传统刚性并联机构具有刚度大、精度高、承载能力强等优点，在工业领域得到广泛研究和应用。但由于这类机构采用全刚性构件，也存在质量重、惯性力大、柔顺性差等缺点，在某些特殊场合难以使用。受张拉整体结构构型方法的启发，近年来出现了一种由受压的刚性构件（伸缩杆）和受拉的柔性构件（弹簧或绳索）混合构成的新型机构，即张拉整体机构。这类机构中由于弹簧或绳索的使用，质量及惯性力得到显著降低；内部所有构件均承受纯轴向力，提高了系统强度，且便于精确建模；另外，这种机构柔顺性好、可折叠，在航空航天领域具有广泛的应用前景^[1–3]。

目前，关于张拉整体机构研究不多，且多集中在平面机构，如：Bayat等^[4]介绍的2弹簧平面张拉整体机构；Arsenault等^[5]提出的由2根刚性杆和4根绳索组成的平面张拉整体机构；Shai等^[6]提出的基于基本单元Assur组的平面张拉整体机构的设计方法；Ji等^[7–8]提出的两种2–class平面张拉整体机构。对于空间张拉整体并联机构，最简单的结构形式来源于两端面平行的棱柱形结构，这种结构和并联机构十分相似，因此张拉整体并联机构由此而得。目前主要的空间机构形式是由3杆9索张拉结构演化而来的3–3型（T–3）张拉整体并联机构，Marshall^[9]、Arsenault^[10–11]、Abadi^[12–13]、Mehdi^[14]等对此类型机构做了研究。国内纪志飞等^[15]提出一种4–4型张拉整体并联机构，用于海洋波浪能的采集，分析了系统动力学及能量收集效率。

根据4杆12索张拉整体结构构型，作者设计一种由上平台、下平台、4根弹性支链和4根刚性驱动支链构成的4–SPS型空间张拉整体并联机构。该机构为6自由度（DOF）运动输出，但只有4个驱动支链，因此为欠驱动机构。由于弹性支链的存在，根据张拉整体结构定义，保持平衡的条件为机构势能最小。结合最小势能法，分析了机构的运动学正逆解、静态平衡方程，并推导了速度加速度方程，最后通过变步长法搜索机构的运动学正反解数值解，并给出平衡条件下机构的速度加速度运动曲线。

1 机构设计及位置分析

4–SPS张拉整体机构的初始平衡位置与4棱柱型张拉整体结构十分相似，如图1所示。图1（a）为4棱柱张拉整体结构，由12根受拉弹性绳索 ${b_i}{b_{i + }}_1$ 、 ${b_{i + }}_1{p_i}$ 、 ${p_i}{p_{i +1 }}$ （细线）和4根受压的刚性杆 $b_{i} p_{i}$ （粗线）组成（ $i=1, 2,$ $3,4$ ，当 $i=4$ 时， $i+1\to1$ ）。根据张拉整体结构要求^[16]，为了使结构中节点 $p_i$ 始终保持静力平衡，所受的力必须位于同一平面内，如图1（a）中节点 $p_{1}$ 的受力均位于 ${p_1}{p_3}{b_1}{b_2}$ 平面内。一般地，对于空间棱柱型张拉整体结构^[16]，初始平衡位置时上平台相对下平台发生的偏角满足：

$\alpha = \frac{{\text{π}} }{2} + \frac{{\text{π}} }{\varepsilon }$

(1)

式中， $\varepsilon $ 为上下平台多边形的边数， $\varepsilon = 4$ 。

由于上下平台中的张拉绳索应始终保持紧绷，且形状不变，故采用刚性板替代；4根弹性绳索用刚度为k的弹簧替代，4根刚性杆用伸缩杆（P副）替代；上下平台各个节点 $ b_{i}$ 、 $ p_{i}$ 上增加球面副（S副），用于连接各刚性支链和柔性支链。由此可得4–SPS张拉整体并联机构的初始构型，如图1（b）所示。机构运动过程中，通过驱动4条刚性伸缩支链，保持4条柔性支链始终张紧，从而动平台可获得6–DOF运动输出。然而，由于机构的驱动输入数小于DOF输出数目，故运动输出具有不确定性，此为欠驱动机构。

