由于河流侵蚀、差异化剥蚀等外动力地质作用的影响，常常使陡峭高耸的岩体在其底部区域形成空腔，从而使上部岩体孤悬外凸，形成倒悬危岩体^[1–3]。从受力形式上来看，倒悬危岩体一端固定（全位移约束），另一端是完全自由端，根据悬臂梁计算理论可知，危岩体的重力等其它外力产生的合弯矩使其上部区域为受拉状态，由于岩石的抗拉强度降低，因而容易使危岩体的上部产生张拉裂缝，有利于外部地质作用对危岩体的进一步风化侵蚀，从而使其上部的裂缝往更深、更密集的趋势发展。当外力产生的合弯矩超过危岩体自身的抗倾覆弯矩时，危岩体则会突然被拉断而崩塌失稳。倒悬危岩体在我国西部山区普遍存在，随着国家重大交通工程建设的西移，铁路、公路交通设施不可避免地遇到此类危岩体路段，因此，如何评价该类危岩体的安全性，降低危岩体突然性崩塌带来的行车风险，具有重要的工程和现实意义^[4–6]。

目前分析倒悬危岩体崩塌的方法主要有两种，第一种方法是基于材料力学中的悬臂式计算理论，分析危岩体的受力状态并评价其安全性^[7–10]。例如，王根龙等^[10]根据悬臂梁最大弯曲应力分析理论，提出了岩腔极限深度的计算方法，探讨了悬臂岩体厚度、顶部裂缝深度与极限深度的变化关系，并得出了悬臂危岩体在自身重力作用下的稳定性系数计算公式。这种计算方法简便易行，可操作性强，目前主要应用于静力分析，较少考虑动荷载的影响。第二种方法是基于断裂力学理论，分析危岩体的初始裂缝在外力作用下的扩展规律。例如，何思明等^[11]基于断裂力学理论分析了危岩体裂缝扩展的条件和过程，并提出了裂缝扩展梁的计算方法，阐述了危岩体在地震作用下的崩塌机制。这种方法可以从机理上说明危岩体崩塌失稳的过程和机理，但是，计算公式复杂，在实际工程应用存在一定的难度，且目前只考虑2维模型，应用范围较小。

作者结合前人的研究成果，基于悬臂梁计算理论，分析倒悬危岩体在水平地震荷载和自身重力作用下的受力状态，把最大拉应力强度准则作为危岩体裂缝扩展的判据，研究其裂缝扩展演化过程，并把倒悬危岩体简化为三种特殊形状的悬臂梁，探讨其在地震条件下的安全性，最后通过一个工程实例验证本文方法的合理性和可行性。

1 立论依据

为了分析倒悬式危岩体在地震荷载下的受力状态，建立典型围岩体的受力分析示意图，如图1所示。假设 $Q$ 点为凹腔的最深点，过 $Q$ 点且垂直于危岩体延伸方向的平面切割危岩体得到的断面Ⅰ–Ⅰ如图2所示。该断面的形心为 $O$ 点，过 $O$ 点垂直于该断面且朝围岩体延伸方向为 $X$ 轴正向，过 $O$ 点垂直向上的直线与危岩体的上表面交于 $P$ 点， $OP$ 方向为 $Y$ 轴正向。危岩体的中心为 $G$ 点，假设 $G$ 点到Ⅰ–Ⅰ断面的距离为 ${l_x}$ ， $G$ 点在Ⅰ–Ⅰ断面的投影 $G'$ 点到 $Y$ 轴的距离为 ${l_{\textit{z}}}$ ，到 ${\textit{Z}}$ 轴的距离为 ${l_Y}$ 。危岩体的重力为 ${F_{\rm G}}$ ，方向竖直向下。

一般认为地震加速度的水平分量是导致岩体破坏失稳的诱因，因此可认为沿 $X$ 轴正向的地震加速度是最不利于危岩体的稳定，地震惯性力 ${F_{\rm A}}$ 过 $G$ 点水平向右，其大小如式（1）所示：

${F_{\rm A}}(t) = m \cdot {a_x}(t) = m \cdot g \cdot \delta (t)$

(1)

