随着经济建设的迅速发展，交通工程日渐增多，山区道路路堑开挖容易发生边坡失稳，尤其以顺层岩质边坡最为常见。顺层岩质边坡是指层面和坡面的走向、倾向接近或大体一致的层状结构岩质边坡。边坡的加固方式有多种，其中锚杆以其施工方便、安全可靠、节约投资等优点被广泛应用。

传统锚杆一般选用钢筋作为杆体材料。工程中发现传统锚杆破坏失效主要是因为锚杆遭受腐蚀^[1]。GFRP锚杆是一种由基质材料和纤维材料复合而成的新型加固材料制成的筋材。与传统钢筋锚杆相比，其具有耐腐蚀、抗拉强度高、性价比高、耐疲劳、易成形、自重轻、方便施工等优点，通过GFRP锚杆替代钢筋锚杆用于边坡加固工程，能有效解决锚杆结构的耐久性问题^[2–4]。目前，GFRP锚杆预应力锁定方法较复杂^[5]，故以非预应力锚杆（如全长黏结型锚杆或土钉）形式加固边坡较多^[6–9]。大量研究表明，GFRP锚杆的抗拉强度、与砂浆体的黏结强度、蠕变性能等可满足工程需要^{[3–4,10–11]}。

然而，GFRP锚杆存在弹性模量小、抗剪强度较低的缺点。与土层锚杆不同，岩质边坡加固工程中的锚杆需要考虑其横向抗弯抗剪作用^[12–17]。因此，需要考虑GFRP锚杆的材料特性，对其加固顺层岩质边坡的机制进行研究。

针对岩体节理锚杆加固，许多学者考虑剪切作用，建立锚杆的力学模型。Pellet等^[13]基于最小势能原理的变分法，建立了锚杆横向剪切力与横向剪切位移和锚杆轴向力与轴向位移的关系。陈文强等^[15]基于Pellet建立的理论模型，考虑结构面剪胀性，对剪切过程中锚杆的轴向和横向作用进行力学分析，并通过室内直剪试验验证了模型的有效性。Li等^[14]基于超静定梁理论，建立了剪切作用下全长黏结锚杆的力学模型，进而分析锚杆轴力和剪力与位移之间的关系。王发玲等^[17]考虑边坡岩体与锚杆的相互作用，运用结构力学相关理论对全长黏结型锚杆加固顺层边坡的机制进行研究，提出锚杆加固顺层边坡的力学模型。

作者根据顺层岩质边坡的破坏模式，基于Winkler假定和锚杆荷载传递机理，对边坡岩体与锚杆横向和轴向的相互作用机制进行理论分析，建立剪切位移作用下锚杆的力学模型。结合GFRP锚杆的材料特性，考虑坡体剪切位移、锚杆与潜在滑面夹角及岩体无侧限抗压强度等影响因素，利用上述建立的锚杆力学模型分析GFRP锚杆加固顺层岩质边坡机制。

1 顺层岩质边坡破坏模式

顺层岩质边坡变形和破坏的影响因素很多，包括地形地貌、地质构造、地层岩性、岩体结构、水文地质特征和人类工程活动等。根据现有文献和现场调查发现，顺层岩质边坡的破坏模式主要有顺层滑移破坏、顺层滑移–拉裂破坏、楔形体滑移失稳破坏、滑移–弯曲破坏、滑移–压致拉裂破坏、滑劈破坏、陡倾岩层的弯曲–拉裂倾倒破坏、沿底部软岩塑流–拉裂破坏等^[18–19]。