设上、下平台均为正方形，边长分别为 $ a$ 、 $ b$ ，在下平台质心 $ O$ 点处建立静坐标系 $ O-XY{\textit{Z}}$ ，X轴正方向指向节点 $ b_{1}$ ，Z轴垂直定平台正方向向上，Y轴方向由右手螺旋定则确定；在上平台的质心P点处建立动坐标系 $ P-xy{\textit{z}}$ ， $ x$ 轴平行于边 $ p_{1}$ $ p_{4}$ ， $ y$ 轴平行于边 $ p_{1} p_{2}$ ， $ {\textit{z}}$ 轴垂直动平台正方向向上，如图1（b）所示。

设动平台P点位置矢量为 ${{{r}}_P} = {[x,y,{\textit{z}}]^{\rm{T}}}$ ，其中 $ x$ 、 $ y$ 、 $ {\textit{z}}$ 分别为动平台中心P点在静坐标系O–XYZ下的坐标。动平台的姿态变量为 ${{\varTheta}} = {[\psi ,\theta ,\phi ]^{\rm{T}}}$ ，3个欧拉角 $\psi $ 、 $\theta $ 、 $\phi $ 按照3—2—1顺序得到，即坐标系O–XYZ首先绕 $ O{\textit{Z}}$ 轴转动角度 $\psi $ ，到达坐标系 $ O{ -}X_{1} Y_{1} {\textit{Z}}_{1}$ 的位置；再绕轴 $ OY_{1}$ 转动角度 $\theta $ ，到达坐标系 $ O-X_{2} Y_{2} {\textit{Z}}_{2}$ 的位置；最后绕轴 $ OX_{2}$ 转动角 $\phi $ ，到达动坐标系 $ P-xy{\textit{z}}$ 的姿态，则动坐标系 $ P -xy{\textit{z}}$ 到静坐标系O–XYZ的旋转变换矩阵为：

${{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\;\;\psi \;\;{\rm{cos}}\;\;\theta\;\;}&{{\rm{cos}}\;\;\psi\;\;{\rm{sin}}\;\;\theta\;\; {\rm{sin}}\;\;\phi - {\rm{sin}}\;\;\psi \;\;{\rm{cos}}\;\;\phi \;\;}&{{\rm{sin}}\;\;\psi\;\; {\rm{sin}}\;\;\phi + {\rm{cos}}\;\;\psi\;\; {\rm{sin}}\;\;\theta\;\; {\rm{cos}}\;\;\phi \;\;} \\ {{\rm{sin}}\;\;\psi \;\;{\rm{cos}}\;\;\theta \;\;}&{{\rm{cos}}\;\;\psi \;\;{\rm{cos}}\;\;\phi + {\rm{sin}}\;\;\psi\;\; {\rm{sin}}\;\;\theta \;\;{\rm{sin}}\;\;\phi \;\;}&{{\rm{sin}}\;\;\psi \;\;{\rm{sin}}\;\;\theta \;\;{\rm{cos}}\;\;\phi - {\rm{cos}}\;\;\psi \;\;{\rm{sin}}\;\;\phi } \\ { - {\rm{sin}}\;\;\theta \;\;}&{{\rm{cos}}\;\;\theta\;\; {\rm{sin}}\;\;\phi \;\;}&{{\rm{cos}}\;\;\theta\;\;{\rm{cos}}\;\;\phi } \end{array}} \right]$

(2)

下定平台各节点 $ b_{i}$ 在静坐标系O–XYZ的位置矢量 ${{{r}}_{{b_i}}}$ 为：

$\begin{aligned}[b] &{{{r}}_{{b_1}}} = {\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}b,0,0} \right]^{\rm{T}}},\;\;\;\;{{{r}}_{{b_2}}} = {\left[ {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}b,0} \right]^{\rm{T}}},\\ &{{{r}}_{{b_3}}} = {\left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}b,0,0} \right]^{\rm{T}}},\;\;\;\;{{{r}}_{{b_4}}} = {\left[ {0, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}b,0} \right]^{\rm{T}}} \end{aligned}$

(3)

动平台各节点 $ p_{i}$ 在动坐标系下的位置矢量 ${{{u}}_{{p_i}}}$ 为：

$\begin{aligned}[b] &{{{u}}_{{p_1}}} = {\left[ { - \frac{a}{2},\frac{a}{2},{\rm{0}}} \right]^{\rm{T}}},\;\;\;\;{{{u}}_{{p_2}}} = {\left[ { - \frac{a}{2}, - \frac{a}{2},0} \right]^{\rm{T}}},\\ &{{{u}}_{{p_3}}} = {\left[ {\frac{a}{2}, - \frac{a}{2},0} \right]^{\rm{T}}},\;\;\;\;{{{u}}_{{p_4}}} = {\left[ {\frac{a}{2},\frac{a}{2},0} \right]^{\rm{T}}} \end{aligned}$

