工程科学与技术   2020, Vol. 52 Issue (1): 38-45
基于混合物理论的饱和介质体应变本构模型
胡亚元     
浙江大学 滨海与城市岩土工程研究中心,浙江 杭州 310058
基金项目: 国家自然科学基金项目(51178419)
摘要: 为解决饱和多孔介质的建模问题,采用工程混合物理论建立了饱和多孔介质体积本构理论框架。首先,假定多孔固相与流相基质体积变形功相互独立,采用Terzaghi有效球应力、孔压和流体基质压力作为本构模型的应力状态变量,获得了固相、固相基质和流相基质体应变的余能表达式。其次,根据Lade和de Boer模型试验测试数据,建立了加卸载阶段饱和多孔白塞木立方体流固两相体积本构方程,推导了固相体积切线模量、Biot切线系数和流相Biot切线模量等力学参数计算公式;分析了加载阶段固相体积切线模量、Biot切线系数、流相Biot切线模量等力学参数随Terzaghi有效球应力和孔压的变化规律。最后,根据本文体积本构模型和静力平衡方程建立了饱和多孔介质的1维固结方程,数值分析了饱和多孔白塞木立方体的固结特性,获得了固结度和沉降随时间的变化曲线。研究表明:固相体积切线模量随Terzaghi有效球应力的增大而增大,随孔压u的增大而减小。Biot切线系数介于0.42~0.95之间,随Terzaghi有效球应力和孔压的增大而减小。流体Biot切线模量随Terzaghi有效球应力的增大先减小后增大,随孔压增大而减小。孔压切线系数在大多数情况下小于1.0。考虑固相基质变形时饱和多孔介质的初始孔压不等于外荷载,因此饱和多孔介质在外荷载作用下存在瞬时沉降。本文的建模方法可用于非线性饱和多孔介质的建模和数值分析工作。
关键词: 工程混合物理论    饱和多孔介质    固相体应变    固相基质体应变    流体渗出量    
Bulk Strain Constitutive Models of Saturated Media Based on Mixture Theory
HU Yayuan     
Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Eng., Zhejiang Univ., Hangzhou 310058, China
Abstract: In order to solve the modeling problems of saturated porous media, the engineering mixture theory was used to formulate the bulk constitutive theoretical framework of saturated porous media. Firstly, Supposing that the bulk deformation works of porous solid and fluid matrix were mutually independent and using Terzaghi’s effective spherical stress and pore pressure and fluid matrix pressure as stress state variables of constitutive model, the bulk stains expressions of solid phase and solid matrix and fluid matrix were obtained in the complementary energy. Secondly, the solid and fluid bulk constitutive equations of saturated porous cubes of balsawood in the loading and unloading stages were founded on the basis of the measuring data of model test conducted by Lade and de Boer. The calculating formulae of mechanical parameters were deduced such as solid bulk tangent modulus, Biot’s tangent coefficient and fluid Biot’s tangent modulus and so on. The change rules of mechanical parameters along with Terzaghi’s effective spherical stress and pore pressure were analyzed in the loading stage for solid bulk tangent modulus, Biot’s tangent coefficient and fluid Biot’s tangent modulus and so on. Finally, the one-dimensional consolidation equation of saturated porous media was derived from the bulk constitutive models of the paper and static balance equation. The consolidation behaviors of saturated porous cubes of balsawood were numerically analyzed and the change curves of consolidation degree and settlement with time were obtained. The researches show that, the solid bulk tangent modulus increased along with Terzaghi’s effective spherical stress and decreased along with pore pressure. The Biot’s tangent coefficient was between 0.42~0.95 and decreased along with Terzaghi’s effective spherical stress and pore pressure. The fluid Biot’s tangent modulus decreased firstly and then increased with Terzaghi’s effective spherical stress, and decreased with the increase of pore pressure. The tangent coefficient of pore pressure was less than 1.0 in most cases. The initial pore pressure was not equal to the external load in saturated porous media considering the compressibility of solid matrix. Thus the immediate settlement exists in saturated porous media after external load was applied. The modeling method in the paper can be used to model and numerically analyze nonlinear saturated porous media.
Key words: engineering mixture theory    saturated porous media    solid bulk strain    solid matrical bulk strain    fluid seepage amount    

在水利水电、海底隧道、核废料深埋储存和矿产开发等工程中,经常会遇到饱和岩体、饱和混凝土和饱和煤炭等饱和多孔介质,对其工程力学特性进行理论分析时势必需要相应的饱和多孔介质本构模型。孔隙流体不能承受剪应力,饱和多孔介质的应力–渗流耦合作用首先表现在固流体应变之间的相互作用,因此建立饱和多孔介质体积本构模型在饱和多孔介质工程中具有重要的理论意义和实用价值。

岩体颗粒材料和孔隙中流体在饱和多孔介质混合物理论中分别被称为固相基质和流相基质。以往通常采用Terzaghi有效应力原理建立饱和多孔介质的本构模型。然而,张国新[1]对小湾水电站蓄水后的库区变形进行仿真分析时发现,上游库岸变形按Terzaghi有效应力原理建模计算为上浮24.5 mm,实测却是最大30 mm的沉降。造成这一错误的原因在于Terzaghi有效应力忽略了固相基质的压缩变形。为此,Biot[2]通过引入Biot孔压系数修正Terzaghi有效应力,以反映固相基质压缩性对有效应力表达式的影响,并建立了一般饱和多孔介质的线弹性宏观力学理论。Skempton[3]提出线弹性饱和多孔介质的一般有效应力公式。受饱和土力学有效应力原理影响,岩土学者希望在Biot宏观力学理论指导下,采用单一的Skempton有效应力公式建立饱和多孔介质的非线性本构模型,然而进展十分缓慢。瓶颈主要在于在非线性饱和多孔介质中,Biot系数不再是一个定值[4],如何合理确定Skempton有效应力公式中的Biot系数,成为采用Biot宏观力学理论建立饱和多孔介质非线性本构理论的一个难点。

