2}|}_{{x}_{2}={0}^+},\\ {EI{{\varPhi }}_{1}'\text{ }|}_{{x}_{1}={L}_{1}{}^-}=EI{{{\varPhi }}_{2}'|}_{{x}_{2}={0}^+},\\ \kappa GA({{{W}}_{1}'|}_{{x}_{1}={L}_{1}{}^-}-{{\varPhi }_{1}|}_{{x}_{1}={L}_{1}{}^-}) =\kappa GA({{{W}}_{2}'|}_{{x}_{2}={0}^+}-{{\varPhi }_{2}|}_{{x}_{2}={0}^+})\end{array}\right. $$ (20) 在断层与下盘的衬砌连接处：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {\left. {{W_2}} \right|_{{x_2} = {L_2}}} = {\left. {{W_3}} \right|_{{x_3} = {L_3}}}, \\ {\left. {{\varPhi _2}} \right|_{{x_2} = {L_2}}} = - {\left. {{\varPhi _3}} \right|_{{x_3} = {L_3}}} ,\\ {\left. {EI{{\varPhi }_2'}} \right|_{{x_2} = {L_2}}} = EI{\left. {{{\varPhi }_3'}} \right|_{{x_3} = {L_3}}}, \\ \kappa GA({\left. {{{W}_2'}} \right|_{{x_2} = {L_2}}} - {\left. {{\varPhi _2}} \right|_{{x_2} = {L_2}}}) = - \kappa GA({\left. {{{W}_3'}} \right|_{{x_3} = {L_3}}} - {\left. {{\varPhi _3}} \right|_{{x_3} = {L_3}}}) \end{array}\right. $$ (21) 将式（17）代入式（20）和（21），再结合式（18）和（19）可得到：
$${\qquad {{\boldsymbol{T}}_{11}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} \\ {{B_1}} \end{array}} \right) = {{\boldsymbol{T}}_{12}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_2}} \\ {{B_2}} \\ {{C_2}} \\ {{D_2}} \end{array}} \right) + {{\boldsymbol{M}}_1} }$$ (22) $${\qquad {{\boldsymbol{T}}_{21}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_2}} \\ {{B_2}} \\ {{C_2}} \\ {{D_2}} \end{array}} \right) = {{\boldsymbol{T}}_{22}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_3}} \\ {{B_3}} \end{array}} \right) + {{\boldsymbol{M}}_2} }$$ (23) 结合式（22）和（23）得到：
$$ \left( {{{\boldsymbol{T}}_{21}}T_{12}^{ - 1}{{\boldsymbol{T}}_{11}}, - {{\boldsymbol{T}}_{22}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} \\ {{B_1}} \\ {{A_3}} \\ {{B_3}} \end{array}} \right) = {{\boldsymbol{M}}_2} + {{\boldsymbol{T}}_{21}}{\boldsymbol{T}}_{12}^{ - 1}{{\boldsymbol{M}}_1} $$ (24) 式（22）～（24）中：
$$ {\qquad {{\boldsymbol{T}}_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{11\_11}}({L_1})}&{{T_{11\_12}}({L_1})} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{11\_21}}({L_1})}&{{T_{11\_22}}({L_1})} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{11\_31}}({L_1})}&{{T_{11\_32}}({L_1})} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{11\_41}}({L_1})}&{{T_{11\_42}}({L_1})} \end{array}} \end{array}} \right] }$$ (25) $${\qquad {{\boldsymbol{T}}_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&{{\widetilde{\omega} _8}}&0&{{\widetilde{\omega} _6}} \\ {{\widetilde{\omega} _{10}}}&0&1&0 \\ 0&{{\widetilde{\omega} _{12}}}&0&{ - {\widetilde{\omega} _6}} \end{array}} \right] }$$ (26) $${\quad {{\boldsymbol{T}}_{21}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _{22}}({L_2})}&{{\phi _{23}}({L_2})}&{{\phi _{24}}({L_2})}&{{\phi _{25}}({L_2})} \\ {{\alpha _{22}}({L_2})}&{{\alpha _{23}}({L_2})}&{{\alpha _{24}}({L_2})}&{{\alpha _{25}}({L_2})} \\ {{\varepsilon _{22}}({L_2})}&{{\varepsilon _{23}}({L_2})}&{{\varepsilon _{24}}({L_2})}&{{\varepsilon _{25}}({L_2})} \\ {{\xi _{22}}({L_2})}&{{\xi _{23}}({L_2})}&{{\xi _{24}}({L_2})}&{{\xi _{25}}({L_2})} \end{array}} \right] }$$ (27) $${\qquad {{\boldsymbol{T}}_{22}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {T{}_{22\_11}({L_3})} \\ { - T{}_{22\_21}({L_3})} \\ {{T_{22\_31}}({L_3})} \\ { - T{}_{22\_41}({L_3})} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {T{}_{22\_12}({L_3})} \\ { - T{}_{22\_22}({L_3})} \\ {{T_{22\_32}}({L_3})} \\ { - T{}_{22\_42}({L_3})} \end{array}} \end{array}} \right] }$$ (28) $$ {{\boldsymbol{M}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - H({L_1} - {x_{10}}){\phi _{11}}({L_1} - {x_{10}})} \\ { - H({L_1} - {x_{10}})[{\widetilde{\omega} _6}{{\phi }_{11}'''}({L_1} - {x_{10}}) + {\widetilde{\omega} _7}{{\phi }_{11}'}({L_1} - {x_{10}})]} \\ { - H({L_1} - {x_{10}})[{{\phi }_{11}''}({L_1} - {x_{10}}) + {\widetilde{\omega} _9}{\phi _{11}}({L_1} - {x_{10}})]} \\ { - H({L_1} - {x_{10}})[{\widetilde{\omega} _{11}}{{\phi }_{11}'}({L_1} - {x_{10}}) - {\widetilde{\omega} _6}{{\phi }_{11}'''}({L_1} - {x_{10}})]} \end{array}} \right] $$ (29) $$ {{\boldsymbol{M}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {H({L_3} - {x_{30}}){\mho _{31}}({L_3} - {x_{30}}) - H({L_2} - {x_{20}}){\phi _{21}}({L_2} - {x_{20}})} \\ { - H({L_3} - {x_{30}}){\beta _{31}}({L_3} - {x_{30}}) - H({L_2} - {x_{20}}){\alpha _{21}}({L_2} - {x_{20}})} \\ {H({L_3} - {x_{30}}){\text{ }}{\theta _{31}}({L_3} - {x_{30}}) - H({L_2} - {x_{20}}){\varepsilon _{21}}({L_2} - {x_{20}})} \\ { - H({L_3} - {x_{30}}){\text{ }}{\zeta _{31}}({L_3} - {x_{30}}) - H({L_2} - {x_{20}}){\xi _{21}}({L_2} - {x_{20}})} \end{array}} \right] $$ (30) 式（25）～（30）中：
$$ \begin{aligned}[b]& {T}_{11\_11}({L}_{1})={\varphi }_{12}({L}_{1})+{p}_{1}{\varphi }_{14}({L}_{1})\text{ },\\&{T}_{11\_12}({L}_{1})={\varphi }_{13}({L}_{1})+{p}_{1}{\varphi }_{15}({L}_{1}),\\& {T}_{11\_21}({L}_{1})={\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{12}'''({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{1}{{\varphi }{}}_{14}'''({L}_{1})+\\&\qquad\qquad\;\;\;\, {\widetilde{\omega} }_{7}{{\varphi }}_{12}^{\prime }({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{7}{p}_{1}{{\varphi }}_{14}^{\prime }({L}_{1}),\\& {T}_{11\_22}({L}_{1})={\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{13}'''({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{1}{{\varphi }{}}_{15}'''({L}_{1})+\\&\qquad\qquad\;\;\;\, {\widetilde{\omega} }_{7}{{\varphi }}_{13}^{\prime }({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{7}{p}_{1}{{\varphi }}_{15}^{\prime }({L}_{1}),\\& {T}_{11\_31}({L}_{1}) = {{\varphi }{}}_{12}''({L}_{1}) + {p}_{1}{{\varphi }{}}_{14}''({L}_{1}) + {\widetilde{\omega} }_{9}{\varphi }_{12}({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{9}{p}_{1}{\varphi }_{14}({L}_{1}),\\& {T}_{11\_32}({L}_{1}) = {{\varphi }{}}_{13}''({L}_{1}) + {p}_{1}{{\varphi }{}}_{15}''({L}_{1}) + {\widetilde{\omega} }_{9}{\varphi }_{13}({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{9}{p}_{1}{\varphi }_{15}({L}_{1}),\\& {T}_{11\_41}({L}_{1})={\widetilde{\omega} }_{11}{{\varphi }}_{12}^{\prime }({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{11}{p}_{1}{{\varphi }}_{14}^{\prime }({L}_{1})-\\&\qquad\qquad\;\;\;\,{\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{12}'''({L}_{1})-{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{1}{{\varphi }{}}_{14}'''({L}_{1}),\\& {T}_{11\_42}({L}_{1})={\widetilde{\omega} }_{11}{{\varphi }}_{13}^{\prime }({L}_{1})+{\widetilde{\omega} }_{11}{p}_{1}{{\varphi }^{\prime }}_{15}({L}_{1})-\\&\qquad \qquad\;\;\;\,{\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }}_{13}'''({L}_{1})-{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{1}{{\varphi }}_{15}'''({L}_{1}), \\& {}T{}_{22\_11}({{L}_{3}})={\varphi }_{32}({L}_{3})+{p}_{3}{\varphi }_{34}({L}_{3}),\\& T{}_{22\_12}({{L}_{3}})={\varphi }_{33}({L}_{3})+{p}_{3}{\varphi }_{35}({L}_{3}),\\& T{}_{22\_21}({{L}_{3}})={\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{32}'''({L}_{3})+{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{3}{{\varphi }{}}_{34}'''({L}_{3})+\\&\qquad\qquad\;\;\;\,\,{\widetilde{\omega} }_{13}{{\varphi }}_{32}^{\prime }({L}_{3})+{\widetilde{\omega} }_{13}{p}_{3}{{\varphi }}_{34}^{\prime }({L}_{3}),\\& T{}_{22\_22}({{L}_{3}})={\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{33}'''({L}_{3})+{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{3}{{\varphi }{}}_{35}'''({L}_{3})+\\&\qquad\qquad\;\;\;\,\,{\widetilde{\omega} }_{13}{{\varphi }}_{33}^{\prime }({L}_{3})+{\widetilde{\omega} }_{13}{p}_{3}{{\varphi }}_{35}^{\prime }({L}_{3}),\\& {T}_{22\_31}({L}_{3}) = {{\varphi }{}}_{32}''({L}_{3}) + {p}_{3}{{\varphi }{}}_{34}''({L}_{3}) + {\widetilde{\omega} }_{14}{\varphi }_{32}({L}_{3}) + {\widetilde{\omega} }_{14}{p}_{3}{\varphi }_{34}({L}_{3})\text{，}\\& {T}_{22\_32}({L}_{3}) = {{\varphi }{}}_{33}''({L}_{3}) + {p}_{3}{{\varphi }{}}_{35}''({L}_{3}) + {\widetilde{\omega} }_{14}{\varphi }_{33}({L}_{3}) + {\widetilde{\omega} }_{14}{p}_{3}{\varphi }_{35}({L}_{3})\text{，}\\& T{}_{22\_41}({{L}_{3}})={\widetilde{\omega} }_{15}{{\varphi }}_{32}^{\prime }({L}_{3})+{\widetilde{\omega} }_{15}{p}_{3}{{\varphi }}_{34}^{\prime }({L}_{3})-\\&\qquad\qquad\;\;\;\,\,{\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{32}'''({L}_{3})-{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{3}{{\varphi }{}}_{34}'''({L}_{3}),\\& T{}_{22\_42}({{L}_{3}})={\widetilde{\omega} }_{15}{{\varphi }}_{33}^{\prime }({L}_{3})+{\widetilde{\omega} }_{15}{p}_{3}{{\varphi }}_{35}^{\prime }({L}_{3})-\\&\qquad\qquad\;\;\;\,\,{\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{33}'''({L}_{3})-{\widetilde{\omega} }_{6}{p}_{3}{{\varphi }{}}_{35}'''({L}_{3}), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}[b] & {\mho }_{31}({L}_{3}-{x}_{30})={\varphi }_{31}({L}_{3}-{x}_{30}),{\alpha }_{2j}={\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{2j}'''+{\widetilde{\omega} }_{8}{{\varphi }}_{2j}^{\prime },\\& {\beta }_{31}({L}_{3}-{x}_{30})={\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{31}'''({L}_{3}-{x}_{30})+{\widetilde{\omega} }_{13}{{\varphi }}_{31}^{\prime }({L}_{3}-{x}_{30}),\\& {\varepsilon }_{2j}={{\varphi }{}}_{2j}''+{\widetilde{\omega} }_{10}{\varphi }_{2j},\\&{\theta }_{31}({L}_{3}-{x}_{30})={{\varphi }{}}_{31}''({L}_{3}-{x}_{30})+{\widetilde{\omega} }_{14}{\varphi }_{31}({L}_{3}-{x}_{30}),\\& {\xi }_{2j}={\widetilde{\omega} }_{12}{{\varphi }}_{2j}^{\prime }-{\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{2j}''',\\&{\zeta }_{31}={\widetilde{\omega} }_{15}{{\varphi }}_{31}^{\prime }({L}_{3}-{x}_{30})-{\widetilde{\omega} }_{6}{{\varphi }{}}_{31}'''({L}_{3}-{x}_{30}),\end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}[b] & {\widetilde{\omega} }_{1}=\kappa GA\text{，}{\widetilde{\omega} }_{2}=EI\text{，}{\widetilde{\omega} }_{3}=\mu {\varOmega }^{2}-{K}_{1}-\text{i}{c}_{1}\varOmega \text{，}\\&{\widetilde{\omega} }_{4}=\mu {\varOmega }^{2}-{K}_{2}-\text{i}{c}_{2}\varOmega \text{，} {\widetilde{\omega} }_{5}=\mu {\varOmega }^{2}-{K}_{3}-\text{i}{c}_{3}\varOmega \text{，}\\&{\widetilde{\omega} }_{6}={\widetilde{\omega} }_{2}/{\widetilde{\omega} }_{1}\text{，}{\widetilde{\omega} }_{7}={\widetilde{\omega} }_{2}{\widetilde{\omega} }_{3}/{\widetilde{\omega} }_{1}^{2}+1\text{，} {\widetilde{\omega} }_{8}={\widetilde{\omega} }_{2}{\widetilde{\omega} }_{4}/{\widetilde{\omega} }_{1}^{2}+1\text{，}\\&{\widetilde{\omega} }_{9}={\widetilde{\omega} }_{3}/{\widetilde{\omega} }_{1}\text{，}{\widetilde{\omega} }_{10}={\widetilde{\omega} }_{4}/{\widetilde{\omega} }_{1}\text{，}\\&{\widetilde{\omega} }_{11}=-{\widetilde{\omega} }_{2}{\widetilde{\omega} }_{3}/{\widetilde{\omega} }_{1}^{2}\text{，} {\widetilde{\omega} }_{12}=-{\widetilde{\omega} }_{2}{\widetilde{\omega} }_{4}/{\widetilde{\omega} }_{1}^{2}\text{，}\\&{\widetilde{\omega} }_{13}={\widetilde{\omega} }_{2}{\widetilde{\omega} }_{5}/{\widetilde{\omega} }_{1}^{2}+1\text{，}{\widetilde{\omega} }_{14}={\widetilde{\omega} }_{5}/{\widetilde{\omega} }_{1}\text{，}\\&{\widetilde{\omega} }_{15}=-{\widetilde{\omega} }_{2}{\widetilde{\omega} }_{5}/{\widetilde{\omega} }_{1}^{2}\text{，} {p}_{m}=-\frac{\mu {\varOmega }^{2}-{K}_{m}-\text{i}{c}_{m}\varOmega }{\kappa GA}(m=1,\text{ }3)。 \end{aligned} $$ 通过式（22）～（24）可以求解各未知系数的值，则可得到3段衬砌的格林函数。以上求得的是各节段在局部坐标系上的格林函数，令x10=x0，x1=x，x20=x0–L1，x2=x–L1，x30=L–x0，x3=L–x，则穿越断层隧道衬砌整体坐标系的格林函数为：
