地下病害是导致道路塌陷事故频发的根本原因，对人的生命安全及城市交通、通讯、供水、供电等城市生命线工程造成严重威胁^[1–3]。随着城市地下空间的开发与城市基础设施的逐渐老化，在不良地质条件、水动力作用、工程施工扰动^[4]、管线渗漏及既有空洞等因素的综合作用下，导致地下病害大量形成。目前针对地下病害的检测方法有探地雷达法、高密度电法和面波法等^[5]。其中，地质雷达法以其无损、高效、结果直观的优点被广泛应用于地下病害检测^[6]。但如何对检测到的病害的危险性做出合理评估，指导道路的养护维修，是市政基础设施运维管理亟需解决的难题。因此，开展城市地下病害体的风险评估研究具有重大现实意义。

目前，针对地下病害风险评估的研究主要集中在冻土、盐渍土等特殊地质条件地区公路病害。如汪双杰等^[7]建立了多年冻土区公路病害识别模糊专家系统，对公路病害路段的病害度进行评估；霍明等^[8]利用模糊推理对多年冻土区公路路基病害的严重程度进行预警；康世飞^[9]综合运用层次分析法与多级模糊评判对盐渍土地区公路主要病害进行评价。也有学者针对某一种病害进行风险评估研究。如叶远春等^[10]综合运用德尔菲法、模糊层次分析法等，阐述了一套城市道路空洞病害的风险评估方法。综上可知，已有的针对城市地下病害风险评估的研究较少，且所使用的评估方法只考虑模糊性。

城市地下环境的复杂性及病害影响因素的多样性导致了地下病害的风险评估问题兼具模糊性与随机性。云模型作为一种新型定性定量转换模型，可同时兼顾模糊性与随机性对病害风险进行全面评估。因此，作者基于云模型构建城市地下病害风险评估模型，通过引入集对理论改进云模型的相似度计算方法，利用最小二乘法对主观云权重与客观Critic权重进行组合优化，并通过贵阳市某道路的病害检测实例对模型进行验证，为建立适用于城市地下病害的风险评估方法提供理论基础。

1 云理论与集对理论简述 1.1 云模型理论

云模型是由李德毅院士提出的一种定性概念与定量描述的不确定转换模型，兼具自然语言中定性概念的模糊性与随机性^[11]。云模型用期望Ex（expected value）、熵En（entropy）、超熵He（hyper entropy）3个数字特征来整体表征一个概念^[12]。其中，高斯云模型是基于概率论中的高斯分布及模糊数学中的钟形隶属函数发展而来的一种云模型，具有普适性^[13]，因此应用广泛。

由于地下病害影响因素众多，各种诱因对病害产生和发育过程的影响机理尚未完全揭示，因此地下病害风险评估问题兼具模糊性和随机性。通过引入研究模糊性与随机性关联的云理论，可很好地解决地下病害风险的定量评估问题。

1.2 集对分析理论

集对分析是由中国学者赵克勤提出的一种研究确定性与不确定性相互作用的分析理论^[14–15]，在一定问题背景下对两个集合的特性进行同异反分析，并在此基础上开展预测、风险控制等问题的研究。

在集对分析中，联系度用于在具体问题背景下对集对特性进行数学分析。其中，同一度与对立度的比值称为集对势^[16]，反映了两个集合的同异反联系趋势，计算公式如式（1）所示：

$\left\{ \begin{aligned} & \mu {\text{ = }}a + bi + cj,\\ & a + b + c = 1, \\ & shi(H) = a/c \end{aligned} \right. $

(1)

式中： $\mu $ 为联系度； $a$ 为同一度； $b$ 为差异度； $c$ 为对立度； $i$ 为差异度系数，在区间[–1,1]根据不同情况取值； $j$ 为对立度系数，取常数–1； $shi$ （H）表示集对H的集对势。

用云模型最终评估地下病害风险等级，是一个云模型相似度计算问题，传统云模型相似度计算方法无法适用于所有的云模型形态。通过引入集对理论，改进云模型相似度计算方法，将云模型生成的云滴转化为集对，可提高病害风险等级判别的准确性。

