管运洪水是水库工程运用管理时所考虑的一种洪水^[1]。目前推求管运洪水有2类方法，第1类是以Copula函数为基础的途径^[2–7]，第2类是以全概率原理为基础的途径^[1]。在第2类方法中，又分为直接法和间接法。前者依据资料直接估计条件分布；后者则先估计2维联合分布，然后通过2维联合分布的转换计算，间接估计出条件分布。本研究重点探讨直接法，间接法拟另文详细论述。

以全概率原理为基础的第2类途径计算时依据的是年最大洪水资料，而以Copula函数为基础的第1类途径^[4–5]计算时依据的资料是分期最大洪水。由于依据资料存在本质差异，2类方法的使用和结果均出现明显不同。由于分期最大洪水样本系列较长，因此第1类途径利于统计分析，而第2类途径年最大洪水样本系列较短不利于统计分析。第1类途径获得的结果不完全符合现行防洪安全标准的要求^[1]，而第2类途径的结果完全符合现行防洪安全标准的要求。显然，工程防洪安全符合现行标准是必要的^[8]。因此理应优先采用第2类途径。但该途径对资料要求较高，实际应用中会遇到困难。本研究目的在于分析应用第2类直接法对资料长度的要求，以及在某些特殊情况下如何采用新手段拓广该方法的适用范围，同时，结合实例进一步分析论证了该方法的优势。

1 推求管运洪水的直接法

分期管运洪水的本质在于洪水随分期而变，这是由于分期洪水特性存在明显差异而造成的。推求分期管运洪水前，必须全面分析洪水是否存在分期特性。汛期分期划分方法较多且应用成功，主要有分形法、系统聚类法、动态聚类法、模糊试验法、变点分析法和Fisher分割法等。一般将汛期多分为3期，即前汛期（A₁）、主汛期（A₂）和后汛期（A₃），如图1所示。

现行规范规定年最大洪水值是估计重现期（或频率）的基本前提^[8–11]，计及工程失事风险应以年最大值为依据，防洪安全也应只与年最大值紧密相关。每年洪水的最大值可发生在A₁、A₂和A₃期内，但发生的可能性不一样，以P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)分别表示在A₁、A₂和A₃期发生年最大洪水的概率，且有P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)=1。每年在洪水季节必然发生一次年最大洪水，但只能在A₁、A₂和A₃期中的某一期内发生。这说明，各分期发生年最大洪水为互斥事件。以P₁(x₁/A₁)表示在A₁期发生年最大洪水值超过x₁的概率，类似地P₂(x₂/A₂)表示在A₂期发生年最大洪水值超过x₂的概率，P₃(x₃/A₃)表示在A₃期发生年最大洪水值超过x₃的概率。若以P₄(x₄)表示汛期(A₁+A₂+A₃)发生年最大洪水值超过x₄的概率。依全概率原理^[12]有：

${P_4}({x_4}) \!=\! {P_1}({{{x_1}} / {{A_1}}})P({A_1}) \!+\! {P_2}({{{x_2}} / {{A_2}}})P({A_2}) \!+\! {P_3}({{{x_3}} / {{A_3}}})P({A_3})$

(1)

式（1）即为基于全概率原理的直接法推求管运洪水的理论基础。

2 推求方法

基于样本的频率分析计算要求样本容量越大越好，因为估计值x_P的抽样误差随样本容量的加大而减少。实际上，对样本容量的大小，必须分析x_P的抽样误差特性并结合实际情况做出合理的要求。针对中国情况，洪水规范^[8]规定：样本容量系列长度30年以上应采用频率分析法。这是就一般情况而言的。主汛期（A₂）和次汛期（A₁+A₃）的洪水特性有所不同，主汛期洪水变化大，而次汛期洪水变化相对较小，即(Cv)_主>(Cv)_次。由于Cv的差异，为了保证两分期的估计值x_P具有大致相同的抽样误差，对样本容量的要求会不一样。Cv大的主汛期的样本容量n_主会大于Cv相对较小的次汛期的样本容量n_次，即n_主>n_次。据文献[13]有：

$S = \frac{{Cv}}{{k\sqrt n }}B \times 100$

(2)

