定向渗流诱导的非对称冻结帷幕稳态温度场解析解

王彬 荣传新 程桦

王彬, 荣传新, 程桦. 定向渗流诱导的非对称冻结帷幕稳态温度场解析解 [J]. 工程科学与技术, 2022, 54(4): 76-87. doi: 10.15961/j.jsuese.202100549
引用本文: 王彬, 荣传新, 程桦. 定向渗流诱导的非对称冻结帷幕稳态温度场解析解 [J]. 工程科学与技术, 2022, 54(4): 76-87. doi: 10.15961/j.jsuese.202100549
WANG Bin, RONG Chuanxin, CHENG Hua. Analytical Solution of Steady-state Temperature Field of Asymmetric Frozen Wall Induced by Directional Seepage [J]. Advanced Engineering Sciences, 2022, 54(4): 76-87. doi: 10.15961/j.jsuese.202100549
Citation: WANG Bin, RONG Chuanxin, CHENG Hua. Analytical Solution of Steady-state Temperature Field of Asymmetric Frozen Wall Induced by Directional Seepage [J]. Advanced Engineering Sciences, 2022, 54(4): 76-87. doi: 10.15961/j.jsuese.202100549

定向渗流诱导的非对称冻结帷幕稳态温度场解析解

基金项目: 国家自然科学基金项目(51878005);安徽省自然科学基金项目(2108085QE251);中国博士后科学基金项目(2021M703621);安徽高校自然科学研究重点项目(KJ2021A0425);安徽理工大学校级项目(自然科学类)(xjzd2020–18);安徽理工大学高层次引进人才科研启动基金项目(13200403)
详细信息
    • 收稿日期:  2021-06-11
    • 网络出版时间:  2022-03-15 01:18:27
  • 作者简介:

    王彬(1991—),男,讲师,博士. 研究方向:人工地层冻结. E-mail:wangbin@aust.edu.cn

  • 中图分类号: TD265

Analytical Solution of Steady-state Temperature Field of Asymmetric Frozen Wall Induced by Directional Seepage

  • 摘要: 受水流对流传热及冻结管热传导叠加影响,渗流场作用下人工冻结帷幕的形状具有明显的非对称性。为解决冻结帷幕形状不规则给冻结温度场计算带来的困难,以直线排布的3管冻结温度场为研究对象,采用分段等效的方法,对该类冻结帷幕的形状进行简化;基于稳态温度场的求解理论,推导得出定向渗流作用下非对称冻结帷幕稳态温度场解析解,以及冻结帷幕厚度、平均温度的计算公式;自主构建水热耦合物理模型试验系统,并开展不同流速条件下3管冻结温度场演化规律的模型试验,对公式的合理性进行验证。结果表明:关键轴线上冻结温度的计算值与试验结果吻合程度较高,解析解的合理性得到模型试验的验证;冻结帷幕的交圈时间及非对称系数随着流速的增加急剧增大;当地层中存在渗流场时,冻结温度场变化过程较为复杂,但冻结帷幕的平均温度整体仍然表现出随冻结帷幕厚度的增加而降低的规律。本文得出的解析解能够对渗流场作用下人工冻结温度场进行较为准确的数学描述,为大流速渗透地层人工冻结温度场的计算提供参考。

     

    Abstract: Due to the superposition of convection heat transfer of water flow and heat conduction of freezing pipes, the shape of the artificial frozen wall was obviously asymmetrical under the action of the seepage field. To solve the difficulty in the calculation of the freezing temperature field caused by the irregular shape of a frozen wall under the action of a seepage field, the freezing temperature field of three pipes arranged in a straight line was taken as the research object, the shape of the freezing front was simplified by the method of subsection equivalence. The analytical solution of steady-state temperature field of asymmetric frozen wall induced by directional seepage, the calculation formulas of thickness and average temperature of the frozen wall were derived based on the solution theory of steady-state temperature field. To verify the rationality of the formulas, the evolution law of the freezing temperature field of three pipes under the action of the seepage field was experimentally studied by using the self-constructed hydrothermal coupling physical model test system. The following conclusions were drawn from the research: the calculation results of freezing temperature on the key axis agreed well with the experimental results, the rationality of the analytical solution was verified by the model test; the closure time and asymmetry coefficient of the frozen wall were increased sharply with the increase of flow velocity under the action of the seepage field. When there was seepage in the formation, the temperature change process of the frozen wall was complicated, however, there was still a law that the average temperature decreased with the increase of thickness of the frozen wall. The formulas obtained in this paper could achieve an accurate mathematical description of the artificial freezing temperature field under the action of the seepage field, and it would provide a reference for the calculation of the artificial freezing temperature field of high-velocity permeation formation.

