工程科学与技术   2020, Vol. 52 Issue (3): 193-200
均布圆柱形孔活塞环油膜承载力的解析解和数值计算
吉华, 蒋森, 吴孙珂, 陈胡炜, 陈志     
四川大学 化学工程学院,四川 成都 610065
基金项目: 德阳重点科学技术研究项目(GXCC20180013)
摘要: 现有对微织构的研究多采用数值法。相比于数值解,解析解有助于简单清楚的表达微孔活塞环润滑性能的主要影响因素和各物理量的潜在关系,提高设计者的认识。基于入口吸入理论和流量连续性条件,对均布无限个圆柱形微孔的活塞环的1维油膜的空化区分布、压力分布和承载力进行了解析计算,并将1维解析解积分得到了1个周期油膜的承载力。解析解表明:均布n个圆柱形微孔活塞环的前n–1孔的压力分布相似,最大压力相等,最大压力与进口压力,孔间间距和空化压力相关,在均布微孔时,孔内最大压力约为进口压力的两倍;第n孔的压力分布和最大压力还与出口压力相关,在均布微孔时,孔内最大压力约为进出口压力之和。同时,还揭示了孔深对空化分布和油膜承载力的影响机理,当孔深大于油膜厚度的一半时,随着孔深的增加,空化区面积减小。使用Fluent软件对均布4个孔的油膜进行了数值模拟,并与解析解作对比。在解析解有解,数值解收敛的范围内,解析计算和数值计算的结果规律一致,解析式能解释数值模拟得到空化区分布、压力分布以及油膜承载力的变化趋势,所获得的在最大油膜承载力时的微孔几何尺寸也与模拟计算一致,油膜承载力的解析解和数值解最大相差10%。
关键词: 解析解    承载力    数值模拟    圆形微孔    活塞环    
Analytical and Numerical Approach of Load Capacity for Piston Ring with Equispaced Cylindrical Dimples
JI Hua, JIANG Sen, WU Sunke, CHEN Huwei, CHEN Zhi     
School of Chemical Eng.,Sichuan Univ., Chengdu 610065, China
Abstract: The numerical simulation is mostly employed in the existing studies of micro-texture. Compared with the numerical solution, the analytical solution describes more clearly the influence of main factors on the lubrication performances and the potential relationship between various physical variables in the piston ring with dimples. And it can also improve the designers understanding. Firstly, the cavitation zone, the pressure distribution and the load capacity of one dimensional oil film between the cylinder liner and piston ring with equispaced dimples, are analyzed with the analytical method based on the inlet suction mechanism and flow continuity condition. Secondly, the analytical solution for load capacity of one oil film period is obtained by integrating one-dimensional analytical solution. The analytical solutions show that the pressure distributions of the first n–1 dimples are similar and the maximum pressures of the firstn–1 dimples is equal, which is decided by the inlet pressure, the distance between dimples and the cavitation pressure, while the pressure distribution and maximum pressure of dimplen are decided by the outlet pressure besides these three factors. When the dimples are equispaced, the maximum pressure is about double inlet pressure in the first n–1 dimples and about the sum of the inlet and outlet pressures in the dimplen. They also show the influences of dimple depth on the cavitation distribution and the load capacity. When the dimple depth is more than half of the oil film thickness, the area of cavitation zone decreases with the increase of dimple depth. At last, the Fluent software is employed to simulate the oil film with four equispaced dimples. The results of analytical calculation and numerical calculation are consistent. The analytical solutions can explain the cavitation, the pressure distribution and the trend of load capacity in numerical simulation. The same optimal geometric size at the maximum load capacity is obtained with the numerical and the analytical solution, and the difference of load capacity between two solutions is below 10%.
Key words: analytical solution    load capacity    simulation validation    cylindrical dimples    piston ring    

通过活塞环上加工微织构,以减少摩擦、延长寿命,在理论研究和实验研究中被证明是有效的[1],在工程实际应用过程中也得到良好的效果[2]

