隔震技术经数十年的发展，已成为一种成熟可靠的减震技术手段^[1–2]。在“5·12”汶川大地震之后，隔震技术得到了迅猛的发展与推广应用，从震前约600栋发展到现在6 000多栋隔震建筑。仅在汶川一地，就有汶川第一幼儿园、汶川第二小学、映秀小学、七盘沟安置房等建筑采用了隔震设计。传统隔震支座由于造价较高，需专门的施工机械，在广大经济欠发达的村镇地区迫切需要开发具有低造价、高性能的新型隔震支座。为了降低成本，Kell $ y$ ^[3]首先提出了采用纤维布代替钢板的纤维增强隔震支座，引起了各国学者的广泛关注。但纤维加劲层平面外刚度较小，对橡胶层的约束作用有限，导致支座竖向承载力小、水平方向变形能力不足。Tan等^[4]研发了一种采用纤维增强工程塑料板作为加劲层的高性能、低造价隔震支座，加劲层面外刚度更高，对橡胶约束作用更强，隔震支座的力学性能稳定，极限变形能力充足，隔震效果明显；包括方形和条形两种形状，与村镇低矮房屋构造相匹配，具有成本低廉、构造简单、便于安装等优点^[5]。目前已在四川、海南等地建设有示范工程，相关技术已纳入在编的《建筑隔震设计规范》。

传统叠层钢板隔震支座解析刚度的计算方法，普遍采用Gent等^[6]提出的计算公式，假定钢板的刚度无穷大，而纤维增强材料的刚度远小于钢板，属于柔性加劲层。有关柔性加劲层隔震支座的理论研究，Kell $ y$ 等^[7]最早引入了基于抛物线假定的位移函数，基于橡胶应力的静水压力假定和不可压缩假定，推导了无限长隔震支座的解析刚度。Tsai等^[8]基等于橡胶不可压缩假定，推导了矩形隔震支座的解析刚度。在工程实践中，橡胶的体积模量对隔震支座的刚度影响是很大的，因此不可压缩假定是不合理的。Angeli等^[9]首次推导了考虑橡胶可压缩性的矩形隔震支座的压缩模量和弯曲模量的解析解，解的表达式为双重级数形式。Kell $ y$ 等^[10]基于Angeli的研究，重新求解偏微分方程，将压缩模量的双重级数表达式简化为单级数形式。

以上解析解的表达式为超越函数的无穷级数形式其运算复杂，不便于工程设计。作者基于Kelly求解压缩模量和Angeli求解弯曲模量建立的偏微分方程，引入加权残值法进行近似求解，拟得到隔震支座在压缩和纯弯曲状态下橡胶应力的简化解，并进一步推导隔震支座的压缩模量、弯曲模量、加劲层应力分布及支座极限面压的简化公式。通过参数分析研究各简化公式的适用范围，最后通过试验验证本文所提出简化公式的合理性。由本文推导得到的有关简易隔震支座力学性能的一系列简化公式，对于在广大经济欠发达的村镇地区推广高性能、低造价隔震支座技术，具有重要的现实意义。

1 高性能低造价隔震支座解析解 1.1 高性能低造价隔震支座

作者研发的高性能、低造价隔震支座采用纤维增强不饱和聚酯、纤维增强环氧树脂等工程塑料板替代传统隔震支座中的钢板，且去掉连接钢板，通过嵌固等方式连接安装，主要用于经济欠发达的村镇地区的低矮房屋隔震^[11]。主要产品包括方形和条形，支座构造如图1所示。

1.2 隔震支座力学性能解析解

高性能低造价隔震支座基本力学性能由柔性加劲层的纤维增强隔震支座的解析公式计算。以1层橡胶和2层加劲层作为1个分析单元，在轴压力 $ P$ 作用下的变形及Kelly解的坐标系如图2（ $ {\rm a}$ ）所示。在弯矩 $ M$ 作用下的变形及Angeli解的坐标系如图2（ $ {\rm b}$ ）所示。其中， $ t$ 为橡胶厚， $ t_{\text{f}}$ 为加劲层厚，平截面长 $ a$ ，宽2 $ b$ ， $\Delta $ 为压缩变形， $ \theta$ 为变形后加劲层夹角。

基于静水压力假定，橡胶层正应力分量均等于静水压力 $ p$ ，Kelly等^[10]建立的压缩状态的平衡方程见式（1），归一化的压缩模量解析解见式（2）：

${\nabla ^2}p - (\frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}{{{a^2}}})p = - \frac{{12G}}{{{t^2}}}\frac{\varDelta }{t}$

