齿轮传动过程中由于单双齿对交替接触、啮合点位置和齿间载荷分配不断改变等原因，啮合刚度时刻发生变化。这种时变啮合刚度是齿轮传动系统主要动态激励源之一，也是求解齿间载荷分配、传递误差和齿轮动态特性的基础，对包含齿轮传动的设备健康监测及故障诊断等基于振动特性的研究具有重要意义^[1–2]。

对齿轮时变啮合刚度的求解，国内外学者作出了大量的研究。Chaari等^[3]基于广泛运用的Weber公式，推导出了啮合刚度求解的解析公式，但没有给出具体齿形表达式。Yang等^[4]提出了求解啮合刚度的能量法，主要考虑了弯曲、轴向压缩和赫兹接触刚度。之后，Tian等^[5]改进了该方法，认为剪切刚度也应该考虑在内，并运用改进方法模拟了故障齿轮的动态响应。Liang等^[6]运用改进的能量法求解了行星齿轮系的啮合刚度，并通过对齿轮过渡曲线进行简化处理来考虑过渡曲线对啮合刚度的影响。同时，有限元法也被广泛采用^[7–9]，虽然能获得较为精确的结果，但建模繁琐、模型通用性不强，计算耗时较长^[3]。上述解析法大多忽略齿轮过渡曲线或者对其进行简化处理，主要研究对象是标准齿轮的啮合刚刚度，对包含误差、磨损或齿面修形的齿轮适用性较差。同时除Saxena等^[10]的研究外，鲜有考虑齿间摩擦力对齿轮啮合刚度影响的报道。而Saxena等^[10]考虑齿间摩擦力时，没有区分主、被动齿轮摩擦力方向的不同，使得结果不尽准确。

作者在总结前人研究成果基础上，从齿轮加工刀具出发，运用齿廓参数方程来精确表征轮齿过渡曲线和渐开线齿形，改进了啮合刚度求解的能量法，为快速准确地求解考虑齿间摩擦磨损和带齿形偏差的齿轮啮合刚度、载荷分担系数和加载传动误差提供了理论方法。

1 齿轮啮合刚度建模 1.1 齿廓方程

齿条型刀具广泛用于渐开线齿轮的加工，其法向齿形如图1所示。以刀齿对称线为 ${y_{ r}}$ 轴，刀齿中线 $c - c$ 为 ${x_{ r}}$ 轴，建立坐标系 ${S\!_{ r}}\left( {{x_{ r}},{y_{ r}}} \right)$ ；坐标系 ${S\!_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ 由 ${S\!_{ r}}\left( {{x_{ r}},{y_{ r}}} \right)$ 沿 ${x_{ r}}$ 轴平动Δ得到，且 ${y_1}$ 轴过刀齿圆角圆心 ${O_{ A}}$ 。刀齿圆角半径为 $\rho $ ，齿形角为 $\alpha $ 。在切齿过程中齿条形刀具相对被加工齿轮旋转轴线做直线运动，刀具圆角部分 $\left( {{A_1}{A_2}} \right)$ 包络出齿轮过渡曲线，而直线齿廓部分 $\left( {{A_2}{B_2}} \right)$ 包络出齿轮渐开线齿廓^[11]。在坐标系 ${S\!_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ 中，刀齿 ${A_1}{A_2}$ 、 ${A_2}{B_2}$ 部分的齿廓方程分别见式（1）和（2）：

$\left\{ \begin{aligned}& {x_{1{ r}}} = u,\\& {y_{1{ r}}} = \rho \sin \;\alpha - h - \sqrt {{\rho ^2} - {u^2}} \end{aligned} \right.{{, }}u \in [0,{{ }}\rho \cos \;\alpha ]$

(1)

$\begin{aligned}& \left\{ \begin{aligned}& {x_{1{ l}}} = u,\\& {y_{1{ l}}} = \cot \;\alpha (u - \rho \cos \;\alpha ) - h;\end{aligned} \right.\\& {{ }}u \in [\rho \cos \;\alpha ,{{ }}(m{h_a^*} + h)\tan \;\alpha + \rho \cos \;\alpha ]\end{aligned}$

(2)