主要考虑顺层岩质边坡沿潜在滑面发生顺层滑移的破坏模式。不稳定岩体发生平面滑动主要表现为边坡在自重及其他外力作用下沿软弱结构面发生顺层滑移破坏。

2 锚杆力学模型

根据顺层岩质边坡沿潜在滑面滑移的破坏模式，采用全长黏结型锚杆加固。当边坡不稳定体产生位移时，全长黏结锚杆作为被动锚杆，提供利于坡体稳定的抗力。假设不稳定体发生沿潜在滑面方向的位移 $\delta $ （一般通过坡体位移监测数据获得），则沿滑面方向可分解为垂直于锚杆方向的位移 ${\delta _{\rm{t}}}$ 和沿锚杆轴向的位移 ${\delta _{\rm{n}}}$ ， $O$ 点为锚杆与潜在滑面的交点，锚杆与潜在滑面夹角为 $\gamma $ ，L_p、L_a为以滑面为界限的锚杆各部分长度，如图1所示。

大量研究表明，在剪切位移作用下，锚杆的应力与变形沿滑面呈反对称分布。因此，可取锚杆的半边进行分析。根据锚杆与周围岩体的相对位移及岩体自身变形能力，将其分为弹性变形段和塑性变形段^[13–14,20]。假设塑性变形段的长度为 ${l_{\rm{f}}}$ ，以 $O$ 点为中心，如图2所示。

2.1 横向受力分析

考虑垂直于锚杆方向的位移 ${\delta _{\rm{t}}}$ ，锚杆与周围介质相互作用，将锚杆假设成梁^[12–16]，对锚杆的横向受力进行分析，如图2所示。

1）锚杆周围岩体弹性变形段

当剪切位移较小时，锚杆周围岩体均处于弹性阶段，岩体与锚杆完全黏结，可认为周围岩体对锚杆的反作用力符合Winkler假定^[12]。在图2的 $xA{y_1}$ 坐标系中，锚杆的挠曲微分方程为：

${E_{\rm{b}}}I\frac{{{{\rm{d}}^4}{y_1}}}{{{\rm{d}}{x^4}}} + K{\rm d}{y_1} = 0$

(1)

求解微分方程得：

$\begin{aligned}[b]{y_1}(x) = & {{\rm e}^{\alpha x}}[{A_1}\cos (\alpha x) + {A_2}\sin (\alpha x)] + \\& {{\rm e}^{ - \alpha x}}[{A_3}\cos (\alpha x) + {A_4}\sin (\alpha x)]\end{aligned}$

(2)

式中： $K$ 为反力系数， $K = \displaystyle\frac{{300{\sigma _{\rm{c}}}}}{d}$ ^[21]，kPa/m； $\alpha = \sqrt[4]{{\displaystyle\frac{{Kd}}{{4{E_{\rm{b}}}I}}}}$ ； ${\sigma _{\rm{c}}}$ 为岩体无侧限抗压强度，MPa； $d$ 为锚杆直径； ${A_1}$ 、 ${A_2}$ 、 ${A_3}$ 、 ${A_4}$ 为待定系数。上式中存在关系：转角 $\theta = \displaystyle\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}x}}$ ，弯矩 $M = - EI\displaystyle\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{x^2}}}$ ，剪力 $Q = - EI\displaystyle\frac{{{{\rm{d}}^3}y}}{{{\rm{d}}{x^3}}}$ 。锚杆末端边界条件为 ${Q_{\rm L}} = 0$ ， ${M_{\rm L}} = 0$ ；设锚杆 $A$ 点处的剪力为 $ - {Q_0}$ ，弯矩为 $ - {M_0}$ ，可求解式（2），得到锚杆位移表达式：

${y_1} = \frac{1}{{2{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}}{{\rm e}^{ - \alpha x}}[{Q_0}\cos (\alpha x) + \alpha {M_0}(\cos (\alpha x) - \sin (\alpha x))]$

(3)

