工程科学与技术   2019, Vol. 51 Issue (1): 248-255
基于粒子群算法和投影追踪分析的干气密封动态特性优化
刘蕴1, 刘全兴2, 殷鸣3, 殷国富1,3     
1. 四川大学 空天科学与工程学院,四川 成都 610065;
2. 四川航天职业技术学院 飞行器制造系,四川 成都 610100;
3. 四川大学 制造科学与工程学院,四川 成都 610165
基金项目: 国家科技重大专项资助(2017zx04020001-005);四川省科技计划项目资助(2017GZ0071)
摘要: 干气密封是轴类密封中重要的密封方式之一,尤其适用于对于密封可靠性要求较高的装置中。由于密封气膜与密封环的位置设计关系,浮动环的振动关系着密封气膜刚度值的变化,因此浮动环系统的动态特性影响着干气密封的可靠性。作者提出了一种基于粒子群优化(particle swarm optimization)与投影追踪分析(projection pursuit)相结合的动态特性优化方法;依据工况条件,建立浮动环系统预应力模态分析模型,对实验测试结果进行频谱分析验证模态分析的准确性;实验结果与分析结果证明,为提高干气密封可靠性,需对浮动环系统进行动态特性优化,选取浮动环系统中的轴向设计参数为优化参数,将响应面方法(response surface methodology)与Box–Behnken试验设计相结合分别获得优化目标和约束条件关于优化参数的完整2次多项式响应面模型,实现隐性关系显性化,采用粒子群优化算法以浮动环系统固有频率为优化目标函数,系统静变形为约束进行快速优化,在系统静变形量小于要求值的条件下,使得系统固有频率值增大到142 Hz,与原始固有频率值相比提高了20%,并获得了优化参数与固有频率的正反比关系,最后,通过投影追踪分析得到优化参数对系统固有频率的影响程度;基于粒子群优化算法与投影追踪分析相结合的优化方法将浮动环系统固有频率提高到高于所给工况最高转速8 000 r/min(133 Hz)并理论性获得结构参数对于系统动态特性的影响程度。
关键词: 密封可靠性    粒子群优化    投影追踪分析    动态特性优化    参数设计    
Dynamic Feature Optimization of Dry Gas Seal Based on Particle Swarm Optimization and Projection Pursuit
LIU Yun1, LIU Quanxing2, YIN Ming3, YIN Guofu1,3     
1. School of Aeronautics and Astronautics, Sichuan Univ., Chengdu 610065, China;
2. Dept. of Aerocraft Manufacturing, Sichuan Aerospace Vocational College, Chengdu 610100, China;
3. School of Manufacturing Sci. and Eng. Sichuan Univ., Chengdu 610065, China
Abstract: Dry gas seal is one of the important sealing methods in shaft seal, especially for the devices with high sealing reliability requirements. Due to the designed relationship between the sealing gas film and the seal rings, the vibration of the floating ring is related to the change of the sealing gas film stiffness value. Therefore, the dynamic feature of floating ring system affects the reliability of the dry gas seal. A dynamic feature optimization method based on the particle swarm optimization and the projection pursuit was proposed. According to the working conditions, the pre-stressed modal analysis of the floating ring system was completed, and the accuracy of the modal analysis was verified by the spectrum analysis from experiment. The results of the experiment and analysis proved that it was necessary to optimize the dynamic feature of the floating ring system to improve the reliability of dry gas seal. The axial design parameters of the floating ring system were selected as the optimization parameter. Combining the response surface methodology with the Box–Behnken experiment design, the complete quadratic polynomial response surface models of optimization objective and constraint about optimization parameters were presented, respectively, which made the implicit relations explicit. With the natural frequency of the floating ring system as the objective function and the system static deformation as the constraint, the natural frequency reached to 142 Hz efficiently through the particle swarm optimization algorithm, increased 20% compared to the original natural frequency. Furthermore, the positive and negative relationship between the natural frequency and the optimization parameters was defined. Finally, the influence degree of optimization parameters on the natural frequency was obtained through the projection pursuit analysis. Based on the combination of the particle swarm optimization and the projection pursuit, the natural frequency of the floating ring system was increased above the given highest operating rotational speed 8 000 r/min (133 Hz).
Key words: sealing reliability    particle swarm optimization    projection pursuit    dynamic feature optimization    parameters design    

