固结对土体强度及建筑物稳定性具有重要影响，现有固结理论在Terzaghi^[1]、Biot^[2]等研究基础上，进行了一系列的改进和发展。随着滨海吹填造陆活动的迅速展开，吹填土含水率高、渗透性低的特点也促使砂井固结理论不断完善。

在砂井固结理论研究方面，Carrillo^[3]首先建立了单向渗流固结的平均固结度与多向渗流总平均固结度之间的关系表达式，为简化多维固结计算提供了理论基础，由此，砂井固结理论的研究也迅速展开。其中：一部分研究是基于“等应变”假设，该假设条件一般适用于附加荷载为刚性的、加载面积大的工况。Barron^[4]基于该假设对不考虑丼阻和涂抹作用的理想井进行了解答；Hansbo等^[5]采用近似方法得到了非理想井的固结解析解；于春亮等^[6]考虑了透水桩的压缩特性，建立了透水与不透水桩组合型复合地基的固结微分方程，并得到了相应解析解；卢萌盟等^[7]基于“等应变”假设，同时考虑周长等效和面积等效原则，建立并解答了排水板地基固结理论。另一部分研究则是基于“自由应变”理论，Yoshikuni等^[8]在Barron^[4]的研究基础上，推导了竖井地基自由应变固结方程，得到了能综合考虑径竖向组合渗流的解答；Basack^[9]等基于“自由应变”假设，建立并验证了有限差分数值模型，对路基固结沉降进行了计算，且认为自由应变比等应变更接近地基的实际变形，但求解较为困难。但Barron^[4]研究表明两种结果间没有显著性差异。随后，谢康和等^[10]推导了更严密的考虑涂抹及井阻效应的砂井径向固结解析解。Walker等^[11]研究并得出了涂抹区渗透系数呈抛物线变化的砂井固结解析解，该理论中的涂抹区渗透系数变化更接近实际情况。

在边界条件方面，由于传统边界^[1]只能表达完全透水或完全不透水的极限状态，与实际有所差别，因此蔡袁强^[12]、刘加才^[13]、Wang^[14]、孙举^[15]、谢康和^[16]、胡亚元^[17]等对半透水边界进行了研究。但是，半透水边界条件意义并不明确，无法定量表达界面排水能力的大小，因此，梅国雄等^[18]提出了连续排水边界条件下的固结理论，并得到了相应解析解，该理论克服了上述不足。目前该理论在3维砂井固结中尚无应用，因此，作者引入连续排水边界条件，对考虑涂抹及井阻的3维砂井固结进行解答并分析。

1 连续排水边界条件

传统固结理论的求解大多基于Terzaghi^[1]固结理论中的边界条件及初始条件进行，但在瞬时恒定荷载下该理论存在数学上的不适定性，具体如下：

初始条件：

$u(t, {\textit{z}})\left| {_{t = 0}} \right. = p$

(1)

边界条件：

$ u(t, {\textit{z}})\left| {_{{\textit{z}} = 0}} \right. = 0\; ({\text{顶面完全透水}}) $

(2)

$ \frac{{\partial u}}{{\partial {\textit{z}}}}\bigg| {_{{\textit{z}} = h}} \bigg. = 0\;({\text{底面完全不透水}}) $

(3)

由式（1）知，当z=0时，可得：

$ u(0, 0) = p $

(4)

由式（2）知，当t=0时，可得：

$ u(0, 0) = 0 $

(5)

对比式（4）和（5），可知：

$\left\{ \begin{split} &u(0, 0) = p{\text{，}}\\ &u(0, 0) = 0 \end{split} \right. \to{\text{矛盾}}{\text{。}}$

同时，在物理意义上，传统Terzaghi^[1]固结理论将顶面看作完全排水的极端状态，认为是与实际相悖的，现实中的排水边界应是介于完全透水和完全不透水之间的一种状态。

基于以上矛盾，并结合排水边界的如下特点：

1）在 $t = 0$ 时的初始时刻，边界面的超孔隙水压力来不及消散，即 $u(0, 0) = p$ ，满足边界的初始条件；

2）随着时间的增长，顶面边界上的孔压应该呈单调递减状态逐渐消散；

3）当时间增加到足够长，顶面边界上的孔压应完全消散，即当 $t \to \infty $ 时， $u(\infty , 0) = 0$ 。

梅国雄等^[18]提出了一个与荷载及时间有关的排水边界条件：

$u (t, 0) = p {{\rm{e}}^{ - b t}}$

(6)