除Biot宏观力学理论外,混合物理论也是建立饱和多孔介质本构模型的有效方法。Hassanizadeh和Gray[5]通过把混合物组分分为细观真实构形和宏观连续介质构形,建立了体积分数混合物理论。Barthelemy[6]和朱其志[7]等根据Eshelby夹杂问题解和细观力学均匀化理论建立饱和岩体宏观本构关系。曹林卫[8]、Chen[9]、朱其志[10]、刘武[11]和杨磊[12]等研究了裂隙细观塑性特性对饱和岩体宏观本构模型的影响。Houlsby等[13]提出工程混合物理论的研究思路,假定固液两相基质不可压缩,从经典混合物能量守恒方程出发证明饱和土选用Terzaghi有效应力和非饱和土选用双应力变量建模的合理性。Borja[14]在考虑组分基质压缩性条件下,企图证明Skempton有效应力是工程混合物能量方程的一个应力状态变量。胡亚元[15]根据均匀化响应原理研究了工程混合物能量表达式的合理形式,证明了Terzaghi有效应力、固相基质压力(或孔压)和流相基质压力是饱和多孔介质能量方程的状态变量。Hu[16]采用Terzaghi有效应力、固相基质压力(或孔压)和流相基质压力建立了饱和多孔介质一般形式的超弹性本构方程。

工程混合物理论既强调能量守恒方程和热力学势函数在各组分本构方程中的决定性作用,以确保理论严密性,又要求建模采用的应力应变状态变量在工程和试验中便于测量,以确保模型的实用性。本文在工程混合物理论指导下,结合Lade和de Boer的模型试验[17],采用在工程和室内试验中方便实测的孔压和Terzaghi有效应力研究饱和多孔介质的具体本构方程,供饱和多孔介质理论分析和工程实践参考。

1 饱和多孔介质体应变本构一般理论

饱和多孔介质混合物由固相和流相两个组分组成,各自占据混合物的一部分空间。在混合物理论中,将固相部分和流相部分按照其体积分数平均化到整个混合物空间之中,经平均化后,固相和流相均充满了整个混合物空间,各个组分的质点可以互不相容地占据同一个空间点[5,14-15]。因此,固相和流相组分在混合物中存在两种构形:一种是组分实际存在的细观真实构形,这一构形产生的应变称为组分基质应变,固相用 ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ 表示,流相用 ${\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}$ 表示;另一种是按体积分数平均化到整个混合物的宏观连续变化构形,这一构形产生的应变称为组分应变,固相用 ${\varepsilon _{{\rm{SV}}}}$ 表示,流相用 ${\varepsilon _{{\rm{FV}}}}$ 表示。

${\rm{S}}$ 表示固相,F表示流相。令 $\alpha \in \{ {\rm{S,F}}\} $ 为组分变量, ${n_\alpha }$ 表示 $\alpha $ 组分的体积分数, ${n_{\alpha 0}}$ 表示 $\alpha $ 组分的初始体积分数, ${\;\rho _{{\rm{R}}\alpha }}$ 表示 $\alpha $ 组分的真实密度(或材料密度), ${\;\rho _{{\rm{R}}\alpha 0}}$ 表示 $\alpha $ 组分的初始真实密度, ${\;\rho _\alpha } = {n_\alpha }{\rho _{{\rm{R}}\alpha }}$ 表示组分的平均密度, ${\;\rho _{\alpha 0}} = {n_{\alpha 0}}{\rho _{{\rm{R}}\alpha 0}}$ 表示组分的初始平均密度[15]。对于饱和多孔介质,体积分数 ${n_\alpha }$ 满足 ${n_{\rm{S}}} + {n_{\rm{F}}} = 1$ 。根据工程混合物理论,小应变条件下固相和流相的基质体应变为[15,18]

${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} = \ln ({\rho _{{\rm{RS}}}}/{\rho _{{\rm{RS0}}}}) \approx ({\rho _{{\rm{RS}}}} - {\rho _{{\rm{RS0}}}})/{\rho _{{\rm{RS0}}}}$ (1)
${\varepsilon _{{\rm{RFV}}}} = \ln ({\rho _{{\rm{RF}}}}/{\rho _{{\rm{RF0}}}}) \approx ({\rho _{{\rm{RF}}}} - {\rho _{{\rm{RF0}}}})/{\rho _{{\rm{RF0}}}}$ (2)

$e$ 为孔隙比, ${e_0}$ 为初始孔隙比, ${n_{\rm{S}}} = 1/(1 + e)$ ${n_{{\rm{S0}}}} = 1/(1 + {e_0})$ 。固相体积分数应变为:

${\varepsilon _{{\rm{Sf}}}} = \ln \frac{{{n_{\rm{S}}}}}{{{n_{{\rm{S0}}}}}} = - \ln \frac{{1 + e}}{{1 + {e_0}}} \approx \frac{{{e_0} - e}}{{1 + {e_0}}}$ (3)