干气密封装置具有磨损小、可靠性高以及污染性低等优点,被广泛的应用在多个领域[12],其中核电等尖端领域要求密封的绝对可靠性,这就要求对于干气密封的密封性能进行全面研究,尤其是较高参数条件下(高压高速)运行的干气密封的密封可靠性研究应更加深入[34]。一部分学者对于密封环的工作情况进行了监测和分析,得到了密封环的部分工况运行情况[58],另一部分学者在对干气密封中气膜的性能进行分析和研究时,考虑了正常小尺寸振动对于气膜性能的影响,但是对于与气膜直接接触,并有可能发生共振的浮动环系统未进行系统动态特性研究[911]。密封环主要包括动环与浮动环,两者之间为高压流体气膜,浮动环与弹簧座形成嵌套装配关系,实现了浮动环的轴向韧性安装[12],工作时主要发生周期性轴向窜动,当密封操作条件(额定介质压力和额定转速)达到某一数值时,浮动环存在发生轴向过大窜动的风险,一旦密封发生失稳产生大泄漏,核用等要求绝对密封的工程会发生严重事故,因此,获取浮动环系统的动态特性并进行优化可进一步实现干气密封装置的密封绝对可靠性。

作者考虑密封气膜与浮动环系统关系,提出对于浮动环系统的动态特性进行分析并完成优化,依据干气密封装置工况条件,完成整个浮动环系统的预应力模态分析,基于LMS Test Lab测试系统和泄漏量监测系统,在多级离散化操作条件下实现浮动环系统(浮动环、推环和弹簧座)振动和泄漏量测试实验,实验结果证明了预应力模态分析模型的准确性,通过预应力模态分析同时获得了浮动环系统的静变形和固有频率值,并实现了浮动环系统类工况下的模态分析,将系统固有频率值作为优化目标,系统静变形作为约束条件,弹簧刚度和浮动环系统的3个轴向可调尺寸作为优化参数,采用响应面方法与Box–Behnken试验设计相结合分别获得优化目标与约束条件关于优化参数的函数表达式,通过粒子群优化算法,在系统静变形量小于要求值的条件下,使得固有频率值得到了明显提升,完成了干气密封的动态特性优化,同时,获得了4个优化参数与固有频率之间的正反比关系,采用基于核函数的投影追踪分析方法确定4个优化参数对于系统固有频率的影响程度,以此实现了干气密封这类运用于极限工况条件下结构复杂装置的动态特性优化,并为干气密封参数尺寸设计提供了新的理论依据和方法。

1 理论模型 1.1 干气密封结构

干气密封属于多零部件组合装置,为实现低泄漏量密封,零部件之间的配合较为复杂且精密,图1为四川某密封厂提供的一套干气密封装置示意图。干气密封未启动前,推环与弹簧座之间的均布弹簧是处于压缩状态,干气密封运行时,动环嵌套在轴套中,随轴转一起转动,引入高压气流进入密封槽推开浮动环,弹簧座固定,弹簧始终处于压缩状态使得浮动环与推环始终贴合运动,简化图中右侧的浮动环系统为单自由度系统,在外界激振频率ω接近系统固有频率 $\psi $ 时,系统会发生共振,浮动环窜动剧烈,影响密封气膜刚度稳定性,出现密封气固失稳现象,导致泄漏量异常增大,破坏密封可靠性,因此需要对浮动环系统的动态特性进行优化。

