工程科学与技术   2020, Vol. 52 Issue (5): 223-229
含共振单元的单相3维声子晶体设计及其带隙特性研究
殷鸣, 江卫锋, 殷国富     
四川大学 机械工程学院,四川 成都 610065
基金项目: 国家自然科学基金青年基金项目(51705347);四川省科技计划项目(2018GZ0120;2018GZ0121)
摘要: 局域共振型声子晶体具有低频段的弹性波带隙特性,在振动与噪声控制工程领域有着重要的应用前景。3维局域共振型声子晶体的结构形式目前主要是基于多组元材料体系,在面向工程实际的制造和应用方面存在局限。对此,提出一种可实现低频局域共振带隙的单相3维声子晶体结构,利用有限元方法计算了声子晶体的能带结构、振动模态和传输特性。结果表明:该结构在具有高频带隙的同时,可在归一化频率低于0.1的范围内打开相对带隙宽度超过20%的低频弹性波带隙。结构中球形质量单元和连接体的局域共振是该低频带隙产生的主要原因。结构材料属性的变化影响带隙频率值的实际大小,而结构几何参数决定带隙在整个能带结构中出现的相对位置。通过改变结构材料参数和几何参数,可以实现对低频带隙边界和带隙宽度的调控。带隙的进一步拓宽可以通过构造几何参数渐变的组合结构来实现。所提出的单相3维声子晶体结构可用于低频减振降噪材料和器件的设计开发。
关键词: 3维声子晶体    单相材料    弹性波带隙    减振降噪    模态分析    
Design of Single Phase 3D Phononic Crystal with Resonantor and Research of Band Gap Property
YIN Ming, JIANG Weifeng, YIN Guofu     
School of Mechanical Eng., Sichuan Univ., Chengdu 610065, China
Abstract: The locally resonant phononic crystals have low frequency elastic bandgap characteristics and important application prospects in the field of vibration and noise control. The structure of three-dimensional locally resonant phononic crystals is mainly based on a multi-component material system, which limits its manufacturing and application for practical engineering. Therefore, a three-dimensional phononic crystal structure composed of single-phase material is proposed. The band structure, vibration mode and transmission spectrum of the phononic crystals are calculated by finite element method. The numerical results show that the structure can open a 20% complete bandgap within the range of normalized frequency below 0.1. The local resonance of the spherical mass element and the connectors is the main cause of the bandgap. The change of structural material properties affects the frequency of the bandgap, and the structural geometric parameters determine the relative position of the band gap in the whole band structure. The width and position of phononic band gaps can be manipulated via the materials and geometric parameters of the structure. In addition, the further widening of the band gap can be realized by constructing gradient structures with gradually changing geometric parameters. The three-dimensional structure composed of single-phase material can be used for the design and development of low-frequency vibration and noise reduction materials and devices.
Key words: three-dimensional phononic crystals    single phase material    elastic wave band gap    vibration and noise reduction    modal analysis    

振动与噪声广泛存在于机械制造、交通运输、土木建筑、航空航天等工程领域,其在结构中以弹性波形式传播。20世纪60年代起,Mead[1]开始研究周期结构中波的传播理论,试图利用周期结构中波的传输特性来实现对弹性波传输的调控。1993年,Kushwaha等[2]类比光子晶体提出了声子晶体的概念。声子晶体是由弹性材料空间周期性排列形成的结构,类似于光子晶体具有电磁波带隙,声子晶体具有弹性波带隙,带隙频率范围内的弹性波在声子晶体中传播时会受到抑制[3]。利用声子晶体这类周期结构对弹性波进行特定调控,可实现振动与噪声的有效控制。

声子晶体带隙形成的机理主要基于布拉格散射[4-5]和局域共振[6-7]。布拉格散射带隙的产生由结构的周期性起主导作用,带隙频率对应波长与横波波长在同一数量级,这使其难以通过较小的周期尺寸获得低频带隙。然而生活中的大量振动和噪声往往都是低频的[8],低频也意味着波长更长,其在传播过程中不易衰减。在同等尺度结构的情况下,为获得低频带隙去实现减振降噪,通常是基于局域共振机理去设计声子晶体结构。局域共振型声子晶体产生带隙的机理不同于布拉格散射机理,它由共振单元的强共振特性决定,其带隙频率与单个散射体固有的振动特性相关[9],可在较小的尺度范围内获得频率更低的带隙。

