文献[1]提出了管运洪水的新概念。管运洪水和设计洪水相比，其最大差异在于前者为条件分布，后者为无条件分布，这里的条件指影响洪水特性的因素。如洪水季节性（主汛期和次汛期）、大洪水形成时的前期水量等。对于洪水分期条件，文献[1]已作了初步的探讨，而前期水量为条件的研究还未涉及。借助前期水量信息如何推求管运洪水使水库在确保防洪安全的前提下，充分发挥其效益，是当今面临的迫切需要解决的一个难题。文献[2]在推求三峡水库管运洪水时涉及了前期水量这个条件，其一般原则是前期水量大，相应地考虑管运洪水大一点；反之，前期水量小，管运洪水就小。尽管文献[2]考虑的方法带有经验性，但通过实践获得了明显效果。三峡水库是当前中国最大的水库，以前期水量为条件的管运洪水运用推动了这个领域的实践和研究。文献[3-6]分别从洪水过程、概化洪水过程、洪水2维变量重现期等方面探讨了管运洪水的有关研究。

年最大洪水（表现在年最大时段洪量和洪峰）是流域多种因素综合作用下形成的一种水文特征量，主要由暴雨形成的水量和洪水来临时河流前期水量决定。一般地，前者起决定性作用，后者仅起次要作用。就小流域而言，后者作用很小且可以忽略；对于大中流域，后者作用应予重视。大中流域的年最大时段洪量通常是在前期水量较大的情况下，又遭遇暴雨洪水而形成的。如图1所示， $T$ 时段洪量为 $W=W_1+ $ $W_2$ ，其中， $W_1$ 表示 $T$ 时段新增加的洪水量， $W_2$ 表示前一次洪水过程在 $T$ 时段的退水量； $W_3$ 表示前期水量。因为 $W$ 中包含 $W_2$ ，而 $W_2$ 与 $W_3$ 紧密相关，故 $W$ 和前期水量 $W_3$ 存在着一定的相关关系 $r$ 。对大中流域， $r$ 较大；对于小流域， $r$ 很小或接近于0。推求以前期水量为条件的管运洪水以 $r$ 为前提，若 $r=0$ 或者数值较小，表面二者无关系，则以前期水量为条件的分布就转化为无条件分布，此时对管运洪水无影响；若二者存在着显著统计关系，则该条件对管运洪水产生影响。前一种情况可作为后一种情况的特例。

作者在前期水量条件下管运洪水推求的理念和方法，提出了直接推求法和间接推求法。前者以单变量频率计算为基础，后者以Copula函数为基础。研究结果表明，推荐的两种方法合理可行。

1 以前期水量为条件的管运洪水推求 1.1 基本理念

关注重点为年最大时段洪量。年最大时段洪量可以是任意时段的洪量，比如年最大3日洪量，其对应的前3日水量为前期水量。设 $Y$ 为年最大时段洪量， $X$ 为对应的前期水量。若 $X$ 和 $Y$ 存在统计关系，那 $X$ 便会对 $Y$ 的分布产生影响， $Y$ 的条件分布表示为 $P(Y|X)$ ；若二者无统计关系，则 $P(Y|X)=P(Y)$ 。

设 $X$ 的均值为 $x_0$ 。将 $X$ 划分为两种状态： $X\le x_0$ 时为少水状态，表示为 $R_1$ ； $X > x_0$ 时为多水状态，表示为 $R_2$ 。当然可以将 $X$ 分为多种状态，这取决于管运需求资料条件和推求条件分布的方法。为了形象地论述推求条件分布的思路和方法，选择最简明的两种状态。至于多状态的情况，可做类似的分析。

将前期水量分为两种状态，则 $P(Y|X)$ 则转化为 $P_1(Y>y_1|R_1)$ 和 $P_2(Y>y_2|R_2)$ 。若不管状态条件， $P(Y|X)$ 便转化为 $P_3(Y>y_3)$ 。 $y_1$ 对应前期少水条件下的年最大时段洪量， $y_2$ 对应前期多水条件下的年最大时段洪量， $y_3$ 对应不考虑前期水量条件下的年最大时段洪量。 $P_1$ 、 $P_2$ 、 $P_3$ 之间存在着相互制约的关系，这种关系对分析 $P_1$ 和 $P_2$ 的合理性至关重要。 $R_1$ 和 $R_2$ 为互斥事件，即年最大时段洪量 $Y$ 既可发生在状态 $R_1$ 下，也可能发生在状态 $R_2$ 下，但不可能同时在两种状态下发生。根据全概率公式有^{[1, 7]}：