图1 干气密封系统示意图 Fig. 1 Diagram of dry-gas seal system

1.2 粒子群优化

粒子群优化算法是一种有效的全局寻优算法,保留了进化算法中基于种群的全局搜索策略,粒子群算法所采用的速度–位移模型操作简单,避免了复杂的遗传操作,特有的记忆可以动态跟踪当前的搜索情况而相应的调整搜索策略,每代种群中的解具有“自我”学习提高和向“他人”学习的双重优点,从而能在较少的迭代次数内找到最优解。 ${P_i} = ({p_{i1}},$ ${p_{i2}}, \cdots ,{p_{in}})$ 为粒子 $i$ 的当前位置, ${V_i} = \left( {{v_{i1}},{v_{i2}}, \cdots ,{v_{in}}} \right)$ 为粒子 $i$ 的当前飞行速度, ${b_i} = \left( {{b_{i1}},{b_{i2}}, \cdots ,{b_{in}}} \right)$ 为粒子 $i$ 所经历的最优位置,称作个体最优位置。 $\psi \left( X \right)$ 为最小化的目标函数,则粒子 $i$ 的当前最优位置由式(1)确定:

$ {b_i}\left( {t + 1} \right) = \left\{ {\begin{aligned} & {{b_i}\left( t \right),\psi \left( {{P_i}\left( {t + 1} \right)} \right) \ge \psi \left( {{b_i}\left( t \right)} \right)}; \\ & {{P_i}\left( {t + 1} \right),\psi \left( {{P_i}\left( {t + 1} \right)} \right) < \psi \left( {{b_i}\left( t \right)} \right)} \end{aligned}} \right. $ (1)

群体中的粒子数设为 $N$ ,群体中所有粒子所经历过的最好位置为 $Gb\left( t \right)$ 为全局最优位置,则

$ Gb\left( t \right) = \min \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\!\!\!\psi \left( {{b_1}\left( t \right)} \right),}&{\!\!\!\!\!\!\psi \left( {{b_2}\left( t \right)} \right),}&{ \!\!\!\!\!\!\cdots ,}&{\!\!\!\!\!\!\psi \left( {{b_N}\left( t \right)} \right)\!\!\!} \end{array}} \right\} $ (2)

粒子的飞行速度和位置可以根据个体的飞行经验和群体的飞行经验进行动态调整,其速度与位置的更新方程为:

$ \begin{aligned} {v_{ij}}\left( {t + 1} \right) =& w{v_{ij}}\left( t \right) + {c_1}{r_1}\left( {{b_{ij}}\left( t \right) - {p_{ij}}\left( t \right)} \right) + {c_2}{r_2}\left( {G{b_j}\left( t \right) - }\right.\\ & \left.{p_{ij}}\left( t \right) \right) {p_{ij}}\left( {t + 1} \right) = {p_{ij}}\left( t \right) + {v_{ij}}\left( {t + 1} \right) \end{aligned} $ (3)

式中, $i$ 表示第 $i$ 个粒子, $j$ 表示粒子的第 $j$ 维, ${v_{ij}}\left( t \right)$ 表示粒子 $i$ 在进化到 $t$ 代时的第 $j$ 维飞行速度分量, ${p_{ij}}\left( t \right)$ 表示粒子 $i$ 在进化到 $t$ 代时的第 $j$ 维位置分量, ${b_{ij}}\left( t \right)$ 表示粒子 $i$ 在进化到 $t$ 代时的第 $j$ 维个体最优位置 ${b_i}$ 分量, $G{b_j}\left( t \right)$ 表示进化到 $t$ 代时整个粒子群的最优位置 $Gb$ 的第 $j$ 维分量, $w$ 为惯性权重, ${c_1}$ ${c_2}$ 为加速因子, ${r_1}$ ${r_2}$ $\left[ {0,1} \right]$ 的随机数[13]

1.3 投影追踪分析

为获得设计参数对于浮动环系统的动态特性影响程度,投影追踪分析根据实际问题的需要,通过准则函数将高维数据投影到低维子空间,使得投影后的数据可以很好地进行分类,并且信息损失最小[14]

为消除各指标值的量纲和统一各指标值的变化范围,要先对原始数据进行极值归一化处理。设分类数据矩阵为:

$ {{X}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{11}}}& {{x_{12}}}& \cdots &{{x_{1m}}} \\ {{x_{21}}}& {{x_{22}}} & \cdots & {{x_{2m}}} \\ \vdots & \vdots &{}&\vdots \\ {{x_{n1}}}&{{x_{n2}}}& \cdots &{{x_{nm}}} \end{array}} \right] $ (4)