     

  • 人工地层冻结法由Friedrich Poetsch首次提出,最初运用于富水软土地层的立井掘砌施工过程中[1-3]。在该工法的实施过程中,外部制冷机组首先将低温冷媒降低至负温(盐水或者酒精的温度一般被降至–40℃,液氮的温度可以降至–190℃);随后,低温冷媒被泵送至每根冻结管,在冻结管中的低温冷媒通过管壁与周围的土层进行热量交换,以实现对土层的冻结。由于该工法对周围环境的影响较小,其形成的冻结壁具有良好的封水性,作为临时支护结构具有较高的强度,该工法已经逐渐发展成为复杂地层地下工程施工的主要工法之一[1-3]。近些年,在中国的天津、广州、深圳、宁波等沿海城市的地铁隧道建设中,冻结法广泛应用于地铁联络通道施工、盾构进出洞口土层加固等工程[4-7]。受海相沉积环境、海水浸渍和潮汐影响,沿海城市的地层具有地下水矿化度高、流速大等特点,采用冻结法施工时,冻结温度场的分布规律与无渗流场作用时存在较大的差异。

    冻结壁的厚度及平均温度等重要参数与冻结温度场的分布规律存在着密切的联系[8-9],因此,对冻结温度场计算理论的研究尤为重要。人工地层冻结是一个随时间变化的过程,其过程描述需要采用瞬态导热理论。但由于数学计算上的困难,人工地层冻结瞬态温度场解析解的求解至今主要针对单管冻结[10-13]。而考虑渗流场对冻结温度场的作用后,冻结锋面的形状、大小随着渗流速度、冻结时间、介质的性质而发生变化,并且冻结锋面作为相变边界需要考虑冰水相变的过程,因此求解瞬态解析解的难度很大,目前仅Victor进行了单管冻结温度场的相关推导[14-15],且是将冻结锋面的形状简化成圆形,其计算结果与实际冻结温度场存在一定差距。

    人工地层冻结在进入稳定冻结阶段后,热传导速率较慢,其温度场与稳态温度场非常接近。因此,可以在该阶段假定热传导达到稳定状态,并采用稳态温度场近似等效瞬态温度场[13-14]。当地层中存在渗流场作用时,进入稳定阶段后,在渗流速度及水温不变的条件下,冻结锋面处水流与被冻土体之间的对流传热作用与冻结管的热传导作用达到相对稳定,此时温度场与稳态温度场非常接近,故可以采用稳态温度场近似等效瞬态温度场。

    目前,对于人工冻结稳态温度场解析解的研究主要集中在无渗流地层。Trupak[16]及Bakholdin[17]分别于1954年及1963年提出单管和单排、双排冻结管形成的冻结温度场的解析解;1968年,Sanger[18]通过研究得出单排管冻结温度场的分布公式;1979年,戸部暢和秋元攻[19]提出多管等间距直线形冻土帷幕稳态温度场解析解;胡向东等[20-28]经过多年的研究与探索,建立了一套以势函数叠加原理为基础的人工地层冻结稳态温度场求解方法,并采用该原理,结合一些数学方法,获得了一系列温度场解析解成果,主要有少量管(任意布孔)[20-21]、排形布管(单排[23]、双排[24-25]、三排[26])、圈形布管(单圈[27]、双圈[28])等类别;Wang[29]和王彬[30]等推导了大流速渗透地层单管冻结稳态温度场解析解,并基于相似模型试验对解析解的合理性进行了验证。

    目前,对于无渗流地层人工冻结稳态温度场解析计算的研究成果已较完善[16-28],对于渗流场作用下单管冻结稳态温度场解析解的研究也取得了新的进展[29-30],但考虑渗流场影响的多管冻结温度场解析解尚无相关研究成果。在渗流场作用下,冻结管的吸热路径发生变化,位于水流上游及下游的冻结帷幕的厚度不再相等,该类冻结温度场解析解与无流速时的对称冻结帷幕相比存在较大区别。随着人工地层冻结法在大流速渗透地层的推广应用,当前的温度场解析解已经无法满足实际的工程需要,亟待开展相关研究。基于此,考虑渗流场影响,对直线单排管非对称冻结帷幕稳态温度场的计算公式进行推导;通过水热耦合物理模型试验,对公式的合理性进行验证,并运用得出的公式对不同渗流速度作用下的冻结温度场的分布规律进行计算。

    1)冻结管为直线排列,管壁温度保持恒定。

    2)渗流场的流速、流向、水温保持不变,水流方向与冻结管连线方向垂直,渗流速度低于冻结帷幕交圈的极限流速。

    3)被冻土体为均质材料(冻结范围内土体的热物理参数相等)。

    4)进入稳定冻结阶段后,认为冻结温度场的变化速率较慢,在某一时刻的冻结温度场保持不变。

    5)冻结帷幕向上游、下游及两侧方向的扩展半径分别为 $ \xi _1^v $ $ \xi _2^v $ $ \xi _3^v $ ,均为渗流速度v的函数;对应同一种流速v,进入稳定冻结阶段后的 $ \xi _1^v $ $ \xi _2^v $ $ \xi _3^v $ 保持不变,故在公式推导过程中可忽略流速v

    6)直线单排冻结管最外侧的冻结锋面等效为两个轴长不同的1/4椭圆,如图1所示。

    图  1  渗流场作用下3管冻结稳态温度场计算模型
    Fig.  1  Calculation model of steady-state freezing temperature field of three pipes under the action of seepage field
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    该部分冻结锋面的轨迹方程表示为:

    $$ \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{{{x^2}}}{{\xi _1^2}} + \dfrac{{{{\left( {y - d} \right)}^2}}}{{\xi _3^2}} = 1,x \ge 0;} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{\xi _3^2}} + \dfrac{{{{\left( {y - d} \right)}^2}}}{{\xi _2^2}} = 1,x \lt 0} \end{array}} \right. $$ (1)

    式中,d为冻结管间距, $ \xi _1^{} $ $ \xi _2^{} $ 分别为渗流场作用下冻结帷幕向下游及上游的扩展厚度。

    7)由于渗流场的作用,下游冻结帷幕的厚度不均匀,其中,最大厚度为ξ1–max,最小厚度为ξ1–min。为便于计算,假设下游冻结帷幕的厚度相等ξ1=(ξ1–max+ξ1–min)/2;上游冻结壁的厚度为ξ2