$ {P_3}(Y\! \!> \!\!{y_3})\! =\! {P_1}(Y\!\! >\!\!{y_1}|{R_1})P({R_1}) \!+\!{P_2}(Y \!> \!{y_2}|{R_2})P({R_2}) $

(1)

式中： $P(R_1)$ 和 $P(R_2)$ 分别为出现 $R_1$ 和 $R_2$ 的可能性，且 $P(R_1)+P(R_2)$ =1； $P_3(Y>y_3)$ 为水库工程管运洪水潜在的总风险（年风险）； $P_1(Y>y_1|R_1)$ 为在 $R_1$ 条件下，以洪水 $y_1$ 进行管运的潜在风险； $P_2(Y>y_2|R_2)$ 为在 $R_2$ 条件下以洪水 $y_2$ 进行管运的潜在风险。从风险角度而言，总风险为各部分风险的加权之和，这里可视 $P(R_1)$ 和 $P(R_2)$ 为权重。

管运期间水利工程达到国家规定的防洪安全标准要求，由式（1）中的 $P_3$ 来体现。当 $P_3$ 值确定以后，为了合理选择 $P_1$ 和 $P_2$ ，使水利工程充分发挥综合效益，因此，推求管运洪水的实质和重点便是推求式（1）中的 $P_1(Y>y_1|R_1)$ 和 $P_2(Y>y_2|R_2)$ 并分析其合理性。

在应用时，应注意下述两点：

1） $Y$ 的样本应由年最大时段洪量组成，次大值一律不能采用。

2） $Y$ 和状态 $R_1$ 、 $R_2$ 存在统计关系。若无关系， $P_1(Y>y_1|R_1)$ = $P_1(Y>y_1)$ ， $P_2(Y>y_2|R_2)$ = $P_2(Y>y_2)$ ，取 $y_1=y_2=y_3$ ，由式（1）得， $P_3(Y>y_3)\!=\!P_1(Y>y_3)\!=\!P_2(Y>$ $y_3)$ ，最大洪量 $Y$ 的分布均一样，无必要探讨条件分布。

综上，前期水量 $X$ 对 $Y$ 的影响以 $P(Y|X)$ 表征，这是本文提出的管运洪水推求基本理念。

1.2 条件分布的推求

基于实测资料推求 $Y$ 的条件分布，提出两种方法。一是，直接推求法，直接计算获得条件分布；二是，间接推求法，通过表征2维分布的Copula函数间接获得条件分布。

1.2.1 直接推求法

该法基本思路为利用实测资料做统计分析直接推求 $P_1(Y_1|R_1)$ 和 $P_2(Y_2|R_2)$ ：

1）据水文资料统计得年最大时段洪量（如年最大3日洪量）系列，然后在满足对应年最大时段洪量下，选择前期水量。最后得到Y和其相应的X样本系列。

2）计算X样本系列的平均值 $x_0$ ，凡是X系列中满足 $ X \le {x_0} $ 记为状态 $R_1$ ，满足 $ X > {x_0} $ 记为状态 $R_2$ 。若X系列的容量为 $n$ ，处于 $R_1$ 状态的项数为 $n_1$ ，处于 $R_2$ 状态的项数为 $n_2$ ，则 $n = {n_1} + {n_2}$ ， $P_1(R_1)n = {n_1}/n$ ， $P_2(R_2)n = {n_2}/n$ ， $P(R_1)+P(R_2)$ =1。

3）获取对应 $R_1$ 状态下的 $Y$ ，形成容量 $n_1$ 的 $Y$ 系列，做频率分析计算^[4]，获得 $P_1(Y_1|R_1)$ 。类似地，得到对应 $R_2$ 下的 $P_2(Y_2|R_2)$ 。