(1)

${E_{\rm c}} = 8K\sum\limits_{n = 1, 3, 5, \cdot\cdot}^\infty {\frac{{{\beta ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {n^2}{{\text{π}} ^2}}}} \frac{1}{{{n^2}{{\text{π}} ^2}}}\left( {1 - \frac{{\tan\,{\rm h} (\lambda )}}{\lambda }} \right)$

(2)

其中， ${\alpha ^2} = \displaystyle\frac{{24G{a^2}}}{{{E_{\rm f}}{t_{\rm f}}t}}$ ， ${\beta ^2} = \displaystyle\frac{{12G{a^2}}}{{{t^2}K}}$ ， $ G$ 为橡胶剪切模量， $ K$ 为橡胶体积模量， $ \lambda$ 是关于 $ \alpha$ 、 $ \beta$ 的函数。

基于静水压力假定，Angeli等^[9]建立的纯弯状态的平衡方程见式（3），归一化的弯曲模量解析解见式（4）：

${\nabla ^2}p - \left(\frac{{2{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}{{{a^2}}}\right)p = \frac{{12G}}{{{t^2}}}\frac{{\theta x}}{t}$

(3)

${E_{\rm b}} = \sum\limits_{n, m = 1}^\infty {\frac{{576G{{\sin }^2}\left( {\displaystyle\frac{{m{\text{π}} }}{2}} \right){{(n{\text{π}} \cos (n{\text{π}} )- \sin (n{\text{π}} ))}^2}}}{{{m^2}{n^4}{{\text{π}} ^6}{t^2}[{{\left(\displaystyle\frac{{2n{\text{π}} }}{a}\right)}^2} + {{\left(\displaystyle\frac{{m{\text{π}} }}{{2b}}\right)}^2} + \displaystyle\frac{{2{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}{{{a^2}}}]}}} $

(4)

2 加权残值法

由于解析解包含多个变量，常用的数值解法无法得到具有一般性的结论。引入加权残值法求解，旨在得到形式简单、具有一般性、且可以在一定范围内确保精度的半解析解。

加权残值法是一种求解微分方程近似解的数学方法，通过假设的试函数，引入微分方程及边界条件，将得到的残值与选择的权函数相乘，在解的域内消除，求得试函数中的待定系数，从而得到微分方程的近似解^[12]。具体流程如图3所示：

对于研究的高性能低造价隔震支座的应力问题，可假定应力解的试函数为：

${\textit{z}}= \sum\limits_{i = 1}^m {{C_i}{N_i}(x, y)} $

(5)

式中， ${N_i}(x, y)$ 是基函数， ${C_i}$ 是待定系数。

采用内部法求解待定系数，即令试函数在边界上严格满足力边界条件：

${N_i}\left( \pm \frac{a}{2}, y\right) = 0; \;\;{N_i}(x, \pm b) = 0$

(6)

在定义域内一般不满足域内微分方程：

$Lp - f = 0$

(7)

式中， $ L$ 是域内的微分算子， $ p$ 为隔震支座的真实应力解， $ f$ 为域内不含 $ p$ 的已知函数。以 $ {\textit{z}}$ 代替 $ p$ ，于是出现内部残值：

${R_v} = L{\textit{z}} - f \ne 0$

(8)

采用配点法在定义域内在统计意义上消除残值，即用狄拉克函数作为权函数，满足：

$\int {{W_i}} {R_V}{\rm d}V = 0$

(9)

对于2维问题，狄拉克函数：

${W_i} = \delta (x-{x_i})\delta (y-{y_i}) = \left\{ \begin{aligned}& \infty, \;x = {x_i}{\text{且}}y = {y_i}{\text{；}}\\& 0,\;\;x \ne {x_i}{\text{或}}y \ne {y_i}\;\end{aligned} \right.$

(10)

代入式（9），则2维问题的配点法为：

${R_{\rm V}}\left( {{x_i}, {y_i}} \right) = 0$

(11)

即将 $ m$ 个配点坐标（ $ x_{\text{i}}$ ， $ y_{\text{i}}$ ）( $ i$ =1，2， $\cdots, m$ )代入 $R_{\text{v}}$ 时为零，则可以得到 $ m$ 个代数方程，联立可解得待定系数 $C_{i}$ 。配点的位置以使近似解达到精度标准为原则，通过试算确定，一般以在定义域内均匀分布为优^[12]。