式中: $n$ 为样品数; ${x_{ij}}$ 为每个样品测得 $m$ 项指标的观察数据, $i = 1,2, \cdots ,n$ , $j = 1,2, \cdots ,m$

对于越大越优的指标:

$ x_{ij}^* = \frac{{{x_{ij}} - {x_{\min }}\!\left( j \right)}}{{{x_{\max }}\!\left( j \right) - {x_{\min }}\!\left( j \right)}} $ (5)

对于越小越优的指标:

$ x_{ij}^* = \frac{{{x_{\max }}\!\left( j \right) - {x_{ij}}}}{{{x_{\max }}\!\left( j \right) - {x_{\min }}\!\left( j \right)}}。$ (6)

$m$ 维数据 $\left\{ {{x^*}\left( {i,j} \right)\left| {j = 1,2, \cdots ,m} \right.} \right\}$ 综合成以 $ {{a}} =$ $\left( a\left( 1\right), a\left( 2 \right), \cdots, a\left( m \right) \right)$ 为投影方向的1维投影值 $w\left( i \right)$

$ w\left( i \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {a\left( j \right){x^*}\left( {i,j} \right)} , i = 1,2, \cdots ,n $ (7)

其中, $ {{a}}$ 为单位长度向量。

投影指标函数为 $Q\left( { {{a}} } \right) = {S\!_w}{D_w}$ ,其中, ${S\!_w}$ 为投影值 $w\left( i \right)$ 的标准值, ${D_w}$ 为投影值 $w\left( i \right)$ 的局部密度,

$\left\{ \begin{array}{l} {S\!_w} = \sqrt {\displaystyle\frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ {w\left( i \right) - {E_w}} \right]}^2}} }}{{n - 1}}} ,\\ {D_w} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\bigg\{ {R - r\big( {i,j} \big) \cdot u\Big[ {R - r\big( {i,j} \big)} \Big]} \bigg\}} } \end{array} \right.$ (8)

式中: ${E_w}$ 为序列 $w\left( i \right)$ 的平均值; $R$ 为局部密度的窗口半径; $r\left( {i,j} \right)$ 表示样本之间的距离, $\left( {i,j} \right)= \left| {w\left( i \right)} - \right.$ $\left. {rw\left( j \right)} \right|$ ${r_{\max }} = \max \left[ {r\left( {i,j} \right)} \right]$ $u\left( t \right)$ 为一单位阶跃函数,当 $t \ge 0$ 时其值为1,当 $t$ <0时其值为0。在实际计算中:

$ {r_{\max }} + m/2 \le R \le 2m $ (9)

当各指标值的样本集给定时,投影指标函数 $Q\left( {{a} } \right)$ 只随着投影方向 ${{a}} $ 的变化而变化。通过求解投影指标函数最大问题来获得最佳投影方向,即:

最大化目标函数:

$ \max Q\left( {{a}} \right) = {S\!_w}{D_w}, $ (10)

约束条件:

$ \sum\limits_j^m {{{{a}}^2}\!\left( j \right) = 1} $ (11)

由式(7)可知,通过最佳投影方向 ${{{a}} ^*}$ 分量大小可知各项指标对投影值的影响程度[15]

2 预应力模态分析 2.1 分析模型

依据所提供的干气密封装置的设计要求,建立浮动环系统的分析模型,依据浮动环系统装配要求,浮动环与推环接触设为Bonded接触单元,浮动环与弹簧座接触关系设为No Separation接触单元,推环与弹簧座的接触关系设为No Separation接触单元[16]图2为依据实际工况设计对弹簧座螺栓孔处施加固定约束C;A为浮动环及推环实际工况下所受的径向及轴向介质压力;B为浮动环所受的气膜推力,依据干气密封中气膜推力计算要求获得[17];在弹簧座与推环之间均布添加12个弹簧单元。

图2 浮动环系统约束加载示意图 Fig. 2 Load diagram of floating ring system

2.2 固有频率分析结果

不同额定转速下,浮动环系统结构性能不受影响,即固有频率值为定值;对承受较高额定介质压力条件下的浮动环系统进行预应力模态分析,获得更加符合高参数环境下的1阶固有频率值,如表1所示,浮动环系统1阶振型为轴向振动,其中浮动环与推环轴向振动值较大,弹簧座振动值较小,如图3所示。

