工程科学与技术   2021, Vol. 53 Issue (1): 146-154
2–UPR&2–RPU冗余并联机构动力学与功耗分析
林光春, 廖勋宝, 赵荣宽, 陈世超     
四川大学 机械工程学院,四川 成都 610065
基金项目: 四川大学–泸州市政府战略合作项目(2017CDLZ–N10)
摘要: 提出一种新型2–UPR&2–RPU结构冗余并联机构,其具有2个转动以及1个移动(2R1T)自由度。运用螺旋理论分析机构的自由度及其运动特性,并利用修正的G–K公式验证分析的准确性,得出该机构含有1个冗余支链的结论。分析机构运动的约束条件,建立各支链的闭环矢量方程,求解得出机构的位置反解。基于符号运算的微分变换法对机构的速度和加速度进行分析,得到动平台速度雅可比矩阵和2阶影响系数矩阵,在此基础上进一步求解得出各支链的雅可比矩阵。运用虚功原理构建该机构的动力学模型,然后根据冗余并联机构驱动力配置方式不唯一的特点,采用驱动力二范数的优化方法推导得出驱动力和驱动功率方程。在此基础上,使用MATLAB对所构建的数学模型编写计算程序,并通过具体数值算例对所构建的运动学及动力学模型进行仿真。最后,为了验证所构建数学模型的正确性,在ADAMS中建立机构虚拟样机并进行相同条件的仿真,将该结果与MATLAB仿真结果进行对比,两者的仿真结果基本一致,表明所构建数学模型的正确性。仿真得出各杆驱动力的最大误差分别为0.091%、1.83%、1.04%、1.40%。研究结果表明,在给定的运动规律的条件下,机构没有产生刚性冲击,在运动的起点和终点处,会产生一定的柔性冲击,整个运动过程中各杆的驱动力变化平缓,驱动力二范数解所做的总功为1143.2 J。
关键词: 冗余并联机构    运动学    动力学    功耗    
Dynamics and Power Analysis of 2–UPR&2–RPU Redundant Parallel Mechanism
LIN Guangchun, LIAO Xunbao, ZHAO Rongkuan, CHEN Shichao     
School of Mechanical Eng., Sichuan Univ., Chengdu 610065, China
Abstract: A novel 2–UPR&2–RPU parallel mechanism with redundance structure was proposed, which has two rotations and one movement (2R1T) degree of freedom. Based on the screw theory, the degrees of freedom and motion characteristics of the mechanism were analyzed, and the correctness of the analysis was verified by the modified G–K formula. By analyzing the constraints of each branch, the reverse solutions of position was solved by establishing the closed-loop vector equations of each branch. The velocity and acceleration of the mechanism were analyzed by the differential transformation method based on symbolic operation, then the velocity Jacobian matrix and the second order influence coefficient matrixes were obtained. On the basis of this, the Jacobian matrix of each branch was also figured out. The dynamics model of the mechanism was constructed by using the virtual work principle based on the kinematics. For the character that the distribution of the active joints’ drive forces was not unique due to the redundant actuation, the driving force and driving power equation were obtained by the method of 2-norm of driving force. Based on this, a calculation program was written for the constructed mathematical model by using MATLAB, and the constructed kinematics and dynamics model were simulated through specific numerical examples. Finally, in order to verify the correctness of the mathematical model constructed, a virtual prototype of the mechanism was established in ADAMS and simulated under the same conditions. The results were compared with those of MATLAB. The simulation results of both were basically consistent, indicating the correctness of the established mathematical model and showing the max errors of driving force of each rod with 0.091%, 1.83%, 1.04%, 1.40%, respectively. The results showed that under the given motion law, the mechanism does not produce rigid impact. At the beginning and the end of the motion, a certain flexible impact will occur. The driving force of each driving rod changes smoothly during the entire movement, and the total work by the method of 2-norm of the driving force is 1 143.2 J.
Key words: redundant parallel mechanism    kinematics    dynamics    power consumption    

自 HUNT 1983 年提出3–RPS并联机构以来,少自由度并联机构已经应用于诸多领域,其中具有两转一移(2R1T)的3自由度并联机构极具应用价值[1-2]。冗余并联机构是输入构件数目多于输出构件自由度数的并联机构,相对于一般的并联机构,其具有更高的刚度、更优的力传递性能和更大的承载能力等优点。因此,具有2R1T 3自由度的冗余并联机构也是学者们研究的热点[3-7]

运动学及动力学分析是并联机构研究的基础。周结华等[8]对空间3自由度的4–SPS/S冗余驱动并联机构进行运动学分析;陈修龙等[9]提出一种4–UPS–RPU空间4自由度冗余并联机构,利用矢量法建立该机构位置反解、速度求解和加速度求解的运动学模型。并联机构的动力学模型可以通过 Lagrange 法、牛顿–欧拉法、虚功原理等方法进行构建[10-12]。牛雪梅等[13]运用最小二范数法对一种新型机构工作空间的非约束等效广义力到轴向驱动力进行优化。Lee等[14]采用驱动力二范数对冗余并联机构进行了能耗分析,结果表明冗余驱动能够明显地降低并联机构的功耗。周鑫等[15]基于全雅可比矩阵和伪逆法求解了5–UPS/PRPU冗余驱动并联机构的内力。董成林等[16]对含冗余驱动支链4–UPS&UP并联机构的运动学性能进行分析,并在相同条件下与3–UPS&UP并联机构进行对比,得到前者运动学性能优于后者的结论。胡小亮等[17]分别利用驱动力二范数与最小驱动总功率对机构驱动力和能耗进行优化,结果表明,冗余驱动能够明显地降低驱动器的瞬时驱动力以及机构运动过程的功耗。

作者提出了一种含有冗余支链的具有两转一移3自由度2–UPR&2–RPU新型冗余并联机构,结合机构的运动特性,运用螺旋理论进行机构的自由度分析,然后分别构建了该机构的运动学与动力学模型,通过驱动力二范数的优化方法推导出机构驱动力和驱动功率模型。最后,通过数值算例仿真得到2–UPR&2–RPU冗余并联机构运动周期内的驱动力及功耗。