式(3)与土力学中描述孔隙变化的骨架应变相同。由 ${\;\rho _\alpha } = {n_\alpha }{\rho _{{\rm{R}}\alpha }}$ 可得固相和流相的组分体应变为[15]

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = \ln ({\rho _{\rm{S}}}/{\rho _{{\rm{S0}}}}) \approx {\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} + {\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ (4)
${\varepsilon _{{\rm{FV}}}} = \ln ({\rho _{\rm{F}}}/{\rho _{{\rm{F0}}}}) \approx {\varepsilon _{{\rm{RFV}}}} - {n_{{\rm{S0}}}}{\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}/{n_{{\rm{F0}}}}$ (5)

为与文献[18]中小应变条件下的应变公式相一致,式(1)~(5)中的“ $ \approx $ ”下文用“ $ = $ ”代替。

设在小应变条件下 ${\sigma _{{\rm{Sm}}}}$ 为饱和多孔介质混合物中固相承受的球应力, ${\sigma _{{\rm{Fm}}}}$ 为混合物中流相承受的球应力; ${P_{\rm{S}}} = {\sigma _{{\rm{Sm}}}}/{n_{{\rm{S0}}}}$ 为固相基质压力, $u = {\sigma _{{\rm{Fm}}}}/{n_{{\rm{F0}}}}$ 为流相基质压力(或称为孔压); ${\sigma _{\rm{m}}}$ 为饱和多孔介质的总球应力。根据混合物理论可得[14-15]

${\sigma _{\rm{m}}} = {\sigma _{{\rm{Sm}}}} + {\sigma _{{\rm{Fm}}}} = {n_{{\rm{S0}}}}{P_{\rm{S}}} + {n_{{\rm{F0}}}}u$ (6)

Terzaghi有效球应力公式为 $\sigma {'_{\rm{m}}} = {\sigma _{\rm{m}}} - u$ ,饱和多孔介质的总体积变形功率可表示为[15]

${\dot W} = {n_{{\rm{S0}}}}{P_{\rm{S}}}{\dot \varepsilon _{{\rm{RSV}}}} + {n_{{\rm{F0}}}}u{\dot \varepsilon _{{\rm{RFV}}}} + \sigma {'_{\rm{m}}}{\dot \varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ (7)

孔隙中流相基质的本构关系一般假定为与流体单独存在时相同,这说明式(7)中流相基质的变形功与固相体积分数应变和固相基质应变的变形功相互独立,因此式(7)中的 $\dot W$ 可表示为:

$\dot W = {\dot W_{\rm{S}}}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}} \right) + {\dot W_{{\rm{RF}}}}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}} \right)$ (8)

式(7)与(8)恒相等,根据变量 ${\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ ${\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}$ 之间相互独立的性质,可得:

${n_{{\rm{S0}}}}{P_{\rm{S}}} = \partial {W_{\rm{S}}}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}} \right)/\partial {\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ (9)
$\sigma {'_{\rm{m}}} = \partial {W_{\rm{S}}}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}} \right)/\partial {\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ (10)
$u = \partial [{W_{{\rm{RF}}}}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}} \right)/{n_{{\rm{F0}}}}]/\partial {\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}$ (11)

利用式(6)和 $\sigma {'_{\rm{m}}} = {\sigma _{\rm{m}}} - u$ 可得:

${n_{{\rm{S0}}}}u = {n_{{\rm{S0}}}}{P_{\rm{S}}} - \sigma {'_{\rm{m}}}$ (12)

用变量( ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ , ${\varepsilon _{{\rm{SV}}}}$ )代替式(9)~(10)中的( ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ ${\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ ), ${W_{\rm{S}}}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}} \right)$ 可形式地写为 $W_{\rm{S}}^*\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{SV}}}}} \right)$ 。根据 ${\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = {\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} + {\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ 和偏微分变量变换定理得:

${n_{{\rm{S0}}}}u = \partial W_{\rm{S}}^*\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{SV}}}}} \right)/\partial {\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ (13)
$\sigma {'_{\rm{m}}} = \partial W_{\rm{S}}^*\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{SV}}}}} \right)/\partial {\varepsilon _{{\rm{SV}}}}$ (14)

根据Legendre变换,定义固相和流相基质的余能为:

${G_{\rm{S}}}\left( {{n_{{\rm{S}}0}}u,\sigma '_{\rm{m}}} \right) \!=\! {n_{{\rm{S}}0}}u{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} \!+ \!\sigma '_{\rm{m}}{\varepsilon _{{\rm{SV}}}}\! -\! W_{\rm{S}}^{*}\left( {{\varepsilon _{{\rm{RSV}}}},{\varepsilon _{{\rm{SV}}}}} \right)$ (15)
${G_{{\rm{RF}}}}(u) = u{\varepsilon _{{\rm{RFV}}}} - {W_{{\rm{RF}}}}({\varepsilon _{{\rm{RFV}}}})/{n_{{\rm{F0}}}}$ (16)

对式(15)、(16)分别求全微分,利用式(11)~(14)可得固相、固相基质和流相基质体应变的余能表达式为:

${\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = \partial {G_{\rm{S}}}\left( {{n_{{\rm{S}}0}}u,\sigma {'_{\rm{m}}}} \right)/\partial \sigma {'_{\rm{m}}}$ (17)
${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} = \partial {G_{\rm{S}}}\left( {{n_{{\rm{S}}0}}u,\sigma {'_{\rm{m}}}} \right)/\partial ({n_{{\rm{S}}0}}u)$ (18)
$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\varepsilon _{{\rm{RFV}}}} = \partial {G_{{\rm{RF}}}}\left( u \right)/\partial u$ (19)

