20世纪20年代，Griffith^[1]以热力学能量平衡理论建立裂纹扩展判据，奠定了现代断裂力学的基础。随着断裂力学不断发展，作为经典试验之一的巴西圆盘试验^[2]逐渐开始了含预制裂纹试样的研究，如含中心孔的圆盘^[3]、直缝圆盘（SNBD）^[4]、人字型切槽圆盘试件（CCNBD）^[5]、直切槽式圆盘（CSTBD）^[6]、孔槽式圆盘（HCBD）^[7]也成为了标准试验，被大量研究。

以上标准试验多是针对单一预制裂纹，而裂纹相互作用对于材料断裂破坏影响巨大。因此，巴西圆盘多裂纹相互作用研究也一直得到重视。如：Wong等^[8]通过试验研究平面下裂纹倾角、岩桥角等裂纹形态对双裂纹相互作用的影响；Fayed^[9]针对含边缘双裂纹的巴西圆盘进行Ⅰ–Ⅱ型复合作用下圆盘的剪切断裂行为研究；李列列等^[10]采用石膏岩制作裂纹直切槽巴西圆盘，进行不同加载方式下Ⅰ–Ⅱ型复合断裂力学特征研究。郭怀民等^[11]研究含双裂纹的平面弹性问题，得出Ⅰ–Ⅱ型应力强度因子的解析。

但以上对于含多裂纹巴西圆盘断裂的研究，仍然集中在表面裂纹或可简化为2维问题的穿透裂纹，目前尚未见到含多内裂纹的巴西圆盘试验研究。其原因在于多内裂纹研究无论是试验还是数值分析难度都很高。内裂纹加工、观测本身是断裂力学领域的难点问题，多内裂纹相互作用问题研究难度更大。如：内裂纹制作主要有切割–粘贴法、预埋–浇筑法、热诱导法、3D打印等。Adams等^[12]将含有半圆形狭缝的两块有机玻璃粘贴在一起，作为预制内裂纹。预埋–浇注法^[13]是将金属片埋入模具，浇注树脂成型，将金属片视作内裂纹，是目前的主流方法^[14-16]。Ju^[17]、王里^[18]等运用3D打印制作含裂隙的透明材料模型。这些方法在一定程度上解决了内裂纹制作问题，但是仍存在较为明显的缺陷，如：切割–粘贴法的完整性问题，浇筑法及3D打印法的脆性度问题，金属片模拟裂纹的真实性问题等。

综上所述，在物理试验方面，真实世界中单轴压下巴西圆盘双内裂纹相互作用及扩展规律如何，尚未被直接观测到。基础试验的缺失，也必然造成相应的理论和数值模拟缺乏分析方向，进而阻碍相关理论的深入。

针对此问题，在试验手段方面，基于王海军等^[19]提出的3D-ILC技术，在对表面无损伤的情况下，在固体内部生成双内裂纹（3D-interned laser-engraved crack），解决了内裂纹生成问题，利用光学双折射材料解决了裂纹扩展以及应力分布的实时观测问题。试验内容涵盖内裂纹相互相作用下扩展过程、断裂形态、断口特征、应力双折射规律等。在数值模拟方面，基于M积分及应变能密度因子理论实现双内裂纹间相互作用扩展路径模拟，为含双内裂纹的圆盘断裂规律研究提供试验及理论依据。

1 试样的制备与研究方案 1.1 3D-ILC技术

在一完整物体内部进行精确结构改变而对表面无影响，制作出可用于试验的理想内裂纹，以常规机械力学理论判断，是不可能实现的。3D-ILC技术是王海军等^[19]于2017年提出，通过激光作用于材料内部，实现了在对表面无影响的情况下，在材料内部制作任意内裂纹，且内裂纹是在力的作用下持续断裂扩展形成的，因此是真实的裂纹。其裂纹尖端整齐、尖端附近裂纹面光滑、批量制作的内裂纹一致性高。具体原理参见文献[19]。目前该技术已成功应用于含内裂纹孔口问题^[20]、三点弯问题^[21]研究。

