工程科学与技术   2019, Vol. 51 Issue (1): 241-247
推杆针轮活齿齿形方程的简化建模与传动角分析
费宇, 谢超, 李华, 黄缤鸿, 姚进     
四川大学 制造科学与工程学院,四川 成都 610065
基金项目: 四川省科技厅重点研发项目资助(2017GZ0058)
摘要: 推杆针轮活齿传动具有结构形式简单、加工方便且加工精度易于保证的优点,而推杆活齿齿形方程是齿形分析的基础和保证传动准确性和稳定性的关键因素。不同于传统使用包络方式推导方程和使用直线近似方程曲线,作者提出了一种新的方程推导和简化方法。应用活齿传动过程中的接触条件,推导了活齿的齿形方程。为简化在活齿齿形和啮合特性等研究过程中的数学计算,应用泰勒展式简化了活齿的齿形方程,并利用该方程推导了活齿传动不失真的参数判别式,以指导活齿传动结构的快速设计。在此基础上,利用简化方程推导了传动角的计算公式,分析了激波器偏心距、针轮回转半径等主要设计参数对最大传动角的影响,结果表明,最大传动角与激波器偏心距成正相关,与针轮回转半径成负相关。进一步, 对活齿齿形简化方程进行了误差分析,分析显示其横、纵坐标误差最大不超过±0.06 μm,因此简化方程可以替代准确方程进行活齿传动的研究。利用活齿简化方程曲线对活齿减速器进行建模,仿真得到其传动比平均误差约为0.007%,表明该机构可以实现定传动比传动。研究结果验证了活齿简化方程的实用性,以及采用活齿简化曲线构建活齿减速器的可行性,并为该机构的设计和应用提供了理论依据。
关键词: 推杆针轮活齿传动    齿形简化建模    传动角分析    误差分析    
Tooth Profile Simplified Modeling and Transmission Angle Analysis of Push-rods Oscillatory Transmission with Needle Gears
FEI Yu, XIE Chao, LI Hua, HUANG Binghong, YAO Jin     
School of Manufacturing Sci. and Eng., Sichuan Univ., Chengdu 610065, China
Abstract: The push-rods oscillatory transmission with needle gears has the advantages of simple structure, convenient manufacturing and high machining precision. For this kind of transmission, the profile equation of movable tooth is the basis for tooth analysis and the key issue to guarantee the precision and stability of transmission. Different from the traditional way, where the profile equation is derived by enveloping and the profile curve is approximated by line, a new method for tooth profile equation derivation and simplification was proposed. The profile equation of movable tooth was deduced by the contact condition in the transmission process. Then the equation was simplified by Taylor expansion to facilitate the calculation in the research of tooth profile and meshing characteristics. Sequentially, to guide the rapid design of the transmission structure, an analytical discriminant to guarantee the transmission undistorted was established by the simplified equation. On these bases, the computational formula of transmission angle was derived and the influence of the main design parameters, such as surge wheel’s eccentricity and needle gear’s rotational radius, on the maximum transmission angle were analyzed. Analysis showed that the maximum transmission angle is positively correlated with surge wheel’s eccentricity, yet negatively with needle gear’s rotational radius. Furthermore, the error of simplified equation was analyzed and the result showed that the maximum horizontal and vertical coordinate errors are not exceeding ±0.06 μm. Thus, the accurate tooth profile equation could be replaced by the simplified equation. Finally, the three-dimensional model of the reducer with simplified tooth profile curve was designed and based on it, the fixed speed ratio transmission was verified by simulating. Simulation result showed that the error of speed ratio is about 0.007%. Consequently, the practicability of the simplified equation and the feasibility of oscillatory reducer with simplified movable tooth profile was validated by both theoretical analysis and simulation. The research results could be used as a theoretical basis for structural design and application.
Key words: push-rod oscillatory transmission with needle gears    tooth profile simplified modeling    transmission angle analysis    error analysis    

