危岩崩塌是常见的地质灾害之一，寒区危岩体常因环境温度的起伏遭受冻融循环风化作用，使岩体力学特性发生显著劣化，终因主控结构面的开裂扩展而失稳破坏^[1-2]。因此，研究冻融循环作用下岩体劣化的力学机制对危岩体工程稳定性评价具有重要意义。

评价危岩体稳定性的核心问题是建立能够反映危岩体当前力学状态及后续发展规律的理论模型，对此国内外相关学者进行了较多研究。如：陈洪凯等^[3-4]根据危岩体的成因，将其破坏模式分为压剪型、拉剪型、拉裂型、拉裂–压剪复合型，并根据极限平衡方法和岩石块体理论建立了考虑不同工况的危岩体稳定性计算方法。危岩体破裂失稳的实质是主控结构面端部的扩展问题，Kemeny^[5]将断裂力学引入危岩体稳定性分析并得到了快速发展。王林峰等^[6]基于断裂力学和可靠度理论构建了危岩体稳定分析方法，并在三峡库区危岩体工程中进行了应用。何思明等^[7]从断裂力学角度对比分析了不同震波模式下裂缝的失稳扩展条件，确立了拉剪型危岩体的扩展失稳机制。周云涛^[8]将主控结构面端部应力强度因子与Ⅰ型断裂韧度相结合，构建了危岩体稳定性计算方法。Wu等^[9]采用最大周向应力理论作为Ⅰ–Ⅱ型混合裂纹的断裂判据，将拉剪型危岩结构面尖端的应力强度因子和断裂韧度相结合，得到引起危岩体失稳的理论破坏载荷。以上基于断裂力学理论建立的危岩体稳定性评价模型主要以岩石的断裂韧度作为结构面尖端开裂及扩展的判据，将断裂韧度指标视为与岩石固有性质相关的常量，在此基础上建立危岩体稳定性分析方法。

实际上，由于岩体赋存的地质环境复杂多变，岩体常与外界产生水岩、冻融等风化作用，使岩石断裂韧度发生劣化，这一点已在诸多文献中得到了试验验证^[10-14]。杨鸿锐等^[15]通过室内试验发现，岩石抗拉强度随冻融循环次数的增加逐渐降低，冻融循环作用是影响麦积山石窟危岩体风化的主要原因。李杰林^[16]、高峰^[17]等认为冻融循环对岩石的风化作用主要表现在岩石内部水在低温环境下冻结产生冻胀力，内部孔洞发生膨胀破坏，使岩石力学指标发生损伤劣化。同时，吴永等^[18]发现危岩体结构面间的裂缝产生的冻胀力也对危岩体稳定产生了重要影响。因此，在评价寒区危岩体的长期稳定性时，需要考虑结构面间的冻胀力和断裂韧度随冻融循环次数的劣化对危岩体整体稳定性的影响。

目前，针对冻融循环对断裂韧度的劣化作用主要侧重于试验研究，对其理论力学机制的探索还较少。在前人工作基础上，本文将断裂力学与圆孔扩展理论相结合，建立冻融循环作用下断裂韧度的演化方程，构建考虑断裂韧度劣化和结构面间冻胀力影响的危岩体稳定性分析方法，为寒区危岩体工程的长期性稳定性评价提供理论依据。

1 冻融循环作用下危岩体稳定评价模型 1.1 危岩体稳定分析方法

危岩体失稳破坏的实质是岩体在自重等荷载作用下，主控结构面尖端应力集中，其最大周向应力产生的应力强度因子超过岩石断裂韧度时，主结构面发生扩展失稳。因此，危岩体的稳定性与主控结构面尖端应力强度因子大小和岩石的断裂韧度密切相关。

本文重点分析危岩体在冻融循环作用下主控结构面的稳定及扩展演化规律，因此，主要考虑危岩体自重及裂隙间的冻胀力对危岩体稳定的影响，不考虑地震力及裂隙水压力的影响。图1为危岩体受力模型，其中：AO为结构面，W为危岩体自重，p为结构面间均布的冻胀力，H为危岩体高度，e为主控结构面贯通部分高度，l、h分别为危岩体主控结构面尖端到重心的水平距离及垂直距离，θ为结构面扩展方向与结构面延伸段的夹角，α为结构面倾角。

参考文献[8]，结合结构面间由裂隙水冻结产生的冻胀力，将危岩体所受荷载静力等效，并平移至O点，则其法向应力主要由自重引起的压应力、受弯拉应力及结构面间冻胀力组成，切应力主要由自重应力引起的剪切力组成。将主控结构面受力分解为图2所示的应力分布。

结合图1所示的结构面受力分析，主控结构面所受的由危岩体自重引起的法向压力 $ F_{\text{N}}^1 $ 为：

$ F_{\text{N}}^1 = 0.863{\gamma _{\rm{s}}}e\cos\; \alpha $

(1)

式中， $ {\gamma _{\rm{s}}} $ 为岩石重度。

由自重力弯矩引起的法向力 $ F_{\text{N}}^2 $ 为：

$ F_{\text{N}}^2 = 0.863 \times 6F(s){\gamma _{\rm{s}}}l/e $

(2)

式中，F(s)=1.122－1.40s+7.33s³+14.0s⁴，s为断裂修正系数^[19]，s=e/H。

针对结构面间的冻胀力，研究表明^[20]：已冻结冰与岩石表面间存在一层未冻水膜，如图3所示。由于结构面裂隙与外界连通，未冻水膜两端的压力差为裂隙水的迁移提供驱动力，因此直接采用冰的体积膨胀理论显然会导致冻胀力的计算结果偏大。根据图3所示的力学平衡关系，结构面间的膨胀力实际为未冻水膜的分离压力 $p_{\text{T}}$ 。

针对未冻水膜分离压力的研究，刘泉声等^[21]考虑分子间的范德华力及水膜厚度，得到分离压力与冻结温度的经验公式：

$ {p_{\text{T}}}{\text{ = }} - \frac{A}{{6\text{π} {{\left[ {35 - 22\lg ({T_{\text{m}}} - {T_{\text{f}}})} \right]}^3} \times {{10}^{ - 27}}}} $