1.2 材料的选择

试样材料选用玻璃，如李世愚^[22]所指出的，固体力学的所有开拓性试验都是采用玻璃作为基本样品材料，断裂力学也不例外。主要原因如下：1）玻璃因均质，各向同性，在裂纹扩展之前严格遵循胡克定律，排除了诸多变量的干扰，是脆性固体断裂力学中的经典材料。2）玻璃是应力双折射光敏材料，为直接观察应力分布提供基础。3）玻璃断口特征明显，可用于裂纹背后力学机制的判断，也为玻璃的经典性提供了支撑。4）玻璃的脆性度在1/13～1/33，岩石在1/12～1/35，在脆性度指标上更接近岩石，可以为岩石等脆性材料提供参考。

1.3 研究方案

为研究含双内裂纹圆盘断裂特性，共设置2组试验：

1）A组完整试样：A1、A2、A3、A4为单轴压缩下破坏性试验，目的为B组含双内裂纹试样提供对比数据。

2）B组含双内裂纹试样：B1、B2、B3、B4为单轴压缩下破坏性试验，目的为研究含60°双内裂纹试样在单轴压缩下的起裂、扩展及断裂特性。试样编号及方案如表1所示。

1.4 试样设计与制作

A组：如图1所示，直径100 mm，厚度50 mm的圆盘试样，不含预制内裂纹，编号为A1、A2、A3、A4。

B组：如图2所示，直径100 mm，厚度50 mm，含双平行预制椭圆形内裂纹，两条裂纹分别为上裂纹、下裂纹，裂纹长轴为20 mm，短轴为16 mm。两裂纹间距为5 mm，裂纹面与水平向倾角为60°（与垂直加载方向夹角为30°），编号B1、B2、B3、B4。

1.5 加载仪器系统

试验采用WHY–3000伺服压载系统，设置高清摄像头监测裂纹的萌生及扩展动态变化，聚光灯调节光线。采用单轴压缩加载，力值控制模式，速率0.05 kN/s。

脆性试验中应力集中较为敏感，端部不平整光滑会导致端部应力集中而形成裂纹，影响试验质量。为避免这一现象，同时减少端部摩擦效应，在试样顶部与底部放置光滑PMMA板，其厚度为2 mm。

1.6 双折射效应的应用

玻璃等非晶介质在无应力状态下通常呈现光学各向同性，当受到应力作用时，折射率特征发生改变，显示光学各向异性，即当一束光线通过有内应力的玻璃时，将产生传播速度不同的两束光线，遵循折射定律的寻常光o和不遵循折律的非常光e，此为应力双折射现象。o和e频率、振动方向相同，存在固定相位差，可产生干涉条纹，由此效应可实现试样端部、裂纹周围应力场分布及动态变化观测，判定应力集中，并纠正试验偏心。依据应力–光学定律^[23]，当入射光入射试验对象时，由于双折射效应，主应力与相应的折射率有如下关系：

$ {{{n}}_1} - {{{n}}_2} = \left( {{{{C}}_1} - {{{C}}_2}} \right)\left( {{{{\sigma}} _1} - {{{\sigma}} _2}} \right) $

(1)

式中， ${{{\sigma}} _1} $ 、 ${{{\sigma}} _2} $ 分别为试样在压载作用下的主应力，n₁、n₂为 ${{{\sigma}} _2} $ 、 ${{{\sigma}} _2} $ 方向的折射率，C₁、C₂为材料应力–光学系数。偏振光通过试样产生的光程差 $\varDelta $ 为：

$\varDelta = \left( {{{{n}}_1} - {{{n}}_2}} \right)h $

(2)

式中，h为介质厚度。由式（1）和（2）建立应力与光学量的对应关系：

$ \left( {{{{\sigma}} _1} - {{{\sigma}} _2}} \right) = \varDelta /{h(C_1-C_2)} $

(3)

2 破坏过程与应力云纹

对含60°双内裂纹在裂纹扩展过程、应力双折射规律、起裂与破坏荷载、扩展及破坏形态、断口特征5个方面进行分析。为对比起见，先给出A组完整试样结果，后给出B组含双内裂纹试样结果。