    不同流速条件下的温度场解析解形式相同,渗流速度通过影响边界条件(冻结帷幕的扩展范围)来影响公式的计算结果,因此在公式推导过程中可忽略流速。

    1)冻结帷幕中间部分温度场解析解

    将渗流场作用下直线单排冻结管形成的冻结帷幕的中间部分等效为直线单排非对称发展的冻土帷幕,温度场数学模型为:

    $$ \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} = 0,} \\ {T\left( { - \xi _2^{},y} \right) = {T_0},} \\ {T\left( {\xi _1^{},y} \right) = {T_0},} \\ {T\left( {{r_0},id} \right) = {T_{\text{f}}}} \end{array}} \right. $$ (2)

    式中,T0为冻结温度,Tf为冻结管壁温度,r0为冻结管半径,i为冻结管的数量。

    $ {\xi _1}{\text{ = }}{\xi _2} $ 时,方程(2)的解为Bakholdin解:

    $$ T{\text{ = }}\dfrac{{{T_{\text{f}}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{d}{{2{\text{π}}{r_0}}} + \dfrac{{{\text{π}}\xi }}{d}}}\left( {\dfrac{{{\text{π}}\xi }}{d} - {m_1}\left( {x,y} \right)} \right) + {T_0} $$ (3)

    式中, ${m_1}\left( {x,y} \right){\text{ = }}\dfrac{1}{2}\ln \left[ {2\left( {{\text{ch}}\dfrac{{2{\text{π}}x}}{l} - \cos \dfrac{{2{\text{π}}y}}{l}} \right)} \right]$

    $ {\xi _1} \ne {\xi _2} $ 时,由于给定的拉普拉斯方程为线性偏微分方程,边界条件可以线性分离,因此,温度T可分解为T1T2,温度场计算公式可以表示为:

    $$ \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{{{\partial ^2}{T_1}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}{T_1}}}{{\partial {y^2}}} = 0,} \\ {{T_1}\left( {{\xi _1},y} \right) = {T_0},} \\ {{T_1}\left( { - {\xi _2},y} \right) = {T_0} - {T_{\text{a}}},} \\ {{T_1}\left( {{r_0},id} \right) = {T_{\text{f}}} - {T_{\text{b}}}} \end{array}} \right. $$ (4)
    $$ \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{{{\partial ^2}{T_2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}{T_2}}}{{\partial {y^2}}} = 0,} \\ {{T_2}\left( {{\xi _1},y} \right) = 0,} \\ {{T_2}\left( { - {\xi _2},y} \right) = {T_{\text{a}}},} \\ {{T_2}\left( {{r_0},id} \right) = {T_{\text{b}}}} \end{array}} \right. $$ (5)

    式(4)~(5)中,TaTb为待定常数。

    通过求解得出:

    $$ {T_1}\left( {x,y} \right){\text{ = }}\dfrac{{{T_{\text{f}}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - \dfrac{{\text{π}}}{l}\dfrac{{2{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}}}\left[ {{A_1} - \dfrac{{{\text{π}}{\xi _1}}}{d}} \right] + {T_0} $$ (6)
    $$ {T_2}\left( {x,y} \right){\text{ = }}\dfrac{{{T_{\text{f}}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - \dfrac{{\text{π}}}{l}\dfrac{{2{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}}}\dfrac{{{\xi _1}{{ - }}{\xi _2}}}{{{\xi _1}{\text{ + }}{\xi _2}}}\dfrac{{{\text{π}}\left( {{\xi _1}{\text{ + }}x} \right)}}{d} $$ (7)

    式(6)~(7)中, ${A_1}{\text{ = }}\dfrac{1}{2}\ln 2\left( {{\text{ch}}\dfrac{{2{\text{π}}x}}{d} - \cos \dfrac{{2{\text{π}}y}}{d}} \right)$

    合并式(6)、(7),可得出渗流场作用下直线单排管非对称冻结帷幕中间部分温度场的解析解为:

    $$ T{\text{ = }}\dfrac{{{T_{\text{f}}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - \dfrac{{2{\text{π}}}}{d}\dfrac{{{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}}}\left( {{A_1}{{ - }}\dfrac{{\text{π}}}{d}\dfrac{{2{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}} + \dfrac{{\text{π}}}{d}\dfrac{{{\xi _1} - {\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}x} \right) + {T_0} $$ (8)

    2)冻结帷幕两侧部分温度场解析解

    单管冻结稳态温度场的方程为:

    $$ T{\text{ = }}{T_0}{\text{ + }}\frac{{\ln \left( {{r_i}/{L_i}} \right)}}{{\ln \left( {{r_0}/{L_i}} \right)}}\left( {{T_{\text{f}}} - {T_0}} \right) $$ (9)

    当地层中无渗流场作用时,单管冻结锋面的形状为圆形,Li为定值;当地层中存在渗流场时,单管冻结锋面的形状不再是圆形,Li随着流速及位置而改变,故需要对Li的表达式进行推导。

    经过冻结区域内一点M(x0,y0)及最外侧冻结管(0,d)的直线方程为:

    $$ y = \frac{{{y_0} - d}}{{{x_0}}}x + d $$ (10)