式中：S为x_P的相对抽样误差，%；Cv为变量x的变差系数；k为x_P的模比系数；n为样本容量；B为Cs和P的函数，可查B值表或诺模图^[8,13]。

基于式（2），以特例说明：在(Cv)_主>(Cv)_次时，对大致相同S的条件下，n_主>n_次。设P=0.01，(Cv)_主=0.5，(Cv)_次=0.4，(Cs)_主=3(Cv)_主，(Cs)_次=3(Cv)_次，n_主=30，n_次=20，由文献[13]的表2～8得B_主=6.3、B_次=4.6。利用式（2）计算得S_主=18.4%和S_次=18.2%。这表明：为使x_P达到大致相同的抽样误差，对n_主和n_次的长度要求有所不同。

需说明：洪水设计规范^[8]总则规定30年以上的洪水流量资料应该采用频率分析法，而没有规定30年以下的洪水资料不能进行频率计算。为保证成果可靠，关键在于加强合理性分析。这正是洪水设计规范的基本精神。

基于以上分析，初步认为以式（1）推求管运洪水时，全年和主汛期的样本容量分别为30年以上，而次汛期的样本容量可以适当降低，考虑到当前中国的实情，不宜低于20年。这仅为一种建议，今后尚需继续探讨。本研究将洪水资料情况分为3类：

1）资料充足情况。主汛期A₂的年最大洪水样本容量为30年以上，而前汛期A₁和后汛期A₃的样本容量分别为20年以上。

2）资料相对充足情况。A₂的样本容量为30年以上，而A₁和A₃的样本容量均未达到20年的要求。

3）资料不足情况。A₂的样本容量为30年以上，而A₁和A₃的样本容量之和尚未达到20年。

上述资料情况分类是建立在(Cv)_主>(Cv)_次的理念之上。有些实际情况并非如此，例如(Cv)_主和(Cv)_次的差别并不显著。遇到此情况，建议仍按上述资料分类情况开展工作，其理由是：由于主汛期内发生年最大洪水的可能性要比次汛期内大得多，即P(A₂)较P(A₁)、P(A₃)大，式（1）中P₂的权重远比P₁和P₃大得多，P₂的影响举足轻重。因此在推求P₂时，要求较长的资料以获得可靠的P₂。相比之下，对推求P₁和P₃的资料要求可以适当放宽，同时，注意到推求P₄的资料要求也是较高的。在P₄和P₂可靠的情况下，加上P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)=1的约束条件，利用式（1）可对P₁和P₃的合理性做出评判，并结合A₁期和A₃期的洪水特性做适当调整。一方面，P₁和P₃的权重较小，另一方面，二者受到式（1）平衡关系的制约，因此，对推求P₁和P₃的资料条件适当放宽是可以接受的。

2.1 资料充足情况

设A₁、A₂和A₃期分别有n₁、n₂和n₃年年最大洪水值资料，总资料数n=n₁+n₂+n₃。对每一分期进行洪水频率计算，将适线法结果绘于图2。

对分期频率计算需说明2点：

1）由适线法^[14]获得频率曲线时所用的经验频率公式分别为：

A₁期：

$ P = \frac{{{m_1}}}{{{n_1} + 1}} $

(3)

A₂期：

$ P = \frac{{{m_2}}}{{{n_2} + 1}} $

(4)

A₃期：

$ P = \frac{{{m_3}}}{{{n_3} + 1}} $

(5)

式中，m₁为洪水年最大值发生在A₁期由大到小的序号，m₂为洪水年最大值发生在A₂期由大到小的序号，m₃为洪水年最大值发生在A₃期由大到小的序号。计算经验频率的数学期望公式可以这样使用，是因为该式不需要样本中各系列在时间上是连续的，而严格要求的是系列中对应的各项在容量n₁（n₂、n₃）中的排位序号m₁（m₂、m₃）明确。这里的情况和历史洪水有类似之处。

样本系列为不连续情况下，对于式（3）、（4）和（5）可用作频率分析计算的原因做进一步说明。定义事件为A₁期发生年最大洪水x。在A₁分期条件不变下做试验。在A₁期发生一次年最大洪水，即该事件发生并取值x，试验成功，计试验一次；A₁分期未发生年最大洪水值，则试验未成功，不计入试验次数。总共成功试验n₁次，则有n₁个x值与之相对应，即x₁、 $x_{2} {\text{、}}\!\!\cdots{\text{、}}\!\!x_{n1} $ 。这就是基于统计分析的样本序列。该序列尽管在时间上是不连续的，但按照统计原理，完全可以作为一个随机样本进行频率分析计算。

