工程科学与技术   2022, Vol. 54 Issue (2): 170-179
堆载–电渗联合作用下双层地基1维固结解析解
宗梦繁1,2, 李传勋3, 吴文兵1,2,4, 田乙1,2, 梁荣柱1,2, 梅国雄1,4     
1. 中国地质大学 工程学院,湖北 武汉 430074;
2. 中国地质大学 浙江研究院,浙江 杭州 311305;
3. 江苏大学 土木工程与力学学院,江苏 镇江 212013;
4. 广西大学 土木建筑工程学院,广西 南宁 530004
基金项目: 国家自然科学基金项目(51878185;51878320);浙江省自然科学基金杰出青年项目(LR21E080005)
摘要: 实际地基处理中,电渗与堆载预压常常联合使用。为了解决目前综合考虑堆载和电渗作用的成层地基固结解答理论的不足,假定土体中的渗透流速可由水力坡降引起的渗透流速与电势差引起渗透流速的进行叠加,建立考虑堆载和电渗联合作用的双层地基1维固结方程;利用特征函数法获得瞬时堆载和线性堆载下双层地基1维电渗固结解析解;通过与现有解析解和电渗固结试验结果对比,验证了本文解答的可靠性。基于该解答,详细讨论了土层参数及荷载参数对双层地基固结特性的影响。结果表明:当下层土的渗透性高于上层土的渗透性时,由于电渗作用导致地基中间土层在固结初期流入的水量大于流出的水量,造成超静孔隙水压力在固结初期上升及有效应力在固结初期下降的现象;降低下层土的压缩性能够提高双层地基的沉降速率和超静孔隙水压力消散速率;与单纯电渗固结相比,电渗联合堆载作用不仅能提高地基沉降速率,还能提高固结后的地基强度,更有利于减小工后沉降和加快地基处理速率。
关键词: 双层地基    1维固结    电渗    堆载    解析解    
Analytical Solution for One-dimensional Consolidation of Double-layered Soil Under Combined Action of Load and Electro-osmosis
ZONG Mengfan1,2, LI Chuanxun3, WU Wenbing1,2,4, TIAN Yi1,2, LIANG Rongzhu1,2, MEI Guoxiong1,4     
1. Faculty of Eng., China Univ. of Geosciences, Wuhan 430074, China;
2. Zhejiang Inst., China Univ. of Geosciences, Hangzhou 311305, China;
3. Faculty of Civil Eng. and Mechanics, Jiangsu Univ., Zhenjiang 212013, China;
4. College of Civil Eng. and Architecture, Guangxi Univ., Nanning 530004, China
Abstract: In actual foundation treatment, electro-osmosis is often used in combination with preloading. In order to solve the deficiency in the theory about electro-osmotic consolidation solution considering both load action and layered configuration of soil, a one-dimensional consolidation equation of double-layered soil considering the combined action of load and electro-osmosis is established, by assuming that the flow velocity in soil can be superimposed by the flow velocity caused by hydraulic gradient and the flow velocity caused by potential difference. The analytical solutions for one-dimensional electro-osmotic consolidation of double-layered soil under constant and linear loading are obtained by using the feature function method. The effectiveness of the present solution is assessed by comparing against other existing analytical solutions and electro-osmotic consolidation test results. Based on the solution, the influences of soil parameters and load parameters on the consolidation characteristics of double-layered soil are discussed in detail. The results show that when the permeability of the subsoil is greater than that of the upper soil, in the early stage of consolidation, the amount of water flowing into the soil near the middle of the foundation is greater than the amount flowing out due to electro-osmosis, resulting in the phenomenon that the excess pore water pressure increases and the effective stress decreases in the early stage of consolidation. Reducing the compressibility of subsoil can improve the settlement rate and the excess pore water pressure dissipation rate of double-layered soil. Compared with the single electro-osmosis consolidation, the combined action of the load and electro-osmosis can not only improve the settlement rate of the double-layered soil, but also improve the strength of foundation after consolidation, which is more conducive to reducing the settlement after construction and speeding up the foundation treatment rate.
Key words: double-layered soil    one-dimensional consolidation    electro-osmosis    load    analytical solution    

吹填造陆是解决沿海城市土地资源短缺的重要措施,也是合理疏浚和清洁沿海水环境的新途径。其中,吹填淤泥的有效处理是工程中必须要解决的技术难点。如果采用单一的堆载预压排水固结法加固高饱和、细颗粒、低渗透的吹填土地基,则存在固结时间长,尤其是固结后期固结速率特别缓慢的问题。故十分有必要对常规堆载预压进行改良以加快土体的固结速率。工程实践表明,堆载–电渗联合作用下,吹填土的固结速率及加固效果均会有明显提高。同时,吹填土与原有土层往往构成双层地基,故深入研究堆载–电渗联合作用下双层地基1维固结问题具有重要的理论和实际意义。

Esrig[1]最早建立1维电渗固结方程,并得到该方程的解析解。Wan和Mitchell[2]进一步考虑堆载作用的影响,并证明了电极转换的有效性。在此基础上,李瑛等[3]考虑堆载–电渗联合作用,建立了轴对称模型的耦合固结方程。王柳江等[4]以超静孔隙水压力作为变量,得到堆载–电渗联合作用下1维非线性大变形固结方程,再进一步对模型简化后获得解析解答。Wu等[5-6]根据不同的土体非线性模型,在进一步简化假定的基础上推导出非线性堆载–电渗1维固结解析解。Wang等[7]利用Laplace变换技术,获得了堆载作用下非饱和土电渗固结半解析解。竖井排水加固地基是一种常用的地基处理方法,胡亚元[8]和张驿等[9]分别研究了半透水边界和连续排水边界对竖井地基固结的影响。周亚东等[10]对竖井地基电渗排水法进行了研究,获得了竖向轴对称堆载–电渗耦合非线性固结解答。以上堆载形式均被假定为瞬时堆载,而工程中更多情况为线性堆载。基于此,王军等[11]推导出线性堆载下软黏土1维电渗固结解析解。然而以上关于电渗固结的研究均假定地基为单层地基,对实际中的成层地基在堆载–电渗联合作用下的固结计算问题不再适用。