    联立式(1)、(10)可以得出经过M(x0,y0)的直线与冻结锋面的交点为:

    $$ \left\{ {\begin{array}{l} {{x_1} = \dfrac{{{x_0}{\xi _1}{\xi _3}}}{{\sqrt {\xi _3^2x_0^2 + \xi _1^2{{\left( {{y_0} - d} \right)}^2}} }},} \\ {{y_1} = \dfrac{{\left( {{y_0} - d} \right){\xi _1}{\xi _3}}}{{\sqrt {\xi _3^2x_0^2 + \xi _1^2{{\left( {{y_0} - d} \right)}^2}} }} + d} \end{array}} \right. $$ (11)

    位于下游区域(x>0)冻结锋面上的点到冻结管的距离可以表示为:

    $$ {L_1}{\text{ = }}\sqrt {x_1^2 + {{\left( {{y_1}{{ - }}d} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {x_0^2\xi _1^2\xi _3^2 + {{\left( {{y_0} - d} \right)}^2}\xi _1^2{\xi _3^{2}}} }}{{\sqrt {\xi _3^2x_0^2 + \xi _1^2{{\left( {{y_0} - d} \right)}^2}} }} $$ (12)

    冻结区域内的点M(x0,y0)到冻结管的距离表示为:

    $$ {r_1} = \sqrt {x_0^2 + {{\left( {{y_0} - d} \right)}^2}} $$ (13)

    同理,可得到上游区域(x<0)的冻结锋面到冻结管的距离为:

    $$ {L_2}{\text{ = }}\sqrt {x_{\text{3}}^2 + {{({y_{\text{3}}}{{ - }}d{\text{)}}}^2}} = \frac{{\sqrt {x_2^2\xi _2^2\xi _3^2 + {{\left( {{y_2} - d} \right)}^2}\xi _2^2\xi _3^2} }}{{\sqrt {\xi _3^2x_2^2 + \xi _2^2{{\left( {{y_2} - d} \right)}^2}} }} $$ (14)

    冻结区域内点N(x2,y2)到冻结管的距离表示为:

    $$ {r_2} = \sqrt {x_2^2 + {{\left( {{y_2} - d} \right)}^2}} $$ (15)

    由于冻结锋面上的任一点,同样可以视为半径为L的圆上的一点,将L1L2分别代入式(9),考虑点M(x0,y0)及N(x2,y2)选取的任意性,得出对应冻结区域的稳态冻结温度场的解析表达式为:

    $$ T{\text{ = }}\left\{ {\begin{array}{l} {T_0}{\text{ + }}\dfrac{{\ln \left( {\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - d} \right)}^2}} \Bigg/\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2}\xi _1^2\xi _3^2 + {{\left( {y - d} \right)}^2}\xi _1^2\xi _3^2} }}{{\sqrt {\xi _3^2{x^2} + \xi _1^2{{\left( {y - d} \right)}^2}} }}} \right)} \right)}}{{\ln \left( {{r_0}\Bigg/\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2}\xi _1^2\xi _3^2 + {{\left( {y - d} \right)}^2}\xi _1^2\xi _3^2} }}{{\sqrt {\xi _3^2{x^2} + \xi _1^2{{\left( {y - d} \right)}^2}} }}} \right)} \right)}} \left( {T_{\rm{f}} - {T_0}} \right) {,x \ge 0;} \\ {T_0}{\text{ + }}\dfrac{{\ln \left( {\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - d} \right)}^2}} \Bigg/\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2}\xi _2^2\xi _3^2 + {{\left( {y - d} \right)}^2}\xi _2^2\xi _3^2} }}{{\sqrt {\xi _3^2{x^2} + \xi _2^2{{\left( {y - d} \right)}^2}} }}} \right)} \right)}}{{\ln \left( {{r_0}\Bigg/\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2}\xi _2^2\xi _3^2 + {{\left( {y - d} \right)}^2}\xi _2^2\xi _3^2} }}{{\sqrt {\xi _3^2{x^2} + \xi _2^2{{\left( {y - d} \right)}^2}} }}} \right)} \right)}} \left( {T_{\rm{f}} - {T_0}} \right) {,x \lt 0} \end{array}} \right. $$ (16)

    $ {\xi _1}{\text{ = }}{\xi _2}{\text{ = }}{\xi _3} $ ,且d=0时,式(16)退化为单管冻结温度场的Trupak公式。

    在式(8)的推导过程中,假定冻结壁的厚度与冻结管间距之间的比值无限大,但在实际工程中,尤其是试验中,无法满足该条件;而在式(16)的推导中,没有对冻结帷幕的厚度进行限定,因此可以基于式(16)的计算结果对式(8)进行修正。

    y=d时:

    式(8)的计算结果为:

    $$ \begin{aligned}[b] {T_{\rm{c}}}\left| {_{y = d}} \right.{\text{ = }}& \dfrac{{T_{\rm{f}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{{2\text{π} {r_0}}}{d} - \dfrac{{2\text{π} }}{d}\dfrac{{{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}}} \Bigg( \dfrac{1}{2}\ln \left[ {2\left( {\cosh \dfrac{{2\text{π} x}}{d} - 1} \right)} \right]{{ - }} \\& \dfrac{\text{π} }{d}\dfrac{{2{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}} + \dfrac{\text{π} }{d}\dfrac{{{\xi _1} - {\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}x \Bigg) + {T_0}\\[-18pt] \end{aligned} $$ (17)

