斜齿轮具有传动平稳、精度高、可靠性好等特点，在汽车、船舶、航空等领域得到广泛应用，但由于受制造误差和时变啮合刚度的影响，其应用又受到一定限制，而且时变啮合刚度是齿轮振动的一个重要因素。准确计算啮合刚度是齿轮动态特性分析的基础，因此对斜齿轮啮合刚度的研究一直是一个重要课题。Hedlund等^[1]组合结构分析法、接触分析法和有限元法分析了斜齿轮啮合刚度的时域和频域变化特性。Gu等^[2]应用切片法提出一种实体直齿和斜齿轮啮合刚度计算方法，通过数值分析计算比较证实该方法的有效性。Wan等^[3]提出一种利用积分势能法计算斜齿轮啮合刚度的方法，分析了斜齿轮参数与啮合刚度之间的关系。然而这些方法的计算量一般比较大，计算准确性还有待进一步深入研究。

时变啮合刚度作为影响齿轮传动特性的重要因素，一直被广泛关注。Moradi等^[4]利用多尺度法分析了含间隙的直齿圆柱齿轮系统的动力学特性。Lu等^[5]利用数值计算法研究了影响直齿圆柱齿轮传动非线性特性的因素。但是很多研究主要针对直齿轮啮合特性，对斜齿轮传动参数激励振动研究还需深入探讨。

目前很多文献将啮合刚度近似为一类谐波形式，而且主要研究了特定参数下斜齿轮传动的动态性能，因此对斜齿轮啮合性能与其动力学行为的关系还有待进一步深入研究。根据斜齿轮接触线变化规律，结合单对齿单位长度啮合刚度变化规律和ISO刚度计算准则，提出一种斜齿轮啮合刚度计算方法，获取不同参数下啮合刚度变化规律，并根据斜齿轮啮合刚度变化机理建立了斜齿轮传动动力学模型，利用多尺度法分析了载荷波动、啮合刚度波动和静载荷对斜齿轮系统主共振稳定性的影响。

1 斜齿轮啮合刚度计算原理 1.1 斜齿轮轮齿接触线变化规律

在斜齿圆柱齿轮啮合过程中，单对轮齿接触线长度从进入到退出啮合先增加而后减小，由于啮合区内通常具有两对或两对以上轮齿同时啮合，轮齿接触线在整个啮合区变化如图1所示。其中， ${\varepsilon _\alpha }$ 为端面重合度， ${\varepsilon _\beta }$ 为轴面重合度，虚线区域为ceil $({\varepsilon _{\rm{\gamma }}})$ 对轮齿接触区，实线区域为floor $({\varepsilon _\gamma })$ 对轮齿接触区， ${\varepsilon _\gamma } = $ ${\varepsilon _\beta } + {\varepsilon _\alpha } $ 为总的重合度，ceil为向上取整函数，floor为向下取整函数， ${p_{\rm bt}}$ 为端面基圆齿距， $B$ 为齿宽， ${\;\beta _{\rm b}}$ 为基圆螺旋角， ${d_i}$ 表示 $i$ 的小数部分 $(i = {\varepsilon _\gamma },{\varepsilon _\beta },{\varepsilon _\alpha })$ ， $\mu $ 为啮合过程中轮齿接触线与前端面交点到进入端的距离在基圆的投影。

由图1可知，在一个啮合周期内 $\mu $ 由0逐渐增大到 ${\varepsilon _\gamma }\cdot{p_{\rm bt}}$ 到后端面退出啮合，由于螺旋角的存在，斜齿轮相对于直齿轮啮合区增加了 ${\varepsilon _\beta }\cdot{p_{\rm bt}}$ ，接触线不再与轴线平行，不同的轮齿宽度引起轴面重合度发生改变，使轮齿接触线分布形式变化比较复杂。当一对轮齿初始进入啮合区时，已有轮齿处于啮合状态，根据传动特点一般在齿顶或齿根啮合时，都有ceil（ ${{\rm{\varepsilon }}_\gamma }$ ）对轮齿在同时啮合。假定 $l$ 表示单对轮齿接触线的长度，针对不同的端面和轴面重合度关系可以表示为：