根据加工刀具的齿廓方程，运用图2所示的坐标变换，可求得轮齿齿廓精确方程^[12]。动坐标系 ${S\!_1}$ 与刀齿固连，相对于固定坐标系 ${S\!_{ r}}$ 向左作平动。坐标系 ${S\!_0}\left( {x,y} \right)$ 与轮齿固连，其 $y$ 轴与轮齿对称线重合， $x$ 轴为轮齿两边过渡曲线与齿根圆交点的连线。坐标系 ${S\!_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 和 ${S\!_{ f}}\left( {{x_{ f}},{y_{ f}}} \right)$ 与被加工齿轮固连且原点位于齿轮中心， ${y_2}$ 轴与 ${y_{ f}}$ 轴的夹角为 $\theta $ ， $\varphi $ 为两坐标系旋转角（逆时针为正）。初始位置时， $\varphi = 0$ 、 ${y_1}$ 轴与 ${y_2}$ 轴共线。 ${{{M}}_{21}}$ 、 ${{{M}}_{ f}}_2$ 和 ${{{M}}_{0{ f}}}$ 分别表示 ${S\!_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ 到 ${S\!_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 、 ${S\!_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 到 ${S\!_{ f}}\left( {{x_{ f}},{y_{ f}}} \right)$ 和 ${S\!_{ f}}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 到 ${S\!_0}\left( {x,y} \right)$ 的坐标变换矩阵。于是 ${S\!_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ 到 ${S\!_0}\left( {x,y} \right)$ 的坐标变换矩阵 ${{{M}}_{01}}$ 可表示如下：

$\begin{aligned}& {{{M}}_{21}} = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \;\varphi }&{\sin \;\varphi }&{r(\sin \;\varphi - \varphi \cos \;\varphi )}\\{ - \sin \;\varphi }&{\cos \varphi }&{r(\cos \;\varphi + \varphi \sin \;\varphi )}\\0&0&1\end{array}} \!\!\!\!\right],\\& {{{M}}_{{{f2}}}} = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \;\theta }&{ - \sin \;\theta }&0\\{\sin \;\theta }&{\cos \;\theta }&0\\0&0&1\end{array}} \!\!\!\!\right],\;{{{M}}_{0{ f}}} = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&{ - L}\\{ - 1}&0&0\\0&0&1\end{array}} \!\!\!\!\right],\\& \quad\quad\quad\quad\quad\quad {{{M}}_{{{01}}}} = {{{M}}_{0{ f}}}{{{M}}_{{ f}2}}{{{M}}_{21}}\end{aligned}$

(3)

通过坐标变换，由式（1）、（3）和（2）、（3）可得被加工齿轮过渡曲线方程^[13]和渐开线齿廓方程，分别如式（4）和（5）所示：

$\left\{ \begin{aligned}& {x_{AB}} = ( - u + r\varphi )\sin (\varphi - \theta ) + \\&\quad\quad\;\; (r + \rho \sin \;\alpha - h - \sqrt {{\rho ^2} - {u^2}} )\cos (\varphi - \theta ) - L,\\& {y_{AB}} = ( - u + r\varphi )\cos (\varphi - \theta ) - \\&\quad\quad\;\; (r + \rho \sin \;\alpha - h - \sqrt {{\rho ^2} - {u^2}} )\sin (\varphi - \theta ),\\& \varphi (u) = (\rho \sin \;\alpha - h)u/(r\sqrt {{\rho ^2} - {u^2}} ),\\& u \in [0,{{ }}\rho \cos \;\alpha ]\end{aligned} \right.\!\!$

(4)

$\left\{ \begin{aligned}& {x_{BC}} = ( - u + r\varphi )\sin (\varphi - \theta ) + \\&\quad\quad\;\; [r + \cot \;\alpha (u - \rho \cos \;\alpha ) - h]\cos (\varphi - \theta ) - L,\\& {y_{BC}} = ( - u + r\varphi )\cos (\varphi - \theta ) - \\&\quad\quad\;\; [r + \cot \;\alpha (u - \rho \cos \;\alpha ) - h]\sin (\varphi - \theta ),\\& \varphi (u) = \frac{{u{{\csc }^2}\alpha - (\rho \cot \;\alpha \cos \;\alpha + h)\cot \;\alpha }}{r},\\& u \in [\rho \cos \;\alpha ,{{ }}(m{h_a^*} + h)\tan \;\alpha + \rho \cos \;\alpha ],\end{aligned} \right.\!\!$

