液压传动以其功率质量比大、传动平稳、调速方便等特点，在各类机械行业中得到了广泛应用^[1–2]。液压马达作为液压系统中的执行元件，其输出的转矩脉动不仅是衡量液压马达性能的重要标志，也将直接影响液压系统的工作性能^[3–4]。对液压马达转矩脉动的研究一直是液压马达的研究重点之一，聂松林等^[5]研究了轴向柱塞马达闭死角对其输出转矩的影响，提出闭死角是引起转矩突变的根本原因。邓海顺等^[6]分析了一种双侧驱动轴向柱塞马达转矩脉动特性，指出内外排柱塞交错分布能有效减小其转矩脉动。张军等^[7]研究了一种低速大扭矩齿轮转子马达的转矩脉动。

目前在液压系统中广泛应用的液压马达都是一个转子对应一个定子，无法实现液压马达的差动连接来满足更加复杂工况的需求。双定子液压马达是由一个转子对应两个定子，在一个壳体内形成两组马达，可实现马达的差动连接，具有很大的应用范围^[8–10]。双定子液压马达的差动连接作为一种新型的连接方式，其差动连接原理具有一定的特殊性^[11]。作者从双定子液压马达差动连接原理入手，对差动连接方式下双定子液压马达输出转矩的波动性进行研究。

1 双定子液压马达差动连接原理

以连杆滚柱双定子液压马达^[12–13]为例说明其结构和差动连接原理，该新型液压马达的差动原理简图如图1所示，实物图如图2所示。该液压马达在一个壳体内设计了1个转子和2个定子（内定子和外定子），由转子、外定子、外滚柱连杆组（外滚柱和连杆）、配流装置和侧板组成外马达；由转子、内定子、内滚柱连杆组（内滚柱和连杆）、配流装置和侧板组成内马达。

双定子液压马达的差动连接原理与液压缸的差动连接原理类似。当向该马达壳体中的外马达进油口和内马达出油口（内、外马达同向旋转时对应的油口）同时通入高压油时，内、外马达中的高压油对滚柱连杆组的作用力使转子有相反的运动趋势，但因外马达的排量及力臂均大于内马达的排量及力臂，则转子受外马达作用转矩（顺时针）大于内马达作用转矩（逆时针），所以转子将沿顺时针方向旋转。此时，内马达由外马达驱动旋转，实现了泵的工作原理，它将吸入外马达排出的部分低压油，并将高压油排出到外马达的进油口，增加了外马达的输入流量，从而实现了液压马达的差动工作。

双定子液压马达根据作用数不同可分为单作用、双作用和多作用等形式，而马达壳体内每组内、外马达个数与作用数相同。可通过内、外马达的不同组合实现双定子液压马达的多种差动连接方式。如图3所示，为双定子液压马达的2种差动连接方式^[14]。

2 马达差动连接转矩及其转矩脉动

由双定子液压马达差动原理可知，当马达差动连接时，内、外马达中的高压油对转子作用力方向相反，则可认为此时内、外马达输出转矩方向相反。假定双定子液压马达外界输入油液平稳，则双定子液压马达差动连接时壳体中的内、外马达的具体关系如图4所示。

2.1 内、外马达输出的转矩脉动分析

因双定子液压马达差动连接时，内马达由外马达驱动旋转，实现了泵的工作原理，并将其排出油液输入到外马达中。而此处对内、外马达转矩脉动的分析先不考虑内马达输出油液脉动的影响，只分析内、外马达工作时因其自身工作容积的瞬时变化不完全均匀而引起的脉动。

以双作用连杆滚柱双定子液压马达为例，其内、外马达的理论平均流量为：

$\left\{ \begin{aligned}& {q_{{\rm{thw}}}} = B\omega ({R_{\rm{w}}} - {r_{\rm{w}}})({R_{\rm{w}}} + {r_{\rm{w}}} - \frac{{S{\textit{z}}}}{{\rm{\text{π} }}})\\& {q_{{\rm{thn}}}} = B\omega ({R_{\rm{n}}} - {r_{\rm{n}}})({R_{\rm{n}}} + {r_{\rm{n}}} - \frac{{S{\textit{z}}}}{{\rm{\text{π} }}})\end{aligned} \right.$