3 轴压分析的简化计算 3.1 应力分布简化公式

对支座应力解析解和有限元结果进行拟合与试算发现橡胶层应力沿短边方向的分布用4次多项式拟合具有很高的精度，而沿长边方向的分布随长宽比的增大需更高阶多项式拟合。由于常用的隔震支座长宽比较小，可假定橡胶层应力分布沿两方向均用4次多项式表示，考虑力边界条件（9），和截面的几何对称，其应力分布的试函数可取为：

${{\textit{z}}_1} = {C_1}\left( {{{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}^2} + {C_2}} \right)\left( {{{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)\left( {{y^2} + {C_3}} \right)\left( {{y^2} - {b^2}} \right)$

(12)

式中， $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ 为待定系数。 $ {\textit{z}}_1$ 和轴压力 $ P$ 应有以下关系：

$\iint_\Omega {{{\textit{z}}_1}}{\rm d}x{\rm d}y = P$

(13)

将式（12）代入式（13）得：

$\begin{aligned}[b] & \frac{1}{{450}}{b^5}{a^5}{C_1} + \frac{2}{{45}}{b^5}{a^3}{C_1}{C_2} + \frac{1}{{90}}{b^3}{a^5}{C_1}{C_3} + \\ & \quad\quad \frac{2}{9}{b^3}{a^3}{C_1}{C_2}{C_3} = P \end{aligned}$

(14)

经过大量试算，在（0，0）、（ $ a$ /2，0）、（ $ a$ ，0）、（ $ a$ /2，± $ b$ ）5个点配点求得的近似解具有较高的精度。为了求解方便，定义参数 $Q = - \displaystyle\frac{{2{a^3}b}}{{{\beta ^2}K}}{E_{\rm c}}$ ，则式（1）等号右边简化为 $ P$ / $Q$ 。将式（12）代入式（1），由于对称性，得到3个方程，与式（14）联立可求得：

${C_1} \!=\! \frac{{450\left( {5{\gamma ^2} \!-\! 2\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \!+\! 48} \right)\left( {5{\gamma ^2} \!+\! 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \!-\! 8} \right)P}}{{{a^5}{b^5}\left( {5{\gamma ^2} \!+\! 348\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \!+\! 48} \right)\left( {5{\gamma ^2} \!+\! 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \!+\! 1\;392} \right)}}\!\!\!\!$

(15)

${C_2} = \frac{{70{a^2}}}{{5{\gamma ^2} + 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} - 8}}$

(16)

${C_3} = \frac{{70{a^2}}}{{5{\gamma ^2} - 2\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 48}}$

(17)

$Q = \frac{{ab\left( {5{\gamma ^2} + 348\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 48} \right)\left( {5{\gamma ^2} + 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 1\;392} \right)}}{{78\;750\left( {5{\gamma ^2} + 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 48} \right)}}\!\!\!\!$

(18)

式中： ${\gamma ^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$ ；无量纲参数 $\gamma$ 为隔震支座轴压性能的特征参数，综合体现隔震支座的几何尺寸及材性特征。 $\gamma$ 随支座边长 $ a$ 和橡胶剪切模量 $ G$ 的增大而增大，随橡胶体积模量 $ K$ 、加劲层弹性模量 $E_{\text{f}}$ 、橡胶层厚度 $ t$ 、加劲层厚 $ t_{\text{f}}$ 的增大而减小。将式（15）～（17）代入式（12），即为橡胶层应力分布函数的简化公式。当 $ a/b$ =2时，沿 $ x$ 轴线的分布绘制如图4所示。近似解在两端和Kelly解^[10]基本重合。对于中间区域的应力，随着 $\gamma $ 的增加，近似解的峰值点逐渐下降，当 $\gamma$ 取7时，最大误差小于10%。

3.2 轴压强度简化公式

高性能、低造价隔震支座的加劲层刚度和强度都较普通钢板支座低，在轴压试验中，支座的破坏形态表现为纤维加劲层的拉断^[11]。因此有必要研究加劲层的应力分布，以及加劲层材料强度控制的支座极限面压。加劲层位移函数和橡胶应力有以下关系^[10]：

${u_{1, x}} = {v_{1, y}} = \frac{p}{{({E_{\rm f}}{t_{\rm f}}/t)}}$

(19)

式中， $u_{1,x}$ 、 $v_{1,y}$ 分别为加劲层在 $ x$ 、 $ y$ 方向的位移。假定材料为线弹性，则有：

${\sigma _{1x}} = {\sigma _{1y}} = p\frac{t}{{{t_{\rm f}}}}$

(20)