2 地下病害风险评估模型创建

城市地下病害风险评估云模型的计算流程如图1所示，主要步骤为：

1）依据地下病害风险评估体系，从地质雷达检测数据及地质资料中提取指标实测值；

2）通过指标量化标准，将指标实测值转化为指标风险值区间；

3）利用逆向高斯云算法将指标转化为指标云；

4）计算云权重和Critic权重，进而计算得到优化的最小二乘法云–Critic耦合权重；

5）由指标云和云–Critic耦合权重依据评估体系逐层计算，最终得到综合云；

6）依据标准划分病害风险等级并生成等级云；

7）采用基于集对理论的云模型相似度计算方法，判定综合云隶属的等级云，确定病害风险等级。

2.1 风险评估体系建立

城市地下病害影响因素复杂，依据《城市道路与管线地下病害探测及评价技术规范（DB11/T-1399—2017）》^[17]，从风险发生概率和风险后果两方面，建立城市地下病害风险评估体系及指标量化标准。风险评估体系如图2所示，指标量化标准以几个代表性指标为例，见表1。

在图2所示的风险评估体系中，地下病害体规模指地下病害体的投影面积；覆跨比指病害上覆土层厚度与病害纵向跨度之比，表1中用r表示覆跨比；道路现状指路面损坏程度；病害体与管线相对位置指病害与管线的水平距离；地下构筑物指病害与构筑物边界的最小距离与病害体最大跨度之比；地面设施指设施边界与病害的最小距离与病害体最大跨度之比；施工干扰指施工边界与病害体的最小距离；地表荷载指道路类型及其荷载情况；水环境条件指地表排水条件，是否有积水等；设施危险性指病害体最大跨度两倍范围内有无危险设施，表1中用l表示病害体最大跨度；人员密度、财产密度和社会影响分别指病害发生区域周边是否存在人员密集、财产密集场所及类似领事馆的重要场所。

表1依据文献[17]给出了不同影响因素中代表性指标的量化标准。评估指标量化需根据病害的地质雷达检测结果及周边环境调研数据等确定各指标满足的定性或定量评价依据，进而确定指标所在的风险区间，并采用指标云生成算法转化为指标云。

2.2 指标云生成

采用基于云模型2阶中心矩和4阶中心矩的逆向高斯云算法生成指标云模型。算法步骤如下：

计算指标云的期望如式（2）所示:

$Ex = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} $

(2)

式中， ${x_i}$ 为指标第 $i$ 个样本值， $n$ 为样本值总数。

计算指标2阶中心矩 ${C_2}$ 和4阶中心矩 ${C_4}$ 见式（3）：

$\left\{ \begin{gathered} {C_2} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - Ex)}^2}}, \hfill \\ {C_4} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - Ex)}^4}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(3)

根据高斯云分布的性质，联立方程组：

$\left\{ \begin{aligned} & D(X) = E{n^2} + H{e^2}{\text{ = }}{C_2}, \\ & E\left\{ {{{\left[ {X - E(X)} \right]}^4}} \right\} = 9H{e^4} + 18H{e^2}E{n^2} + 3E{n^4} = {C_4} \end{aligned} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!$

(4)

式中， $X$ 为指标的样本集，E(X)为X的平均值， $D$ （ $X$ ）为 $X$ 的方差， $En$ 为指标云的熵， $He$ 为指标云的超熵。

解方程组得指标云的熵 $En$ 和超熵 $He$ ：

$\left\{ \begin{gathered} En = \sqrt[4]{{\frac{{9C_2^2 - {C_4}}}{6}}},\quad\quad \\ He = \sqrt {{C_2} - \sqrt {\frac{{9C_2^2 - {C_4}}}{6}} }\end{gathered} \right. $

(5)

需要注意的是，除了评估体系中的最底层指标，其他指标风险值的获取均需要对该指标云使用正向云发生器获得。

2.3 改进的云–Critic耦合权重研究

作者为科学分配指标云的权重，基于主观权重法—云权重和客观权重法—Critic权重，提出一种优化的最小二乘法云–Critic耦合权重。

2.3.1 云权重与Critic权重概述

云权重基于云理论，将表征指标重要程度的论域设定为[0，1]，依据专家对重要性的语言评价值及其对应论域区间转化为相应的权重云模型^[18]。权重云计算公式为：

$ E{x_i} = \left\{ \begin{aligned} & X_i^{\min },i = 1; \\ & \frac{{X_i^{\max } + X_i^{\min }}}{2},1 < i < n; \\ & X_i^{\max },i = n \\ \end{aligned} \right. $