活齿传动是一种兼具结构紧凑、传动比范围广、承载能力大、传动效率高等优点的新型高性能传动形式,具有很大的应用潜力[1]。活齿传动结构中激波器、中心轮、活齿轮廓都可以为复杂曲线。近年来,国内外学者的研究主要集中在中心轮内轮廓为复杂曲线的活齿传动上。宜亚丽[2]推导了摆动活齿传动中心轮的齿形方程,并分析了其传力性能。梁尚明、赵纯可等[34]对二齿差摆杆活齿传动进行了齿形分析和仿真,并基于热分析进行了模态研究。李剑锋等[56]结合滚动活齿传动的啮合条件和装配条件,给出了凸轮激波滚动活齿传动的简化几何设计过程,并给出了理想状态下啮合力分析的方法。Nam[7]提出了一种盘式活齿减速器,对中心轮齿形进行了设计并分析了其强度。Hidetsagu等[812]提出无齿式活齿减速器并从齿形、传动角、强度及效率等方面进行分析,证明了其用于精密传动的可行性。这些研究极大地推动了活齿传动的发展,但由于它们的中心轮内轮廓都使用复杂曲线,存在加工难度较大,加工精度不易保证的缺陷,这制约了活齿传动的应用[1314]

针对中心轮内轮廓为复杂曲线时存在的不足,采用中心轮轮廓为简单曲线(圆弧)的推杆针轮活齿传动受到越来越多的关注。费宇[15]将这种形式应用于机器人关节减速器传动。陈仕贤[16]、周建军[17]等利用求包络曲线的方法得到活齿的实际齿形曲线,再截取活齿齿形曲线中的一部分近似成直线,得到中心轮和活齿均为简单曲线的活齿传动形式,解决了中心轮加工难度大的问题,但是,一方面,近似成直线导致啮合不准确,引起传动精度下降;另一方面,由于只截取了活齿齿形的一部分,导致活齿回程不能靠自身几何形状完成,必须借助外力,易产生噪声、振动等。

作者提出了一种新的推杆针轮活齿传动齿形方程的推导和简化方法。应用活齿传动过程中的接触条件和泰勒展式,推导和简化了活齿齿形方程,建立了活齿传动不失真的参数判别式。在此基础上,推导了活齿齿形采用整条啮合曲线时的传动角计算公式,分析了激波器偏心距、针轮回转半径等主要设计参数对最大传动角的影响。进一步,对活齿齿形曲线简化方程进行了误差分析,并通过仿真验证了该机构能实现定传动比传动的功能。

1 推杆针轮活齿传动原理

图1所示,推杆针轮活齿减速器由激波器、活齿架、活齿、中心轮4部分组成。其中,激波器轮廓为偏心圆,针轮安装在中心轮上,活齿齿形为活齿按激波器运动规律运动时针轮轮廓的整条包络曲线。当激波器作为输入构件、活齿架固定时,激波器绕机架 $O$ 点按顺时针方向匀速转动,推动与针轮啮合的诸活齿处于推程,此时活齿推动中心轮顺时针恒速比匀速转动,而与针轮啮合的非工作活齿在自身几何形状以及针轮的反推作用下顺序处于回程,这样在激波器匀速转动的过程中,实现了整个机构的定传动比传动。

图1 推杆针轮活齿传动原理 Fig. 1 Theory of push-rods oscillatory transmission with needle gears

2 活齿齿形的简化建模 2.1 活齿齿形方程推导

在激波器采用以 $A$ 为圆心的偏心圆轮廓,中心轮采用针轮(圆弧)形式,活齿下端采用圆弧轮廓且固定活齿架的条件下,建立如图2所示的坐标系。其中,固定(主)坐标系 $XOY$ 固定在机架上,动坐标系 ${X_1}{O_1}{Y_1}$ 以活齿下端圆心 ${O_1}$ 为原点沿固定坐标系的 $X$ 轴做往复运动,动坐标系 ${X_2}{O_2}{Y_2}$ 以针轮圆心 ${O_2}$ 为原点绕固定坐标系的原点 $O$ 做圆周运动。