式中： $u(t, 0)$ 为t时刻z=0边界处的孔压；p为瞬时恒定荷载； $b \ge 0$ ，为界面参数，反映边界的排水性能，b越大，表示边界的排水性能越强，可通过实验反演得到。

由式（6）知：该边界条件完全满足初始条件，且当b=0时， $u(t, 0) = p$ ，此时可退化为完全不排水边界；当 $b \to \infty $ 时，则 $u(t, 0) = 0$ ，此时退化为完全排水边界。

由此可知，该边界条件可以描述一个从完全不排水到完全排水全过程的连续边界条件，克服传统理论只能取完全排水或完全不排水两个极端状态的不足。对于瞬时恒定荷载下的3维砂井固结，同样存在上述矛盾，因此，该连续边界条件将应用于3维砂井固结理论。

2 砂井固结方程的建立 2.1 基本假定

以单井为研究对象，砂井地基模型如图1所示。其中： $p$ 为瞬时恒定附加荷载， ${r_{\rm{w}}}$ 、 ${r_{\rm{s}}}$ 、 ${r_{\rm{e}}}$ 分别为砂井半径、涂抹区最大半径、砂井最大影响半径； ${k_{\rm{h}}}$ 、 ${k_{\rm{v}}}$ 分别为吹填土径向和竖向渗透系数， ${k_{\rm{s}}}$ 、 ${k_{\rm{w}}}$ 分别为涂抹区渗透系数、砂井内渗透系数，以此表征砂井的涂抹效应和井阻效应；H为砂井地基深度。砂井地基的固结问题可简化成以砂井为排水中心的圆柱形轴对称固结问题。

方程的建立基于以下假定：

1）同一深度处地基土体的竖向变形相等，即等应变条件成立；

2）渗流服从Darcy定律；

3）任意深度处，从土体流入桩体的水量等于从桩体中排出的增量，不考虑砂井的变形；

4）固结过程中，地基土体渗透系数、压缩系数保持不变；

5）除水平向渗透系数外，涂抹区内土体的其他性质与天然地基相同。

2.2 控制方程

基于以上假定，建立以下方程：

1）平衡方程

由于附加荷载为均匀分布瞬时恒定荷载，因此，在等应变假设条件下，认为土体无侧向变形，只考虑竖向变形。

$\frac{{\partial {\varepsilon _{\rm{v}} }}}{{\partial t}} = \frac{1}{{{E_{\rm{s}} }}}\frac{{\partial ({\sigma _0} - {{ \overline u_{\rm{r}} }} )}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{{E_{\rm{s}} }}}\frac{{\partial {{\overline u_{\rm r}}} }}{{\partial t}}$

(7)

${{\overline u_{\rm r}}} = \frac{1}{{{\text{π}} (r_{\rm e} ^2 - r_{\rm w} ^2)}}\int_{{r_{\rm w}}}^{{r_{\rm e}}} {2{\text{π}} r{u_{\rm r}}(r, {\textit{z}}, t){\rm{d}}r} $

(8)

式中： ${\sigma _0}$ 为总应力， ${\sigma _0} = p$ ； ${\varepsilon _{\rm v}}$ 为土体任意一点的体积应变，等于竖向应变； ${u_{\rm{r}}}$ 为土中任一点的超孔隙水压力； ${{\overline u_{\rm r}}} $ 为渗流影响区内土中任一深度的平均孔压； ${E_{\rm s}}$ 为地基土体压缩模量。

2）渗流连续方程

砂井地基中任取一高度为 ${\rm{d}}{\textit{z}}$ ，厚度为 ${\rm{d}}r$ 的微小圆环，如图2所示。

由于渗流不仅发生在径向，在竖向上也存在着排水固结，因此假设从小圆环内侧及上方流出的水流速度分别为 ${v_{\rm h}}$ 、 ${v_{\rm v}}$ ，由水流连续可知从小圆环外侧及下方流入的水流速度分别为 ${v_{\rm h} } + \displaystyle\frac{{\partial {v_{\rm h}}}}{{\partial r}}$ 、 ${v_{\rm v}} + \displaystyle\frac{{\partial {v_{\rm{v}} }}}{{\partial {\textit{z}}}}$ ，故该小圆环内水量变化率为：