    式(16)的计算结果为:

    $$ {T_{\rm{s}}}\left| {_{y = d}} \right. = \left\{ {\begin{array}{l} {{T_0}{\text{ + }}\dfrac{{\ln \left( {x/{\xi _1}} \right)}}{{\ln \left( {{r_0}/{\xi _1}} \right)}}\left( {T_{\rm{f}} - {T_0}} \right) ,{x \ge 0;} } \\ {{T_0}{\text{ + }}\dfrac{{\ln \left( {x/{\xi _2}} \right)}}{{\ln \left( {{r_0}/ {{\xi _2}} } \right)}}\left( {T_{\rm{f}} - {T_0}} \right) ,{x \lt 0} } \end{array}} \right. $$ (18)

    对式(8)进行修正,两种修正系数的形式为:

    $$ {\gamma _1}{\text{ = }}\frac{{{T_{\rm{s}}}| {_{y = d}} }}{{{T_{\rm{c}}}| {_{y = d}} }} $$ (19)
    $$ {\gamma _2}{\text{ = }}{T_{\rm{s}}}| {_{y = d}} {{ - }}{T_{\rm{c}}}| {_{y = d}} $$ (20)

    对两种修正系数的修正效果进行计算分析后发现:采用修正系数 $ {\gamma _1} $ 可以保证冻结锋面处的温度计算值与冻结温度T0相等,但当下游冻结壁厚度远大于上游冻结壁厚度时,若采用 $ {\gamma _1} $ 进行修正,位于两根冻结管中间位置的温度计算数据会出现突变点,温度计算结果误差较大;采用 $ {\gamma _2} $ 进行修正时,温度变化曲线较为平滑,但是不能保证冻结锋面处的温度与冻结温度T0相等,并且上游最低温度计算值并不出现在冻结管管壁处。因此,在上游区域(x<0),采用修正系数 $ {\gamma _1} $ 进行修正;在下游区域(x>0),采用修正系数 $ {\gamma _2} $ 进行修正。

    修正后,渗流场作用下直线单排管非对称冻结帷幕稳态温度场中间部分的温度计算公式为:

    $$ T{\text{ = }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\dfrac{{T_{\rm{f}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - \dfrac{{2{\text{π}}}}{d}\dfrac{{{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}}}\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left[ {2\left( {\cosh \dfrac{{2{\text{π}}x}}{d} - \cos \dfrac{{2{\text{π}}y}}{d}} \right)} \right]{{ - }}\dfrac{{\text{π}}}{d}\dfrac{{2{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}} + \dfrac{{\text{π}}}{d}\dfrac{{{\xi _1} - {\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}x} \right) + {T_0}} \right\} \cdot {\gamma _1}}{,\;x \le 0;} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\dfrac{{T_{\rm{f}} - {T_0}}}{{\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - \dfrac{{2{\text{π}}}}{d}\dfrac{{{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}}}\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left[ {2\left( {\cosh \dfrac{{2{\text{π}}x}}{d} - \cos \dfrac{{2{\text{π}}y}}{d}} \right)} \right]{{ - }}\dfrac{{\text{π}}}{d}\dfrac{{2{\xi _1}{\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}} + \dfrac{{\text{π}}}{d}\dfrac{{{\xi _1} - {\xi _2}}}{{{\xi _1} + {\xi _2}}}x} \right) + {T_0}} \right\}{\text{ + }}{\gamma _2}}{,\;x \gt 0} \end{array}} \end{array}} \right. $$ (21)

    3)冻结帷幕厚度计算公式

    实际工程中,经常需要根据测点的温度判断冻结帷幕的厚度,若在冻结壁的上、下游各布置一个测温点,测温点坐标分别为(XA, YA)、(XB, YB),对应的测点温度分别为TATB,对式(21)进行变换,可以得出冻结壁厚度的计算公式为:

    $$ \left\{ {\begin{array}{l} {{\xi _1}{\text{ = }}\dfrac{{\left( {{H_{\rm{A}}} - {X_{\rm{A}}}} \right)\left( {{H_{\rm{B}}} + {X_{\rm{B}}}} \right) - \left( {{H_{\rm{A}}} + {X_{\rm{A}}}} \right)\left( {{H_{\rm{B}}} - {X_{\rm{B}}}} \right)}}{{2\left( {{M_{\rm{B}}} - 1} \right)\left( {{H_{\rm{A}}} - {X_{\rm{A}}}} \right) - 2\left( {{M_{\rm{A}}} - 1} \right)\left( {{H_{\rm{B}}} - {X_{\rm{B}}}} \right)}},} \\ {{\xi _2}{\text{ = }}\dfrac{{\left( {{H_{\rm{A}}} - {X_{\rm{A}}}} \right)\left( {{H_{\rm{B}}} + {X_{\rm{B}}}} \right) - \left( {{H_{\rm{A}}} + {X_{\rm{A}}}} \right)\left( {{H_{\rm{B}}} - {X_{\rm{B}}}} \right)}}{{2\left( {{M_{\rm{B}}} - 1} \right)\left( {{H_{\rm{A}}}{\text{ + }}{X_{\rm{A}}}} \right) - 2\left( {{M_{\rm{A}}} - 1} \right)\left( {{H_{\rm{B}}}{\text{ + }}{X_{\rm{B}}}} \right)}}} \end{array}} \right. $$ (22)