2）锚杆周围岩体塑性变形段

当剪切位移增大到一定程度时，锚杆受压侧岩体被压坏， $O$ 点附近岩体出现塑性变形段，假定受压侧岩体作用于锚杆的均布反力为 ${P_{\rm{u}}}$ ，其中 $ {P_{\rm u}} = $ ${\sigma _{\rm c}}d$ ^[13–14]。如图2所示，设岩体作用于锚杆 $O$ 点处的弯矩为 $M$ ，剪力 $Q$ ，由对称性可得 $M = 0$ ；结合锚杆 $A$ 点处的受力，可得：

$\left\{ \begin{aligned}& Q = {Q_0} + {P_{\rm u}}{l_{\rm f}},\\& Q{l_{\rm f}} - \frac{1}{2}{P_{\rm u}}{l_{\rm f}}^2 - {M_0} = 0\end{aligned} \right.$

(4)

将式（4）代入式（3），得：

$\begin{aligned}[b]{y_1} = & \frac{1}{{2{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}}{{\rm e}^{ - \alpha x}}[(Q - {P_{\rm u}}{l_{\rm f}})\cos (\alpha x) + \\& \alpha (Q{l_{\rm f}} - \frac{1}{2}{P_{\rm u}}{l_{\rm f}}^2)(\cos (\alpha x) - \sin (\alpha x))]\end{aligned}$

(5)

如图2中的 ${\textit{z}}o{y_2}$ 坐标系，锚杆的挠曲微分方程为：

${E_{\rm{b}}}I\frac{{{{\rm{d}}^4}{y_2}}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^4}}} + {P_{\rm u}} = 0$

(6)

求解式（6）可得：

${y_2} = {C_1} + {C_2}{\textit{z}} + {C_3}{{\textit{z}}^2} + {C_4}{{\textit{z}}^3} - \frac{{{P_{\rm u}}}}{{24{E_{\rm b}}I}}{{\textit{z}}^4}$

(7)

由于锚杆在 $xA{y_1}$ 和 ${\textit{z}}o{y_2}$ 坐标系中的位移、转角、弯矩和剪力连续，可知边界条件为：

$\left\{ \begin{aligned}& {\left. {{y_1}} \right|_{x = 0}} = {\left. {{y_2}} \right|_{{\textit{z}} = {l_{\rm f}}}}\text{，}{\left. {y_1'} \right|_{x = 0}} = {\left. {y_2'} \right|_{{\textit{z}} = {l_{\rm f}}}}\text{，} \\& {\left. {\left[ {( - {E_{\rm b}}I)\frac{{{{\rm{d}}^2}{y_1}}}{{{\rm{d}}{x^2}}}} \right]} \right|_{x = 0}} = {\left. {\left[ {( - {E_{\rm b}}I)\frac{{{{\rm{d}}^2}{y_2}}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^2}}}} \right]} \right|_{{\textit{z}} = {l_{\rm f}}}}\text{，}\\& {\left. {\left[ {( - {E_{\rm b}}I)\frac{{{{\rm{d}}^3}{y_1}}}{{{\rm{d}}{x^3}}}} \right]} \right|_{x = 0}} = {\left. {\left[ {( - {E_{\rm b}}I)\frac{{{{\rm{d}}^3}{y_2}}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^3}}}} \right]} \right|_{{\textit{z}} = {l_{\rm f}}}}\end{aligned} \right.$

(8)

根据上述边界条件和式（5），可得：

$\left\{ \begin{aligned}& {C_1} = \frac{{Q(2{l_{\rm f}}^3{\alpha ^3} + 6{\alpha ^2}{l_{\rm f}}^2 + 6{l_{\rm f}}\alpha + 3)}}{{6{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}} - \\&\quad\quad \frac{{{P_{\rm u}}({l_{\rm f}}^4{\alpha ^3} + 4{l_{\rm f}}^3{\alpha ^2} + 6{l_{\rm f}}^2\alpha + 4{l_{\rm f}})}}{{8{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}}\text{，}\\& {C_2} = \frac{{{P_{\rm u}}{l_{\rm f}}\alpha ({l_{\rm f}}^2{\alpha ^2} + 3{l_{\rm f}}\alpha + 3) - 3Q\alpha {{({l_{\rm f}}\alpha + 1)}^2}}}{{6{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}}\text{，}\\& {C_3} = 0\text{，}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{C_4} = \frac{Q}{{6{E_{\rm b}}I}}\end{aligned} \right.$