式(17)~(19)为饱和多孔介质体积本构模型的一般理论。从式(17)~(19)可以看出,由于 ${n_{{\rm{S}}0}}$ 为常量,故孔压与Terzaghi有效球应力共同决定固相基质体应变和固相体应变,孔压唯一决定流相基质体应变。

以Lade和de Boer[17]模型试验研究的饱和多孔白塞木立方体为例,研究如何在一般饱和多孔介质体积本构理论式(17)~(19)的指导下,根据室内试验测试数据建立饱和多孔白塞木本构模型的具体表达式。

2 加载阶段的体积本构关系 2.1 模型建立

Lade和de Boer[17]用强压缩性白塞木充当固相骨架,胶结成不同孔隙的立方体形成多孔介质模型,见图1[17]。试样初始总体积 ${V_0} = 203.2\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$ ,孔隙率 ${n_{{\rm{F0}}}} = $ 0.436。用液态乳胶覆盖堵塞固相骨架表面孔洞,防止水进入白塞木内部,然后完全浸没水中达到饱和状态。在实验室进行等向压缩试验,通过施加不同的总球应力和孔隙水压力,量测获得固相体应变和固相基质体应变试验数据。运用这些试验数据建立饱和多孔介质固流两相的体积本构模型。

图1 试验模型 Fig. 1 Test model

由式(18)可知,Terzaghi有效球应力与孔压共同决定固相基质体应变 ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ ,根据加载阶段试验数据呈现的变化规律,如图2所示。 ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ 可表示为:

图2 固相基质体应变拟合曲面与实测数据对比 Fig. 2 Comparison between the fitting surface of solid matrix bulk strain with measured data

${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} = ({a_1}u + {a_2}\sigma {'_{\rm{m}}})/(1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})$ (20)

利用MATLAB软件进行拟合,式(20)中各参数值为 ${a_1} = 2.855 \times {10^{ - 5}}\;{\rm{ kPa}}{{\rm{}}^{ - 1}}$ ${a_2} = 1.654 \times {10^{ - 5}}\;{\rm{ kPa}}{{\rm{}}^{ - 1}}$ ${a_3} = $ $ - 1.984 \times {10^{ - 3}}\;{\rm{ kPa}}^{ - 1}$ ,相关系数为 ${R^2} $ =0.984 4。由于 ${a_1}$ ${a_2}$ 不满足 ${a_1} = {a_2}{n_{{\rm{S0}}}}$ ,故 ${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}$ 不唯一取决于 ${P_{\rm{S}}}$ ,说明均匀化响应原理[15]不适合于饱和多孔白塞木立方体的力学特性。对式(20)按式(18)积分得:

$\begin{aligned}[b] & {{G_{\rm{S}}}\left( {{n_{{\rm{S}}0}}u,\sigma {'_{\rm{m}}}} \right) = \int {\varepsilon _{{\rm{RSV}}}}{\rm{d}} ({n_{{\rm{S}}0}}u) = f\left( {\sigma {'_{\rm{m}}}} \right) + \frac{{{a_1}}}{{{a_3}}}u + }\\ & \;\;\;\;\;\;{\left(\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}}}\sigma {'_{\rm{m}}} - \frac{{{a_1}}}{{a_3^2{n_{{\rm{S}}0}}}}\right)\ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}} \end{aligned} $ (21)

式(21)按式(17)求 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 偏导可得固相体应变 ${\varepsilon _{{\rm{SV}}}}$ 为:

$ \begin{aligned}[b] & {{\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = \frac{{\partial {G_{\rm{S}}}\left( {{n_{{\rm{S}}0}}u,\sigma '_{\rm{m}}} \right)}}{{\partial \sigma '_{\rm{m}}}} = \frac{{\partial f\left( {\sigma '_{\rm{m}}} \right)}}{{\partial \sigma '_{\rm{m}}}} + \ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma '_{\rm{m}}}}{{1 + {a_3}\sigma '_{\rm{m}}}} \times }\\ & \;\;\;\;\;\;\;{\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}}} + \frac{{{a_1} + {a_3}({a_1} - {a_2}{n_{{\rm{S}}0}})\sigma '_{\rm{m}}}}{{(1 + {a_3}\sigma '_{\rm{m}})(1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma '_{\rm{m}})}}u} \end{aligned}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $ (22)

根据加载试验数据,如图3所示,利用MATLAB进行拟合,可得加载阶段 $\partial f\left( {\sigma {'_{\rm{m}}}} \right)/\partial \sigma {'_{\rm{m}}}$ 是关于 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 的双曲线函数。

图3 固相体应变拟合曲面与实测数据对比 Fig. 3 Comparison between the fitting surface of solid bulk strain with measured data

由此可得式(22)的具体表达式为:

$ \begin{aligned}[b] &{{\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = \frac{{\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{{b_1}\sigma {'_{\rm{m}}} + {b_2}}} + \frac{{{a_1} + {a_3}({a_1} - {a_2}{n_{{\rm{S}}0}})\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{(1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})(1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})}}u + }\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}}}\ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}} \end{aligned}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $ (23)

式中, ${b_1} = 32.96$ ${b_2}$ =5 301 kPa,相关系数为 ${R^2} = $ 0.948 8。

将式(20)与(23)代入式(4)可得 ${\varepsilon _{{\rm{Sf}}}}$ 的表达式为:

$\begin{aligned}[b] &{{\varepsilon _{{\rm{Sf}}}} = \frac{{\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{{b_1}\sigma {'_{\rm{m}}} + {b_2}}} - \frac{{{a_2}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}} + }\\ &\;\;\;\;\;\;{\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}}}\ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}} \end{aligned} $ (24)

一个完备的饱和多孔介质本构模型必须同时包括固相和流相本构方程,下面建立流相本构方程。由式(19)可知孔压 $u$ 唯一决定流相基质体应变 ${\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}$ 。假设孔隙中流相为理想弹性体,有:

${\varepsilon _{{\rm{RFV}}}} = u/{K_{\rm{F}}}$ (25)

式中, ${K_{\rm{F}}}$ 为流相基质的体积压缩模量, ${K_{\rm{F}}}$ =2 GPa。

将式(24)~(25)代入式(5)可获得流相体应变 ${\varepsilon _{{\rm{FV}}}}$ 为:

$ \begin{aligned}[b] & {{\varepsilon _{{\rm{FV}}}} =\frac{1}{{{K_{\rm{F}}}}}u - \frac{{{n_{{\rm{S0}}}}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{{n_{{\rm{F0}}}}({b_1}\sigma {'_{\rm{m}}} + {b_2})}} + \frac{{{a_2}{n_{{\rm{S0}}}}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{{n_{{\rm{F0}}}}(1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})}} - }\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{F}}0}}}}\ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}} \end{aligned} $ (26)

由于渗流在饱和多孔介质力学中占据重要地位,流相本构关系通常用渗出量表示,其表达式为[19]

${\xi _{{\rm{FV}}}} = {n_{{\rm{F0}}}}({\varepsilon _{{\rm{FV}}}} - {\varepsilon _{{\rm{SV}}}})$ (27)

将式(23)和(26)代入式(27)得:

$ \begin{aligned}[b] & {{\xi _{{\rm{FV}}}} = - \frac{{\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{{b_1}\sigma {'_{\rm{m}}} + {b_2}}} + \frac{{{a_2}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}} - \frac{{{n_{{\rm{F0}}}}({a_1}u + {a_2}\sigma {'_{\rm{m}}})}}{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}} - }\\ &\;\;\;\;\;\; \;\;\;{\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}}}\ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}}{{1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}}} + \frac{{{n_{{\rm{F0}}}}}}{{{K_{\rm{F}}}}}u} \end{aligned}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $ (28)

式(23)和(28)即是饱和多孔白塞木固流两相的本构方程。现根据本构方程(23)和(28)研究饱和多孔介质Biot宏观力学理论的各力学参数。

2.2 固相体积切线模量和Biot切线系数分析

在饱和多孔介质线弹性模型中,当固相基质压缩性不可忽略时,可采用Skempton有效应力这一个应力变量建立固相体应变的本构模型[2-4]。然而在非线性固相基质的饱和多孔介质固相体应变本构表达式(式(23))中,Terzaghi有效球应力和孔压完全耦合在一起,不再存在一个Biot系数可把Terzaghi有效应力变为全量形式的Skempton有效应力,以便采用唯一的有效应力变量表示固相体应变 ${\varepsilon _{{\rm{SV}}}}$ 。究其原因在于饱和多孔介质的非线性固相基质的体积模量,如式(20)所示,会随着Terzaghi有效球应力和孔压这两个应力变量发生动态耦合变化。全量形式的Skempton有效应力已经难以刻画这一动态耦合发展过程,限制了Biot宏观力学理论在饱和多孔介质非线性模型中的应用。

在饱和多孔介质非线性本构理论中,为衡量总应力和孔压对固相体应变量的贡献比例,只能引入微分形式(增量形式)的Biot切线系数 ${\eta _{\rm{t}}}$ 。固相体应变增量可以用Biot切线系数 ${\eta _{\rm{t}}}$ 表示为:

${\rm{d}} {\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = \left( {{\rm{d}} {\sigma _{\rm{m}}} - {\eta _{\rm{t}}}{\rm{d}} u} \right)/{K_{{\rm{bt}}}}$ (29)

式中, ${K_{{\rm{bt}}}}$ 为固相体积切线模量。对式(23)求微分后利用 $\sigma {'_{\rm{m}}} = {\sigma _{\rm{m}}} - u$ ,可得式(29)中的 ${K_{{\rm{bt}}}}$ ${\eta _{\rm{t}}}$ 表达式为:

$\! \begin{aligned}[b] & {\frac{1}{{{K_{{\rm{bt}}}}}} = \frac{{{b_2}}}{{{{({b_1}\sigma {'_{\rm{m}}} + {b_2})}^2}}} - \frac{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}u}}{{{{(1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})}^2}}} \times }\\ &\;\;\;\;\;\;\;\; {\frac{{[2{a_2} + {a_3}u({a_2}{n_{{\rm{S0}}}} - {a_1})](1 + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}}) + {a_2}{a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u}}{{{{(1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})}^2}}}} \end{aligned}\!\!\!\!\!\! $ (30)
${\eta _{\rm{t}}} = 1 - {n_{{\rm{S}}0}}{K_{{\rm{bt}}}}\frac{{{a_2} + {a_3}({a_2}{n_{{\rm{S0}}}} - {a_1})u}}{{{{(1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})}^2}}}$ (31)

把模型参数a1a2a3b1b2代入式(30)和(31),可得 ${K_{{\rm{bt}}}}$ ${\eta _{\rm{t}}}$ 的变化规律如图45所示。

图4 固相体积切线模量随有效球应力与孔压变化 Fig. 4 Change of solid bulk tangent modulus with effective spherical stress and pore pressure