    式中: $\left\{ {\begin{array}{l} {{H_{\rm{A}}} = \left( {{M_{\rm{A}}}\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - {N_{\rm{A}}}} \right)\Bigg/\dfrac{{\text{π}}}{d}}, \\ {{H_{\rm{B}}} = \left( {{M_{\rm{B}}}\ln \dfrac{{2{\text{π}}{r_0}}}{d} - {N_{\rm{B}}}} \right)\Bigg/\dfrac{{\text{π}}}{d}} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{l} {{M_{\rm{A}}} = \dfrac{{{T_{\rm{A}}}/{\gamma _1} - {T_0}}}{{{T_{\rm{f}}} - {T_0}}}}, \\ {{M_{\rm{B}}} = \dfrac{{{T_{\rm{B}}} - {\gamma _2} - {T_0}}}{{{T_{\rm{f}}} - {T_0}}}} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{l} {{N_{\rm{A}}} = \dfrac{1}{2}\ln \left[ {2\left( {\cosh \dfrac{{2{\text{π}}{X_{\rm{A}}}}}{d} - \cos \dfrac{{2{\text{π}}{Y_{\rm{A}}}}}{d}} \right)} \right]}, \\ {{N_{\rm{B}}} = \dfrac{1}{2}\ln \left[ {2\left( {\cosh \dfrac{{2{\text{π}}{X_{\rm{B}}}}}{d} - \cos \dfrac{{2{\text{π}}{Y_{\rm{B}}}}}{d}} \right)} \right]} \end{array}} \right.$

    4)冻结帷幕平均温度计算公式

    平均温度是冻结帷幕的重要参数。若冻结孔的间距相等,冻结帷幕的平均温度等于冻结帷幕区间0≤y≤0.5d上的平均温度。因此,冻结帷幕的平均温度计算公式可以表示为:

    $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overline {T}_{1} = \dfrac{2}{{{\xi _1}{{d}}}}\displaystyle\int_0^{\frac{{{d}}}{{\text{2}}}} {\displaystyle\int_0^{{\xi _1}} {{T_1}\left( {x,y} \right){\text{d}}y{\text{d}}x,x \ge 0;} } }&{} \\ {\overline {T}_{2} = \dfrac{2}{{{\xi _2}{{d}}}}\displaystyle\int_0^{\frac{{{d}}}{{\text{2}}}} {\displaystyle\int_0^{{\xi _2}} {{T_2}\left( {x,y} \right){\text{d}}y{\text{d}}x,x \lt 0} } }&{} \end{array}} \right. $$ (23)

    式(23)的积分过程较为复杂,在实际工程中可采用等效梯形法计算直线单排管冻结帷幕的平均温度。由于在实际工程中冻结管的数量较多,因此,在平均温度的计算过程中,可以忽略冻结帷幕两侧形状不规则对计算结果的影响。目前,已有研究成果证明[23]距离冻结管d/5处的截面平均温度可近似等效为整个冻结帷幕的平均温度,则计算公式可简化为:

    $$ \overline T = \frac{{{r_0} + \left( {{\xi _1} + {\xi _2}} \right)}}{{2\left( {{\xi _1} + {\xi _2}} \right)}}{T_{\rm{K}}}\left| {_{y = \frac{{{d}}}{5}}} \right. $$ (24)

    式中,TK表示冻结帷幕截面与轴面交点处的温度[23]

    为对解析解的合理性进行验证,基于推导过程中的基本假设,设计了物理模型试验系统,如图2所示。该试验系统由多孔介质试验区、冻结系统、渗流场模拟系统、数据采集系统等组成。

    图  2  试验系统3D示意图
    Fig.  2  3D schematic diagram of test system
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    为满足基本假设1),设计箱体的尺寸为2 500 mm×2 000 mm×1 000 mm,两端各安装8个规格为40 mm×2 mm的钢管,分别作为进水管及出水管。在箱体中轴线处按照直线布置3根外直径为42 mm的冻结管,管间距为400 mm。试验中,保持制冷机组的酒精温度为–32℃,流量为2.5 m3/h。

    为满足基本假设2),两道100目的滤网将设计箱体沿长度方向分成3部分,中间部分为主体实验室,其长度为2 000 mm,用来容纳多孔介质。在箱体的两端各设置一段250 mm的缓冲室,缓冲室内填满石子,从水管中流出的水流会通过缓冲层的缝隙流向中间区域的多孔介质,以保证水流能够沿着箱体截面均匀进入中间的主体试验区。通过恒压变频泵控制水的流量,保证每次试验过程中的水流量保持不变。储水箱为恒温水箱,从而保证整个循环过程中水流的温度不变。

    研究共进行4组试验,试验中控制的渗流速度分别为0、3、6、9 m/d,对应的流量及水温见表1

    表  1  模型试验中水流参数的设置值
    Table  1  Setting values of water flow parameters in the model test
    编号 渗流速度/(m·d–1) 流量/(m3·h–1) 水温/℃
    1 0 0
    2 3 0.25 15
    3 6 0.50 15
    4 9 0.75 15

    为满足基本假设3),选用粒径为(1±0.15)mm的均质圆粒砂作为多孔介质模拟材料(图3),砂的粒径均匀、无杂质;在填充过程中,每填充5 cm压实一次,可近似认为多孔介质为均质材料。

    图  3  多孔介质模拟材料
    Fig.  3  Similar material of porous medium
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    试验系统的主测试平面位于箱体500 mm层位,分为A、B、C、D、E、F、G共7条轴线,每条轴线分布有13个测点,测点间距为50 mm,共计91个测点;辅助测试平面位于箱体400 mm层位,分为H、I、J共3条轴线,每条轴线上有27个测点,测点间距为50 mm,共计81个测点。测点布置情况如图4所示。

