高精度、高可靠、长寿命是现代传动装置的发展趋势。这对大力发展能够广泛应用于复杂工况的精密传动装置提出了更高的要求。王家序等^[1]发明的滤波减速器是一种新型渐开线少齿差精密减速器，其转臂轴承长期工作在减速器的加、减速条件下，容易使轴承沟道界面的润滑状态恶化，又由于其循环频率高于齿轮啮合频率，从而使其成为滤波减速器中最易诱发润滑失效的薄弱环节。因此，有必要更为深入地研究滤波减速器转臂轴承的润滑机理，以提高减速器系统的可靠性和稳定性，具有较强的理论指导意义和工程价值。

许多学者在轴承润滑领域做出了有益的探索。钱璐等^[2]采用统一Reynolds方程数值模拟了各个时刻轴承滚道与滚动体之间的润滑状态，分析了乏油条件下轴承点接触润滑性能。Yang等^[3]进行了轴承润滑数值模拟，研究了等温工况下自旋对弹流润滑的影响。任志强^[4]和翟强^[5]等通过数值分析研究了滚道波纹度和保持架几何参数等对轴承接触界面油膜厚度等润滑特性参数的影响。Wang等^[6]研究了转速、载荷等因素对轴承润滑时发生的局部生热和总生热的影响，结果表明采用经验公式在高速时会与试验结果严重偏离。王骁鹏等^[7–8]将准系统数值解法运用到热弹性流体动压润滑混合模型求解中，得到了稳定收敛的热弹流解。

上述关于轴承润滑研究，一般仅限于全膜润滑或者光滑表面的理想情况，很少考虑不同的机械加工方式和极端条件下所面临的混合润滑下的热弹流润滑特性。将热弹流混合润滑模型与转臂轴承的力学模型相结合，可更精确地预测轴承润滑状态。

1 滚动轴承润滑模型 1.1 物理模型

滤波减速器转臂轴承（球滚动体–滚动轴承）的滚动体与滚道之间可以看作是点接触，接触应力会集中分布在赫兹接触区附近，并随着离开接触区接触应力急剧降低。因此，在轴承的球滚动体与滚道的润滑分析中可将接触体之一的滚道看作半无限弹性体，如图1所示。转臂轴承承受的载荷可等效为滚动体加载，转速可等效为滚动体与滚道接触点卷吸速度。由此，可简化几何条件，便于计算。

1.2 静力学模型

根据静力平衡条件，轴承所承受的径向载荷等于所有滚动体承载载荷的竖向分量之和，如图1（b）所示^[9]，其竖向载荷分配计算公式^[10]为：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{F_{ r}} = {\textit{Z}}{Q_{\max }}{J_{ r}}(\varepsilon ) = {\textit{Z}}{K_{ n}}{{\left( {{\delta _{ r}} - \frac{1}{2}{P_{ d}}} \right)}^n}{J_{ r}}(\varepsilon )}\text{，}\\& {{\psi _1} = \arccos \left( {\frac{{{P_{ d}}}}{{2{\delta _{ r}}}}} \right)}\text{，}\\& {{Q_\psi } = {Q_{\max }}[1 - \frac{1}{{2\varepsilon }}(1 - \cos \psi )]}\end{aligned}} \right.$

(1)

式中： ${\textit{Z}}$ 为滚动体个数； ${Q_{\max }}$ 为滚动体最大承受载荷； ${J_{ r}}\left( \varepsilon \right)$ 为载荷分布积分，且 $\varepsilon = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {1 - \displaystyle\frac{{{P_{ d}}}}{{2{\delta _{ r}}}}} \right)$ ； ${K_{ n}}$ 为位移系数； ${\delta _{ r}}$ 为0度位置角的滚道径向位移量； ${P_{ d}}$ 为径向游隙； ${\psi _{ l}}$ 为滚动体承载的角度范围； $\psi $ 为滚动体位置角； ${Q_\psi }$ 为位置角为 $\psi $ 的滚动体承受载荷。

由载荷分配计算模型，对额定载荷下同一轴承的滚动体进行分析，结果显示该工况下共有5个滚动体参与承载，如图1（b）所示。

1.3 运动学模型

假设轴承球滚动体和滚道接触处滑动不严重，得到球滚动体与内、外滚道接触点的平均速度^[11]：

${U_{ i}} = \frac{{{\text{π}} {D_{ m}}}}{{60}}(1 - \gamma )({n_{ i}} - {n_{ m}})$

(2)

${U_{ o}} = \frac{{{\text{π}} {D_{ m}}}}{{60}}(1 + \gamma )({n_{ o}} - {n_{ m}})$

(3)