$ \begin{aligned}[b] & \frac{{\partial Q}}{{\partial t}} = {v_{\rm{h}} } \cdot (2{\text{π}} r) - ({v_{\rm{h}} } + \frac{{\partial {v_{\rm{h}} }}}{{\partial r}}{\rm{d}}r)\left[ {2{\text{π}} (r + {\rm{d}}r)} \right] - \\ &\quad ({v_{\rm{v}} } + \frac{{\partial {v_{\rm{v}} }}}{{\partial {\textit{z}}}}{\rm{d}}{\textit{z}})\left[ {{\text{π}} {{(r + {\rm{d}}r)}^2} - {\text{π}} {r^2}} \right] + {v_{\rm{v}} } \cdot \left[ {{\text{π}} {{(r + {\rm{d}}r)}^2} - {\text{π}} {r^2}} \right] \end{aligned} $

(9)

该小圆环体积随时间变化为：

$\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = {\text{π}} \left[ {{{\left( {r + {\rm d}r} \right)}^2}{ - }{r^2}} \right]{\rm d}{\textit{z}} \cdot \frac{{\partial {\varepsilon _{\rm v}}}}{{\partial t}}$

(10)

根据小圆环内的水量变化率与其体积变化率相等，即 $\displaystyle\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = \displaystyle\frac{{\partial Q}}{{\partial t}}$ ，代入并略去高阶微量，化简得：

$ - \frac{1}{r}({v_{\rm{h}} } + r\frac{{\partial {v_{\rm{h}} }}}{{\partial r}}) - \frac{{\partial {v_{\rm v} }}}{{\partial {\textit{z}}}} = \frac{{\partial {\varepsilon _{\rm v}}}}{{\partial t}}$

(11)

根据Darcy定律可将水流速表示为：

$\left\{ \begin{aligned} &{v_{\rm h}} = \frac{{{k_{\rm{h}} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{\partial {u_{\rm r}}}}{{\partial r}}{\text{，}}\\ &{v_{\rm v}} = \frac{{{k_{\rm v} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{\partial \overline {{u_{\rm r}}} }}{{\partial {\textit{z}}}} \end{aligned} \right.$

(12)

代入式（11）得：

$\frac{1}{r}\frac{{{k_{\rm h} }}}{{{\gamma _{\rm w}}}}\frac{{\partial {u_{\rm r}}}}{{\partial r}} + \frac{{{k_{\rm h}}}}{{{\gamma _{\rm w} }}}\frac{{{\partial ^2}{u_{\rm{r}} }}}{{\partial {r^2}}} + \frac{{{k_{\rm v} }}}{{{\gamma _{\rm w} }}}\frac{{{\partial ^2} {{\overline u_{\rm r}}} }}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} = - \frac{{\partial {\varepsilon _{\rm v}}}}{{\partial t}}$

(13)

为避免由于涂抹区与非涂抹区渗透系数不同而出现分段函数，参考文献[19]将式（13）化简为：

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left[ {\frac{{{k_{\rm r}}(r)}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}r\frac{{\partial {u_{\rm r}}}}{{\partial r}}} \right] + \frac{{{k_{\rm v}}}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{{\partial ^2}{{\overline u_{\rm r}}} }}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} = - \frac{{\partial {\varepsilon _{\rm{v}} }}}{{\partial t}}$

(14)

式中，

${k_{\rm r} }(r) = {k_{\rm h}}f(r)$

(15)

$f(r) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{{{k_{\rm s}}}}{{{k_{\rm h} }}} = \alpha,\; {r_{\rm{w}} } < r < {r_{\rm s}}{\text{；}} \\ & 1, {r_{\rm s}} < r < {r_{\rm e}} \end{aligned} \right.$

(16)

式中， $\alpha $ 为常数。

根据假设条件（4）从土体流入桩体的水量等于从桩体中排出的增量可得：

${\left. {\left[ {2{\text{π}} r{\rm{d}}{\textit{z}}\frac{{{k_{\rm r}}(r)}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{\partial {u_{\rm r}}}}{{\partial r}}} \right]} \right|_{r = {r_{\rm w}}}} = - {\text{π}} r_{\rm{w}} ^2{\rm{d}}{\textit{z}}\frac{{{k_{\rm{w}} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{{\partial ^2}{u_{\rm w}}}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}}$