    图  4  温度测点布置示意图
    Fig.  4  Schematic diagram of temperature measurement points arrangement
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    多孔介质与箱体边界的接触面会形成边界效应,并随着试验次数的增加,多孔介质可能会与箱体上盖之间形成缝隙,水流会向阻力小的方向流动,最终导致多孔介质中的渗流速度与试验设计值存在较大偏差。为消除该效应对渗流场带来的影响,在箱体的底面、侧面及上盖上设置直径为25 mm的阻水条(底板及上盖各设置2根,两个侧面各设置3根),防止水流沿着箱体边界流动,如图5所示。

    图  5  箱体边界阻水条设置情况
    Fig.  5  Setting of water bar at box boundary
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    为防止外界的环境温度对冻结过程产生干扰,对箱体外表面及冻结管路进行保温处理。首先,紧贴箱体外表面布置一层30 mm的橡塑保温板;随后,采用40 mm的聚氨酯保温板将整个箱体包裹在其中,接缝处用氯丁胶紧密粘合,外露的冻结管及冻结干管表面包裹一层30 mm的橡塑保温层,保温层的布置情况如图6所示。

    图  6  箱体保温层设置情况
    Fig.  6  Setting of insulation layer of box
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    整体模型试验系统如图7所示。

    图  7  水热耦合模型试验系统
    Fig.  7  Hydrothermal coupling model test system
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    通过模型试验得出冻结帷幕的交圈时间如表2所示(以两管中间测点温度到达–1℃为交圈判断依据)。分析后发现,冻结帷幕的交圈时间与渗流速度之间存在近似指数函数关系。采用指数函数对试验结果进行拟合,结果如图8所示。

    表  2  不同流速条件下冻结帷幕的交圈时间
    Table  2  Closure time of frozen wall under different seepage velocity
    渗流速度/(m·d-1) 交圈时间/min 延迟时间/min
    0 720
    3 805 85
    6 1 760 955
    9 4 300 2 540
    图  8  冻结帷幕交圈时间的拟合曲线
    Fig.  8  Fitting curve of closure time of frozen wall
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    基于拟合结果,提出渗流场作用下冻结帷幕交圈时间的预测公式为:

    $$ {t_{{\text{closure}}}} = W \cdot {{\text{e}}^{\left( { - \frac{v}{m}} \right)}} + {t_{\text{c}}} $$ (25)

    式中:v为渗流速度;Wtcm为拟合参数,在本文试验中,分别为120.46、526.57、–2.62。

    定义冻结帷幕向下游的最大扩展半径Rd与冻结帷幕向上游的最大扩展半径Ru的比值Rd/Ru为冻结帷幕的非对称系数,其随着渗流速度的变化规律如图9所示。

    图  9  冻结帷幕非对称系数随着渗流速度的变化规律
    Fig.  9  Variation of asymmetry coefficient of frozen wall with seepage velocity
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    图9可知,随着渗流速度的增加,冻结帷幕的非对称性逐渐加剧。

    为验证本文推导的解析解的准确性,将进入稳定阶段后的B、C轴及I轴(图4)的温度计算结果与模型试验结果进行对比,如图1012所示。

    图  10  B轴线上测点温度的计算结果与试验结果对比
    Fig.  10  Comparison of calculation results and test results of temperature at the measurement points on the B axis
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    图  11  I轴线上测点温度的计算结果与试验结果对比
    Fig.  11  Comparison of calculation results and test results of temperature at the measurement points on the I axis
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    图  12  C轴线上测点温度的计算结果与试验结果对比
    Fig.  12  Comparison of calculation results and test results of temperature at the measurement points on the C axis
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    通过对比发现,B轴上测点温度的计算结果与试验结果吻合度较高,仅少数测点的误差大于1℃。I轴线上位于冻结管外侧(等效为两个1/4椭圆部分)的测点的温度计算结果与试验结果的吻合度较高,但该轴线上位于冻结管中间部分测点的计算结果误差较大,个别测点的误差超过2℃。C轴线上测点温度计算结果的整体分布规律与试验结果一致,但温度数值存在一定误差,其中,下游区域计算结果的误差大于上游区域,且随着水流速度的增加,计算结果的误差增大。

    公式计算结果出现误差的原因如下:位于整个B轴和I轴外侧的测点主要受单根冻结管的热传导和地层中水流对流传热的影响,而整个C轴和I轴中间部分测点受多根冻结管热传导叠加和水流对流传热的影响;相邻冻结管中间区域砂层冻结过程更加复杂,稳态温度场计算公式无法同时考虑多管热传导叠加及水流对流传热作用,因此两管中间区域的计算结果存在一定的误差。

    已知冻结帷幕向上、下游的扩展厚度及冻结管管壁的温度,可求得不同流速条件下直线单排3管稳态冻结温度场的分布规律(图13),以及冻结帷幕各截面的温度分布规律(图14)。

    图  13  不同流速条件下3管冻结稳态温度场计算结果
    Fig.  13  Calculation results of steady-state temperature field of three-pipe freezing under different flow rate conditions
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    图  14  沿着水流方向不同截面温度分布规律
    Fig.  14  Temperature distribution law of different cross-sections along the flow direction
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    图1314可知:冻结帷幕各截面的温度随着与冻结管距离的增加而升高,越靠近冻结壁中间位置,各个截面的温差越大,除冻结管所在截面(y=0)之外,其他截面的温度分布曲线都类似于梯形。随着水流速度的增加,冻结壁的不对称性加剧,但截面上温度变化规律较为接近,距离冻结管所在轴线的距离越远,温度曲线趋于平缓,即距离冻结管越远,温降速率越低。