(9)

将求得的系数 ${C_1}$ 、 ${C_2}$ 、 ${C_3}$ 、 ${C_4}$ 代入式（7），得到锚杆塑性变形段的位移方程。当 ${\textit{z}} = 0$ 时，锚杆的横向位移为：

$\begin{aligned}[b]{y_2} = {C_1} = \frac{{Q(2{l_{\rm f}}^3{\alpha ^3} + 6{\alpha ^2}{l_{\rm f}}^2 + 6{l_{\rm f}}\alpha + 3)}}{{6{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}} - \\\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{P_{\rm u}}({l_{\rm f}}^4{\alpha ^3} + 4{l_{\rm f}}^3{\alpha ^2} + 6{l_{\rm f}}^2\alpha + 4{l_{\rm f}})}}{{8{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}} = \frac{{{\delta _{\rm t}}}}{2}\end{aligned}$

(10)

根据上述分析可知，锚杆受压侧岩体由弹性变形段过渡到塑性变形段的临界位移为：

${y_0} = \frac{{{P_{\rm u}}}}{{Kd}} = \frac{{{\delta _{{\rm t}0}}}}{2}$

(11)

式中， ${\delta _{{\rm t}0}}$ 为对应岩体的临界变形。

由式（5）可知，当 $x=0$ 时，锚杆的横向位移为：

${y_1} = \frac{1}{{2{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}}}[(Q - {P_{\rm u}}{l_{\rm f}}) + \alpha (Q{l_{\rm f}} - \frac{1}{2}{P_{\rm u}}{l_{\rm f}}^2)] = \frac{{{\delta _{{\rm t}0}}}}{2}$

(12)

因此，当 ${\delta _{\rm t}} \le {\delta _{{\rm t}0}}$ 时， ${l_{\rm f}} = 0$ ，锚杆周围岩体均处于弹性变形阶段，可得：

$Q = {E_{\rm b}}I{\alpha ^3}{\delta _{\rm t}}$

(13)

当 ${\delta _{\rm t}} > {\delta _{{\rm t}0}}$ 时， ${l_{\rm f}} > 0$ ，锚杆周围岩体出现塑性变形。由式（10）和（12）可得 ${\delta _{\rm t}}$ 与 ${l_{\rm f}}$ 的关系表达式：

${\delta _{\rm t}} \!=\! \frac{{2{P_{\rm u}}[1 \!+\! 2{{({l_{\rm f}}\alpha \!+\! 1)}^3}]}}{{3Kd({l_{\rm f}}\alpha \!+\! 1)}} \!+\! \frac{{{P_{\rm u}}{l_{\rm f}}({l_{\rm f}}\alpha + 3)({l_{\rm f}}\alpha \!+\! 2)}}{{12{E_{\rm b}}I\alpha ({l_{\rm f}}\alpha \!+\! 1)}}$

(14)

因此，在给定剪切位移 ${\delta _{\rm t}}$ 时，根据式（14）可求得 ${l_{\rm f}}$ 。基于此，由式（10）可得在剪切位移 ${\delta _{\rm t}}$ 作用下锚杆所受的剪力：

$Q \!=\! \frac{{12{E_{\rm b}}I{\alpha ^3}{\delta _{\rm t}} \!+\! 3{P_{\rm u}}({l_{\rm f}}^4{\alpha ^3} \!+\! 4{l_{\rm f}}^3{\alpha ^2} + 6{l_{\rm f}}^2\alpha \!+\! 4{l_{\rm f}})}}{{8{l_{\rm f}}^3{\alpha ^3} + 24{l_{\rm f}}^2{\alpha ^2} \!+\! 24{l_{\rm f}}\alpha \!+\! 12}}$