$$ G(x,{x}_{0})=\left\{ \begin{array}{l}{G}_{1}(x,{x}_{0}),x\in [0,{L}_{{}_{1}}^-);\\ {G}_{2}(x-{L}_{1},{x}_{0}-{L}_{1}),x\in ({L}_{1}^+,({{L}_{1}}+L_2)^-);\\ {G}_{3}(L-x,L-{x}_{0}),x\in (({{L}_{1}},L_2)^+,L]\end{array}\right.$$ (31) 根据格林函数的定义，由式（9）可得到地震作用下衬砌的位移稳态响应；然后，根据式（15）和（16）得到各节段衬砌的内力。
2. 模型验证
依托川藏铁路某典型隧道，该隧道穿越折多山，为川藏铁路重点工程。隧道穿越折多塘断裂、金龙寺—磨子沟断层等，处于高烈度地震区。隧道洞身净断面设计为：该隧道断面型式为四心圆型，隧道横断面宽14.40 m，高13.46 m。衬砌采用C35钢筋混凝土，衬砌厚度60 cm。采用外接圆半径法确定隧道横断面内外径[32-33]，得到衬砌内直径为12.66 m，外直径为13.86 m，其他相关力学参数见表1。
表 1 隧道力学参数Table 1 Mechanical parameters of the tunnel lining技术指标 参数 密度/(kg·m–3) 2 400 弹性模量/GPa 31.5 剪切模量/GPa 13.1 泊松比 0.2 剪切修正系数 0.52 横截面面积/m2 24.99 截面惯性矩/m4 550.47 隧址区地震基本烈度为Ⅸ度，峰值加速度为0.4g，地震波加速度时程如图3所示。
图 3 地震波加速度时程Fig. 3 Acceleration time history of seismic wave下载:
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根据隧道地质资料可得，断层位置的剪切波速为Vs1=301 m/s，上下盘位置围岩的剪切波速为Vs2=563 m/s。地震波波长Lw取为157 m。需要说明的是，文中上下盘与断层的波长假定为相同，实际应用可以对不同频率或不同波长的正弦波进行分析，给出实际地震动对应的地震响应范围，从而给出包络曲线来指导实际工程设计。地基弹性抗力系数K可根据式（32）得到[34]：
$$ K = \frac{{16{\text{π }}\rho {V_{\text{s}}}^2(1 - \nu )}}{{3 - 4\nu }}\cdot \frac{d}{L_{\rm{w}}} $$ (32) 式中，ρ为围岩密度，Vs为围岩剪切波速，ν为泊松比，d为隧道的直径。
由式（32）可得上下盘的地基弹性抗力系数为K1=K3=1 151 MPa，断层地基弹性抗力系数为K2=336 MPa。为方便分析，这里将围岩阻尼系数设置为0。对基岩施加场地地震波加速度时程（图3），然后根据场地分析软件Deepsoil[35]得到上下盘的自由场位移峰值为wmax1=wmax3=0.031 m，断层位置自由场位移峰值为wmax2=0.099 m。因此，上下盘和断层的自由场位移如下：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {W_{{\text{g1}}}} = {W_{{\text{g3}}}} = 0.031\cos\; \theta \;\sin \left(\dfrac{{2{\text{π}}x}}{{L/\cos\; \theta }} + \alpha \right), \\ {W_{{\text{g2}}}} = 0.099\cos \;\theta\; \sin \left(\dfrac{{2{\text{π}}x}}{{L/\cos \;\theta }} + \alpha \right) \end{array} \right. $$ (33) 式中，Wg1和Wg3分别为上盘和下盘的自由场位移，Wg2为断层的自由场位移。
结合该隧道工程，上下盘长度设置为L1=L3=80 m，断层破碎带宽度L2=40 m；地震波入射角取θ=0°，相位角为α=0。根据以上参数可得到所提方法的解析解。
采用有限元软件ANSYS建立梁–弹簧模型对本文提出方法进行验证[26,36]。隧道模型采用BEAM188单元模拟，具体参数见表1。隧道与围岩的相互作用通过弹簧单元COMBIN14模拟，其参数保持与解析方法的地基参数一致。梁单元长度为0.5 m，需要说明的是，梁单元长度是通过大量数值模拟试算确定。隧道模型的两端采用自由边界。在弹簧远离结构一端输入与理论模型相同的地震动位移激励，得到有限元数值结果。
图4～6分别为采用所提方法和数值方法计算得到的隧道结构位移和内力响应，其中，灰色阴影部分表示断层破碎带区域，即80～120 m为断层区域，两侧分别为上、下盘区域。如无特殊说明，本文的断层、上下盘区域位置都本节相同。由图4～6可知：所提方法与数值结果吻合较好，说明本文穿越断层隧道纵向地震响应解析解具有较高的计算精度。断层位置隧道的地震响应明显大于上下盘位置衬砌的响应，这主要是由于断层处围岩相对较弱，受地震动影响较大，衬砌位移响应大，衬砌与围岩相互作用力大，使衬砌的内力响应值较大；同时，断层中部位置衬砌的弯矩值最大，剪力的最值分布在断层与上下盘接触面位置，是隧道抗震设防需要重点关注的区域。
图 4 隧道位移的解析解和数值解对比Fig. 4 Comparison of displacements between the proposed solution and numerical simulation下载:
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图 5 隧道弯矩的解析解和数值解对比Fig. 5 Comparison of bending moments between the proposed solution and numerical simulation下载:
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图 6 隧道剪力的解析解和数值解对比Fig. 6 Comparison of shear forces between the proposed solution and numerical simulation下载:
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震后调查表明，汶川地震中受损严重的穿越断层隧道龙溪隧道、紫坪铺隧道，白云顶在断层与上下盘接触面及断层位置破坏严重[37]，这与以上理论分析的结果较为一致，也验证了本文理论解的正确性。
3. 参数敏感性分析
本节通过对比隧道沿纵向位移、内力阐述边界条件、结构刚度、断层岩体性质和围岩阻尼对隧道结构地震响应的影响。需要说明的是，本节参数分析均基于上述验证算例，仅改变某一参数，研究该独立参数对隧道结构地震响应的影响规律。
3.1 边界条件的影响
隧道埋置于围岩中，其边界条件较复杂，不同边界条件对隧道衬砌响应有明显影响。本节对隧道的边界条件做一定的简化，研究不同边界条件对衬砌地震响应的影响规律。图7～9分别为不同边界条件下隧道结构的位移、弯矩和剪力响应，其中F–F、S–S和C–C分别表示两边自由边界、两边简支边界和两边固定边界。
图 7 不同边界隧道结构的位移响应Fig. 7 Displacement along the tunnel axis under different boundaries下载:
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图 8 不同边界隧道结构的弯矩响应Fig. 8 Bending moment along the tunnel axis under different boundaries下载:
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图 9 不同边界隧道结构的剪力响应Fig. 9 Shear force along the tunnel axis under different boundaries下载:
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由图7可知：3种边界条件衬砌的位移响应变化规律基本相同，其位移响应最大值都出现在断层位置x=108.5 m处，其值为−0.061 m。在两端边界处，3种工况响应明显不同。当x>182 m时，两端固定边界和简支边界的位移响应曲线均开始下降，最终降为0；而两端自由边界的位移响应一直增大，最终达到另一个峰值0.035 m；边界条件的影响范围约为18 m。
由图8可知，3种边界条件衬砌弯矩响应曲线都在x=59.0、107.5和180.0 m附近出现极值，即在上盘、断层中部与下盘各出现一个弯矩极值点。因此，在抗震设计中，以上3处位置附近应重点考虑衬砌的抗弯设计。对于3种边界条件，其衬砌负弯矩最大值均位于断层中，其值为–1.90×109 N·m。两端自由边界下衬砌的正弯矩最大值为8.65×108 N·m，位于x= 59 m处；两端简支边界下正弯矩最大值为1.41×109 N·m，位于x=186 m处；两端固定边界情况下衬砌正弯矩最大值为9.01×108 N·m，位于x =179 m处。由以上分析可知，不同边界条件对衬砌的弯矩响应影响很大。
由图9可以看出，边界条件也会显著地影响衬砌的剪力响应，在不同的边界工况下，其剪力影响范围约为40 m。
综上可知，边界条件对内力响应的影响很大，两端简支和两端固定的衬砌在边界都出现了较大弯矩或剪力；而自由边界的衬砌在断层区域响应较大，在两侧距断层远端内力最小，更符合实际的震害结果。根据以上分析以及现有文献[25]可知，两端自由边界更适用于本文研究。因此，后文分析均采用两端自由边界条件。
3.2 结构刚度的影响
调整刚度加固衬砌，其主要目的是提高隧道自身的抗震性能，是目前一种常用的抗震措施。图10～12分别为不同衬砌弯曲刚度隧道的位移、弯矩、剪力响应。其中，EI为背景工程的衬砌弯曲刚度，本节计算中令隧道衬砌全长弯曲刚度相同，并分别取为EI、2EI、4EI、6EI、8EI，以研究衬砌弯曲刚度对穿越断层隧道地震响应的影响。
图 10 不同衬砌弯曲刚度隧道的位移响应Fig. 10 Displacement along the tunnel axis under different lining bending stiffness下载:
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图 11 不同衬砌弯曲刚度隧道的弯矩响应Fig. 11 Bending moment along the tunnel axis under different lining bending stiffness下载:
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图 12 不同衬砌弯曲刚度隧道的剪力响应Fig. 12 Shear force along the tunnel axis under different lining bending stiffness下载:
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由图10可知，隧道弯曲刚度为4EI的位移最大值比弯曲刚度为2EI时减小15.03%，隧道弯曲刚度为6EI的位移最大值比隧道弯曲刚度为4EI时减小9.98%。因此，隧道衬砌弯曲刚度增大，衬砌的最大位移响应值减小，说明增大隧道衬砌自身的刚度可以减小衬砌的位移响应值。由图11可知，隧道弯曲刚度为4EI的弯矩最大值比隧道弯曲刚度为2EI时增大51.89%，隧道弯曲刚度为6EI的位移最大值比隧道弯曲刚度为4EI时增大26.59%。因此，衬砌弯曲刚度的增大会使衬砌的弯矩显著增大，这对隧道的安全是不利的。由图12可知，不同弯曲刚度的隧道剪力响应与弯矩响应有相同的变化规律。
综上所述，对于穿越断层隧道，增加衬砌的弯曲刚度虽能减小衬砌上的位移响应值，但却显著增大衬砌上的内力值，因此不能一味地通过增加衬砌的刚度来抵抗地震动。