式中， $m$ 为危岩体质量， ${a_x}(t)$ 为 $t$ 时刻的的水平地震加速度， $\delta (t)$ 为地震加速度水平分量系数， $g$ 为重力加速度。假设危岩体重力产生的弯矩为 ${M_{\rm P}}$ ，其在Ⅰ–Ⅰ断面上引起的最大拉应力点为 $P$ 点，地震惯性力产生的弯矩为 ${M_{\rm J}}$ ，其在Ⅰ–Ⅰ断面上引起的最大拉应力点为 $J$ 点。显然， ${M_{\rm P}}$ 与 ${M_{\rm J}}$ 产生合弯矩 ${M_{\rm T}}$ 引起的最大拉应力点 $T$ 点应在 $P$ 和 $J$ 之间。根据弯矩计算公式， ${M_{\rm P}}$ 与 ${M_{\rm J}}$ 的表达式如下：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{\rm P}} = {F_{\rm G}} \cdot {l_x}}\text{，}&{}&{{M_{\rm J}} = {F_{\rm A}}} \!\!\!\end{array}\cdot \sqrt {l_Y^2 + l_{\textit{z}}^2} $

(2)

根据余弦定理可求得 ${M_{\rm T}}$ 的大小如下：

${M_{\rm T}} = \sqrt {M_{\rm P}^2 + M_{\rm J}^2 + 2{M_{\rm P}} \cdot {M_{\rm J}} \cdot \cos\, \theta } $

(3)

式中， $\cos\,\theta $ 为 ${M_{\rm P}}$ 与 ${M_{\rm J}}$ 的夹角余弦值，表示如下：

$\cos \,\theta = \frac{{{l_Y}}}{{\sqrt {l_Y^2 + l_{\textit{z}}^2} }}$

(4)

过 $O$ 点垂直 $OT$ 作一条直线，假设该直线为 $\varepsilon $ 轴， ${\rm I} - {\rm I}$ 界面绕 $\varepsilon $ 轴的截面抗弯模量为 ${W_\varepsilon }$ ，截面面积为 $S$ ，则 $T$ 点的拉应力 ${\sigma _{\rm T}}$ 可表示如下：

${\sigma _{\rm T}} = \frac{{{M_{\rm T}}}}{{{W_\varepsilon }}} + \frac{{{F_{\rm A}}}}{S}$

(5)

把式（1）～（4）代入式（5）得到：

${\sigma _{\rm T}}(t) = mg(\frac{{\sqrt {l_x^2 + (l_Y^2 + l_{\textit{z}}^2) \cdot {\delta ^2}(t) + 2{l_x} \cdot {l_Y} \cdot \delta (t)} }}{{{W_\varepsilon }}} + \frac{{\delta (t)}}{S})$

(6)

由式（6）可知， ${\sigma _{\rm T}}$ 是一个关于时间的函数，随着时间的变化，地震加速度水平分量不同，其拉应力大小亦不同。

根据最大拉应力准则，若某时刻（ ${t_1}$ ）危岩体最大拉应力 ${\sigma _{\rm T}}$ 超过了岩体的抗拉强度 ${f_t}$ ，则表示危岩体此时刻产生裂缝并从外往里扩展， ${t_1}$ 时刻地震加速度引起的张拉破坏区域如图3所示，根据Ⅰ–Ⅰ断面尚未断裂的部分重新确定形心位置 $O'$ 和构建 $X - Y - {\textit{Z}}$ 坐标系，并重新确定 ${l\;'_X}$ 、 ${l\;'_Y}$ 、 ${l\;'_{\textit{Z}}}$ 的取值，由此得到新的抗弯截面模量 ${W'_\varepsilon }$ 和截面面积 $S'$ ，进而得到新的最大拉应力表达式 ${\sigma '_{\rm T}}$ 。把 ${t_1}$ 下一个时刻点（ ${t_2}$ ）的地震加速度水平分量系数 $\delta ({t_2})$ 代入 ${\sigma '_{\rm T}}$ 。若 ${\sigma '_{\rm T}}$ 小于 ${f_t}$ ，则把 ${t_3}$ 时刻的地震加速度水平分量系数 $\delta ({t_3})$ 仍然代入表达式 ${\sigma '_{\rm T}}$ 计算 ${\sigma '_{\rm T}}({t_3})$ ；若 ${\sigma '_{\rm T}}$ 大于 ${f_t}$ ，则表示裂缝继续扩展，此时需要根据以上步骤重新计算第二次裂缝扩展后的最大应力表达式 ${\sigma ''_{\rm T}}$ 。依次类推，直到把所有的地震时刻点计算完毕，判断危岩体是否沿着Ⅰ–Ⅰ断面断开而发生崩塌。由此可见，估算裂缝每次的扩展量是分析判断危岩体是否发生崩塌的关键。危岩体在自身重力和地震惯性力的作用下生弯曲变形，从而使其内部积聚了弹性应变能。另外，当危岩体裂缝发生扩展时，需要克服岩体表面能。假设弹性应变能全部用于克服岩体表面能而使裂缝扩展，由此便可得到每次的裂缝扩展量。