(15)

2.2 轴向受力分析

如图2所示，设周围岩体弹性变形段锚杆的轴向位移为 ${s_1}$ ，塑性变形段锚杆的轴向位移为 ${s_2}$ ，在此基础上，基于锚杆荷载传递机理，对锚杆进行轴向受力分析。

1）锚杆周围岩体弹性变形段

假设锚杆侧面与岩体之间以切向线性弹簧联系，则锚杆的轴向受力为：

${\rm{d}}N = \tau (x){\text{π}} d{\rm{d}}x$

(16)

锚杆侧面与岩体之间剪切变形满足：

$\tau (x) = {k_{\rm s}}s(x)$

(17)

式中， $s(x)$ 为相对剪切位移， ${k_{\rm s}}$ 为剪切弹性变形刚度。

由文献[22]可知，当砂浆体与岩体特性相同时：

${k_{\rm s}} = \frac{{{G_{\rm{m}}}}}{{{r_{\rm b}}\ln (R/{r_{\rm b}})}}$

(18)

当砂浆体与岩体特性不相同时：

${k_{\rm s}} = \frac{{{G_{\rm{m}}}{G_{\rm{g}}}}}{{{r_{\rm b}}[{G_{\rm{m}}}\ln ({r_{\rm g}}/{r_{\rm b}}) + {G_{\rm{g}}}\ln (R/{r_{\rm{g}}})]}}$

(19)

式中： ${G_{\rm{m}}}$ 、 ${G_{\rm{g}}}$ 为岩体和砂浆的剪切模量， ${G_{\rm{m}}} = \displaystyle\frac{{{E_{\rm{m}}}}}{{2\left( {1 + {\nu _m}} \right)}}$ ， ${E_{\rm{m}}}$ 为岩体的弹性模量，可取 ${E_{\rm{m}}} = 350{\sigma _c}$ ^[23]； ${r_{\rm{b}}}$ 为锚杆的半径， ${r_{\rm{b}}} = d/2$ ； ${r_{\rm{g}}}$ 为钻孔半径； $R$ 为锚杆的影响半径，可取 $R = 10{r_{\rm{g}}}$ ^[24]。因此将式（17）代入式（16）可得：

${\rm{d}}N = {k_{\rm s}}{\text{π}} ds(x){\rm{d}}x$

(20)

又因为：

${\varepsilon _x} = \frac{{{\rm{d}}s}}{{{\rm{d}}x}} = \frac{N}{{{E_{\rm b}}A}}$

(21)

将式（20）代入（21）可得：

$\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}s}}{{{\rm{d}}{x^2}}} - \frac{{4{k_{\rm s}}}}{{{E_{\rm b}}d}}s = 0$

(22)

求微分方程可得：

$s(x) = {{\textit{Z}}_1}{{\rm e}^{\beta x}} + {{\textit{Z}}_2}{{\rm e}^{ - \beta x}}$

(23)

式中： $\beta = \sqrt {\displaystyle\frac{{4{k_{\rm s}}}}{{{E_{\rm b}}d}}} $ 。如图2所示，锚杆轴向边界条件 $x=0$ （ $A$ 点）处轴力为 $ - {N_0}$ ，根据文献[24–25]，可设 $x = {L_{\rm{p}}}$ 处轴力为0。因此，根据上述边界条件，结合式（21）可得：

$s(x) = \frac{{{N_0}{\rm ch}[\beta (x - {L_{\rm p}})]}}{{{E_{\rm b}}A\beta sh(\beta {L_{\rm{p}}})}}$

(24)

在 $x=0$ 处的总弹性变形量为：

${s_1} = \frac{{{N_0}}}{{{E_{\rm b}}A\beta {\rm th}(\beta {L_{\rm{p}}})}}$

(25)