    根据冻结帷幕平均温度计算公式,得出试验中不同流速条件下冻结帷幕的平均温度,见表3

    表  3  冻结帷幕平均温度计算结果
    Table  3  Calculation results of average temperature of frozen wall
    流速/(m·d–1) 冻结时间/h 厚度/mm 平均温度/℃
    0 32 540 –10.10
    3 44 607 –10.54
    6 48 559 –10.22
    9 96 551 –10.00

    冻结试验中,由于流速越大,对应冻结帷幕的交圈时间越长,因此,每个流速对应的冻结试验持续时间并不相同,其中:无流速时试验持续时间为32 h;流速为9 m/d时,试验持续时间为96 h。当地层中无渗流场时,冻结32 h后,冻结帷幕的平均温度为–10.10 ℃。当地层中存在渗流场时,由于水流的对流传热作用,冻结管的传热路径发生了变化,大量冷量在下游集聚,此时冻结帷幕的厚度受到渗流速度及冻结时间的影响,冻结帷幕的平均温度变化过程较为复杂,但整体仍然表现出随着冻结壁厚度的增加而降低。当渗流速度为3、6、9 m/d时,冻结试验持续时间分别为44、48、96 h,对应的冻结壁厚度分别为607、559、551 mm,通过计算得出冻结壁的平均温度分别为–10.54、–10.22、–10.00 ℃。

    1)基于稳态温度场的求解理论,采用分段等效的方法,推导得出定向渗流诱导的非对称冻结帷幕稳态温度场解析解,并提出冻结帷幕厚度及平均温度的计算方法。

    2)采用自主构建的水热耦合物理模型试验系统,对不同流速条件下直线单排管冻结温度场的形成规律进行了研究。结果表明,冻结帷幕的交圈时间及非对称系数随着流速的增加急剧增大。

    3)基于模型试验的结果对解析解的合理性进行验证,对比发现,公式计算结果与模型试验结果整体的吻合度较高,但由于多根冻结管热传导及水流对流传热的叠加作用,位于两管中间区域的温度场计算结果存在一定误差。

    4)采用本文推导的公式对渗流场作用下冻结温度场的分布规律进行了计算分析,结果表明:当地层中存在渗流场时,冻结温度场变化过程较为复杂,但平均温度整体上仍表现出随着冻结帷幕厚度增加而降低的规律。

  • 图  1   渗流场作用下3管冻结稳态温度场计算模型

    Fig.  1   Calculation model of steady-state freezing temperature field of three pipes under the action of seepage field

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    图  2   试验系统3D示意图

    Fig.  2   3D schematic diagram of test system

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    图  3   多孔介质模拟材料

    Fig.  3   Similar material of porous medium

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    图  4   温度测点布置示意图

    Fig.  4   Schematic diagram of temperature measurement points arrangement

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    图  5   箱体边界阻水条设置情况

    Fig.  5   Setting of water bar at box boundary

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    图  6   箱体保温层设置情况

    Fig.  6   Setting of insulation layer of box

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    图  7   水热耦合模型试验系统

    Fig.  7   Hydrothermal coupling model test system

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    图  8   冻结帷幕交圈时间的拟合曲线

    Fig.  8   Fitting curve of closure time of frozen wall

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    图  9   冻结帷幕非对称系数随着渗流速度的变化规律

    Fig.  9   Variation of asymmetry coefficient of frozen wall with seepage velocity

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    图  10   B轴线上测点温度的计算结果与试验结果对比

    Fig.  10   Comparison of calculation results and test results of temperature at the measurement points on the B axis

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    图  11   I轴线上测点温度的计算结果与试验结果对比

    Fig.  11   Comparison of calculation results and test results of temperature at the measurement points on the I axis

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    图  12   C轴线上测点温度的计算结果与试验结果对比

    Fig.  12   Comparison of calculation results and test results of temperature at the measurement points on the C axis

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    图  13   不同流速条件下3管冻结稳态温度场计算结果

    Fig.  13   Calculation results of steady-state temperature field of three-pipe freezing under different flow rate conditions

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    图  14   沿着水流方向不同截面温度分布规律

    Fig.  14   Temperature distribution law of different cross-sections along the flow direction

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    表  1   模型试验中水流参数的设置值

    Table  1   Setting values of water flow parameters in the model test

    编号 渗流速度/(m·d–1) 流量/(m3·h–1) 水温/℃
    1 0 0
    2 3 0.25 15
    3 6 0.50 15
    4 9 0.75 15

    表  2   不同流速条件下冻结帷幕的交圈时间

    Table  2   Closure time of frozen wall under different seepage velocity

    渗流速度/(m·d-1) 交圈时间/min 延迟时间/min
    0 720
    3 805 85
    6 1 760 955
    9 4 300 2 540

    表  3   冻结帷幕平均温度计算结果

    Table  3   Calculation results of average temperature of frozen wall

    流速/(m·d–1) 冻结时间/h 厚度/mm 平均温度/℃
    0 32 540 –10.10
    3 44 607 –10.54
    6 48 559 –10.22
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图(14)  /  表(3)

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