(17)

2.3 方程解答

综合2.2节中的方程（7）、（8）、（14）、（17）及以下求解条件进行求解。

初始条件：

${\left. {{{\overline u_{\rm{r}} }} } \right|_{t = 0}} = {u_{\rm{w}} }({\textit{z}}, t)\left| {_{t = 0}} \right. = p$

(A)

边界条件：

$\!\;\qquad\qquad \begin{aligned} &{\left. {\frac{{\partial {u_{\mathop{\rm r}\nolimits} }}}{{\partial r}} } \right|_{r = {r_{\rm e}}}} = 0\; ({\text{侧边界不透水}}) \quad\quad\quad\!\!\!\;\quad\;\!\;\;{\text{(}}\;19\;{\text{)}}\\ &{\left. {{u_{\mathop{\rm w}\nolimits} }} \right|_{{\textit{z}} = 0}} = p{{\rm{e}}^{ - bt}} ({\text{顶面连续排水}}) \quad\;\;\;\;\quad\!\!\!\;\;\;\;\;\!\;\;{\text{(}}\;20\;{\text{)}}\\ &{\left. {\frac{{\partial {u_{\mathop{\rm w}\nolimits} }}}{{\partial {\textit{z}}}} } \right|_{{\textit{z}} = H}} = 0\; ({\text{底面边界不透水}})\quad \quad\quad\;\!\!\!\!\;\;{\text{(}}\;21\;{\text{)}}\\ &{\left. {{u_{\mathop{\rm r}\nolimits} }} \right|_{r = {r_{\rm w}}}} = {u_{\mathop{\rm w}\nolimits} }\; ({\text{交界面孔压连续}})\;\;\;\;\quad\quad\;\;\;{\text{(}}\;22\;{\text{)}} \end{aligned}$

对式（14）连续两次关于r积分，并将边界条件（19）、（22）代入，得：

${u_{\rm r}} = {u_{\rm{w}} } + \frac{{{\gamma _{\rm w} }}}{{2{k_{\rm{h}} }}}\left(\frac{{\partial {\varepsilon _{\rm v}}}}{{\partial t}} + \frac{{{k_{\rm v}}}}{{{\gamma _{\rm w}}}}\frac{{{\partial ^2}{{\overline u_{\rm r}}} }}{{\partial {{\textit{z}}^2}}}\right)\left[ {r_{\rm{e}} ^2{A_0}(r) - {B_0}(r)} \right] $

式中，　　　　　 $\left\{ \begin{aligned}& {A_0}(r) = \int_{{r_{\rm w}}}^r {\frac{{{\rm{d}}\tau }}{{\tau f(\tau )}}}{\text{，}} \\& {B_0}(r) = \int_{{r_{\rm w}}}^r {\frac{{\tau {\rm{d}}\tau }}{{f(\tau )}}}{\text{。}}\end{aligned} \right.$

将式（23）代入式（8），得：

${{\overline u_{\rm r}}} = {u_{\rm w} } + \frac{{{\gamma _{\rm w}}r_{\rm{e}} ^2R}}{{2{k_{\rm h}}}}\left(\frac{{\partial {\varepsilon _{\rm v}}}}{{\partial t}} + \frac{{{k_{\rm v} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{{\partial ^2}{{\overline u_{\rm r}}} }}{{\partial {{\textit{z}}^2}}}\right)$

(19)

式中， $R$ 为常数，

$\begin{array}{l} R = \dfrac{{{n^2}}}{{{n^2} - 1}}\cdot\\ \qquad \left[\!{\left(\! \!{\dfrac{k_{\rm h}}{k_{\rm s}} \!-\! 1} \!\right)\!\ln s \!+\! \ln n + \dfrac{{({s^2}-3\!)({s^2} \!-\! 1)}}{{4{n^2}}}\!\dfrac{k_{\rm h}}{k_{\rm s}} \!-\! \dfrac{{({s^2}\!-\! 3\!)\!({s^2} \!-\! 1\!)}}{{4{n^2}}}}\! \!\right]\! {\text{。}}\end{array}$