双层地基是天然层状地基中最简单的形式。Gray[12]最先对瞬时加载下双层地基固结问题进行了研究。Schiffman和Stein[13]在Gray[12]工作的基础上,针对一系列边界条件和复杂应力历史,给出了成层地基固结问题的解答。栾茂田等[14]利用分离变量法得到了外载沿深度分段线性分布的双层地基1维固结解析解。Lee等[15]得到了瞬时荷载下成层地基1维固结解析解。随后,有学者研究了变荷载对层状地基固结的影响:谢康和等[16-17]给出了单级加载下双层及成层地基1维固结问题完整的解析解答;杨峻等[18]求解了循环荷载作用下双层地基的1维固结。此后,一些学者进一步考虑非线性[19-20]、非达西[21-22]及大变形[23]等因素,研究了双层地基1维固结特性。但需注意的是,目前对层状地基电渗固结理论的相关研究仍较少,虽然Zhao等[24]在Esrig[11]的基础上推导出双层地基1维电渗固结解析解,但仍然没有考虑堆载–电渗的联合作用效果以及按沉降定义的平均固结度与按孔压定义的平均固结度的区别。

本文在Zhao等[24]双层地基1维电渗固结的基础上,进一步考虑瞬时堆载和线性堆载作用,求解出堆载–电渗联合作用下双层地基1维固结解析解。本文解在特定条件下可分别退化为堆载下双层地基1维固结解析解及电渗作用下双层地基1维固结解析解。最后,详细讨论了不同参数取值对堆载–电渗联合下双层地基1维固结的影响。

1 固结模型的建立与求解 1.1 堆载–电渗联合作用下固结控制方程

双层地基1维电渗固结分析模型如图1所示。

图1 双层地基电渗固结模型示意图 Fig. 1 Sketch of electro-osmotic consolidation model for double-layered soil

图1中,li为第i层土(i=1,2)的厚度,地基总厚度L=l1+l2mvikhikei分别为第i层土的体积压缩系数、水力渗透系数和电渗渗透系数。q(t)为施加在土体上的变荷载,荷载形式如图2所示,其表达式为:

图2 荷载–时间关系 Fig. 2 Relationship between loading and time

$ q(t) = \left\{ \begin{gathered} {q_0} + \frac{{{q_{\text{u}}} - {q_0}}}{{{t_{\text{c}}}}}t,{\text{ 0}} \le t \lt {t_{\text{c}}}; \hfill \\ {q_{\text{u}}}{\text{, }}{t_{\text{c}}} \le t \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (1)

式中,q0qu分别为初始荷载和恒载阶段荷载,t为时间,tc为加载完成时间。

1) 当 $ {t_{\text{c}}} = 0 $ 时,变荷载退化为瞬时堆载,此时:

$ q(t) = {q_0} = {q_{\text{u}}} $ (2)

2) 当 $ {q_0} = 0 $ 时,变荷载退化为线性等速堆载,此时:

$ q(t) = \left\{ \begin{gathered} \frac{t}{{{t_{\text{c}}}}}{q_{\text{u}}}{\text{ ,0}} \le t \lt {t_{\text{c}}}; \hfill \\ {q_{\text{u}}}{\text{ ,}}{t_{\text{c}}} \le t \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (3)

诸多研究1维电渗固结的文献[1,4,24]均假定电势随深度线性变化,而不随时间变化,在该情况下,双层地基中的电势沿深度分布为:

$ {V_i} = \frac{x}{L}{V_{\max }} $ (4)

式中,Vi为第i层土的电势(i=1,2),Vmax为电源电压,L为地基总厚度,x为土体的深度。

由Darcy定律知水力坡降引起的渗透流速 $ {v_{{\text{h}}i}} = $ $ {k_{{\text{h}}i}}{I_{{\text{h}}i}} $ ,而Mitchell[25]的研究表明,电势引起的渗透流速 $ {v_{{\text{e}}i}} = {k_{{\text{e}}i}}{I_{{\text{e}}i}} $ 。Esrig[1]认为土中渗流可由水力坡降所引起的渗流与电势差所引起的渗流进行叠加,因此电渗作用下土体中的渗透流速表达式为:

$ {v_i} = {k_{{\text{h}}i}}{I_{{\text{h}}i}}{\text{ + }}{k_{{\text{e}}i}}{I_{{\text{e}}i}} $ (5)

式中:vi为第i层土的总流速;khikei分别为第i层土水力渗透系数和电渗渗透系数;IhiIei分别为第i层土水力坡降和电势坡降, $ {I_{{\text{e}}i}} = {\text{grad}}({V_i}) $ ,因此渗透流速可进一步表示为:

$ {v_i} = - \frac{{{k_{{\text{h}}i}}}}{{{\gamma _{\text{w}}}}}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial x}} - {k_{{\text{e}}i}}\frac{{{\text{d}}{V_i}}}{{{\text{d}}x}} $ (6)

式中,ui为第i层土的超静孔隙水压力, $ {\gamma _{\text{w}}} $ 为水的重度。

不考虑热渗透效应、化学渗透效应并忽略土体的流变特性,根据土体单元内排出的水量等于土体体积压缩量这一连续条件,可得:

$ {m_{{\text{v}}i}}\frac{{\partial {{\sigma_i '}}}}{{\partial t}} = \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial x}} $ (7)

式中,mvi为第i层土的体积压缩系数, $ {\sigma '_i} $ 为第i层土的有效应力。

根据饱和土有效应力原理,有效应力表达式为:

$ {\sigma '_i} = q(t) - {u_i} $ (8)

将式(6)和(8)代入式(7),可得变荷载下双层地基1维电渗固结方程:

$ \frac{{{\partial ^2}{u_i}}}{{\partial {x^2}}} + {\gamma _{\text{w}}}\frac{{{k_{{\text{e}}i}}}}{{{k_{{\text{h}}i}}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{V_i}}}{{{\text{d}}{x^2}}} = \frac{1}{{{c_{{\text{v}}i}}}}\left[ {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial t}} - \frac{{{\text{d}}q}}{{{\text{d}}t}}} \right] $ (9)

式中,cvi为第i层土的固结系数, ${c_{{\rm{v}}i}} = {{k_{{\rm{h}}i}}}/ $ $ {({\gamma _{\rm{w}}}{m_{{\rm{v}}i}})}$

固结模型中初始条件为:

$ {u_i}(x,0) = {q_0} $ (10)

边界条件分别为:

$ {u_1}(0,t) = 0 \text{,} V(0) = 0 $ (11)
$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;{v_2}(L,t) = 0 \Rightarrow \frac{{{k_{{\text{h}}2}}}}{{{\gamma _{\text{w}}}}}\frac{{\partial {u_2}(L,t)}}{{\partial x}} + {k_{{\text{e}}2}}\frac{{{\text{d}}V(x)}}{{{\text{d}}x}} = 0 }$ (12)

双层地基的层间连续条件为:

$ \left\{ \begin{gathered} {u_1}({l_1},t) = {u_2}({l_1},t),{V_1}({l_1}) = {V_2}({l_1}); \hfill \\ {\left. {\left( {\frac{{{k_{{\text{h}}1}}}}{{{\gamma _{\text{w}}}}}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial x}} + {k_{{\text{e}}1}}\frac{{{\text{d}}{V_1}}}{{{\text{d}}x}}} \right)} \right|_{x = {l_1}}} = {\left. {\left( {\frac{{{k_{{\text{h2}}}}}}{{{\gamma _{\text{w}}}}}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial x}} + {k_{{\text{e2}}}}\frac{{{\text{d}}{V_2}}}{{{\text{d}}x}}} \right)} \right|_{x = {l_1}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (13)

为方便求解,做如下变量代换,令:

$ {\xi _i}(x,t) = {u_i}(x,t) + \frac{{{k_{{\text{e}}i}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h}}i}}}}{V_i}(x) $ (14)

应用以上变量代换,堆载–电渗联合作用下的双层地基固结控制方程可表达为:

$ {c_{{\text{v}}i}}\frac{{{\partial ^2}{\xi _i}}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{\partial {\xi _i}}}{{\partial t}} - R(t) $ (15)

其中,

$ R(t) = \frac{{{\text{d}}q}}{{{\text{d}}t}} $ (16)

对应的求解条件可分别表达为:

$ {\left. {{\xi _1}} \right|_{x = 0}} = 0 $ (17)
$ {\left. {\frac{{\partial {\xi _2}}}{{\partial x}}} \right|_{x = L}} = 0 $ (18)
$ \begin{aligned}[b] & {\left. {\left({\xi _1} - \frac{{{k_{{\text{e}}1}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h}}1}}}}{V_1}\right)} \right|_{x = {l_1}}} = {\left. {\left({\xi _2} - \frac{{{k_{{\text{e2}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h2}}}}}}{V_2}\right)} \right|_{x = {l_1}}}\Rightarrow \hfill \\ &\quad\quad\;{\left. {{\xi _2}} \right|_{x = {l_1}}} = {\left. {{\xi _2}} \right|_{x = {l_1}}} + \alpha \hfill \\ \end{aligned} $ (19)

式中, $\alpha $ 为已知常数, $\alpha = ({{{k_{{\text{e}}2}}}/ {{k_{{\text{h2}}}}}} - {{{k_{{\text{e1}}}}} /{{k_{{\text{h1}}}}}}){\gamma _{\text{w}}}{V_1}$

水力渗透系数与电渗渗透系数的比值是影响电渗固结效率的重要指标之一[4,26],众多学者[3-4,7,26-27]分析了该比值对电渗固结的影响。Zhao等[24]假定双层地基上、下土层水力渗透系数与电渗渗透系数的比值相同( ${{{k_{{\text{e1}}}}} / {{k_{{\text{h1}}}}}} = {{{k_{{\text{e}}2}}} / {{k_{{\text{h2}}}}}}$ ),获得双层地基1维电渗固结解析解。根据Zhao等[24]提出的假定可得:

$ \alpha = \left(\frac{{{k_{{\text{e}}2}}}}{{{k_{{\text{h2}}}}}} - \frac{{{k_{{\text{e1}}}}}}{{{k_{{\text{h1}}}}}}\right){\gamma _{\text{w}}}{V_1} = 0 $ (20)
$ {\left. {\frac{{{k_{{\text{h}}1}}}}{{{\gamma _{\text{w}}}}}\frac{{\partial {\xi _1}}}{{\partial x}}} \right|_{x = {l_1}}} = {\left. {\frac{{{k_{{\text{h2}}}}}}{{{\gamma _{\text{w}}}}}\frac{{\partial {\xi _2}}}{{\partial x}}} \right|_{x = {l_1}}} $ (21)
$ {\xi _i}(x,0) = {q_0} + \frac{{{k_{{\text{e}}i}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h}}i}}}}{V_i}(x) $ (22)
1.2 堆载–电渗固结模型的求解

为便于求解和固结性状分析,定义如下无量纲参数:

$ a = \frac{{{k_{{\text{e}}2}}}}{{{k_{{\text{e}}1}}}} = \frac{{{k_{{\text{h}}2}}}}{{{k_{{\text{h}}1}}}} $ (23)
$ b = \frac{{{m_{{\text{v}}2}}}}{{{m_{{\text{v}}1}}}} $ (24)
$ c = \frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} $ (25)
$ {T_{\text{v}}} = \frac{{{c_{{\text{v}}1}}t}}{{{L^2}}} $ (26)
$ {T_{{\text{vc}}}} = \frac{{{c_{{\text{v}}1}}{t_{\text{c}}}}}{{{L^2}}} $ (27)

根据双层地基1维固结解答[16,19],固结方程式(15)的解答可表示为:

$ {\xi _i} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{g_{mi}}(x){{\text{e}}^{ - {\beta _m}t}}[{B_m} + {C_m}{T_m}(t)]} $ (28)

其中:

$ {g_{m1}}(x) = \sin \left({\lambda _m}\frac{x}{{{h_1}}}\right) $ (29)
$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{g_{m2}}(x) = {A_m}\cos \left( {\mu {\lambda _m}\frac{{H - x}}{{{h_1}}}} \right) }$ (30)

式(28)~(30)中, $ {\;\beta _m} $ $ \mu $ $ {\lambda _m} $ $ {A_m} $ $ {B_m} $ $ {C_m} $ 为未知的待定系数, $ {T_m}(t) $ 为关于t的未知函数。当这些待定系数及未知函数确定后,固结模型的解便可以确定。

将层间连续条件式(19)和(21)代入式(28),可得求解 $ {\lambda _m} $ 的特征方程为:

$ \sqrt {ab} \sin (\mu c{\lambda _m})\sin \;{\lambda _m} - \cos (\mu c{\lambda _m})\cos \;{\lambda _m} = 0 $ (31)

在此基础上,可进一步得到Am的表达式:

$ {A_m} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{\sin \;{\lambda _m}}}{{\cos (\mu c{\lambda _m})}}{\text{, cos}}(\mu c{\lambda _m}) \ne 0; \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt {ab} }}\frac{{\cos \;{\lambda _m}}}{{\sin (\mu c{\lambda _m})}}{\text{, }}\cos (\mu c{\lambda _m}) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (32)

将式(28)代入电渗固结方程式(15),可得:

$ {\beta _m} = \frac{{{c_{{\text{v}}1}}\lambda _m^2}}{{l_1^2}} $ (33)
$ \mu = \sqrt {\frac{{{c_{{\text{v}}1}}}}{{{c_{{\text{v}}2}}}}} = \sqrt {\frac{b}{a}} $ (34)
$ {T_m} = \int_0^t {{{\rm{e}}^{{\beta _m}\tau }}R{\text{(}}\tau {\text{)d}}\tau } $ (35)
$ \sum\limits_{m = 1}^\infty {{C_m}{g_{mi}}(\textit{z})} = 1 $ (36)