当 ${l_{\rm f}} = 0$ 时， ${s_1} = \displaystyle\frac{{{\delta _{\rm n}}}}{2}$ ，可得 $x=0$ 处锚杆的轴力为：

${N_0} = \frac{{{E_{\rm b}}A{\delta _{\rm n}}\beta {\rm th}(\beta {L_{\rm p}})}}{2}$

(26)

将式（24）代入式（21）可得轴力表达式为：

$N = {N_0}\frac{{{\rm sh}[\beta (x - {L_{\rm p}})]}}{{{\rm sh}(\beta {L_{\rm p}})}}$

(27)

2）锚杆周围岩体塑性变形段

对于锚杆周围岩体塑性变形段，设岩体作用于锚杆的摩擦力为均布的^[26]，锚杆与砂浆体之间的摩擦角为 $\phi $ ，则轴向变形为：

${s_2} = \frac{{{N_0}{l_{\rm f}} + 0.5{P_{\rm u}}{\text{π}} \tan\,\phi {l_{\rm f}}^2}}{{{E_{\rm b}}A}}$

(28)

又因为：

${s_1} + {s_2} = \frac{{{\delta _{\rm n}}}}{2}$

(29)

${N_0} = \frac{{({E_{\rm b}}A{\delta _{\rm n}} - {P_{\rm u}}{\text{π}} {l_{\rm f}}^2\tan\,\phi )\beta {\rm th}(\beta {L_{\rm p}})}}{{2[1 + {l_{\rm f}}\beta {\rm th}(\beta {L_{\rm p}})]}}$

(30)

$N = {N_0} + 0.5{P_{\rm u}}{\text{π}} {l_{\rm f}}\tan \ \phi $

(31)

设坡体滑面摩擦角为 ${\phi _0}$ ，根据上述分析可得，锚杆为边坡稳定提供的抗力为：

$T = Q{\rm{sin}}\ \gamma + N\cos\,\gamma + [N{\rm{sin}}\,\gamma- Q\cos\,\gamma]\tan\, {\phi _0}$

(32)

2.3 锚杆屈服形式

1）GFRP锚杆屈服形式

GFRP锚杆属于各向异性材料，根据最大应力理论^[27]，确定剪切屈服时满足

${\tau _{\rm{m}}} = \frac{Q}{A} = [\tau ]$

(33)

受拉屈服时满足

${\sigma _{\rm m}} = \frac{N}{A} = [\sigma ]$

(34)

2）钢筋锚杆屈服形式

一般情况下，钢筋作为金属材料满足von-Mises准则，剪切屈服时满足

${\sigma _1} = \sqrt {{\sigma ^2} + 3{\tau ^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{N}{A}} \right)}^2} + 3{{\left( {\frac{Q}{A}} \right)}^2}} = {\sigma _{\rm y}}$

(35)

式中， $\sigma _{\rm y}$ 为锚杆的屈服应力。

弯曲屈服时满足^[15]

${\sigma _2} = \frac{{{M_0}}}{W} + \frac{{{N_0}}}{A} = 1.7{\sigma _{\rm y}}$

(36)

2.4 求解步骤

1）给定岩体的剪切位移 $\delta $ ，根据锚杆与滑面的夹角，得到 ${\delta _{\rm{t}}}$ 和 ${\delta _{\rm{n}}}$ 。

2）根据式（11）计算临界位移 ${\delta _{{\rm{t0}}}}$ 。

3）①当 ${\delta _{\rm t}} \le {\delta _{{\rm t}0}}$ 时， ${l_{\rm f}}=0$ ，在此基础上，分别由式（13）、（4）和（26）计算得到 $Q$ 、 ${M_0}$ 、 ${N_0}$ （ $N$ ）；②当 ${\delta _{\rm t}} > {\delta _{{\rm t}0}}$ 时， ${l_{\rm f}} > 0$ ，由式（14）计算得到 ${l_{\rm f}}$ ，在此基础上，分别由式（15）、（4）、（30）和（31）计算得到 $Q$ 、 ${M_0}$ 、 ${N_0}$ 、 $N$ 。