(5)

式中， $L = {O_{{f}}}O = {r_{{f}}}\cos\; \theta $ 。此处参数 $u$ 也可表示成的旋转角 $\varphi $ 的函数：

$u = u(\varphi ) = \varphi r{\sin ^2}\alpha + (\rho {\cos ^2}\alpha + h\sin \;\alpha )\cos \;\alpha $

(6)

1.2 能量法求啮合刚度

最小势能法是一种运用广泛的^[4–6]求解齿轮啮合刚度的解析法。图3为轮齿啮合受力的变截面梁模型。图3中， $F$ 表示接触点载荷， $f$ 表示滑动摩擦力， ${F_x}$ 、 ${F_y}$ 分别表示接触点合力沿 $x$ 、 $y$ 轴的分量， ${O_{ f}}$ 表示齿轮旋转中心， ${r_{ b}}$ 为齿轮基圆半径， ${r_{ f}}$ 为齿根圆半径， ${r_{ C}}$ 表示接触点与轴线的距离， ${\alpha _{ C}}$ 为接触点压力角， $\beta $ 为接触点载荷与 $y$ 轴夹角， $\theta $ 为齿根对应圆心角的一半。

根据文献[5]提出的方法，结合式（4）和（5），可推导出弯曲、剪切和轴向压缩刚度分别如式（6）、（7）和（8）所示。

$\begin{aligned}{U_{ a}} = & \int_0^{{d_{ i}}} {\frac{{{F_x^2}}}{{2E{A_x}}}} { d}x = \int_0^{\rho \cos \;\alpha } {\frac{{{F_x^2}}}{{4EB{y_{AB}}(u)}} \cdot \frac{{{ d}{x_{AB}}(u)}}{{{ d}u}}} { d}u + \\& \int_{\rho \cos \;\alpha }^{u(\theta - \gamma )} {\frac{{{F_x^2}}}{{4EB{y_{BC}}(u)}} \cdot \frac{{{ d}{x_{BC}}(u)}}{{{ d}u}}} { d}u\end{aligned}$

(7)

$\begin{aligned}{U_{ b}}= & \int_0^{{d_{ i}}} {\frac{{{{\left[ {{F_y}({d_{ i}} - x) - {F_x}{h_{ i}}} \right]}^2}}}{{2E{I_x}}}} { d}x=\\& \int_0^{\rho \cos \alpha } {\frac{{{{\left[ {{F_y}({d_{ i}} - {x_{AB}}(u)) - {F_x}{h_{ i}}} \right]}^2}}}{{\displaystyle\frac{4}{3}EBy_{AB}^3(u)}} \cdot \frac{{{ d}{x_{AB}}(u)}}{{{ d}u}}} { d}u + \\& \int_{\rho \cos \alpha }^{u(\theta - \gamma )} {\frac{{{{\left[ {{F_y}({d_{ i}} - {x_{BC}}(u)) - {F_x}{h_{ i}}} \right]}^2}}}{{\displaystyle\frac{4}{3}EBy_{BC}^3(u)}} \cdot \frac{{{ d}{x_{BC}}(u)}}{{{ d}u}}} { d}u\end{aligned}$

(8)

$\begin{aligned}{U_{ s}} = & \int_0^{{d_{ i}}} {\frac{{1.2{F_y^2}}}{{2G{A_x}}}} { d}x{{ = }}\int_0^{\rho \cos \alpha } {\frac{{1.2{F_y^2}}}{{4GB{y_{AB}}(u)}} \cdot \frac{{{ d}{x_{AB}}(u)}}{{{ d}u}}} { d}u + \\ & \int_{\rho \cos \alpha }^{u(\theta - \gamma )} {\frac{{1.2{F_y^2}}}{{4GB{y_{BC}}(u)}} \cdot \frac{{{ d}{x_{BC}}(u)}}{{{ d}u}}} { d}u\end{aligned}$