(3)

式中：A为水的Hamaker常数，取A=–10^–18；T_m为体积水冻结点温度，取273.15 K；T_f为冻结温度，K。

根据图3所示的力学平衡，结构面间冻胀应力p有：

$ p{\text{ = }}{p_{\text{T}}} $

(4)

设冻胀力在危岩体结构面均匀分布，则由冻胀力引起的结构面法向力 $ F_{\text{N}}^3 $ 为：

$ F_{\text{N}}^3 = \frac{{ - Ae}}{{6\text{π} \cos \; \alpha {{\left[ {35 - 22\lg ({T_{\text{m}}} - {T_{\text{f}}})} \right]}^3} \times {{10}^{ - 27}}}} $

(5)

主控结构面切向力F_T有：

$ F_{\text{T}}^{} = 0.683{\gamma _{\text{s}}}e\sin\; \alpha $

(6)

自重引起的结构面间法向力为压力，冻胀力及弯矩引起的结构面间法向力为拉力，其合力的方向将决定危岩体结构面的断裂扩展模式。

当 $F_{\text{N}}^1 \ge F_{\text{N}}^2 + F_{\text{N}}^3$ 时，结构面间为压应力，危岩体为压剪型破坏模式，端部的扩展受结构面的有效滑动驱动力 $ F_{\text{T}}^{\text{e}} $ 支配：

$ F_{\text{T}}^{\text{e}} = F_{\text{T}}^{} - \mu (F_{\text{N}}^2 + F_{\text{N}}^3 - F_{\text{N}}^1) $

(7)

式中，μ为冰–岩接触面间的摩擦系数。

研究表明：由于岩石类材料的抗拉强度远小于其抗剪强度，岩石在压剪作用下的断裂模式仍为Ⅰ型断裂扩展^[22-23]。这与MTS准则和Griffith准则认为的Ⅰ、Ⅱ复合型裂纹扩展形式一致。在结构面有效滑动驱动力作用下，结构面尖端周向应力产生的等效Ⅰ型应力强度因子 $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}({\theta _{\text{e}}})$ 为：

$ K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}({\theta _{\text{e}}}) = \frac{3}{2}F_{\text{T}}^{\text{e}}\sqrt {\frac{{\text{π} e}}{{\sin\; \alpha }}} \sin\; {\theta _{\text{e}}}\cos\; \frac{{{\theta _{\text{e}}}}}{2} $

(8)

式中， $ {\theta _{\text{e}}} $ 为压剪状态下的扩展角。

由于结构面端部起裂扩展主要受Ⅰ型断裂韧度支配，考虑冻融循环作用，可定义经过N次冻融循环作用后，受压剪破坏的危岩体的稳定性系数 $ F_{\text{s}}^{\text{e}} $ 为：

$ F_{\text{s}}^{\text{e}} = \frac{{K_{{\text{Ⅰ}{\rm{C}}}}^{i = N}}}{{K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}(\theta_{\text{e}} )}} $

(9)

式中， $K_{{\text{Ⅰ}{\rm{C}}}}^{i = N}$ 为经N次冻融循环作用后岩石的断裂韧度。

当最大周向应力对应的应力强度因子超过岩石的Ⅰ型断裂韧度时，结构面端部将沿图1中的θ方向扩展分支结构面。参考Lee等^[24]的研究，压剪型危岩体分支结构面尖端应力强度因子为：

$ K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}(l){\text{ = }}\frac{{F_{\text{T}}^{\text{e}}\sin \;{\theta _{\text{e}}}}}{{\sqrt {\text{π} (l + {l^*})} }} - \sigma ({\theta _{\text{e}}})\sqrt {\text{π} l} $

(10)

式中： $ K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}(l) $ 为压剪型分支结构面尖端应力强度因子； $ \sigma ({\theta _{\text{e}}}) $ 为分支结构面上的法向应力， $\sigma ({\theta _{\text{e}}}){\text{ = }} 0.683{\gamma _{\rm{s}}}e{\text{cos}} $ $ (\alpha - {\theta _{\text{e}}})$ ； $ {l^*} $ 为确保l=0时 $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}({\theta _{\text{e}}})$ = $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}(l)$ 所取的修正值，取：

$ {l^*}{\text{ = }}\frac{{4\sin\; \alpha}}{{{\text{π} ^2}e{{\cos }^2}\dfrac{{{\theta _{\text{e}}}}}{2}}} $

(11)

对于压剪破坏模式危岩体，当分支结构面尖端应力强度因子 $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{e}}(l)$ 减小到 $K_{{\text{Ⅰ}{\rm{C}}}}^{i = N}$ 时，停止扩展，据此可得到分支结构面最大扩展长度 $ l_{\text{m}}^{\text{e}} $ ：

$ \frac{{F_{\text{T}}^{\text{e}}\sin \;\theta }}{{\sqrt {\text{π} (l_{\text{m}}^{\text{e}} + {l^*})} }} - \sigma (\theta )\sqrt {\text{π} l_{\text{m}}^{\text{e}}} = K_{\text{Ⅰ}{\rm{C}}}^{i = N} $

(12)

将式（12）幂级数展开取前两项，可解得分支结构面的最大扩展长度 $ l_{\text{m}}^{\text{e}} $ ：

$ \left\{ {\begin{array}{l} {l_{\text{m}}^{\text{e}} = \dfrac{{{B^2} + 2AC - B\sqrt {{B^2} - 4AC} }}{{2{A^2}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} }, \\ {A = F_{\text{T}}^{\text{e}}\sin \;{\theta _{\text{e}}}/{{(\sqrt {\text{π}} {l^*} )}^3},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {B = 0.683{\gamma _{\rm{s}}}e\cos (\alpha - {\theta _{\text{e}}})\sqrt {\text{π}} , {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {C = K_{\text{Ⅰ}{\rm{C}}}^{i = N} - (F_{\text{T}}^{\text{e}}\sin\; {\theta _{\text{e}}})/\sqrt {{\text{π}} {l^*}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \end{array}} \right. $