2.1 裂纹扩展过程

单轴压缩下，完整试样典型破坏过程的应力双折射如图3所示，含双内裂纹试样试验过程如图4所示。

2.1.1 完整试样

如图3所示，当荷载达到122 kN时，试样突然发生劈裂破坏，爆裂为“碎屑状”，此特征为刚性试验机压载脆性破坏的典型特征。随着荷载增加，材料内部并没有发生屈服。因此，如果材料内应力继续积聚、增加，则发生爆裂的强度比含内裂纹试样更高，破坏力更强。

2.1.2 含双内裂纹试样

如图4所示，与完整试样不同，含双内裂纹试样断裂可分3个阶段：

1）起裂阶段。平均荷载达到5.15 kN时，上裂纹上尖端处萌生包裹状翼裂纹，与原预制内裂纹呈一定夹角；平均荷载达到6.21 kN时，下裂纹下尖端开始起裂，并萌生翼裂纹。

2）裂纹发展阶段。扩展前期随着荷载增加，上裂纹的上翼裂纹和下裂纹的下翼裂纹由原裂纹弯折一定角度后均呈近似90°向上、下加载方向扩展，速度缓慢。平均荷载达到20.85 kN时，可观察到在上裂纹中部向下萌生一条次生裂纹。随荷载进一步增加，当F=21.62 kN时，上裂纹上翼、下裂纹下翼扩展迅速，分别向试样顶部、底部逼近，裂纹扩展由稳定扩展变为非稳定扩展。

3）破坏阶段。上裂纹中部产生的次生裂纹迅速向下裂纹生长，最终平均荷载达到21.63 kN时，次生裂纹贯穿两预制内裂纹成为贯穿型裂纹；与此同时，贯穿型裂纹又急速向圆盘顶部、底部扩展，其上、下端分别与已接近试样顶部、底部的翼裂纹连通成为竖直裂纹，瞬间贯穿试样表面，不同于完整试样“爆炸式”破坏，试样被劈裂为左右两半而破坏。对于单轴压缩下的脆性材料，总应变能=边界功–耗散能^[24]，相比完整试样，内裂纹使加载过程中耗散能增加，致使试样的储能程度降低，试样没有发生爆裂破坏。

2.2 内裂纹扩展速度规律

由于非透明材料内部裂纹无法直接观测，因此传统裂纹扩展速度研究只能局限于对表面或穿透裂纹的扩展速度监测^[25]。本文对内裂纹扩展速度进行了追踪，内裂纹扩展速度与力呈明显的非线性特征，如图5所示。

扩展前期，随着荷载的增加，内裂纹扩展速度缓慢增加，曲线存在明显拐点，该点之后，内裂纹扩展速度迅速增加。实测扩展速度与力值关系符合下式：

$ v = {v_0} + A{{\rm{e}}^{ - \frac{{{{\left( {F - {F_{\rm{c}}}} \right)}^2}}}{{2{w^2}}}}} $

(4)

式中，v为裂纹尖端扩展速度，F为加载力值，v₀、A、w、F_c为曲线拟合公式参数，R²为回归方程拟合确定系数。

荷载F=21.62 kN时为速度的转折点，F>21.62 kN，扩展速度迅速增长，且越接近破坏荷载，扩展速度越快，在摄像可捕捉的范围下，最大速度超过375 mm/s，内裂纹扩展由稳定扩展变为非稳定扩展。

2.3 应力双折射规律

由裂纹间相互作用而引起的应力场演化规律可以通过云纹的变化（图3、图4（a））来反映。

完整试样的条纹分布较为规律，随荷载增加，试样上、下加载点处云纹条数逐渐密集，条纹颜色逐渐变淡，色彩饱和度逐渐增大，且括弧形状逐渐由经过上下加载点逐渐向外扩张；含裂纹试样的云纹则出现阻断效应，条纹在预制裂纹位置呈“水滴状”，不再均匀连续，存在明显的应力集中现象。

双内裂纹之间同样存在明显弧状云纹，且色彩逐渐由浅到深，裂纹尖端的“水滴”状云纹由分散变为集中，说明两条内裂纹之间应力逐渐增大，应力集中愈加强烈，存在相互作用的应力场，最终两内裂纹之间连通破坏，形成贯穿型裂纹。