4）根据第3）步的计算结果，结合式（33）～（36），判断锚杆是否屈服。

3 对比验证 3.1 试验验证一

Pellet等^[13]利用剪切试验模型描述了加锚顺层岩质边坡在荷载作用下的力学行为。为验证上述力学模型的可行性，利用本文力学模型分析Pellet剪切试验，并与该试验报道的结果进行对比。试验模型尺寸为30 cm $ \times $ 30 cm $ \times $ 60 cm，岩体内结构面与锚杆的夹角为45°，模型上部表面施加荷载，见图3。根据文献[13]确定岩体和锚杆的相关参数，见表1。

图4为模型在剪切位移（ $\delta $ ）作用下，锚杆提供的抗力。由图4可知，当剪切位移达到一定值时，锚杆开始进入屈服阶段，图4中用黑色箭头注释。在锚杆屈服前，本文力学模型计算结果与Pellet试验结果呈现较好吻合。

3.2 试验验证二

Grasselli^[20]开展了大尺寸加锚双节理岩体剪切试验，分析锚杆提供的抗力，具体参数见表2。当锚杆与节理面夹角为45°时，将试验测得锚杆提供的抗力与利用本文力学模型计算的结果进行对比，见图5。

由图5可知，锚杆在剪切变形作用下可划分为3个阶段，即弹性阶段、屈服阶段和塑性流动阶段。与Grasselli试验结果对比，在锚杆屈服前，本文的理论计算结果较为接近。

由于本文力学模型假设锚杆杆体处于弹性状态，因此，当锚杆屈服后，该理论不再适用。利用本文力学模型分析锚杆屈服前的内力是可行的，该模型较好地反映了锚杆在剪切作用下的力学机制。

4 加固机制分析

与钢筋锚杆相比，GFRP锚杆的弹性模量小，且抗剪强度差。根据《纤维增强复合材料建设工程应用技术规范》^[28]，GFRP锚杆参数取值如下：弹性模量为40 GPa，抗拉强度为700 MPa，抗剪强度为140 MPa。将试验验证一中锚杆物理力学参数更新为上述GFRP锚杆的参数值，考虑剪切位移（ $\delta $ ）、锚杆与潜在滑面夹角（ $\gamma $ ）及岩体无侧限抗压强度（ ${\sigma _{\rm{c}}}$ ）等影响因素，利用上述力学模型分析GFRP锚杆加固顺层岩质边坡的机制，结果见图6～9。

由图6可知，随着剪切位移的增加，锚杆提供的抗力逐渐变大。在硬岩（ ${\sigma _{\rm{c}}}$ =150 MPa）中，GFRP锚杆与钢筋锚杆均在较小的剪切位移作用下发生剪切屈服。在软岩（ ${\sigma _{\rm{c}}}$ =10 MPa）中，GFRP锚杆在较大的剪切位移作用下发生受拉屈服，而相比GFRP锚杆，钢筋锚杆在较小的剪切位移作用下发生弯曲屈服。对于屈服时锚杆提供的抗力，钢筋锚杆在不同抗压强度的岩体中提供的抗力差异较小，抗力大小基本接近；GFRP锚杆在不同抗压强度的岩体中提供的抗力差异较大，加固软岩时抗力最大，随着岩体无侧限抗压强度增大，GFRP锚杆提供的抗力逐渐变小。

由上述对比分析可知，由于GFRP锚杆存在弹性模量小、抗剪强度低的缺点，在剪切位移作用下，GFRP锚杆与钢筋锚杆的加固机制不同。

图7为锚杆与滑面夹角为45°时，GFRP锚杆内力比 $Q/N$ （滑面处锚杆的剪力与轴力之比）与剪切位移的关系曲线。由图7可知，当剪切位移较小时，GFRP锚杆的 $Q/N$ 相对较大，随着剪切位移的增加， $Q/N$ 逐渐减小。