2 两种特殊形状的倒悬危岩体

在实际工程中，在外部地质作用下形成的危岩体形状各异，皆为形状不规则的凸体。为了详细说明如何采用悬臂梁理论分析危岩体的受力状态和崩塌机理，下面以两种特殊形状的危岩体为例，详细探讨倒悬危岩体在地震荷载作用下的裂缝发展过程。作用于危岩体的地震波水平加速度解析如图4所示， ${t_n}$ 时刻的水平正向加速度为 $\delta ({t_n}) \cdot g$ 。

2.1 等截面长方体危岩体

如图5所示，假设倒悬危岩体为等截面的长方体，悬臂段的质量为 $m$ ，其中心 $G$ 到 $O$ 点的距离为 $l$ ，Ⅰ–Ⅰ截面的宽度为 $b$ ，高为 $h$ ，绕 ${\textit{Z}}$ 轴的抗弯截面模量 $W = {1 / {6b{h^2}}}$ ，截面面积 $S = bh$ 。把以上参数代入式（6）得到危岩体尚未发生开裂情况下 $P$ 点的应力计算公式：

${\sigma _{\rm T}}(t) = \frac{{mg}}{{bh}}[\frac{{6l}}{h} + \delta (t)]$

(7)

假设根据 ${t_i}$ 时刻的地震波水平分量计算出的 ${\sigma _{\rm T}}({t_i})$ 大于岩体的抗拉强度 ${f_t}$ ，则表示危岩体在 ${t_i}$ 时刻开始出现裂缝。

如图6所示，假设在 $t$ 时刻危岩体的裂缝深度为 $\alpha (t) \cdot h$ ， $\alpha (t)$ 表示某时刻顶部裂缝深度比。显然此时截面形心由 $O$ 点下降到 $O'$ 点。绕 ${\textit{Z}}$ 轴的抗弯截面模量 $W(t)$ 和截面面积 $S(t)$ 可表示如下：

$\left\{ \begin{aligned}& W(t) = \frac{1}{6}b \cdot {[1 - \alpha (t)]^2} \cdot {h^2},\\& S(t) = b \cdot [1 - \alpha (t)] \cdot h\end{aligned} \right.$

(8)

把上述参数代入式（6）得到危岩体开裂后裂缝尖端的最大拉应力 ${\sigma _{t\max }}(t)$ 表达式：

${\sigma _{t\max }}(t) = \frac{{mg}}{{[1 - \alpha (t)] \cdot bh}}[\frac{{6l}}{{[1 - \alpha (t)] \cdot h}} + \delta (t)]$

(9)

显然，当危岩体尚未开裂时， $\alpha (t)$ 等于零，此时式（9）与式（8）是相同的。假设 $t$ 时刻的地震水平向加速度使危岩体尖端拉应力达到临界状态，即 ${\sigma _{t\max }}(t) = {f_t}$ ，代入式（9）可求得 $\delta (t)$ ，进而得到 $t$ 时刻地震波水平加速度临界值 ${a_{\rm c}}(t)$ 的表达式：

${a_{\rm c}}(t) = \frac{{{f_t} \cdot [1 - \alpha (t)] \cdot bh}}{m} - \frac{{6l}}{{[1 - \alpha (t)] \cdot h}} \cdot g$

(10)

由式（10）可知，水平临界加速度值不是一个定值，其大小不仅与岩体抗拉强度相关，亦与截面形状参数相关。当某时刻 $t$ 的地震水平加速度值大于 ${a_{\rm c}}(t)$ 时，裂缝继续往深处扩展，否则，裂缝深度保持不变。特别地，令 ${a_{\rm c}}(t) = 0$ ，可得到：

$\alpha (t) \cdot h = h - \sqrt {\frac{{6mgl}}{{{f_t}b}}} $

(11)