(6)

$E{n_i} = \frac{{X_i^{\max } - X_i^{\min }}}{{2.355}} $

(6.1)

$H{e_i} = \eta $

(6.2)

式中： $E{x_i}$ 为等级云 $i$ 的期望； $E{n_i}$ 为等级云 $i$ 的熵； $H{e_i}$ 为等级云 $i$ 的超熵； $X_i^{\min }$ 为病害等级 $i$ 的风险值下界， $X_i^{\max }$ 为上界； $\eta $ 为等级云的厚度，该值与等级云风险区间划分的随机性成正比，因此取值不宜过大，经试验取值0.005。

将权重云划分为5级，依据不同评价语言值均匀划分权重区间，利用式（6）～（8）将区间转化为权重云，权重云划分见表2。计算主观云权重时，首先依据《城市道路与管线地下病害探测及评价技术规范》^[17]确定指标的相对权重范围；然后由专家意见征询结果确定具体数值，并结合表2根据数值所在区间确定各指标的权重云模型；最后，由正向云发生器生成云滴，计算云滴的均值并归一化，得到主观云权重。

Critic权重使用指标的变异性和冲突性综合衡量指标权重^[19]。其中，变异性以标准差表征同一指标不同评价对象之间的取值差距,冲突性以指标的相关系数体现。主要计算步骤如下：

计算相关系数：

${r_{xy}} = \frac{{\displaystyle\sum {(x - \bar x)} (y - \bar y)}}{{\sqrt {\displaystyle\sum {{{(x - \bar x)}^2}} \displaystyle\sum {{{(y - \bar y)}^2}} } }}$

(7)

式中， ${r_{xy}}$ 为变量 $x$ 和 $y$ 的相关系数， $\bar x$ 为变量 $x$ 的平均值， $\bar y$ 为变量 $y$ 的平均值。

计算指标信息量：

${C_j} = {\sigma _j}\sum\limits_{i = 1}^n {(1 - {r_{ij}})} ,{\rm{ }}j = 1,2,\cdots,n$

(8)

式中， ${C_j}$ 为指标 $j$ 的信息量， ${\sigma _j}$ 为指标 $j$ 的标准差， ${r_{ij}}$ 为指标 $i$ 和 $j$ 的相关系数， $n$ 为指标的数量。

计算指标权重：

${w_j} = \frac{{{C_j}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{C_j}} }},{\rm{ }}j = 1,2,\cdots,n$

(9)

需要注意的是，中间层指标的信息量需由其下级指标的信息量求和取得。

2.3.2 优化的最小二乘法云–Critic耦合权重求解

为充分考虑和平衡主客观权重的作用，采用最小二乘法将主观云权重和客观Critic权重组合并优化，使权重分配更合理。由于所有指标的主客观权重的偏差应越小越好，为此构建云–Critic耦合权重的目标函数与约束条件：

$\begin{aligned}[b]& \min H(w) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\left\{ {{{\left[ {({w_j} - {u_j}){{\textit{z}}_{ij}}} \right]}^2} + {{\left[ {({w_j} - {v_j}){{\textit{z}}_{ij}}} \right]}^2}} \right\}} },\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\& \;\;s.t{\rm{ }}\sum\limits_{j = 1}^m {{w_j} = 1,{\rm{ }}{w_j} \ge 0,{\rm{ }}j = 1,2,\cdots,m} \end{aligned} $

(10)

式中， ${w_j}$ 为指标 $j$ 的云–Critic耦合权重， ${u_j}$ 为指标 $j$ 的云权重， ${v_j}$ 为指标 $j$ 的Critic权重， ${{\textit{z}}_{ij}}$ 为指标 $j$ 的第 $i$ 个样本经过标准化的值， $m$ 为指标数量， $n$ 为样本数量。