图2 活齿齿形方程建模原理 Fig. 2 Theory of the tooth profile equation modeling

活齿行程的最低点为运动起始位置,此时 $X$ ${X_1}$ ${X_2}$ 轴重合,Y ${Y_1}$ ${Y_2}$ 轴平行。如图2所示,设当激波器逆时针转过角度 ${\varphi _1}$ 后,针轮顺时针转过角度 ${\varphi _2}$ ,此时 ${X_1}$ 轴与 $X$ 轴重合, ${X_2}$ 轴与 $X$ 轴夹角为 ${\varphi _2}$ 。规定逆时针方向为正,则:

$\left\{ \begin{aligned} & {\varphi _1} = i{\varphi _2},\\ & {\omega _1} = i{\omega _2} \end{aligned} \right.$ (1)

式中, ${\omega _1}$ ${\omega _2}$ 分别为激波器和中心轮的角速度, $i$ 为活齿传动的传动比。

活齿的运动规律可以表达为:

${x_{{O_1}}} = a\cos {\varphi _1} - \sqrt {{b^2} - {a^2}\left( {\sin \;{\varphi _1}} \right){}^2} $ (2)

式中, $b = r + R$

设当针轮在顺时针转过角度 ${\varphi _2}$ 后,活齿外轮廓与针轮轮廓的啮合点在固定坐标系中为 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ ,则其满足针轮轮廓在 $XOY$ 坐标系中的方程,代入得:

${\left( {{x_0} + l\cos \;{\varphi _2}} \right)^2} + {\left( {{y_0} + l\sin \;{\varphi _2}} \right)^2} = R_{\rm K}^2$ (3)

针轮的绝对运动为绕 $O$ 点的顺时针匀速圆周运动,针轮轮廓上啮合点 $ {M}$ 的速度向量可表示为 ${{{V}}_ {\rm{K}}} = \left( {\left| {{\omega _2}} \right|{y_0}, - \left| {{\omega _2}} \right|{x_0}} \right)$ ;活齿的绝对运动为沿活齿槽的直线运动,活齿外轮廓上啮合点 $ {M}$ 的绝对速度可表示为 ${{{V}}_{\rm{G}}} = \left( {\displaystyle\frac{{{\rm d}{x_{O1}}}}{{{\rm d}t}},0} \right)$ ;针轮与活齿外轮廓在啮合点 $ {M}$ 处的法线向量可表示为:

${{n}} = \left( {{x_0} + l\cos {\varphi _2},{y_0} + l\sin {\varphi _2}} \right)$

由活齿传动的接触条件可知,在啮合点处针轮和活齿的绝对速度在啮合点法线方向上的分量相等,即:

${{{V}}_{\rm {K}}} \cdot {{n}} = {{{V}}_{\rm {G}}} \cdot {{n}}$ (4)

联立式(1)、(3)、(4)并将所得方程坐标变换至动坐标系 ${X_1}{O_1}{Y_1}$ 中得到活齿的齿形方程如下:

$\left\{ \begin{aligned} & x = - l\cos \;{\varphi _2}\left( {1 \mp \frac{{{R_{\rm K}}}}{{\sqrt B }}} \right) - {x_{{O_1}}},\\ & y = iA\frac{{{R_{\rm K}}}}{{\sqrt B }} - l\sin \;{\varphi _2}\left( {1 \mp \frac{{{R_{\rm K}}}}{{\sqrt B }}} \right),\\ & A = - a\sin \left( {i{\varphi _2}} \right) + \frac{{{a^2}\sin \left( {2i{\varphi _2}} \right)}}{{2\sqrt {{b^2} - {a^2}{{\left( {\sin \left( {i{\varphi _2}} \right)} \right)}^2}} }},\\ & B = {i^2}{A^2} + {l^2} - 2ilA\sin\; {\varphi _2},\\ & {x_{{O_1}}} = a\cos \left( {i{\varphi _2}} \right) - \sqrt {{b^2} - {a^2}{{\left( {\sin \left( {i{\varphi _2}} \right)} \right)}^2}} \end{aligned} \right.$ (5)

