工程科学与技术   2019, Vol. 51 Issue (5): 17-24

1. 四川大学 水利水电学院，四川 成都 610065;
2. 四川大学 水力学与山区河流开发保护国家重点室，四川 成都 610065;
3. 四川省水利水电勘测设计研究院，四川 成都 610072;
4. 中国三峡建设管理有限公司，四川 成都 610000

Calculation of Manage-flood Based on the Previous Flood Volume
QIN Guanghua1,2, CAO Lingran1, WANG Wensheng1,2, DING Jing1, LI Shenqi3, YAO Ruihu4
1. College of Water Resource & Hydropower, Sichuan Univ., Chengdu 610065, China;
2. State Key Lab. of Hydraulics and Mountain River Eng., Sichuan Univ., Chengdu 610065, China;
3. Sichuan Water Resources and Hydroelectric Investigation &  Design Inst., Chengdu 610072, China;
4. China Three Gorges Projects Development Co. Ltd., Chengdu 610000, China
Abstract: Floods encountered by a reservoir project during operation and management period are mainly determined by the volume of rainstorm and the previous flood volume of the river. For small watersheds, the latter plays a minor role which can be ignored. For large and medium watersheds, the latter has a greater impact and thus should be paid attention to. Based on the total probability formula the concept of quantificational characterizing this influence of flood frequency distribution of the annual maximum time period flood volume whose condition is previous flood volume is proposed, and the calculation formula is given. Two calculation methods for the manage-flood based on previous flood volume are established, i.e., the direct method and the indirect method. The paper divides the previous flood volume of the river into two states: less water and more water. The direct method is based on the measured flood data, and the conditional distribution of less water and more water is deduced by the principle of single variable frequency calculation principle. The direct method is simple and practical, but it requires more data. In the indirect method, the Copula function is first used to describe the two dimensional joint distribution of the maximum period flood volume of annual (such as annual maximum seven days flood volume) and the previous flood volume of the river. The key of this method is the choice of Copula function. By analyzing the correlation charts of the maximum period flood volume of annual and the previous flood volume of the river, the Clayton–Copula function is selected to deduce the conditional distribution. The indirect method can be used in lack of data, but the shortcoming is that the appropriate Copula function should be selected, and the calculation is more complicated. Finally, the proposed direct method and indirect method were applied to the calculation of channel flood in Zagunao River. The results showed that the overall benefit of the reservoir was higher than that of the original operation that fixed the limits water level of reservoir in flood period.
Key words: manage-flood    total probability formula    conditional distribution    previous flood volume

 图1 洪量示意图 Fig. 1 Diagram of flood volume

1 以前期水量为条件的管运洪水推求 1.1 基本理念

$X$ 的均值为 $x_0$ 。将 $X$ 划分为两种状态： $X\le x_0$ 时为少水状态，表示为 $R_1$ $X > x_0$ 时为多水状态，表示为 $R_2$ 。当然可以将 $X$ 分为多种状态，这取决于管运需求资料条件和推求条件分布的方法。为了形象地论述推求条件分布的思路和方法，选择最简明的两种状态。至于多状态的情况，可做类似的分析。

 ${P_3}(Y\! \!> \!\!{y_3})\! =\! {P_1}(Y\!\! >\!\!{y_1}|{R_1})P({R_1}) \!+\!{P_2}(Y \!> \!{y_2}|{R_2})P({R_2})$ (1)

1） $Y$ 的样本应由年最大时段洪量组成，次大值一律不能采用。

2） $Y$ 和状态 $R_1$ $R_2$ 存在统计关系。若无关系， $P_1(Y>y_1|R_1)$ = $P_1(Y>y_1)$ $P_2(Y>y_2|R_2)$ = $P_2(Y>y_2)$ ，取 $y_1=y_2=y_3$ ，由式（1）得， $P_3(Y>y_3)\!=\!P_1(Y>y_3)\!=\!P_2(Y>$ $y_3)$ ，最大洪量 $Y$ 的分布均一样，无必要探讨条件分布。

1.2 条件分布的推求

1.2.1 直接推求法

1）据水文资料统计得年最大时段洪量（如年最大3日洪量）系列，然后在满足对应年最大时段洪量下，选择前期水量。最后得到Y和其相应的X样本系列。

2）计算X样本系列的平均值 $x_0$ ，凡是X系列中满足 $X \le {x_0}$ 记为状态 $R_1$ ，满足 $X > {x_0}$ 记为状态 $R_2$ 。若X系列的容量为 $n$ ，处于 $R_1$ 状态的项数为 $n_1$ ，处于 $R_2$ 状态的项数为 $n_2$ ，则 $n = {n_1} + {n_2}$ $P_1(R_1)n = {n_1}/n$ $P_2(R_2)n = {n_2}/n$ $P(R_1)+P(R_2)$ =1。

3）获取对应 $R_1$ 状态下的 $Y$ ，形成容量 $n_1$ $Y$ 系列，做频率分析计算[4]，获得 $P_1(Y_1|R_1)$ 。类似地，得到对应 $R_2$ 下的 $P_2(Y_2|R_2)$