由式（11）可知，当裂缝深度达到 $\alpha (t) \cdot h$ 时，危岩体在自重作用下处于临界状态，即对危岩体水平正向施加一个极小的外力便可使裂缝继续扩展并导致危岩体发生崩塌。因此，式（11）亦可作为判断危岩体是否发生崩塌的临界深度，用 $\Delta {h_{{\rm cri}}}$ 表示。

在 $t$ 时刻，危岩体自身重力使重心 $G$ 点的下移值为 ${Y_{\rm G}}$ ，根据悬臂梁计算理论可知：

${Y_{\rm G}} = \frac{{5mg{l^3}}}{{Eb \cdot {{[1 - \alpha (t)]}^3} \cdot {h^3}}}$

(12)

式中， $E$ 为危岩体的弹性模量。另外，地震惯性力使危岩体重心 $G$ 点往水平正向的位移值为 ${X_{\rm G}}$ ，如下所示：

${X_{\rm G}} = \frac{{mg \cdot \delta (t) \cdot (2l)}}{{E \cdot b \cdot [1 - \alpha (t)] \cdot h}}$

(13)

因此，危岩体在 $t$ 时刻积聚的弹性应变能 $\varOmega $ 可表示如下：

$\varOmega = mg[{Y_{\rm G}} + \delta (t) \cdot {X_{\rm G}}]$

(14)

假设 $t$ 时刻的地震水平加速度超过了临界加速度，裂缝扩展深度为 $\Delta h$ ，根据弹性应变能等于裂缝扩展所需的能量，可得到：

$\gamma \cdot b \cdot \Delta h = \varOmega $

(15)

式中， $\gamma $ 为岩体裂缝扩展单位面积所需的能量。由式（15）可得：

$\Delta h = \frac{\varOmega }{{\gamma \cdot b}}$

(16)

把式（12）～（13）代入式（16）得到：

$\Delta h = \frac{{{m^2}{g^2}l}}{{E\gamma h{b^2}}}(\frac{{5{l^2}}}{{{{[1 - \alpha (t)]}^3} \cdot {h^2}}} + \frac{{2\delta {{(t)}^2}}}{{[1 - \alpha (t)]}})$

(17)

显然，裂缝扩展量与地震波水平加速大小有关，亦与扩展前裂缝的深度相关。

根据式（17）可计算出每个裂缝扩展步的扩展量 $\Delta {h_i}$ ，把单次扩展量进行累计便可得到整个地震过程影响下的总扩展量 $\Delta H$ ，则危岩体截面裂缝总深度可表示如下：

$\Delta H = \sum {(\Delta {h_i})} $

(18)

若 $\Delta H$ 大于临界深度 $\Delta {h_{{\rm cri}}}$ ，则表示危岩体在地震作用下会发生崩塌失稳，反之，则表示危岩体在地震作用下仍然处于安全状态。因此，等截面长方体形式的危岩体在地震作用下的安全系数 $FOS$ 可定义为临界深度与裂缝总深度的比值，即：

$FOS = \frac{{\Delta {h_{{\rm cri}}}}}{{\Delta H}}$

(19)

$FOS$ 大于1.0表示危岩体在地震作用下仍处于安全状态，小于1.0表示危岩体会发生崩塌失稳，等于1.0则表示危岩体处于临界状态。

2.2 等截面圆柱体危岩体

如图7所示，倒悬危岩体简化为等截面圆柱体，截面圆半径为 $r$ ，截面惯性矩 $ I = {{{\text{π}} {r^4}} / 4}$ ，截面面积 $S = {\text{π}} {r^2}$ ，悬臂端质量为 $m$ ，重心 $G$ 点到Ⅰ–Ⅰ截面的距离为 $l$ 。因此，根据式（6）可得到等截面圆柱体危岩体在尚未发生张拉裂缝情况下最大拉应力的表达式：

${\sigma _{\rm T}}(t) = \frac{{mg}}{{{\text{π}} {r^2}}}[\frac{{4l}}{r} + \delta (t)]$

(20)

因此，根据式（18）可以计算危岩体尚未出现张拉裂缝情况下受地震水平加速度影响的最大拉应力，一旦某时刻的拉应力超过岩体的抗拉强度，则危岩体顶部开始出现张拉裂缝。

如图8所示，假设等截面圆柱体危岩体某时刻的裂缝深度为 $\alpha (t) \cdot h$ ，其中 $h = 2r$ 。圆形截面分为区域1（张开部分）和区域2（连接部分）。以尚未开裂的形心为参照点，区域1绕 ${\textit{Z}}$ 轴的惯性矩 ${ I_1}$ 可表示如下：