(9)

式中， $\alpha $ 为分度圆压力角， $u(\theta - \gamma )$ 表示函数 $u(\varphi )$ 在 $\theta - \gamma $ 处的取值， $E$ 和 $G$ 表示齿轮材料的弹性和剪切模量，其他参数见图3。

齿轮啮合过程中，除在节点处啮合时为纯滚动外，主从动轮之间既有相对滑动又有相对滚动。为考虑齿间摩擦力的影响，啮合过程可分为啮入和啮出2个阶段，分界点为节点，该处啮合时无摩擦。

啮入阶段：主动轮从齿根处开始啮合直至节点，摩擦力方向与齿面相切背离节点；从动轮从齿顶处开始啮合直到节点，摩擦力方向与接触齿面相切指向节点；可知此时图3中齿面接触力沿 $x$ 和 $y$ 轴分量如下：

${F_x} = F\sin \;\beta + f\cos \;\beta,{{ }}{F_y} = F\cos \;\beta - f\sin \;\beta $

(10)

啮出阶段：主动轮从节点处开始啮合直到齿顶，摩擦力方向与齿面相切背离节点；从动轮从节点处开始啮合直到齿根，摩擦力方向与接触齿面相切指向节点；可知此时图3中齿面接触力沿 $x$ 和 $y$ 轴分量如下：

${F_x} = F\sin \;\beta - f\cos \;\beta {{; }}{F_y} = F\cos \;\beta + f\sin \;\beta $

(11)

式中，摩擦力 $f{{ = }}\mu F$ ， $\mu $ 为摩擦系数。

Yang等^[14]发现：在齿轮啮合过程中，赫兹接触刚度为常数，并可由式（12）求得：

${k_{ h}} = \frac{{{\text{π}} b}}{2}{\left( {\frac{{1 - {v_1}^2}}{{{E_1}}}{{ + }}\frac{{1 - {v_2}^2}}{{{E_2}}}} \right)^{ - 1}}$

(12)

考虑齿轮基体变形的刚度 ${k_{ f}}$ ，可根据Sainsot等^[15]提出的公式计算：

${k_{ f}} = \frac{{Eb}}{{{{\cos }^2}\beta \{ L \times{{(\displaystyle\frac{{{u_{ f}}}}{{{S_{ f}}}})}^2} + M\times(\displaystyle\frac{{{u_{ f}}}}{{{S_{ f}}}}) + P\times(1 + Q \times{{\tan }^2}\beta )\} }}$

(13)

式中，对应各参数含义详见文献[15]。

综上所述，齿对综合啮合刚度可表示如下：

${k_{ t}} = \displaystyle\frac{1}{{\displaystyle\frac{1}{{{k_{ b1}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ s1}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ a1}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ f1}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ b2}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ s2}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ a2}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ f2}}}} + \displaystyle\frac{1}{{{k_{ h}}}}}}$

(14)

1.3 考虑轮齿误差的啮合刚度

通常渐开线直齿轮重合度在1～2之间，齿轮旋转过程中单齿对啮合和双齿对啮合交替进行。双齿对啮合时，两啮合齿对的相对位置和变形关系如图4所示，齿对1、2分别表示先、后进入啮合的两相邻齿对。假设齿轮基体为刚性，只考虑轮齿的变形，主动轮加载，从动轮固定。图4中分析了轮齿误引起来啮合位置的改变，包括基圆齿距误差和齿形误差。对于因齿面磨损或者齿廓修形带来的齿形变化，也可视为一种齿形误差来考虑。根据假设条件，在载荷作用下齿间基节将保持不变，则两齿对的变形协调关系如下^[16]：

${\delta _1} + {E_{{ p}1}} + {E_{{ g}1}} = {\delta _2} + {E_{{ p}2}} + {E_{{ g}2}} + E_{ g}^{ s} - E_{ p}^{ s}$

(15)

由式（15）可得：

${E_{12}} = {\delta _1} - {\delta _2} = {E_{{ p}2}} + {E_{{ g}2}} + E_{ g}^{ s} - E_{ p}^{ s} - {E_{{ p}1}} - {E_{{ g}1}}$