在微织构应用于流体润滑领域的研究中,55%为理论研究,26%为实验,11%为理论研究和实验混合使用。理论模型中72%的研究方法为定制代码,主要采用有限差分法、有限体积法、有限元法等求解雷诺方程。采用CFD的有15%,而解析法仅有4%[3]。虽然微孔活塞环的研究并不仅仅在流体润滑领域,但研究方法相似。

由于求解困难,解析法在微织构活塞环的研究中不常见。与之相关的Rayleigh台阶的研究,可追溯到1918年。Wang等[4]基于Rayleigh台阶基本原理在微凹坑模型中采用了“负压力充零”的方法处理空化,即:孔内正负压力区对称分布,负压区由空化压力(0 Pa)代替。该研究得到的1维解析解油膜承载力与实验所得到的油膜承载力有相同变化趋势,但解析解所得的最大1维承载力对应的凹坑面积占比和实验所得到的最大承载力对应的凹坑面积占比有明显差距。Pascovici等[5]研究局部开矩形孔的平行滑块模型时,在不考虑空化所得到的1维压力解析解的基础上,直接加上1个空化压力,得到了空化条件下的1维压力分布。并进行了解析计算和数值模拟(使用Fluent)对比,1维压力分布的解析解大于数值解,相差10%以内。Marian等[6]又将“负压力充零”的方法应用在单个的矩形微孔模型上,通过线性化压力分布,在矩形微孔模型承载面上求得了承载力,并编制代码进行了数值模拟,两种方法得到的承载力在不同结构尺寸的模型中变化趋势相吻合。但是“负压力充零”处理空化的方法并不真实,没有考虑空化对压力分布的整体影响,所得的解析解与数值解也存在较大偏差,承载力最大相差约有30%。同年,Olver[7]、Fowell[8]等针对平行运动的开孔轴承,基于1维单孔几何模型,考虑空化,进行了解析计算,并提炼出了“入口吸入”增加了承载力的机制。Fowell的“入口吸入”机理认为孔区入口处由于楔形效应产生的低压区,增大了入口处压差,从而“吸入”了更多流体,从而在孔区出口的收敛楔产生了更高的压力,提高了承载力。这个机理还基于流量守恒条件针对空化提供了一种很好的解析计算模型。但是Fowell的研究止步于单孔1维轴承,没有涉及多孔微织构,没有考虑孔型的影响,也未建立1维解析解与承载力间的关系。Rahmani等[9]针对无限宽的开孔轴承,基于1维的多孔几何模型,不考虑空化,进行了解析计算,得到了摩擦阻力、油膜压力和承载力的表达式,并获得了几何尺寸的优化解。Rahmani等[10]又通过1维解析计算得到了一系列局部开孔最优方案的设计要素,并加入了空化对承载力和摩擦系数的影响,但是Rahmani对空化区的处理采用了数值模拟得到的经验公式。

相对于数值模拟,解析法[10-11]可有效简洁地揭示科学规律,能更加深入地研究各物理量间的潜在关系,并能得到相应的变化趋势,对流体状态的变化能够更加直接清楚的表达,同时也可避免CFD建模和程序编写所需的大工作量,针对研究内容提供了一种高效省时的解决方案。所以,作者针对均布无限圆柱形孔的活塞环,使用解析法,基于入口吸入理论,通过建立流体在微孔进出口处和孔内的连续性方程,考虑了空化对整体压力分布的影响。避免了Pascovici使用“负压力充零”处理空化带来的解析解与数值解存在较大偏差的问题。具体步骤如下:

首先,在多孔中求解了油膜的1维压力分布和承载力;然后,通过对空化区分布的分析,采用了分区域积分的方法得到了油膜的承载力,建立1维解析解与承载力间的关系;接着,采用Fluent软件,对均布四孔的活塞环的油膜进行了数值计算;最后,对解析解与数值解得到的多组数据进行了对比。