(13)

当 $F_{\text{N}}^1 \le F_{\text{N}}^2 + F_{\text{N}}^3$ 时，结构面间法向合力为拉力，危岩体为拉剪破坏，危岩体结构面尖端为Ⅰ–Ⅱ复合型断裂扩展模式，可得结构面端部Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子表达式为：

$ \left\{ {\begin{array}{l} {K_{\text{Ⅰ}} = (F_{\text{N}}^2{\text{ + }}F_{\text{N}}^3 - F_{\text{N}}^1)\sqrt {\dfrac{{\text{π} e}}{{\sin \;\alpha }}} } ,\\ {K_{\text{Ⅱ}} = F_{\text{T}}^{}\sqrt {\dfrac{{\text{π} e}}{{\sin \;\alpha }}{\kern 1pt} } {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \end{array}} \right. $

(14)

式中， ${K_{\text{Ⅰ}}}$ 为Ⅰ型应力强度因子， ${K_{\text{Ⅱ}}}$ 为Ⅱ型应力强度因子。

将危岩体结构面尖端应力强度因子转为等效的纯Ⅰ型应力强度因子 $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}({\theta _{\text{p}}})$ ^[25]：

$ K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}({\theta _{\text{p}}}) = \frac{1}{2}\left[ {{K_{\text{Ⅰ}}}(1 + \cos \;{\theta _{\text{p}}}) + 3{K_{\text{Ⅱ}}}\sin \;{\theta _{\text{p}}}} \right]\cos \;\frac{{{\theta _{\text{p}}}}}{2} $

(15)

式中，θ_p为拉剪状态下的扩展角。

最大周向应力准则认为Ⅰ–Ⅱ型复合裂纹沿着最大拉应力所对应的 $ {\theta _{\text{p}}} $ 方向扩展，该方向需满足^[25]：

$ \partial {\sigma }_{\theta}/{\theta }_{\text{p}}=0\text{，}{\partial }^{\text{2}}{\sigma }_{\theta}/{\theta }_{\text{p}}^{2}=0 $

(16)

式中， $ {\sigma _\theta } $ 为尖端周向应力。

根据式（16）可得：

$ {\theta _{\text{p}}}{\text{ = 2arctan}}\frac{{1 - \sqrt {1 + 8{{({K_{{\text{Ⅱ}}}}{\text{/}}{K_{{\text{Ⅰ}}}})}^2}} }}{{4{K_{{\text{Ⅱ}}}}{\text{/}}{{K}_{{\text{Ⅰ}}}}}} $

(17)

考虑冻融循环作用，定义拉剪破坏模式的危岩体稳定性系数 $ F_{\text{s}}^{\text{p}} $ 的演化方程为：

$ F_{\text{s}}^{\text{p}} = \frac{{K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}^{i = N}}}{{K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}(\theta )}} $

(18)

同样地，拉剪型危岩体分支结构面尖端应力强度因子为：

$ K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}(l){\text{ = }}\frac{{(F_{\text{N}}^2{\text{ + }}F_{\text{N}}^3 - F_{\text{N}}^1)\cos\; {\theta _{\text{p}}}{\text{ + }}{F_{\text{T}}}\sin\; {\theta _{\text{p}}}}}{{\sqrt {\text{π} (l + {l^*})} }} - \sigma ({\theta _{\text{p}}})\sqrt {\text{π} l} $

(19)

式中： $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}(l)$ 为拉剪型危岩体分支结构面尖端应力强度因子； $ {l^*} $ 为确保l=0时， $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}({\theta _{\text{p}}})$ = $K_{\text{Ⅰ}}^{\text{p}}(l)$ 所取的修正值。

对于拉剪型危岩体，也可采用同样的方法得到分支结构面最大扩展长度 $ l_{\text{m}}^{\text{p}} $ ：

$ \left\{ \begin{gathered} l_{\text{m}}^{\text{p}} = \frac{{{B^2} + 2AC - B\sqrt {{B^2} - 4AC} }}{{2{A^2}}}, \hfill \\ A = \left[ {(F_{\text{N}}^2{\text{ + }}F_{\text{N}}^3 - F_{\text{N}}^1)\cos \;{\theta _{\text{p}}} + {F_{\text{T}}}\sin\; {\theta _{\text{p}}}} \right]/{\left(\sqrt {{\text{π}} {l^*}} \right)^3}, \hfill \\ B = 0.683{\gamma _{\rm{s}}}e\cos (\alpha - {\theta _{\text{p}}})\sqrt {\text{π}} , \hfill \\ C = K_{{{\text{Ⅰ}{\rm{C}}}}}^{i = N} - \left[ {(F_{\text{N}}^2{\text{ + }}F_{\text{N}}^3 - F_{\text{N}}^1)\cos\; {\theta _{\text{p}}} + {F_{\text{T}}}\sin\; {\theta _{\text{p}}}} \right]/\sqrt {{\text{π}} {l^*}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(20)

由式（9）、（13）、（18）、（20）可知，无论是危岩体稳定性系数还是分支结构面扩展长度，均与岩石的Ⅰ型断裂韧度密切相关。为探讨冻融循环作用下Ⅰ型断裂韧度的演化规律，将展开分析岩石Ⅰ断裂韧度随冻融循环次数劣化的力学机制。

