水资源是人类生存和社会经济可持续发展的基础和重要支持条件，其利用方式、开发程度、保护与效益等均与人口、经济、社会与环境产生紧密联系^[1]。受气候变化及人类活动的影响，水资源短缺、水环境恶化已经成为全球性问题^[2]。水资源管理、水安全评估等水科学课题逐渐受到研究者们的重视。研究领域包括水资源的可再生能力^[3]、脆弱性^[4]、承载力与适应性^[5]、水足迹^[6]和承载力的模糊性^[7]等诸多方面。其中，水资源承载力是核心问题之一。中国人均水资源量少，水资源短缺形势严峻，水资源已经成为制约可持续发展的重要因素^[8-9]。因此，开展水资源承载力的评价研究，对水资源与社会经济、生态环境的协调发展具有十分重要的意义。

目前，已有许多学者采用不同方法构建了水资源承载力评价模型，主要有综合评价法^[10]、主成分分析法^[11-12]、理想点法^[13-14]和多目标决策法^[15-16]等。水资源系统作为一个复杂的系统，具有较大的不确定性，模糊性和动态性共存。为更好地处理评价指标与评价标准之间的不确定性，集对分析方法被引入水资源承载状态评价中。王文圣等^[17]基于三元联系数对东莞市不同水平年和关中平原不同地区的水资源承载状态进行了评价；王红瑞等^[18]引入偏联系数概念，从微观角度分析水资源承载力发展趋势；叶飞等^[19]在综合分析水资源承载力与水资源–社会经济–生态环境系统相互关系的基础上，从支撑力、压力、调控力等3个子系统的角度出发，建立合肥市水资源承载力评价指标体系，运用集对分析联系数评价模型对合肥市2011—2016年水资源承载力进行综合评价。

水资源承载力集对评价法的常见思路是计算三元联系度，设定阈值，通过比较同异分量之和与阈值的大小进行等级评判。阈值设定带有一定的主观性，其大小往往决定了评价的结果；此外，联系数评价法仅考虑3个联系度分量的大小，对三者之间的动态性考虑不足。鉴于此，本文以联系分量的动态演化为主线，结合集对分析态势分析法和偏联系数方法构建了一种新的水资源承载力评价模型，并对合肥市2009—2018年水资源承载力进行了评价，可为水资源承载力状态及发展态势分析提供支持。

1 基本概念 1.1 集对联系数

集对分析方法由中国学者赵克勤^[20]于1989年首次提出，常用以处理系统的不确定性问题。通过建立与规则或等级之间的联系数来评价所研究的系统，对不确定问题进行定性和定量分析，能够使评价结果更加客观。

联系数的一般表达式为：

$ u=a+bI+cJ $

(1)

式中： $ a $ 、 $b $ 、 $c $ 之和为1，且均在[0,1]区间上取值，分别代表同一度、差异度和对立度；I和J分别表示差异度系数和对立度系数。

在联系数方法中，往往设定评价等级为3级，则分量a、b、c分别表示等级1、等级2和等级3的表征值。例如，在水资源承载力评价中，等级1表示水资源承载力可载，等级2表示水资源承载力一般或达到临界，等级3表示水资源承载力超载。

1.2 集对势

集对势用来反映两个集合间同异反的联系程度。当联系数 $u = a + bI + cJ$ 中 $c \ne 0$ 时，同一度 $a$ 与对立度 $c$ 的比值为研究集在指定条件下的集对势，记为 $shi(u) = $ $ a/c$ 。

当 $a > c$ 时，所论两集合在同异反联系中趋于同一，称作同势；当 $a < c$ 时，称作反势；当 $a{\rm{ = }}c$ 时，同一趋势与对立相当，称作均势。利用集对势可以把系统的发展态势通过大小关系进行排序。