构造拉格朗日函数求解上述模型：

$L = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\left\{ {{{\left[ {({w_j} - {u_j}){{\textit{z}}_{ij}}} \right]}^2} + {{\left[ {({w_j} - {v_j}){{\textit{z}}_{ij}}} \right]}^2}} \right\}} } + 4\lambda (\sum\limits_{j = 1}^m {{w_j} - 1} )$

(11)

式中， $\lambda $ 为拉格朗日乘数。

求解得到最小二乘法优化权重：

${{W}} = {{{A}}^{ - 1}}\left[ {{{B}} + \frac{{1 - {{{e}}^T}{{{A}}^{ - 1}}{{B}}}}{{{{{e}}^T}{{{A}}^{ - 1}}{{e}}}}{{e}}} \right]$

(12)

式中， ${{A}} = {\rm diag}\left[ {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\textit{z}}_{i1}}^2,{{\textit{z}}_{i2}}^2,\cdots,{{\textit{z}}_{im}}^2} } \right]$ 为由每个指标的标准化样本数据集的平方和所组成的对角矩阵，B = ${\left[ {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{2}({u_1} \!+\! {v_1}){{\textit{z}}_{i1}}^2,\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{2}({u_2} \!+\! {v_2}){{\textit{z}}_{i2}}^2} ,\cdots,\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{2}({u_m} \!+\! {v_m}){{\textit{z}}_{im}}^2} } } \right]^{\rm T}}$ ， ${{e}} = {\left[ {1,1,\cdots,1} \right]^{\rm T}}$ 为行数为 $m$ 的全1列向量。

2.4 综合云与等级云生成

综合云即评估体系中位于顶层的目标层云模型，由指标云及对应的云–Critic耦合权重逐层计算得到：

$\left\{ \begin{gathered} E{x^*} = \sum\limits_{m = 1}^M {(E{x_m} \times {W_m})}, \hfill \\ E{n^*} = \sqrt {\sum\limits_{m = 1}^M {({En_m^2} \times {W_m})} }, \hfill \\ \sum\limits_{m = 1}^M {(H{e_m} \times {W_m})} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(13)

式中， $E{x^*}$ 、 $En$ ^*、 $He$ ^*分别为上层云模型的期望、熵和超熵， $E{x_m}$ 、 $E{n_m}$ 、 $H{e_m}$ 分别为第 $m$ 个下级指标云的期望、熵和超熵， ${W_m}$ 为第 $m$ 个指标的云–Critic耦合权重， $M$ 为指标数量。

由于病害等级划分具有一定的模糊性和随机性，因此将病害等级这一定性概念转化为等级云表示，参考相关标准^[17]将病害划分为5级，按照式（6）～（8）生成等级云如表3所示。

2.5 基于集对理论的云模型相似度判定方法

在判定综合云隶属的风险等级云时，需计算云模型的相似度。由于生成的综合云形态多样，已有的云模型相似度计算方法并不适用于所有形态的云模型判定，例如在两个云模型的期望接近，但熵相差较大的情况下，会将相似度较高的云模型误判为相似度很低。因此提出一种新型的云模型相似度计算方法，解决综合云的风险等级判定问题。

云模型可看作由云滴组成的集合，因此可引入集对理论，将综合云分别与等级云组成集对，通过集对分析判定综合云隶属的风险等级。根据高斯云的“3 $En$ ”规则^[8]，不同云滴对定性概念的贡献度不同，且99.74%的云滴落在了区间[ $Ex$ –3 $En$ , $Ex$ +3 $En$ ]，具体分布如图3所示。

将云模型的基本元素、外围元素和弱外围元素区间分别对应集对分析中的“同”、“异”、“反”区间，见表4。统计落在3个集对区间的云滴数量及总云滴数，即可得到集对的同一度、差异度和对立度。采用集对势描述综合云与等级云的相似度，集对势最大的集对所对应的等级云即为待评估对象的风险等级。

3 工程实例验证

为验证本文模型的有效性，通过贵阳市道路检测工程实例对模型进行检验。贵阳市K64+039.8 m～K64+043.4 m 北半幅道路发生塌陷，管理部门随即将道路封闭，对道路里程K64+000 m～K64+200 m区域利用地质雷达进行检测，现场照片如图4所示。