2）主汛期通常有历史洪水资料可以利用，其处理办法和通常情况类似。资料充足情况下，对所获得的成果P₁、P₂和P₃可以在借助式（1）做合理性分析的基础上进行调整，使成果更为可靠。图2中的A₁、A₂和A₃期频率曲线分别相当于式（1）中的P₁(x₁/A₁)、P₂(x₂/A₂)和P₃(x₃/A₃)；式（1）中的P₄(x₄)实际上为整个汛期（A₁+A₂+A₃）年最大洪水频率曲线（由容量n的样本系列通过频率计算获得），为了与分期频率曲线相比较，该线亦绘于图2上并标记为“Y”。由于“Y”频率曲线是依据n年资料推得，一般较可靠。

在式（1）定量关系的基础上，可对P₁和P₃进行合理性调整。各分期频率曲线作合理调整的思路如下。设x₀=x₄=x₁=x₂= x₃，由式（1）得：

${P_4}({x_0}) \!=\! {P_1}({{{x_0}} / {{A_1}}})P({A_1}) \!+\! {P_2}({{{x_0}} / {{A_2}}})P({A_2})\! +\! {P_3}({{{x_0}} / {{A_3}}})P({A_3})$

(6)

由样本资料估计P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)受到P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)=1的制约，一般较稳定。由样本系列估计P₄(x₀)和P₂(x₀/A₂)时，所用序列相对较长，成果较可靠。这样基于式（6）中相对较可靠的P₄、P₂以及P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)可以联动调整P₁和P₃。其原则是：调整后的P₁和P₃既在频率曲线上总体合理又要符合式（6）的定量关系。对频率曲线另一个关键部位x₀可进行类似的分析调整，最后将P₁和P₃线调整到位，便于实用。

因此，基于式（1）所推求出的各分期洪水频率曲线在一定程度上能保证结果的合理性和可靠性。这是以全概率原理直接推求管运洪水方法的显著优点。

2.2 资料相对充足情况

A₁和A₃期的资料长度达不到分别直接进行频率计算要求时，应设法延长资料。若无法延长资料，但当A₁和A₃期洪水特性类似时，可将A₁和A₃期的洪水资料合并，代表整个次汛期（A₁+A₃）的洪水系列，再进行频率分析计算。设（A₁+A₃）合并为A₅，且P₅(x₅/A₅)为A₅期的频率曲线，那么有：

${P_4}({x_4}) = {P_5}({{{x_5}} / {{A_5}}})P({A_5}) + {P_2}({{{x_2}} / {{A_2}}})P({A_2})$

(7)

A₅期和A₂期的资料条件属于上述资料充足情况，因此基于式（7）可做类似于式（6）的分析计算。但需说明2点：1）基于式（7）对P₁和P₃频率曲线进行合理性分析较基于式（6）要方便得多，其可靠性更高；2）获得的P₅(x₅/A₅)既表示P₁(x₁/A₁)，也表示P₃(x₃/A₃)，即A₁期的频率曲线和A₃期的频率曲线合并为一条。具体将在实例分析中进一步论述。

在某些地区，A₁和A₃期洪水特性相似确实客观存在，合并手段具有一定现实意义。

2.3 资料不足情况

当前中国测站洪水资料状况不少属于资料不足情况。针对此情况，如何处理就显得格外重要。与资料相对充足情况类似，在一定条件下，将A₁和A₃期洪水合并处理。基于式（7），有：

${P_5}({{{x_5}} / {{A_5}}}) = \frac{1}{{P({A_5})}}\left[ {{P_4}({x_4}) - {P_2}({{{x_2}} / {{A_2}}}){P_2}({A_2})} \right]$

(8)

A₂期和全年的洪水资料长度均达到要求，对应的频率曲线是相对可靠的，加之P(A₄)和P(A₅)相对可靠，这样基于式（8）可直接推求得到P₅，即推得P₁和P₃。这是直接反推而获得的成果，故称此为反算手段。下面将以实例具体说明。

3 实例分析

在资料充足情况下，直接法涉及一般频率分析计算，不再举例说明。这里仅对另外两种资料情况进行实例分析。

3.1 资料相对充足情况下分析计算

收集沱江流域某站1941—2008年年最大洪峰流量资料（来源于四川省水文局），根据其洪水特性将7月9日前（含）划为前汛期、7月10日至9月9日划为主汛期、9月10日至10月10日划为后汛期。据资料统计得n₁=15、n₂=44、n₃=9，将前汛期和后汛期统一为次汛期，则n₅=n₁+n₃=24，显然本例属于资料相对充足情况。另外，对该站前汛期和后汛期洪水形成的原因和特性做了较详细的分析，发现该两期的洪水具有类似的统计特性。计算步骤如下：