4）依据容量为 $n$ 的 $Y$ 系列，通过频率计算获得式（1）中的 $P_3(Y>y_3)$ 。

5）合理性分析。

在获得 $P_1(Y_1|R_1)$ 、 $P_2(Y_2|R_2)$ 、 $P_3(Y>y_3)$ 后，还要按式（1）的定量关系做合理性分析和评价。令 $y_3=y_2=$ $y_1=y_0 $ ，则有：

$ {P_3}({y_0}) = {P_1}({y_0}|{R_1})P({R_1}) + {P_2}({y_0}|{R_2})P({R_2}) $

(2)

检查式（2）等号左端和右端的数值是否相等。如不相等，则需进行适当调整，调整原则是满足式（2）。由于 $P_3$ 线依据 $n$ 年资料获得，其可靠性高于 $P_1$ 和 $P_2$ 这两条线，故一般不调整 $P_3$ 线，可略调整 $P_1$ 和 $P_2$ ，便于实用。

直接推求法简明、直观、实用，但是要求洪水样本容量较大。

当前 $n$ 约为60， $n_1$ 和 $n_2$ 约为30。在两种状态下可通过适线法推求 $P_1(Y|R_1)$ 和 $P_2(Y|R_2)$ 。若状态增多（如 $R_1$ 、 $R_2$ 、 $R_3$ ），适线所依据的点据太少，难以适线推求 $P_1(Y|R_1)$ 、 $P_2(Y|R_2)$ 和 $P_3(Y|R_3)$ 。此时，建议用间接推求法。

1.2.2 间接推求法

X和Y存在着统计关系，其联合分布 $H(X,Y)$ 的推求十分复杂。Copula函数^[8-10]的出现，可方便地推求出联合分布。基于Copula函数^[11-14]，2维变量的联合分布为：

$ H(X,Y) = C(u,v) =P(X \le x,Y \le y) $

(3)

$ u = {F_1}(X),\;v = {F_2}(Y)\quad $

(4)

式中， $H(X,Y)$ 为联合分布表达式， $C(u,v)$ 为Copula函数， $F_1(X)$ 和 $F_2(Y)$ 为 $P_1(X\le x)$ 和 $P_2(Y\le y)$ 单变量分布函数（边缘分布函数）。

据 $H(X,Y)$ 、 $F_1(X)$ 和 $F_2(Y)$ ，可获得条件分布 $P(Y|X)$ 。据概率统计原理，有：

$P(Y > y|X \le x) = \frac{{P(X \le x,Y > y)}}{{P\left( {X \le x} \right)}}$

(5)

$P(Y > y\left| X> x\right.) = \frac{{P(X > x,Y > y)}}{{P(X > x)}}$

(6)

式（5）和（6）中的2维分布可利用式（3）和（4）^[15-16]：

$P\left( {X \le x,Y > y} \right) = 1 - {P_1}(X > x) - P\left( {X \le x,Y \le y} \right)$

(7)

$P\left( {X > x,Y > y} \right) \!=\! 1 \!-\! {P_1}(X \le x)\! -\! {P_2}(Y \le y )\!+\! P\left( {X \le x,Y \le y} \right)$

(8)

设 $X$ 均值为 $x_0$ ，并令 $x=x_0$ ，则式（6）和（7）变为：

$P(Y > y|X \le {x_0}) = \frac{{P(X \le {x_0},Y > y)}}{{P\left( {X \le {x_0}} \right)}}$

(9)

$P(Y > y\left| X> {x_0} \right.) = \frac{{P(X > {x_0},Y > y)}}{{P(X > {x_0})}}$

(10)

式中， $X\le x_0$ 表示状态 $R_1$ ， $X > x_0$ 表示状态 $R_2$ 。因此，式（9）和（10）可改写为：

${P_1}(Y > y|{R_1}) = \frac{{P(X \le {x_0},Y > y)}}{{P\left( {{R_1}} \right)}}$

(11)

${P_2}(Y > y|{R_2}) = \frac{{P(X > {x_0},Y > y)}}{{P\left( {{R_2}} \right)}}$

(12)

$P_1(Y>y_1|R_1)$ 和 $P_2(Y>y_2|R_2)$ 即为所求条件分布。基于式（11）和（12）借助于式（7）、（8）并考虑到 $P(R_1)=P(X\le x_0)$ 、 $P(R_2)=1-P(X\le x_0)$ ，最终可推求出管运洪水。基本步骤如下：

