2021, Vol. 53引用本文 |
2. 华北理工大学 机械工程学院，河北 唐山 063210
2. College of Mechanical Eng., North China Univ. of Sci. and Technol., Tangshan 063210, China
平面六杆机构可以实现丰富的连杆轨迹，与四杆机构相比，其具有运动所占空间小、便于实现停歇运动、易于取得有利传动角、可实现多重运动等优势[1]，但其尺寸参数较多，运动要求多样而复杂，尺度综合设计较为困难。目前，求解该问题的方法主要有图谱法[2-3]、优化法[4-7]、精确点法[8-11]等。其中：图谱法、优化法虽然能够完成平面六杆机构轨迹综合问题，但由于平面六杆机构尺寸参数较多，解域空间大，建立完备的数值图谱库和给定合理优化初值难度较大，使用这些方法进行机构综合有时难以得到精确的最优结果；精确点法通过建立约束方程，求解得到机构尺度参数，虽然可以得到较为精确的综合结果，但受机构未知参数个数的限制，无法实现多点位连续轨迹综合。
作者针对Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构，提出一种基于傅氏级数的连续轨迹综合的代数求解方法。与原有方法相比，该方法通过方程求解得到机构设计参数，其解的精度高，完备性强，且不需要提供优化的初值，也无需事先建立图谱库。有效扩大了代数法的适用范围，提高了连杆机构近似运动综合的求解精度和速度。
1 连杆曲线的傅氏级数表示图1为Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构示意图。机构各杆长尺寸分别为
 |
| 图1 Stephenson-Ⅲ六杆机构轨迹生成图 Fig. 1 Illustration of a planner Stephenson-Ⅲ six-bar linkage |
Stephenson-Ⅲ平面六杆机构为多环组合机构，其可以看作在四杆机构ABCD上串联了一个二杆组EFG。其浮动杆Ⅰ上的E点产生轨迹曲线即为四杆机构ABCD的连杆曲线，浮动杆Ⅱ上的P点可以产生更为复杂的连杆曲线。
由文献[3]可知：当曲柄AB以
| ${r_E}(t) = {x_{\rm{1}}}(t) + {\rm{i}}{y_{\rm{1}}}(t) = \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{c_n}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}} $ | (1-1) |
| ${r_{{P}}}(t) = {x_{\rm{2}}}(t) + {\rm{i}}{y_{\rm{2}}}(t) = \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{b_n}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}} $ | (1-2) |
同理，连杆转角函数
| ${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _1}}}(t) = x_{\rm{1}}'(t) + {\rm{i}}y_1'(t) = \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{c}}_n'{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}} $ | (2-1) |
| ${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{e}}^{{\rm{i}}\rho }}(t) = x_{\rm{2}}'(t) + {\rm{i}}y_2'(t) = \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {b_n'{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}} $ | (2-2) |
式（1）～（4）中：
| ${c_n} =\frac{1}{T} \int_0^T {({x_{\rm{1}}}(t) + {\rm{i}}{y_{\rm{1}}}(t)){{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\omega t}}{\rm{d}}t} $ | (3-1) |
| ${b_n} =\frac{1}{T} \int_0^T {({x_{\rm{2}}}(t) + {\rm{i}}{y_{\rm{2}}}(t)){{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\omega t}}{\rm{d}}t} $ | (3-2) |
| $c_n' =\frac{1}{T} \int_0^T {(x_{\rm{1}}'(t) + {\rm{i}}y_1'(t)){{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\omega t}}{\rm{d}}t} $ | (3-3) |
| $b_n' =\frac{1}{T} \int_0^T {(x_{\rm{2}}'(t) + {\rm{i}}y_2'(t)){{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\omega t}}{\rm{d}}t} $ | (3-4) |
平面六杆机构的连杆曲线为复杂高次曲线，有时难以用显函数表达，更多的时候要用一系列的离散点表示，因此，
| ${c_n} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {({x_{1m}}(t) + {\rm{i}}{y_{1m}}(t))[\cos (n m \omega ) + {\rm{i}}\sin(n m \omega )]} $ | (4-1) |
| ${c_n'} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {(x_{1m}'(t) + {\rm{i}}y_{1m}'(t))[\cos(n m \omega ) + {\rm{i}}\sin(n m \omega )]} $ | (4-2) |
| ${b_n} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {({x_{2m}}(t) + {\rm{i}}{y_{2m}}(t))[\cos (n m \omega ) + {\rm{i}}\sin (n m \omega )]} $ | (4-3) |
| ${b_n'} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {(x_{2m}'(t) + {\rm{i}}y_{2m}'(t))[\cos (n m \omega ) + {\rm{i}}\sin (n m \omega )]} $ | (4-4) |
式中：
由文献[12-14]的研究结论可知，傅氏级数展开的谐波参数
| $c_n' = \frac{{{c_n}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}(\beta + {\alpha _2})}}}}{{{l_{21}}}};n \ne {\rm{0}}{\text{,}}{\rm{1}}$ | (5-3) |
| $c_0' = \frac{{({c_0} - r{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\mu }}){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}(\beta + {\alpha _2})}}}}{{{l_{21}}}}$ | (5-1) |