1）年最大洪水分别发生在主汛期A₂和次汛期A₅的频率推算

$P({A_2}) = \frac{{{n_2}}}{{{n_1} + {n_2} + {n_3}}} = 0.647,$

$\;\;\;P({A_5}) = \frac{{{n_5}}}{{{n_1} + {n_2} + {n_3}}} = 0.353{\text{。}} $

2）全年洪水频率曲线Y[P₄(x₄)]的推算

据68年（1941—2008年）资料，由数学期望公式^[14]估计经验频率，经适线法推求P–Ⅲ型分布的3个参数：均值 $\overline Q$ =3 050 m³/s，Cv=0.56，Cs=3.5Cv。P–Ⅲ型频率曲线如图3所示。

3）主汛期洪水频率曲线P₂(x₂)的推算

据44年（n₂=44）资料，由数学期望公式^[13]估计经验频率，经适线法得P–Ⅲ型分布参数：均值 $ \overline Q$ =3 190 m³/s，Cv=0.57，Cs=3.5Cv。如图4所示。

4）次汛期年最大洪峰流量频率曲线P₅(x₅)的推算

据24年（n₅=24）资料，由期望公式估计经验频率，经适线法得P–Ⅲ型曲线的3个参数：均值 $ \overline Q$ =3 000 m³/s，Cv=0.53，Cs=3.5Cv。如图4所示。

5）成果合理性分析

据资料分别获得的P₂、P₄和P₅所依据准则为“与点据拟合最佳”，而三者之间的统计关系未予关注。实际上它们之间以式（7）的形式紧密联系在一起。由于推求P₄和P₂依据的点据相对较多，成果较可靠，而P₅经验点据较少，成果可靠性相对较差，因此有必要基于式（7）进行合理性分析，其具体方法如下：由获得的P₂和P₅频率曲线（图4），据式（7）直接计算得到指定洪水流量的频率，计为 ${P_4}'$ ；将之与适线法得到的P₄频率曲线（图3）进行对比，结果如表1所示。

表1显示，P₄和 ${P_4}'$ 差别较小（相对误差在1%左右），说明成果合理可靠。这是因为P₂、P₅和P₄的成果经受了2方面的合理性检验：一是，频率曲线和实测经验点配合良好；二是，这三者相互之间的定量关系符合以式（7）表示的全概率公式的要求。

3.2 资料不足情况下分析计算

以某水库临近下游某水文站的洪水资料作为依据，推求该水库的管运洪水。搜集该站1957—2013年共57年年最大洪峰流量资料（来源于四川水文水资源局），根据该站洪水资料点绘汛期洪峰散点图，显示7—8月洪水和6、9月的洪水有明显差异，因此划分6月之前为前汛期、7—8月为主汛期、9月之后为后汛期。据资料统计得n₁=3、n₂=46、n₃=8。经分析，前汛期洪水和后汛期洪水特性类似，因此，将前汛期和前汛期统一归为次汛期，则n₅=11。由于次汛期数据明显偏少，不能直接进行频率计算，只能应用反算手段间接推求频率曲线，即采用式（8）的方法进行分析计算。具体步骤如下：

1）年最大洪水分别发生在主汛期和次汛期的频率推算

$ P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{{n_2}}}{{{n_1} + {n_2} + {n_3}}} = 0.807, $

$P({A_5}) = \frac{{{n_5}}}{{{n_1} + {n_2} + {n_3}}} = \frac{{{n_1} + {n_3}}}{{{n_1} + {n_2} + n_3^{}}} = 0.193{\text{。}}$

2）全年洪水频率曲线P₄(x₄)的推算

据57年（1957—2013年）资料，由数学期望公式^[13]估计经验频率，经适线法得P–Ⅲ型曲线参数：均值 $\overline Q$ =1 330 m³/s，Cv=0.32，Cs=4Cv。洪水频率曲线如图5所示。

3）主汛期年最大洪峰流量频率曲线P₂(x₂)的推算

据46年（n₂=46）资料，由期望公式^[13]估计经验频率，经适线法得P–Ⅲ型曲线的3个参数：均值 $\overline Q$ =1 390 m³/s，Cv=0.32，Cs=4Cv。洪水频率曲线如图6所示。