式中： $s = \displaystyle\frac{{{r_{\rm{s}} }}}{{{r_{\rm{w}} }}}$ ，为涂抹区相对大小； $n = \displaystyle\frac{{{r_{\rm e}}}}{{{r_{\rm{w}} }}}$ ，为井径比，表征砂井影响范围相对大小。

对式（23）两边关于r求导后代入式（17），得：

$ \frac{{{k_{\rm{w}} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}\frac{{{\partial ^2}{u_{\rm{w}} }}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} = - ({n^2} - 1)\left(\frac{{\partial {\varepsilon _{\rm{v}} }}}{{\partial t}} + \frac{{{k_{\rm v}}}}{{{\gamma _{\rm w} }}}\frac{{{\partial ^2}{{\overline u_{\rm r}}} }}{{\partial {{\textit{z}}^2}}}\right) $

(20)

将式（25）代入式（24），得：

${{\overline u_{\rm r}}} = {u_{\rm{w}} } + B\frac{{{\partial ^2}{u_{\rm{w}} }}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}}$

(21)

将式（7）、（26）代入式（24），分别消去 $\displaystyle\frac{{\partial {\varepsilon _{\rm v}}}}{{\partial t}}$ 、 ${{\overline u_{\rm r}}} $ 得到完全用 ${u_{\rm w}}$ 表达的方程式：

$A\frac{{{\partial ^4}{u_{\rm w}}}}{{\partial {{\textit{z}}^4}}} + B\frac{{{\partial ^3}{u_{\rm w}}}}{{\partial {{\textit{z}}^2}\partial t}} + C\frac{{{\partial ^2}{u_{\rm w}}}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} + \frac{{\partial {u_{\rm{w}} }}}{{\partial t}} = 0$

(22)

式中： $A = \displaystyle\frac{r_{\rm{e}} ^2R{k_{\rm{w}} }}{2({n^2} - 1){k_{\rm{h}} }}{c_{\rm v} }$ ； $B= - \displaystyle\frac{{r_{\rm{e}} ^2R{k_{\rm{w}} }}}{{2({n^2} - 1){k_{\rm{h}} }}}$ ； $C = - \left( {{c_{\rm{v}}} + } \right.$ ${\displaystyle\frac{{{k_{\rm{w}}}}}{{{k_{\rm{h}}}({n^2} - 1)}}{c_{\rm{h}}}})$ ， ${c_{\rm{v}} }=\displaystyle\frac{{{k_{\rm{v}} }{E_{\rm{s}} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}$ ， ${c_{\rm{h}} }=\displaystyle\frac{{{k_{\rm{h}} }{E_{\rm{s}} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }}}{\text{。}}$

现对式（27）在初始条件及边界条件下进行求解。

根据初始条件和边界条件（18）、（20）、（21），令

${u_{\rm{w}} }({\textit{z}}, t) = v({\textit{z}}, t) + p{{\rm{e}}^{ - bt}}$

(23)

将求解条件齐次化为：

初始条件：

$v({\textit{z}}, 0) = 0$

边界条件：

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\begin{aligned} & v(0, t) = 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\!\;\!\!\;\quad\quad\quad\quad{\text{(}}\;30\;{\text{)}}\\ & {\left. {\frac{{\partial v}}{{\partial {\textit{z}}}} } \right|_{{\textit{z}} = H}} = 0 \quad\quad\!\quad\!\;\;\!\!\!\!\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad{\text{(}}\;31\;{\text{)}} \end{aligned}$

根据此边界条件，采用本征函数法预设

$v({\textit{z}}, t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{g_m}(t) \cdot \sin \left( {\frac{M}{H}{\textit{z}}} \right)} $

(24)

式中， $M = \displaystyle\frac{{2m + 1}}{2}{\text{π}},\;m=0,1,2,3\cdots$ 。

将式（28）代入式（27），得：

$A\frac{{{\partial ^4}v}}{{\partial {{\textit{z}}^4}}} + B\frac{{{\partial ^3}v}}{{\partial {{\textit{z}}^2}\partial t}} + C\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} + \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = pb{{\rm{e}}^{ - bt}}$

(25)