4）依据容量为 $n$ $Y$ 系列，通过频率计算获得式（1）中的 $P_3(Y>y_3)$

5）合理性分析。

 ${P_3}({y_0}) = {P_1}({y_0}|{R_1})P({R_1}) + {P_2}({y_0}|{R_2})P({R_2})$ (2)

1.2.2 间接推求法

XY存在着统计关系，其联合分布 $H(X,Y)$ 的推求十分复杂。Copula函数[8-10]的出现，可方便地推求出联合分布。基于Copula函数[11-14]，2维变量的联合分布为：

 $H(X,Y) = C(u,v) =P(X \le x,Y \le y)$ (3)
 $u = {F_1}(X),\;v = {F_2}(Y)\quad$ (4)

$H(X,Y)$ $F_1(X)$ $F_2(Y)$ ，可获得条件分布 $P(Y|X)$ 。据概率统计原理，有：

 $P(Y > y|X \le x) = \frac{{P(X \le x,Y > y)}}{{P\left( {X \le x} \right)}}$ (5)
 $P(Y > y\left| X> x\right.) = \frac{{P(X > x,Y > y)}}{{P(X > x)}}$ (6)

 $P\left( {X \le x,Y > y} \right) = 1 - {P_1}(X > x) - P\left( {X \le x,Y \le y} \right)$ (7)
 $P\left( {X > x,Y > y} \right) \!=\! 1 \!-\! {P_1}(X \le x)\! -\! {P_2}(Y \le y )\!+\! P\left( {X \le x,Y \le y} \right)$ (8)

$X$ 均值为 $x_0$ ，并令 $x=x_0$ ，则式（6）和（7）变为：

 $P(Y > y|X \le {x_0}) = \frac{{P(X \le {x_0},Y > y)}}{{P\left( {X \le {x_0}} \right)}}$ (9)
 $P(Y > y\left| X> {x_0} \right.) = \frac{{P(X > {x_0},Y > y)}}{{P(X > {x_0})}}$ (10)

 ${P_1}(Y > y|{R_1}) = \frac{{P(X \le {x_0},Y > y)}}{{P\left( {{R_1}} \right)}}$ (11)
 ${P_2}(Y > y|{R_2}) = \frac{{P(X > {x_0},Y > y)}}{{P\left( {{R_2}} \right)}}$ (12)

$P_1(Y>y_1|R_1)$ $P_2(Y>y_2|R_2)$ 即为所求条件分布。基于式（11）和（12）借助于式（7）、（8）并考虑到 $P(R_1)=P(X\le x_0)$ $P(R_2)=1-P(X\le x_0)$ ，最终可推求出管运洪水。基本步骤如下：

1）据水文资料统计得年最大时段洪量（如年最大3日洪量）系列，然后在满足对应年最大水量的要求下，选择前期水量。最后得到 $Y$ 和其相应的 $X$ 样本系列。

2）通过适配线法求得XY的分布函数 $F_1'\left( X \right)$ $F_2'\left( Y \right)$ $F_1(X) = 1 - F_1'\left( X \right)$ $F_2(Y) = 1 - F_2'\left( Y \right)$

3）建立后期水量Y与前期水量X的Copula函数 $C(u,v)$

4）依据式（7）、（8）、（11）、（12）推求条件分布 $P(Y>y|R_1)$ $P(Y>y|R_2)$

1）间接法的关键在于Copula函数的选择。

2）以Copula函数刻画水文多变量的联合分布已广泛用于水文学领域，但以此函数描述年最大时段洪量和前期水量的2维联合分布还是首次。

3）间接法基础在于 $C(u,v)$ $u=F_1(X)$ $v=F_2(Y)$ 。其计算对样本容量的要求并不高。这里涉及到2维联合分布的计算， $n$ 多大合适，目前无有价值的研究。

4） $X$ $Y$ 的统计关系体现在 $C(u,v)$ 中。若二者无关系，则 $C(u,v)=v$ 。在这种情况下，式（9）、（10）变为：

 \begin{aligned} &P\left( {Y > y|{R_1}} \right) = \frac{{P(X \le {x_0})P(Y > y)}}{{P\left( {X \le {x_0}} \right)}} = P(Y > y) {\text{，}}\\ &P\left( {Y > y|{R_2}} \right) = \frac{{P\left( {X > {x_0}} \right)P(Y > y)}}{{P\left( {X > {x_0}} \right)}} = P(Y > y ){\text{。}} \end{aligned}

2 实例分析

2.1 条件分布推求的直接法

 图2 R1状态年最大3日洪量频率曲线 Fig. 2 Frequency curve of annual maximum of flood volume in three days on R1 condition

 图3 R2状态年最大3日洪量频率曲线 Fig. 3 Frequency curve annual maximum of flood volume in three days on R2 condition

 图4 无条件下年最大3日洪量频率曲线 Fig. 4 Frequency curve of annual maximum of flood volume in three days without conditions