将橡胶层应力分布简化式（12）代入，即得加劲层应力分布的简化公式。

当加劲层应力达到抗拉强度 ${\sigma _{{\rm fm}}}$ 时，橡胶层最大应力为：

${p_{\rm m}} = \frac{{{t_{\rm f}}}}{t}{\sigma _{{\rm fm}}}$

(21)

基于支座的几何对称性可知，橡胶层应力在（ $ a$ /2，0）处取最大值，坐标代入式（12）即求得 $ p_{\text{m}}$ 表达式。由式（15）可知橡胶应力 $ p$ 是支座压力 $ P$ 的函数，因此极限状态下支座的压力 $ P_{{\text{ma}}x}$ 可由 $ p_{\text{m}}$ 的表达式直接得到，支座压缩强度为：

${\sigma\!_{{\rm vm}}} = \frac{{{P_{\max }}}}{A}$

(22)

通过式（21）消去 $ p_{\text{m}}$ ，整理可得支座的压缩强度

${\sigma\!_{{\rm vm}}} = \frac{{[5{\gamma ^2}{b^2} + 12{a^2} + 48{b^2}]}}{{84{{(a + 2b)}^2}}}\frac{{{E_c}}}{{G{S^2}}}\frac{{{t_{\rm f}}}}{t}{\sigma\!_{{\rm fm}}}$

(23)

特别的，对于正方形支座，压缩强度为：

${\sigma\!_{{\rm vms}}} = \frac{{{{({\gamma ^2} + 288)}^2}}}{{176\;400}}\frac{{{t_{\rm f}}}}{t}{\sigma\!_{{\rm fm}}}$

(24)

由于压缩强度公式只是橡胶应力 $ p$ 的函数，因此精度与 $ p$ 相同，即对于正方形隔震支座，当 $\gamma$ 不大于7时，简化公式误差控制在10%以内。

3.3 压缩模量简化公式

由式（18）和参数Q的定义，求得标准化的压缩模量的简化公式为：

$\frac{{{E_{\rm c}}}}{{G{S^2}}} = {\frac{{\left( {5{\gamma ^2} + 348\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 48} \right)\left( {5{\gamma ^2} + 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 1\;392} \right)\left( {1 + \displaystyle\frac{{2b}}{a}} \right)}}{{13\;125\left( {5{\gamma ^2} + 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 48} \right)}}^2}$

(25)

其中，形状系数 $S = \displaystyle\frac{{ab}}{{(a + 2b)t}}$ 。对式（25）进行参数分析。为了便于分析，定义无量纲参数 ${\alpha _1}^2 = \displaystyle\frac{{24G{S^2}t}}{{{E_{\rm f}}{t_{\rm f}}}}$ ， ${\beta _1}^2 = \displaystyle\frac{{12G{S^2}}}{K}$ 。支座的参数取值范围一般为： $G \in [0.4, 0.6];$ ${E_{\rm f}} \in [3 \times {10^3}, 20 \times {10^3}]$ ; $t \in [3, 5]$ ; ${t_{\rm f}} \in [1.5, 3]$ ; $a \in [80, 480];$ $b \in [40, 120]$ ，求得 ${\alpha _1}$ 和 ${\beta _1}$ 的定义域为 ${\alpha _1} \in [0, 3]$ ， ${\beta _1} \in [0, 2]$ ，则压缩模量的解析解和近似解如图5所示。随着 $ \alpha_1$ 和长宽比增大，解析解均减小，而近似解随着长宽比增大表现出的规律正相反，当 $ a/b$ 大于6，即长宽比大于3时，误差明显过大。

压缩模量的简化公式的误差分析如图6所示。令容许误差为10%，则支座长宽比为1时，近似解的适用范围为 $\gamma$ <5.5。支座长宽比为2时，近似解的适用范围为 $\gamma$ <4。该范围较图4确定的 $ p$ 的简化公式的适用范围小。而 $E_{\text{c}}$ 的误差全部来源于 $ p$ ，说明橡胶层应力分布的简化公式（12）在轴线上精度较高，而在轴线以外区域精度相对较低。则认为橡胶层应力在轴线以外区域分布的简化公式，适用范围与 $E_{\text{c}}$ 的简化公式一致。

特别的，当 $ a=2b$ 时，即正方形支座，式（25）简化为：

$\frac{{{E_{\rm c}}}}{{G{S^2}}} = \frac{4}{{525}}\frac{{{{\left( {{\gamma ^2} + 288} \right)}^2}}}{{5{\gamma ^2} + 96}}$

(26)