“–”代表针轮与活齿外啮合,“+”代表针轮与活齿内啮合,因此式(5)取“-”表示本文所求的活齿齿形方程。

2.2 齿形方程的简化

式(5)所示活齿齿形方程形式复杂,不利于对与活齿齿形相关的曲率和重合度等特性的后续研究,因而需要对活齿齿形方程进行简化。

首先,式(2)可以写成:

${x_{{O_1}}} = a\cos \;{\varphi _1} - b\sqrt {1 - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {\sin \;{\varphi _1}} \right){}^2} $ (6)

$\lambda = \frac{a}{b},p = \lambda \sin\; {\varphi _1}$ (7)

式中,由于在活齿传动结构中 $b$ 总是大于 $a$ ,所以 $\left| p \right| < 1$

将式(7)代入式(6),得:

${x_{{O_1}}} = a\cos \;{\varphi _1} - b\sqrt {1 - p{}^2} $ (8)

由于 $\sqrt {1 - {p^2}} $ $\left| p \right| < 1$ 时可以在p = 0处泰勒展开为:

$\sqrt {1 - {p^2}} = 1 - \frac{1}{2}{p^2} - \frac{1}{8}{p^4} - \cdots $ (9)

将式(9)代入式(8)并略去 ${p^2}$ 项之后的项后得到:

$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_{{O_1}}} = b[ - 1 + \frac{1}{4}{\lambda ^2} + \lambda \cos \;{\varphi _1} - \frac{1}{4}{\lambda ^2}\cos \left( {2{\varphi _1}} \right)]$ (10)

对式(10)求导,得:

$\frac{{{\rm d}{x_{O1}}}}{{{\rm d}t}} = b{\omega _1}\left( {\frac{1}{2}{\lambda ^2}\sin \left( {2{\varphi _1}} \right) - \lambda \sin \;{\varphi _1}} \right)$ (11)

将式(10)、(11)代入式(4),并将所得方程坐标变换至动坐标系 ${X_1}{O_1}{Y_1}$ 中,得到活齿齿形的简化方程为:

$\left\{ \begin{aligned} & x = - l\cos \;{\varphi _2}\left( {1 - \frac{{{R_{\rm K}}}}{{\sqrt B }}} \right) - {x_{O1}},\\ & y = iA\frac{{{R_{\rm K}}}}{{\sqrt B }} - l\sin \;{\varphi _2}\left( {1 - \frac{{{R_{\rm K}}}}{{\sqrt B }}} \right),\\ & A = b\left( {\frac{1}{2}{\lambda ^2}\sin (2i{\varphi _2}) - \lambda \sin (i{\varphi _2})} \right),\\ & B = i_{}^2{A^2} + {l^2} - 2ilA\sin \;{\varphi _2},\\ & {x_{{O_1}}} = b\left( { - 1 + \frac{1}{4}{\lambda ^2} + \lambda \cos (i{\varphi _2}) - \frac{1}{4}{\lambda ^2}\cos \left( {2i{\varphi _2}} \right)} \right),\\ & \lambda = a/b \end{aligned} \right.$ (12)

在活齿传动中,激波器、中心轮和活齿架都可以作为输入、输出和固定的构件,由此可以得到不同的传动比;而中心轮针轮数与活齿齿数的大小关系又会导致输入与输出件不同的转向。对于上述情况,只要给定了活齿传动的传动比,再通过转化机构法,将该传动比转化为活齿架固定、针轮输出时的传动比 $i$ ,代入式(12)就可以确定活齿的齿形方程。