1.2 冻融循环作用下岩体细观劣化规律

岩石内部冻胀力是孔隙水在低温环境下体积膨胀所引起，为探究冻结条件下岩石内部孔洞等细观缺陷在冻胀力作用下的演化规律，考虑细观缺陷的不规则性和随机性，做如下假设：

1）岩体由无数个微孔洞及其包围孔洞的岩石组成。初始微孔洞平均等效半径为r₀，孔洞周围岩石外径为r_m，如图4所示。

2）孔洞之间互不影响，在冻胀力作用下，孔洞的变形和破坏简化为圆孔扩张问题。

3）由于冰与岩石接触面间存在水膜，孔壁不存在剪力，冰体只产生张力作用。

设第1次冻胀力为p₁，考虑冻胀力的作用，则孔洞周围岩石中的应力分布为：

$ \left\{ {\begin{array}{l} {{\sigma _{r}} = {p_1}\dfrac{{r_0^2}}{{{r^2}}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} }\\ {{\sigma _{\rm{\theta }}} = - {p_1}\dfrac{{r_0^2}}{{{r^2}}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} }\\ {{\tau _{{r\theta }}} = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \end{array}} \right. $

(21)

式中，r₀为微孔洞初始半径， ${\sigma _{r}}$ 为岩石中的径向应力， ${\sigma _{\theta }}$ 为环向应力， ${\sigma _{{r\theta }}}$ 为切应力，r为孔中心到周围岩石任一点的距离。

由式（21）可知，在冻胀力作用下，孔周岩石中的环向应力随着冻胀力的增大而增大。鉴于岩石类材料抗拉强度低的特性，可认为孔周围岩石的冻胀破坏主要由张拉破坏导致，即岩石抗拉强度不足以克服冻胀力引起的环向应力，故孔洞周边岩石的塑性区范围可根据最大拉应力判据 ${\sigma _{\theta }} = - \sigma _{\text{t}}^0$ 得到， $ \sigma _{\text{t}}^0 $ 为绝对理想无孔隙岩石的抗拉强度。

图5为冻胀前后孔洞受力模型。如图5所示：第1次冻胀前（即i=1）的孔洞半径为r₀，冻胀后孔洞半径为R₀；冻胀前塑性区外圈原位置半径为r₁，冻胀后塑性区外圈新位置半径为R₁。假设塑性区内岩体冻胀前后体积保持不变，在平面应变条件下有：

$ \text{π} R_0^2 - \text{π} r_0^2 = \text{π} ({R_1}{\text{ + }}{r_1})({R_1} - {r_1}) $

(22)

式（22）可近似化简为：

$ R_0^2 - r_0^2 = 2{r_1}({R_1} - {r_1}) $

(23)

冰在自由膨胀时，其体积膨胀率一般为9%^[26]，但考虑到孔洞连通导致水分迁出及未冻结水的存在，结合刘泉声等^[27]的研究，考虑水分迁出的冰体积膨胀率k为：

$ k = (1 + \beta {u^T})(1 - \xi ) $

(24)

式中：β为自由状态下水冰相变体积膨胀系数，为无量纲常数，取0.09； $ {u^T} $ 为T温度下的冻结率，%，以–20 ℃为冻结终了温度； $ \xi $ 为迁移出的孔隙水体积百分比，%，计算方法见文献[25]。

已冻结冰在孔洞周边岩体的约束条件下，冻胀力p₁满足：

$ \text{π} R_0^2 = \text{π} r_0^2\left(k - \frac{{{p_1}}}{{{G_{\text{b}}}}}\right) $

(25)

式中，G_b = E_b/2(v_b+1)，其中，E_b为冰的弹性模量，v_b为冰的泊松比。

根据极坐标下塑性区单元体应力平衡及最大拉应力判据，塑性区应力应满足：

$ \left\{ {\begin{array}{l} {{\sigma _{\theta }} = - \sigma _{\text{t}}^0}, \\ {\dfrac{{{\rm{d}}r}}{r} = \dfrac{{{\rm{d}}{\sigma _{r}}}}{{{\sigma _{\theta }} - {\sigma _{r}}}}} \end{array}} \right. $

(26)

由式（26）可解得：

$ \mathrm{ln}\;r+\mathrm{ln}({\sigma }_{r}+{\sigma }_{\text{t}}^{0})+C=0 $

(27)

式中，C为待定常数。

根据边界条件r=r₀， $ {\sigma _{r}} $ =p₁，可得塑性区内应力分布：

$ \left\{ {\begin{array}{l} {{\sigma _{\theta }} = - \sigma _{\text{t}}^0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {{\sigma _{r}} = \dfrac{{{r_0}({p_1} + \sigma _{\text{t}}^0)}}{r} - \sigma _{\text{t}}^0} \end{array}} \right. $

(28)

由式（28）可得弹性区和塑性区交界处应力 $ {\sigma _{R_{1}}} $ 为：

$ {\sigma _{{R_1}}} = \frac{{{r_0}({p_1} + {\sigma _{\text{t}}})}}{{{r_1}}} - \sigma _{\text{t}}^0 $

(29)

根据弹性力学理论，弹性区可看成内径为r₁，外径为无穷大，内压为 ${\sigma {_{R_1}}}$ ，外压为0的圆筒，可得弹性区和塑性区交界处位移：

$ {R_1} - {r_1} = \frac{{{r_1}{\sigma _{{R_1}}}}}{{2{{G}_{\text{r}}}}} $

(30)

式中，G_r=E_r/2（v_r+1），其中，E_r为岩石的弹性模量，v_r为岩石的泊松比。

根据塑性区和弹性区应力相等，有：

$ \frac{{{r_0}({p_1} + \sigma _{\text{t}}^0)}}{{{r_1}}} - 2\sigma _{\text{t}}^0 = 0 $

(31)

联立式（25）、（27）、（29）、（30）、（31），可解得发生第1次冻胀时的冻胀力p₁为：

$ {p_1}{\rm{ = }}\sqrt {\begin{array}{l} \dfrac{{{G}_{\rm{r}}^2{{(\sigma _{\rm{t}}^0)}^2}}}{{G_{\rm{b}}^{\rm{2}}}} + \dfrac{{{{G}_{\rm{r}}}{{(\sigma _{\rm{t}}^0)}^2}}}{{{G_{\rm{b}}}}} + 4(k - 1){{G}_{\rm{r}}}\sigma _{\rm{t}}^0 \end{array}} - \sigma _{\rm{t}}^0 - \frac{{{{G}_{\rm{r}}}}}{{{{G}_{\rm{b}}}}}\sigma _{\rm{t}}^0 $