1 机构模型描述与自由度分析 1.1 机构描述

图1 所示,2–UPR&2–RPU并联机构通过两个完全相同的UPR(虎克铰–移动副–转动副)支链以及两个RPU(转动副–移动副–虎克铰)支链与动平台相连接。在两条 UPR支链中,U副的第1个转轴共线,P副移动方向通过U副中心点并始终与U副的第2个转轴垂直,与动平台相连接的两个R副轴线方向平行。两条RPU支链中的R副转轴平行且与UPR支链中U副第1转轴共面,P副移动方向经过U副中心并始终与R副的转轴垂直,与动平台连接的U副第1转轴向方向与R副轴线平行,第2转轴通过动平台质心。

图1 2–UPR&2–RPU 并联机构 Fig. 1 2–UPR&2–RPU parallel mechanism

2–UPR&2–RPU并联机构的定/动坐标系如图2所示,对图2中的参数做如下说明:

图2 机构参数 Fig. 2 Parameters of mechanism

A1A3分别为两条UPR支链中的U副转动中心点,B1B3为其R副质心点,A2A4分别为两条RPU支链中R副的质心点,B2B4为其U副的转动中心点。

定坐标系 $O - xy{\textit{z}}$ 的原点OA1A3的中心点,x轴与OA2共线,y轴沿着OA1方向,则z轴由右手法则确定为垂直向下;动坐标系 $o - uvw$ 的原点o为动平台的质心,u指向点B2v沿着oB1方向,可确定w轴垂直动平台向下。其中, $|{{O}}{{{A}}_i}| = a$ $|{{O}}{{{B}}_i}| = b$ $i = {\rm{1,2,3,4}}$

1.2 自由度分析

应用螺旋理论对2–UPR&2–RPU并联机构的自由度进行分析。1个物体位姿的变化可以表示为沿某直线的移动和绕该直线转动的复合,通常将这种复合运动称为螺旋运动,而螺旋运动的无穷小量即为运动旋量。在进行机构运动特性分析时,U副可看成由两个轴线垂直且相交的转动副组成。

在初始位型下,动平台与定平台平行。在定坐标系中,定平台上点 ${A_i}$ i = 1,2,3,4)的坐标分别为 ${[{\rm{0}},a\,,{\rm{0}}]^{\rm{T}}}$ ${[a{\rm{,0,0}}]^{\rm{T}}}$ ${[{\rm{0}}, - a\,,{\rm{0}}]^{\rm{T}}}$ ${[ - a\,,0\,,0]^{\rm{T}}}$ ;动平台上点 ${B_i}$ i = 1,2,3,4)的坐标分别为 ${[{\rm{0}},b\,,\,{\textit{z}}]^{\rm{T}}}$ ${[b{\rm{,0,}}\,{\textit{z}}]^{\rm{T}}}$ ${[{\rm{0}}, - b ,{\textit{z}}]^{\rm{T}}}$ ${[ - b\,{\rm{,0,}}\,{\textit{z}}]^{\rm{T}}}$

根据螺旋理论,第Ⅰ条运动支链各运动副在定坐标系中的运动螺旋系为:

$\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {{{S}}_{11}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{0;\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \end{array}} \end{array}],\\ {{{S}}_{12}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0;\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - a} \end{array} \end{array}],\\ {{{S}}_{13}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0;\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{M_{13}}}&{{N_{13}}} \end{array} \end{array}],\\ {{{S}}_{14}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{0;\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\textit{z}}&{ - b} \end{array}} \end{array}] \end{array} \right.$ (1)

式中, ${L_{ij}}$ ${M_{ij}}$ ${N_{ij}}$ 表示第 $i$ 条支链中第 $j$ 个运动副轴线的方向余弦,下同。

对式(1)求反螺旋可得:

$\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {{S}}_{11}^r = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{0;\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \end{array}} \end{array}],\\ {{S}}_{12}^r = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{0;\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}} \end{array}] \end{array} \right.$ (2)

式(2)表明第Ⅰ条支链的约束螺旋 ${{S}}_{11}^r$ 为沿着y轴的约束力, ${{S}}_{12}^r$ 为垂直定平台的约束力偶(即无穷大节距力螺旋)。

第Ⅱ条运动支链各运动副在定坐标系中的运动螺旋系为:

$\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {{{S}}_{21}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{0\,;\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&a \end{array}} \end{array}],\\ {{{S}}_{22}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{0\,;\begin{array}{*{20}{c}} {{L_{22}}}&0&{{N_{22}}} \end{array}} \end{array}],\\ {{{S}}_{23}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{0\,;\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\textit{z}}&0 \end{array}} \end{array}],\\ {{{S}}_{24}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{0\,;\begin{array}{*{20}{c}} { - {\textit{z}}}&0&b \end{array}} \end{array}] \end{array} \right.$ (3)

对式(3)求反螺旋可得:

$\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {{S}}_{21}^r = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{0\,;\begin{array}{*{20}{c}} { - {\textit{z}}}&0&0 \end{array}} \end{array}],\\ {{S}}_{22}^r = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{0\,;\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}} \end{array}] \end{array} \right.$ (4)

式(4)表明:第Ⅱ条支链的约束螺旋 ${{S}}_{21}^r$ 为沿着U副转轴且平行于y轴的约束力; ${{S}}_{22}^r$ 为沿着z轴方向的偶力矢,其沿着z轴方向。

由于此机构是对称机构,故支链Ⅲ、Ⅳ的约束螺旋分别与支链Ⅰ、Ⅱ的约束螺旋相同,且4条运动支链的约束螺旋构成了动平台的约束螺旋系,并对其求反螺旋可得:

$\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {{S}}_{r1}^{{\rm{pm}}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\,;\;0&{\textit{z}}&0 \end{array}],\\ {{S}}_{r2}^{{\rm{pm}}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0\,;\;0&0&0 \end{array}],\\ {{S}}_{r3}^{{\rm{pm}}} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\,;\;0&0&1 \end{array}] \end{array} \right.$ (5)

式(5)表明2–UPR&2–RPU并联机构具有3个自由度,分别为沿着z轴方向的移动、绕u轴的转动以及绕y轴的转动。

下面利用修正的Grübler–Kutzbach公式对该机构的自由度进行计算,即:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;M = d(n - \rho - 1) + \sum\limits_{i = 1}^g {{f_i}} + \upsilon - \zeta $ (6)

式中, $d$ 为机构阶数, $n$ 为构件总数, $\;\rho $ 为运动副数目, ${f_i}$ 为第 $i$ 个运动副的自由度, $\upsilon $ 为冗余约束数, $\zeta $ 为局部自由度数。