(4)

节点 $ p_{i}$ 在静坐标下的位置矢量可表示为：

$ {{{r}}\!_{{p_i}}} = {{{r}}\!_P} + {{C}}{{{u}}_{{p_i}}},\;\;i=1,2,3,4 $

(5)

从节点 $ b_{i}$ 指向铰点 $ p_{i}$ 的第 $ i$ 驱动伸缩杆支链的方向矢量 ${{{L}}_{p_{i}}}$ 为：

${{{L}}_{{p_i}}} = {{{L}}_{p_{i}}}{{{s}}_{p_{i}}} = {{{r}}_P} + {{C}}{{{u}}_{{p_i}}} - {{{r}}_{{b_i}}}$

(6)

式中， ${{{L}}_{p_{i}}}$ 、 ${{{s}}_{{p_i}}}$ 分别为第 $ i$ 驱动伸缩杆支链的长度和单位矢量。

同样地，从节点 $ b_{i}$ ₊₁指向节点 $ p_{i}$ 的第 $ i$ 个弹性支链的方向矢量 ${{{L}}_{s_{i}}}$ 为：

${{{L}}_{s_{i}}} = {{{L}}_{s_{i}}}{{{s}}_{s_{i}}} = {{{r}}_P} + {{C}}{{{u}}_{{p_i}}} - {{{r}}_{{b_{i + 1}}}}$

(7)

式中， $ i=1,2,3,4$ ，若 $ i=4$ ，则 $ i+1 \to 1$ 。

由式（2）～（7）可得驱动支链和弹性支链的单位向量表达式分别为：

${{{s}}_{p_{i}}} = \frac{{{{{r}}_P} + {{C}}{{{u}}_{{p_i}}} - {{{r}}_{{b_i}}}}}{{{L_{p_{i}}}}}$

(8)

${{{s}}_{{s_i}}} = \frac{{{{{r}}_P} + {{C}}{{{u}}_{{p_i}}} - {{{r}}_{{b_{i + 1}}}}}}{{{L_{{s_i}}}}}$

(9)

若刚性伸缩支链由活塞杆和缸体两部分组成，质量分别为 $ m_{1}$ 和 $ m_{2}$ ，质心分别位于 $ c_{1}$ 和 $ c_{2}$ 处，质心 $ c_{1}$ 、 $ c_{2}$ 至节点 $ p_{i}$ 、 $ b_{i}$ 的距离分别为 $ l_{1}$ 和 $ l_{2}$ ，如图2所示。第 $ i$ 个刚性伸缩支链的质心 $ c_{1}$ 、 $ c_{2}$ 在定坐标系中的位置矢量为：

${{r}}_{{c_2}}^i = {{{r}}_{{b_i}}} + {l_2}{{{s}}_{{p_i}}}$

(10)

${{r}}_{{c_1}}^i = {{{r}}_{{b_i}}} + \left( {{L_{{p_i}}} - {l_1}} \right){{{s}}_{{p_i}}}$

(11)

2 静态平衡分析

张拉整体机构的各关节变量不仅取决于机构的位置和姿态，同时需要保持内部各构件内应力平衡，因此在机构位置分析时需同时考虑运动学和静态平衡问题。对于欠驱动4–SPS张拉整体并联机构，仅有4个主动驱动支链，通常情况下机构的输出是不确定的，但由于机构中含有弹性元件，在机构处于平衡状态时，弹性势能总是最小的，由此可确定机构的输出。

假设机构动平台质量为M，刚性支链的质量为 $ m_{1}$ + $ m_{2}$ ，忽略弹性支链的质量以及外载荷。张拉整体机构的静态平衡方程条件是作用在动平台上的合力螺旋为0，其中力螺旋为力与力轴线的单位旋量 ${{\textit{\$}}\!_i}$ 的数积。根据螺旋理论及位置方程（8）～（11），可得动平台的静态平衡方程：