(32)

由式（32）可知，第1次冻胀产生的冻胀力大小只与冰体力学特性及岩石的力学特性相关，与孔洞大小无关。

冻结冰膨胀后，弹塑性区交界处环圈的半径为R₁；但当冻结冰进入融化阶段后，冻胀力逐渐减小直至消失，冰–岩逐渐脱离接触。弹塑性区交界处的外圈为弹性区，冻胀力消失后，弹性区进入弹性卸荷阶段，弹性区的扩径作用消失，塑性区半径仍为 $ {r_1} $ ，并作为下一次冻胀的起始半径，根据式（29）可得 $ {r_1} $ ：

$ {r_1}{\text{ = }}\frac{{{r_0}}}{2}\sqrt {\frac{{{G}_{\text{r}}^{\text{2}}}}{{{G}_{\text{b}}^{\text{2}}}} + \frac{{{{G}_{\text{r}}}}}{{{{G}_{\text{b}}}}}{\text{ + }}\frac{{{\text{4(}}k{ - }1){{G}_{\text{r}}}}}{{\sigma _{\text{t}}^0}}} - \frac{{{{G}_{\text{r}}}{r_0}}}{{2{{G}_{\text{b}}}}} $

(33)

塑性区范围内岩石受张拉破坏，下一次冻胀孔洞的初始半径为r₁；但下一次冻胀前，未冻结水并不能充满半径为r₁的孔洞内，增加的水的体积仅为被融化水带走或化学反应溶蚀部分的岩屑，孔洞其余部分仍由破坏的岩屑所填充。显然，孔洞内剩余的岩屑在下一次冻胀时，被包裹在冰内部，但此部分岩屑不能产生体积膨胀冻胀力。将每次冻融循环后流失的岩屑厚度与新产生的岩屑总厚度之比m定义为岩屑流失比，有：

$ {d_i} = m(r_i^{} - r_{i - 1}^{}) $

(34)

式中， $ {d_i} $ 为经过第i次冻融循环后增加的能充填孔隙水的圆孔厚度。

则第i次冻融循环作用后，实际能有效填充未冻结水的等效半径为：

$ r_i^* = \sqrt {r_0^2{\text{ + }}\sum {\left[ {{{({r_{i - 1}} + {d_i})}^2} - r_{i - 1}^2} \right]} } $

(35)

式中， $ r_i^* $ 为第i次冻融循环作用后能充填孔隙水的孔洞等效半径。

考虑岩屑流失的影响，结合式（4）可得第i–1次冻融后，冻胀力满足：

$ \text{π} R_{i - 1}^2 = \text{π} r_{i - 1}^2\left[ {1 + \frac{{{\text{(}}k{ - }1){{(r_{i - 1}^*)}^2}}}{{r_{i - 1}^2}} - \frac{{{p_i}}}{{{{G}_{\text{b}}}}}} \right] $

(36)

根据式（36）可得第i次冻胀时的冻胀力p_i为：

$ {p_i} = \sqrt {\begin{array}{l} \dfrac{{G_{\rm{r}}^{\rm{2}}{{{\rm{(}}\sigma _{\rm{t}}^{\rm{0}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}}}{{G_{\rm{b}}^{\rm{2}}}} + \dfrac{{{G_{\rm{r}}}{{{\rm{(}}\sigma _{\rm{t}}^{\rm{0}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}}}{{{G_{\rm{b}}}}} + \dfrac{{{\rm{4(}}k{\rm{ - }}1){{(r_{i - 1}^*)}^2}{G_{\rm{r}}}\sigma _{\rm{t}}^0}}{{r_{i - 1}^2}} \end{array}} - \sigma _{\rm{t}}^0 - \dfrac{{{G_{\rm{r}}}}}{{{G_{\rm{b}}}}}\sigma _{\rm{t}}^0 $

(37)

第i次冻胀时的塑性区半径r_i为：

$ {r_i}{\text{ = }}\frac{{{r_{i - 1}}}}{2}\sqrt {\frac{{{G}_{\text{r}}^{\text{2}}}}{{{G}_{\text{b}}^{\text{2}}}} + \frac{{{{G}_{\text{r}}}}}{{{{G}_{\text{b}}}}}{\text{ + }}\frac{{{\text{4(}}k{ - }1){{(r_{i - 1}^*)}^2}{{G}_{\text{r}}}}}{{r_{i - 1}^2\sigma _{\text{t}}^0}}} - \frac{{{{G}_{\text{r}}}{r_{i - 1}}}}{{2{{G}_{\text{b}}}}} $

(38)

经过N次冻融循环后，孔洞半径 $ {r_{i = {N}}} $ 与孔洞初始半径 $ {r_0} $ 之间的关系为：

$ {r_{i = {N}}}{\text{ = }}\frac{{{r_0}}}{2}\prod\limits_{i = 1}^N {\left[ {\sqrt {\frac{{{G}_{\text{r}}^{\text{2}}}}{{{G}_{\text{b}}^{\text{2}}}} + \frac{{{{G}_{\text{r}}}}}{{{{G}_{\text{b}}}}}{\text{ + }}\frac{{{\text{4(}}k{ - }1){{(r_{i - 1}^*)}^2}{{G}_{\text{r}}}}}{{r_{i - 1}^2\sigma _{\text{t}}^0}}} - \frac{{{{G}_{\text{r}}}}}{{{{G}_{\text{b}}}}}} \right]} $

(39)

1.3 冻融作用下Ⅰ型断裂韧度演化方程

研究表明，岩石Ⅰ型断裂韧度与其抗拉强度之间存在密切关系^[28-29]。邓华锋等^[30]通过最大拉应力判据得到了断裂韧度与抗拉强度之间的理论公式：

$ {K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}} = {\sigma _{\text{t}}}\sqrt {2\text{π} {r_{\text{c}}}} $