表1 不同介质压力下浮动环系统固有频率 Tab. 1 Natural frequencies of floating ring system under different outside pressures

图3 浮动环系统1阶振型 Fig. 3 First order mode shape

2.3 振动与泄漏量测试实验

干气密封装置因其独特的全封闭设计和工况条件,无法直接获取其浮动环系统的动态特性,因此,依据非接触密封装置的常用工况条件,提出测试多级离散化操作条件(额定介质压力和额定转速)下浮动环系统(浮动环、推环和弹簧座)的轴向振动加速度响应实验方法,同时,选用高精度泄漏量检测仪器相应测试不同工况下密封泄漏量,检测精度为0.001 ${{\rm{m}}^3}/{\rm{h}}$ ,测试时保证密封内压力值近乎恒定,避免因温度升高导致的其他意外泄漏[18]。选用高灵敏度小尺寸的ICP加速度传感器(型号333B30,灵敏度100 mV/g,频率范围0.5~3 kHz,量程50 g,重量4 g),其质量与所要测量的浮动环系统中各部件的质量之比小于10%,不影响被测件正常运行,测试结果可信性高。将加速度传感器粘贴在浮动环、推环以及弹簧座上非高压接触部分,加速度传感器可随浮动环系统同步运动;振动信号通过屏蔽电缆传至LMS数据采集前端,在Signature信号特征测试分析软件模块中设置采样参数,通过设置调配获得准确的振动信号,如图4所示。

图4 LMS数据采集前端及软件模块 Fig. 4 LMS data acquistion front-end and software modules

实验设计1:额定转速为6 000 r/min时,分别测试介质压力为1、2、3、4和5 MPa(常用最高液压)工况条件下的振动响应与泄漏量。

实验设计2:额定介质压力为3 MPa时,分别测试转速为3 000、4 000、5 000、6 000、7 000和8 000 r/min(常用最高转速)工况条件下的振动响应与泄漏量,以上工况条件为密封机械厂所提供的实验密封件的常用工况。

实验1条件下浮动环系统的振动加速度响应幅值和泄漏量,变化趋势如图56所示。

图5 不同介质压力下系统实验幅值响应曲线 Fig. 5 Amplitude response curve of system under different outside pressures by test

图6 不同介质压力下系统实验幅值响应曲线 Fig. 6 Amplitude response curve of system under different outside pressures by test

实验2条件下浮动环系统的轴向振动加速度幅值和泄漏量,测试结果如图78所示。

图7 不同转速下系统实验幅值响应曲线 Fig. 7 Amplitude response curves of system under different rotational speeds by test

图8 不同转速下泄漏量测量值曲线 Fig. 8 Leakage value curve under different rotational speeds by test

对不同介质压力下的振动测试信号进行频谱分析,除去激振频率峰值,在0~500 Hz之间出现的明显峰值对应的横坐标为系统一阶固有频率值,如图9所示,与预应力模态分析模型固有频率分析结果对比误差较小,如表2所示,图6振动结果与图3振型相符,模型的准确性得以验证[19]。由图68可知:转速不变,随着介质压力的增加,泄漏量正常平稳增大;同一介质压力下,当转速激振频率接近固有频率时,泄漏量非正常状态激增,需要对系统动态特性进行优化。

表2 频谱分析与模型分析结果对比 Tab. 2 Results of spectrum analysis and dynamic analysis

图9 频谱分析 Fig. 9 Spectrum analysis

3 结构优化及参数影响程度分析 3.1 响应面模型

浮动环系统因其特殊的嵌套设计要求,径向尺寸变量不便更改,为此选取均布的弹簧刚度以及3个可变轴向尺寸作为优化参数:弹簧刚度 ${x_1}$ ,静环端面环厚 ${x_2}$ ,推环环尾环厚 ${x_3}$ ,弹簧座环尾环厚 ${x_4}$ 。如图10所示。