常见局域共振声子晶体的结构形式包括1维、2维和3维,本文主要讨论3维结构。相较于1维、2维结构(一般为梁结构[10]或板状结构[11-12]),3维结构能够实现完全带隙特性,对弹性波在空间3个维度上的调控具有更高的自由度,有广泛的潜在应用场景。局域共振声子晶体通常由两种或3种材料共同构成,各相材料(一般是金属、橡胶、树脂)的材料属性差异很大,其成型方式和加工工艺各有不同,多相材料复杂结构的组装也难以一次性连续完成。因此,从面向实际应用的角度看,这种多材料体系3维复杂结构的制造面临较大的挑战。对此,考虑构建一种由单相材料组成的3维连续结构,并尝试从结构形式的设计上去等效多相材料体系下不同材料属性的组元。单相材料形成的3维声子晶体复杂结构可以通过增材制造的方式实现一体化快速制造[13-15]。本文的计算结果表明,该单相材料3维结构可在归一化频率低于0.1的范围内打开相对带隙宽度超过20%的低频弹性波完全带隙。通过改变结构材料参数和几何参数,可以调控低频带隙的边界和带隙宽度。而低频带隙的进一步拓宽则可以通过构造几何参数渐变的梯度结构来实现。这种单相3维声子晶体结构有望用于面向实际场景的低频减振降噪材料和器件的设计开发。

1 结构模型及计算方法

设计的含球形质量单元的3维声子晶体结构单胞模型如图1(a)所示,由立方框架、连接体和球形质量单元相互连接组成。立方框架由在边长为a的立方体基体中开直径为b的球形腔形成;连接体是直径为c的圆柱,其轴线与立方框架的体对角线保持重合;质量单元的直径为d,球心位于立方体中心。图1(b)为该结构对应的简单立方晶格的不可约布里渊区示意图。

图1 声子晶体结构模型及其第一布里渊区 Fig. 1 Unit cells of the phononic crystals and their first irreducible Brillouin zones

有限元软件COMSOL Multiphysics的可用于声子晶体能带结构的数值计算[16-17],在其固体力学模块中弹性波方程表示为:

$\sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}} \left( {\sum\limits_{l = 1}^3 {\sum\limits_{k = 1}^3 {{c_{ijkl}}\frac{{\partial {{{u}}_k}}}{{\partial {x_l}}}} } } \right) = \rho \frac{{{\partial ^2}{{{u}}_i}}}{{\partial {t^2}}}$ (1)

式中, $\;\rho $ 为密度,ui为位移,t为时间,cijkl为弹性常数,xjj=1,2,3)分别表示坐标变量xy $ {\textit{z}}$

由于结构的空间周期性,弹性波在其间的传播满足Bloch定理,因此位移场ur)为:

$ {{u}}\left( {{r}} \right) = {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{{k}} \cdot {{r}}} \right)}}{{{u}}_{{k}}}\left( {{r}} \right) $ (2)

式中,r=(xy $ \textit{z}$ )为位置矢量,k=(kxky $ {{k}}_\textit{z}$ )为波矢量,ukr)为与结构周期性相同的矢量函数。

经离散化处理后,单胞本征值方程表示为:

$\left( {{{K}} - {\omega ^2}{{M}}} \right){{U}} = 0$ (3)

式中,K为刚度矩阵,M为质量矩阵,U为位移矩阵。

按照空间周期排列方向,式(2)所描述的Bloch定理应用在单胞模型边界上,边界位移条件为:

${{U}}\left( {{{r}} + {{a}}} \right) = {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{{K}} \cdot {{a}}} \right)}}{{U}}\left( {{r}} \right)$ (4)