(1)

式中，B为定子、转子的轴向宽度，ω为马达的角速度，R_w为外定子内曲线大圆弧半径，r_w为外定子内曲线小圆弧半径，R_n为内定子外曲线大圆弧半径，r_n为内定子外曲线小圆弧半径，S为连杆厚度，z为马达滚柱连杆组数量。

设液压马达的进出口压差为Δp，根据平均理论转矩公式 ${T_{{\rm{th}}}} = \Delta p{q_{{\rm{th}}}}/\omega $ ，得到内、外马达的平均理论转矩为：

$\left\{ \begin{aligned}& {T_{{\rm{thw}}}} = \Delta pB({R_{\rm w}} - {r_{\rm w}})({R_{\rm w}} + {r_{\rm w}} - \frac{{S{\textit{z}}}}{{\rm{\text{π} }}})\\& {T_{{\rm{thn}}}} = \Delta pB({R_{\rm n}} - {r_{\rm n}})({R_{\rm n}} + {r_{\rm n}} - \frac{{S{\textit{z}}}}{{\rm{\text{π} }}})\end{aligned} \right.$

(2)

因双定子液压马达差动连接时，内、外马达输出转矩的方向相反，则差动连接时双定子液压马达输出的平均理论转矩为：

${T_{{\rm{th}}}} = {T_{{\rm{thw}}}} - {T_{{\rm{thn}}}} = \Delta pB\left( {R_{\rm{w}}^2 - r_{\rm{w}}^2 - R_{\rm{n}}^2 + r_{\rm{n}}^2} \right)$

(3)

因该新型液压马达外定子的内侧曲线和内定子的外侧曲线为相似的等距曲线，则：

$\left\{ \begin{array}{l}{\rho _{{\rm{wi}}}}\left( \varphi \right) - {\rho _{{\rm{ni}}}}\left( \varphi \right) = l,\\{R_{\rm{w}}} - {R_{\rm{n}}} = l,\\{r_{\rm{w}}} - {r_{\rm{n}}} = l\end{array} \right.$

(4)

式中，l为连杆滚柱组的径向长度。

则由式（3）和式（4）得马达输出的平均理论转矩T_th为：

${T_{{\rm{th}}}} = {\rm{2}}\Delta pBl\left( {{R_{\rm{n}}} - {r_{\rm{n}}}} \right)$

(5)

液压马达的转矩脉动性是通过瞬时转矩的理论变化情况来研究，瞬时转矩的理论值为 ${T_{{\rm{tr}}}} = \Delta p{q_{{\rm{tr}}}}/\omega $ ，可以看出液压马达瞬时流量的均匀性将直接影响其输出转矩的脉动品质。假设双定子液压马达运行平稳，外马达的瞬时流量可表示为：

${q_{{\rm{trw}}}} = B\omega \left[ {\left( {R_{\rm{w}}^2 - r_{\rm{w}}^2} \right) - 2S\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]$

(6)

式中， ${\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)} _i}$ 为外马达在dt时间内压油区内m个叶片沿相对失径ρ_wi（ $ \varphi $ ）的度速度（指定子曲线ρ_w（ $ \varphi $ ）随转子转角 $ \varphi $ 的变化率）的和。

同理，内马达的瞬时流量可表示为：

${q_{{\rm{trn}}}} = B\omega \left[ {\left( {R_{\rm{n}}^2 - r_{\rm{n}}^2} \right) - 2S\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _{\rm{0}}}} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]$

(7)

外马达输出的瞬时转矩为：

${T_{{\rm{trw}}}} = \Delta pB\left[ {\left( {R_{\rm{w}}^2{\rm{ - }}r_{\rm{w}}^2} \right) - 2S\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]$

(8)

内马达输出的瞬时转矩为：

${T_{{\rm{trn}}}} = \Delta pB\left[ {\left( {R_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}r_{\rm{n}}^2} \right) - 2S\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]$