由如下的三角函数正交关系:

$ \begin{aligned}[b] &\int_0^{{l_1}} {{m_{{\text{v}}1}}{g_{m1}}(x){g_{n1}}(x){\text{d}}x} + \int_{{l_1}}^L {{m_{{\text{v}}2}}{g_{m2}}(x){g_{n2}}(x){\text{d}}x}= \hfill \\ &\quad\quad\; \left\{ \begin{gathered} 0,{\text{ }}m \ne n; \hfill \\ \frac{1}{2}{m_{{\text{v}}1}}{h_1}(1 + bcA_m^2),{\text{ }}m = n \hfill \\ \end{gathered} \right. \end{aligned} $ (37)

结合式(36)和(37),可求得Cm的表达式:

$ {C_m} = \frac{2}{{{\lambda _m}(1 + bcA_m^2)}} $ (38)

将初始条件式(22)代入式(28),可得:

$ \sum\limits_{m = 1}^\infty {{B_m}{g_{mi}}(x)} = {\xi _i}(x,0) $ (39)

式(39)结合正交关系式(37),可得Bm为:

$ \begin{aligned}[b] {B_m} =& \frac{{2a{k_{{\text{e}}i}}{\gamma _{\text{w}}}{V_{\max }}\sin \;{\lambda _m}\cos (\mu c{\lambda _m})}}{{{k_{{\text{h}}i}}(1 + c)\lambda _m^2[{{\cos }^2}(\mu c{\lambda _m}) + bc{{\sin }^2}\;{\lambda _m}]}}+ \\ & \frac{{2{k_{{\text{e}}i}}{\gamma _{\text{w}}}{V_{\max }}\sin \;{\lambda _m}\cos (\mu c{\lambda _m})(1 - a)\cos (\mu c{\lambda _m})}}{{{k_{{\text{h}}i}}(1 + c)\lambda _m^2[{{\cos }^2}(\mu c{\lambda _m}) + bc{{\sin }^2}\;{\lambda _m}]}}+ \\ & \frac{{2{q_0}}}{{{\lambda _m}(1 + bcA_m^2)}}\\[-10pt] \end{aligned} $ (40)

1)瞬时堆载情况

当堆载形式为瞬时堆载时,由式(2)和(16)可知:

$ R(t) = 0 $ (41)

此时,式(28)退化为:

$ {\xi _i} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{B_m}{g_{mi}}(x){{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}} $ (42)

式中, $ {g_{mi}}(x) $ 表达式为式(29)和(30), $ {\;\beta _m} $ $ \;\mu $ $ {\lambda _m} $ $ {A_m} $ $ {B_m} $ 表达式分别为式(33)、(34)、(31)、(32)和(40)。由式(14)可进一步求得瞬时堆载下,超静孔隙水压力ui的表达式。

2)线性堆载情况

$ R(t) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{q_{\text{u}}}}}{{{t_{\text{c}}}}}{\text{,0}} \le t \lt {t_{\text{c}}}; \hfill \\ 0{\text{,}}{t_{\text{c}}} \le t \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (43)

此条件下电渗固结式(15)解答为:

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\xi _i} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{g_{mi}}(x){{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}[{B_m} + {C_m}{T_m}(t)]}} $ (44)

式中, ${T_m} $ 由式(35)和(43)可求得:

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{T_m} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{q_{\text{u}}}}}{{\beta _m^2{t_{\text{c}}}}}({{\text{e}}^{\beta _m^2t}} - 1){\text{ }},0 \le t \lt {t_{\text{c}}}; \hfill \\ \frac{{{q_{\rm{u}}}}}{{\beta _m^2{t_{\text{c}}}}}({{\text{e}}^{\beta _m^2{t_{\text{c}}}}} - 1){\text{ }}{,t_{\text{c}}} \le t \hfill \\ \end{gathered} \right.} $ (45)

${B_m} $ 为:

$ \begin{aligned}[b] {B_m} =& \frac{{2{k_{{\text{e}}i}}{\gamma _{\text{w}}}{V_{\max }}\sin \;{\lambda _m}\cos (\mu c{\lambda _m})a}}{{{k_{{\text{h}}i}}(1 + c)\lambda _m^2[{{\cos }^2}(\mu c{\lambda _m}) + bc{{\sin }^2}\;{\lambda _m}]}}+ \hfill \\ & \frac{{2{k_{{\text{e}}i}}{\gamma _{\text{w}}}{V_{\max }}\sin \;{\lambda _m}\cos (\mu c{\lambda _m})(1 - a)\cos (\mu c{\lambda _m})}}{{{k_{{\text{h}}i}}(1 + c)\lambda _m^2[{{\cos }^2}(\mu c{\lambda _m}) + bc{{\sin }^2}\;{\lambda _m}]}} \hfill \\ \end{aligned} $ (46)

式(44)中, ${C_m} $ 计算方式见式(38),其他参数表达式与瞬时堆载情况相同。由式(14)可进一步求得线性堆载下超静孔隙水压力ui的表达式。

1.3 固结度解答

土体平均固结度可分为按沉降定义的平均固结度和按孔压定义的平均固结度,前者反映土体沉降速率,后者反映超静孔隙水压力消散速率。实际工程中用哪种平均固结度取决于研究的问题是侧重土体沉降还是超静孔隙水压力消散。

1)瞬时堆载情况

按孔压定义的双层地基平均固结度Up可表示为:

$ \begin{aligned}[b] {U_{\text{p}}} =& \dfrac{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {[{q_0} - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x} + \displaystyle\int_{{l_1}}^L {[{q_0} - {u_2}(x,t)]{\text{d}}x} }}{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {\left[{q_0} + \dfrac{{{k_{{\text{e}}1}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h1}}}}}}{V_1}(x)\right]{\text{d}}x} + \displaystyle\int_{{l_1}}^L {\left[{q_0} + \dfrac{{{k_{{\text{e2}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h2}}}}}}{V_2}(x)\right]{\text{d}}x} }}= \hfill \\ & 1 - \dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^\infty {\dfrac{{1 - \cos {\lambda _m}}}{{{\lambda _m}}}{B_m}{{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}} + \displaystyle\sum\limits_{m = 1}^\infty {\dfrac{{\sin (\mu c{\lambda _m})}}{{\mu {\lambda _m}}}{A_m}{B_m}{{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}} }}{{\left({q_0} + \dfrac{{{k_{{\text{e}}1}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{2{k_{{\text{h}}1}}}}{V_{\max }}\right)(1 + c)}} \hfill \\ \end{aligned} $ (47)