${I_1} = \frac{{{r^4}}}{4} \cdot \psi [\alpha (t)]$

(21)

式中， $\psi [\alpha (t)]$ 为裂缝深度比的函数，见式（22）：

$\psi [\alpha ] \!=\! 2(1 \!-\! 2\alpha )(1 \!-\! 8\alpha \!+\! 8{\alpha ^2})\sqrt {\alpha (1 \!-\! \alpha )} \!+\! \arcsin\,\theta $

(22)

式中， $\theta $ 的物理意义见图8，表达式如式（23）：

$\theta = \arccos (1 - 2\alpha )$

(23)

因此，区域2的绕 ${\textit{Z}}$ 轴的惯性矩 ${I_2}$ 等于整个圆截面的惯性矩减去区域1的惯性矩，即：

${I_2} = \frac{{{\text{π}} {r^4}}}{4} - \frac{{{r^4}}}{4} \cdot \psi [\alpha (t)] = \frac{{{r^4}}}{4}[{\text{π}} - \psi (\alpha )]$

(24)

另外，区域1的面积 ${S_1}$ 可表示为：

${S_1} = {r^2}(\theta - \sin \;\theta \cdot \cos\; \theta )$

(25)

由此得到区域2的面积 ${S_2}$ ：

${S_2} = {r^2}({\text{π}} - \theta + \sin\; \theta \cdot \cos\; \theta )$

(26)

根据悬臂梁计算理论，可求得区域1与区域2分解面上最大拉应力 ${\sigma _{t\max }}$ ：

${\sigma _{t\max }} = \frac{{mgl}}{{{I_2}}} \cdot [r - 2\alpha (t) \cdot r] + \frac{{m \cdot \delta (t) \cdot g}}{{{S_2}}}$

(27)

把式（22）、（24）代入式（25）可得：

${\sigma _{t\max }} = \frac{{mg}}{{{r^2}}}[\frac{{4l(1 - 2\alpha )}}{{r({\text{π}} - \psi (\alpha ))}} + \frac{{\delta (t)}}{{{\text{π}} - \theta + \sin \;\theta \cdot \cos\; \theta }}]$

(28)

当危岩体尚未开裂时， $\alpha (t)$ 恒等于零，由此得到 $\theta = 0$ ， $\psi (\alpha ) = 0$ ，代入式（26）得到的表达式与式（18）相同。

假设 $t$ 时刻的地震水平加速度使分界面处的最大拉应力达到临界状态，用 ${f_t}$ 代替式（16）中的 ${\sigma _{t\max }}$ ，可求得临界加速度 ${a_{\rm c}}(t)$ ，即：

${a_{\rm c}}(t) = [\frac{{{f_t} \cdot {r^2}}}{{mg}} - \frac{{4l(1 - 2\alpha )}}{{r({\text{π}} - \psi (\alpha ))}}] \cdot ({\text{π}} - \theta + \sin \;\theta \cdot \cos \;\theta ) \cdot g$

(29)

令 ${a_{\rm c}}(t) = 0$ ，可得到关于 $\alpha (t)$ 的超越方程，假设 $\alpha (t)$ 取 ${\alpha _{\rm c}}$ 时，该超越方程成立，因此，把 ${\alpha _{\rm c}}$ 代入式（23）和式（25）便可得到危岩体裂缝的临界面积 ${S_{{\rm cri}}}$ ，当裂缝面积（区域1的面积）大于该临界值时，危岩体在自重作用下就会发生崩塌失稳。 ${S_{{\rm cri}}}$ 可表示如下：

${S_{{\rm cri}}} = {r^2}({\theta _{{\rm cri}}} - \sin {\theta _{{\rm cri}}} \cdot \cos {\theta _{{\rm cri}}})$

(30)

式中， ${\theta _{{\rm cri}}}$ 为该临界状态下的 $\theta $ 取值。

根据悬臂梁理论，同样可求得等截面圆柱体危岩体重心处的水平位移 ${X_{\rm G}}$ 和竖向位移 ${Y_{\rm G}}$ ，即：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_{\rm G}} = \displaystyle\frac{{mg \cdot \delta (t) \cdot (2l)}}{{E \cdot {r^2}({\text{π}} - \theta + \sin\,\theta \cdot \cos\,\theta )}}} \text{，}\\ {{Y_{\rm G}} =\displaystyle \frac{{5mg{l^3}}}{{3E{r^4}[{\text{π}} - \psi (\alpha )]}}} \end{array}} \right.$