式中,r为边界上节点的位置矢量,a为声子晶体格矢基矢量。

令波矢量k扫描整个不可约布里渊区边界,求解单胞本征值方程,最终计算得到声子晶体的能带结构。

2 能带结构及带隙形成机理

考虑复杂结构增材制造的可行性,研究中设定材料为树脂,其密度ρ=1097 kg/m3,弹性模量E=1000 MPa,泊松比ν=0.4。当结构几何参数为b/a=1.32、c/a=0.06、d/a=0.9时,利用有限元方法所计算得到的能带结构如图2(a)所示。

图2 能带结构 Fig. 2 Band structures of the phononic crystals

图2中纵坐标频率用归一化频率表示,它的表达式为Ω=fa/ct,其中f为能带对应的实际频率值,ct为材料横波速度。带隙宽度也采用归一化后无量纲的相对带隙宽度表示,计算公式为2(fupflow)/(fup+flow),其中fupflow分别为带隙上、下边界处能带的实际频率值。如图2(a)所示,在图中第6条和第7条能带以及第12条和第13条能带之间分别出现了两条完全带隙。第6和第7条能带之间形成的低频段带隙,带隙频率范围为0.0755<Ω<0.1006,相对带隙宽度为28.44%。而第12条和第13条能带之间形成的高频段带隙,带隙范围为0.3618<Ω<0.6386,相对带隙宽度为55.35%。为探寻其低频带隙的产生机理,去除结构中心的球形质量单元作为对比,计算了只开球形腔的框架的能带结构,结果如图2(b)所示。去除中心质量单元的结构,不再具有低频段的带隙特性,但是在能带结构的高频位置仍然存在一条带隙,且其频率范围为0.3386<Ω<0.6384,与图2(a)中高频带隙出现的位置和宽度相差不大。两条高频带隙的归一化中心频率分别为0.50和0.49,符合典型的布拉格散射带隙特征(带隙中心频率位于ct/2a附近);而对于该低频带隙,在相同的结构尺寸下其带隙频率远低于高频布拉格散射带隙,且带隙下边界能带近乎平直,具有典型的局域共振带隙特征。因此说明,相较于只开球形腔的结构,正是由于球形质量单元和连接体的引入,使得图2(a)所示能带结构能够打开一条低频局域共振带隙。

为探明该低频局域共振带隙的形成机理,进一步分析如图3所示的带隙边界振动模态。图3(a)为低频带隙下边界平直能带的振动模态,模态质量局域在球形质量单元处,振动模式变现为球形振子的大幅横向振动并带动周围连接体弯曲振动,而结构外框架几乎维持不动。该模态下,结构的等效刚度主要受连接体的弯曲变形影响。因此,可通过调节连接体尺寸改变结构等效刚度从而实现对带隙的调控。图3(b)为低频带隙上边界振动模态,振动主要局域在立方框架,表现为xy两个方向上的混合振动。

图3 带隙边界振动模态 Fig. 3 Vibration modes at the edge of band gaps

实际上,低频带隙下边界以下的其他能带对应的振动模态,振动能量主要集中在球形质量单元,而低频带隙上边界及其以上能带对应振动模态中,振动能量主要集中在球形腔立方框架。因此,在球形腔的结构基础上,正是球形质量单元和连接体的引入,使得结构的质量和刚度分布改变,进而形成了一类振动局域在质量单元的新型振动模态,能带结构中由此打开了低频带隙。同时,图3(a)所示低频带隙下边界振动模态中,显著的模态质量使其对应能带频率降低,带隙也由此出现在低频位置。一定程度上,可将该结构与典型弹性包覆层包裹芯体组成的局域共振型声子晶体结构类比[6],球形质量单元类似于高密度的芯体,连接体类似于等效刚度较低的弹性包覆层,球形腔立方框架类似于低密度的硬基体。不同之处在于,这种单相材料3维连续结构是通过结构形式而不是材料本征属性去实现局域共振。