$ Mg{{\textit{\$}}\!_p} \! +\! \sum\limits_{i = 1}^4 {({m_1}g{\textit{\$}}\!_{{c_1}}^i \!+ \!{m_2}g{\textit{\$}}\!_{{c_2}}^i)} \! +\! \sum\limits_{i = 1}^4 k {\delta _i}{{\textit{\$}}\!_{{s_i}}} \!+ \!\sum\limits_{i = 1}^4 {{f_i}{{\textit{\$}}\!_{{p_i}}}} \!=\! 0 \!\!\!\! \!\!\!\! $

(12)

式中： ${{\textit{\$}}\!_{P}}$ 为重力旋量， ${{\textit{\$}}\!_{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e}} \\ {{{{r}}_{P}} \times {{e}}} \end{array}} \right] $ ， ${{e}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0,&0,&{ - 1} \end{array}} \right]^{\rm{T}} } $ ； ${\textit{\$}}\!_{{c_1}}^i$ 、 ${\textit{\$}}\!_{{c_2}}^i$ 分别为驱动支链活塞杆和缸体两部分的力旋量， ${\textit{\$}}\!_{{c_1}}^i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e}} \\ {{{r}}_{{c_1}}^i \times {{e}}} \end{array}} \right]$ ， ${\textit{\$}}\!_{{c_2}}^i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e}} \\ {{{r}}_{{c_2}}^i \times {{e}}} \end{array}} \right]$ ； ${{\textit{\$}}\!_{{p_i}}}$ 、 ${{\textit{\$}}\!_{{s_i}}}$ 分别为驱动支链和弹性支链的力旋量， ${{\textit{\$}}\!_{{s_i}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{s}}_{{s_i}}}} \\ {{{{r}}_{{b_i}}} \times {{{s}}_{{s_i}}}} \end{array}} \right]$ ， ${{\textit{\$}}\!_{{p_i}}} = $ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{s}}_{{p_i}}}} \\ {{{{r}}_{{b_i}}} \times {{{s}}_{{p_i}}}} \end{array}} \right]$ ； ${\delta _i}$ 为第 $ i$ 个弹性支链的变形量， ${\delta _i} = {L_{{s_i}}} - $ $ {L_{{s_0}}}$ ， ${L_{{s_0}}}$ 为弹性支链初始长度。

张拉整体机构的静态平衡可通过最小化势能法获得。本机构的势能主要包含4根弹簧支链的弹性势能以及动平台与刚性支链的重力势能两部分。

弹性势能可表达为：

${U_{\rm s}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^4 {{k_i}\delta _i^2} $

(13)

机构的重力势能是动平台重力势能和4条刚性支链重力势能之和，可表示为：

${U_{\rm m}} = Mg{{{r}}_P} \cdot {{e}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {{m_{{c_1}}}g{{r}}_{{c_1}}^i \cdot {{e}}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {{m_{{c_2}}}g{{r}}_{{c_2}}^i \cdot {{e}}} $

(14)

机构总势能为：

$U = {U_{\rm s}} + {U_{\rm m}}$

(15)

若假设机构动平台的6维广义坐标矢量为 ${{\chi}} = $ $ {\left[ { x,\;y,\;{\textit{z}},\;\psi ,\;\theta ,\;\phi } \right]^{\rm{T}}}$ ，则机构静态平衡必须满足：

$\frac{{\partial U}}{{\partial {{\chi}}}} = 0$

(16)

3 运动学分析 3.1 运动逆解

位置逆解是指在已知动平台的位置和姿态的情况下，求得4条驱动伸缩杆支链的输入长度 $L_{i}\; (i=$ $1,2,3,4)$ 。对于欠驱动张拉整体机构，若动平台位置矢量给定，由于机构姿态保持静态平衡，由式（16）可得：

$\frac{{\partial U}}{{\partial {{\varTheta}}}} = 0$

(17)

根据式（17）可求得对应的姿态欧拉角的数值解。由式（6）、（7）可得第 $ i$ 个驱动伸缩杆支链和第 $ i$ 个弹簧支链的长度分别为：

${L_{{p_i}}} = \sqrt {{{{L}}^{\rm{T}}_{{p_i}}}{{{L}}_{{p_i}}}} $

(18)

${L_{{s_i}}} = \sqrt {{{{L}}^{\rm{T}}_{{s_i}}}{{{L}}_{{s_i}}}} $

(19)