按沉降定义的双层地基平均固结度Us可表示为:

$ \begin{aligned}[b] {U_{\text{s}}} =& \dfrac{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {[{q_0} - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x} + b\displaystyle\int_{{l_1}}^L {[{q_0} - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x} }}{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {\left[{q_0} + \dfrac{{{k_{{\text{e1}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h1}}}}}}{V_1}(x)\right]{\text{d}}x} + b\displaystyle\int_{{l_1}}^L {\left[{q_0} + \dfrac{{{k_{{\text{e2}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h2}}}}}}{V_2}(x)\right]{\text{d}}x} }} = \hfill \\ & 1 - \dfrac{{{l_1}\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^\infty {\dfrac{{1 - \cos {\lambda _m}}}{{{\lambda _m}}}{B_m}{{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}} + b{l_1}\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^\infty {\dfrac{{\sin (\mu c{\lambda _m})}}{{\mu {\lambda _m}}}{A_m}{B_m}{{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}} }}{{{q_0}({l_1} + b{l_2}) + \dfrac{{{k_{{\text{e}}1}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{2{k_{{\text{h}}1}}L}}{V_{\max }}[l_1^2 + b({L^2} - l_1^2)]}} \hfill \\ \end{aligned} $ (48)

式中, $ {\;\beta _m} $ $ \;\mu $ $ {\lambda _m} $ $ {A_m} $ $ {B_m} $ 表达式分别为式(33)、(34)、(31)、(32)和(40)。

2) 线性堆载情况

按孔压定义的平均固结度Up可表示为:

$ {U_{\text{p}}} = \dfrac{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {[q(t) - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x} + \displaystyle\int_{{l_1}}^L {[q(t) - {u_2}(x,t)]{\text{d}}x} }}{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {\left[{q_{\text{u}}} + \dfrac{{{k_{{\text{e}}1}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h1}}}}}}{V_1}(x)\right]{\text{d}}x} + \displaystyle\int_{{l_1}}^L {\left[{q_{\text{u}}} + \dfrac{{{k_{{\text{e2}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h2}}}}}}{V_2}(x)\right]{\text{d}}x} }} $ (49)

按沉降定义的平均固结度Us可表示为:

$ {U_{\text{s}}} = \dfrac{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {[q(t) - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x} + b\displaystyle\int_{{l_1}}^L {[q(t) - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x} }}{{\displaystyle\int_0^{{l_1}} {\left[{q_{\text{u}}} + \dfrac{{{k_{{\text{e1}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h1}}}}}}{V_1}(x)\right]{\text{d}}x} + b\displaystyle\int_{{l_1}}^L {\left[{q_{\text{u}}} + \dfrac{{{k_{{\text{e2}}}}{\gamma _{\text{w}}}}}{{{k_{{\text{h2}}}}}}{V_2}(x)\right]{\text{d}}x} }} $ (50)

式中,q(t)表达式为式(3),ui表达式由式(14)和(44)确定。

1.4 沉降解答

1)瞬时堆载情况

瞬时堆载下的双层地基沉降表达式为:

$ \begin{aligned}[b] S(t) =& {m_{{\text{v1}}}}\int_0^{{l_1}} {[{q_0} - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x}+ \hfill \\ & {m_{{\text{v2}}}}\int_{{l_1}}^L {[{q_0} - {u_2}(x,t)]{\text{d}}x} = \hfill \\ {\text{ }} & \frac{{{k_{{\text{e}}1}}{\gamma _{\text{w}}}{V_{\max }}}}{{2{k_{{\text{h}}1}}L}}[{m_{{\text{v}}1}}l_1^2 + {m_{{\text{v2}}}}({L^2} - l_1^2)]- \hfill \\ & {m_{{\text{v}}1}}{l_1}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{1 - \cos {\lambda _m}}}{{{\lambda _m}}}{B_m}{{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}}- \hfill \\ & {m_{{\text{v2}}}}{l_1}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{\sin (\mu c{\lambda _m})}}{{\mu {\lambda _m}}}{A_m}{B_m}{{\text{e}}^{ - \beta _m^2t}}}+ \hfill \\ &{q_0}({m_{{\text{v}}1}}{l_1} + {m_{{\text{v2}}}}{l_2}) \hfill \\ \end{aligned} $ (51)

式中,βm $ \mu $ $ {\lambda _m} $ $ {A_m} $ $ {B_m} $ 表达式分别为式(33)、(34)、(31)、(32)和(40)。

2)线性堆载情况

线性堆载下的双层地基沉降表达式为:

$ \begin{aligned}[b] S(t) =& {m_{{\text{v1}}}}\int_0^{{l_1}} {[q(t) - {u_1}(x,t)]{\text{d}}x}+ \hfill \\ & {m_{{\text{v2}}}}\int_{{l_1}}^L {[q(t) - {u_2}(x,t)]{\text{d}}x} \hfill \\[-5pt] \end{aligned} $ (52)

式中,q(t)表达式为式(3),ui表达式由式(14)和(44)确定。

2 解答的验证

当外荷载为0时,本文解答退化为Zhao等[24]提出的双层地基1维电渗固结解。为验证本文解的正确性,采用表1中的参数分析了本文退化解答与Zhao等[24]所得解答下土层相对渗透性a值对超静孔隙水压力的影响(图3)。当参数取值相同时,可发现本文解和Zhao等[24]解答完全相同,初步验证本文解的正确性。下层土中负超静孔隙水压力值随a值增大而增大,而上层土中负超静孔隙水压力随a值变化规律恰好相反。a值越大,表明下层土的电渗渗透系数和水力渗透系数相对上层土的电渗渗透系数和水力渗透系数更大,即下层土超静孔隙水消散速率更快,从而表现出下层土负孔隙水压力随a值的增大而增大。在上层土中,a值越大,表明上层土的渗透性越小,孔隙水消散速率越慢,从而表现出上层土负孔隙水压力随a值的增大而减小。图3说明相对渗透性越高的土层其超静孔隙水压力消散能力越大。

表1 双层土参数[24] Tab. 1 Parameters of a double-layered soil[24]

图3 仅考虑电渗作用时的超静孔隙水压力曲线 Fig. 3 Excess pore water pressure curves when only electro-osmotic action is considered

刘飞禹等[28]针对单层土在堆载–电渗联合作用下进行了1维固结试验,并获得了不同荷载与电渗电压组合下的沉降曲线。表2为试验的土样基本物理参数。将本文瞬时荷载下的双层地基沉降解答退化为单层地基的沉降解答,图4对比了本文解析解得到的沉降曲线与固结试验得到的沉降曲线。