由图6（a）和7可知，在加固硬岩时，锚杆内力比 $Q/N$ 较大（销钉作用），GFRP锚杆以剪切屈服为主，因其抗剪强度低，故屈服时锚杆提供的抗力较小；在加固软岩时，锚杆内力比 $Q/N$ 较小，GFRP锚杆以受拉屈服为主，可充分发挥GFRP锚杆抗拉强度高的优势，故屈服时锚杆提供的抗力相对较大，约为加固硬岩时所提供抗力的4倍。因此，GFRP锚杆更适合加固软岩边坡。

图8为屈服时GFRP锚杆内力比 $Q/N$ 和锚杆与滑面夹角 $\gamma $ 的关系曲线。由图8可知，随着 $\gamma $ 的增加，锚杆内力比 $Q/N$ 逐渐变大，即当锚杆与滑面夹角较小时，锚杆承受的剪力相对较小；反之，相对较大。对于加固不同抗压强度岩体的GFRP锚杆，在硬岩中，随着 $\gamma $ 的增大，GFRP锚杆内力比 $Q/N$ 逐渐增大，其承受的剪力甚至大于轴力；在软岩中，GFRP锚杆内力比 $Q/N$ 始终很小，主要承受轴向拉力。

图9为屈服时GFRP锚杆抗力 $T$ 和锚杆与滑面夹角 $\gamma $ 关系曲线。图9中节点处的箭头表示以该节点的夹角 $\gamma $ 为基准， $\gamma $ 变小，GFRP锚杆抗力由受拉屈服控制，反之由剪切屈服控制。由图9可知，对于抗压强度为10、50、100、150 MPa的岩体， $\gamma $ 分别为30°、15°、5°、5°时，锚杆抗力最大。通过对比可知，在硬岩中，仅当 $\gamma $ 较小时，GFRP锚杆抗力较大；在软岩中，当 $\gamma $ =5°～60°时，GFRP锚杆均能提供较大的抗力。因此，GFRP锚杆加固软岩边坡时，安装角对锚杆抗力的影响较小。

5 结　论

1）考虑顺层滑移破坏模式，推导了全长黏结型锚杆加固顺层岩质边坡的力学模型。通过两个试验对比验证表明，该力学模型分析锚杆屈服前的内力是可行的，能够较好地反映加锚顺层岩质边坡中锚杆在剪切作用下的力学机制。

2）考虑GFRP锚杆的抗拉强度高、抗剪强度差、弹性模量小等特点，分析发现：当锚杆与潜在滑面夹角为45°时，GFRP锚杆在硬岩中发生剪切屈服，在软岩中发生受拉屈服。当锚杆屈服时，GFRP锚杆在不同抗压强度的岩体中提供的抗力差异较大，加固软岩时抗力最大，随着岩体无侧限抗压强度增大，GFRP锚杆提供的抗力逐渐变小；相比而言，钢筋锚杆在不同抗压强度的岩体中提供的抗力大小基本接近，故GFRP锚杆与钢筋锚杆加固顺层岩质边坡的机制不同。

3）GFRP锚杆适合加固岩体抗压强度较小的顺层岩质边坡。在剪切作用下，锚杆以受拉屈服为主，从而避开其抗剪强度差的劣势，充分利用其抗拉强度高的优势，可提供较高的抗力。此外，GFRP锚杆加固软岩边坡时，安装角对锚杆抗力的影响较小。

由于锚杆屈服后进入塑性阶段，本构关系复杂，需要通过试验确定，故本文未考虑锚杆塑性阶段的力学机制。然而，GFRP锚杆属于脆性材料，可以不考虑其屈服后产生塑性强化。