1 油膜承载力的解析解 1.1 几何模型和求解思路

将活塞环展开成平面,如图1(a)所示,表示在周向(y向)有无限个周期,在轴向(x向)有无限个圆柱形孔;由于孔在y向周期性排布,所以可以只研究1个周期(如图1(a)中的填充部分),定义为1个“孔栏”,如图1(b)所示;在1个孔栏中取出单位宽度的油膜(A–A截面)作为1维模型,如图1(c)所示。间隙内充满润滑油,缸套相对于活塞环有沿x正方向的速度u1,进口压力pin,出口压力pout,油膜厚度为hx),均布圆孔半径为r

图1 几何模型 Fig. 1 Geometric model

为了表述简洁,定义3个自然数集:

${N_1} = \left\{ {1,\;2,\; \cdot \cdot \cdot ,\;n - 1} \right\},$
${N_2} = \left\{ n \right\},$
${N_3} = \left\{ {1,\;2,\; \cdot \cdot \cdot ,\;n} \right\}{\text{。}}$

图1中油膜厚度:

$h{\rm{(}}x{\rm{)}} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {h_0},\;x \in \left[ {{x_{{\rm{in}}}}{\rm{,}}\;x_1^{\rm{s}}} \right] \cup \left[ {x_{{i}}^{\rm{e}}{\rm{,}}\;x_{{{i}} + 1}^{\rm{s}}} \right] \cup \left[ {x_{{n}}^{\rm{e}}{\rm{,}}\;{x_{{{{\rm{out}}}}}}} \right];\\ {h_0} + {h_{\rm{p}}},\,x \in \left[ {x_{{i}}^{\rm{s}}{\rm{,}}\;x_{{i}}^{\rm{e}}} \right] \cup \left[ {x_{{n}}^{\rm{s}}{\rm{,}}\;x_{{n}}^{\rm{e}}} \right], \,i \in {N_1} \end{array} \right.$ (1)

基于如下假设条件:1)雷诺方程所做出的假设;2)不考虑y方向上的流体流动,认为活塞环模型中剪切流和压差流均在活塞环运动的x方向上。

求解思路如下:首先,在入口吸入理论的基础上,针对具有无限孔的活塞环,求解发生空化的1维模型的油膜压力分布和空化区分布,进而求得发生空化的1维油膜承载力W。然后,通过对空化区分布的分析将1个孔栏的油膜分成不同的3个区域,并将未空化的区域的压力用空化区域的压力近似表示出来。最后,在不同区域上对压力积分后求和,求得1个孔栏的油膜承载力。

1.2 所有孔都空化时的1维模型承载力

1维模型只会有如下3种情况:1)所有孔都产生空化;2)部分孔产生空化;3)所有孔均未产生空化。

当所有的孔在1维模型中都产生空化时,模型如图2所示。

图2 所有孔都空化的1维模型 Fig. 2 One dimensional model with cavitation occurred in all dimples

由1维雷诺方程将流量q表达成:

$q = \frac{{{u_1}h\left( x \right)}}{2} - \frac{{h{{\left( x \right)}^3}}}{{12\eta }}\frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}}$ (2)

定义qin为入口流量,即[ ${x_{{\rm{in}}}}$ $x_1^{\rm{s}}$ ]区段的流量,由式(2),有:

${q_{{\rm{in}}}} = \frac{{h_0^3}}{{12\eta }}\frac{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}{{x_1^{\rm{s}} - {x_{{\rm{in}}}}}} + \frac{{{u_1}{h_0}}}{2}$ (3)

定义 $p_{\rm{i}}^{\rm{e}}$ 为第i $i \in {N_3}$ )个微孔出口处压力, $q_{{i}}^{{\rm{es}}}$ 为[ $x_{{i}}^{\rm{e}}$ $x_{{{i}} + 1}^{\rm{s}}$ ]区段的流量,同理有:

$q_{{i}}^{{\rm{es}}} = \frac{{h_0^3}}{{12\eta }}\frac{{p_{{i}}^{\rm{e}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}{{x_{{{i}} + 1}^{\rm{s}} - x_{{i}}^{\rm{e}}}} + \frac{{{u_1}{h_0}}}{2},\, i \in {N_1}$ (4)