表2 土样基本物理参数[28] Tab. 2 Basic physical parameters of soil samples[28]

图4 理论沉降曲线与试验沉降曲线的对比 Fig. 4 Comparison between theoretical settlement curves and experimental settlement curves

由于表2中,堆载–电渗联合作用固结试验给定的土体基本物理参数[28]没有体积压缩系数mv、水力渗透系数kh和电渗渗透系数ke,而这3个参数是本文解答必不可少的,因此需要先反演出这3个参数。根据单纯50 kPa荷载作用下的固结试验的最终沉降值,可以反演出体积压缩系数mv为1.249×10–3,由50 kPa荷载作用下的固结试验的沉降曲线可以反演出水力渗透系数kh为6×10–10。进一步,由“3 V+50 kPa”的荷载–电渗联合作用下的固结试验的最终沉降值反演出电渗渗透系数ke为1.6×10–9。通过本文解答与100 kPa荷载作用下和“3 V+100 kPa”荷载–电渗联合作用下的固结试验对比可知,解析解与试验曲线有一定差距,但总体上较为吻合,进一步验证了本文解答的合理性。此外,由图4可以看出,考虑堆载–电渗联合作用的土体沉降值最大,说明电渗联合堆载作用能有效提高地基强度。增加电渗的环节,可以进一步增强堆载作用的影响,其作用效果类似于超载预压,更有利于减小工后沉降并且加快堆载作用下的地基处理速率。

3 固结性状分析

采用表1中的参数,分别分析土体参数、堆载参数及电渗参数对堆载–电渗联合或单独作用下的双层地基固结性状的影响。

3.1 超孔隙水压力分析

图5描述了固定电源电压Vmax为10 V时,双层地基的土层分界面的超静孔隙水压力随a值的变化。

图5 a值对土层界面超静孔隙水压力的影响 Fig. 5 Influence of a value on the excess pore water pressure at the interface of soil layer

为进一步验证解析解程序的正确性,采用差分法对超静孔隙水压力进行求解,可以看出,采用差分法计算得到的超静孔隙水压力与解析解所得超静孔隙水压力一致,说明本文解析解程序是可靠的。从图5中可以看出:当a>1时,会出现超静孔隙水压力在固结初期上升的现象,且a值越大,超静孔隙水压力增大幅度越大,孔压上升现象越明显;当上层土的渗透系数保持不变时,a值越大则下层土的渗透系数(包括水力渗透系数和电渗渗透系数)越大。电渗固结的渗流由水力梯度和电势两种作用引起,在固结初期土体超静孔隙水压力等于堆载值,土体内部超静孔隙水压力不能消散,因此,水力梯度引起的渗流量接近于0。而由式(6)可知,固结过程中电渗引起的渗流是恒定的,当下层土的电渗渗透系数大于上层土的电渗渗透系数时,在土层分界面附近区域,土层下方的渗透流速大于土层上方的渗透流速。此时,取土体微单元进行分析,a值越大,则土体单元底部和顶部的流速差值越大。土体单元流入的水量多,流出的水量少,从而造成固结初期超静孔隙水压力上升,其根本原因在于电势而非外荷载。

为进一步说明该现象,图6描述了不同时间因数下,堆载–电渗联合作用和单纯堆载作用的渗透流速沿土层深度分布情况。图6中,渗透流速为负值表示渗透流速方向竖直向上。单纯堆载作用下,在固结初期土体内部超静孔隙水值等于外荷载值,土体内部孔隙水来不及消散,从而在图6中表现为土体内部渗透流速几乎为0;随着时间因数的增大,土体内部孔隙水逐渐消散,渗透流速逐渐增大。而堆载–电渗联合下,在土层分界面附近区域,土层下方的渗透流速大于土层上方的渗透流速,说明图5中土层分界面处超静孔隙水压力在固结初期上升是由土层下方流入的水量大于流出的水量引起的。随着时间因数的增大,电渗作用下土体内部渗透流速的差异逐渐减小,最终上层土的渗透流速更大,表现为时间因数较大时土体内部的超静孔隙水压力逐渐消散。

图6 渗透流速沿土层深度方向的分布曲线 Fig. 6 Distribution curves of flow velocity along the direction of soil depth

图7描述了不同条件下土层分界面超静孔隙水压力和有效应力随时间因数的变化。从图7中可以看出,电渗和堆载–电渗作用下的超静孔隙水压力在固结初期均有上升的现象,而在堆载作用下没有该现象。电渗和堆载–电渗作用下的有效应力在固结初期均出现降低的现象,且两者完全重合,说明超静孔隙水压力上升及有效应力降低是由电渗作用产生的,堆载对该现象没有影响。综合分析图56可知,当a>1时,中间土层超静孔隙水压力在固结初期上升是由于电渗作用使中间土层流入的水量大于流出的水量,孔隙中水发生拥挤,造成超静孔隙水压力上升和有效应力降低。需要说明的是,曼德尔效应也会产生超静孔隙水压力在固结初期上升的现象,但其原因是土体的环向收缩压力,因此,本文中超静孔隙水压力上升的现象并不是曼德尔效应,且与曼德尔效应有本质区别。

图7 不同条件下超静孔隙水压力和有效应力曲线 Fig. 7 Excess pore water pressure and effective stress curves under different conditions

图8描述了电渗联合堆载作用下b值对土层分界面超静孔隙水压力的影响。可发现b值越小,超静孔隙水压力在固结初期上升幅度越小,超静孔隙水压力上升的现象越不明显。反之,b值越大,超静孔隙水压力在固结初期上升幅度越大,超静孔隙水压力最大值出现的时间越滞后。在固定上层土压缩系数不变的情况下,b值越大,则下层土的渗透系数越大,即下层土压缩性越大。图8说明土层相对压缩性是超静孔隙水压力上升的影响因素,下层土的压缩性越大,超静孔隙水压力上升越明显。

图8 b值对土层界面超静孔隙水压力的影响 Fig. 8 Influence of b value on the excess pore water pressure at the interface of soil layer

3.2 固结度分析

图9描述了固定荷载参数Tvc=0.1,qu=100 kPa,电源电压Vmax=10 V时,土层相对压缩性b值对双层地基平均固结度的影响。由式(47)和(48)可以看出:当b=1时,按沉降定义的平均固结度Us与按孔压定义的平均固结度Up相等;当b≠1时,按沉降定义的平均固结度与按孔压定义的平均固结度不再相等,原因是土体沉降与超静孔隙水压力的消散不同步。从图9中可以看出:当b>1时,按孔压定义的平均固结度大于按沉降定义的平均固结度,即孔隙水消散速率比地基沉降速率更快,并且两者区别主要在固结前期,固结后期两者相等;当b=1时,UsUp完全相等;当b<1时,按沉降定义的平均固结度大于按孔压定义的平均固结度,但两者差别非常小。此外,UsUp均随b值的增大而减小,说明减小下层土的压缩性有利于地基固结。