式中： ${D_{ m}}$ 为滚动轴承节圆直径； $\gamma = \displaystyle\frac{{{d_{ w}}\cos\; \alpha }}{{{D_{ m}}}}$ ， ${d_{ w}}$ 为滚动体直径， $\alpha $ 为接触角； ${n_{ i}}$ 、 ${n_{ o}}$ 分别为滚动轴承内、外圈自转角。其中， ${U_{ i}}$ 、 ${U_{ o}}$ 代入点接触热弹流模型中则代表卷吸速度。承载最大的滚动体最容易发生润滑失效，研究中只分析承载最大的滚动体的润滑特性，在图1（b）中分析承受 ${Q_1}$ 载荷的滚动体润滑状态， ${Q_1}$ 即为点接触热弹流模型中使用的外部载荷。

1.4 热弹流混合润滑模型

轴承热弹流混合润滑模型包括下列控制方程：

Reynolds方程：

$\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\psi _x}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{\psi _y}\frac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right) = {u_{ e}}\frac{{\partial ({\rho ^*}h)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial ({\rho _{ e}}h)}}{{\partial t}}$

(4)

油膜厚度方程：

$h = {h_0}(t) + B(x,y,t) + {\delta _1}(x,y,t) + {\delta _2}(x,y,t) + V(x,y,t)$

(5)

弹性变形方程：

$V(x,y,t) = \frac{2}{{{\text{π}} E'}}\iint\limits_\varOmega {\frac{{p(\xi ,\varsigma ,t)}}{{\sqrt {{{(x - \xi )}^2} + {{(y - \varsigma )}^2}} }}{ d}\xi { d}\varsigma } $

(6)

黏度方程：

$\mu\!\!=\!\!{\mu _0}\exp \left\{ {(\ln\;{\mu _0}\!\!+\!\! 9.67)[\!\!\! \begin{array}{l}{(1 \!\!+\!\! 5.1 \times {10^{ \!\!-\!\! 9}}p)^{\textit{Z}}} \times {\left( {\displaystyle\frac{{T \!\!-\!\! 138}}{{{T_0} \!\!-\!\! 138}}} \right)^{ \!\!-\!\! S}} \!\!-\!\! 1\end{array}\!\!\!\! ]} \right\}$

(7)

密度方程：

$\rho = {\rho _0}[1 + \frac{{0.6 \times {{10}^{ - 9}}p}}{{1 + 1.7 \times {{10}^{ - 9}}p}} - 0.000\;65(T - {T_0})]$

(8)

载荷平衡方程：

$w(t) = \iint\limits_\varOmega {p\left( {x,y,t} \right)} { d}x{ d}y$

(9)

能量方程：

$\begin{aligned}[b]& {c_{ f}}\rho \left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial T}}{{\partial y}} + w\frac{{\partial T}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right) - {k_{ f}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}}=\\ & - \frac{T}{\rho }\frac{{\partial \rho }}{{\partial T}}\left( {u\frac{{\partial p}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right) + \frac{\eta }{{f({{\bar \tau }_{ e}})}}\left[ {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right)}^2}} \right]\end{aligned}$

(10)

$\left\{ \begin{aligned}& {T_1} = {T_{ 1b}} + \Delta {T_1}, {T_2} = {T_{ 2b}} + \Delta {T_2}\text{；}\\& \Delta {T_1} = \int_0^t {\iint_\varOmega {\frac{{{q_1}{ d}x'{ d}y'{ d}t'}}{{4{\rho _{ s}}{c_{ s}}{{[{\text{π}} {\alpha _{ s}}(t - t')]}^{3/2}}}}} }\times \\&\quad\;\;\;\exp \left\{ { - \frac{{{{[(x - x') - {u_1}(t - t')]}^2} + {{(y - y')}^2}}}{{4{\alpha _{ s}}(t - t')}}} \right\}\text{；}\\& \Delta {T_2} = \int_0^t {\iint_\varOmega {\frac{{{q_2}{ d}x'{ d}y'{ d}t'}}{{4{\rho _{ s}}{c_{ s}}{{[{\text{π}} {\alpha _{ s}}(t - t')]}^{3/2}}}}} }\times \\&\quad\;\;\;\exp \left\{ { - \frac{{{{[(x - x') - {u_2}(t - t')]}^2} + {{(y - y')}^2}}}{{4{\alpha _{ s}}(t - t')}}} \right\}\text{；}\\& {h > 0} \; \text{当}{{q_1} = - {{\left. {{k_{ f}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right|}_{{\textit{z}} = - \frac{h}{2}}}, {q_2} = {k_{ f}}{{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right|}_{{\textit{z}} = \frac{h}{2}}}}\text{；}\\& {h = 0}\; \text{当}{{q_1} = f\mu p{u_{ s}}, {q_2} = (1 - f)\mu p{u_{ s}}}\end{aligned} \right.$