(9)

式中， $ \varphi $ ₀为滞后角，滞后角 $\varphi $ ₀是由于双定子液压马达差动连接时内、外马达之间的管路安装等因素产生的。

则由式（8）和式（9）可得，双定子液压马达差动连接时输出的瞬时转矩为：

$\begin{array}{l}{T_{{\rm{tr}}}}{\rm{ = }}{T_{{\rm{trw}}}} - {T_{{\rm{trn}}}}=\\ {\rm{2}}\Delta pB\left[ {l\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ - }}{r_{\rm{n}}}} \right){\rm{ - }}S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right){\rm{ - }}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right]}_i}} } \right]\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}$

(10)

由式（10）分析可知，当滞后角 $ \varphi $ ₀=Aβ₀（β₀为马达叶片数的交变周期，β₀=2π/z，A=0，1，2，···）时，马达工作容积瞬时变化均匀，此时双定子液压马达差动连接输出转矩无脉动。

2.2 内马达（泵）输出的流量脉动分析

由双定子液压马达差动连接时内、外马达具体关系可知，内马达此时实现了泵的工作原理，其由外马达驱动旋转，二者具有相同的角速度ω，且内马达将排出的高压油输入到外马达中，则此时内、外马达是相互影响的。

由图4可知，外马达输入的瞬时流量q_trw与内马达输出的瞬时流量q_trn和双定子液压马达外界输入流量Q的具体关系为：

${q_{{\rm{trw}}}} = Q + {q_{{\rm{trn}}}}$

(11)

因双定子液压马达差动连接时存在一定的滞后角φ₀，由式（6）、（7）和（11）可得：

$\begin{aligned}[b]& B\omega \left[ {R_{\rm{w}}^2 - r_{\rm{w}}^2 - 2S\sum\limits_{i{\rm{ = 1}}}^{{m}} {{{\left( {\frac{{{\rm d}{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}_i}} } \right] = Q+ \\& \quad B\omega \left[ {R_{\rm{n}}^2 - r_{\rm{n}}^2 - 2S\sum\limits_{i{\rm{ = 1}}}^{{m}} {{{\left( {\frac{{{\rm d}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]\end{aligned}$

(12)

则内马达输出的瞬时流量q_trn为：

${q_{{\rm{trn}}}} = \frac{{\left[ {R_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}r_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}2S\displaystyle\sum\limits_{i{\rm{ = 1}}}^{{m}} {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{n}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]Q}}{{{\rm{2}}\left[ {l\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ - }}{r_{\rm{n}}}} \right){\rm{ - }}S\displaystyle\sum\limits_{i{\rm{ = 1}}}^{{m}} {{{\left[ {\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right){\rm{ - }}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)} \right)}}{{{\rm d}\varphi }}} \right]}_i}} } \right]}}$

(13)

由式（13）可知，当马达滞后角 $ \varphi $ ₀不同时，内马达输出的流量脉动也不同，当滞后角 $ \varphi $ ₀=Aβ₀ （A=0，1，2，···）时，内马达输出油液最平稳。

同理，根据双定子液压马达差动连接时内、外马达之间的具体关系，可以得到内马达输出的理论平均流量为：

${q_{{\rm{thn}}}} = \frac{{{R_{\rm{n}}}{\rm{ + }}{r_{\rm{n}}}{\rm{ - }}\displaystyle\frac{{S{\textit{z}}}}{{\rm{\text{π} }}}}}{{{\rm{2}}l}}Q$

(14)

2.3 内马达（泵）的流量脉动对外马达转矩的影响

虽然假定双定子液压马达外界输入油液是平稳的，但由于双定子液压马达差动连接时，内马达输出的脉动高压油将影响双定子液压马达差动连接时输出的转矩脉动。则在不考虑泄漏以及阀等元件影响的前提下，定义了无量纲波动系数f（ $ \varphi $ ），可将复杂的波动性简化为单纯的简谐波，从而可以通过波的叠加理论对差动连接时双定子液压马达输出的转矩脉动进行理论分析^[15–16]。