在试样断裂破坏前后，试样四周括弧状云纹色彩呈现明显变化，内裂纹周边色彩消失不见，说明此时内部应力迅速向四周释放。

2.4 裂纹起裂与破坏荷载

试样起裂与破坏荷载柱状图如图6所示。由图6可以看出，试样破坏呈现出以下特点：1）含双内裂纹试样破坏荷载与完整试样相比下降82.27%，可见内裂纹极大降低了试样强度；2）含双内裂纹试样上裂纹上翼起裂荷载与最终破坏荷载比例为23.81%，下裂纹下翼起裂荷载与最终破坏荷载比例为28.71%；3）次生裂纹、非稳定扩展、贯穿型裂纹、竖直裂纹与最终破坏荷载的比例分别为96.39%、99.95%、100%、100%。

3 扩展面及断口特征

裂纹扩展形态对比如图7所示，在上裂纹上尖端和下裂纹下尖端出现翼裂纹扩展，翼型裂纹在扩展面光滑区域为Ⅰ–Ⅱ型裂纹，在扩展面和断口特征出现矛状特征区域为Ⅰ–Ⅱ–Ⅲ型复合裂纹。

文献[26]中利用内含云母片的树脂材料通过单轴压缩得到的包裹状翼裂纹，上下尖端扩展幅度相同。本文利用3D-ILC技术制作的双内裂纹扩展形态更为真实直观，并且呈现出明显不同特征：观察到双内裂纹对尖端存在屏蔽作用，即在荷载作用下，试样以上裂纹上端与下裂纹下端的翼型裂纹扩展为主，扩展幅度较大，对上裂纹下端与下裂纹上端存在屏蔽作用，使其虽有扩展但幅度较小。

3.1 Ⅰ–Ⅱ型裂纹

翼裂纹光滑扩展面区域为Ⅰ–Ⅱ型裂纹，裂纹扩展面与原预置裂纹面呈现一定的角度，并且扩展轨迹在3维空间上呈现为渐变的“翼型包裹”状曲面，判断为Ⅰ–Ⅱ型裂纹。其产生的力学原因是，脆性裂纹总是倾向于寻找一个能够使得剪切荷载最小的方向发生扩展。当Ⅱ型裂纹叠加时，脆性裂纹面方向会慢慢回到一个与外加场引起的最大主拉应力相垂直的一个稳定的平面上来，最终由Ⅰ–Ⅱ混合型朝向纯Ⅰ型转变。设转变过程中，裂纹面偏转角为θ，通过坐标变换可以得到纯Ⅰ型偏转平面上的正应力分量与剪应力分量^[27]：

$ \left\{ \begin{aligned} & {{\sigma} _{{{y}}'{{{y}}' }}} = \sigma _{\theta \theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} = \left[ {{{{K}}_{{\!{\text{Ⅰ}}\!}}}{{/}}{{({{2}}\text{π} {{r}})}^{{{1/2}}}}} \right]{{f}}_{\theta \theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}}{{ = K}}'_{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} (\theta ){{/}}{({{2}}\text{π} {{r}})^{{{1/2}}}},\\ & \sigma _{{{x}}'{{y}}'} = \sigma _{{{r}}\theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} = \left[ {{{{K}}_{{\!{\text{Ⅰ}}\!}}}{{/}}{{({{2}}\text{π} {{r}})}^{{{1/2}}}}} \right]{{f}}_{{{r}}\theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}}{{ = K}}'_{{\!{\text{Ⅱ}}\!}} (\theta ){{/}}{({{2}}\text{π} {{r}})^{{{1/2}}}},\\ & {\sigma _{{{{x}}' }{{\textit{z}}}'}} = \sigma _{{{r\textit{z}}}}^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} = 0 = {{{K}}_{{{\!{\text{Ⅲ}}\!}}}}{{/}}{({{2}}\text{π} {{r}})^{{{1/2}}}} \end{aligned} \right. $

(5)