定义qout为出口流量,即[ $x_{{n}}^{\rm{e}}$ ${x_{{\rm{out}}}}$ ]区段的流量,有

${q_{{\rm{out}}}} = \frac{{h_0^3}}{{12\eta }}\frac{{p_{{n}}^{\rm{e}} - {p_{{\rm{out}}}}}}{{{x_{{\rm{out}}}} - x_{{n}}^{\rm{e}}}} + \frac{{{u_1}{h_0}}}{2}$ (5)

由流量连续性条件,有

${q_{{\rm{in}}}} = q_{{i}}^{{\rm{es}}} = {q_{{\rm{out}}}}, \,i \in {N_1}$ (6)

联立式(3)、(4)、(5)、(6),得

$p_{{i}}^{\rm{e}} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} \dfrac{{x_{{{i}} + 1}^{\rm{s}} - x_{{i}}^{\rm{e}}}}{{x_1^{\rm{s}} - {x_{{\rm{in}}}}}}\left( {{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}} \right) + {p_{{\rm{cav}}}}, \,i \in {N_1}; \\ \dfrac{{{x_{{\rm{out}}}} - x_{{n}}^{\rm{e}}}}{{x_1^{\rm{s}} - {x_{{\rm{in}}}}}}\left( {{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}} \right) + {p_{{\rm{out}}}},\, i \in {N_2} \end{array} \right.$ (7)

式(7)实际上是任意多孔活塞环孔内最大压力的表达式,由式(7)可以看出影响孔内最大压力的因素为孔间间距,进出口压力和空化压力,再考虑如式(8)的均布微织构的几何关系:

$2(x_1^{\rm{s}} - {x_{{\rm{in}}}}) = x_{{{i}} + 1}^{\rm{s}} - x_{{i}}^{\rm{e}}{\rm{ = }}2({x_{{\rm{out}}}} - x_{{n}}^{\rm{e}}),\, i \in {N_1}$ (8)

由式(7)、(8),得:

$p_{{i}}^{\rm{e}} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} 2{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}},\, i \in {N_1}; \\ {p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}} - {p_{{\rm{cav}}}},\, i \in {N_2} \end{array} \right.$ (9)

由式(9)可得,如果是均布微孔,前n–1个微孔的最大压力相等,当pout<pin时,第n孔的最大压力小于前n–1个孔的压力。

定义 $q_{{i}}^{{\rm{ce}}}$ 为[ $x_{{i}}^{\rm{c}}$ $x_{{i}}^{\rm{e}}$ ]区段的流量,第i孔内的非空化区的长度为Xbi,由式(2)得:

$q_{{i}}^{{\rm{ce}}} = \frac{{{{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{12\eta }}\frac{{{p_{{\rm{cav}}}} - p_{{i}}^{\rm{e}}}}{{X{b_{{i}}}}} + \frac{{{u_1}\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}}{2},\, i \in {N_3}$ (10)

由流量连续性条件,有:

${q_{{\rm{in}}}} = q_{{i}}^{{\rm{ce}}},\quad i \in {N_3}$ (11)

将式(3)、(9)、(10)代入到式(11)中,化简得:

$ X{b_{{i}}} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} \dfrac{{2\left( {{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}} \right){{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{6\eta {u_1}{h_{\rm{p}}} - \dfrac{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}{{x_1^s - {x_{{\rm{in}}}}}}h_0^3}},\, i \in {N_1}; \\ \dfrac{{\left( {{p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}} - 2{p_{{\rm{cav}}}}} \right){{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{6\eta {u_1}{h_{\rm{p}}} - \dfrac{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}{{x_1^s - {x_{{\rm{in}}}}}}h_0^3}},\, i \in {N_2} \end{array} \right. $ (12)

由式(12)可知:在n个孔均发生空化时,前n–1个孔内非空化区长度不受出口压力pout影响,并且大小相等;第n个孔受出口压力影响,当pout<pin时,第n孔内非空化区长度较小,反之较大。活塞环正常工作时,剪切流占主导,忽略式(12)中分母的压差流项,由式(12)可近似得到:

$ X{b_{{i}}} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} \dfrac{{\left( {{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}} \right){{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{{\rm{3}}\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}},\, i \in {N_1}; \\ \dfrac{{\left( {{p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}} - 2{p_{{\rm{cav}}}}} \right){{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{6\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}},\, i \in {N_2} \\ \end{array} \right. $ (13)

由式(13)知:

$X{b_{{i}}} \propto \frac{{{{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{{h_{\rm{p}}}}}$ (14)

实际上,由于几何条件的限制

$X{b_{{i}}} < 2r,\quad i \in {N_1}$ (15)

由式(13)、(15)可得解析解有解时孔深hp的取值范围:

$\begin{aligned}[b] &\;\;{h_{\rm{p}}} \in\\ &\left[ {2\sqrt {\frac{{2\eta {u_1}r}}{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}} \cos \left[ {\frac{1}{3}\arccos \left( { - \frac{{3{h_0}}}{2}\sqrt {\frac{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}{{2\eta {u_1}r}}} } \right) + \frac{{4\pi }}{3}} \right] \!-\! {h_0},} \right.\\ &\left. {2\sqrt {\frac{{2\eta {u_1}r}}{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}} \cos \left[ {\frac{1}{3}\arccos \left( { - \frac{{3{h_0}}}{2}\sqrt {\frac{{{p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}}}{{2\eta {u_1}r}}} } \right)} \right] - {h_0}} \right] \end{aligned}$ (16)

实际上孔深的值可以取0到无限大,不满足式(16)时解析解无解。

由式(2)可知,在hx)分段函数的每个区段内,压力分布是线性的。从式(9)、(13),可得压力分布见图3

图3 所有孔都空化的1维模型压力分布 Fig. 3 Pressure distribution of one dimensional oil film with cavitation occurred in all dimples

1维模型的油膜承载力 $W = \displaystyle\int_{{x_{{\rm{in}}}}}^{{x_{{\rm{out}}}}} {p(x){\kern 1pt} } {\rm{d}}x$ ,忽略pcav,近似得到:

$\begin{aligned}[b] W =& \dfrac{{{p_{{\rm{in}}}}}}{2}\left( {x_1^{\rm{s}} - {x_{{\rm{in}}}}} \right) + \\ &\dfrac{{p_{{n}}^{\rm{e}} + {p_{{\rm{out}}}}}}{2}\left( {{x_{{\rm{out}}}} - x_{{n}}^{\rm{e}}} \right){\rm{ + }}\dfrac{{p_{{n}}^{\rm{e}}}}{2}X{b_{{n}}} + \\ &\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left[ {\dfrac{{p_{{i}}^{\rm{e}}}}{2}X{b_{{i}}} + \dfrac{{p_{{i}}^{\rm{e}}}}{2}\left( {x_{{{i}} + 1}^{\rm{s}} - x_{{i}}^{\rm{e}}} \right)} \right]} \end{aligned} $ (17)

将式(8)、(9)、(13)代入式(17),忽略pcav,整理后可得:

$\begin{aligned}[b] W =& \left[ {\left( {2n - 1} \right){p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}}} \right]\left( {x_1^{\rm{s}} - {x_{{\rm{in}}}}} \right) + \\ &\dfrac{{\left( {n - 1} \right)p_{{\rm{in}}}^2{{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{3\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}} + \frac{{{{\left( {{p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}}} \right)}^2}{{\left( {{h_{\rm{p}}} + {h_0}} \right)}^3}}}{{12\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}} \end{aligned} $ (18)

从式(18)中可以看出,1维油膜开启力W主要决定于孔内非空化区长度,微孔间距和入口压力,且W与(hp+h03/hp正相关。

1.3 1个孔栏的油膜承载力

图4是根据在1维模型中孔区空化产生情况得到的不同类型的区域示意图,区域1中所有孔区都有空化产生,区域2中只有部分孔区有空化产生,区域3中所有的孔区都没有空化产生。

图4 1个孔栏中不同类型的油膜区域 Fig. 4 Different zone types in one period

由式(13)可知,在1个孔中,每个A–A截面(图1)的非空化区长度Xb是相等的,所以可以推知空化区的右边界是1段和左边界对称的圆弧,所以空化区如图4所示形状;由于前n–1孔的非空化区长度Xb都相等,所以空化区宽度相等,均为2b1,第n孔的空化区宽度为2b2