图10 优化参数 ${{ x}_2}$ ${{ x}_3}$ ${{ x}_4}$ Fig. 10 Optimization variables ${{ x}_2}$ ${{ x}_3}$ and ${{ x}_4}$

利用响应面法分别建立固有频率以及静变形与优化参数之间的响应面模型,对于 $n = 4$ 个参数,完整2次多项式响应面模型为:

${\tilde y}= {\alpha _0} + \sum\limits_{j = 1}^{n{\rm{ = }}4} {{\alpha _j}} {x_j} + \sum\limits_{i = 1}^{n{\rm{ = }}4} {\sum\limits_{j = i}^{n{\rm{ = }}4} {{\alpha _{ij}}} } {x_i}{x_j} $ (12)

式中, ${\alpha _0}$ 为常数项待定系数, ${\alpha _j}$ 为1次项待定系数, ${\alpha _{ij}}$ 为2次项待定系数。

$ \left\{ {\begin{aligned} & {{x_0} = 1}; \\ & {{x_1} = {x_1},{x_2} = {x_2}, \cdot \cdot \cdot ,{x_n} = {x_n}}; \\ & {{x_{n + 1}} = {x_1^2},{x_{n + 2}} = {x_2^2}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{2n}} = {x_n^2}}; \\ & {{x_{2n + 1}} = {x_1}{x_2},{x_{2n + 2}} = {x_1}{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{n\left( {n + 3} \right)/2}} = {x_{n - 1}}x{}_n} \end{aligned}} \right. $ (13)
$\left\{ {\begin{aligned} & {{\beta _0} = {\alpha _0}};\\ & {{\beta _1} ={\alpha _1},{\beta _2} ={\alpha _2}, \cdot \cdot \cdot ,{\beta _n} ={\alpha _n}};\\ & {{\beta _{n + 1}}={\alpha _{11}},{\beta _{n + 2}} ={\alpha _{22}}, \cdot \cdot \cdot ,{\beta _{2n}} ={\alpha _{nn}}};\\ & {{\beta _{2n + 1}}={\alpha _{12}},{\beta _{2n + 2}}={\alpha _{13}}, \cdot \cdot \cdot ,{\beta _{n\left( {n + 3} \right)/2}}={\alpha _{\left( {n - 1} \right)n}}} \end{aligned}} \right.$ (14)

${\beta _k}$ 为未知系数,其个数 $k = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)/2{\rm{ = }}15$ ,故 ${ \beta} {\rm{ = }}{\left( {{\beta _0},{\beta _1}, \cdot \cdot \cdot ,{\beta _{k - 1}}} \right)^{\rm T}}$ ,利用最小二乘原理确定未知系数 ${\beta _k}$ ,独立试验次数 $m$ 要不小于 $k$ ,即 $m \ge k$ [20]

3.1.1 Box–Behnken试验设计

试验设计是将样本点遵从一定的准则进行选取,以便只取少量的点就能使近似响应函数达到较高的精度。Box–Behnken试验设计以较少的试验循环提供关于优化参数的完整信息,试验设计组数 $m = 25$ ,试验设计结果如表3所示。

表3 Box–Behnken试验设计表 Tab. 3 Box–Behnken experiment design table

3.1.2 回归分析

${{{X}}_R}= \left[\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{x_1^{\left( 0 \right)}}&{x_2^{\left( 0 \right)}}& \ldots &{x_{k - 1}^0} \\ 1&{x_1^{\left( 1 \right)}}&{x_2^{\left( 1 \right)}}& \ldots &{x_{k - 1}^1} \\ \vdots & \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ 1&{x_1^{\left( {m - 1} \right)}}&{x_2^{\left( {m - 1} \right)}}& \ldots &{x_{k - 1}^{\left( {m - 1} \right)}} \end{array}}\!\!\!\right]$ $m$ 个样本点, ${{y}} = \left[ {\begin{aligned} {{y^{\left( 0 \right)}}} \\ {{y^{\left( 1 \right)}}} \\ \vdots \;\;\;\\ {{y^{m - 1}}} \end{aligned}} \right]$ 为对应的响应向量, $\left\{ {\begin{aligned} & {{{\tilde y}^{\left( 0 \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\beta _i}{x_i}^{\left( 0 \right)}} }, \\ & {{{\tilde y}^{\left( 1 \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\beta _i}{x_i}^{\left( 1 \right)}} }, \\ & \quad\quad\quad\vdots \\ & {{{\tilde y}^{\left( {m - 1} \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\beta _i}{x_i}^{\left( {m - 1} \right)}} } \end{aligned}} \right.$ 为响 应面函数。