(16)

式中： ${\delta _1}$ 、 ${\delta _2}$ 分别表示加载时齿对1和2的弹性变形量； ${E_{{ p}i}}$ 和 ${E_{{ g}i}}\left( {i = 1,{{ }}2} \right)$ 分别表示主动轮和从动轮齿形误差， $i = 1$ 表示齿对1， $i = 2$ 表示齿对2； $E_{ p}^{ s}$ 和 $E_{ g}^{ s}$ 分别表示主动轮和从动轮的两接触轮齿间基圆齿距误差； ${E_{12}}$ 表示相邻两啮合齿对间相对综合误差。齿轮加载传动误差 ${E_{ t}}$ 可用接触变形最大的齿对的齿形误差 ${E_{ p}}$ 、 ${E_{ g}}$ 和变形量 $\delta $ 表示：

${E_{ t}} = \delta + {E_{ p}} + {E_{ g}}$

(17)

双齿对啮合时，法向载荷 ${F_n}$ 由两对齿共同承担，两接触齿对法向力如下：

${F_n} = {F_1} + {F_2},{{ }}{F_1} = {k_1}{\delta _1},{{ }}{F_2} = {k_2}{\delta _2},{{ }}{\delta _1} \ge 0,{{ }}{\delta _2} \ge 0$

(18)

式中， ${k_i}\left( {i = 1,{{ }}2} \right)$ 表示齿对 $i$ 的啮合刚度。而此时齿轮总的啮合刚度可由式（19）表示：

$k = {F_n}/\max ({\delta _1},{{ }}{\delta _2})$

(19)

将式（16）、（18）代入式（19）可得：

$\left\{\begin{aligned}& k = \frac{{{k_1} + {k_2}}}{{1 + {k_2}{E_{12}}/{F_n}}},{{ }}{\delta _1} - {\delta _2} = {E_{12}} > 0;\\& k = \frac{{{k_1} + {k_2}}}{{1 - {k_1}{E_{12}}/{F_n}}},{{ }}{\delta _1} - {\delta _2} = {E_{12}} < 0\end{aligned}\right.$

(20)

从式（20）可看出：在双齿啮合阶段，随齿轮法向载荷的增大，齿轮总啮合刚度也增大。同时，啮合的两齿对1、2的载荷分配系数 ${R_1}$ 、 ${R_2}$ 可用式（21）表示。当 ${E_{12}} > 0$ 时，随 ${F_n}$ 增大 ${R_1}$ 增大；而 ${E_{12}} < 0$ 时，随 ${F_n}$ 增大 ${R_1}$ 减小。

$\left\{\begin{aligned}& {R_1} = \frac{{{F_1}}}{{{F_n}}} = \frac{{{k_1}}}{{{k_1} + {k_2}}}(1 + \frac{{{k_2}{E_{12}}}}{{{F_n}}}),\\& {R_2} = \frac{{{F_2}}}{{{F_n}}} = \frac{{{k_2}}}{{{k_1} + {k_2}}}(1 - \frac{{{k_1}{E_{12}}}}{{{F_n}}})\end{aligned}\right.$

(21)

2 结果与讨论

经齿面磨损或修形的轮齿齿形都与标准齿形存在偏差，若将磨损量或者修形量当作一种齿形误差，则可运用第1.3节考虑轮齿误差的啮合刚度模型求解其时变啮合刚度。因此，本文提出的刚度求解方法能够方便的计算存在早期磨损或齿廓修形的齿轮的单齿啮合刚度和齿轮副总啮合刚度。基于表1所列参数的齿轮副，研究了轮齿早期磨损和齿廓修形对单齿对啮合刚度、总啮合刚度、载荷分担系数和加载传动误差的影响。

2.1 摩擦力对齿轮啮合刚度的影响

不同摩擦系数下齿轮的时变合刚度如图5所示。从图5中可看出，齿间摩擦能够使齿轮啮合刚度发生明显的改变，尤其在单齿啮合区。同时，图5（a）中也对比列出了，由不同圆角半径刀具加工的齿轮无摩擦时的单齿对啮合刚度。加工刀具圆角半径越大单齿对啮合刚度越高，因为随着加工刀具圆角的增大，轮齿过渡曲线部分愈加平滑、曲率逐渐减小。