当集对势处于同势区时，意味着系统具有同一趋势，即具有向“等级1”趋近的态势；处于均势区时，意味着系统呈现为“势均力敌”的状态，即在“等级2”附近波动；处于反势区时，意味着系统存在对立趋势，即具有向“等级3”趋近的态势。

1.3 偏联系数

偏联系数是联系数的一种伴随函数，基于不确定性和运动发展观点，揭示了同异反分量的动态演化规律，是系统状态–趋势分析法的重要数学工具^[21-22]。

设有三元联系数 $u = a + bI + cJ$ ，则u的1阶偏正联系数为：

${\partial ^ + }u = {\partial ^ + }a + {\partial ^ + }b I = \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}}I$

(2)

则u的1阶偏负联系数为：

$ {\partial ^ - }u = {\partial ^ - }bI + {\partial ^ - }cJ = \frac{b}{{a + b}}I + \frac{c}{{b + c}}J $

(3)

式（2）～（3）中， ${\partial ^ + }a$ 为从 $b$ 层次向 $a$ 层次的正向演化率， ${\partial ^ + }b$ 为从 $c$ 层次向 $b$ 层次的正向演化率， ${\partial ^ - }b$ 为从 $a$ 层次向 $b$ 层次的负向演化率， ${\partial ^ - }c$ 为从 $b$ 层次向 $c$ 层次的负向演化率。

为解决1阶偏联系数中 $I$ 的取值问题，对1阶偏联系数进行进一步分析，可以得到2阶偏正联系数和2阶偏负联系数。

对于联系数 $u = a + bI + cJ$ ，对1阶偏正联系度再求一次偏正演化计算，其演化率为 $u$ 的2阶偏正联系度，记为 ${\partial ^{2 + }}u$ ，即：

$ {\partial ^{2 + }}u = {{\frac{a}{{a + b}}}\bigg/{\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}}} \right)}} $

(4)

式中， ${{\dfrac{a}{{a + b}}}\bigg/{\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}}} \right)}}$ 反映了 $c$ 层次向 $a$ 层次的正向演化率，即 ${\partial ^{2 + }}a$ 。

对1阶偏负联系度再求一次偏负演化计算，其演化率为 $u$ 的2阶偏负联系度，记为 ${\partial ^{2 - }}u$ ，即：

${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial ^{2 - }}u = \left( {{{\frac{c}{{b + c}}}\bigg/{\left( {\frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{b + c}}} \right)}}} \right)J$

(5)

式中， ${{\dfrac{c}{{b + c}}}\bigg/{\left( {\dfrac{b}{{a + b}} + \dfrac{c}{{b + c}}} \right)}}$ 反映了 $a$ 层次向 $c$ 层次的负向演化率，即 ${\partial ^{2 - }}c$ 。

偏联系数原理表明，联系分量的运动决定其系统结构在微观层次上的演化趋势，该演化趋势与联系分量在宏观层次上的演化态势可能相同，可能相异，可能相反。

2 模型构建 2.1 模型原理

根据集对分析与1阶偏联系数的基本原理，在联系数 $u = a + bI + cJ$ 中： $a$ 为同一分量，完全处于正层次，表示支持“等级1”的信息分量； $b$ 为差异分量，表示支持“等级2”的信息分量，同时分量 $b$ 中存在部分向正层次的演化（支持等级1）和部分向负层次的演化（支持等级3）； $c$ 为对立分量，表示支持“等级3”的信息分量，完全处于负的层次。如果考虑2阶深度演化，则同一分量 $a$ 也存在一定程度的对“等级3”的支持；反之，分量 $c$ 对“等级1”也起到一定的支持作用。

根据信息分量的大小，结合态势分析法研究系统的态势及程度，利用偏联系数方法刻画评价等级1、2、3的支持度，进而利用支持度最大原则确定等级；综合考虑系统态势及其程度、偏联系数法确定的等级对系统进行状态及发展趋势评价。