液压泵输出流量的波动系数表示为：

${f_{\rm{p}}}\left( \varphi \right) = \frac{{{q_{{\rm{tr}}}}}}{{{q_{{\rm{th}}}}}}$

(15)

液压马达输出转矩的波动系数表示为：

${f_{\rm{m}}}\left( \varphi \right) = \frac{{{T_{{\rm{tr}}}}}}{{{T_{{\rm{th}}}}}}$

(16)

泵和马达的波动系数均为无量纲系数，其可以直观的反映出泵和马达的波动性。则对马达输出转矩脉动的分析可归结到对马达波动系数变化的分析。

根据式（15），由式（13）和式（14）得到内马达（泵）输出的流量波动系数为：

$\begin{array}{l}{f_{\rm{p}}}\left( \varphi \right){\rm{ = }}\\\displaystyle\frac{{l \cdot \left[ {R_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}r_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}2S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{n}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]}}{{\left[ {l\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ - }}{r_{\rm{n}}}} \right){\rm{ - }}S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right){\rm{ - }}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right]}_i}} } \right] \cdot \left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ + }}{r_{\rm{n}}}{\rm{ - }}\displaystyle\frac{{S{\textit z}}}{\text π}} \right)}}\end{array}$

(17)

当不考虑内马达（泵）输出的脉动油液对内、外差动连接时输出转矩脉动的影响时，根据式（16），由式（3）和式（10）得到内、外马达差动连接时输出的转矩波动系数为：

$f_{\rm{m}}^{\rm{*}}\left( \varphi \right){\rm{ = 1 - }}\frac{{S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right){\rm{ - }}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right]}_i}} }}{{l\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ - }}{r_{\rm{n}}}} \right)}}$

(18)

马达的转矩脉动系数可直观地反映出马达的波动性，但式（18）中马达的转矩脉动系数 $f_{\rm{m}}^*\left( \varphi \right)$ 仅是由于内、外马达工作容积的瞬时变化不完全均匀而引起的，而未考虑内马达（泵）输出的脉动高压油的影响。当综合考虑上述两方面对转矩脉动系数f_m（ $\varphi $ ）的影响时，双定子液压马达差动连接时输出的转矩脉动系数可表示为：

${f_{\rm{m}}}\left( \varphi \right){\rm{ = }}{f_{\rm{p}}}\left( \varphi \right) + f_{\rm{m}}^*\left( \varphi \right)$

(19)

由式（17）、（18）得：

$f\left( \varphi \right){\rm{ = 1 + }}\frac{{l \cdot \left[ {R_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}r_{\rm{n}}^2{\rm{ - }}2S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\rho _{\rm{n}}}\left( \varphi \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right)}_i}} } \right]}}{{\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ + }}{r_{\rm{n}}}{\rm{ - }}\displaystyle\frac{{S{\textit{z}}}}{{\rm{\text{π} }}}} \right) \cdot \left[ {l\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ - }}{r_{\rm{n}}}} \right){\rm{ - }}S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rho _{\rm{w}}}\left( \varphi \right){\rm{ - }}{\rho _{\rm{n}}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right]}_i}} } \right]}}{\rm{ - }}\frac{{S\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rho _{{\rm{w}}i}}\left( \varphi \right){\rm{ - }}{\rho _{{\rm{n}}i}}\left( {\varphi {\rm{ - }}{\varphi _0}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\varphi }}} \right]}_i}} }}{{l\left( {{R_{\rm{n}}}{\rm{ - }}{r_{\rm{n}}}} \right)}}$

(20)

由式（20）可知，滞后角 $ \varphi $ ₀是影响双定子液压马达差动连接时输出转矩脉动的重要因素。将双定子液压马达的设计参数代入式（3）、（16）和（20），由Matlab软件仿真得到当滞后角 $ \varphi $ ₀分别取0、β₀/4、β₀/2、3β₀/4时，双定子马达差动连接时瞬时输出转矩曲线如图5所示。