(31)

式中， $E$ 为危岩体的弹性模量。

把式（31）代入式（14）同样可以得到等截面圆柱体在 $t$ 时刻积聚的弹性应变能 $\varOmega $ 。假设 $t$ 时刻的地震水平加速度大于该时刻对应的临界加速度，裂缝将继续扩展，扩展面积 $\Delta {S_i}$ 根据下式计算：

$\Delta {S_i} = \frac{\varOmega }{\gamma }$

(32)

式中， $\gamma $ 为岩体裂缝扩展单位面积所需的能量。

显然，根据式（33）亦可计算出每个裂缝扩展步的裂缝扩展面积 $\Delta {S_i}$ ，进而得到地震影响下总扩展面积 $\Delta S$ ，则危岩体截面裂缝总面积可表示如下：

$\Delta S = \sum {(\Delta {S_i})} $

(33)

同理，若 $\Delta S$ 大于临界面积 ${S_{{\rm cri}}}$ ，则表示危岩体在地震作用下会发生崩塌失稳，反之，则表示危岩体在地震作用下仍然处于安全状态。因此，等截面圆柱体形式的危岩体在地震作用下的安全系数 $FOS$ 可定义为临界深度与裂缝总深度的比值，即：

$FOS = \frac{{{S_{{\rm cri}}}}}{{\Delta S}}$

(34)

$FOS$ 的物理意义与第2.1节相同。

3 工程应用

为了验证本文方法的可行性，以鄂西北某高速公路珠藏洞隧道进口的危岩体为研究对象，详细评价其在地震作用下的安全性。隧道进口路面紧邻峭壁，峭壁上方约10 m左右存在凸出的危岩体。通过无人机航空摄影技术对危岩体进行近景拍摄，得到危岩体的形态图，如图9所示。凹腔最深处到危岩体最前端的距离大约为8.5 m，其横截面近似为一个长方形，其长方形的宽度和高度可分别取5.0 m和7.0 m，可把该危岩体近似当作等截面长方体形式的悬臂梁进行分析。

该危岩体为灰岩，抗压强度 ${f_{\rm c}}$ 为10 MPa，抗拉强度 ${f_t}$ 约为抗压强度的1/12，可取828 kPa，弹性模量 $E$ 可取6.0 GPa，密度 $\rho $ 取2 600 kg/m^3[12]，单位面积裂缝扩展所克服的岩体表面能 $G$ 取1.2 kJ/m^2[13]。考虑8级地震烈度下的稳定性，其对应的加速度峰值取 $0.2g$ ^[14]。选用EL-Centro地震加速度时程曲线作为本文计算的地震输入荷载，其水平加速度时程曲线如图10所示。由图10可知，加速度在11 s时达到最大值，其幅值为 $0.2g$ ，与8级地震的加速度峰值相符，其整个地震波时长为52 s。

由上述条件可知，危岩体重心到潜在开裂截面的距离 $l = 4.25\;{\rm{m}}$ ，危岩体质量 $m = 7.735 \times {10^5}\;{\rm{kg}}$ ，根据式（11）可计算出该危岩体裂缝的临界深度值 $\Delta {h_{{\rm cri}}} = 0.167\,\;{\rm m}$ 。

根据式（10）可计算出该危岩体尚未开裂时的临界加速度 ${a_{\rm c}} = 0.18g$ 。显然，地震波水平加速度在11 s之前皆小于 $0.18g$ ，不会导致危岩体开裂。在11 s时，水平加速度达到峰值0.2g，因此，此时刻危岩体会出现开裂，根据式（17）可计算出此时间点裂缝扩展量 $ \Delta {h_1} = $ $0.087\,7\,\;{\rm m}$ 。因此， $t \!=\! 11\;{\rm s}$ 时的裂缝深度比 $\alpha \! =\! 0.012\,5$ 。