从单对齿的啮合刚度变化图能看出：由于摩擦力的存在，齿对的啮合刚度在啮入阶段将增大，而在啮出阶段会减小，且啮出阶段减小的幅度（平均–3.02%， $\mu $ =0.05）略大于啮入阶段增大（平均1.56%， $\mu $ =0.05）的幅度；节点前后由于摩擦力的方向的改变，致使接触刚度发生突变。摩擦系数越大，带来的刚度变化量也越大。齿面摩擦系数 $\mu $ =0.05时，在双齿啮合区摩擦力导致刚度略有减小，变化量在–0.31%以内；而在单齿啮合区，啮合刚度最大增大量和减小量分别达到1.59%和–1.80%。当 $\mu $ =0.1时，在双齿啮合区摩擦力带来的刚度减小量在–0.72%以内，而在单齿啮合区最大增加和减小量则超过3.03%和–3.72%。摩擦力对双齿啮合区的刚度影响很小，但能明显改变单齿啮合区的啮合刚度值。摩擦力的存在使齿对啮入阶段的载荷分担比例增高，而使啮出阶段载荷分担比例降低。摩擦系数越高载荷分配系数变化越大， $\mu $ =0.05时，分担的总载荷变化量在1.12%以内，而 $\mu $ =0.1时达到2.22%。

2.2 非均匀磨损齿轮

齿轮服役过程中齿面不可避免的会发生一定量的疲劳磨损。因为齿面上不同啮合点的法向载荷、相对滑动速度、滑滚比以及接触点综合曲率半径等参数都不同，所以一般情况下各点磨损量也不同。通常对于齿面加工精度高的齿轮，接触点相对滑动速度（包括滑滚比）对磨损量的影响最为显著，而齿面相对滑动速度与该点沿啮合线方向到节点距离成正比，基于此，假设在齿面发生早期轻微磨损时，齿廓节点处磨损值为0，齿廓各点磨损量与其到节点距离成正比，比例系数设为 $W$ （单位μm/mm）。

图6为轮齿表面啮合区磨损示意图。齿廓上点参与啮合时，该点在啮合线上位置与啮合节点的距离用Δ $S$ 表示，Δ $h$ 表示该点的法向磨损量，则有Δ $h$ = $W$ Δ $S$ 。磨损轮齿接触区部分的齿廓方程与式（5）不同，应由下列方程表示：

$\left\{ \begin{aligned} & {{x'}\!\!\!_{CD}} = {x_{CD}} - W\Delta S\sin \;{\beta _{ u}},\\ & {{y'}\!\!\!_{CD}} = {y_{CD}} - W\Delta S\cos \;{\beta _{ u}}\end{aligned} \right.$

(22)

式中， $\Delta S = \left| {u - \rho \cos \;\alpha - h\tan \;\alpha } \right|\cot \;\alpha /\sin \;\alpha $ ， ${\beta _{ u}}$ 表示齿廓点磨损前齿面法向与坐标系 ${S_0}\left( {x,y} \right)$ 中 $y$ 轴的夹角。

通常齿轮副中主从动轮齿数不一样，因而各轮齿啮合次数不同，磨损量也不同。若大齿轮磨损比例系数为 $W$ ，则小齿轮应为 $W' = W{\textit{Z}_2}/{\textit{Z}_1}$ 。当 $W$ =1 μm/mm时，大齿轮齿顶、齿根最大法向磨损量约为10.3、9.1 μm，小齿轮齿根、齿顶法向磨损量约为26.1、23.0 μm。对于参数如表1所示齿轮副，添加50、200 Nm的扭矩，则法向载荷分别为1 400、5 600 N。

不同磨损量的齿轮与未磨损齿轮的单齿啮合刚度比值如图7所示，图7中横坐标“小齿轮转角”是从某一齿对刚进入啮合时开始计量。磨损比例系数 $W$ 值越大，单齿对啮合刚度减小得越多，但是总体来看早期齿面轻微磨损对单齿对啮合刚度影响很小（0.8%以内）。