3 几何参数对带隙特性影响

取几何参数b/a=1.32、d/a=0.9保持不变,连接体直径对带隙上、下边界频率以及相对带隙宽度的影响规律如图4所示。

图4 连接体直径c对带隙的影响规律 Fig. 4 Effect of the geometry parameter c on band gap

图4(a)表明,随着连接体直径的增大,带隙上、下边界变化显著,带隙边界的频率值都近似于线性地增大,带隙中心频率增大,带隙位置不断上升。图4(b)中,相对带隙宽度随着连接体直径的增大,呈现出先迅速减小后缓慢增大的趋势。可以看到连接体的直径越小时,带隙频率越低且相对带宽越宽。这是因为连接体的直径越小,其等效刚度越小,局域共振效应越强,带隙出现在频率更低的位置。而随着连接体直径的进一步增大,其等效刚度变大,结构的局域共振效应减弱,带隙朝高频移动,结构相对带隙宽度先减小后又逐渐增大。

取几何参数b/a=1.32、c/a=0.06保持不变,质量单元直径对带隙上、下边界频率以及相对带隙宽度的影响规律如图5所示。

图5 质量单元直径d对带隙的影响规律 Fig. 5 Effect of the geometry parameter d on band gap

图5(a)表明,随着介质球直径的增大,带隙上边界频率增大而带隙下边界频率降低,带隙中心频率基本保持不变。相对带隙宽度随着介质球直径的增大近乎线性地增大,如图5(b)所示。这主要是由于质量单元直径越大,质量越大,共振时局域的能量也就越大,使得带隙不断拓宽[3]

取几何参数d/a=0.9、c/a=0.06保持不变,球形腔直径对带隙上、下边界频率以及相对带隙宽度的影响规律如图6所示。

图6 球形腔直径b对带隙的影响规律 Fig. 6 Effect of the geometry parameter b on band gap

图6(a)表明,随着球形腔直径的增大,带隙上边界频率值急剧减小而带隙下边界频率值缓慢降低,带隙中心频率下降,带隙往低频方向移动。图6(b)中,相对带隙宽度随着球形腔直径的增大,呈现出先略微增大后迅速减小的变化趋势。这主要是由于球形腔直径越大,类似于基体的立方框架等效质量和刚度越小导致的[3]

4 材料参数对带隙特性影响

选取了6种常见的固体材料来研究材料特性对结构带隙的影响规律,材料种类及其相关参数如表1所示。表2为在相同的结构参数下,不同材料结构得到的带隙频率范围和相对带隙宽度。可以看到,材料不同带隙边界的实际频率值不同。单从材料密度来看,铜和环氧树脂的密度差异很大,得到的带隙边界频率值差异很大,在钢和铜的密度相差不大的情况下,带隙边界频率值同样差异较大;而在铜与钨密度相差非常多的情况下,带隙边界的频率值却又非常接近。同样地,单独考察材料的弹性模量和剪切模量对带隙边界的影响也会得到类似的结果。因此,仅凭某一项材料属性并不能得到材料特性对结构带隙的影响规律。换言之,材料的某一项材料属性对带隙并没有明显的影响规律,带隙受到材料多种属性综合影响作用。

表1 材料参数 Tab. 1 Material parameters

表2 不同材料结构的带隙频率范围 Tab. 2 Band gap frequency range of different materials

进一步,可以发现尽管材料不同得到的带隙实际频率值不同,但将带隙频率作归一化处理后,带隙上界归一化频率值始终在0.09附近,带隙下界归一化频率值在0.07左右。此外,最为显著的是相对带隙宽度基本是一致的,大约为28%。这也就表明,尽管材料参数不同,对于本文提出的单相3维结构,在结构形式和几何参数相同的情况下,带隙在整个能带结构中出现的相对位置以及相对带宽是基本不变的。而注意到归一化频率Ω=fa/ct,因此在归一化频率Ω基本不变的情况下,实际上是横波波速ct主要影响带隙边界的实际频率值变化。横波波速 ${c_{\bf{t}}} = \sqrt {\mu /\rho } $ ,它是与材料的剪切模量和密度密切相关的。即是说,材料多种属性对带隙的综合影响作用可以反映在波速对带隙的影响规律上,横波波速度越大带隙的实际频率值越高。