当 $ {\varepsilon _\beta } \le {\varepsilon _\alpha } $ 时，有：

$ l\left( \mu \right) = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {{\mu /{\sin\;{\beta _{\rm b}}}},}{\mu \le {L_2};} \\ {{B/{\cos\;{\beta _{\rm b}}}},}{{L_2} < \mu \le {\varepsilon _\alpha }{p_{\rm bt}};} \\ {{{\left( {{\varepsilon _\gamma }{p_{\rm bt}} - \mu } \right)}/{\sin\;{\beta _{\rm b}}}},}{{\varepsilon _\alpha }{p_{\rm bt}} < \mu \le {\varepsilon _\gamma }{p_{\rm bt}}} \end{array} \right. \\ $

(1)

当 $ {\varepsilon _\beta } \ge {\varepsilon _\alpha } $ 时，有：

$ l\left( \mu \right) \!=\! \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {{\mu /{\sin\;{\beta _{\rm b}}}},}{\mu \le {\varepsilon _\alpha }{p_{\rm bt}};}\\ {{{{\varepsilon _\alpha }{p_{\rm bt}}}/{\sin\;{\beta _{\rm b}}}},}{{\varepsilon _\alpha }{p_{\rm bt}} < \mu \le {\varepsilon _\beta }{p_{\rm bt}};}\\ {{{\left( {{\varepsilon _\gamma }{p_{\rm bt}} - \mu } \right)}/{\sin\;{\beta _{\rm b}}}},}{{\varepsilon _\beta }{p_{\rm bt}} < \mu \le {\varepsilon _\gamma }{p_{\rm bt}}} \end{array} \right. $

(2)

式中： $\tan\; {\beta _{\rm b}} \!=\! \tan \;\beta \cos\;{\alpha _{\rm t}}$ ， ${L_1}\! =\! {\varepsilon _\alpha }{p_{\rm bt}} - {L_2}$ ， ${p_{\rm bt}} = {p_{\rm t}}\cos\;{\alpha _{\rm t}} =$ $ \dfrac{{{\text{π}}{m_{\rm n}}}}{{\cos\;\beta }}\cos\;{\alpha _{\rm t}}$ ， $\tan\; {\alpha _{\rm n}} = \tan \;{\alpha _{\rm t}}\cos\;\beta $ ， ${L_2} = B\tan \;{\beta _{\rm b}}$ ； ${p_{\rm t}}$ 为端面分度圆齿距， $\;\beta $ 为螺旋角， ${\alpha _{\rm t}}$ 为端面压力角， ${\alpha _{\rm n}}$ 为法面压力角， ${m_{\rm n}}$ 为法面模数。

由于齿轮啮合过程中在 $\;\mu \!\in\! \left[ {0,{d_{{\varepsilon _\gamma }}}{p_{\rm bt}}} \right]$ 时，有ceil $({\varepsilon _{\rm{\gamma }}})$ 对轮齿接触，在 $\;\mu \in \left[ {{d_{{\varepsilon _\gamma }}}{p_{\rm bt}},{p_{\rm bt}}} \right]$ 时有floor（ ${\varepsilon _{\rm{\gamma }}}$ ）对轮齿接触，所以接触线总长以 ${p_{\rm bt}}$ 为周期不断变化，假定同时啮合的轮齿对数 $n\left( \mu \right)$ 为：

$n\left( \mu \right) = \left\{ \!\!\!\!{\begin{array}{l} {{\rm{ceil}} \left( {{\varepsilon _\gamma }} \right),}{\mu \le {d_{{\varepsilon _\gamma }}}{p_{\rm bt}};} \\ {{\rm{ceil}} \left( {{\varepsilon _\gamma }} \right) - 1,}{{d_{{\varepsilon _\gamma }}}{p_{\rm bt}} < \mu \le {p_{\rm bt}}} \end{array}} \right.$

(3)

则在一个基圆齿距内接触线的总长 ${L_{\rm{b}}}$ 可以表示为：

${L_{\rm b}}\left( \mu \right) = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {l\left( {\mu + i{p_{\rm bt}}} \right)} ,\mu \in \left[ {0,{p_{\rm bt}}} \right]$

(4)

1.2 轮齿接触线计算验证

轮齿接触线长度与斜齿轮传动的啮合刚度时变特性直接相关，计算的准确性是保证齿轮传动动态分析的关键。为了验证本文轮齿接触线长度计算的准确性，利用本文的计算方法针对参考文献[6]中的H501和H951变位斜齿圆柱齿轮传动进行计算，在单个轮齿的一个啮合周期内轮齿接触线变化如图2所示。由图2可知，本文的计算结果与文献结果完全一致，由于H501和H951的重合度 ${{\rm{\varepsilon }}_\gamma }$ 均接近整数2，此时总重合度 ${\varepsilon _\gamma }$ 的小数部分 ${d_{\varepsilon _\gamma }}$ 近似为0，因此啮合刚度最小值处出现尖点。