图5 Biot切线系数随有效球应力与孔压的变化 Fig. 5 Change of Biot’s tangent coefficient with effective spherical stress and pore pressure

图4可知, ${K_{{\rm{bt}}}}$ $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 的增大而增大,随 $u$ 的增大而减小, $\sigma {'_{\rm{m}}}$ ${K_{{\rm{bt}}}}$ 的影响比 $u$ 更明显。由图5可知: ${\eta _{\rm{t}}}$ 介于0.42~0.95之间,随着 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ $u$ 的增大而减小; $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 越大, ${\eta _{\rm{t}}}$ $u$ 减小的速率越大; $\sigma {'_{\rm{m}}}$ ${\eta _{\rm{t}}}$ 的影响大于 $u$ ${\eta _{\rm{t}}}$ 的影响。

2.3 流相Biot切线模量和孔压切线系数分析

与固相体应变类似,渗出量式(28)也无法像Biot宏观理论一样可以用全量形式的流相Biot模量表示。但可以把渗出量式(28)表示为增量形式,获得流相Biot切线模量 ${M_{\rm{t}}}$ ${M_{\rm{t}}}$ 的定义式为:

${\rm{d}}u = {M_{\rm{t}}}{\rm{(d}}{\xi _{{\rm{FV}}}} + {\eta _{\rm{t}}}{\rm{d}}{\varepsilon _{{\rm{SV}}}})$ (32)

$\frac{1}{{{K_{{\rm{St}}}}}} = \frac{{{a_1} - {a_2} + {a_3}({a_1} - {a_2}{n_{{\rm{S}}0}}){\sigma _{\rm{m}}}}}{{{{(1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma {'_{\rm{m}}})}^2}}}$ (33)

对式(28)求导得:

$ {\rm{d}}{\xi _{{\rm{FV}}}} = - \frac{{{\eta _{\rm{t}}}}}{{{K_{{\rm{bt}}}}}}{\rm{d}}{\sigma _{\rm{m}}} + \left(\frac{{{n_{{\rm{F0}}}}}}{{{K_{\rm{F}}}}} + \frac{{{n_{{\rm{S}}0}}}}{{{K_{{\rm{St}}}}}} + \frac{{{\eta _{\rm{t}}}}}{{{K_{{\rm{bt}}}}}}\right){\rm{d}}u $ (34)

联合求解式(29)和(34),并利用式(33)可得:

${M_{\rm{t}}} = 1/({n_{{\rm{F0}}}}/{K_{\rm{F}}} + {n_{{\rm{S}}0}}/{K_{{\rm{St}}}} + {\eta _{\rm{t}}}/{K_{{\rm{bt}}}} - \eta _{\rm{t}}^2/{K_{{\rm{bt}}}})$ (35)

利用参数a1a2a3计算 ${K_{{\rm{St}}}}$ ,然后把 ${K_{{\rm{St}}}}$ ${K_{{\rm{bt}}}}$ ${K_{\rm{F}}}$ 代入式(35),可得 ${M_{\rm{t}}}$ 的变化规律如图6所示。

图6 流相Biot切线模量随有效球应力与孔压变化 Fig. 6 Change of fluid Biot’s tangent modulus with effective spherical stress and pore pressure

图6可知:当 $u = 0$ 时, ${M_{\rm{t}}}$ 随着 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 的增大从63.1减小到51.6 MPa;当 $u = 150$ kPa时, ${M_{\rm{t}}}$ $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 增大先从45.9减小到41.5后增大到48.4 MPa; ${M_{\rm{t}}}$ $u$ 的增大而减小, $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 越大, ${M_{\rm{t}}}$ $u$ 减小的速率越小。

在三轴不排水试验中,孔压切线系数 ${B_{\rm{t}}}$ 定义为 ${B_{\rm{t}}} = {\rm{d}} u/{\rm{d}} {\sigma _{\rm{m}}}$ 。由不排水条件 ${\rm{d}}{\xi _{{\rm{FV}}}} = 0$ 可知固相体积压缩量等于固流两相基质的体积压缩量之和:

${V_0}{\rm{d}} {\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = {n_{{\rm{S0}}}}{V_0}{\rm{d}} {\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} + {n_{{\rm{F0}}}}{V_0}{\rm{d}} {\varepsilon _{{\rm{RFV}}}}$ (36)

将式(20)和(25)微分后与式(29)代入式(36)得:

${B_{\rm{t}}} = 1/[1{\rm{ + }}{n_{{\rm{S}}0}}{K_{{\rm{bt}}}}/({\eta _{\rm{t}}}{K_{{\rm{St}}}}{\rm{) + }}{n_{{\rm{F0}}}}{K_{{\rm{bt}}}}/({\eta _{\rm{t}}}{K_{\rm{F}}})]$ (37)

${K_{{\rm{St}}}}$ ${K_{{\rm{bt}}}}$ ${K_{\rm{F}}}$ 值代入式(37)可获得孔压切线系数 ${B_{\rm{t}}}$ 的变化规律如图7所示。

图7 孔压切线系数随有效球应力与孔压的变化 Fig. 7 Change of pore pressure coefficient with effective spherical stress and pore pressure