1）据水文资料统计得年最大时段洪量（如年最大3日洪量）系列，然后在满足对应年最大水量的要求下，选择前期水量。最后得到 $Y$ 和其相应的 $X$ 样本系列。

2）通过适配线法求得X与Y的分布函数 $F_1'\left( X \right)$ 和 $F_2'\left( Y \right)$ ， $F_1(X) = 1 - F_1'\left( X \right)$ 和 $F_2(Y) = 1 - F_2'\left( Y \right)$ 。

3）建立后期水量Y与前期水量X的Copula函数 $C(u,v)$ 。

4）依据式（7）、（8）、（11）、（12）推求条件分布 $P(Y>y|R_1)$ 和 $P(Y>y|R_2)$ 。

关于间接法补充说明如下：

1）间接法的关键在于Copula函数的选择。

当前现有不少使用的Copula函数可供选择，但何种函数用来反映水文多维变量的联合分布最合适，迄今尚无系统的研究和令人信服的结论。据 $X$ 和 $Y$ 相关图显示出的特性从当前较为普遍应用的几种函数中选用Copula函数。

2）以Copula函数刻画水文多变量的联合分布已广泛用于水文学领域，但以此函数描述年最大时段洪量和前期水量的2维联合分布还是首次。

3）间接法基础在于 $C(u,v)$ 、 $u=F_1(X)$ 与 $v=F_2(Y)$ 。其计算对样本容量的要求并不高。这里涉及到2维联合分布的计算， $n$ 多大合适，目前无有价值的研究。

4） $X$ 和 $Y$ 的统计关系体现在 $C(u,v)$ 中。若二者无关系，则 $C(u,v)=v$ 。在这种情况下，式（9）、（10）变为：

$ \begin{aligned} &P\left( {Y > y|{R_1}} \right) = \frac{{P(X \le {x_0})P(Y > y)}}{{P\left( {X \le {x_0}} \right)}} = P(Y > y) {\text{，}}\\ &P\left( {Y > y|{R_2}} \right) = \frac{{P\left( {X > {x_0}} \right)P(Y > y)}}{{P\left( {X > {x_0}} \right)}} = P(Y > y ){\text{。}} \end{aligned}$

此时表明以前期水量为条件的分布变为无条件分布。

2 实例分析

杂谷脑河是岷江上游一级支流，于汶川县（桑坪站）汇入岷江。杂谷脑河流域面积4 630 km²。本文搜集了杂谷脑河桑坪站1958—2010年共53年实测3日洪量系列，分别按上述直接法和间接法推求相应条件分布。桑坪站水文资料经过水文部门整编，复核三性审查。

2.1 条件分布推求的直接法

按照直接法推求管运洪水的思路，可以得出桑坪站年最大3日洪量系列 $Y$ 和前期水量系列 $X$ ，前期水量平均值 $x_0$ =1.96×10⁸ m³， $n$ =53， $n_1$ =27， $n_2$ =26，即 $P(R_1)$ =0.51， $P(R_2)$ =0.49；假定 $R_1$ 和 $R_2$ 状态下的洪量系列，年最大3日洪量系列均符合P–Ⅲ分布，根据目估适线法估计分布参数，按照式（1）的定量关系对其合理性进行分析，若不合理，则调整参数直至式（1）左右两边基本相等（在合理的误差范围之内）。

最终参数为： $R_1$ 状态下年最大3日洪量频率分布参数 ${\overline x_1}$ =2.63×10⁸ m³， $C_{\rm v1}$ =0.26， $C_{\rm s2}$ =0.65； $R_2$ 状态下年最大3日洪量频率分布参数 ${\overline x_2}$ =3.25×10⁸ m³， $C_{\rm v2}$ =0.19， $C_{\rm s2}$ =1.24；年最大3日洪量分布参数为 ${\overline x_3}$ =2.96×10⁸ m³， $C_{\rm v3}$ =0.23， $C_{\rm s3}$ =0.90。各频率分布曲线见图2～4。