图9 b值对平均固结度的影响 Fig. 9 Influence of b value on average degree of consolidation

图10描述了固定电源电压Vmax=10 V,瞬时堆载条件下,瞬时堆载q0值对按沉降定义的平均固结度Us和按孔压定义的平均固结度Up的影响。

图10 外荷载对平均固结度的影响 Fig. 10 Influence of external load on average degree of consolidation

图10中可以看出,堆载–电渗联合作用下,Usq0值的增大而增大,而Upq0值的增大而减小。说明电渗联合堆载作用下,按沉降定义的平均固结度计算时,地基固结速率随堆载值的增大而增大;按孔压定义的平均固结度计算时,地基固结速率随堆载值的增大而减小。单纯堆载作用下,堆载大小对地基平均固结度没有影响。当按沉降定义的平均固结度计算时,考虑电渗作用的地基固结速率反而没有单纯堆载下的地基固结速率快,这是由于电渗作用下地基沉降量更大。当按孔压定义的平均固结度计算时,考虑电渗作用的地基固结速率比单纯堆载下的地基固结速率快,说明电渗作用能够加速超静孔隙水压力的消散。此外,堆载较小时,增大堆载对电渗固结速率影响明显,而堆载较大时,增大堆载对电渗固结速率影响较小。不同堆载值对地基固结速率的影响主要在固结前期,而对固结后期的影响较小。

3.3 孔隙比分析

由体积压缩系数的定义可知[29-30]

$ {m_{{\text{v}}i}} = - \frac{1}{{1 + {e_{0i}}}}\frac{{\partial {e_i}}}{{\partial {{\sigma '}_i}}} $ (53)

式中,eie0i分别为第i层土的孔隙比和初始孔隙比。

固结过程中,体积压缩系数不发生变化,因此由式(53)可得孔隙比的表达式为:

$ {e_i} = {e_{0i}} - {m_{{\text{v}}i}}(1 + {e_{0i}}){\sigma '_i} $ (54)

图11为固定荷载参数Tvc=0.1,qu=100 kPa,电源电压Vmax=10 V,上层土的初始孔隙比e01=1.5时,变荷载作用下固结过程中孔隙比随时间的变化曲线。当a=5.0时,靠近土层中部的孔隙比呈先增大后减小的趋势,表明在固结初期土体表现为膨胀,之后转为压缩。当a=0.5时,不同深度土体均随时间的增大而逐渐压缩。再次说明了只有a>1.0时,土体中部才会在固结初期出现膨胀的现象,这与图56的结论可以相互验证。

图11 固结过程中孔隙比变化曲线 Fig. 11 Variation curves of void ratio during consolidation

4 结 论

1)当相对渗透性参数a>1时,电渗作用下地基中间土层的超静孔隙水压力在固结初期会出现高于初始超静孔压的现象,该现象出现的原因是中间土层流入的水量多而流出的水量少,造成超静孔隙水压力上升和有效应力降低。