3.3 断层破碎带性质的影响
隧道穿越断层位置总是容易出现严重震害，因此，有必要研究断层破碎带的特性对隧道衬砌地震响应的影响。
剪切波速能有效反映围岩性质的好坏，剪切波速越大表明围岩越好，故采用不同剪切波速来模拟断层处围岩性质的变化。假定上下盘围岩参数不变，只改变断层的围岩力学参数，分别取断层剪切波速与上下盘剪切波速比Vs2/Vs1为0.4、0.6、0.8、1.0，然后根据式（32）和DEEPSOIL[35]分别计算得到相应的断层围岩地基弹性抗力系数和围岩的自由场位移峰值。
图13～15分别为不同围岩剪切波速比对穿越断层隧道地震响应的影响。由图13可知，随着断层剪切波速的增大，即断层围岩强度增加，断层位置衬砌位移响应减小。这说明在地震动作用下，加固断层软弱带围岩可以减小衬砌的位移响应值。进一步观察发现，加固断层围岩可以减弱地震动作用下断层对隧道衬砌纵向位移的影响范围。图14和15显示，随着断层处围岩的增强，断层位置衬砌的最大弯矩和最大剪力也减小。同时，可发现加固断层处围岩也会减小断层对隧道衬砌沿纵向的弯矩和剪力的影响范围。
图 13 不同断层性质隧道的位移响应Fig. 13 Displacement along the tunnel axis under different fault properties下载:
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图 15 不同断层性质隧道的剪力响应Fig. 15 Shear force along the tunnel axis under different fault properties下载:
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图 14 不同断层性质隧道的弯矩响应Fig. 14 Bending moment along the tunnel axis under different fault properties下载:
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3.4 围岩阻尼的影响
沿隧道纵向分别取上盘、断层和下盘各一位置，假定围岩阻尼为c1=c2=c3=2ρAΩ，荷载频率Ω分别取2和4 Hz，其他参数与验证部分相同，分析阻尼对隧道响应的影响。以弯矩响应为例，结果如图16所示。由图16可知，阻尼的存在使衬砌的振动沿隧道纵向出现异步性，波的频率越高，不同步性越明显。地震波富含多个频率，因此分析研究中考虑阻尼是必要的。由以上研究可以知道，穿越断层隧道在空间上是异步振动的，而阻尼又带来了时间上的不同步性，使地震动对隧道的破坏更为严重。
图 16 Ω=2、4 Hz隧道的弯矩响应Fig. 16 Bending moment along the tunnel axis with Ω=2 and 4 Hz下载:
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4. 讨 论
本文提出的穿越断层隧道纵向响应简化分析方法能够快速容易地获得不同因素影响下穿越断层隧道的地震响应，评估穿越断层隧道或管道的结构性能，为穿越断层隧道的初步设计提供参考。
目前，赵建沣[25]也提出穿越断层隧道的纵向响应方法，该方法将穿越断层隧道的围岩沿纵向考虑为均匀弹性介质，即围岩用同一弹性地基弹性抗力系数模拟，未考虑断层处围岩的变化和围岩阻尼对隧道的影响。为了与文献[25]提出方法进行对比，这里将围岩阻尼系数设置为0，即黏弹性地基退化为弹性地基；同时，将其全长的地基弹性抗力系数和自由场位移峰值设置为2种情况，分别为断层位置的地基弹性抗力系数、自由场位移峰值和上下盘相应的参数，其他参数与模型验证部分相同。图17～19分别为上述工况下两种方法隧道结构的位移响应和内力响应，其中：工况1为采用本文提出方法考虑围岩变化计算的结果，工况2为采用文献[25]方法以地基弹性抗力系数336 MPa和位移峰值为0.099 m为参数计算的结果，工况3为采用文献[25]方法以地基弹性抗力系数1 151 MPa和位移峰值为0.031 m为参数计算的结果。由图17～19可知：工况2断层位置衬砌的位移和弯矩响应比本文的解析解大，而其断层处衬砌的剪力响应却小于本文提出的解析解；当文献[25]方法设置模型为上下盘参数时（工况3），距断层远端上下盘位置其衬砌响应与工况1较为接近，断层处其衬砌的响应均明显小于本文的解析解。因此，采用文献[25]方法会高估或低估断层位置衬砌的地震响应，而本文方法能够有效考虑隧道沿线地层的变化。
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对于围岩阻尼的影响，由第3.4节分析可知，阻尼会导致隧道地震响应在时间上的异步性，加剧地震动对隧道的破坏。综上所述，考虑围岩的变化和围岩阻尼是必要的。
需要说明的是，本文提出的解析方法主要针对的是受地震动作用为主的穿越断层隧道，该分析方法及分析结果可应用于其他相似的隧道工程中；对于断层错动对隧道的影响，断层错动易引起隧道的大变形，文中解析方法是否适用需进一步研究。其次，该解析方法中采用了常用的Kelvin黏弹性模型描述地震作用下围岩的阻尼效应，该模型主要描述围岩蠕变的黏弹性特性，更适用于模拟地震中变形相对不大的围岩，后续研究需进一步考虑不同的黏弹性模型以对比不同的黏弹性模型对隧道地震响应的影响。此外，解析方法不能够很好地考虑强震作用时围岩的非线性行为和复杂的结构和地质条件，因此，复杂实际工程的地震响应问题仍需结合数值模拟和模型试验方法进行综合分析。
5. 结 论
针对目前穿越断层隧道纵向地震响应理论解析方法研究不足的现状，首先，建立了穿越断层隧道纵向简化力学模型，提出穿越断层隧道纵向抗震简化分析方法，可为穿越断层隧道的抗减震设计与施工提供参考。然后，以有限元数值结果和隧道震害为基准，对比分析了相同工况下隧道结构响应，验证了本文方法的有效性和可行性。在此基础上，结合本文给出的解析表达式分析了关键参数对穿越断层隧道地震响应的影响规律，主要得出以下结论：
1）边界条件对隧道衬砌地震响应的影响很大，两端自由边界时，衬砌在断层区域的响应较大，距断层远端内力最小，更适合作为解析方法的边界条件。
2）对于穿越断层隧道，增大衬砌的弯曲刚度会减小衬砌上的位移响应值，但同时会显著增大衬砌上的内力响应值，因此不能一味地通过增加衬砌的弯曲刚度抵抗地震动对隧道的影响。