令孔内非空化区长度为:

$X{b_{{i}}} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} X{b_{{\rm{c1}}}},\, i \in {N_1}; \\ X{b_{{\rm{c2}}}},\, i \in {N_2}{\text{。}} \\ \end{array} \right.$

$X{b_{{i}}} < 2r,\quad i \in {N_1}$ ,有:

$X{b_{{\rm{c1}}}} = \frac{{({p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}}){{({h_{\rm{p}}} + {h_0})}^3}}}{{{\rm{3}}\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}} = 2\sqrt {{r^2} - b_1^2}{\text{。}} $

解得:

${b_1} = \sqrt {{r^2} - \frac{{{{({p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{cav}}}})}^2}{{({h_{\rm{p}}} + {h_0})}^6}}}{{{\rm{36}}{\eta ^{\rm{2}}}u_{\rm{1}}^{\rm{2}}h_{\rm{p}}^2}}} $ (19)

从而得到区域1中的油膜承载力 ${F_{{\rm{o}}1}} = 2\displaystyle\int_0^{{b_1}} {W{\rm{d}}y} $ ,积分化简,得:

$\begin{aligned}[b] {F_{{\rm{o}}1}} =& 2\left[ \dfrac{{\left( {n \!-\! 1} \right)p_{{\rm{in}}}^2{{\left( {{h_{\rm{p}}} \!+\! {h_0}} \right)}^3}}}{{3\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}} + \dfrac{{{{({p_{{\rm{in}}}} \!-\! {p_{{\rm{out}}}})}^2}{{\left( {{h_{\rm{p}}}\! +\! {h_0}} \right)}^3}}}{{12\eta {u_1}{h_{\rm{p}}}}} \right]{b_1}{\rm{ + }} \\ &\!\!\!\!\begin{array}{l}2\left[ {\left( {2n - 1} \right){p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}}} \right]\times \\ \left[ \dfrac{{L{b_1}}}{{2n}} - \dfrac{{{b_1}\sqrt {{r^2} - b_1^2} + {r^2}\arcsin \dfrac{{{b_1}}}{r}}}{2} \right] \end{array} \end{aligned} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ (20)

图4所示,区域2中的空化仅来自最后1个孔,所以对油膜承载力的影响很小。若不考虑区域2中的空化,区域2、3的承载力来源有两个:1)区域1的压力分布对区域2、3的影响;2)静压对区域2、3的影响。

根据文献[12],由于压力的分布是连续的,区域1中的压力已经解出,距离区域1无限远处(y无穷大时)压力应为静压。不妨设区域2、3中油膜内任一点的压力为静压和区域1压力相互叠加的形式,于是有:

$p(x,\;y) = \alpha p(x,\;{b_1}) + \beta {p_{{\rm{st}}}}(x)$ (21)

式中,pstx)为不考虑动压,静压单独作用时,在x处的压力值:

${p_{{\rm{st}}}}(x) = {p_{{\rm{in}}}} - \frac{x}{L}({p_{{\rm{in}}}} - {p_{{\rm{out}}}})$ (22)

式(21)应满足如下边界条件:

1)y无穷大时, $\alpha $ =0, $\;\beta $ =1;

2)y=b1时, $\alpha $ =1, $\;\beta $ =0;

3)p(0,y)=pinpLy)=pout

假设 $\alpha $ $\;\beta $ 只与y有关,构造函数:

$\begin{aligned}[b] p(x,\;y) =& \frac{a}{{y - {b_1} + a}}p(x,\;{b_1}) + \\ &\left( {1 - \frac{a}{{y - {b_1} + a}}} \right){p_{{\rm{st}}}}(x) \end{aligned} $ (23)

式中:a为常量,用于系数的无量纲化,由实验所得。本文工况1,d=247 μm,hp=5 μm模型中周期性边界上第1个压力峰值的数值解,得a=0.042 1 mm。