图7可知: ${B_{\rm{t}}}$ 介于0.79~1.02之间。当孔压 $u$ 为0时,随着 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 增大, ${B_{\rm{t}}}$ 从0.96逐渐减小到0.79;当 $u$ 为150 kPa时,随着 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 增加, ${B_{\rm{t}}}$ 从0.97先减小到0.94,然后逐渐增大到1.02。当 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 一定时, ${B_{\rm{t}}}$ 随着 $u$ 增加而逐渐增大; $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 越大, ${B_{\rm{t}}}$ 随着 $u$ 增加的幅值越大。在大部分应力区域下,饱和多孔白塞木立方体的 ${B_{\rm{t}}}$ 小于1.0,这一数值计算结果与Lade和de Boer[17]的分析结果一致。造成这一结果的原因是孔压对固相基质的等效压缩刚度小于孔压对固相的等效压缩刚度。

2.4 孔隙比公式和孔隙率变化规律研究

饱和多孔介质渗透系数的压敏性与孔隙比关系密切[9-10]。将式(24)代入式(3)得到孔隙比表达式为:

$ \begin{aligned}[b] & e = {e_0} - (1 + {e_0})\left(\frac{{\sigma '_{\rm{m}}}}{{{b_1}\sigma '_{\rm{m}} + {b_2}}} - \frac{{{a_2}\sigma '_{\rm{m}}}}{{1 + {a_3}\sigma '_{\rm{m}}}} + \right. \\ &\;\;\;\;\;\;\; \left.\frac{{{a_2}{n_{{\rm{S}}0}} - {a_1}}}{{{a_3}{n_{{\rm{S}}0}}}}\ln \frac{{1 + {a_3}{n_{{\rm{S0}}}}u + {a_3}\sigma '_{\rm{m}}}}{{1 + {a_3}\sigma '_{\rm{m}}}}\right) \end{aligned} $ (38)

孔隙率可根据 ${n_{\rm{F}}} = e/(1 + e)$ 计算而得。当Terzaghi有效应力和孔压在0~150 kPa区间变化时,白塞木立方体的孔隙率在0.437~0.430之间变化,属于小变形范围,这说明本文的小变形假设是合理的。

3 卸载阶段的体积本构关系 3.1 模型建立

卸载阶段的饱和多孔白塞木立方体的力学特性可近似地用线性模型描述。固相基质体应变的线性模型为:

${\varepsilon _{{\rm{RSV}}}} = {c_1}u + {c_2}\sigma {'_{\rm{m}}}$ (39)

通过拟合固相基质体应变卸载试验数据[17]可得 ${c_1} = 2.324 \times {10^{ - 5}}$ ${c_2} = 2.588 \times {10^{ - 5}}$ ${R^2} = 0.964\;7$ 。按式(18)对式(39)积分,并根据卸载条件下饱和多孔介质的本构模型符合线性特性得:

${G_{\rm{S}}}\left( {{n_{{\rm{S}}0}}u,\sigma {'_{\rm{m}}}} \right) = \frac{{{n_{{\rm{S}}0}}{c_1}}}{2}{u^2} + {n_{{\rm{S}}0}}{c_2}\sigma {'_{\rm{m}}}u + \frac{{{c_3}}}{2}{(\sigma {'_{\rm{m}}})^2}$ (40)

对式(40)按式(17)求 $\sigma {'_{\rm{m}}}$ 偏导得:

${\varepsilon _{{\rm{SV}}}} = {n_{{\rm{S}}0}}{c_2}u + {c_3}\sigma '_{\rm{m}}$ (41)

通过拟合卸载阶段固相体应变试验数据,可得式(41)中参数 ${c_3} = 4.15 \times {10^{ - 5}}$ ${R^2} = 0.847\;6$

将式(39)与(41)代入式(4)可得:

${\varepsilon _{{\rm{Sf}}}} = ({n_{{\rm{S}}0}}{c_2} - {c_1})u + ({c_3} - {c_2})\sigma {'_{\rm{m}}}$ (42)

将式(25)与(42)代入式(5),求得流相体应变 ${\varepsilon _{{\rm{FV}}}}$ 后,利用式(27)获得卸载时的渗出量 ${\xi _{{\rm{FV}}}}$ 公式为:

${\xi _{{\rm{FV}}}} = {n_{{\rm{F0}}}}u/{K_{\rm{F}}} - {n_{{\rm{S0}}}}({c_2} - {c_1})u - ({c_3} - {n_{{\rm{S0}}}}{c_2})\sigma {'_{\rm{m}}}$ (43)

式(41)和(43)为卸载阶段饱和多孔白塞木立方体的体应变本构模型。

3.2 卸载阶段固相Biot系数与流相Biot模量分析

$\sigma {'_{\rm{m}}} = {\sigma _{\rm{m}}} - u$ 代入式(41)后,与全量形式的Skempton有效应力公式对比,可得卸载时的固相体积模量 ${K_{\rm{b}}}$ 和Biot系数 $\eta $ 为:

${K_{\rm{b}}} = 1/{c_3}$ (44)
$\eta = 1 - {n_{{\rm{S0}}}}{c_2}/{c_3}$ (45)

根据式(41)~(43)可得卸载时流相Biot模量 $M$ 为:

$M = 1/({n_{{\rm{F0}}}}/{K_{\rm{F}}} + {n_{{\rm{S0}}}}{c_1} - n_{{\rm{S0}}}^2c_2^2/{c_3})$ (46)

由于卸载阶段饱和多孔白塞木立方体属于线性本构模型,从式(44)~(46)可以看出 ${K_{\rm{b}}}$ $\eta $ $M$ 在整个卸载过程中为一个常数。