$S\!\!\left( \beta \right)={\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {\left( {{\varepsilon ^{\left( j \right)}}} \right)} ^2} = {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\beta _i}{x_i}^{\left( j \right)} - {y^{\left( j \right)}}} } \right)} ^2} $ $ \to min $ ,取极小值的必要条件为:

$ \frac{{\partial S}}{{\partial {\beta _l}}}{\rm{ = }}2\sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {\left[ {{x_l}\!^{\left( j \right)}\left( {\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\beta _i}x_i^{\left( j \right)} - {y^{\left( j \right)}}} } \right)} \right]} = 0,\\ \left( {l = 0, 1,\cdots,k - 1} \right) $ (15)

即:

$ {\left( {{{ X}_R}{ \beta }- { y}} \right)^{\rm T}}{{ X}_R} = 0 $ (16)

$ { \beta } {\rm{ = }}{\left( {{{ X}^{\rm T}_R}{{ X}_R}} \right)^{ - 1}}{{ X}^{\rm T}_R}{ y} $ (17)

完成近似模型后,对响应面的预测能力进行评估,选用常用评价指标 ${R^2}$ 为复相关系数, $R_{\rm adj}^2$ 为修正的复相关系数, $\sigma $ 为方均根差。

$ {R^2}{\rm{ = }}1 - \frac{{S\!S\!E}}{{S\!S\!Y}} $ (18)
$ R_{\rm{adj}}^2{\rm{ = }}1 - \left( {\frac{{m - 1}}{{m - k}}} \right)\frac{{S\!S\!E}}{{S\!S\!Y}} $ (19)
$ \sigma = \frac{1}{{m\overline {{y}} }}\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {{y_i} - {{{\tilde y}_i}}} \right)}^2}} } $ (20)
$ S\!S\!E{\rm{ = }}{\sum\limits_{i = 1}^m {\left( {{y_i} - {{{\tilde y}_i}}} \right)} ^2} $ (21)
$ S\!S\!Y{\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^m {y_i^2} - m{\overline {{y}} ^2}。$ (22)

R2的值越接近1说明误差的影响越小,R2等于1说明回归方程可以精确地描述 ${{y}}$ 的变化,即观测点全部落在回归方程所确定的曲面上。R2可以描述响应面的拟合程度,但其值会随着回归方程中自变量个数的增加而增加, $R_{\rm{adj}}^2$ 考虑了参数个数 $k$ 带来的影响,R2 $R_{\rm{adj}}^2$ 之间如果相差很大,则说明响应面近似模型中存在不重要的参数。 $\sigma $ 的值越接近0说明响应值与响应估计值误差越小[21]表4为完整二次响应面模型以及模型评价指标。

表4 完整二次响应面模型和评价指标 Tab. 4 Complete quadratic RS models and evaluation indexes

3.2 优化及影响程度结果

通过多组优化实验,当 $w$ 取0.73,加速因子 ${c_1}$ ${c_2}$ 取1.5时,粒子群优化算法具有较好的收敛性能[2223]。种群规模N越大,寻优能力越强,但寻优速度越慢,此处选定N=50,最大迭代次数T=100,以静变形量小于 $6 \times {10^{ - 5}}$ m为约束条件,固有频率负值 $ - \psi $ 最小值为目标,表5为10组稳定的优解。由表6结果表明:弹簧刚度 ${x_1}$ 与固有频率值成正比,静环端面环厚 ${x_2}$ 以及推环环尾环厚 ${x_3}$ 与固有频率值成反比,弹簧座环尾环厚 ${x_4}$ 与固有频率未见明显比例关系;系统固有频率值优化结果达到142 Hz以上,相比于未优化前提高了20%;在浮动环系统的静变形在可接受值的条件下,要获得更大的固有频率值,弹簧刚度 ${x_1}$ 应增大,静环端面环厚 ${x_2}$ 与推环环尾环厚 ${x_3}$ 尺寸应该相应减小,弹簧座环尾环厚 ${x_4}$ 可不变。