区域2、3的承载力为:

${F_{{\rm{o23}}}} = 2\int_{{b_1}}^{\frac{B}{2}} {{\rm{d}}y\int_{{x_{{\rm{in}}}}}^{{x_{{\rm{out}}}}} {p(x,\;y){\rm{d}}x} } $ (24)

由式(24)展开得:

$\begin{aligned}[b] {F_{{\rm{o}}23}} =& \left( {\frac{B}{2} - {b_1} - a\ln\frac{{B - 2{b_1} + a}}{{2a}}} \right)({p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}})L{\rm{ + }} \\ & a{\rm{ln}}\frac{{B \!-\! 2{b_1} \!+\! a}}{{2a}} \cdot \bigg[ {\left( {\dfrac{L}{n} \!-\! X{b_1}} \right)\left[ {\left( {2n \!-\! 1} \right){p_{{\rm{in}}}} \!+\! {p_{{\rm{out}}}}} \right] \!+ } \bigg.\\ & \bigg. {2(n - 1){p_{{\rm{in}}}}X{b_1} + ({p_{{\rm{in}}}} + {p_{{\rm{out}}}})X{b_{\rm{2}}}} \bigg] \end{aligned} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ (25)

总承载力:

$ {F_{\rm{o}}} = {F_{{\rm{o}}1}} + {F_{{\rm{o}}23}} $ (26)

$X{b_{{i}}} = 2r,\; i \in {N_1}$ 时,即当解析解无解的临界状态时,区域1的面积已经为0,空化产生的额外承载力只来自于区域2中最后一个孔,所能产生的额外承载力很小。解析解的最大承载力对应的式(26)的极大值一定是在区域1存在(解析解有解)时取得,所以当解析解无解时,不再研究。

2 数值模拟对比

数值模拟选取了n=4时的单元模型。

2.1 数值模拟实验

虽然CFD的方法较少在微织构活塞环的研究中使用,但没有Reynolds方程忽略了惯性力和入口处紊流而影响计算精度的问题[13],所以选择Fluent软件进行数值模拟实验。

模型中,L=1.6 mm,B=0.4 mm。为了使Xb有较大的改变范围,圆孔直径不宜太小,又希望有较为显著的性能变化,所以圆孔直径d取值为202、247、285 μm。曲轴转速为2 200 r/min,根据文献[14],工况参数选择具有代表性的高速高压差的工况1(u1=11.8 m/s,pin=2 MPa,pout=0.5 MPa)和低速低压差工况2(u1=3.4 m/s,pin=0.4 MPa,pout=0.1 MPa)两组。

活塞环在正常工作时的油膜刚度主要与最小油膜厚度有关,微孔也只在较小油膜厚度下才能产生较大的额外承载力从而增强油膜刚度,改善润滑条件,在前述工况下,缸套–活塞环系统的最小油膜厚度为1~5 μm[15]。在多个油膜厚度,动力黏度和空化压力下的数值模拟实验结果与解析解的对比有相同规律,由于篇幅受限,取油膜厚度h0=2 μm,动力黏度为 $\eta $ =0.025 Pa·s,空化压力pcav=20 kPa为例。模型网格使用ICEM划分,无关性分析(包括跨尺度分析)后选取最小网格尺寸2 μm,孔外油膜分为4层,孔内油膜保持每层油膜厚度为1 μm。

参考文献[16],并通过多组不同设置的实验结果对比,考虑到模型的合理性,计算的稳定性和收敛速度,最终Fluent里的主要设置如表1所示。

表1 Fluent里的主要设置 Tab. 1 Solver setting in Fluent

数值计算采用的实验组如表2所示,表2中“未计算”的数据组是由于该组实验已从计算数据得到完整的性能变化趋势,所以没有再进行计算。

表2 数值模拟中微孔尺寸范围 Tab. 2 Dimple size range in the numerical experiments

2.2 压力分布对比

数值计算所得1组压力云图如图5所示,表2中其他实验组所得压力云图也相似。

图5 工况1,d=247 μm 压力云图 Fig. 5 Pressure distribution contour under working condition 1,d=247 μm