式中：x、y、z为原坐标轴；x'、y'、z'为偏转后的裂纹平面坐标轴； ${{f}}_{\theta \theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}}$ ， ${{f}}_{r \theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} $ 为方向角函数，可以表示为：

$ \left\{ {\begin{aligned} & {{{f}}_{\theta \theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} = {{\cos }^3}(\theta /2)},\\ & {{{f}}_{r \theta }^{{\!{\text{Ⅰ}}\!}} = \sin (\theta /2){{\cos }^2}(\theta /2)} \end{aligned}} \right. $

(6)

变换后的应力强度因子可以表示为：

$ \left\{ \begin{aligned} &{{{K}}_{\!{\text{Ⅰ}}\!}'} (\theta ) = {{{K}}_{\rm{I}}}{{f}}_{\theta \theta }^{\!{\text{Ⅰ}}\!},\\ &{{{K}}_{\!{\text{Ⅱ}}\!}'} (\theta ) = {{{K}}_{\rm{I}}}{{f}}_{{{r}}\theta }^{\!{\text{Ⅰ}}\!},\\ &{{{K}}_{\!{\text{Ⅲ}}\!}'} (\theta ) = 0 \end{aligned} \right. $

(7)

由（7）式可得到机械能释放率随角度变化的关系：

$ {{G}}(\theta ) = {{{K}}_{\!{\text{Ⅰ}}\!}'}^{ 2}(\theta )\left( {1 - {\nu ^2}} \right)/{{E}} + {{{K}}_{\!{\text{Ⅱ}}\!}'}^{ 2}(\theta )\left( {1 - {\nu ^2}} \right)/{{E}} $

(8)

将Ⅱ型场贡献叠加，相应得到的变换后的应力强度因子可表示为：

$ \left\{ \begin{aligned} &{{K}_{\!{\text{Ⅰ}}\!}'} (\theta ) = {{{K}}_{\!{\text{Ⅰ}}\!}}{{f}}_{\theta \theta }^{\!{\text{Ⅰ}}\!} + {{{K}}_{\!{\text{Ⅱ}}\!}}{{{f}}_{\theta \theta}}^{\!\!\!\!\!\!{\text{Ⅱ}}\!} ,\\ &{{K}_{\!{\text{Ⅱ}}\!}'} (\theta ) = {{{K}}_{\rm{I}}}{{f}}_{{{r}}\theta }^{\!{\text{Ⅰ}}\!} + {{{K}}_{{\rm{II}}}}{{f}}_{{{r}}\theta }^{\!{\text{Ⅱ}}\!},\\ &{{{K}}_{\!{\text{Ⅲ}}\!}'} (\theta ) = 0 \end{aligned} \right. $

(9)

将式（9）代入式（8）便可得到Ⅰ–Ⅱ型复合情况下的机械能释放率随角度的变化规律。在纯Ⅰ型场叠加上Ⅱ型场作用时，当K_Ⅱ/K_Ⅰ>0情况下，裂纹偏转角为负值，即裂纹会偏离原裂纹平面一定角度进而形成翼型包裹，说明Ⅱ型会在一定程度上修正裂纹扩展角度，使裂纹在Ⅰ–Ⅱ型复合作用下，最终朝向纯Ⅰ型裂纹扩展，与试验最后出现竖直裂纹现象一致。

3.2 Ⅲ型裂纹参与断口特征

随着荷载增高，翼型裂纹进一步扩展，原内裂纹侧面出现错动现象，出现矛状裂纹，为典型的Ⅲ型裂纹形貌特征，如图8所示圆圈标注位置。

Ⅲ型裂纹参与位置发生在原内裂纹的侧面，为内裂纹上下表面错动所致，随着翼型裂纹扩展到一定程度后出现。断口面呈现明显的“矛”状形态，也有研究者^[26]描述为“针刺”状，扩展面实际为凹凸不平的“台阶状”特征，为典型的Ⅲ型裂纹参与作用下产生的裂纹面形貌。

图9为已有文献^[28]中的Ⅰ–Ⅲ型裂纹形态，图9（b）为Ⅰ–Ⅲ裂纹理论及试验图^[29]。通过第5节数值分析，撕裂区K_Ⅲ分布水平较高，进一步佐证了此区域Ⅲ型裂纹的参与。同时，结合前文的Ⅰ–Ⅱ型裂纹，Ⅲ型叠加下，判断侧面撕裂区为Ⅰ–Ⅱ–Ⅲ复合裂纹。