2)电渗作用下,a>1时,相对压缩性参数b值越大,超静孔隙水压力上升幅度越大,超静孔隙水压力最大值出现的时间越滞后。

3)堆载–电渗联合作用下,按沉降定义的平均固结度计算时,地基固结速率随堆载的增大而增大,按孔压定义的平均固结度计算时,地基固结速率随堆载的增大而减小。

4)与单纯电渗固结相比,电渗联合堆载作用不仅能提高地基沉降速率,还能提高固结后的地基强度,能有效减小工后沉降和加快地基处理速率。

参考文献
[1]
Esrig M I. Pore pressures,consolidation,and electrokinetics[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, 1968, 94(4): 899-921. DOI:10.1061/jsfeaq.0001178
[2]
Wan T Y,Mitchell J K. Electro-osmotic consolidation of soils[J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division, 1976, 102(5): 473-491. DOI:10.1061/ajgeb6.0000270
[3]
Li Ying,Gong Xiaonan,Lu Mengmeng,et al. Coupling consolidation theory under combined action of load and electro-osmosis[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(1): 77-81. [李瑛,龚晓南,卢萌盟,等. 堆载–电渗联合作用下的耦合固结理论[J]. 岩土工程学报, 2010, 32(1): 77-81.]
[4]
Wang Liujiang,Liu Sihong,Wang Zijian,et al. A consolidation theory for one-dimensional large deformation problems under combined action of load and electroosmosis[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(12): 91-98. [王柳江,刘斯宏,王子健,等. 堆载–电渗联合作用下的一维非线性大变形固结理论[J]. 工程力学, 2013, 30(12): 91-98. DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2012.04.0303]
[5]
Wu Hui,Hu Liming,Qi Wengang,et al. Analytical solution for electroosmotic consolidation considering nonlinear variation of soil parameters[J]. International Journal of Geomechanics, 2017, 17(5): 06016032. DOI:10.1061/(asce)gm.1943-5622.0000821
[6]
Wu Hui,Qi Wengang,Hu Liming,et al. Electro-osmotic consolidation of soil with variable compressibility,hydraulic conductivity and electro-osmosis conductivity[J]. Computers and Geotechnics, 2017, 85: 126-138. DOI:10.1016/j.compgeo.2016.12.026
[7]
Wang Liujiang,Huang Penghua,Wang Yaoming,et al. Semi-analytical solutions to one-dimensional electro-osmotic consolidation in unsaturated soils[J]. Japanese Geotechnical Society Special Publication, 2020, 8(4): 102-108. DOI:10.3208/jgssp.v08.c20
[8]
Hu Yayuan. Consolidation solution for sand-drained ground with impeded boundaries under vacuum preloading[J]. Advanced Engineering Sciences, 2018, 50(2): 32-41. [胡亚元. 半透水边界砂井地基的真空预压固结解[J]. 工程科学与技术, 2018, 50(2): 32-41. DOI:10.15961/j.jsuese.201700610]
[9]
Zhang Yi,Wu Wenbing,Mei Guoxiong,et al. Analytical solution of sand-drained ground consolidation based on continuous drainage boundary[J]. Advanced Engineering Sciences, 2019, 51(2): 90-97. [张驿,吴文兵,梅国雄,等. 基于连续排水边界条件的砂井地基固结解析解[J]. 工程科学与技术, 2019, 51(2): 90-97. DOI:10.15961/j.jsuese.201800677]
[10]
Zhou Yadong,Wang Baotian,Deng An. Piecewise-linear model for electro-osmosis-surcharge preloading coupled consolidation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(12): 2311-2316. [周亚东,王保田,邓安. 分段线性电渗–堆载耦合固结模型[J]. 岩土工程学报, 2013, 35(12): 2311-2316.]
[11]
Wang Jun,Fu Hongtao,Cai Yuanqiang,et al. Analyses of one dimensional electro-osmotic consolidation theory and test of soft clay under linear load[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2014, 33(1): 179-188. [王军,符洪涛,蔡袁强,等. 线性堆载下软黏土一维电渗固结理论与试验分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2014, 33(1): 179-188. DOI:10.13722/j.cnki.jrme.2014.01.025]
[12]
Gray H. Simultaneous consolidation of contiguous layers of unlike compressible soils[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineering, 1945, 110: 1327-1356.
[13]
Schiffman R L,Stein J R. One-dimensional consolidation of layered systems[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, 1970, 96(4): 1499-1504. DOI:10.1061/jsfeaq.0001453
[14]
Luan Maotian,Qian Lingxi. One-dimension consolidation analysis of layered saturated soils[J]. Rock and Soil Mechanics, 1992, 13(4): 45-56. [栾茂田,钱令希. 层状饱和土体一维固结分析[J]. 岩土力学, 1992, 13(4): 45-56.]
[15]
Lee P K K,Xie Kanghe,Cheung Y K. A study on one-dimensional consolidation of layered systems[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1992, 16(11): 815-831. DOI:10.1002/nag.1610161104
[16]
Xie Kanghe. Theory of one dimensional consolidation of double-layered ground and its applications[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1994, 16(5): 24-35. [谢康和. 双层地基一维固结理论与应用[J]. 岩土工程学报, 1994, 16(5): 24-35. DOI:10.3321/j.issn:1000-4548.1994.05.004]
[17]
Xie Kanghe,Pan Qiuyuan. One-dimensional consolidation theory of arbitrary layers under time-dependent loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1995, 17(5): 80-85. [谢康和,潘秋元. 变荷载下任意层地基一维固结理论[J]. 岩土工程学报, 1995, 17(5): 80-85. DOI:10.3321/j.issn:1000-4548.1995.05.013]
[18]
Yang Jun,Cai Yuanqiang,Wu Shiming. One dimensional consolidation of double-layered ground under cyclic loading[J]. Journal of Zhejiang University (Natural Science), 1996, 30(3): 319-326. [杨峻,蔡袁强,吴世明. 循环荷载作用下双层地基的一维固结[J]. 浙江大学学报(自然科学版), 1996, 30(3): 319-326.]
[19]
Xie Kanghe,Xie Xinyu,Jiang Wen. A study on one-dimensional nonlinear consolidation of double-layered soil[J]. Computers and Geotechnics, 2002, 29(2): 151-168. DOI:10.1016/S0266-352X(01)00017-9
[20]
Jiang Liuhui,Li Chuanxun,Yang Yiqing,et al. Approximate analytical solutions for one-dimensional nonlinear consolidation of double-layered soil under time-dependent loading[J]. Rock and Soil Mechanics, 2020, 41(5): 1583-1590. [江留慧,李传勋,杨怡青,等. 变荷载下双层地基一维非线性固结近似解析解[J]. 岩土力学, 2020, 41(5): 1583-1590. DOI:10.16285/j.rsm.2019.1334]
[21]
Li Chuanxun,Xie Kanghe,Hu Anfeng,et al. One-dimensional consolidation of double-layered soil with non-Darcian flow described by exponent and threshold gradient[J]. Journal of Central South University, 2012, 19(2): 562-571. DOI:10.1007/s11771-012-1040-3
[22]
Li Chuanxun,Xie Kanghe,Lu Mengmeng,et al. Analysis of one-dimensional consolidation of double-layered soil with exponential flow considering time-dependent loading[J]. Rock and Soil Mechanics, 2012, 33(5): 1565-1571. [李传勋,谢康和,卢萌盟,等. 变荷载下基于指数渗流双层地基一维固结分析[J]. 岩土力学, 2012, 33(5): 1565-1571. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2012.05.044]
[23]
Li Chuanxun,Dong Xingquan,Jin Dandan,et al. Large-strain nonlinear consolidation of double-layered soft clay with threshold gradient[J]. Rock and Soil Mechanics, 2018, 39(5): 1877-1884. [李传勋,董兴泉,金丹丹,等. 考虑起始坡降双层地基的大应变非线性固结[J]. 岩土力学, 2018, 39(5): 1877-1884. DOI:10.16285/j.rsm.2016.1467]
[24]
Zhao Xudong,Liu Yang,Gong Wenhui. Analytical solution for one-dimensional electro-osmotic consolidation of double-layered system[J]. Computers and Geotechnics, 2020, 122: 103496. DOI:10.1016/j.compgeo.2020.103496
[25]
Mitchell J K. Conduction phenomena:From theory to geotechnical practice[J]. Géotechnique, 1991, 41(3): 299-340. DOI:10.1680/geot.1991.41.3.299
[26]
Yuan J,Hicks M A. Large deformation elastic electro-osmosis consolidation of clays[J]. Computers and Geotechnics, 2013, 54: 60-68. DOI:10.1016/j.compgeo.2013.05.012
[27]
Wang Liujiang,Wang Yaoming,Liu Sihong,et al. Analytical solution for one-dimensional vertical electro-osmotic drainage under unsaturated conditions[J]. Computers and Geotechnics, 2019, 105: 27-36. DOI:10.1016/j.compgeo.2018.09.011
[28]
Liu Feiyu,Zhang Le,Wang Jun,et al. Experimental study on electro-osmosic consolidation of soft clay under preloading and variable voltage[J]. Journal of Shanghai University (Natural Science Edition), 2014, 20(2): 228-238. [刘飞禹,张乐,王军,等. 外荷载变电压作用下软黏土电渗固结试验研究[J]. 上海大学学报(自然科学版), 2014, 20(2): 228-238. DOI:10.3969/j.issn.1007-2861.2014.02.012]
[29]
Davis E H,Raymond G P. A non-linear theory of consolidation[J]. Géotechnique, 1965, 15(2): 161-173. DOI:10.1680/geot.1965.15.2.161
[30]
Zong Mengfan,Wu Wenbing,Mei Guoxiong,et al. An analytical solution for one-dimensional nonlinear consolidation of soils with continuous drainage boundary[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2018, 37(12): 2829-2838. [宗梦繁,吴文兵,梅国雄,等. 连续排水边界条件下土体一维非线性固结解析解[J]. 岩石力学与工程学报, 2018, 37(12): 2829-2838. DOI:10.13722/j.cnki.jrme.2018.0602]