$R_1$ $R_2$ 状态频率曲线和无条件下年最大值频率曲线点绘在同一张频率格纸上，如图5所示。

 图5 年最大3日洪量频率曲线（直接法） Fig. 5 Frequency curves of maximum of flood volume in three days (direct method)

1） $P_1$ 线位于 $P_3$ 线之下，而 $P_2$ 线位于 $P_3$ 线之上，这是合理的。对于同一最大3日洪量 $y$ =4.0×108 m3 $P_1$ 约为4%， $P_2$ 约为11%， $P_3$ 约为8%。这表明在 $R_1$ 状态下出现的可能性小，在 $R_2$ 状态下可能性大，而无条件下可能性居中。这些都符合年最大3日洪量和影响因素之间关系特性。

2） $P_1$ $P_2$ $P_3$ 3线的最后确定必须经过两大检查。一是，和实测数据的配合检查，如图24所示；二是，3线之间的定量关系受到式（2）制约的检查。因此，3线的成果比较可靠。

3）在不考虑 $R_1$ $R_2$ 条件下，以 $P_3(Y>y_3)$ 为依据，由体现防洪标准的 $P_3$ （设为1%）而获得 $y_3$ 值作为管运洪水。在考虑 $R_1$ $R_2$ 条件时，则要依据当时处于何种状态，决定是以 $P_1(Y>y_1|R_1)$ 还是以 $P_2(Y>y_2|R_2)$ 估计 $y_1$ $y_2$ 。如处在 $R_1$ 状态，则由 $P_1(Y>y_1|R_1)$ =1%得到 $y_1$ ；如处在 $R_2$ 状态，则由 $P_2(Y>y_2|R_2)$ =1%得到 $y_2$ 。由图5得近似值 $y_1$ =4.45×108m3 $y_2$ =5.21×108m3 $y_3$ =4.97×108m3。因此， $y_1<y_3,y_2>y_3$ 。这表明，在考虑条件后，其管运值（ $y_1$ $y_2$ ）并非一定小于无条件下的管运值（ $y_3$ ）（表1）。

4) $P_1$ $P_2$ $P_3$ 3线之所以分开是因为 $y$ $R_1$ $R_2$ 间存在统计关系。如果无关系，则3线便合并为1条线， $P_1$ 向上变为 $P_3$ ，而 $P_2$ 向下变为 $P_3$ ，最终只有1条线 $P_3$ （无条件的 $y$ 线）。

2.2 条件分布推求的间接法

 图6 X与Y相关图 Fig. 6 Relationship between X and Y

 $C(u,{{v}}) = {({u^{ - \theta }} + {v^{ - \theta }} - 1)^{ - \tfrac{1}{\theta }}}$ (13)

 图7 前期3日洪量频率曲线 Fig. 7 Previous three days flood volume frequency curve

 图8 年最大3日洪量频率曲线 Fig. 8 Frequency curve of annual maximum of flood volume in three days

 ${P_1}(Y > y/{R_1}) = \frac{{{F_1}(X \le {x_0} )- H(X \le {x_0},Y \le y)}}{{P\left( {{R_1}} \right)}}$ (14)
 ${P_2}\left( {Y\! >\! \frac{y}{{{R_2}}}} \right)\! =\! \frac{{1 - {F_1}(X \le {x_0})\! +\! H(X \le {x_0},Y \le y) \!-\! {F_2}(Y \le y)}}{{P\left( {{R_2}} \right)}}$ (15)

 ${P_1}\!\left( {Y\! >\! \frac{y}{{{R_1}}}} \right)\! =\! \frac{{1 \!-\! {F_1}(X\! > \!1.96) \!- \!H(X \le 1.96,Y \le y)}}{{0.598}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ (16)
 ${P_2}\left(Y \!>\! \frac {y}{R_2}\right) \!\!=\!\! \frac{{1 \!-\! {F_1}(X\! \le \!1.96) \!+\! H(X \!\le \!1.96,Y \!\!\le\! \!y) \!\!-\!\! {F_2}(Y \!\!\le \!\!y)}}{{0.402}}$ (17)

 图9 年最大3日洪量频率曲线（间接法） Fig. 9 Frequency curve of annual maximum of flood volume in three days (indirect method)

2.3 两种方法的比较

3 结　论

1）前期水量在一定程度上影响年最大时段洪量。合理考虑这种影响能在保证水库达到规范要求的防洪标准前提下，适当提高综合效益。

2）提出前期水量对年最大时段洪量的定量影响，研究结果表明，以前期水量条件下的最大时段洪量频率分布表征，即 $P(Y|X)$ ，是正确的理念。

3）为了推求 $P(Y|X)$ ，建议了两种方法：直接法和间接法。其成果均能用全概率式作出检查和评判，增强了两种方法的适用性。

4）直接法以单变量频率分析计算为基础，其优点是简明、直接和方便，缺点在于对资料条件要求较高。

5）间接法以表征两变量联合分布的Copula函数为基础，其独特优点为对资料条件要求较低。但不足之处要选择适合的Copula函数，计算较复杂等。

6）本文取得的结果是初步的。一些问题尚须进一步探讨，例如资料长度较短时，如何选择合适的Copula函数等。

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