对于图2所示的2–UPR&2–RPU并联机构,机构的每条支链都有1个z轴方向的约束力偶,所以该并联机构具有1个公约束,即 $\lambda = 1$ ,故 $d = 6 - \lambda = 5$ ;4个约束力和两个相互垂直的约束力对机构的作用效果是等效的,且注意到其中两个约束力是冗余的,即 $\upsilon = 2$ ;整个机构没有局部自由度, $\zeta = 0$ 。另外,该机构构件总数 $n = 10$ ,运动副数目 $\rho = 12$ ,机构运动副的总自由度数为16。因此,该并联机构的自由度 $M = 5 \times (10 - 12 - 1) + 16 + 2 - 0 = 3$ 。计算结果与上述分析一致,因此该机构属于含有一个冗余支链的并联机构。

2 机构运动学模型 2.1 位置逆解

2–UPR&2–RPU并联机构的位置逆解问题为已知机构的具体尺寸参数和动平台中心 $o$ 相对于定坐标系的位姿 $(x ,y ,{\textit{z}} ,\psi \, ,\theta \, ,\varphi )$ ,借助旋转矩阵确定机构各支链中驱动杆的杆长矢量 ${{{l}}_i}$

对于2–UPR&2–RPU并联机构,动坐标系相对于定坐标系的旋转矩阵可表示为:

$\begin{aligned}[b] {{R}} =& {\bf{rot}}({\textit{z}}\,,\,\varphi ){\bf{rot}}(y ,\,\theta ){\bf{rot}}(x ,\,\psi ) = \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\; \theta \cos\; \varphi }&{\sin\; \psi \sin\; \theta \cos\; \varphi - \cos\; \psi \sin\; \varphi }&{\cos\; \psi \sin\; \theta \cos\; \varphi + \sin\; \psi \sin\; \varphi }\\ {\cos\; \theta \sin\; \varphi }&{\sin\; \psi \sin\; \theta \sin\; \varphi + \cos\; \psi \cos\; \varphi }&{\cos\; \psi \sin\; \theta \sin\; \varphi - \sin\; \psi \cos\; \varphi }\\ { - \sin\; \theta }&{\sin\; \psi \cos\; \theta }&{\cos\; \psi \cos\; \theta } \end{array}} \right] \end{aligned}$ (7)

分支坐标系按照下面步骤建立:以各支链的 ${B_i}$ 为原点, ${{\textit{z}}_i}$ 沿着 ${{{B}}_i}{{{A}}_i}$ 方向。对于UPR支链, ${x_i}$ 轴沿着定坐标系的x轴的正方向, ${y_i}$ 轴通过 ${{\textit{z}}_i}$ 轴与 ${x_i}$ 轴的矢量积得到;对于RPU支链, ${y_i}$ 轴沿着定坐标系的y轴的正方向, ${x_i}$ 轴则通过 ${y_i}$ 轴与 ${{\textit{z}}_i}$ 轴的矢量积求得。

分支坐标系可由定坐标系先绕x轴旋转 ${\alpha _i}$ 角,得到新的坐标系 $({x'_i}\,,{y'_i}\,,{{\textit{z}}'_i})$ ,再绕 ${y'_i}$ 旋转 ${\beta _i}$ 角得到。这个过程用旋转矩阵表示为:

${}^O{{{R}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\; {\beta _i}}&{\sin\; {\alpha _i}\sin\; {\beta _i}}&{\cos\; {\alpha _i}\sin\; {\beta _i}} \\ 0&{\cos\; {\alpha _i}}&{ - \sin\; {\alpha _i}} \\ { - \sin\; {\beta _i}}&{\sin\; {\alpha _i}\cos\; {\beta _i}}&{\cos\; {\alpha _i}\cos\; {\beta _i}} \end{array}} \right]$ (8)

${}^O{{{R}}_i}$ 的第3列即为分支方向的单位向量 ${{{e}}_i}$ ,即 ${{{e}}_i} = $ ${[{\rm{cos}}\;{\alpha _i}\;\sin \;{\beta _i} \;- \;\sin \;{\alpha _i}\;\cos \;{\alpha _i}\;\cos \;{\beta _i}]^{\rm{T}}}$ ,对于RPU支链,则 ${\alpha _i} = 0$

图2可知,对于2–UPR&2–RPU并联机构的每条运动支链都有矢量方程:

${{{l}}_i} = {l_i}{{{e}}_i} = {{p}} + {{{b}}_i} - {{{a}}_i}$ (9)

式中: ${{p}}$ 为动坐标系原点o的位置矢量; ${{{a}}_i}$ ${{{b}}_i}$ 分别表示 ${A_i}$ ${B_i}$ 在定坐标系下的位置矢量,且有 ${{{b}}_i} = {{R}}{{{b}}_{io}}$ ${{{b}}_{io}}$ ${{{b}}_i}$ 在动坐标系下的位置矢量。

为了求解该机构的约束方程,令矢量 ${{{c}}_1}$ ${{{c}}_3}$ 分别表示支链Ⅰ和支链Ⅲ转动副轴线的方向矢量,注意到约束方程的其中一个条件为 ${{{c}}_i}$ ${{p}} - {{{a}}_i}$ 垂直,且有 ${{{c}}_i} = {{R}}{{{c}}_{io}}$ i = 1,3), ${{{c}}_{io}}$ ${{{c}}_i}$ 在动坐标系的方向矢量,且 ${{{c}}_{io}}{\rm{ = }}{[{\rm{1,0,}}0]^{\rm{T}}}$

因为支链Ⅱ和支链Ⅳ上U副中心总是在(i = 2,4)平面上,故方程的另一个约束条件为矢量 ${{{l}}_2}$ ${{{l}}_4}$ y坐标值为零。

根据上述各支链的约束关系,可以得到约束方程:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {{c}}_1^{\rm{T}}({{p}} - {{{a}}_1}) = {\rm{0}}\,\,,\;{l_{2y}} = 0\\ {{c}}_3^{\rm{T}}({{p}} - {{{a}}_3}) = {\rm{0}}\,\,\,,\;{l_{4y}} = 0 \end{array} \right.$ (10)

将式(10)展开可得:

$\left\{ \begin{array}{l} x\cos\; \theta \cos\; \varphi - (a - y)\cos\; \theta \sin\; \varphi - {\textit{z}}\sin\; \theta = 0, \\ x\cos\; \theta \cos\; \varphi + (y + a)\cos\; \theta \sin\; \varphi - {\textit{z}}\sin\; \theta = 0, \\ b\cos\; \theta \sin\; \varphi = 0, \\ - b\cos\; \theta \sin\; \varphi = 0 \\ \end{array} \right.$ (11)

由于机构在运动过程中, $b \ne 0$ ,由式(11)的前两个方程可知 $\cos\; \theta \sin\; \varphi = 0$ 。将其代入式(11)的后两个方程可得:

$x\cos\; \theta \cos\; \varphi - {\textit{z}}\sin\; \theta = 0$ (12)

由式(12)可知,若 $\cos\; \theta = 0$ ,则恒有 ${\textit{z}} = 0$ ,不符合实际情况。因此可推断出 $\sin\; \varphi = 0$ ,并且可得出两种情况,即 $\varphi = 0$ $\varphi = \text{π}$ 。根据2–UPR&2–RPU并联机构的结构特征,不可能存在 $\varphi = \text{π}$ 的情况,故 $\varphi $ 恒等于0。将 $\varphi = {\rm{0}}$ 代入式(12)可得 $x = {\textit{z}}\tan\; \theta $

将参数代入式(9)得机构逆解表达式为:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{l_1} = \sqrt {\begin{array}{*{20}{l}} {{{({\textit{z}}\tan\; \theta + b\sin\; \psi \sin\; \theta )}^2} + {{( - a + b\cos\; \psi )}^2} + } {{{({\textit{z}} + b\sin\; \psi \cos\; \theta )}^2}}, \end{array}} }\\ {{l_2} = \sqrt {{{({\textit{z}}\tan\; \theta - a + b\cos\; \theta )}^2} + {{({\textit{z}} - b\sin\; \theta )}^2}} },\\ {{l_3} = \sqrt {\begin{array}{*{20}{l}} {{{({\textit{z}}\tan\; \theta - b\sin\; \psi \sin\; \theta )}^2} + {{(a - b\cos\; \psi )}^2} + } {{{({\textit{z}} - b\sin\; \psi \cos\; \theta )}^2}} \end{array}} },\\ {{l_4} = \sqrt {\sqrt {{{({\textit{z}}\tan\; \theta + a - b\cos\; \theta )}^2} + {{({\textit{z}} + b\sin\; \theta )}^2}} } } \end{array}} \right.$ (13)
2.2 速度分析

微分变换法和矢量积法是并联机构雅可比矩阵求解的常用方法。采用基于符号运算的微分变换法,求出机构1阶影响系数矩阵,然后通过1阶运动影响系数对2–UPR&2–RPU并联机构速度雅可比矩阵进行求解。

根据机构的运动特性,驱动杆的杆长可以表示成:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{l_i} = \sqrt {{{({l_i}{{{e}}_i})}^{\rm{T}}}({l_i}{{{e}}_i})} = {f_i}({\textit{z}}\,,\psi \,,\theta )$ (14)

将式(14)对时间求导,可以得到各支链的驱动杆速度为:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\dot l_i} = \frac{{\partial {f_i}({\textit{z}}\,,\psi \,,\theta )}}{{\partial {\textit{z}}}}\dot {\textit{z}} + \frac{{\partial {f_i}({\textit{z}}\,,\psi \,,\theta )}}{{\partial \psi }}\dot \psi + \frac{{\partial {f_i}({\textit{z}}\,,\psi ,\theta )}}{{\partial \theta }}\dot \theta $ (15)

故该机构动平台速度与驱动速度的映射关系为:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ \begin{array}{l} {{\dot l}_1} \\ {{\dot l}_2} \\ {{\dot l}_3} \\ {{\dot l}_4} \\ \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {f_1}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\dfrac{{\partial {f_1}}}{{\partial \psi }}}&{\dfrac{{\partial {f_1}}}{{\partial \theta }}} \\ {\dfrac{{\partial {f_2}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\dfrac{{\partial {f_2}}}{{\partial \psi }}}&{\dfrac{{\partial {f_2}}}{{\partial \theta }}} \\ {\dfrac{{\partial {f_3}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\dfrac{{\partial {f_3}}}{{\partial \psi }}}&{\dfrac{{\partial {f_3}}}{{\partial \theta }}} \\ {\dfrac{{\partial {f_4}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\dfrac{{\partial {f_4}}}{{\partial \psi }}}&{\dfrac{{\partial {f_4}}}{{\partial \theta }}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot {\textit{z}}} \\ {\dot \psi } \\ {\dot \theta } \end{array}} \right]$ (16)

$\dot {{l}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot l}_1}}&{{{\dot l}_2}}&{{{\dot l}_3}}&{{{\dot l}_4}} \end{array}]^{\rm{T}}}$ ${{{V}}_o} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {\dot {\textit{z}}}&{\dot \psi }&{\dot \theta } \end{array}]^{\rm{T}}}$ ,则有:

$\dot {{l}} = {{J}}{{{V}}_o}$ (17)

式中: $\dot {{l}}$ 为驱动杆速度; ${{J}}$ 为机构1阶影响系数矩阵,且 ${{J}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{{{J}}_1}}&{{{{J}}_2}}&{{{{J}}_3}}&{{{{J}}_4}} \end{array}]^{\rm{T}}}$ ${{{V}}_o}$ 为动平台运动速度。

通过式(17)可以看出,2–UPR&2–RPU并联机构的雅可比矩阵为4行3列的矩阵。

2.3 加速度分析

机构运动影响系数反映了机构的运动学和动力学本质。下面利用2阶影响系数对机构的加速度进行求解。

将式(15)对时间进行求导,得到驱动杆的加速度为:

$\ddot {{l}} = {{{V}}^{\rm{T}}_o}{{h}}{{{V}}_o} + {{J}}{\dot {{V}}_o}$ (18)

式中: $\ddot {{l}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot l}_1}}&{{{\ddot l}_2}}&{{{\ddot l}_3}}&{{{\ddot l}_4}} \end{array}]^{\rm{T}}}$ ${{h}}$ 可看成4×3×3的矩阵,且 ${{h}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{{{h}}_1}}&{{{{h}}_2}}&{{{{h}}_3}}&{{{{h}}_4}} \end{array}]^{\rm{T}}}$ ${{{h}}_i}$ i = 1,2,3,4)为Hessian矩阵,且为3×3的标量方阵; ${\dot {{V}}_o}$ 为动平台加速度。式(18)相当于4个方程。