1.3 斜齿圆柱齿轮的啮合刚度计算

斜齿轮的啮合刚度和轮齿接触线总长成正比，但在不同接触点又具有不同的啮合刚度，文献[6–8]分别对直齿和斜齿圆柱齿轮的啮合刚度计算进行了详细分析，研究表明单对轮齿单位长度啮合刚度可以近似地看作是类抛物线或半正弦波形式变化，将文献[6–8]中单对齿啮合刚度改写成本文坐标 $\mu $ 的形式，利用H951做出的单对齿单位长度啮合刚度 ${k^u}$ （u表示文献[6–8]）近似曲线如图3所示。其中：文献[7]和[8]都是针对直齿轮传动，最小刚度 ${K_{\min }}$ 与最大刚度 ${K_{\max }}$ 比值都近似等于0.55；文献[6]主要针对斜齿圆柱齿轮传动，当 ${\alpha _k}{\rm{ = }}\dfrac{{B{K_{\min }}}}{{{K_{\max }}\cos\;{\beta _{\rm b}}}}{\rm{ = }}0.8$ 时，其准确性已经进行了论证，因此本文采用 $k_{}^{[6]}$ 作为单对齿单位长度啮合刚度计算公式。

由于斜齿轮可以看作是由端面上厚度无限小的一系列直齿圆柱齿轮按照特定的转角位错关系堆叠而成，因此可利用接触线长度和单对齿单位长度啮合刚度求得其啮合刚度。假定轮齿接触线均匀受载，一个齿距内轮齿接触线长度变化由式（4）计算，则斜齿轮啮合刚度的计算公式为：

$ {K_{\rm b}}\left( \mu \right) \!=\!{K_{\max }}\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {l\left( {\mu \! +\! i{p_{\rm bt}}} \right)k_i^u\left( {\mu \!+\! i{p_{\rm bt}}} \right)} , {\mu \in \left[ {0,{p_{\rm bt}}} \right]} $

(5)

式中， $k_i^u{\rm{ = }}k_{}^{[6]}$ ，轮齿的最大啮合刚度 ${K_{\max }}$ 可以根据ISO 6336—1标准计算得到。

2 斜齿轮啮合刚度波动影响因素分析

由式（5）可以看出，当斜齿轮参数变化时，主要影响端面重合度 ${\varepsilon _\alpha }$ 、轴面重合度 ${\varepsilon _\beta }$ 和 ${K_{\max }}$ 的变化，本节主要考虑重合度对啮合刚度波动的影响，因此定义啮合刚度变化变化因子 $\delta $ 为：

$\delta {\rm{ = }}{{\left( {{K_{\max }} - {K_{\min }}} \right)}/{{K_{\rm ave}}}}$

(6)

式中， ${K_{\rm ave}}$ 为齿轮的平均啮合刚度。

针对斜齿轮传动系统，斜齿轮的弹性模量E=2.11×10¹¹ Pa，泊松比 $\upsilon $ =0.33，密度 $\;\rho $ =7 850 kg/m³。初选传动参数由表1给出。

不同重合度时啮合刚度波动 $\delta $ 的变化如图4所示。由图4可知，在轴面重合度 ${\varepsilon _\beta }$ 较小时，啮合刚度波动较大，因为螺旋角 $\beta $ 较小时，轮齿进入和退出啮合轮齿接触线具有较大变化，从而导致较大的最大最小啮合刚度差，使得 $\delta $ 较大；在 ${\varepsilon _\alpha }$ 或 ${\varepsilon _\beta }$ 接近整数时，齿轮传动中轮齿啮合对数变化幅度较小，此时啮合刚度波动 $\delta $ 相对较小，这与文献[2]结果一致。

3 斜齿轮传动的主共振分析

主要研究齿轮啮合刚度波动、载荷波动和静载荷对系统传动的影响，可以将斜齿轮传动系统简化成一个单自由度系统，假定轴承和轴组合的支撑刚度和阻尼远大于齿轮的啮合刚度，因此可以近似认为齿轮与支座刚性连接，斜齿轮系统仅包含扭转自由度。根据文献[4]的方法，可以将间隙函数 ${g_0}(x)$ 近似表示为：

${g_0}(x) = {d_1}x + {d_2}{x^3}{\rm{ = }}{d_1}\left( {x + {d_0}{x^3}} \right)$

(7)