(11)

轴承接触副表面下应力与法向压力之间的关系的连续方程^[12]表现为：

${\sigma _{i,j}} = \iint\limits_\varOmega {p(\xi ,\eta )} {g_{i,j}}(x - \xi ,y - \eta ,{\textit{z}}){ d}\xi { d}\eta $

(12)

式（12）的离散形式为：

${\sigma _{i,j}}({x_m},{y_n},{{\textit{z}}_l}) = \sum\limits_{\xi = 1}^M {\sum\limits_{\eta = 1}^N {C_{ij}^{m - \xi ,n - \eta ,l}p({x_\xi },{y_\eta })} } $

(13)

式中， ${c_{ f}}$ 润滑剂比热， $E'$ 等效弹性模量， $f$ 热分配系数， $h$ 膜厚， ${k_{ f}}$ 润滑剂热传导系数， ${k_{ s}}$ 固体热传导系数， $p$ 压力， ${p_{ h}}$ 最大赫兹压力， ${q_1}$ 、 ${q_2}$ 固体表面1、2的热流量， $R$ 等效曲率半径， $t$ 时间， $T$ 温度， ${T_1}$ 、 ${T_2}$ 表面1、表面2温度， ${T_{1{{b}}}}$ 、 ${T_{2{{b}}}}$ 表面1、表面2的外界温度， ${T_{{{mid}}}}$ 油膜中层温度， ${T_0}$ 环境温度， $U$ 卷吸速度， $V$ 弹性变形， $\eta $ 剪切黏度， ${\eta _0}$ 环境剪切黏度， ${\mu _{ s}}$ 边界润滑摩擦因数， $\rho $ 润滑剂密度， ${\psi _x}$ 、 ${\psi _y}$ 流量因子， $\sigma $ 表面下应力。

2 模型数值解求解过程

在模型求解过程中，使用离散卷积快速傅里叶变换方法求解弹性变形和表面温升，使用有限差分法求解雷诺方程和能量方程，并进行压力和温度的循环迭代，每一个循环为一个时间步长，设置光滑解时间步为300，设置粗糙解时间步为500，模型求解流程图如图2所示。计算光滑解和粗糙解压力收敛因子分别为0.000 01和0.000 1，计算温度的收敛因子为0.000 1。

研究润滑特性使用的润滑油和接触体的材料参数如表1所示。

3 接触副物理尺寸对轴承润滑的影响 3.1 椭圆率变化对轴承润滑特性的影响

保持外载荷 $W$ 和最大Hertz压力不变，通过改变 $x$ 和 $y$ 方向等效曲率半径 ${R_x}$ 和 ${R_y}$ ，可实现只有椭圆率的改变。为了便于比较，计算结果采用有量纲值。取卷吸速度 $U$ =0.5 m/s，外载荷 $W$ =450 N，最大Hertz压力 ${p_{ h}}$ =1.38 GPa，滑滚比 $S$ =0.2进行研究。

图3为椭圆率 $k$ =0.5、1和2时膜厚、压力和温度在 $Y$ =0处沿卷吸速度方向的分布曲线。图3（a）中，随着椭圆率增加赫兹接触区沿卷吸速度方向椭圆半轴减小，最小膜厚和中心膜厚减小；图3（b）中，3个不同椭圆率条件下最大赫兹压力大小相等；图3（c）中，油膜中层最大温升随椭圆率增加而减小。

3.2 滚动体半径变化对轴承润滑特性的影响

使用热弹流模型研究球滚动体等效曲率半径与其润滑特性的关系，保持工况条件不变： $W$ =450 N， $U$ =1 m/s， $S$ =0.2，逐步增加滚动体等效曲率半径， $R$ =10 mm时， $a$ =0.314 8 mm， ${p_{ h}}$ =2.168 GPa； $R$ =15 mm时， $a$ =0.360 2 mm， ${p_{ h}}$ =1.655 GPa； $R$ =20 mm时， $a$ =0.396 4 mm， ${p_{ h}}$ =1.367 GPa。由表2知，随着球滚动体等效曲率半径增大，中心膜厚增加，赫兹接触区最大压力减小，增强了油膜的形成能力。同时，油膜中层温度有所降低，接触区润滑油黏度增大，有利于油膜形成，可提高滚动轴承的承载能力，然而较大的滚动体将导致轴承的尺寸增大，不利于装配使用。