把 $\alpha = 0.012\,5$ 代入式（10）计算 $t = 11\;{\rm s}$ 时刻的临界加速度 ${a_{\rm c}} = 0.086g$ 。地震波水平加速度在11～14 s之间皆小于 $0.086g$ ，说明在此时间段内，裂缝不会继续扩展。当 $t$ =14 s时，地震波水平加速度为 $0.1g$ ，超过了临界加速度 $0.086g$ ，因此，在该时刻裂缝会继续扩展，把 $\alpha = 0.012\,5$ 、 $\delta = 0.1$ 等代入式（17）得到此时间点裂缝扩展量 $\Delta {h_2} = 0.088\,2\,{\rm m}$ 。两次裂缝扩展的总深度 $\Delta H$ 为0.175 9 m，超过了该危岩体的临界深度 $0.167\,{\rm m}$ ，因此，危岩体在地震第14 s时发生崩塌失稳。

从以上计算结果可以看出，危岩体在地震开始后，经历两次裂缝扩展，其累计扩展量就超过了危岩体的临界裂缝深度，从而导致崩塌失稳。从计算过程来看，随着裂缝的继续扩展，裂缝扩展的临界加速度是不断减小的，表明岩体裂缝更容易往深部延伸，通过计算每次裂缝扩展量并累加，把得到的累计扩展量与裂缝临界深度做比较，就可判断危岩体是否会发生崩塌失稳，亦可预测发生崩塌失稳的时间。

为了对比分析两种简化计算模型的差异，下面把上述倒悬危岩体简化为等截面圆柱体，采用3种简化原则对危岩体的有效半径进行简化计算：1）横截面面积相等；2）长边内切圆；3）短边内切圆。因此，3种简化方法的圆形截面有效半径 $r$ 分别等于 $\sqrt {{{35/}}{\text{π}} } \approx {{3}}{{.34}}\,\;{\rm m}$ 、 $7.0 \times 0.5 = 3.5\,\;{\rm m}$ 、 $5.0 \times 0.5 = 2.5\,\;{\rm m}$ 。根据式（20）可得到等截面圆柱体在未出现张拉裂缝时的临界加速度 ${a_{\rm c}}$ 分别是 $ - 1.26g$ 、 $ - 0.65g$ 和 $ - 4.69g$ ，皆小于0.0，由此表明，当假设为圆截面时，倒悬危岩体在自重作用下即可产生张拉裂缝，即完整截面尚不能承担自身荷载，在自身重力作用下即失稳。因此，在采用圆形截面进行简化计算时，其计算结果可能比长方形截面偏保守。

4 结　论

本文基于悬臂梁计算理论，研究了倒悬危岩体在地震条件下的起裂条件和扩展量的计算方法，探讨了危岩体的崩塌失稳机理，并通过工程实例验证了本文方法的可行性。取得的结论如下：

1）地震水平加速度超过临界加速度时，其裂缝才能往深部扩展。临界加速度不是一个定值，不仅与岩体抗拉强度、危岩体尺寸等存在关联，亦与当前裂缝深度有关。当前的裂缝深度越大，则临界加速度越小。因此，随着裂缝的继续扩展，岩体裂缝更容易往深部延伸。

2）危岩体裂缝存在一个临界深度（或临界面积），即当裂缝的实际深度（或面积）等于临界深度（或临界面积）时，危岩体仅在自身重力作用下崩塌失稳的临界状态。

3）裂缝的单次扩展量不仅与危岩体的弹性模量、几何尺寸、单位面积裂缝扩展所克服的岩体表面能等相关，亦与地震水平加速度和当前裂缝深度相关。地震水平加速度越大，单次裂缝扩展量越大；当前裂缝深度越大，单次裂缝扩展量亦越大。

4）当裂缝扩展的累积量超过临界深度（或临界面积）时，危岩体就会发生崩塌失稳。因此，临界深度（或临界面积）可作为危岩体崩塌失稳的判据。

5）危岩体的安全系数可由预测计算的裂缝深度（或面积）除以临界深度（或临界面积）表示。当安全系数大于1.0时，表示危岩体不会在地震作用下发生崩塌失稳；当安全系数小于1.0时，则表示危岩体会发生地震崩塌失稳；当安全系数等于1.0时，则表示危岩体地震后处于临界状态。

需要说明的是，本文是采用拟静力法对地震影响进行分析，尚未考虑地震加速度时程响应的累积效应对计算结果的影响，同时，由于危岩体在裂缝萌生至失稳破坏过程中皆假定为弹性体，因此，亦未考虑岩体的累积损伤，地震作用对危岩体的叠加效应主要通过最危险截面的裂缝深度累加来实现。