2.2 模型步骤 2.2.1 计算评价联系度

基于集对分析原理计算研究对象的三元联系数^[19]，具体步骤如下：

步骤1 根据评价等级标准，利用式（6）～（8）计算样本值 ${x_{ij}}$ 的三元联系度。负向指标的三元联系数( $u_{ij1} $ 、 $u_{ij2} $ 、 $u_{ij3} $ )计算公式如下：

${u_{ij1}} = \left\{\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} 1{,{x_{ij}} \le {s_{1j}}};\\ {1 - 2\dfrac{{{x_{ij}} - {s_{1j}}}}{{{s_{2j}} - {s_{1j}}}}}\;\;{,{s_{1j}} < {x_{ij}} \le {s_{2j}}};\\ { - 1}{,{x_{ij}} > {s_{2j}}} \end{array}} \right.$

(6)

${u_{ij2}} = \left\{\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {1 - 2\dfrac{{{s_{1j}} - {x_{ij}}}}{{{s_{1j}} - {s_{0j}}}} ,\;{x_{ij}} \le {s_{1j}}} ;\\ {1 ,\;{s_{1j}} < {x_{ij}} \le {s_{2j}}}; \\ {1 - 2\dfrac{{{x_{ij}} - {s_{2j}}}}{{{s_{3j}} - {s_{2j}}}} ,\;{s_{2j}} < {x_{ij}} \le {s_{3j}}}; \\ { - 1 ,\;{x_{ij}} > {s_{3j}}} \end{array}} \right.$

(7)

${u_{ij3}} = \left\{\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1,\;{x_{ij}} \le {s_{1j}}};\\ {1 - 2\dfrac{{{s_{2j}} - {x_{ij}}}}{{{s_{2j}} - {s_{1j}}}},\;{s_{1j}} < {x_{ij}} \le {s_{2j}}};\\ {1,\;{x_{ij}} > {s_{2j}}} \end{array}} \right.$

(8)

式（6）～（8）中： ${s_{1j}} {\text{～}}{s_{3j}}$ 分别为1～3级评价标准的临界值； $ {s}_{0j} $ 为评价标准两侧另一个较远的临界值； $i = 1,2, \cdots ,m;j = 1,2, \cdots, n$ 。对于正向指标，只需将式（6）～（8）右端 $ {x}_{ij} $ 区间号反向，其余不变。

步骤2 利用式（9）～（10）计算等级k=1，2，3的隶属度：

$v_{ijk}^ * = 0.5 + 0.5{u_{ijk}}$

(9)

${v_{ijk}} = v_{ijk}^ */\sum\limits_{k = 1}^3 {v_{ijk}^ * } $

(10)

则单指标值联系数 ${u_{ij}}$ 为：

${u_{ij}} = {v_{ij1}} + {v_{ij2}}I + {v_{ij3}}J$

(11)

步骤3 由式（12）得到样本 $i$ 的评价指标值联系数 ${u_i}(i = 1,2, \cdots, m)$ ：

$\begin{aligned}[b] {u_i} =& {v_{i1}} + {v_{i2}}I + {v_{i3}}J= \\ &\sum\limits_{j = 1}^n {{\omega _j}{v_{ij1}}} {\rm{ + }}\sum\limits_{j = 1}^n {{\omega _j}{v_{ij2}}} I + \sum\limits_{j = 1}^n {{\omega _j}{v_{ij3}}} J \end{aligned} $

(12)

式中， ${\omega _j}$ 为第 $j$ 个评价指标的权重。

2.2.2 计算集对势特征值

由于集对势的计算方法为 $a/c$ ，其结果以1为分界点，两侧分别为反势区和同势区，但态势值的可能取值范围为 $[0, + \infty )$ ，故不易与评价等级值之间建立对应关系。金菊良等^[23]提出减法集对势，将取值区间转化到 $[ - 1,1]$ 上，有效地提升了应用效果。