将式（32）代入式（33），根据傅里叶变换得：

$\begin{aligned}[b] & \sum\limits_{m = 0}^\infty {\left[ {{g_m'}(t) + \displaystyle\frac{{A{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^4} - C{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}{{1 - B{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}{g_m}(t)} \right]} \sin \left( {\frac{M}{H}{\textit{z}}} \right) =\\ &\quad \sum\limits_{m = 0}^\infty {\left[ {\displaystyle\frac{1}{{1 - B{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}\displaystyle\frac{{2pb{{\rm{e}}^{ - bt}}}}{M}} \right] \cdot \sin \left( {\frac{M}{H}{\textit{z}}} \right)} \end{aligned} $

(26)

即：

$\sum\limits_{m = 0}^\infty {\left[ {{g_m'}(t) + Y \cdot {g_{{m}} }(t)} \right]} = \sum\limits_{m = 0}^\infty {N \cdot p{{\rm{e}}^{ - bt}}} $

(27)

式中，

$ Y = \frac{{A{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^4} - C{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}{{1 - B{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}, N = \displaystyle\frac{1}{{1 - B{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}\displaystyle\frac{{2b}}{M}{\text{。}} $

根据初始条件（29），解方程（35），得：

${g_{m} }(t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{Np}}{{Y - b}}({{\rm{e}}^{ - bt}} - {{\rm{e}}^{ - Yt}})} , $

代入式（32），得：

$v({\textit{z}}, t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{Np}}{{Y - b}}({{\rm{e}}^{ - bt}} - {{\rm{e}}^{ - Yt}})} \sin \left( {\frac{M}{H}{\textit{z}}} \right), $

代入式（28），得：

$ {u_{\rm w} }({\textit{z}}, t) = p{{\rm{e}}^{ - bt}} +\sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{Np}}{{Y - b}}({{\rm{e}}^{ - bt}} - {{\rm{e}}^{ - Yt}})} \sin \left( {\frac{M}{H}{\textit{z}}} \right)$

(28)

式（36）即为砂井内某一时刻、某一深度的超孔隙水压力表达式。

将式（36）、（26）、（24）代入式（23），得任意时刻、任意位置地基中的超孔隙水压力

$ \begin{aligned}[b] {u_{\rm{r}} }({\textit{z}}, r, t) &= \frac{{Np}}{{Y - b}}({{\rm{e}}^{ - bt}} - {{\rm{e}}^{ - Yt}})\sin \left( {\frac{M}{H}{\textit{z}}} \right) \cdot \\ &\quad \sum\limits_{m = 0}^\infty\! {\left\{\! {1 - \frac{{\left[ \!{r_{\rm{e}} ^2{A_0}(r) \!-\! {B_0}(r)} \!\right]\!B}}{{r_{\rm{e}} ^2R}}\!{{\left(\! {\frac{M}{H}} \!\right)}^2}}\! \right\}} \!+\! p{{\rm{e}}^{ - bt}} \end{aligned} $

(29)

由式（24）、（37）可求得平均超孔隙水压力，然后采用应变定义的平均固结度进行计算平均固结度，即：

$\overline U = \frac{{{S\!_{\rm{ct}} }}}{{{S\!_{\rm{t}} }}} = 1 - \frac{{\displaystyle\frac{1}{H}\displaystyle\int_0^H { {{\overline u_{\rm{r}} }} {\rm{d}}{\textit{z}}} }}{p}$

(30)

式（36）代入式（26），再代入式（38）得平均固结度：

$ \overline U = 1 - {{\rm{e}}^{ - bt}} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{1}{{{M^2}}}\frac{{2{{b}}\left( {{{\rm{e}}^{ - bt}} - {{\rm{e}}^{ - Yt}}} \right) }}{{Y - b}}} $

(31)

2.4 解答验证

对所得连续边界条件下的平均固结度解答进行退化，与既有结果进行对比，以验证结果的准确性。

首先，令 $b \to \infty $ ，即表示顶面完全透水，得：

$ \overline U = 1 - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{2}{{{M^2}}}} {{\rm{e}}^{ - Yt}} $

(32)

该结果与Zhang^[20]所推导的结果完全一致。

然后，进一步令竖向渗透系数 ${k_{\rm{v}} } = 0$ ，即认为砂井无竖向排水，仅考虑砂井径向排水，代入式（39），得：

$ \overline U = 1 - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{2}{{{M^2}}}} {{\rm{e}}^{ - \alpha t}} $

(33)