将式（17）得到的姿态角数值解代入式（18）、（19），可求得机构的运动位置逆解的解析解，其中驱动支链长度公式为：

${ \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {L_{{p_1}}} \!\!\!=\!\!\! \left[ \left( \dfrac{b}{2}\left( {\cos\;\phi \sin\;\psi \!-\!\cos\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \! +\! \cos\;\psi \cos\;\theta } \right)\! -\! \right.\right.\\ \!\! \!\! \left.\left.x \!+\! \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\! \right)^2 \!+ \! \left( y\! +\! \dfrac{b}{2}(\cos\;\psi \cos\;\phi \! +\! \sin\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi -\right.\right.\\ \left.\left. \!\cos\;\theta \sin\;\psi ) \right)^2 \!+{\left( {{\textit{z}} \!+\! \dfrac{b}{2}\sin\;\theta + \dfrac{b}{2}\cos\;\theta {\sin\;}\phi } \right)^2}\right]^{\tfrac12} ,\\ {L_{{p_2}}}\!\!\! =\!\!\! \left[ \left( x\! +\! \dfrac{b}{2}\left( \cos\;\phi \sin\;\psi \!-\!\cos\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \!-\!\right.\right.\right.\\ \!\! \left.\left.\left.\cos\;\psi \cos\;\theta \right) \right)^2\! +\left( \!\!\dfrac{b}{2}(\cos\;\psi \cos\;\phi \! +\! \sin\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \!+ \!\!\right.\right. \\ \left.\left. \cos\;\theta \sin\;\psi ) \!+\!\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a \!\!-\!\! y \!\right)^2\!+{\left( {{\textit{z}} + \dfrac{b}{2}\left( {\sin\;\theta - \cos\;\theta \sin\;\phi } \right)} \right)^2}\right]^{\tfrac 12},\\ {L_{p_3}} \!\!\!= \!\!\left[\! \left( x \!\!+\!\! \dfrac{b}{2}\left( {\cos\;\phi \sin\;\psi \!-\!\cos\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \! +\! \cos\;\psi \cos\;\theta } \right)\! +\!\right.\right.\\ \!\! \!\!\left.\left. \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a \right)^2 \!+\! \left( y \!-\! \dfrac{b}{2}(\cos\;\psi \cos\;\phi \!+\! \sin\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \!+\! \right.\right.\\ \left.\left.\cos\;\theta \sin\;\psi ) \right)^2\! +{\left( {\dfrac{b}{2}\left( {\sin\;\theta + \cos\;\theta \sin\;\phi } \right) - {\textit{z}}} \right)^2}\right]^{\tfrac 12},\\ {L_{{p_4}}} \!\!=\!\! \left[ \left( x \!-\! \dfrac{b}{2}\left( \cos\;\phi \sin\;\psi \!-\!\cos\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \!-\!\right.\right.\right.\\ \left.\left.\left.\cos\;\psi \cos\;\theta \right) \right)^2 \!+\left( y \!+\! \dfrac{b}{2}(\cos\;\psi \cos\;\phi \! +\! \sin\;\psi \sin\;\theta \sin\;\phi \!+\! \right.\right.\\ \left.\left. \cos\;\theta \sin\;\psi ) \!+\! \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a \right)^2+ {\left( {{\textit{z}} + \dfrac{b}{2}\left( {\cos\;\theta \sin\;\phi {{ - \sin\;}}\theta } \right)} \right)^2}\right]^{\tfrac 12} \end{array} \right.}$

(20)

3.2 运动正解

当4个驱动支链长度 ${L_{{p_i}}}$ 给定，同样由于机构保持静态平衡，4个弹簧支链长度也随之确定。但由于机构动平台的位置和姿态含有6个自由变量，而当给定系统的输入时，只有4个输出变量是独立的。考虑到最小势能为0，此时机构的位置正解可以转化为一个带约束条件的极值问题。

由式（18）构造辅助函数：

${\xi _i}= {{ L}^2_{{p_i}}} - {{{L}}^{\rm{T}}_{{p_i}}} {{{L}}_{{p_i}}}$

(21)

由于系统输入 ${{ L}_{{p_i}}}$ 已知， ${\xi _i}$ 可以看成含有6个输出变量 $x$ 、 $y $ 、 ${\textit{z}} $ 、 $\psi $ 、 $\theta $ 、 $\phi $ 的约束方程。当机构处于平衡时，机构中的势能必处于极值点，这样位置正解方程就转化为 ${\xi _i} = 0$ 条件下势能的极值问题。引入拉格朗日乘子 ${\lambda _i}$ ，构造含约束条件的势能方程：