图8中展示了不同磨损量的齿轮副时变啮合刚度、载荷分配系数和加载传动误差的对比曲线。从图8中可看出：虽然单齿对啮合刚度几乎没改变，但由于存在齿间磨损间隙，齿轮副的总刚度却出现了较大的减小，进而影响了双齿啮合时的齿间载荷分配并增大了齿轮副的加载传动误差。在双齿啮合阶段，齿面磨损量越大，齿轮啮合刚度越小；而相同磨损量的齿轮啮合刚度随着加载的增大而增大，但始终小于未磨损齿轮的啮合刚度。图8（a）、（b）中双齿啮合阶段各曲线几乎过同一点，该啮合点处各个磨损齿轮和标准齿轮的齿轮啮合刚度、载荷分配系数都几乎相等，这是因为该点处正好 ${E_{12}} = 0$ 。总的来看，齿面非均匀磨损对轮齿刚度影响较为明显的，能够带来一定振动激励的改变；磨损齿轮轻载时重合度明显降低，磨损量越大下降的越明显。

2.3 修形齿轮

齿廓修形是常用的改善齿轮动态特性，降低系统振动和噪声的方法。对齿轮进行齿根修形得到的效果和对配对齿轮进行齿顶修形一致，故而本文采用对大小齿轮都进行齿顶修形的方案，具体见图9。

大小齿轮修行量 ${C_{ ag}}$ 、 ${C_{ ap}}$ 分别等于小齿轮单齿啮合区最高点（HPSTC）和最低点（LPSTC）时的齿对综合变形量。采用3种不同修形长度的方案对齿轮副修形，修形起点分别为M1、M2、M3（M1与HPSTC点重合，M2为HPSTC与齿顶中点，M3为HPSTC与齿顶的1/3点）；修形量相同，都取50 Nm载荷下小齿轮HPSTC和LPSTC点的齿对综合变形量 ${C_{ ag}}$ =8.564 μm， ${C_{ ap}}$ =8.401 μm。对修形齿对的单齿啮合刚度进行计算发现：相对未修形齿轮，修行齿轮的单齿对啮合刚度减小量在0.1%以内，可以忽略。

图10显示了不同修形长度和载荷对齿轮副时变啮合刚度、载荷分配系数、加载传动误差的影响。载荷越高，双齿啮合刚度相对越大。对于M1和M2这两种情况，在50 Nm的载荷下，齿轮副的时变啮合刚度、载荷分配系数都接近，但是M1方案中的齿轮传递误差相对M2更加均匀。在50 Nm载荷下，3种修形方案都能够实现刚度的平滑增大和齿间载荷的平缓过渡，但在传递误差方面，修形长度越长传递误差变化范围越小。载荷大于修形设计载荷值时，出现了刚度值突变、齿间载荷突变和加载传动误差改善不明显等问题，并且修形长度越小，改善效果越差。而对于载荷小于修形设计载荷值的情况，出现了明显的刚度不足、重合度减小和加载传动误差显著增大的问题，并且修形长度越长，问题越明显。

3 结　论

针对渐开线直齿轮，提出了一种计算考虑摩擦力和齿形误差（包括齿面磨损和齿廓修形）的齿轮时变啮合刚度的方法。该方法从加工刀具齿形入手，考虑了刀具圆角及轮齿过渡曲线对啮合刚度的影响，通过能量法和齿间变形协调关系，实现了含齿形偏差的齿轮刚度建模。分析了不同磨损量和修形方法对齿轮啮合刚度的影响，得到主要结论如下:

1）摩擦力使啮入阶段齿对啮合刚度增大，啮出阶段齿对啮合刚度减小，摩擦系数越大，刚度变化量越大。

2）对于含有齿形偏差的齿轮副双齿啮合时，啮合刚度随载荷增大而增大，齿形误综合差较大的齿对载荷分担系数随载荷增大而增大。

3）齿面非均匀磨损量会显著降低双齿啮合区刚度并减小重合度，在轻载条件下尤其明显。

4）载荷大于修形设计载荷值时，修形效果不明显；载荷小于修形设计载荷值时，可能出现刚度不足、重合度减小和加载传动误差显著增大等问题。