5 组合结构的弹性波传输特性

图7所示,选择有限层数单胞沿着同一方向排成一列,在其4个侧面施加周期性边界条件,通过在模型左端边界施加激励,测量模型右端边界的输出响应,计算得到结构的传输谱。

图7 有限层数结构模型 Fig. 7 Structure models with finite number of layers

图8为几何参数b/a=1.32、c/a=0.06、d/a=0.9时,由8层单胞所构成的半无限周期结构的传输谱。可以看到频率域内出现两处振动衰减超过70 dB的区域,分别对应能带结构中的第1条低频带隙和第2条中频带隙。其归一化频率范围分别为0.0755<Ω<0.1692以及0.3462<Ω<0.6386。需要注意的是,在传输特性的模拟过程中,入射波是沿着ΓX方向入射的,所以从传输谱中得到的是ΓX方向上的方向带隙,其范围比能带结构中的完全带隙要宽,但与能带结构中的方向带隙是完全吻合的。

图8 c/a=0.06时结构的传输特性曲线 Fig. 8 Transmission spectrum with c/a=0.06

含球形质量单元的3维声子晶体结构能够在低频范围内得到局域共振带隙,但由于局域共振的特点所限,低频带隙的宽度较窄。而从几何参数和材料参数对带隙的影响规律中可以看到改变结构的几何或材料属性,通常带隙的宽度变大的同时会向高频移动。注意到结构所打开的两条带隙相隔并不远,因此可考虑将低频局域共振带隙向高频延拓,将多条带隙组合成一条宽频带隙。低频带隙出现的位置最主要是受到结构几何参数的影响。因此,考虑将几何参数不同的两种或多种结构在周期方向上组合成几何参数渐变的结构,实现带隙的互补叠加,从而得到一个完整的宽频大带隙。如图7所示,组合结构的前4个周期原胞几何参数为b/a=1.32、c/a=0.06、d/a=0.9,后4个周期的原胞几何参数保持b/a=1.32、c/a=0.06不变而介质柱直径增大到c/a=0.14。同样地,在其4个侧面施加周期性边界条件,通过在模型左端边界施加激励,测量模型右端边界的输出响应。图9为几何参数b/a=1.32、c/a=0.06、d/a=0.14时,得到的结构传输特性曲线。图10为组合结构的传输特性曲线。对比图8910可以看到,原来相互分离的带隙可以叠加成一个完整的宽频带隙,带隙起始于低频0.0902截止于高频0.6526,相对带隙宽度达到151%。因此,通过组合结构的方式可以实现带隙的互补,将原来分离的带隙组合成涵盖低频到中高频的宽频大带隙。

图9 c/a=0.14时结构的传输特性曲线 Fig. 9 Transmission spectrum with c/a=0.14

图10 组合结构传输特性曲线 Fig. 10 Transmission spectrum of composite structure

6 结 论

提出一种由单相材料组成的3维声子晶体结构。通过在框架结构中构建球形质量单元和连接体,使结构整体的质量和刚度分布改变,进而产生低频局域共振模态,能带结构中也由此打开了新的低频局域共振带隙。

带隙特性主要受到材料属性和几何参数影响。对单相材料结构而言,带隙的变化受到材料的多种属性综合影响作用,具体反映在波速对带隙的影响规律上。材料属性的变化影响带隙频率值的实际大小,但不改变带隙在整个能带结构中出现的相对位置,而带隙出现的位置由结构形式及其几何参数决定。通过针对性地调节结构几何参数,可以实现对带隙频率和宽度的调控。存在较优的几何参数,使得结构能在更低频的位置打开相对带宽较大的带隙。在此基础上,低频带隙的进一步拓宽,还可以通过将几何参数不同的原胞组合成渐变结构的方式来实现。渐变结构中不同频率范围带隙的互补,从而将原来分离的带隙叠加成涵盖低频到中高频的宽频大带隙。

提出的单相3维声子晶体结构,结合数字模型驱动的增材制造方式,有望实现面向低频减振降噪器件的“材料—结构—性能”一体化设计与制造。

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