(40)

式中， $ {r_{\text{c}}} $ 为裂纹扩展半径，其实质是准脆性材料由塑性失效向弹性失效转化过程的过程区，又称为扩展临界距离^[31]。

在过程区上分布着闭合黏聚力，该黏聚力起到裂缝闭合的作用^[32-33]。如图6所示，在裂纹稳定扩展时，根据力的平衡有^[34]：

$ {\sigma ^\infty }\sqrt {\text{π} {\text{(}}b + c{\text{)}}} - \int_0^c {\omega {\text{(}}x{\text{)d}}x} - {K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}} = 0 $

(41)

式中， $ {\sigma ^\infty } $ 为外荷载引起的拉应力， $ \omega {\text{(}}x{\text{)}} $ 为过程区内黏聚力分布函数，b为已有裂纹长度，c为过程区长度。

常用的过程区黏聚力拉伸软化方程有^[34]：

$ \omega \text{(}x\text{)=}{\sigma }_{\text{t}}\left[1-\left(\frac{x}{{x}_{0}}\right)^{n}\right] $

(42)

式中， $ {x_0} $ 为过程区最大张开度，n为软化指数。

令 $ g{\text{(}}c{\text{)}} = \displaystyle\int_0^c {\omega {\text{(}}x{\text{)d}}x} $ ，并有边界条件 $ g{\text{(}}0{\text{) = 0}} $ ，则：

$ \int_0^c {\omega {\text{(}}x{\text{)d}}x} {\text{ = }}{\sigma _{\text{t}}}\left[ {c - \frac{1}{{n{\text{ + 1}}}}\frac{{{c^{n + 1}}}}{{x_0^n}}} \right] $

(43)

由于 $c \le {r_{\rm{c}}} \le b$ 及 ${\sigma ^\infty }\sqrt {{\text{π}} b} = {K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}}$ ，式（41）可近似化简为：

$ {\sigma ^\infty }\sqrt {\text{π} {r}} - \int_0^c {\omega {\text{(}}x{\text{)d}}x} = 0 $

(44)

裂纹稳定扩展时，有：

$ \frac{{\partial {\sigma ^\infty }}}{{\partial r}}\left| {_{c = {r_{\text{c}}}}} \right. = 0 $

(45)

结合式（43）～（45）可得：

$ {r_{\text{c}}}{\text{ = }}x_0^{}\sqrt[n]{{\frac{{{\text{3(}}n + 1{\text{)}}}}{{2n - 1}}}} $

(46)

由式（46）可知，裂纹扩展半径r_c主要与过程区最大张开度 $ {x_0} $ 及软化系数n相关。

冻融循环过程中，裂纹扩展的主要诱因是裂尖部位受到水冰相变体积膨胀所引起的冻胀力作用，而因为发生水–岩化学作用而导致岩石断裂破坏的部分占比极小。对于冻融循环作用，由于岩石内部主要产生物理变化，可认为过程区最大张开度和软化系数不变。如：韩铁林等^[10]对不同冻融循环次数作用下砂岩试样的断裂韧度、扩展半径r_c的变化规律进行了试验研究。将文献[10]的试验结果整理，如图7所示。

图7中，将砂岩分别置于pH=3.0的Na₂SO₄溶液及pH=7.0的蒸馏水中，经过100次冻融循环作用后，可以发现，随着冻融循环次数的增加，Na₂SO₄溶液中的砂岩断裂韧度下降幅度更显著。对于裂纹扩展半径r_c，在蒸馏水环境下经过25次冻融循环后，裂纹扩展半径存在一定程度降低，但后续75次冻融循环作用下裂纹扩展半径并没有发生显著变化；在酸性环境下经过25次冻融循环后，裂纹扩展半径下降幅度更大，且后续75次冻融循环作用下裂纹扩展半径仍继续减小。作者认为，在冻融循环初期，在断裂口表面一定深度范围内存在水岩作用，改变了断裂过程区内的黏聚力分布，从而使扩展半径减小。随着循环次数的增加，r_c的变化幅度很小，对水岩作用的敏感程度降低。总体而言，如不考虑化学腐蚀作用，在冻融循环作用下裂纹扩展半径的变化幅度较小，可近似看成是与岩石固有性质相关的常数。

针对式（40）中岩石的抗拉强度，在冻融循环作用下，岩石内孔洞在冻胀力的作用下半径增大，实际能抵抗拉伸破坏的岩石有效面积减小，抗拉强度同时降低，断裂韧度亦随抗拉强度降低而降低。

岩石内部孔洞总体积与岩石表观体积之比为孔隙率，根据图4所示的几何关系，假定孔洞数目不变，在平面内初始孔隙率w₀满足：

$ {w_0} = \frac{{\displaystyle\sum {\text{π} r_0^2} }}{{\displaystyle\sum {\text{π} r_{\text{m}}^2} }} $

(47)

岩石抗拉强度的劣化主要由于单位面积内抵抗拉伸破坏的有效面积减小所致，则经过i次冻融循环后的抗拉强度 $ \sigma _{\text{t}}^i $ 与初始抗拉强度 $ \sigma _{\text{t}}^{{r_0}} $ 之间关系有：

$ \sigma _{\text{t}}^i = \sigma _{\text{t}}^{{r_0}}\frac{{\text{π} {r_{\text{m}}^2} - \text{π} r_i^2}}{{\text{π} {r_{{\rm{m}}}^2} - \text{π} r_0^2}} $

(48)

结合式（39）、（48），可得N次冻融循环后的抗拉强度：

$ \sigma _{\text{t}}^{i = N} = \sigma _{\text{t}}^{{r_0}}\frac{{w_0^{ - 1} - \lambda _{i = N}^2}}{{w_0^{ - 1} - 1}} $

(49)