$V = U + \sum\limits_{i = 1}^4 {{\lambda _i}{\xi _i}} $

(22)

机构静态平衡必须满足：

$\frac{{\partial V}}{{\partial {{\rho}}}} = 0$

(23)

式中， $\;{{\rho}} = {[x ,\;y ,\;{\textit{z}} ,\;\psi ,\;\theta ,\;\phi ,\;{\lambda _1} ,\;{\lambda _2} ,\;{\lambda _3} ,\;{\lambda _4}]^{\rm{T}}}$ 。

由式（21）～（23）可得10个偏导方程，先根据其中4个方程求解出 ${\lambda _i}$ 的值：

$\left[ \!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}} \\ {{\lambda _2}} \\ {{\lambda _3}} \\ {{\lambda _4}} \end{array}} \!\!\!\right] = - {\left[ \!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{\partial {\xi _1}}}{{\partial x}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _2}}}{{\partial x}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _3}}}{{\partial x}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _4}}}{{\partial x}}} \\ {\displaystyle\frac{{\partial {\xi _1}}}{{\partial y}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _2}}}{{\partial y}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _3}}}{{\partial y}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _4}}}{{\partial y}}} \\ {\displaystyle\frac{{\partial {\xi _1}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _2}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _3}}}{{\partial {\textit{z}}}}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _4}}}{{\partial {\textit{z}}}}} \\ {\displaystyle\frac{{\partial {\xi _1}}}{{\partial \psi }}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _2}}}{{\partial \psi }}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _3}}}{{\partial \psi }}}&{\displaystyle\frac{{\partial {\xi _4}}}{{\partial \psi }}} \end{array}}\!\!\! \right]^{ - 1}}\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{\partial U}}{{\partial x}}} \\ {\displaystyle\frac{{\partial U}}{{\partial y}}} \\ {\displaystyle\frac{{\partial U}}{{\partial {\textit{z}}}}} \\ {\displaystyle\frac{{\partial U}}{{\partial \psi }}} \end{array}} \!\!\!\right]$

(24)

将式（24）中求得的 ${\lambda _i}\;(i=1 {\text{,}}2 {\text{,}}3 {\text{,}}4)$ 代入其他6个方程，即可求解出动平台的6个输出变量。由于方程为高次非线性方程，难以求得正解解析解，可通过变步长搜索法求得其数值解。

4 速度和加速度分析 4.1 动平台

根据上述矢量变换矩阵式（2），动平台角速度矢量 ${{\omega}}$ 在动坐标系坐标轴 $ P_{x}$ 、 $ P_{y}$ 和 $ P_{{\textit{z}}}$ 上的投影分别为：

$ \left\{ \begin{aligned} & {\omega _x} = {c_{13}}{{\dot c}_{12}} + {c_{23}}{{\dot c}_{22}} + {c_{33}}{{\dot c}_{32}} , \\ & {\omega _y} = {c_{11}}{{\dot c}_{13}} + {c_{21}}{{\dot c}_{23}} + {c_{31}}{{\dot c}_{33}}, \\ & {\omega _x} = {c_{12}}{{\dot c}_{11}} + {c_{22}}{{\dot c}_{21}} + {c_{32}}{{\dot c}_{31}} \\ \end{aligned} \right. $

(25)

式中， $ c_{ij}$ 表示变换矩阵 $ C $ 中的第i行、第j列元素 $( i , j=$ $1,2,3)$ 。

将式（2）代入式（25），可得：

$\left\{ \begin{aligned} & {\omega _x} = - \dot \psi \sin\;\theta + \dot \phi , \\ & {\omega _y} = \dot \psi \cos\;\theta \sin\;\phi + \dot \theta \cos\;\phi , \\ & {\omega _{\textit{z}}} = \dot \psi \cos\;\theta \cos\;\phi - \dot \theta \sin\;\phi \\ \end{aligned} \right.$

(26)

整理成矩阵形式为：

${{\omega}} = {{{K}}_1}{\dot{{\varTheta }}}$

(27)

式中， ${{{K}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin\;\theta }&0&1 \\ {\cos\;\theta \sin\;\phi }&{\cos\;\phi }&0 \\ {\cos\;\theta \cos\;\phi }&{ - \sin\;\phi }&0 \end{array}} \right]$ 。