| $c_1' = \frac{{({c_1} - {l_1}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\varphi _{\rm{0}}}}}){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}(\beta + {\alpha _2})}}}}{{{l_{21}}}}$ | (5-2) |
由图1可以发现，完成Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构的轨迹综合，需要确定包括初始相位角在内的15个独立设计变量：
如果以E点轨迹为综合目标，机构左侧四杆机构ABCD的综合过程可以完全等效为1个平面四杆机构轨迹综合问题。作者在文献[12-14]中已建立了基于傅氏级数的平面四杆机构轨迹综合的代数方法，提出了该机构轨迹综合设计变量计算的通用公式。应用该通式可以计算得到左侧四杆机构的10个设计变量，
| $\begin{aligned}[b] &\;\;\;\;\;r = \pm \sqrt {ls} ,\mu = - {\rm{i}}\ln \frac{s}{r},{l_1} = \pm \sqrt {uv}, {l_2} = \pm \sqrt {xy} ,{l_{21}} = w,\\ &{l_4} = {\textit{z}},{l_{61}} = \pm \sqrt {fg} ,{\varphi _{\rm{0}}} = - {\rm{i}}\ln \frac{\mu }{{{l_1}}} ,{\alpha _{\rm{2}}} = - {\rm{i}}\ln \frac{x}{{{l_2}}},\beta = - {\rm{i}}\ln \frac{f}{{{l_{61}}}}{\text{。}} \\ \end{aligned} $ |
其中：
在得到左侧四杆机构各设计变量的基础上，如图1所示，应用矢量分析法，建立含有未知设计变量
| ${{{l}}_1} + {{{l}}_{21}} + {{{l}}_3} = {{{l}}_6} + {{{l}}_5}$ | (6) |
方程（16）的复数矢量形式为：
| $ {\;\;\;\;\;\;\;l_1}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}(\varphi + {\varphi _{\rm{0}}} + \beta )}} + {l_{21}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}({\alpha _2} + {\theta _{\rm{1}}} + \beta )}} + {l_3}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{\rm{2}}}}} - {l_6}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}({\alpha _1} + \beta )}} \\ = {l_5}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\phi _{\rm{2}}}}} $ | (7) |
取式（17）的共轭可得：
| $ {l_1}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}(\varphi + {\varphi _{\rm{0}}} + \beta )}} + {l_{21}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}({\alpha _2} + {\theta _{\rm{1}}} + \beta )}} + {l_3}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _{\rm{2}}}}} - {l_6}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}({\alpha _1} + \beta )}} \\ = {l_5}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\phi _{\rm{2}}}}} $ | (8) |
如图1分析可知，机构连杆转角函数
| ${{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{\rm{2}}}}} = {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\alpha _3}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\rho }}$ | (9) |
将式（17）和（18）相乘并将式（19）代入，化简可得：
| $\begin{aligned}[b] {\;\;\;\;uv} +& hk + cd + ab - {o^2} + {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\rho }}uc + {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi }}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\rho }}vd- \\ & {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}ud - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi }}va - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\rho }}bd - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\rho }}ac + {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _{\rm{1}}}}}uk+ \\ & {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi }}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{\rm{1}}}}}vh + {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\rho }}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _{\rm{1}}}}}dk + {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\rho }}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{\rm{1}}}}}ch - {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _{\rm{1}}}}}ak- \\ & {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{\rm{1}}}}}bh = 0 \end{aligned} $ | (10) |
式中：
由式（3）、（4）可知，