表5 粒子群优化解集 Tab. 5 Solution of particle swarm optimization

表6 浮动环系统参数优化前后结果对比 Tab. 6 Initial and optimized results of parmeters of the floating ring system

取20组优化参数 ${x_1}$ ${x_2}$ ${x_3}$ ${x_4}$ 的样本 ${{X}}$ ,通过上述优化结果可知,弹簧刚度 ${x_1}$ 为越大越优,静环端面环厚 ${x_2}$ 与推环环尾环厚 ${x_3}$ 越小越优,对4个指标进行归一化处理,以 $ - Q\left( {{{a}}} \right) = - {S_w}{D_w}$ 为目标函数, $\displaystyle\sum\limits_j^m {{{{a}}^2}}\left( j \right) =$ 1为约束条件,通过粒子群优化算法获得 ${{a}} $

${{X}}{\rm{ = }}\left[\!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} {0.9}&{0.95}&{1.5}&{0.425} \\ {0.5}&{0.80}&{1.5}&{0.425} \\ {1.3}&{0.80}&{1.5}&{0.425} \\ {0.5}&{1.10}&{1.5}&{0.425} \\ {1.3}&{1.10}&{1.5}&{0.425} \\ {0.9}&{0.95}&{1.3}&{0.350} \\ {0.9}&{0.95}&{1.7}&{0.350} \\ {0.9}&{0.95}&{1.3}&{0.500} \\ {0.9}&{0.95}&{1.7}&{0.500} \\ {0.5}&{0.95}&{1.5}&{0.350} \\ {1.3}&{0.95}&{1.5}&{0.350} \\ {0.5}&{0.95}&{1.5}&{0.500} \\ {1.3}&{0.95}&{1.5}&{0.500} \\ {0.9}&{0.80}&{1.3}&{0.425} \\ {0.9}&{1.10}&{1.3}&{0.425} \\ {0.9}&{0.80}&{1.7}&{0.425} \\ {0.9}&{1.10}&{1.7}&{0.425} \\ {0.5}&{0.95}&{1.3}&{0.425} \\ {1.3}&{0.95}&{1.3}&{0.425} \\ {0.5}&{0.95}&{1.7}&{0.425} \end{array}}\!\!\!\right]$
$ {{a}} {\rm{ = }}\big[ {0.706,0.704,0.067,0.035} \big]$

由最佳投影方向各分量的值可知,弹簧刚度 ${x_1}$ 和静环端面环厚 ${x_2}$ 对固有频率的影响程度较大,弹簧座环尾环厚 ${x_4}$ 的影响较小,对于干气密封参数设计时,弹簧刚度 ${x_1}$ 和静环端面环厚 ${x_2}$ 对固有频率的影响程度应考虑在内。

4 结 论

为进一步实现干气密封装置的密封绝对可靠性,通过密封气膜与浮动环的设计关系,提出对于浮动环系统的动态特性进行分析研究,完成了干气密封动态特性优化;建立浮动环系统有限元参数化模型并完成预应力模态分析,设计多级离散化操作条件下浮动环系统的轴向振动加速度以及泄漏量的测试实验,通过实验验证了分析模型的准确性;将Box–Behnken试验设计与响应面方法相结合以较少试验设计组数准确地分别获得优化目标和约束条件关于优化参数的完整二次多项式响应面模型,基于粒子群优化的速度–位移寻优模型,以浮动环系统固有频率为优化目标函数,系统静变形量小于要求值为约束条件完成高效快速优化,使得系统固有频率值提高到了高于工况最高转速,并获得优化参数与系统固有频率的正反比关系;最后,通过投影追踪分析理论得到优化参数对系统固有频率的影响程度,实现了高参数条件下运行的复杂干气密封装置优化和参数设计。

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