将式（27）两边求导，得到动平台的角加速度矢量 ${\dot{{\omega}}}$ 在动坐标轴 $ P_{x}$ 、 $ P_{y}$ 和 $ P_{{\textit{z}}}$ 上的投影：

${\dot{{\omega}}} = {{{K}}_1}{\ddot{{\varTheta}}} + {{{K}}_2}{\dot{{\varTheta }}}$

(28)

式中，

$\begin{aligned}[b] {{{K}}_2} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - \displaystyle\frac{1}{2}\dot \theta \cos\;\theta }&\!\!\!{ - \displaystyle\frac{1}{2}\dot \psi \cos\;\theta }&\!\!\!0 \\ { - \displaystyle\frac{1}{2}\dot \theta \sin\;\theta \sin\;\phi + \frac{1}{2}\dot \phi \cos\;\theta \cos\;\phi }&\!\!\!{ - \displaystyle\frac{1}{2}\dot \phi \sin\;\theta \sin\;\phi - \frac{1}{2}\dot \phi \sin\;\phi } &\!\!\!{\displaystyle\frac{1}{2}\dot \psi \cos\;\theta \cos\;\phi - \frac{1}{2}\dot \theta \sin\;\phi } \\ { - \displaystyle\frac{1}{2}\dot \theta \sin\;\theta \cos\;\phi + \frac{1}{2}\dot \phi \cos\;\theta \sin\;\phi }&\!\!\!{ - \displaystyle\frac{1}{2}\dot \phi \sin\;\theta \cos\;\phi - \frac{1}{2}\dot \phi \cos\;\phi }&\!\!\!{\displaystyle\frac{1}{2}\dot \psi \cos\;\theta \sin\;\phi - \frac{1}{2}\dot \theta \cos\;\phi } \end{array}} \!\!\!\right] {\text{。}} \end{aligned}$

4.2 驱动支链

对式（5）求导，可得位置矢量 ${{{r}}_{{p_i}}}$ 在静坐标系下的速度矢量为：

${{\dot{{r}}}_{{p_i}}} = {{\dot{{r}}}_P} + {{\omega}} \times {{{u}}_{{p_i}}}$

(29)

对式（29）求导，可得节点 $ p_{i}$ 处的加速度矢量：

${{\ddot{{r}}}_{{p_i}}} = {{\ddot{{r}}}_P} + {\dot{{\omega}}} \times {{{u}}_{{p_i}}} + {{\omega}} \times \left( {{{\omega}} \times {{{u}}_{{p_i}}}} \right)$

(30)

对于驱动支链 $ b_{i} p_{i}$ ，节点 $ p_{i}$ 的位置矢量可以表示为：

${{{r}}_{{p_i}}} = {{{r}}_{{b_i}}} + {{ L}_i}{{{s}}_i}$

(31)

对式（31）求导，可得速度矢量：

${{\dot{{r}}}_{{p_i}}} = {\dot { L}_i}{{{s}}_i} + {{ L}_i}\left( {{{\dot{{\varOmega}}}_i} \times {{{s}}_i}} \right)$

(32)

式中， ${{\dot{{\varOmega}}}_i}$ 为驱动伸缩杆支链的角速度矢量。

式（31）两边左叉乘 $ {{s}}_{i}$ ，得：

${{{s}}_{{p_i}}} \times {{\dot{{r}}}_{{p_i}}} = {{ L}_{{p_i}}}{{{s}}_{{p_i}}} \times \left( {{{\dot{{\varOmega}}}_i} \times {{{s}}_i}} \right)= {{ L}_{{p_i}}}{{\dot{{\varOmega}}}_i}$

(33)

对式（33）求导，可得每个驱动伸缩杆支链的角加速度矢量为：

${{\ddot{{\varOmega}}}_i} = \frac{1}{{{{ L}_{{p_i}}}}}\left( {{{{s}}_{{p_i}}} \times {{\ddot{{r}}}}_{{p_i}}} + \left( {{{\dot{{\varOmega}}}_i} \times {{{s}}_{{p_i}}}} \right) \times {{{{\dot{{r}}}}_{{p_i}}}} \right) - \frac{{{{\dot { L}}_{{p_i}}}}}{{{ L}_{{p_i}}^2}}{{{s}}_{{p_i}}} \times {{\dot{{r}}}_{{p_i}}}$