其中：

$ {\lambda _{i = N}}{\rm{ = }}\prod\limits_{i = 1}^N {\left[ {\frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{G}_{\rm{r}}^{\rm{2}}}}{{{G}_{\rm{b}}^{\rm{2}}}} + \frac{{{{G}_{\rm{r}}}}}{{{{G}_{\rm{b}}}}} + \frac{{{\rm{4}}{{(r_{i - 1}^*)}^2}{\rm{(}}k{\rm{ - }}1){{G}_{\rm{r}}}}}{{r_{i - 1}^2\sigma _{\rm{t}}^0}}} - \frac{{{{G}_{\rm{r}}}}}{{{\rm{2}}{{G}_{\rm{b}}}}}} \right]} $

(50)

同样地，含孔洞岩石初始抗拉强度与无孔洞的理想岩石抗拉强度之间满足：

$ \frac{{r_{\text{m}}^2 - r_0^2}}{{r_{\text{m}}^2}} = \frac{{\sigma _{\text{t}}^{{r_0}}}}{{\sigma _{\text{t}}^0}} $

(51)

结合式（48）、（51），式（50）可改写为：

$ {\lambda _{i{\rm{ = }}N}}{\rm{ = }}\prod\limits_{i = 1}^N {\left[ {\frac{1}{2}\sqrt {\frac{{G_{\rm{r}}^{\rm{2}}}}{{G_{\rm{b}}^{\rm{2}}}}{\rm{ + }}\frac{{{G_{\rm{r}}}}}{{{G_{\rm{b}}}}} + \frac{{{\rm{4}}{{(r_{i - 1}^*)}^2}{\rm{(}}k - 1)({w}_0^{ - 1} - 1){G_{\rm{r}}}}}{{r_{i - 1}^2\sigma _{\rm{t}}^{{r_0}}{w}_0^{ - 1}}}} - \frac{{{G_{\rm{r}}}}}{{{\rm{2}}{G_{\rm{b}}}}}} \right]} $

(52)

结合式（40）、（49）可得N次冻融循环后Ⅰ型断裂韧度 $K_{{\text{Ⅰ}}{\text{C}}}^{i = N}$ 的演化方程：

$ K_{{\text{Ⅰ}}{\rm{C}}}^{i = N} = \sigma _{\text{t}}^{{r_0}}\sqrt {2\text{π} {r_{\text{c}}}} \frac{{{w}_0^{ - 1} - \lambda _{i = N}^2}}{{{w}_0^{ - 1} - 1}} $

(53)

由式（52）、（53）可知，冻融循环作用下Ⅰ型断裂韧度演化方程包括岩石自身性质参数（ $ \sigma _{\text{t}}^{{r_0}} $ 、 ${r_{\rm{c}}}$ 、 $ {w}_0^{} $ 、 $ {{G}_{\text{r}}} $ 、 $ m $ ）、冰的性质参数（ $ {{G}_{\text{b}}} $ 、T、u^T、 $ \xi $ ），以及冻融循环次数N。

1.4 试验验证

为验证冻融循环作用下Ⅰ型断裂韧度演化方程的合理性，选择Abdolghanizadeha等^[14]的试验结果进行验证。试验样品为取自伊朗庐山的砂岩试件，将其在–16 ℃温度下冻结16 h，后在20 ℃温度下解冻8 h；采用三点弯试验测试冻融循环作用下的岩石Ⅰ型断裂韧度，采用巴西圆盘试验测试岩石的抗拉强度；由于本文断裂韧度计算模型部分参数在原文献没有体现，根据原文献中对砂岩试件的抗拉强度与Ⅰ型断裂韧度的测试结果，再根据式（40），可得断裂过程区尺寸 $ {r_{\rm{c}}} $ 值；参数岩屑流失比m根据文献中的试验数据拟合得到，模型参数见表1。将表1中参数代入式（53）可得理论结果，并与试验结果对比，如图8所示。

如图8所示，采用本文方法的理论计算结果与试验结果吻合较好；模型参数中，仅岩屑流失比m需根据试验结果进行拟合，其余参数均可通过常规试验获取，具有较好的实用性。实际上，岩屑流失比m也可通过测试冻融循环作用下的质量损失率获取，两者具体关系有待进一步研究。如图8所示，经过30次冻融循环作用，岩石的Ⅰ型断裂韧度由0.53 MPa·m^1/2降低到0.32 MPa·m^1/2，且劣化幅度有先快后慢的趋势。

2 算例及讨论 2.1 算例

为研究冻融循环作用下寒区危岩体稳定性的演化规律及分支结构面扩展规律，以西藏地区某危岩体为算例进行讨论，见图9。该危岩体地处高寒地区，当地常年低温，平均最低气温为–13.5 ℃，且水汽充沛，岩体受冻融循环作用明显。危岩体由泥质砂岩构成，结构面倾角为42°，危岩体高度为4.5 m，其中，贯通结构面高度为2.3 m，主控结构面端部到重心的水平、垂直距离分别为0.26、0.32 m，其余参数见表2。将表2中的危岩体参数代入式（9）、（20）、（32）、（39）、（46）、（53）中，得到该危岩体为压剪破坏模式，其稳定性系数随冻融循环次数的演化规律见图10。

如图10所示：冻融循环对危岩体稳定性具有重要影响，经过50次冻融循环作用，危岩体稳定性系数由1.40降低到0.54，稳定性系数的劣化幅度总体呈现先快后缓的趋势。随着冻融循环次数的增加，孔洞内部的岩屑逐渐积累，占用孔洞内部空间，使孔洞内能产生实际冻胀的有效半径增加幅度小于冻胀破坏的塑性区半径增加幅度，使冰的膨胀系数降低，故Ⅰ型断裂韧度的劣化幅度趋缓。值得注意的是，由于本文将分支结构面发生扩展的临界状态定义为稳定系数等于1，实际上稳定系数小于1时，结构面将发生扩展，并在分支结构面法向力作用下止裂，但危岩体并不一定发生失稳破坏。