将 $R_1$ 、 $R_2$ 状态频率曲线和无条件下年最大值频率曲线点绘在同一张频率格纸上，如图5所示。

由图5分析可知：

1） $P_1$ 线位于 $P_3$ 线之下，而 $P_2$ 线位于 $P_3$ 线之上，这是合理的。对于同一最大3日洪量 $y$ =4.0×10⁸ m³， $P_1$ 约为4%， $P_2$ 约为11%， $P_3$ 约为8%。这表明在 $R_1$ 状态下出现的可能性小，在 $R_2$ 状态下可能性大，而无条件下可能性居中。这些都符合年最大3日洪量和影响因素之间关系特性。

2） $P_1$ 、 $P_2$ 和 $P_3$ 3线的最后确定必须经过两大检查。一是，和实测数据的配合检查，如图2～4所示；二是，3线之间的定量关系受到式（2）制约的检查。因此，3线的成果比较可靠。

3）在不考虑 $R_1$ 和 $R_2$ 条件下，以 $P_3(Y>y_3)$ 为依据，由体现防洪标准的 $P_3$ （设为1%）而获得 $y_3$ 值作为管运洪水。在考虑 $R_1$ 和 $R_2$ 条件时，则要依据当时处于何种状态，决定是以 $P_1(Y>y_1|R_1)$ 还是以 $P_2(Y>y_2|R_2)$ 估计 $y_1$ 或 $y_2$ 。如处在 $R_1$ 状态，则由 $P_1(Y>y_1|R_1)$ =1%得到 $y_1$ ；如处在 $R_2$ 状态，则由 $P_2(Y>y_2|R_2)$ =1%得到 $y_2$ 。由图5得近似值 $y_1$ =4.45×10⁸m³， $y_2$ =5.21×10⁸m³， $y_3$ =4.97×10⁸m³。因此， $y_1<y_3,y_2>y_3$ 。这表明，在考虑条件后，其管运值（ $y_1$ 和 $y_2$ ）并非一定小于无条件下的管运值（ $y_3$ ）（表1）。

4) $P_1$ 、 $P_2$ 和 $P_3$ 3线之所以分开是因为 $y$ 和 $R_1$ 、 $R_2$ 间存在统计关系。如果无关系，则3线便合并为1条线， $P_1$ 向上变为 $P_3$ ，而 $P_2$ 向下变为 $P_3$ ，最终只有1条线 $P_3$ （无条件的 $y$ 线）。

2.2 条件分布推求的间接法

为选取合适的Copula函数，点绘出 $X$ 和 $Y$ 的相关图，如图6所示。宜选择Clayton–Copula函数，即：

$ C(u,{{v}}) = {({u^{ - \theta }} + {v^{ - \theta }} - 1)^{ - \tfrac{1}{\theta }}} $

(13)

式中， $ \theta $ 为Copula函数关联参数，通过Kendall秩相关系数估计得到，据样本序列得出 $ \theta $ =1.99。 $X$ 的边缘分布参数为 $\overline x$ =1.96×10⁸m³， $C_{{\rm v}x}$ =0.41， $C_{{\rm s}x}$ =1.47。状态门限值 $x_0$ =1.96×10⁸m³， $P(R_1)$ =0.598， $P(R_2)$ =0.402。 $Y$ 的边缘分布参数为 $\overline y$ =2.96×10⁸ m³， $C_{{\rm v}y}$ =0.23， $C_{{\rm s}y}$ =0.93。 $x$ 和 $y$ 的分布曲线见图7和8，前者记为 $F_1'(X > x)$ ，后者记为 $ F_2'(Y > y) $ ，相应的 $F_1(X\le x)=1-F_1'(X > x)=u$ ， $F_2(Y\le y)=1-$ $F_2'(Y > y) = v $ 。利用式（7）、（8）将式（11）和（12）改写成：

${P_1}(Y > y/{R_1}) = \frac{{{F_1}(X \le {x_0} )- H(X \le {x_0},Y \le y)}}{{P\left( {{R_1}} \right)}}$

(14)

${P_2}\left( {Y\! >\! \frac{y}{{{R_2}}}} \right)\! =\! \frac{{1 - {F_1}(X \le {x_0})\! +\! H(X \le {x_0},Y \le y) \!-\! {F_2}(Y \le y)}}{{P\left( {{R_2}} \right)}}$

(15)