2.4 支链雅克比求解

设动平台的速度和角速度分别为 ${{{v}}_o}$ ${{{\omega }}_o}$ ,根据速度合成定理,动平台上各铰点 ${B_i}$ 的速度矢量与动平台中心速度矢量的关系为 ${{{v}}_{Bi}} = {{{\omega}} _o} \times {{{b}}_i} + {{{v}}_o}$

从支链上看,动平台上各支链端点 ${B_i}$ 的速度可表示为:

${{{v}}_{Bi}} = {{{\omega}} _{li}} \times {l_i}{{{e}}_i} + {\dot l_i}{{{e}}_i}$ (19)

式中, ${{{\omega}} _{li}}$ 为支链角速度。

式(19)两边同时叉乘 ${{{e}}_i}$ 得:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{{e}}_i} \times {{{v}}_{Bi}} = {l_i}{{{\omega}} _{li}} - {l_i}{{{e}}_i}({{{\omega}} _{li}} \cdot {{{e}}_i})$ (20)

由于各支链均无绕自身轴线的转动,故 ${{{\omega}} _{li}} \cdot {{{e}}_i} = 0$ ,因此可得:

${{{\omega}} _{li}} = \frac{{{{{e}}_i} \times {{{v}}_{Bi}}}}{{{l_i}}}$ (21)

${{{v}}_{Bi}} = {{{\omega}} _o} \times {{{b}}_i} + {{{v}}_o}$ 代入式(21)可得:

$ \begin{aligned}[b] {{{\omega}} _{li}} = \frac{1}{{{l_i}}}[{{{e}}_i} \times ({{{v}}_o} + {{{\omega}} _o} \times & {{{b}}_i})] = \frac{1}{{{l_i}}}({\hat {{e}}_i}{{{v}}_o} - {\hat {{e}}_i}{\hat {{b}}_i}{{{\omega}} _o}) = \\ &{{{J}}_{\omega i}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}_o}}&{{{{\omega}} _o}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{aligned} $ (22)

式中, ${{{J}}_{\omega i}}$ 为支链角速度雅可比矩阵,且有:

${{{J}}_{\omega i}} =$ $ [\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat {{e}}}_i}}&{ - {{\hat {{e}}}_i}{{\hat {{b}}}_i}} \end{array}]/ {l_i} $

对式(22)求导,可得各支链的角加速度:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\dot {{\omega}} _{li}} = \frac{{{{\dot {{e}}}_i} \times {{{v}}_{Bi}} + {{{e}}_i} \times {{\dot {{v}}}_{Bi}} - {{{\omega}} _{li}}{{\dot l}_i}}}{{{l_i}}}$ (23)

假设各支链质心到动平台各铰点的距离为 ${l_{mi}}$ ,各驱动杆的质心速度和加速度分别用 ${{{v}}_{mi}}$ ${{{a}}_{mi}}$ 表示,则各杆质心处的速度为:

$ \begin{aligned}[b] {{{v}}_{mi}} =& {{{\omega }}_{li}} \times {l_{mi}}{{{e}}_i} + {\dot l_i}{{{e}}_i} = {l_{mi}}{\hat {{e}}_i}{{{J}}_{ \omega i}}{{{v}}_o} + \\ & ({{{e}}_i}{{e}}_i^{\rm{T}} - {{{e}}_i}{{e}}_i^{\rm{T}}{\hat {{b}}_i}){{{\omega}} _o} = {{{J}}_{vi}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}_o}}&{{{{\omega}} _o}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{aligned} $ (24)

式中, ${{{J}}_{vi}}$ 为支链速度雅可比矩阵,且有:

${{{J}}_{vi}} = {l_{mi}}{\hat {{e}}_i}{{{J}}_{\omega i}} + ({{{e}}_i}{{e}}_i^{\rm{T}} - {{{e}}_i}{{e}}_i^{\rm{T}}{\hat {{b}}_i})$

各杆质心处的加速度为:

$ \begin{aligned}[b] {{{a}}_{mi}} =& {\dot {{\omega}} _{li}} \times {l_{mi}}{{{e}}_i} + {{{\omega}} _{li}} \times ({{{\omega}} _{li}} \times {{{e}}_i}){l_{mi}} + \\ &{{{e}}_i}{\ddot l_i} + 2({{{\omega}} _{li}} \times {{{e}}_i}){\dot l_i} \end{aligned} $ (25)

由式(22)、(23)可得动平台速度和第 $i$ 条支链的映射关系如下:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}_{mi}}}&{{{{\omega }}_{mi}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{{J}}_{li}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}_o}}&{{{{\omega}} _o}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ (26)

式中, ${{{J}}_{li}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{{{J}}_{vi}}}&{{{{J}}_{\omega i}}} \end{array}]^{\rm{T}}}$

3 动力学及驱动功率分析

对2–UPR&2–RPU并联机构进行动力学分析,并利用驱动力的二范数解,对该机构及的输入功率进行分析。

3.1 动力学分析

并联机构逆动力学问题就是在已知输出运动的条件下求解所需的驱动力。相比于采用拉格朗日法、牛顿–欧拉法、凯恩法进行动力学分析,虚功原理法在算法和执行效率方面更为出色,因此,采用虚功原理对2–UPR&2–RPU并联机构进行动力学分析。

设动平台的质量为 ${m_o}$ ,作用于动平台质心的外力和力矩分别为 ${{{f}}_o}$ ${{{n}}_o}$ ,在定坐标系中分别用 ${{{f}}_O}$ ${{{n}}_O}$ 表示,则有: ${{{f}}_O} = {{R}}{{{f}}_o}$ ${{{n}}_O} = {{R}}{{{n}}_o}$

${{{I}}_o}$ 表示动平台的惯性矩阵在动坐标系,则动平台的惯性矩阵在定坐标系中表示为 ${{{I}}_O} = {{R}}{{{I}}_o}{{{R}}^{\rm{T}}}$

动平台质心所受到的力和力矩可以表示为:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{{F}}_o} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{f}}_O} + {m_o}{{g}} - {m_o}{{\dot {{v}}}_o}} \\ {{{{n}}_O} - {{{I}}_O}{{{\omega}} _o} - {{{\omega}} _o} \times ({{{I}}_O}{{{\omega}} _o})} \end{array}} \right]$ (27)