式中： $x$ 为无量纲化的齿轮动态误差； ${d_0} = {{{d_2}}/{{d_1}}}$ ，当 ${d_1} = 0.463$ ， ${d_2} $ =0.016 04时，拟合的均方差为0.21，确定系数为0.989 8，此时该函数能够较精确地表示齿轮系统的接触、脱齿和齿背冲击现象；同时考虑轮齿受到的载荷波动，假定 ${f_{\rm T}} = {f_0} + {f_{\rm e}}$ ， ${f_0}$ 为静载荷，载荷波动 ${f_{\rm e}}{\rm{ = }}f\cos\;\omega \tau $ ，此时系统方程类似于Duffing方程：

$ \ddot x \!+\! \eta \dot x \!+\! {d_1}\left( {1 + \delta \cos\;\omega \tau } \right)\left( {x + {d_0}{x^3}} \right) = {f_0} + f\cos\;\omega \tau $

(8)

式中， $\eta $ 为阻尼比， $\omega $ 为激励频率， $\tau $ 为无量纲时间。本文应用多尺度法对系统的振动特性进行分析，引入高阶小量 $\varepsilon $ ， $\left| \varepsilon \right| \ll 1$ ，时间尺度 ${T_r} = {\varepsilon ^r}\tau $ ，轮齿的啮合频率 $\omega = {\omega _0} + {\omega _1}\varepsilon + {\omega _2}{\varepsilon ^2} + \cdots $ ， ${\omega _0}{\rm{ = }}\sqrt {{d_1}} $ 为无量纲化的系统固有频率。假定方程（8）的解可表示为：

$ x\left( t \right) = {x_0}\left( {{T_0},{T_1}, \cdots } \right) + \varepsilon {x_1}\left( {{T_0},{T_1}, \cdots } \right) + {\varepsilon ^2}{x_2}\left( {{T_0},{T_1}, \cdots } \right) + \cdots $

(9)

3.1 主共振的稳态响应

在实际齿轮传动系统中，当激励频率接近系统固有频率时发生主共振，此参数激励波动以及激励频率波动均为高阶小量，因此必须重新标度阻尼、非线性项、激励波动和啮合刚度波动，令 $\eta {\rm{ = }}2\varepsilon \mu $ ， $\delta {\rm{ = }}\varepsilon k$ ， ${d_0}{\rm{ = }}\varepsilon {d_0}$ ， $f{\rm{ = }}\varepsilon f$ ，则有：

$ \ddot x + 2\varepsilon \mu \dot x + {d_1}\left( {1 + \varepsilon k\cos\;\omega \tau } \right)\left( {x + \varepsilon {d_0}{x^3}} \right) = {f_0} + \varepsilon f\cos\;\omega \tau $

(10)

引入激励频率失调参数 $\sigma $ 使得 $\omega = {\omega _0} + \varepsilon \sigma $ ，设导算子 ${D_n} = \dfrac{\partial }{{\partial {T_n}}}$ ，将近似解式（9）代入齿轮的系统方程（10），令 $\varepsilon $ 同次幂的系数相等可得：

$\left\{ \!\!\!\!\begin{array}{l} D_0^2{x_0}{\rm{ + }}\omega _0^2{x_0}{\rm{ = }}{f_0}, \\ D_0^2{x_1}{\rm{ + }}\omega _0^2{x_1}{\rm{ = }}f\cos\;\omega \tau - 2{D_0}{D_1}{x_0} - \\ \quad 2\mu {D_0}{x_0} - {d_2}x_0^3 - \omega _0^2k\cos\;\omega \tau {x_0} \\ \end{array} \right. $

(11)

假定方程（11）的解为：

$ {x_0} \!= \!A\left( {{T_1},{T_2}, \cdots } \right){{\rm e}^{{\rm i}{\omega _0}{T_0}}} \!+ \! {f_0} \!+ \!\overline A\left( {{T_1},{T_2}, \cdots } \right){{\rm e}^{ - {\rm i}{\omega _0}{T_0}}} $

(12)

式中， $\overline A$ 为 $A$ 的复共轭，令 $\cos\;\omega \tau {\rm{ = }}{{\left( {{{\rm e}^{{\rm i}\omega \tau }}{\rm{ + }}{{\rm e}^{{\rm{ - }}{ \rm i}\omega \tau }}} \right)}/2}$ ，将式（12）代入式（11）可得：