3.1 检测结果

通过对雷达检测数据的处理和解译，结合现场调查与复测，共发现异常区域7处，包括空洞2处、严重疏松3处和一般疏松1处。详细检测结果见表5。

以6号异常为例，其雷达剖面如图5所示，其中异常区域使用矩形框标注。通过异常区域特征判定为空洞，对比图5（a）200 M天线和图5（b）400 M天线的检测结果，两者图像特征一致，基本可以确定空洞异常体的存在。

为验证检测结果的正确性，对异常区域进行开挖，6号空洞异常体开挖后的照片如图6所示。

3.2 模型评估结果

使用Matlab软件对本文提出的评估模型进行程序实现。通过地质调绘、道路设计等资料获取周边环境数据，并结合地质雷达检测结果，整理并量化为评估指标数据，输入模型进行评估。最终得到6处病害的风险等级判定云图,如图7所示。本文以6号病害为例，给出详细评估过程如表6所示。

程序模型最终计算得到6号异常对等级云的隶属度为[0,0,1.082,91,0]。可知，6号异常对等级云D的隶属度最大，且远超其他等级，因此属于D级风险。程序模型计算得到6处异常的危险性由大到小排序为[5,6,4,3,2,1]。结合表3，可知1和2号异常为B级，属于较低风险，暂不用工程处理，但应加强巡视和定期检测；3号和4号异常为C级，属于中等风险，建议进行工程处理，处理前应加强巡视；5号和6号异常为D级，属于较高风险，应尽快进行工程处理。

其中，3号病害虽为一般疏松体，但风险等级为C，且比1和2号两个严重疏松体风险等级高。这是由于3号病害的起始深度较浅，且3 m范围内有1根排水管线，增加了其危险性，因此判定结果符合客观情况。此外，5号空洞异常由于覆盖到所有车道，且具有7 m的纵向跨度，所以地下病害体规模PA1和地下病害体范围 $C$ 1都位于最高危险值区间；再加上 $C$ 2～ $C$ 5指标取值为0，导致 $C$ 1指标权重增大，因此，在综合影响下5号病害风险等级最高。

3.3 对比实验

将本文模型与层次分析法（AHP）、模糊综合评价（FCE）及模糊层次分析法（AHP+FCE）进行对比实验。使用yaahp评价辅助软件对3种评价模型建模，其中，在FCE和AHP+FCE实验中对评价等级论域风险等级由低到高赋予评价值（15、40、60、80、95）计算评测对象得分。

对比实验结果如表7所示。

表7中的病害排序从1到6表示病害危险性由严重到轻微。对AHP模型评估结果进行灵敏度分析，发现设施危险性指标 $C$ 2的灵敏度0.093 8远高于其他指标，比排在第2位的社会影响指标 $C$ 5还高出近1倍，这种情况直接导致AHP模型对部分指标过于依赖。例如 $C$ 2指标值较高的3和4号疏松异常体的风险排序明显高于5和6号空洞异常体。FCE模型存在确定权重主观性强、缺乏科学指导的问题。AHP+FCE模型虽可规避权重确定的盲目性，但仍然没有解决对部分指标过于敏感的问题，因此仍然会出现3号一般疏松体异常的风险排序高于5和6号空洞异常体的情况。

对比结果表明，本文风险评估云模型的评估结果与其他3种评估模型相比更加能反映病害等级划分的客观需求，具有更高的准确性。

4 结　论

城市地下环境复杂、影响因素众多，导致地下病害的风险评估问题兼具模糊性与随机性。因此，基于云理论和集对理论建立了考虑模糊性与随机性的城市地下病害风险评估模型，对病害风险进行全面评估，取得了如下结论：

1）本文将不确定性人工智能中研究模糊性与随机性关联的云模型引入城市地下病害的风险评估研究，并通过引入集对理论求解云模型定量相似性判定的问题。

2）结合主观云权重与客观Critic权重，将其组合并优化，提出一种利用最小二乘法优化的云–Critic耦合权重，使权重分配更符合实际。

3）通过贵阳市的工程应用，表明该模型在工程实践中具有准确性和有效性，与其他评估模型的对比实验也证明了该模型的合理性。