| $\begin{aligned}[b] {H_{{\rm{ - 4}}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{4}}{\rm{i}}\varphi }} + &{H_{{\rm{ - 3}}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{3}}{\rm{i}}\varphi }} + {H_{{\rm{ - 2}}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}{\rm{i}}\varphi }} + {H_{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi }} + {H_{\rm{0}}} + \\ {H_{\rm{1}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }} +& {H_{\rm{2}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}\varphi }} + {H_{\rm{3}}}{{\rm{e}}^{3{\rm{i}}\varphi }} + {H_{\rm{4}}}{{\rm{e}}^{4{\rm{i}}\varphi }} = 0 \end{aligned} $ | (11) |
式中：
其中：
分析式（21）发现，在表达式Hi（
如下方程：
| $\begin{aligned}[b] - & ad{J_5} + cu{J_6} - ah{J_7} + ku{J_9} + dv{J_{11}} - bc{J_{12}}+ \\ & hv{J_{13}} + hc{J_{14}} + dk{J_{15}} - bk{J_{21}}{\rm{ = 0}} \end{aligned} $ | (12-1) |
| $ \begin{aligned}[b] -& bc{{\overline J_5}} + vd{{\overline J_6}} - bk{{\overline J_7}} + hv{{\overline J_9}} + cu{{\overline J_{11}}} - ad{{\overline J_{12}}}+ \\ & ku{{\overline J_{13}}} + kd{{\overline J_{14}}} + hc{{\overline J_{15}}} - ah{{\overline J_{21}}} {\rm{ = 0}} \end{aligned} $ | (12-2) |
| $ \begin{aligned}[b] -& bv - ad{J_{11}} + cu{J_{12}} - ah{J_{13}} + vd{J_{16}} - bc{J_{17}}+ \\ & hv{J_{18}} + hc{J_{19}} - bk{J_{20}} + ku{J_{21}} + kd{J_{22}}{\rm{ = 0}} \end{aligned} $ | (12-3) |
| $\begin{aligned}[b] -& au - bc{{\overline J_{11}}} + vd{{\overline J_{12}}} - bk{{\overline J_{13}}} + cu{{\overline J_{16}}} - ad{{\overline J_{17}}} + \\ & ku{{\overline J_{18}}} + kd{{\overline J_{19}}} - ah{{\overline J_{20}}} + hv{{\overline J_{21}}} + hc{{\overline J_{22}}} {\rm{ = 0}} \end{aligned} $ | (12-4) |
| $\begin{aligned}[b] & ab + hk + uv + cd - {o^2} - ad{J_{16}} - bc{{\overline J_{16}}}+ \\ & vd{{\overline J_{17}}} + cu{J_{17}} - ah{J_{18}} - bk{{\overline J_{18}}} + hv{{\overline J_{20}}} +\\ & ku{J_{20}} + hc{J_{23}} + kd{{\overline J_{23}}} {\rm{ = 0}} \end{aligned} $ | (12-5) |
方程（22）～（26）即求解右侧二杆组设计变量的综合方程，其中u、v、h、k为含有设计参数的已知变量，a、b、c、d、o为含有设计参数的未知变量，
| ${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k_{\rm{4}}}{a^4} + {k_{\rm{3}}}{a^3} + {k_{\rm{2}}}{a^2} + {k_{\rm{1}}}a + {k_{\rm{0}}} = 0$ | (13) |
式中，
| $\left\{ \begin{aligned}{l_6} =& \pm \sqrt {ab} ;\\ {l_3} = & \pm \sqrt {cd}; \\ {l_5} = & o; \\ {\alpha _{\rm{1}}} = & - {\rm{i}}\ln \frac{a}{{{l_8}}};\\ {\alpha _3} = & - {\rm{i}}\ln \frac{c}{{{l_3}}} - \beta \end{aligned} \right.$ | (28) |
分析方程求解过程可知
由文献[14]可知，左侧四杆机构的设计参数可以得到12组解，将其与右侧二杆组的设计参数得到的4组解进行组合，最终可以得到48组Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合设计参数。将综合所得机构代入仿真程序，进行运动分析，检验是否存在曲柄，有无分支、顺序问题，并依据综合误差，最终可得到最优综合结果。
3 综合步骤依据前面分析，可以建立Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合的代数求解方法，具体步骤如下：
1）将Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构拆分为四杆机构和二级杆组，根据E点的轨迹生成任务，利用式（5）得到连杆曲线的谐波参数
2）由E点和P点轨迹坐标，计算其对应点的转角
3）对所得48组综合结果进行运动仿真，检验其是否存在曲柄，有无分支问题、顺序问题，并依据综合误差，最终得到满足设计要求的Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构。
4 综合实例实例：综合Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构，使其E点和P点实现的两条面包形轨迹，目标轨迹的具体坐标值列于表1中。
| 表1 E、P点轨迹采样点的坐标值 Tab. 1 Coordinates of prescribed points of E and P |
 |
1）根据步骤2），得到平面四杆机构连杆曲线的谐波参数
| 表2 目标轨迹点的傅式级数展开的谐波参数 Tab. 2 Fourier coefficients of coordinates of prescribed points |
 |
2）利用式（5）计算得到
3）将左侧四杆机构与右侧二杆组的设计参数进行组合得到48组解。应用仿真程序对所得综合结果进行运动分析和检验，得到满足设计要求的一组机构参数为：
图2(a)、(b)分别为E、P两点目标轨迹与机构生成轨迹的比较。从图2中可以发现，该方法综合的机构能够较好地再现目标轨迹。
 |
| 图2 生成轨迹与目标轨迹点的比较 Fig. 2 Comparison between prescribed points and the corresponding generated path |
5 结 论
建立了一种基于傅氏级数的Stephenson-Ⅲ型平面六杆机构轨迹综合的代数求解新方法。与已有的综合方法相比，该方法克服了精确点数目的限制，无需给定初值和建立数值图谱库，不需要进行查找和迭代运算，具有计算速度快、求解精度高、可重复性强的优点；该方法可以同时提供多种综合结果，为设计者提供更多的选择。如果该方法所得结果的精度不能满足设计要求，可将其作为初值进行优化综合，进一步得到满足设计要求的结果。
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