在式(16)中代入图5中的工况,物性参数和油膜几何尺寸,得到此时解析解有解的孔深范围约为0.08 μm至7.31 μm。可以看出,在孔深未超出式(16)中的范围时(如图5(a)(b)(c)),压力分布有前3孔相似,第4孔压力较低的规律,这与式(9)表达的规律一致,而且最后1个孔的空化区面积较大,与解析解所得到的图4表达的规律一致。随着孔深hp的增加,压力云图上出现了低压区收缩,高压区扩张的变化趋势。而由式(13)、(19)也可知,随着孔深hp的增加,空化区宽度b减小,孔内非空化区长度Xb增加,所以低压区随着孔深hp的增加而不断收缩。

在孔深超出式(16)中的范围时(如图5(d)),在压力云图上,压力分布不再有上述规律,并且前三孔依然存在空化区。这是由于解析计算中忽略了液膜厚度方向上的压力变化,并假设流体为单向层流流动,而在较深的微孔模型中,孔内的油膜厚度变大,沿油膜厚度方向的压力变化已经不能忽视,或者孔内里的润滑油流动不再是单向的层流流动,涡流等因素导致计算模型不再适用。

为了更直观地对比,定义通过4孔中心线,并贯穿模型的截面为中心面,选取距离中心面不同lc(参见图1)的A–A截面,对比这些截面x方向上的数值解与解析解的压力分布,其中几组如图6所示,其他组规律一致。

                          S:数值解;A:解析解。 图6 区域1中x方向上的工况2压力分布对比 Fig. 6 Pressure distribution in x direction in zone 1 under working condition 2

图6所示,区域1中压力分布的数值解和解析解相吻合:都表现出前3孔压力分布基本相同,第4孔相比前3孔压力较低,前3孔和第4孔峰值压力差的数值解接近解析解pinpout,数值模拟得到的压力峰值的x坐标及空化区对应的区域也与解析计算结果基本吻合,且得到的压力变化趋势接近于线性。数值解所得压力稍大于解析解,是由于解析解只考虑了1维上Rayleigh台阶所产生的动压效应,没有考虑圆孔在xOy平面上具有的收敛性楔。

2.3 承载力对比

通过式(20)、(25)、(26)得到的一个孔栏油膜承载力的解析解与数值模拟得到的数值解进行对比,如图7所示。在解析解有解,数值解可求的范围内,数值解与解析解基本趋势相吻合,解析解与数值解相差在10%以内。承载力最大值所对应的孔深,解析解与数值模拟的结果一致。解析解在孔深较大时与数值解偏差较大,是由于当孔深较大时,由式(13)、(19)可知,区域1中的空化区面积已经较小,解析解未考虑的区域2中的空化区产生的额外承载力对总承载力的影响变大,使偏差变大。

           S:数值解;A:解析解。 图7 数值解与解析解的开启力对比 Fig. 7 Load capacity comparison of numerical and analytical solution

hp过小时,由于网格质量差,数值模拟计算不收敛;同时解析解基于所有孔都产生空化这个前提条件,所以只在所有孔都产生空化的孔深范围才有解。但解析解和数值解中都包含了承载力最大值。

3 结 论

得到的解析解在满足式(15)时有解,主要结论如下:

1)在均布圆柱形孔活塞环中,解析解和数值解在空化区分布和压力分布上的结果相似,油膜承载力有相同的变化趋势,相差不超过10%。

2)在均布圆柱形孔活塞环中,微孔出口处压力最大。除最后一个孔外,各个孔的压力分布相同,最大压力相等,最大压力约为进口压力的2倍,最后一个孔的压力分布和最大压力还与出口压力相关,最大压力约为进口压力与出口压力之和。

3)在剪切流占主导的缸套–活塞环系统中,若只考虑孔深的影响,非空化区长度Xb∝(hp+h03/hp,所以当hp>0.5h0时,Xb随着孔深hp的增加而增加,空化区面积随着hp的增加而减小,即随着孔深hp的增加,低压区收缩,高压区扩张。

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