$\begin{aligned}[b] D_0^2{x_1}\! + \!\omega _0^2{x_1} \!=& \!\frac{{f{{\rm e}^{{\rm i}\omega \tau }}}}{2} \!- \! \frac{{\omega _0^2k}}{2}\!\left[ {A{{\rm e}^{{\rm i}\left( {{\omega _0}{T_0} + \omega \tau } \right)}} \!+\! {f_0}{{\rm e}^{{\rm i}\omega \tau }} \!+\!\! A{{\rm e}^{{\rm i}\left( {{\omega _0}{T_0} - \omega \tau } \right)}}} \!\right] \!\!- \\ & 2{\rm i}{\omega _0}\left[ {{D_1}A + \mu A} \right]{{\rm e}^{{\rm i}{\omega _0}{T_0}}} - {d_2}\left[ {{A^3}{{\rm e}^{3{\rm i}{\omega _0}{T_0}}} + } \right. \\ & \frac{{f_0^3}}{2} + 3{f_0}{A^2}{{\rm e}^{2{\rm i}{\omega _0}{T_0}}} + 3{\left| A \right|^2}A{{\rm e}^{{\rm i}{\omega _0}{T_0}}} + \\ & \left. {3f_0^2A{{\rm e}^{{\rm i}{\omega _0}{T_0}}} + 3{f_0}{{\left| A \right|}^2}} \right]{\rm{ + cc}} \end{aligned}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(13)

式中， ${\rm{cc}}$ 表示前面各项的共轭。设 $A\left( {{T_1}} \right) = \dfrac{{a\left( {{T_1}} \right)}}{2}{{\rm e}^{{\rm i}\beta \left( {{T_1}} \right)}}$ ，将其代入式（13），为了消去永年项，并且分离其实部和虚部，令 $\varphi {\rm{ = }}\beta - \sigma {T_1}$ ，可得：

$\left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {D_1}a{\rm{ = }} - a\mu + \dfrac{{\left( {{f_0}\omega _0^2k - f} \right)}}{{2{\omega _0}}}\sin\;\varphi ,\\ a{D_1}\varphi = - \sigma a{\rm{ + }}\dfrac{{\left( {{f_0}\omega _0^2k - f} \right)}}{{2{\omega _0}}}\cos\;\varphi +\\ \qquad\;\;\dfrac{{3{d_2}a}}{{8{\omega _0}}}\left( {{a^2} + 4f_0^2} \right) \\ \end{array} \right. $

(14)

为确定微分系统式（14）对应稳态运动的振幅 $\overline a$ 和相位 $\overline \varphi $ ，令 ${D_1}a$ 和 ${D_1}\varphi $ 为0，通过确定自治系统式（14）雅克比矩阵在平衡点的特征值变化，可以得到系统稳定的条件为：

$\left[ {\sigma - \frac{{3{d_2}}}{{8{\omega _0}}}\left( {3{{\overline a}^2} + 4f_0^2} \right)} \right]\left[ {\sigma - \frac{{3{d_2}}}{{8{\omega _0}}}\left( {{{\overline a}^2} + 4f_0^2} \right)} \right]{\rm{ + }}{\mu ^2} > 0 $

(15)

3.2 主共振的数值分析

在主共振分析中，斜齿轮传动参数与表1一致，无量纲化的初始静载荷 ${f_0}$ =0.215，载荷波动幅度 $f$ =0.2，啮合刚度波动幅值 $k$ =0.2，啮合阻尼 $\mu $ =0.1，分析中取小参数 $\varepsilon $ =0.02。为了更加全面了解齿轮传动系统的动态特性，主要探讨载荷波动、啮合刚度波动和静载荷变化对传动的影响，本文响应曲线的灰色部分为不稳定分支。

3.2.1 外加激励波动对传动的影响

图5（a）为不同载荷波动 $f$ 时主共振的幅频变化曲线，当 $f$ 逐渐增大时，主共振稳态幅值和触发主共振不稳定的最小频率增大，灰色不稳定分支扩展，主共振稳定性变差，但只有当 $f$ 增大到一定值后才会导致主共振稳态振幅的“跳跃”。图5（b）为 $f$ 与振幅 $a$ 的变化关系，当激励频率 $\omega $ 小于系统的临界频率时， $a$ 随 $f$ 增大而增大， $f$ 变化不会导致主共振的不稳定；当 $\omega $ 大于临界频率后，特定的 $f$ 会导致主共振出现多个振幅分支，同时 $a$ 也大幅增加，从而引起系统的不稳定，这也称为滞后现象；还可以看出随着 $\omega $ 的增大， $a$ 增加， $f$ 诱发主共振不稳定的可能性增大。因此，传动载荷波动直接影响斜齿轮传动的稳定性，在 ${\omega _0}$ 附近工作的斜齿轮传动中，较小的 $f$ 都有可能引起系统不稳定，较大的 $f$ 有时甚至可能引起齿轮的破坏。