2.3 传动不失真条件

活齿齿形曲线上某点的曲率表示该点附近齿形曲线的弯曲程度,描绘了齿形曲线的几何特征,是研究活齿齿形、活齿传动承载能力等特性所依据的重要参数。

活齿齿形简化方程(12)的曲率半径可如下:

$\rho = \frac{{{{\left( {{{x'}^2} + {{y'}^2}} \right)}^{3/2}}}}{{x'y{'\!'} - x{'\!'}y'}}$ (13)

若要保证活齿齿形曲线在齿顶附近传动不失真且受力良好,需满足 ${\rho _{{\rm{min}}}} \ge {R_{\rm K}}$ 。对式(12)求导代入式(13),并求极小值可得 ${\rho _{{\rm{min}}}}$ ,进一步可以得到传动不失真条件的判别式:

$ - {i^2}a(1 - \lambda )\frac{{{R_{\rm K}}}}{l} + (l - {R_{\rm K}})\ge 0$ (14)

通过式(14)可以方便地确定活齿传动各参数的取值,从而快速进行活齿结构的设计。

3 传动角分析

活齿齿形采用整条啮合曲线,既可以保证针轮与活齿在传动过程中的精确啮合,又可以保证活齿的回程过程可以依靠自身几何形状完成。其传动性能是由传动角描述的。下面以激波器输入、中心轮输出、活齿架固定为例,结合得到的活齿齿形简化方程研究活齿对中心轮的传动角。

传动角是压力角的余角,由压力角的定义可知,活齿对中心轮的压力角为活齿对中心轮的作用力方向与中心轮绝对运动方向间的夹角,此压力角随着中心轮转角的变化会不断变化,下面推导活齿对中心轮传动角的表达式。

图3所示,当激波器逆时针转过 ${\varphi _1}$ 角时,活齿推动中心轮顺时针转过 ${\varphi _2}$ 角,对应图3中为针轮顺时针转过 ${\varphi _2}$ 角,活齿与针轮在 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 点啮合。活齿对针轮力的作用线为 ${n}$ ,针轮绝对速度方向为 ${{{V}}_{\rm{K}}}$ ,因此 $\beta $ 为活齿对中心轮的压力角,相应地, $\alpha $ 为活齿对中心轮的传动角,其计算公式为:

图3 活齿对中心轮传动角解析 Fig. 3 Transmission angle of movable tooth to the center wheel

$\alpha = \frac{{\text{π}} }{2} - \beta $ (15)

式中, $\beta = {\rm arccos} \displaystyle\frac{{{ n} \cdot {{ V}_{{\rm K}}}}}{{\left|{ n} \right| \cdot \left| {{{ V}_{\rm K}}} \right|}}$

将第2.1节获得的 ${{n}}$ ${{{V}}_{\rm{K}}}$ 代入式(15),可知传动角 $\alpha $ 受激波器偏心距 $a$ 、针轮回转半径 $l$ 以及传动比 $i$ 的影响,而在通常结构设计时,传动比 $i$ 是确定的,因此,根据式(15)分析激波器偏心距 $a$ 和针轮回转半径 $l$ 对传动角 $\alpha $ 的影响,如图45所示。

图4 不同偏心距 ${{a}}$ 对传动角 ${{\alpha}} $ 的影响 Fig. 4 Influence of different eccentricities on the transmission angle

图5 不同回转半径 ${{l}}$ 对传动角 ${{\alpha}} $ 的影响 Fig. 5 Influence of different rotational radius on the transmission angle

图4为在 $l = 70\;{\rm mm}$ 的条件下,激波器偏心距 $a$ 对传动角 $\alpha $ 的影响。由图4可知,偏心距 $a$ 越大,获得的最大传动角越大。当 $l$ 取不同值时,计算结果也有同样的规律。图5 $a = 3\;{\rm mm}$ 的条件下,活齿回转半径 $l$ 对传动角 $\alpha $ 的影响。由图5可知,活齿回转半径 $l$ 越小,获得的最大传动角越大。因此,在满足式(14)的情况下,适当取大偏心距 $a$ 和取小活齿回转半径 $l$ ,推杆针轮活齿传动就可以获得较大的传动角,从而得到较好的传力性能。