4 数值算例

把饱和多孔白塞木制作成100 cm×100 cm×100 cm的立方体浸没在水中,立方体四侧和底部设置防水膜阻止其排水,只让其顶部竖向排水。为清楚地揭示饱和多孔介质的固结过程,人为降低白塞木的渗透系数,取 ${k_\textit{z}} = 2 \times {10^{ - 8}}\;{\rm{cm/s}}$ ,以延长饱和白塞木的固结时间。对饱和白塞木瞬时施加等向压缩外荷载 ${\sigma _1} = {\sigma _2} = {\sigma _3} = 200\;{\rm{ kPa}}$ 后保持不变,待孔压消散固结完成后把外荷载卸载为0,现采用本文建立的体积本构方程数值分析饱和多孔白塞木立方体的竖向变形和孔压随时间的变化规律。

不考虑重力和位移加速度,由文献[19]和式(27)可获得饱和多孔介质的1维固结方程为:

$\partial{\sigma _{{\textit{z}}}}/\partial {\textit{z}}= 0$ (47)
$\frac{{{k_{\textit{z}}}}}{{{\gamma _{\rm{F}}}}}\frac{{{{\partial} ^2}u}}{{{\partial} {{\textit{z}}^2}}} = \frac{{{\partial} {\xi _{{\rm{FV}}}}}}{{{\partial}t}}$ (48)

式中, ${\sigma _{\textit{z}}}$ 为竖向应力, ${\gamma _{\rm{F}}}$ 为流体重度。注意到外荷载 ${\sigma _{\rm{m}}}$ 保持恒定,将式(34)代入式(48)得:

$\frac{{{k_{\textit{z}}}}}{{{\gamma _{\rm{F}}}}}\frac{{{{\partial} ^2}u}}{{{\partial} {{\textit{z}}^2}}} = \left(\frac{{{n_{{\rm{F0}}}}}}{{{K_{\rm{F}}}}} + \frac{{{n_{{\rm{S0}}}}}}{{{K_{{\rm{St}}}}}} + \frac{{{\eta _{\rm{t}}}}}{{{K_{{\rm{bt}}}}}}\right)\frac{{{\partial} u}}{{{\partial} t}}$ (49)

由于外荷载是瞬间施加的,饱和多孔介质的排水量为0。根据 ${\xi _{{\rm{FV}}}} = 0$ 和式(28)可得外荷载施加完毕后,孔压u0为193.3 kPa,瞬间变形量为0.17 cm。由此可见,考虑固相基质压缩时,饱和多孔介质的固结规律与饱和土具有不同点。瞬时加载时,饱和土的初始等于外荷载,故等向压缩加载的瞬时变形为0;而在考虑固相基质压缩的饱和多孔介质中,瞬时加载的孔压与外荷载是不相等的,故考虑固相基质压缩的饱和多孔介质在外荷载作用下存在一个瞬时变形。根据边界条件和瞬时加载的孔压值u0=193.3 kPa可得式(49)的初边界条件为:

$ t = {\rm{0}},\;u({\textit{z}},0) = {u_0} = 193.3\;{\rm{ kPa}} $ (50)
${\textit{z}} = {\rm{0}},\;u(0,t) = 0 $ (51)
$ {\textit{z}} = H,\;\partial u(H,t)/\partial t = 0 $ (52)

固结度按式(53)计算:

$U(t) = 1 - \int_0^H {u(t){\rm{d}} {\textit{z}}} /({u_0}H)$ (53)

对式(49)~(53)进行Crank–Nicolson格式差分法求解,可求得沉降和固结度随时间变化曲线如图89所示。

图8 沉降随时间变化 Fig. 8 Change of settlement with time

图9 固结度随时间变化 Fig. 9 Change of consolidation degree with time

图89可知:随着荷载作用持续时间增长,超孔压逐步消散,直至为0,饱和多孔白塞木逐步发生竖向沉降,从0.17 cm开始逐步趋近于其最终沉降0.56 cm,最大平均应变0.56%。当固结完成后,外荷载从200 kPa卸载为0时,发生回弹0.27 cm,此时饱和多孔白塞木的竖向沉降变为0.29 cm。

5 结 论

通过上述分析,得到以下研究成果:

1)基于工程混合物理论,假定多孔固相体积变形功与流相基质体积变形功相互独立,通过热力学势函数方程揭示了Terzaghi有效球应力与孔压双应力变量共同决定固相体应变和固相基质体应变,孔压决定流相基质体应变这一本构规律。

2)根据Lade和de Boer加卸载阶段模型试验数据,分别建立了饱和多孔白塞木立方体固流两相加卸载阶段的体积本构方程,分析了加载阶段固相体积切线模量、Biot切线系数、流相Biot切线模量和孔压切线系数随有效球应力和孔压的非线性变化规律。当饱和多孔介质的固相基质具有非线性变形特性时,固相体应变无法采用单一的Skempton有效应力表示(反之亦然),必须采用双应力变量的形式。在这种情况下,全量形式的Biot宏观理论不成立。

3)运用本文建立的饱和多孔白塞木的体积本构模型,采用差分数值法分析了饱和多孔白塞木立方体的固结过程。当固相基质压缩变形不可忽略时,饱和多孔介质的初始孔压不等于外荷载。饱和多孔介质的固结过程不但与固相相关的模量 ${K_{{\rm{bt}}}}$ ${K_{{\rm{St}}}}$ 有关,而且与流体压缩模量 ${K_{\rm{F}}}$ 有关。

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