3.2.2 啮合刚度波动对传动的影响

图6（a）分别比较了不同啮合刚度波动 $k$ 时 $a$ 的变化曲线。由图6（a）可知，随着 $k$ 的增加，主共振的最大稳态幅值逐渐减小，不稳定分支也不断缩减，因此一定的 $k$ 可以缩减 $a$ ，有利于主共振的稳定性，但是 $k$ 对主共振的影响较小。图6（b）表明：齿轮系统工作在低于主共振临界频率的工况下， $k$ 的改变不会触发主共振的不稳定， $k$ 的增加会使 $a$ 减小；当 $\omega $ 大于临界频率后， $\omega $ 越大触发主共振不稳定的最小 $k$ 越小，因此较小的 $k$ 亦可诱发系统高速传动的大幅振动。一般齿轮传动中啮合刚度波动始终存在，当工作在接近主共振频率的不稳定高速传动中时，较小的 $k$ 就会导致齿轮系统主共振的不稳定。

在齿轮结构从参数变化时，斜齿轮的重合度随之改变，从而引起啮合刚度的波动。图7给出斜齿轮重合度变化对主共振稳定性的影响，其中，灰色区域为稳定区域， $\omega $ =0.424和0.423时对应的为不稳定区域。当 $\omega $ 大于临界频率处于不稳定区域内时，高频激励作用下，多数斜齿轮传动会出现主共振的不稳定，而且也注意到在 ${\varepsilon _\beta }$ <0.2， ${\varepsilon _\alpha }$ 在1.4附近时，虽然 $k$ 较大但不会出现主共振的不稳定；当 $\omega $ =0.422时，在图6（b）中较大的 $k$ 也会导致主共振不稳定，但是在0< ${\varepsilon _\beta }$ <2，1< ${\varepsilon _\alpha }$ <2.5范围内 $k$ <1.5时，也不会引起主共振的不稳定。

3.2.3 静载荷变化对主共振的影响

图8（a）为不同静载荷 ${f_0}$ 时主共振幅频曲线的变化情况。由图8（a）可知， ${f_0}$ 增大， $a$ 减小，灰色不稳定分支也逐渐缩短，系统的频率响应曲线右移，主共振峰值频率增大，主共振的稳定性增加。在应用中由于 ${f_0}$ 增大，轮齿表面形变增加，使得轮齿接触面积增大，而且当 ${f_0}$ 增加， $f$ 不变时， $f$ 对系统的相对作用下降，因此适当增大外载荷有利于齿轮系统的稳定传动。图8（b）为不同激励频率时静载荷对主共振稳态幅值的影响曲线，当 $\omega $ =0.423小于临界频率时， ${f_0}$ 增加， $a$ 减小；当 $\omega $ 大于临界频率时， ${f_0}$ 在一定范围内会引起主共振的不稳定， $\omega $ 越小， ${f_0}$ 引起主共振不稳定的可能性越大，而且主共振稳态峰值随 ${f_0}$ 的增大逐渐减小，进一步说明在较大载荷传递中的齿轮系统稳定性更好。

4 结　论

通过对斜齿圆柱齿轮传动特点的分析，得到斜齿轮啮合刚度计算方法，并将啮合刚度变化规律应用于斜齿轮的动力学分析，利用多尺度法获得了斜齿轮主共振的影响因素，主要得到以下结论：

1）本文提出的啮合刚度计算方法能够较快速、准确地确定斜齿轮啮合刚度变化规律。

2）将斜齿轮啮合刚度波动引入斜齿轮的动态特性分析中，能够更加准确、普遍地反映斜齿轮传动的一般特性。

3）特定啮合刚度波动时，静载荷增加，斜齿轮传动主共振频率增大，稳定性增加，载荷波动增加，主共振幅值增大，稳定性变差。

4）外加载荷一定时，啮合刚度波动增加时，主共振幅值有小幅减小，稳定性增加，但随激励频率增加，斜齿轮传动主共振发生不稳定的可能性增加，即使较小的啮合刚度波动也会触发主共振的不稳定。