3）加固断层带软弱围岩可减小该位置衬砌在地震动作用下的位移响应及内力响应，同时减小断层对隧道纵向内力的影响范围。因此，对于受地震动影响为主的穿越断层隧道，改善围岩条件、注浆加固断层位置的围岩可在一定程度上减弱衬砌的地震响应。
4）阻尼的存在使衬砌的振动沿隧道纵向出现时间上的异步性，波的频率越高，隧道衬砌振动的异步性越明显，从而加剧地震动对隧道的破坏。
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图 1 穿越断层隧道纵向简图
Fig. 1 Longitudinal profile of the tunnel through fault
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图 2 穿越断层隧道简化力学模型
Fig. 2 Simplified mechanical model of the tunnel through fault
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图 3 地震波加速度时程
Fig. 3 Acceleration time history of seismic wave
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图 4 隧道位移的解析解和数值解对比
Fig. 4 Comparison of displacements between the proposed solution and numerical simulation
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图 5 隧道弯矩的解析解和数值解对比
Fig. 5 Comparison of bending moments between the proposed solution and numerical simulation
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图 6 隧道剪力的解析解和数值解对比
Fig. 6 Comparison of shear forces between the proposed solution and numerical simulation
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图 7 不同边界隧道结构的位移响应
Fig. 7 Displacement along the tunnel axis under different boundaries
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图 8 不同边界隧道结构的弯矩响应
Fig. 8 Bending moment along the tunnel axis under different boundaries
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图 9 不同边界隧道结构的剪力响应
Fig. 9 Shear force along the tunnel axis under different boundaries
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图 10 不同衬砌弯曲刚度隧道的位移响应
Fig. 10 Displacement along the tunnel axis under different lining bending stiffness
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图 11 不同衬砌弯曲刚度隧道的弯矩响应
Fig. 11 Bending moment along the tunnel axis under different lining bending stiffness
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图 12 不同衬砌弯曲刚度隧道的剪力响应
Fig. 12 Shear force along the tunnel axis under different lining bending stiffness
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图 13 不同断层性质隧道的位移响应
Fig. 13 Displacement along the tunnel axis under different fault properties
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图 15 不同断层性质隧道的剪力响应
Fig. 15 Shear force along the tunnel axis under different fault properties
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图 14 不同断层性质隧道的弯矩响应
Fig. 14 Bending moment along the tunnel axis under different fault properties
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图 16 Ω=2、4 Hz隧道的弯矩响应
Fig. 16 Bending moment along the tunnel axis with Ω=2 and 4 Hz
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表 1 隧道力学参数
Table 1 Mechanical parameters of the tunnel lining
技术指标 参数 密度/(kg·m–3) 2 400 弹性模量/GPa 31.5 剪切模量/GPa 13.1 泊松比 0.2 剪切修正系数 0.52 横截面面积/m2 24.99 截面惯性矩/m4 550.47 -
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