由图5可知，当滞后角 $ \varphi $ ₀不同时，双定子液压马达差动连接时输出的转矩脉动也不同，则当双定子液压马达在差动连接工作时应避免其在转矩脉动最大时运转。综合上述分析可知，双定子液压马达差动连接时输出转矩的平稳性主要受两个因素影响：1）内、外马达工作容积的瞬时变化不均匀；2）内马达（泵）输出的脉动高压油。当滞后角 $ \varphi $ ₀ =2Aπ/z （A=0，1，2，···）时，由内、外马达工作容积瞬时变化不均匀引起的转矩脉动系数 $f_{\rm{m}}^*\left( \varphi \right)$ 为1，且此时因内马达输出流量脉动引起的转矩脉动系数f_p（ $ \varphi $ ）也最小，则此时马达差动连接输出的转矩脉动最小。

3 试　验

因液压马达输出转矩的波动性曲线直接通过试验很难测得，而本试验采用的方法是通过由北京三晶创业科技有限公司生产的JN338型转矩测量仪测（准确度等级为0.5级，如图6(b)所示）采集多组试验数据，测算出马达输出转矩的最大值T_max、最小值T_min和平均值T，根据公式 ${\delta _{\rm{T}}} = \displaystyle\frac{{{T_{\max }} - {T_{\min }}}}{T}$ 计算马达转矩不均匀系数。利用转矩不均匀系数来表示双定子液压马达差动连接时输出转矩的波动性。试验原理图和试验现场图如图6所示^[17]。

该试验中在液压泵6出口处并联蓄能器8来消除液压泵6输出的脉动高压油对双定子液压马达13输出转矩脉动的影响。因双定子液压马达差动连接时内、外马达之间存在滞后角 $ \varphi $ ₀，其是影响马达输出转矩脉动的一个重要因素，而滞后角 $ \varphi $ ₀主要与内、外马达之间管路体积等因素有关。本试验为测量由内、外马达之间的管路体积引起的滞后角 $ \varphi $ ₀对双定子马达差动连接时输出转矩脉动的影响，选取了长度为0.8、2.0、3.5和5.0 m的4种钢丝编制液压胶管来分别进行试验。

本次试验在恒转速和恒转矩两种情况下，分别通过换接4种不同长度的液压胶管来分别测量多组试验数据，进而计算出每种情况下马达输出的转矩不均匀系数。当马达转速为500 r/min时，试验数据处理如图7所示；当马达转矩为60 Nm时，试验数据处理结果如图8所示。

由图7和图8可以看出，当连接内、外马达之间的胶管长度不同时，马达输出的转矩不均匀系数也不同。管长为2.0 m所对应的马达输出转矩不均匀系数较小，变化幅度小，则其输出转矩平稳性较好；5.0 m所对应的马达输出转矩不均匀系数较大，且变化幅度较大，则此时马达输出转矩平稳性较差。由理论计算得到马达差动连接时转矩不均匀系数最小值为1.3%，最大值为2.6%。而由试验数据计算得到的绝大部分转矩不均匀系数δ_T数值均在1.3%～2.6%范围内。且试验结果表明，滞后角 $ \varphi $ ₀对双定子马达差动连接时输出的转矩脉动具有很大影响，则可通过合理的调整滞后角 $ \varphi $ ₀来降低马达的输出转矩脉动。试验结果基本证明了理论分析的正确性。

4 结　论

1）因双定子液压马达在一个壳体内设计了1个转子和2个定子，则通过内、外马达反向连接的不同组合可以实现该类马达的多种差动连接方式。并对双定子马达差动连接原理进行分析，得出差动连接时内、外马达之间的具体关系。

2）通过对内、外马达内部结构的深入分析，并结合差动连接时内、外马达之间的具体关系，总结出内、外马达理论瞬时流量和理论瞬时转矩。进而利用波动系数分析出内马达输出的脉动油液对马达输出转矩波动性的影响，并得出双定子液压马达差动连接时输出转矩波动系数的一般公式。

3）由双定子液压马达差动连接时输出转矩波动性系数可知，滞后角是影响双定子液压马达差动连接时输出转矩脉动的重要因素，可通过合理调整滞后角使双定子液压马达输出的转矩更平稳。