4）次汛期年最大洪峰流量频率曲线P₅(x₅)的反算

由于上述P₂(x₂/A₂)和P₄(x₄)以及已求得的P(A₂)和P(A₅)，可通过式（8）反算出P₅(x₅/A₅)，最终获得次汛期的年最大洪峰流量频率线，如图7所示。推求该频率线的具体方法简述如下：给定若干个x₅的值，并假定x₅=x₄=x₂=x₀，此时式（8）变为：

${P_5}({{{x_0}} / {{A_5}}}) = \frac{1}{{P({A_5})}}\left[ {{P_4}({x_0}) - {P_2}({{{x_0}} / {{A_2}}}){P_2}({A_2})} \right]$

(9)

由式（9）计算得P₅(x₀/A₅)，这样可得到一个点（x₀，P₅(x₀/A₅))。类似地，可得到若干个点。以这些点为准配合P–Ⅲ型曲线，其参数为 $ \overline Q$ =1 190 m³/s，Cv=0.32，Cs=4Cv。

5）合理性分析

为了对反推得的P₅(x₅/A₅)线的合理性进行分析，将该期11年资料的经验点据点绘于图8。

尽管受抽样误差影响，11个经验点据存在不确定性，但是点据分布的状态和趋势还是与反推得的频率曲线大致匹配。将图5～7中理论频率曲线拟合在一张图上，见图8。总体上3条线的位置和走向均合理，因此，反推的P₅(x₅/A₅)合理性，可以作为推求管运洪水的依据。

6）两种结果的比较

以本例洪水资料，用基于Copula函数的第1类法计算出分期管运洪水^[15]。本例为2个分期，相应的分期频率曲线为F₁(x)和F₂(x)。Copula函数记为C(u，v)，则

$ {P_{{\text{年}}}} = 1 - C\left( {u,v} \right) $

(10)

式中，u=1–F₁(x)，v=1–F₂(x)，P_年指年频率，C(u,v)为Copula函数。

分期频率线F₁(x)和F₂(x)表征x和次频率的关系，而本文的分期频率线P₂(x)和P₅(x)是x和年频率的关系，二者缺乏比较基础。因此，对比这2种方法的成果，只能根据年频率曲线。利用该站的洪水资料估计得F₁(x)和F₂(x)以及C(u,v)。据此，以式（10）估计x对应的P_年，部分结果如表2所示。为便于比较表2中亦列出了本文第2类方法的结果。表2显示：同一最大流量下，第1类方法的年频率大于第2类方法。换言之，在同一年频率下，前者相应最大流量要大于后者。之所以出现这样的结果，归根结底是因为第1类方法基于各期内的最大洪水（其中包括一年中低于年最大洪水的次大值等洪水），而第2类方法的计算基于各期内的年最大洪水（低于年最大洪水的资料一律未采用）。利用次大值等洪水资料计算其结果将导致洪水风险增加，频率加大。中国现行防洪标准以年最大洪水值为基础，因为水利水电工程失事风险和一年中的洪水最大值紧密有关。当涉及工程防洪安全问题时，一年中的次大值等洪水资料不应加以利用。第1类方法正是利用了次大值等洪水资料，导致其结果不符合国家标准的要求。本例进一步表明，以达标准则评判，第2类方法肯定优于第1类方法。

4 结　论

通过上述分析，可以得出以下初步结论：

1）第1类途径同第2类途径中的直接法相比，各有优缺点。前者不满足防洪标准要求为先天性的缺陷，后者能满足要求为独特的优势。但前者对资料条件要求较宽，而后者对资料条件要求较严，当前影响其实际应用。

2）应用直接法时，要求资料的长度随情况而变。若汛期分为3期，初步建议主汛期的洪水资料的长度超过30年，而次汛期的洪水资料长度超过20年。

3）在前汛期和后汛期洪水特性类似的条件下，合并手段和反算手段放宽了直接法对资料的要求，扩大了该法的适用范围。

4）以直接法获得的结果必须进一步做定量检查，其依据在于全汛期和各分期的频率之间的定量关系受到全概率公式的制约。这在一定程度上保证结果的合理性，是直接法的另一种不可忽视的优势。

5）本研究所得的结果是初步的，不少问题尚需进一步研究。特别是对资料长度的要求，资料不足时如何应用等问题有待深入探讨。