4 破坏形态

单轴压缩下，完整试样及含内裂纹试样破坏形态如图10、11所示。由图10、11可知：完整试样破坏形态一致，主要为对称括弧状裂纹。含双内裂纹试样最终破坏形态一致，主要有上翼裂纹、下翼裂纹、竖直裂纹，虚线处为贯穿型裂纹。主裂纹扩展沿竖直方向发展。

同时，由图11可明显看出，裂纹扩展至破坏时，此时扩展幅度较小的尖端其翼裂纹扩展长度有限，约为预制内裂纹长轴长度的1/3～1/4，竖直主裂纹面连通两条裂纹尖端扩展幅度较大的一侧翼裂纹而至试样贯通破坏。分析贯穿裂纹的主要原因是：当裂纹扩展达到非稳定扩展阶段时，裂纹速度很大，其具有的极大动能使两条垂直间距仅为5 mm的裂纹之间区域的应力集中现象愈加显著；随着荷载不断增加，应力不断积蓄，最终达到试样极限破坏强度，应力突然释放，上、下翼裂纹迅速连通产生竖直主裂纹面，整个试样瞬间被主裂纹面贯穿破坏。

5 数值模拟分析

目前在岩石等脆性材料断裂领域，内裂纹扩展判据选择及路径模拟仍然是难点问题，特别是涉及多裂纹相互作用的模拟更难。目前成果多限于表面裂纹或可简化2维问题的穿透裂纹或单一裂纹问题。为分析双内裂纹尖端K分布特征及裂纹扩展路径，通过M积分和应变能密度因子理论，开展双内裂纹扩展路径数值模拟，并与前文理论分析及试验的裂纹生长过程等对比，为脆性材料内裂纹扩展数值模拟研究提供参考。

5.1 数值模型

建立含双内裂纹巴西圆盘模型进行等效计算。图12为含60°双内裂纹巴西圆盘的模型网格图。

5.2 应力强度因子计算方法

对于应力强度因子计算采用交互式积分（interaction integral，即M积分）的方法来计算^[30-31]。利用M积分可同时计算出各向同性和一般各向异性材料中的3种断裂模式的应力强度因子（K _Ⅰ、K _Ⅱ和K _Ⅲ）：

${{{{K}}_{\rm{I}}} = \frac{{\mu \sqrt {2\text{π} } \left( {{v_b} - {v_a}} \right)}}{{\sqrt {{r_{a - b}}} (2 - 2\upsilon )}}} $

(10)

$ {{{{K}}_{{\rm{II}}}} = \frac{{\mu \sqrt {2\text{π} } \left( {{u_b} - {u_a}} \right)}}{{\sqrt {{r_{a - b}}} (2 - 2\upsilon )}}} $

(11)

$ {{{{K}}_{{\rm{III}}}} = \frac{{\mu \sqrt {\text{π}} \left( {{w_b} - {w_a}} \right)}}{{\sqrt {2{r_{a - b}}} }}} $

(12)

式中， $\;\mu $ 为剪切模量， $\upsilon $ 为泊松比，r为计算节点至裂纹尖端的距离，v_i、μ_i、w_i为相应节点x、y、z向的位移。

5.3 应力强度因子分布规律

以含双内裂纹试样最大应力强度因子K _Ⅰmax、K_Ⅱmax、K_Ⅲmax为基准，定义│K_i│/│K_imax│为归一化应力强度因子，其中i=Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ 。绘制Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ型归一化K沿裂纹尖端一周的曲线见图13，规律如下：

1）由I型应力强度因子的变化规律可看出双裂纹尖端之间的相互影响：上裂纹上端K _Ⅰ>下裂纹上端K _Ⅰ，上裂纹下端K _Ⅰ<下裂纹下端K _Ⅰ，这是由于上裂纹上端与下裂纹下端首先开始扩展，而上裂纹下端与下裂纹上端扩展很小，与试验结果一致。