针对危岩体分支结构面的扩展规律，由图10所示，经过15次冻融循环后，危岩体稳定性系数小于1，将发生分支结构面扩展；将相关参数代入式（13）可得分支结构面最大扩展长度随冻融循环次数的演化规律，如图11所示。

如图11所示，当稳定系数小于1时，分支结构面扩展长度随着冻融循环次数的增加而增大，且呈近“S”型变化趋势。主要原因为：冻融循环次数较少时，断裂韧度的劣化幅度更明显，此时分支结构面扩展较快；随着断裂韧度随冻融循环次数的敏感性降低，分支结构面的扩展幅度也降低；当分支结构面扩展到一定值时，其扩展长度对断裂韧度的敏感性增强，其扩展速度又呈加速趋势。

2.2 危岩体稳定性影响参数分析

为研究岩体细观参数对危岩体劣化规律的影响，采用第2.1节算例中的物理力学参数，通过改变单一因素，分析岩石初始孔隙率w₀、岩石弹性模量E_r、岩石抗拉强度 $ \sigma _{\text{t}}^{{r_0}} $ 、岩屑流失比m等模型参数对危岩体稳定性影响的敏感程度。

图12为初始孔隙率分别为12%、16%、20%时，危岩体稳定性系数随冻融循环次数的影响规律。如图12所示：当初始孔隙率为12%时，经过11次冻融循环作用后，主控结构面发生扩展；当初始孔隙率为16%时，需经过19次冻融循环作用，主控结构面发生扩展；当初始孔隙率为20%时，经过30次冻融循环作用后，危岩体仍处于稳定状态，可见孔隙率对冻融循环作用下危岩体的稳定性具有重要影响。根据式（47）对初始孔隙率的定义，在孔洞数目一定的情况下，初始孔隙率越小，意味着岩石内部孔洞的初始孔径越小，冻融循环作用对危岩体稳定的劣化幅度越大，说明在冻融循环作用下，岩体中半径较小的孔洞对危岩体稳定的劣化作用更明显。

图13为初始孔隙率对孔洞壁冻胀力的影响规律。如图13所示：冻融循环次数较少时，初始孔隙率越小，冻胀力越大；随着冻融循环次数超过15次，初始孔隙率为20%时的冻胀力反而更小。分析产生这种现象的原因主要是：初始孔隙率越小的岩石对应的孔洞等效半径越小，其单孔内产生的冻胀力越大，孔洞内塑性区范围也越大，故孔隙率小的岩石在冻融循环作用下的劣化幅度更显著。

图14为不同岩石弹性模量对冻胀力的影响规律。如图14所示，岩石弹性模量越大，冻胀力越大，且在冻融循环次数较少时影响更大。主要原因为：岩石弹性模量越大，孔洞周围岩石对冰的膨胀约束力更大，故冻胀力更大。随着弹性模量的增加，冻胀力的增长幅度变小，以冻融次数为5时为例，当E_r=10 GPa时，冻胀力为6.10 MPa；当E_r=20 GPa时，冻胀力为6.28 MPa，冻胀力相对于E_r=10 GPa时增长了3.0%；当E_r=30 GPa时，冻胀力为6.34 MPa，冻胀力相对于E_r=20 GPa时增长了0.9%。

图15为不同岩石初始抗拉强度对危岩体稳定性系数的影响规律。如图15所示，岩石初始抗拉强度越大，稳定性系数越大，且抵抗冻融循环破坏的能力更强。如：当初始抗拉强度 $ \sigma _{\text{t}}^{{r_0}} $ =4 MPa时，经过30次冻融循环作用，稳定性系数由1.29降低到0.54，降低了58.1%；当初始抗拉强度 $ \sigma _{\text{t}}^{{r_0}} $ =8 MPa时，经过30次冻融循环作用，稳定性系数由1.86降低到1.84，仅降低了1.1%。可见，危岩体自身的抗拉强度大小是抵抗冻融循环劣化的重要因素。对于抗拉强度低的危岩体，在冻胀力作用下，孔洞周围塑性区范围更大，更容易发生冻融循环环境下的失稳破坏，长期稳定性差。

图16为岩屑流失比对危岩体稳定性系数的影响规律。如图16所示，岩屑流失比对稳定性系数的影响显著，特别是冻融循环次数较多时影响更大。当流失比为0.7及0.8时，前10次冻融循环作用对危岩体的劣化较为明显，但后40次冻融循环作用对危岩体的劣化作用较小，有利于危岩体的长期稳定；当流失比为0.9时，随着冻融循环次数的增加，对危岩体的劣化作用的幅度虽有降低的趋势，但劣化作用仍然明显。可见，控制冻融作用破坏岩屑的流失比对危岩体的长期稳定性具有重要工程参考价值。针对寒区危岩体工程，可采取注浆填充封闭孔洞、表面封堵等工程措施防止岩屑的流失，以提高危岩体的长期稳定性。

3 结论与建议

基于断裂力学与圆孔扩张理论，对寒区危岩体的劣化机制进行理论分析；考虑结构面间的冻胀力和Ⅰ型断裂韧度的劣化，建立了寒区危岩体的稳定性分析方法。主要结论如下：

1）在冻融循环作用下，寒区危岩体的长期稳定性与岩石的孔隙率、弹性模量、抗拉强度、岩屑流失比及冻结温度等因素密切相关。

2）初始孔隙率越大的危岩体长期稳定性更好；岩石中孔径较小的孔洞产生更大的冻胀力，在冻融循环作用下，孔径较小的岩石Ⅰ型断裂韧度劣化幅度更显著。

3）岩石的弹性模量与冻胀力呈正相关关系，弹性模量越大，产生的冻胀力越大；岩石自身抗拉强度越大的危岩体稳定性系数越大，且抵抗长期冻融循环破坏的能力更强。

4）当岩屑流失比大于0.8时，冻融循环作用对危岩体的长期劣化作用更强。针对寒区危岩体工程，可采取注浆封闭孔洞、表面封堵等工程措施防止岩屑的流失，以提高危岩体的长期稳定性。