${\text{式中，}}\qquad\quad\qquad \alpha = \frac{{\displaystyle\frac{{2{E_{\rm{s}} }{k_{\rm{h}} }}}{{{\gamma _{\rm{w}} }Jr_{\rm{e}} ^2}}{{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}{{\displaystyle\frac{{2({n^2} - 1){k_{\rm{h}} }}}{{r_{\rm{e}} ^2J{k_{\rm{w}} }}} + {{\left( {\displaystyle\frac{M}{H}} \right)}^2}}}{\text{。}} \quad\quad\qquad\quad$

该结果与谢康和等^[10]推导的砂井径向固结理论解析解

${{\overline U_{\rm{r}} }} = 1 - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{2}{{{M^2}}}} {{\rm{e}}^{ - {B_{\rm{r}} }t}}$

(34)

完全一致。

最后，根据实际工况参数对所得解析解进行绘图验证，具体参数参照浙江省苍南县滨海新区的吹填土加固项目，如表1所示。将所得连续边界条件下的砂井土体平均固结度式（39）进行退化，并根据表1中具体参数绘制固结度随时间变化曲线，然后分别与谢康和^[10]及Zhang^[20]等所得结果进行对比，进一步验证所得解析解的准确性，如图3所示。

由图3发现在取b=2时，连续边界条件下的固结度曲线无论退化成3维还是2维，均可与既有解答的曲线完全重合，因此，可以认为取b=2时，顶面排水条件已达到完全透水，且所得的连续边界条件下砂井3维固结解析解在数学上及物理意义上完全正确。

3 解答分析 3.1 超孔隙水压力分析

根据式（29）并结合表1中的参数，分别绘制了不同参数的超孔压变化曲线，如图4、5所示。

图4中，实线和虚线分别代表在距离砂井中心2 m、1 m的水平位置，固结时间 ${T_{\rm{h}}} = 1.4$ （相当于t=100 d）时，不同顶面透水能力下孔压随竖向深度的变化关系。

由图4可知：1）无论实线还是虚线，界面参数b越小，地基中的超孔隙水压力越大，这是由于b越小，顶面排水能力越差，因此孔压消散越慢。2）在固结时间 ${T_{\rm{h}}} = 1.4$ 条件下，当b相对较大，如 $b \ge 0.2$ 时，初始孔压均为0，即在z=0的地基顶面位置，孔压均为0，主要由于顶面排水能力强，孔压可以很快消散，这与完全透水边界条件下的结果一致。当b相对较小，如 $b \le 0.02$ 时，顶面即z=0处孔压逐渐增大，变为非零，表明地基顶面也存在着一定的超孔隙水压力；当b=0.002时，超孔隙水压力值与附加荷载p接近，即孔压消散很少，这是因为此时地基顶面不再是传统的完全排水条件，而是处于一种透水能力较弱的状态，因此在 ${T_{\rm{h}}} = 1.4$ 时，顶面超孔压尚未完全消散，这种现象在传统砂井固结理论无法实现。由此可知，通过改变地基顶面的界面参数b值大小，可实现地基顶面从完全透水到不完全透水，再到完全不透水的一个完整的、连续过程，弥补了传统固结理论中只能表达完全透水或完全不透水的两种极端情况的弊端。3）随着界面参数b的逐渐减小，地基顶面与底面处的超孔隙水压力值相差越来越小，这是由于当b较大时，顶面排水越通畅，而底面是完全不排水的，故顶、底面孔压值相差较大；当b较小，如b=0.002时，此时顶面排水能力与底面相差不大，因此，顶、底面处的孔压值也相差不大。4）对比实线和虚线可发现，在r=1 m处的孔压均比r=2 m处的孔压小，这是由于离砂井中心较近，排水较快，因此孔压消散较快。

图5中，实线和虚线分别表示时间因子为 ${T_{\rm{h}}} = $ 1.4与 ${T_{\rm{h}}} = 7$ 时，不同顶面排水能力下，超孔隙水压力随深度的变化关系。由图5可知：1）孔压随界面参数b的减小而增加。2）对于相同界面参数b， ${T_{\rm{h}}} = 7$ （相当于t=500 d）时的超孔隙水压力均小于 ${T_{\rm{h}}} = 1.4$ （相当于t=100 d）时的值。3）在b=0.02时，当 ${T_{\rm{h}}} = 1.4$ ，地基顶面处的孔压不为0，而当 ${T_{\rm{h}}} = 7$ 时，基顶面处的孔压为0，这是由于虽然界面参数即顶面透水能力相同，但随着固结时间的增加，顶面处的超孔隙水压力逐渐消散完全，顶面超孔压为零，由此印证了地基顶面超孔隙水压力是一个与时间及界面参数相关的变化的值，更加符合实际情况。