在水资源承载力评价过程中，等级的数值化表示一般采用数字1、2、3，因此，在已有研究基础上，结合评价问题实际，将态势值与等级值建立对应关系如下：设等级1、2、3对应的特征值分别为1、2、3，则定义联系数 $u = a + bI + cJ$ 的集对势特征值(set pair potential-eigenvalue，SE)为：

${\rm{SE}} = a + 2b + 3c$

(13)

三元联系数的集对势特征值在闭区间 $[1,3]$ 取值，能够反映系统的态势情况，同时可以有效反映等级范围，具体见表1。

2.2.3 偏联系数法定级

根据第2.1节模型原理，以等级1为例，若只考虑信息分量的1阶演化情况，则分量 $a$ 对于等级1起到了绝对的支持作用，支持率记为1；分量b存在着向层次 $a$ 的演化，因此需考虑分量b对等级1的支持作用。 ${\partial ^ + }a$ 反映了层次b向层次 $a$ 的演化率，即分量b对等级1的支持率。分量c对等级1起到了绝对的对立作用，支持率记为0。

记三元评价联系数为向量 ${{U}}=(a,b,c)$ ，其对各等级的1阶支持率矩阵为：

${{R}}' = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\partial ^ - }b}&0 \\ {{\partial ^ + }a}&1&{{\partial ^ - }c} \\ 0&{{\partial ^ + }b}&1 \end{array}} \!\!\!\!\right]$

(14)

则各等级的1阶支持度向量 ${{S}}' $ 为：

$ {{S}}' = {{U}} \cdot {{R}}' = ({S\!_1'},{S\!_2'},{S\!_3'}) $

(15)

比较 ${S'_1}$ 、 ${S'_2} $ 、 ${S'_3} $ 的大小，根据支持度最大原则确定等级。

在以上过程中，模型仅考虑了1阶偏联系数对评价等级的支持作用，即认为信息分量仅存在“同–异”和“异–反”这两个邻级之间的演化。而事实上，同和反之间也存在着深层的2阶演化，其演化率同样对评价结果的判定起到了一定的指导作用。

根据式（4）～（5）及第2.1节的分析，2阶偏正联系数 ${\partial ^{2 + }}a$ 表示反分量向正分量的演化率，同时反映了评价过程中对立分量对“等级1”的支持作用；相反，2阶偏负联系数 ${\partial ^{2 - }}c$ 表示正分量向反分量的演化率，同时反映了评价过程中同一分量对“等级3”的支持作用。基于此，对式（14）进行扩展，即可得等级判定的2阶支持率矩阵为：

${{R}}'' = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\partial ^ - }b}&{{\partial ^{2 - }}c} \\ {{\partial ^ + }a}&1&{{\partial ^ - }c} \\ {{\partial ^{2 + }}a}&{{\partial ^ + }b}&1 \end{array}}\!\!\!\! \right]$

(16)

则各等级的2阶支持度向量 ${{S}}'' $ 为：

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{S}}'' = {{U}} \cdot {{R}}'' = ({S''_1},{S''_2},{S''_3}) $

(17)

比较 ${S''_1}$ 、 ${S''_2} $ 、 ${S''_3} $ 的大小，根据支持度最大原则再次确定等级。融合2阶信息演化，即考虑2阶偏联系数的作用之后，可对研究对象的深度演化态势及等级发展进行进一步分析。

综上，本文构建模型的实施步骤可归纳为：1）明确研究对象和评价目标；2）确定指标体系及其等级标准；3）结合样本数据计算三元联系数；4）计算集对势特征值以定量描述等级范围；5）利用偏联系数方法判定等级；6）综合考虑4）和5）的结果，对水资源承载力进行评价与分析。

3 案例应用 3.1 研究区与指标体系

合肥市位于安徽省中部，总面积11 445 km²，东南与巢湖地区相连，东北与滁州相邻，西部与六安交界，北接淮南。合肥市水资源较丰富，年均降水量1 000 mm，径流深超过300 mm。近年来，合肥市城区面积不断扩大，社会经济状况保持较高的增长速度。合肥市水资源量变化较大，对合肥市水资源承载力进行研究对于该市水资源安全与可持续发展有着重要的意义。