4 弯曲模量的简化计算

采用加权残值法求解弯曲模量的过程与求解压缩模量相似。支座发生图2所示弯曲变形，则应力沿 $ x$ 轴应为中心对称分布，沿 $ y$ 轴为轴对称分布。且满足力边界条件（6）。为了尽可能使弯曲模量的解得到简化，经过试算，选取应力分布试函数：

${\textit{z}} = {C_1}\left( {{x^3} -\frac{{{a^2}}}{4}x} \right)\left( {{y^2} + {C_2}} \right)\left( {{y^2} -{b^2}} \right)$

(27)

该分布函数积分得到的合力矩等于作用弯矩 $ M$ 。在 $( \pm \displaystyle\frac{{\sqrt 3 a}}{6}, 0)$ ， $( \pm \displaystyle\frac{{\sqrt 3 a}}{6}, \pm b)$ ，（0，0）配点，共3个方程，可求得待定系数和弯曲模量 $E_{\text{b}}$ ，标准化的弯曲模量的简化公式为：

$\frac{{{E_b}}}{{G{S^2}}} = \frac{{12\left( {2{\alpha ^2} + {\beta ^2} + 60\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 36} \right){{\left( {1 + \displaystyle\frac{{2b}}{a}} \right)}^2}}}{{25\left( {10{\alpha ^2} + 5{\beta ^2} + 12\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 180} \right)}}$

(28)

定义隔震支座抗弯性能的特征参数：

${\gamma _1}^2 = 2{\alpha ^2} + {\beta ^2}$

(29)

根据前文的参数取值范围，则 ${\gamma _1} \in (0, 10]$ 。式（28）误差分析如图7所示。令容许误差为10%，则长宽比为1时，适用范围为 $\gamma_1$ <7.5。长宽比为1.5时，在定义域内均适用。对于其他长宽比，由于用4次多项式拟合应力分布的误差较大，式（28）不适用。

特别的，当 $ a=2b$ 时，

$\frac{{{E_b}}}{{G{S^2}}} = \frac{{48\left( {{\gamma _1}^2 + 276} \right)}}{{25\left( {5{\gamma _1}^2 + 228} \right)}}$

(30)

5 试验验证  

对4组不同类型的支座进行了轴压试验，3组长宽比为1，一组长宽比为2， $\gamma$ 从2.533变化到4.678，具有一定的代表性，具体参数如表1所示。试件样品如图8所示。加载设备为广州大学工程抗震研究中心的载重500 t的隔震支座拉/压剪试验系统。轴向为力控加载，设计压应力（5 $ \pm $ 30%） MPa循环4圈，取第3圈数据计算刚度。

从对比结果可见，近似解的最大误差6.3%，具有足够的精度，验证了近似解的合理性。值得注意的是，表2中B4支座近似解的误差比解析解更小。一方面由于系统误差的存在，且各组试件的试验值均有一定离散性；另一方面由于解析方法对隔震支座加劲层的约束作用进行了解耦的假定^[10]以简化问题，因此对支座刚度的估计可能偏小，而图9表明，随着 $\gamma$ 增加，压缩模量的近似解相对于解析解逐渐偏高，因此可能出现近似解误差更小的情况。

6 结　论

1）提出了高性能、低造价隔震支座基本力学性能的简化计算方法。通过构造试函数，采用加权残值法求得该型支座在轴压和纯弯曲状态下橡胶层应力分布、支座极限面压、压缩模量和弯曲模量的一系列简化公式。

2）参数分析表明，本文给出的简化公式误差可控制在10%以内。简化公式随参数 $αb$ 、 $βb$ 的变化规律与解析公式一致，随着长宽比和特征参数 $\gamma$ 或 $\gamma_1$ 的增加，误差增大但可控。对于方形隔震支座：应力分布和压缩模量简化公式适用于 $\gamma$ 小于5.5，支座极限面压适用于 $\gamma$ 小于7，弯曲模量简化公式适用于 $\gamma_1$ 小于7.5，可覆盖大部分常用的高性能、低造价隔震支座，且精度的提高可通过优化应力试函数实现，如提高试函数多项式的次数或选取更合适的函数类型等。

3）通过4组典型支座的轴压试验，对压缩模量的简化公式进行了验证。试验结果表明简化公式误差小于6.3%，具有足够的精度。由于弯曲模量不能通过试验直接测得，本文中仅与解析公式对比。其简化公式的准确性有待进一步试验验证。

本文所提出的高性能、低造价隔震支座的简化计算方法，可推广到采用其他加劲材料、具有任意截面形状的叠层橡胶隔震支座力学性能的简化求解。对推广高性能、低造价简易隔震技术的应用具有重要的现实意义。