当各支链仅受重力时,设分支中驱动杆的质量为 ${m_{li}}$ ,其惯性矩阵在分支系中表示为 ${{{I}}_{li}}$ ,那么,分支所受力和力矩可表示为:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{{F}}_{li}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{li}}{{g}} - {m_{li}}{{{a}}_{mi}}} \\ { - {}^O{{{I}}_{li}}{{\dot {{\omega}} }_{li}} - {{{\omega}} _{li}} \times ({}^O{{{I}}_{li}}{{{\omega}} _{li}})} \end{array}} \right]$ (28)

式中, ${}^O{{{I}}_{li}} = {}^O{{{R}}_i}{{{I}}_{li}}{}^O{{{R}}_i}{}^{\rm{T}}$

由式(27)、(28),应用虚功原理建立机构动力学方程:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta {{x}}_o^{\rm{T}}{{{F}}_o} + \delta {{{q}}^{\rm{T}}}{{F}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {\delta {{x}}_{li}^{\rm{T}}{{{F}}_{li}}} = 0$ (29)

式中, $\delta {{{x}}_o}$ 为动平台虚位移, ${{F}}$ 为驱动力, $\delta {{q}}$ 为驱动力虚位移, $\delta {{{x}}_{li}}$ ${{{F}}_{li}}$ 所对应的虚位移。

式(29)中的虚位移和机构的广义虚位移满足机构本身的几何约束,其关系可表示为: $\delta {{q}} = {{J}}\delta {{{x}}_o}$ $\delta {{{x}}_{li}} = {{{J}}_{li}}\delta {{{x}}_o}$ ,则式(29)可写成:

${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta} {{x}}_o^{\rm{T}}({{{F}}_o} + {{{J}}^{\rm{T}}}{{F}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {{{J}}_{li}^{\rm{T}}{{{F}}_{li}}} ) = 0$ (30)

对于任意的 $\delta {{{x}}_o}$ ,式(30)均成立,则有:

${{{F}}_o} + {{{J}}^{\rm{T}}}{{F}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {{{J}}_{li}^{\rm{T}}{{{F}}_{li}}} = 0$ (31)

式中:

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{F}}} = - {({{{J}}^{\rm{T}}})^ + }({{{F}}_o} + \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {{{J}}_{li}^{\rm{T}}{{{F}}_{li}}} ) + {{{F}}_0}{{K}} $ (32)

式中, ${({{{J}}^{\rm{T}}})^ + }$ ${{{F}}_0}$ ${{K}}$ 分别为 ${{{J}}^{\rm{T}}}$ 的伪逆矩阵、零空间基向量、零空间基向量系数,并且:

$ \begin{array}{c} {({{{J}}^{\rm{T}}})^ + } = {{J}}{({{{J}}^{\rm{T}}}{{J}})^{ - 1}},\\ {{{F}}_0} = ({{E}} - {({{{J}}^{\rm{T}}})^ + }{{{J}}^{\rm{T}}})\text{。} \end{array}$

其中,E为单位矩阵。

式(32)即可作为该机构的动力学模型。对于2–UPR&2–RPU冗余并联机构,式(32)为3个线性方程,但有4个未知数,故方程的解不唯一。

3.2 驱动功率分析

对于2–UPR&2–RPU冗余并联机构,其驱动力的配置方式不是唯一的。利用驱动力的二范数解,式(32)可以写成:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{F}} = - {({{{J}}^{\rm{T}}})^ + }\bigg({{{F}}_o} + \sum\limits_{i = 1}^4 {{{J}}_{li}^{\rm{T}}{{{F}}_{li}}} \bigg)$ (33)

驱动功率为:

${{P}} = {\rm{diag}}(\dot {{l}}){{F}}$ (34)

式中, ${{P}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}}&{{P_4}} \end{array}]^{\rm{T}}}$

式(34)即为2–UPR&2–RPU并联机构驱动力二范数求出的驱动器的输出功率。

对于该机构,驱动器的总输出功率可以表示成 ${{{P}}_{\rm{s}}} = |{P_1}| + |{P_2}| + |{P_3}| + |{P_4}|$ ,因此一个周期内总的输出功率为:

${\;\;\;\;\;\;\;\;W} = \int_{{{\rm{t_s}}}}^{{\rm{{t_e}}}} {{{{P}}_{\rm{s}}}} {\rm{d}}t \approx \sum {\frac{{{t_{\rm{e}}} - {t_{\rm{s}}}}}{{{n_t} - 1}}} \cdot {P_{\rm{s}}}\bigg(\frac{{{t_{k + 1}} - {t_k}}}{2}\bigg)$ (35)

式中, ${t_{\rm{s}}}$ 为开始时间, ${t_{\rm{e}}}$ 为结束时间, ${n_t}$ 为时间间隔数, ${t_k}$ ${t_{k + 1}}$ 分别是一个时间间隔的起始时刻和结束时刻。

4 数值模拟与仿真分析

通过具体的实例对所建立的机构运动学和动力学模型进行仿真。该机构的几何参数和惯性参数分别如表12所示。

表1 机构几何参数 Tab. 1 Geometric parameters of mechanism

表2 机构惯性参数 Tab. 2 Inertia parameters of mechanism

动平台和驱动杆的惯性矩阵分别为:

${{{I}}_o}/({\rm{ kg}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = {\rm{diag}}(\begin{array}{*{20}{c}} {0.000\;36}&{0.000\;22}&{0.000\;56} \end{array})\text{,}$
${{{I}}_{li}}/({\rm{ kg}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = {\rm{diag}}(\begin{array}{*{20}{c}} {0.050\;99}&{0.050\;99}&{0.001\;48} \end{array})\text{。}$

在动坐标系中,作用于动平台的外力和外力矩分别为:

$\left\{\begin{array}{l}{{{f}}_o}/{\rm{N}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{40} \end{array}]^{\rm{T}}},\\ {{{n}}_o}/({\rm{ N}} \cdot {\rm{m}}) = {[\begin{array}{*{20}{c}} {200}&{200}&0 \end{array}]^{\rm{T}}}\text{。}\end{array}\right.$

动平台位姿参数随时间的变化规律如下:

$\left\{ \begin{array}{l} {\textit{z}}(t) = 0.25 - 0.05\cos (\text{π} t{\rm{/}}5), \\ \psi (t) = {\rm{0}}{\rm{.1sin(}}\text{π} t{\rm{/}}5{\rm{)}} - (\text{π} {\rm{/50)cos(}}\text{π} t{\rm{/}}5{\rm{) + }}\text{π} {\rm{/50}}, \\ \theta (t) = 0.1\cos (\text{π} t{\rm{/}}5) - 0.1 \text{。}\\ \end{array} \right.$

基于理论推导的运动学及动力学模型在MATLAB里进行仿真解算,步长为0.1 s,时间为20 s。由式(13)得到驱动杆杆长变化如图3所示,根据式(16)和(18)得到驱动杆速度与加速度曲线如图45所示。

图3 杆长变化曲线 Fig. 3 Length curves of rods

图4 驱动杆速度曲线 Fig. 4 Velocity curves of driving rods

图5 驱动杆加速度曲线 Fig. 5 Acceleration curves of driving rods

图3可知,杆长变化最大的是驱动杆2,变化范围为0.25~0.375 m。根据图45可得:机构最大速度和加速度都出现在驱动杆2,分别为0.040 m/s和–0.027 m/s2;在运动的起点和终点,4个驱动杆的速度没有突变,因此机构没有刚性冲击,但是加速度在运动的开始和结束都存在一定的突变,因为有限值的惯性力,会产生一定的柔性冲击。驱动杆速度、加速度变化规律和变化范围与动平台运动规律和杆件结构参数有关。

由式(33)得到驱动力仿真结果如图6所示。根据式(34)求解出的驱动功率仿真结果如图7所示。对于2–UPR&2–RPU冗余并联机构,其总功为4个驱动杆做功之和。由式(35)可得冗余并联机构驱动力二范数解在仿真周期内的驱动器总功率,如图8所示。

图6 驱动力仿真曲线 Fig. 6 Simulation curves of driving forces

图7 驱动功率仿真曲线 Fig. 7 Simulation curves of driving power

图8 总功率仿真曲线 Fig. 8 Simulation curves of sum of driving power

图6可知,2–UPR&2–RPU并联机构在运动周期内驱动力二范数解最大驱动力出现在驱动杆1,其最大驱动力为–1202.3 N。2–UPR&2–RPU冗余并联机构在运动过程中,驱动杆1和驱动杆3起主导作用,两者的驱动力都明显大于驱动杆2和驱动杆4;整个运动过程驱动力的变化比较平缓,表明机构各支链在关节处的碰撞较轻,产生的冲击动载荷较小,不仅有利于降低零件的磨损速率,提高杆件的寿命,保持机构的精度及稳定性,还有利于机构的实际控制。

图7可知,在仿真周期内,2–UPR&2–RPU冗余并联机构驱动力二范数解驱动功率较小,最大驱动功率出现在驱动杆1的2.6 s处,为–30.68 W,即驱动杆做负功。机构驱动杆1、驱动杆2以及驱动杆3的驱动功率都明显大于驱动杆4的驱动功率。

图8可以看出,2–UPR&2–RPU冗余并联机构驱动总功率绝对值最大分别出现在2.7 s和12.7 s处,通过计算可得其驱动力二范数解的总功为1143.2 J。

为了更加直观地反映机构在运动过程中的状态并与MATLAB的仿真结果做对比以验证所构建的数学模型的正确性,在ADAMS中建立虚拟样机,如图9所示,并进行相应的运动学仿真,结果如图10所示。

图9 虚拟样机模型 Fig. 9 Virtual prototype model

图10 ADAMS仿真结果 Fig. 10 Simulation results in ADAMS

对比ADAMS和MATLAB的仿真结果可知,在仿真周期内,两者得到的各支链杆长、速度、加速度结果在量值上相等,曲线变化趋势完全吻合,验证了该运动学模型的正确性。MATLAB求解动力学结果与ADAMS虚拟仿真的结果相近,仿真曲线的变化趋势基本一致,但有较小误差。其中,驱动杆2的驱动力最大误差为1.83%,约9.17 N,驱动杆1的驱动力最大误差相对较小,为0.091%,驱动杆3、驱动杆4的最大误差分别为:1.04%、1.40%。造成误差的主要原因是ADAMS模型中没有考虑机构重力的影响,另外,质量参数的估算误差以及惯性参数的设置误差也是其原因之一。综合上述分析可知,所构建的动力学模型也是合理的。

5 结 论

1)提出一种新型的2–UPR&2–RPU冗余并联机构,运用螺旋理论计算出该机构具有2个转动和1个移动自由度,并利用修正的G–K公式验证计算的准确性,基于机构的运动特性建立闭环矢量方程,进而得到运动学逆解以及机构关节空间和操作空间的映射关系,利用2阶影响系数矩阵建立机构加速度模型,为动力学分析奠定了基础。

2)利用虚功原理构建出机构的动力学模型,在此基础上,采用驱动力二范数解的优化方法,求解2–UPR&2–RPU冗余并联机构的驱动力和驱动功率。

3)通过具体的算例,应用MATLAB对所构建的机构运动学及动力学模型进行编程计算,然后在ADAMS建立2–UPR&2–RPU冗余并联机构虚拟样机并进行仿真。MATLAB和ADAMS对比仿真的结果验证了所构建数学模型的正确性。结果表明,在给定动平台运动规律的条件下,该冗余并联机构没有刚性冲击,但在运动的起点和终点,会产生较弱的柔性冲击,各个驱动杆的驱动力变化平缓,机构驱动力二范数解所做总功为1143.2 J。仿真结果为该机构冗余驱动方式的选择以及驱动力的控制提供了参考依据。