将由样本估计的 $P(R_1)$ 、 $P(R_2)$ 和 $x_0$ =1.96代入式（14）、（15）得：

${P_1}\!\left( {Y\! >\! \frac{y}{{{R_1}}}} \right)\! =\! \frac{{1 \!-\! {F_1}(X\! > \!1.96) \!- \!H(X \le 1.96,Y \le y)}}{{0.598}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(16)

${P_2}\left(Y \!>\! \frac {y}{R_2}\right) \!\!=\!\! \frac{{1 \!-\! {F_1}(X\! \le \!1.96) \!+\! H(X \!\le \!1.96,Y \!\!\le\! \!y) \!\!-\!\! {F_2}(Y \!\!\le \!\!y)}}{{0.402}}$

(17)

由于 $F_1(X\le x)$ 、 $F_2(Y\le y)$ 及 $H(X\le x_0,Y\le y)$ 均已知，在式（16）和（17）中给定一个 $y$ 便有对应的 $P_1$ 和 $P_2$ ，这样便可得到大量对应点据。据此经适线可分别得 $P_1(Y>y|R_1)$ 和 $P_2(Y>y|R_2)$ 2条拟合的P–Ⅲ频率曲线，其参数分别为：对 $P_1$ 线， $\overline x$ =2.65×10⁸ m³， $C_{\rm v}$ =0.23， $C_{\rm s}$ =1.15；对 $P_2$ 线， $\overline x$ =3.27×10⁸m³， $C_{\rm v}$ =0.20， $C_{\rm s}$ =0.95。相应的频率曲线见图9。为了比较和分析，将无条件的年最大3日洪量频率曲线也绘于图9中，标记为年最大值频率曲线。

2.3 两种方法的比较

对比图5和9，可以看出，两种方法的成果基本一致。为定量说明，特将 $P_1(Y>y|R_1)$ =1%、 $P_2(Y>y|R_2)$ =1%对应的 $y_1$ 和 $y_2$ 值列于表1。为了和无条件下的数值做比较，亦将 $P_3(Y>y_3)$ =1%时的 $y_3$ 值列于表1。

表1显示，两种方法获得的成果有一定差别，但不算很大。因此，选择哪一种方法主要取决于资料条件。当然，在条件许可的情况下两种方法均可采用，以便对成果做综合分析。由表1还可知，以前期水量为条件的管运洪水量（年最大3日洪量），其直接法在 $R_1$ 状态下 $y_1$ 为4.45×10⁸ m³，在状态 $R_2$ 下 $y_2$ 为5.21×10⁸ m³，与无条件的管运量 $y_3$ （4.97×10⁸ m³）相比，前者小0.52×10⁸ m³，后者大0.24×10⁸ m³。间接法在 $R_1$ 状态下 $y_1$ 为4.55×10⁸ m³，在状态 $R_2$ 下 $y_2$ 为5.23×10⁸ m³，与无条件的管运量 $y_3$ （4.97×10⁸ m³）相比，前者小0.42×10⁸ m³，后者大0.26×10⁸ m³。这意味着在 $R_1$ 状态时，因洪量减少较多，可在原固定汛限水位的基础上，适当提高汛限水位，为增加水库效益提供科学依据。 $R_2$ 状态时，因洪量少量增加，要小幅度的降低汛限水位，水库效益略减小。最终综合结果为，水库效益比原固定汛限水位时增加。这就是在管理运用时要考虑X对Y影响的根本原因。

3 结　论

通过以上讨论，分析和计算得出以下结论：

1）前期水量在一定程度上影响年最大时段洪量。合理考虑这种影响能在保证水库达到规范要求的防洪标准前提下，适当提高综合效益。

2）提出前期水量对年最大时段洪量的定量影响，研究结果表明，以前期水量条件下的最大时段洪量频率分布表征，即 $P(Y|X)$ ，是正确的理念。

3）为了推求 $P(Y|X)$ ，建议了两种方法：直接法和间接法。其成果均能用全概率式作出检查和评判，增强了两种方法的适用性。

4）直接法以单变量频率分析计算为基础，其优点是简明、直接和方便，缺点在于对资料条件要求较高。

5）间接法以表征两变量联合分布的Copula函数为基础，其独特优点为对资料条件要求较低。但不足之处要选择适合的Copula函数，计算较复杂等。

6）本文取得的结果是初步的。一些问题尚须进一步探讨，例如资料长度较短时，如何选择合适的Copula函数等。