4 齿形误差分析与定传动比验证

由式(14)和传动角分析确定推杆针轮活齿传动的一组参数,如表1所示,分析齿形误差和验证活齿传动采用简化方程曲线后的定传动比功能。

表1 推杆针轮活齿传动参数 Tab. 1 Parameters of push-rods oscillatory transmission with needle gears

4.1 齿形简化方程误差分析

要验证该简化方程的有效性,最重要的是分析简化方程和准确方程之间的误差。

使用MATLAB绘出式(5)所表示的活齿齿形准确方程曲线和式(12)所表示的活齿齿形简化方程曲线,如图6所示,其上部分点的坐标如表2所示。齿形简化方程横、纵坐标的误差曲线如图7所示,由图7可以看到其误差最大不超过±0.06 μm。分析结果表明,活齿齿形的简化方程与准确方程之间的误差很小,活齿齿形简化方程可以替代准确方程进行活齿齿形的研究。

图6 活齿齿形曲线对比 Fig. 6 Comparison of two tooth profile curves

图7 齿形简化方程误差 Fig. 7 Errors of simplified tooth profile equation

表2 准确方程与简化方程曲线坐标对比 Tab. 2 Coordinate comparison between accurate and simplified equations

4.2 定传动比仿真分析

图2所示结构为例,参照表1参数,构建激波器输入、中心轮输出、活齿架固定的推杆针轮活齿减速器结构的3维实体模型,如图8所示。活齿进行双排布置,一方面,可以避免由于活齿尺寸因素导致运动干涉的问题;另一方面,这样的布置可以形成无回差机构。

图8 推杆针轮活齿减速器实体建模 Fig. 8 3D model of the push-rods with needle gears oscillatory speed reducer

使用Adams进行其定传动比仿真,结果如图9所示。由图9可以看到中心轮的角速度在 $\omega= - $ 138.47°/s附近小幅波动。这一数值与中心轮理论角速度计算值–138.46°/s基本吻合,角速度的输出平均误差约为0.007%。由于角速度输出误差与传动比误差相等,因此其传动比平均误差也为0.007%。这一误差主要是由活齿齿形简化方程的误差所导致的。

图9 中心轮输出角速度 Fig. 9 Output angular velocity of the center wheel

综上,采用活齿简化方程和整条啮合曲线构建的活齿减速器是可以实现定传动比传动的。

5 结 论

1)利用活齿传动过程中的接触条件,解出接触点坐标,从而对推杆针轮活齿传动中活齿的齿形方程进行推导。与传统使用包络原理的方法相比推导过程更简便,推导出的方程形式更直观,这种方法可以为活齿齿形曲线的推导提供新思路。

2)在活齿齿形方程推导过程中,利用泰勒展式得到活齿齿形的简化方程,该方程可以简化在研究活齿齿形与啮合特性如曲率和传动角等问题时的数学计算。利用该简化方程推导出活齿传动不失真的参数判别式,该规律有助于快速对活齿结构进行设计。

3)传动角分析表明,推杆针轮活齿传动的最大传动角与激波器偏心距成正相关,与针轮回转半径成负相关,并且激波器偏心距对最大传动角的影响更为显著,这一规律可为结构参数的优化选择提供依据。

4)对活齿齿形简化方程进行误差分析,其结果表明横、纵坐标误差最大不超过±0.06 μm,简化方程可以替代准确方程进行研究,验证了活齿简化方程的实用性。通过仿真验证其定传动比传动的功能,传动比平均误差约为0.007%,从而验证了采用活齿简化方程构建活齿减速器的可行性。

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