参考文献
[1]
Chen Ziming,Liu Xiaomeng,Zhang Yang,et al. Dynamics analysis of a symmetrical 2R1T 3–UPU parallel mechanism[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2017, 53(21): 46-53. [陈子明,刘晓檬,张扬,等. 对称两转一移3–UPU并联机构的动力学分析[J]. 机械工程学报, 2017, 53(21): 46-53. DOI:10.3901/JME.2017.21.046]
[2]
Chai Xinxue,Xiang Ji’nan,Li Qinchuan. Singularity analysis of a 2–UPR–RPU parallel mechanism[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(13): 144-151. [柴馨雪,项济南,李秦川. 2–UPR–RPU并联机构奇异分析[J]. 机械工程学报, 2015, 51(13): 144-151. DOI:10.3901/JME.2015.13.144]
[3]
Zhang Weizhong,Xu Lingmin,Tong Junhua,et al. Kinematic analysis and dimensional synthesis of 2–PUR–PSR parallel manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2018, 54(7): 45-53. [张伟中,徐灵敏,童俊华,等. 2–PUR–PSR并联机构的运动学分析及尺度综合[J]. 机械工程学报, 2018, 54(7): 45-53. DOI:10.3901/JME.2018.07.045]
[4]
Li Qinchuan,Xu Lingmin,Chen Qiaohong,et al. New family of RPR-equivalent parallel mechanisms:Design and application[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2017, 30(2): 217-221. DOI:10.1007/s10033–017–0045–0
[5]
Liu Haitao,Xiong Kun,Jia Xinyin,et al. Kinematic optimization of a redundantly actuated 3–DOF parallel mechanism for lower-limb rehabilitation[J]. Journal of Tianjin University(Science and Technology), 2018, 51(4): 357-366. [刘海涛,熊坤,贾昕胤,等. 3自由度冗余驱动下肢康复并联机构的运动学优化设计[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2018, 51(4): 357-366. DOI:CNKI:SUN:TJDX.0.2018–04–004]
[6]
Kim J S,Jeong J H,Park J H. Inverse kinematics and geometric singularity analysis of a 3–SPS/S redundant motion mechanism using conformal geometric algebra[J]. Mechanism and Machine Theory, 2015, 90: 23-36. DOI:10.1016/j.mechmachtheory.2015.02.009
[7]
Niu Xuemei,Gao Guoqin,Liu Xinjun,et al. Dynamics modeling and experiments of 3–DOF parallel mechanism with actuation redundancy[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering, 2013, 29(16): 31-41. [牛雪梅,高国琴,刘辛军,等. 三自由度驱动冗余并联机构动力学建模与试验[J]. 农业工程学报, 2013, 29(16): 31-41. DOI:10.3969/j.issn.1002–6819.2013.16.005]
[8]
Zhou Jiehua,Peng Xiafu,Zhong Xunyu. Kinematics analysis of spatial 3–DOF parallel manipulator with redundant actuator[J]. Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition), 2012, 44(2): 221-226. [周结华,彭侠夫,仲训昱. 空间3自由度冗余驱动并联机构的运动学分析[J]. 四川大学学报(工程科学版), 2012, 44(2): 221-226. DOI:10.15961/j.jsuese.2012.02.030]
[9]
Chen Xiulong,Chen Linlin,Liang Xiaoxia. Kinematics and workspace analysis of a novel 4–DOF redundant actuation parallel mechanism[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2014, 45(8): 307-313. [陈修龙,陈林林,梁小夏. 4自由度冗余驱动并联机构运动学和工作空间分析[J]. 农业机械学报, 2014, 45(8): 307-313. DOI:10.6041/j.issn.1000–1298.2014.08.049]
[10]
Zhu Wei,Guo Qian,Ma Zhiyuan,et al. Stiffness and dynamics analysis of SCARA parallel mechanism[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2019, 50(10): 375-385. [朱伟,郭倩,马致远,等. SCARA 并联机构刚度和动力学分析[J]. 农业机械学报, 2019, 50(10): 375-385. DOI:10.6041/j.issn.1000–1298.2019.10.044]
[11]
Yang Yandong,Zhou Zhiyu,Deng Yunjiao,et al. Dynamic optimization and simulation of 3–RSR parallel vehicle-borne antenna mechanisms[J]. China Mechanical Engineering, 2019, 30(10): 1219-1125. [杨彦东,周治宇,邓云蛟,等. 3–RSR型并联车载天线机构动力学优化与仿真[J]. 中国机械工程, 2019, 30(10): 1219-1125. DOI:10.3969/j.issn.1004–132X.2019.10.012]
[12]
Li Yanbiao,Zheng Hang,Sun Peng. Dynamic modeling with joint friction and research on the inertia coupling property of a 5–PSS/UPU parallel manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2019, 55(3): 43-52. [李研彪,郑航,孙鹏. 考虑关节摩擦的 5–PSS/UPU 并联机构动力学建模及耦合特性分析[J]. 机械工程学报, 2019, 55(3): 43-52. DOI:10.3901/JME.2019.03.043]
[13]
Niu Xuemei,Gao Guoqin,Liu Xinjun,et al. Dynamic formulation and simplified model of a novel 3–DOF parallel mechanism with actuation redundancy[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(19): 41-49. [牛雪梅,高国琴,刘辛军,等. 新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析[J]. 机械工程学报, 2014, 50(19): 41-49. DOI:10.3901/JME.2014.19.041]
[14]
Lee G,Park S,Lee D,et al. Minimizing energy consumption of parallel mechanisms via redundant actuation[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2015, 20(6): 2805-2812. DOI:10.1109/TMECH.2015.2401606
[15]
Zhou Xin,Xu Yundou,Yao Jiantao,et al. Internal force analysis and coordination of a 5–UPS/PRPU redundantly actuated parallel mechanism[J]. China Mechanical Engineering, 2016, 27(6): 711-717. [周鑫,许允斗,姚建涛,等. 5–UPS/PRPU冗余驱动并联机构的内力分析与协调[J]. 中国机械工程, 2016, 27(6): 711-717. DOI:10.3969/j.issn.1004–132X.2016.06.001]
[16]
Dong Chenglin,Liu Haitao,Huang Tian. Kinematic performance analysis of redundantly actuated 4–UPS&UP parallel manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(5): 124-129. [董成林,刘海涛,黄田. 含冗余驱动支链 4–UPS&UP并联机构的运动学性能分析[J]. 机械工程学报, 2016, 52(5): 124-129. DOI:10.3901/JME.2016.05.124]
[17]
Hu Xiaoliang,Xie Zhijiang,Wu Xiaoyong,et al. Optimization of driving force and energy consumption of 4–PRR redundant parallel mechanism[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2019, 50(5): 413-419. [胡小亮,谢志江,吴小勇,等. 4–PRR冗余并联机构驱动力与能耗优化[J]. 农业机械学报, 2019, 50(5): 413-419. DOI:10.6041/j.issn.1000–1298.2019.05.047]