3.3 载荷对接触副润滑影响

在加载过程中，赫兹接触区接触半径和最大赫兹压力会逐渐增加，导致油膜厚度下降，油膜内温度升高，中心膜厚、最大温升和最大表面下应力随加载引起的最大赫兹应力变化数据见表3。分析表3数据可知，加载过程中表面下应力越来越大。当油膜内最大赫兹压力达到2.97 GPa时，固体表面下最大应力接近1.9 GPa，此应力下很多金属材料会产生塑性。

图4表示了不同外载时油膜厚度、压力、温度在Y=0处沿速度方向曲线，可见 ${p_{ h}}$ 为1.80 GPa时有较大的赫兹接触半径。

4 粗糙表面对轴承热弹流润滑影响

轴承的滚动体与滚道的机械加工表面粗糙度一般与热弹流润滑的油膜厚度处于同一数量级，粗糙表面对其润滑特性的影响不可忽视。在载荷450 N，卷吸速度1 m/s，滑滚比0.2的条件下，得到了一个光滑表面和均方根粗糙度为0.2 μm的正弦表面以及真实机加工粗糙表面的点接触热弹流混合润滑数值解，如图5所示。由图5可知，与光滑解相比，正弦表面膜厚、压力和温度曲线都沿着光滑解曲线按粗糙表面纹理规律性波动，而真实机加工表面粗糙解膜厚、压力和温度曲线在赫兹接触区有剧烈的随机波动，粗糙解在粗糙峰位置有局部高温和局部高应力。

4.1 各种机械加工表面对轴承润滑特性影响

使用3维形貌仪测量得到了工程中常见的磨削和抛光表面，如图6所示，机械加工表面都是3维的且具有复杂的表面形貌。磨削和抛光表面的均方根粗糙度分别为0.657 μm和0.28 μm，抛光表面更为光滑，为了突出表明纹理的影响假定它们的均方根粗糙度相等。

图7（a）和（b）分别表示在相同工况条件下，通过数值模拟得到的磨削和抛光表面下转臂轴承的热弹流混合润滑特性，引入的机械加工表面具有不同的表面形貌，数值计算时定义它们具有相同的均方根粗糙度（0.2 μm）。磨削和抛光表面粗糙纹理较细小，最大压力峰值达到4.0倍的Hertzian压力是由于该算例中引入的粗糙表面上存在个别较高的微凸体所致。磨削和抛光表面的温升基本集中在接触区中心偏出口边，个别微凸体上温度高达800 ℃，将会发生黏着失效。

当卷吸速度增加时两种粗糙表面的平均膜厚和最大温升变化趋势相同，平均膜厚随速度增加逐渐增加，如图8（a）所示。由于粗糙峰接触压力减小，最大温升随速度的增加先降低，然后进入全膜润滑状态，由于黏性剪切热随相对界面间滑动速度增大而增大，导致温升增加，如图8（b）所示。

4.2 粗糙度对润滑的影响

假定工况条件为 $W$ =450 N、 $U$ =1 m/s和 $S$ =0.2，图9（a）表示均方根粗糙度（ $RMS$ ）为0.8 μm的表面下应力分布云图以及油膜厚度、压力和温度沿卷吸速度方向的曲线。图9（a）中，压力分布曲线与表面下应力上边界对应。图9（b）中，当 $RMS$ 为0时可以看作是理想光滑表面，随着 $RMS$ 值的增大，平均膜厚逐渐增加。当 $RMS$ 较大时（ $RMS$ ≥0.4 μm），润滑状态从全膜润滑到混合润滑，继续增大 $RMS$ ，平均膜厚逐渐下降，油膜承载能力下降，粗糙峰接触位置次表面出现极大的应力，并且产生局部高温（超过800 ℃）。此时，接触副表面极容易发生疲劳破坏。

5 结　论

从轴承设计物理尺寸、加工表面和外加工况条件3个角度分析了转臂轴承润滑特性。得到以下结论：

1) 转臂轴承的球滚动体与滚道接触赫兹接触区椭圆率增大导致中心膜厚和最小膜厚都减小；适当增大转臂轴承滚动体半径有益于转臂轴承润滑油膜形成，提高油膜承载能力。

2) 提高转速可使滚动轴承接触副润滑状态从混合润滑进入全膜润滑状态，接触副平均膜厚会逐渐增加，改善滚动轴承润滑性能，但是油膜内温度有先减小后增大的变化趋势。

3) 不同的机械加工表面接触副平均膜厚和温度随转速和滑滚比变化趋势相同。精度较低的加工表面界面油膜承载能力下降，工作时会产生极大的表面下应力，容易导致零件接触表面磨损。