(34)

将式（32）代入式（34），并忽略式中的低阶导数项，得：

${{\ddot{{\varOmega}}}_i} = \frac{1}{{{{ L}_i}}}{{{s}}_i} \times \left[ {{{{\ddot{{r}}}}_P} + {\dot{{\omega}}} \times {{{u}}_{{p_i}}}} \right]$

(35)

5 数值算例

设定机构动平台边长p = 0.4 m，下平台边长b = 0.5 m，弹簧支链原长 $ L_0$ = 0.15 m，弹簧刚度系数 $ k=2\;000 $ N/m，动平台质量M = 2 kg，刚性支链质量 $ m_{1}=m_{2}$ = 0.2 kg。样机模型如图3所示。

5.1 运动正反解计算

当给定机构位置矢量 ${{{r}}_P} = {[0{\text{,}}0.3{\text{,}}0.5]^{\rm{T}}}$ 时，由式（17）可得含 $\psi$ 、 $\theta$ 、 $\phi$ 3个未知变量的非线性方程组。通过变步长搜索算法可求出非线性方程组3个姿态变量 $ \psi$ 、 $\theta$ 、 $\phi$ ，然后将给定的3个位置变量 $x$ 、 $y $ 、 ${\textit{z}} $ 和求出的3个姿态变量代入位置反解方程（6），求得机构中每个驱动伸缩杆支链的输入位移 ${L_{{p_i}}}$ 。设定搜索精度为 $\varepsilon = {10^{ - 5}}$ ，迭代步长为d = 10°，姿态变量的搜索范围为[–90°，90°]，得反解及对应的姿态角如表1所示，机构反解位姿如图4（a）和（b）所示。

当机构驱动支链输入 $ L_{i}=$ 0.6 m已知，由式（23）可求得拉格朗日乘子 $ \lambda_{i}$ ，联合式（21）、（22），可得动平台的6个运动输出参数。设给定的搜索精度为 $\varepsilon = {10^{ - 5}}$ ，位置变量和姿态变量的迭代步长分别为0.01 m和8.6°，x、y、z的搜索范围设定为[–0.3，0.3] m， $ \psi$ 、 $\theta$ 、 $\varphi$ 的搜索范围均为[–45°，45°]，搜索结果如表2所示，机构反解位姿如图4（c）和（d）所示。

5.2 逆运动仿真

设定机构动平台运动轨迹为 $ x=0$ ， $ y=0$ ， $ {\textit{z}}=1$ ， $\psi = \sin\; t$ ， $\theta = 0.5\sin\; t$ ， $\phi = 0.1\sin\; t$ 。根据式（18）、（19），可计算出各驱动支链和弹性支链的长度变化，如图5所示。由式（33）可计算出4条驱动支链的角速度，如图6所示。由式（35）可计算出4条驱动支链的角加速度，如图7所示。

5.3 样机验证

由机构数值验证和位姿态图可知欠驱动张拉整体并联机构的运动学求解方法的正确性。张拉整体并联机构具有质量小、惯性力低、柔顺性好等特点，可用于柔性机械手、精密隔振平台等场合，在工程应用中不仅要考虑其理论运动学性能，还要考虑其在实际工程应用中位姿可达工作空间，考虑到驱动杆之间可能发生干涉，故机构样机模型几何参数如表3所示。

由表3所示的样机几何参数设计样机模型，样机模型可由初始平衡位置如图3所示运动到如图8所示的4个平衡位置，证明了欠驱动张拉整体并联机构的运动学求解方法工程应用的可行性。

6 结　论

针对刚性并联机构存在质量大、能耗大、惯性力大等问题，根据4–4型四棱柱型张拉整体结构设计一种欠驱动4–SPS张拉整体并联机构，通过驱动4条刚性支链使动平台获得相应的位置和姿态。这类机构具有质量轻、惯性力小、柔顺性好、建模精确及可折叠等优点，在精密精密加工、航空航天等特殊领域具有广阔的应用前景。

对于欠驱动机构，由于存在未约束自由度，运动学难以求解，同时考虑张拉整体并联机构始终保持静态平衡，因此分析机构时必须对运动学和静力学联立求解。根据系统势能最小法建立辅助方程，可求解机构的位置逆解方程和位置正解数值解，这类求解方法可推广到一般欠驱动张拉整体并联机构的运动学分析中。