3.2 平均固结度分析

根据式（39）并结合表1中的参数，分别绘制了不同参数（如计算方法、界面参数、涂抹效应、井阻效应等）的平均固结度变化曲线，如图6～10所示。

由图6可知：1）b取不同值时，地基平均固结度均有所不同，随着b值减小，固结度曲线相对于完全透水边界条件下明显后移，即达到同一固结度，所需时间显著变长，由此可知，顶面排水能力大小对于固结速度的影响十分显著，而传统固结理论认为的完全透水边界可能会高估地基的排水固结能力。2）对比实线和虚线即2维和3维固结曲线，发现虽然砂井固结是以径向排水固结为主，但只考虑径向的2维排水固结与同时考虑径向、竖向排水的3维固结依然有较大差别，在考虑竖向的3维固结情况下，即使b取0.02时，也比2维情况下b取2时的固结要快，因此，在实际工程计算时，砂井固结的竖向排水能力不可忽略。

图7中，实线和虚线分别表示顶面完全透水、不完全透水条件下，涂抹效应对固结度的影响。由图7可知，无论顶面排水能力大小，随着涂抹影响半径的减小，固结均有明显加快，涂抹效应影响显著。

从图8中可以看出，随着砂井渗透系数的减小，固结明显变慢，排水能力对固结有显著的影响。

图9中， ${k_{\rm{h}}}/{k_{\rm{s}}} = 1$ 表示涂抹区渗透系数与原状土渗透系数相同，即无涂抹，此时固结速率最快，随着涂抹区渗透系数的减小，固结曲线逐渐后移，即固结变慢，由此可见，涂抹区的渗透系数对固结有着显著影响。

图10中，正常井假定b=0.02，其他参数见表1；无涂抹，即认为涂抹区的渗透系数与地基土体水平渗透系数相同，且b=0.02，考虑井阻；无井阻，则认为砂井的渗透系数为无限大，此处取表1中 ${k_{\rm{w}}}$ 的100倍，且b=0.02，考虑涂抹效应；理想井，即认为既无井阻也无涂抹的砂井，且b=2。由图10可以看出：井阻的存在对固结度影响不大，原因可能是正常井中的砂井渗透系数 ${k_{\rm{w}}}$ 本来已经足够大，再增大对固结已无影响。涂抹区的存在对砂井固结有着显著的影响，达到相同固结度，正常井所需时间约为无涂抹砂井的2倍。因此，在实际砂井施工过程中，应尽量减小对井壁的扰动。

4 结　论

针对瞬时恒定荷载下传统砂井固结理论中边界条件存在的问题，通过引入连续排水边界条件，对砂井固结方程进行解答，得到了砂井3维固结解析解，并与已有解析解进行了对比验证。通过分析连续边界条件下的超孔隙水压力及平均固结度的变化，可得到以下结论：

1）连续边界条件能够严格满足其初始条件，且通过退化对比，验证了所得连续排水边界条件下的解析解是完全正确的，通过改变界面参数b的大小，能够实现边界面从完全排水到不完全排水再到完全不排水的整个连续的过程，弥补了传统理论中只能够表达完全排水或完全不排水的极端状态的不足。

2）连续排水边界条件下地基中的超孔隙水压力不仅与位置及固结时间有关，还受界面参数b的显著影响。离地基顶面、砂井中心越近，孔压消散越快；固结时间越长，孔压越小；b越大超孔隙水压力也消散越快。

3）与传统理论不同的是，连续排水边界条件下，地基顶面处在一定时间内是存在超孔隙水压力的，随着固结时间的增加，顶面超孔隙水压力逐渐消散。

4）砂井地基中，虽然是以径向渗流固结为主，但竖向排水能力也有较大影响，不容忽视，同时，涂抹效应和井阻效应对砂井固结影响显著，建议施工中尽量减少对井壁的扰动并增加砂井的透水能力。