研究的所有数据均来源于《合肥市水资源公报（2009—2018年）》和《安徽省统计年鉴（2010—2019年）》等综合规划成果。参照以往研究^[19]，结合问题实际，设定合肥市水资源承载力评价指标体系及其等级标准取值范围见表2。

3.2 结果与讨论

计算三元联系度及其集对势特征值，判定态势等级，结果见表3。根据偏联系数方法计算各等级的决策支持度并判定等级，结果见表4。利用1阶和2阶偏联系数法得到的合肥市2009—2018年水资源承载力等级支持度演化趋势，见图1。根据集对势特征值与偏联系数法判定的等级结果见图2。

由图1可知，合肥市2009—2018年水资源承载力指标数据对等级2的支持度一直保持最高，表明承载力水平相对比较稳定，一直处在2级临界水平。根据等级1和等级3的支持度演化曲线可以看出：等级3的支持度虽然一直高于等级1，但呈现逐年下降的态势；相反，等级1的支持度则逐年提升，在2018年已经接近等级3，表明合肥市水资源承载力处在良性的稳定发展之中。

由图2可知：合肥市2009—2018年水资源承载力水平一直处于第2等级，处于超载与不超载之间的临界状态，即水资源开发利用已经达到一定的规模，但仍有小部分空间可以开发；从集对势特征值曲线来看，基本处于逐年提升的态势，2009—2013年基本处在偏负2级，2014年以后进入准2级。

稳中有升的态势与合肥市近年来自然条件和用水政策、治水方略是分不开的。一方面，近年来合肥市的降雨量较多、人均水资源量显著增加使得水资源系统对承载客体的支撑能力有所提高；另一方面，工业用水量占比连年降低、生态环境补水量逐步受到重视连续增长等用水结构的调整使得经济社会系统对水资源系统的承载压力有所降低。

利用集对分析联系数的置信度准则评判方法^[19]，分别在设定置信度λ=0.5和0.6时进行等级评判，进而与本文构建的方法进行结果对比，见图3。

根据图3可知：在设定置信度λ=0.5时，集对联系数阈值法与本文构建的结果一致；若取λ=0.6，则2009年的水资源承载力水平降低为3级，表明2009年的水资源承载力稍弱于其他年份。计算集对势特征值与偏联系数法确定等级值的差值，用以反映水资源承载力水平的动态演化值，结果见图4。

由图4可知，虽然本文利用偏联系数方法将2009年的水资源承载力水平判定为2级，但结合集对势特征值发现，该年度的水资源承载力向3级发展的态势最为严重（0.375）。在上述阈值从0.5调整到0.6的过程中，2009年最先跨越等级边界，转化到3级水平。这意味着，如果阈值继续放大，2011年则紧随其后转变为3级，因此阈值法评判结果较大程度上依赖于阈值设定，主观性较突出。综上所述，本文构建的水资源承载力综合评价模型与前人研究结果基本一致，证明了模型的可行性和有效性。此外，该模型实现了对评价联系度分量动态演化及评价结果随阈值的改变程度的量化表达，同时可以有效地降低人为设定阈值的主观性。

4 结　论

结合集对分析理论中的态势分析法与偏联系数方法构建了一种融合信息演化的水资源承载力模型，并与置信度阈值判别法进行应用对比分析。应用研究结果表明：合肥市2009—2018年的水资源承载力一直处在临界水平，但呈现逐年提升的态势，与以往研究基本一致，较好地克服了信息演化考虑不足和阈值设置主观性较强的问题，为客观评价水资源承载力水平提供了一种思路与方法。本文所建立的模型是具有较好的可拓展性，可从3个等级推广至任意有限个等级，同时可应用于其他系统评价与态势分析问题之中，具有较为广泛的实际意义。