2）上裂纹上端与下裂纹下端K_Ⅰ、K _Ⅱ均达到最大，K _Ⅲ=0，说明由于两裂纹之间对称的力作用，使得上裂纹上翼尖端与下裂纹下翼尖端同时存在错动，即翼裂纹的萌生主要是Ⅱ型作用引起的，然后朝向纯I型发展。

3）双内裂纹上下端K_Ⅲ=0，而两条内裂纹两侧K_Ⅲ达到最大，同时侧面K_Ⅱ=0，验证了上文断口中观察到的矛状断口裂纹为Ⅲ型参与复合裂纹的分析。

5.4 裂纹扩展准则

对复合型裂纹的扩展计算采用应变能密度因子理论。利用应变能密度因子S来预测裂纹的起裂扩展，并衡量裂纹尖端邻域应变能的大小：

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;S} = {a_{11}}K_{\!{\text{Ⅰ}}\!}^2 + 2{a_{12}}{K_{\!{\text{Ⅰ}}\!}}{K_{\!{\text{Ⅱ}}\!}} + {a_{22}}K_{\!{\text{Ⅱ}}\!}^2 + {a_{33}}K_{\!{\text{Ⅲ}}\!}^2 $

(13)

对于弹性材料，在3维应力状态下每单元体积dV=dxdydz，应变能密度表示成：

$ {\!\!\!\!\!\!\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}V}}} = \frac{S}{r} $

(14)

式中，r为裂纹尖端扩展长度。

裂纹起裂扩展可计算如下：

1）当裂纹初始扩展沿应变能密度最小的方向，即开裂角θ₀由下式确定：

$ \frac{{\partial W}}{{\partial \theta }} = 0,\frac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {\theta ^2}}} > 0 $

(15)

2）当应变能密度因子（在θ₀方向）达到临界荷载值时，裂纹开始起裂扩展：

$ \mathop {\lim }\nolimits_{r \to 0} (rW) = {S\!_{{\rm{cr}}}} $

(16)

式中，S_cr为与外载荷、裂纹体几何形状、材料性质及扩展角θ相关的力学参数。

5.5 裂纹扩展路径及相互作用模拟

含双内裂纹试样裂纹扩展过程如图14所示。可见60°双内裂纹扩展呈反对称特征：上裂纹上端向上扩展，下裂纹下端向下扩展，说明双裂纹之间尖端存在相互影响，这种屏蔽作用使同一侧两裂纹尖端的扩展程度不同，应力强度因子占主导地位的一端明显扩展幅度较大。

预制内裂纹扩展前期仍为内裂纹，与表面不相交；之后贯穿试样前后表面，形成穿透裂纹，最终沿竖直方向扩展，变为纯Ⅰ型拉裂纹。

6 结　论

相对于传统意义上含表面或穿透型裂纹的巴西圆盘断裂研究，本文从物理试验及数值模拟两方面开展了双内裂纹相互作用及断裂特性研究，结论如下：

1）巴西圆盘双内裂纹尖端之间存在屏蔽作用，使扩展呈现反对称裂纹形态，内裂纹扩展和破形态主要有上翼裂纹、下翼裂纹、竖直裂纹及贯穿型裂纹，翼裂纹断口光滑区为Ⅰ–Ⅱ型复合裂纹，侧面呈现茅状断口，为Ⅰ–Ⅱ–Ⅲ型复合裂纹。

2）含双内裂纹试样破坏荷载为完整试样的17.73%，内裂纹扩展速度与加载力为非线性关系。随荷载增加，双内裂纹之间云纹色彩由浅到深，由分散到集中，表明内裂纹之间相互作用增强。

3）基于M积分的双内裂纹尖端K分布与试验断口特征规律分析一致，基于应变能密度因子理论双裂纹扩展路径与试验规律一致，表明本文数值模拟方法在巴西圆盘双内裂纹相互作用研究中的适用性。

4）基于3D-ILC的平行双内裂纹扩展破坏试验规律显著，并与数值分析相互验证，该技术在多内裂纹相互作用试验研究中的适用性得到证明，为后续多内裂纹相互作用提供了基础。