随着工业的不断发展，超精密加工技术越来越能反应一个国家的工业发展水平。发展超精密切削机床是超精密加工技术中的重要一环，超精密切削机床的加工精度直接影响到加工产品的质量^[1–2]。而空气静压主轴是实现超精密切削加工的重要运动部件，空气静压主轴的回转误差直接制约超精密切削机床加工精度的提升，主轴的回转误差会直接反映到加工零件的表面形貌上^[3–5]。因此国内外研究人员致力于提升空气静压主轴回转精度的研究。

在早期的研究中，小孔节流形式的空气静压主轴由于涉及理论简单、制造工艺成熟得到了较多的关注。随着研究的不断深入，研究人员发现节流孔附近激波与边界层的相互作用形成的气旋将诱发轴承的自激振荡^[6–8]。许多学者采用了更改节流腔形状、增加节流孔数量以及改变进口压力等方式依然不能有效解决这一问题^[9–10]。随着材料科学的发展，多孔质这种新型材料受到了越来越多的关注，多孔质节流器表面具有成千上万的微小节流孔，使得轴承表面的压力分布变得更加均匀，可以有效减小小孔节流中存在的自激振动现象，因此多孔质节流器具有更加优越的节流效果和稳定性，多孔质节流方式为提高空气静压主轴的回转精度提供了新的可能性^[11–13]。

Kosmynin等^[14]开展了两排无腔圆柱轴承和多孔质轴承的回转精度对比实验，结果表明多孔质轴承静压主轴的回转精度比双排小孔轴承高16%～22%，验证了多孔质轴承在均匀流场方面具有独特的性能优势。Kim等^[15]联立动态雷诺方程和牛顿动力学方程，研究了主轴回转误差的形成机理。Kashchenevsky等^[16]将由轴承摩擦副误差产生的油膜扰动力用静刚度、动刚度和阻尼表示，基于牛顿动力学原理构造了回转精度的理论模型。孙方金^[17]将轴承气腔分成与进气孔数量相同的“等效狭缝”，在圆周方向所有等效狭缝径向力的平衡条件共同决定了主轴轴心的位置。郑颖君等^[18]将气膜简化为弹性单元，节流孔所在截面的气膜力系可转化为平面汇交力系，每一个节流孔相当于一个弹簧。同时，Kashchenevsky和孙方金等认为轴承几何形状误差对回转运动的影响与误差敏感方向有关^[16–17]。Akira等^[19]的进一步研究表明：误差运动与旋转件不圆度的误差分布有关。景岗等^[20]同样发现人为回转误差主要是由转子和轴承本身的制造误差引起的，故提高轴承和转子的制造精度，可显著提升主轴回转精度。但是，到目前为止国内外研究者还不能在理论上对多孔质空气静压主轴的回转精度进行定量精确求解，更不能直接揭示误差均化机理的动态演化过程。

作者采用基于计算流体力学和动态网格技术的数值模拟方法，直接定量精确计算主轴转子圆度误差对主轴回转误差的影响规律，并揭示各相关物理参量在回转误差动态演化过程中的相互作用规律。首先，根据实验测量数据分析规律采用频率和幅值相结合的方式对主轴转子的圆度误差进行几何建模。然后，在FLUENT平台下利用动态网格技术，并采用瞬态分析方法同时求解N-S方程和牛顿运动定律，实现圆度误差对回转误差的影响规律分析。最后，搭建高精度回转误差测量实验平台，对自行研制的多孔质空气静压主轴回转误差进行测量，验证了所采用的回转误差分析方法的有效性和准确性。

1 动态回转精度预测方法 1.1 计算流体力学理论

轴承间隙内的气体流动受物理守恒定律的支配，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律表示单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。依据该定律得到质量守恒方程如下：

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla (\rho \mathit{\boldsymbol{v}}) = {S_m}$

(1)

动量守恒定律也是气体在间隙内流动必须满足的基本定律，该定律表示微元体中流体的流动对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，依据该定律导出动量守恒方程如式（2）所示：

$\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho \mathit{\boldsymbol{v}}} \right) + \nabla (\rho \mathit{\boldsymbol{v v}}) = - \nabla p + \nabla \tau + \rho g + \mathit{\boldsymbol{F}}$

(2)

式中，τ为压力张量，其可以表示成：

$\mathit{\boldsymbol{\tau }} = \mu \left[ {\left( {\nabla \mathit{\boldsymbol{v}} + \nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^{\rm T}}} \right) - \frac{2}{3}\nabla \mathit{\boldsymbol{v}}I} \right]$

(3)

式（1）~（3）中，p为流体压力，τ为压力张量，v为气体流速，ρ为气体质量体积密度， $\rho g $ 和F为重力体积力和外部体积力，μ为分子黏性，I为单位张量（所有变量表示下同）。

气体流动伴随着热交换，满足能量守恒，微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热量加上体积力与表面力对微元体所做的功，因此能量守恒方程可以表示成：

$\frac{\partial }{{\partial t}}(\rho T) + \nabla (\rho \mu T) = - \nabla \left( {\frac{{{k}}}{{{c_p}}}{\rm grad}\; T} \right) + {S_T}$

(4)

当气体以较大的压力经过多孔质节流器区域时，将出现局部紊流，多孔质内的气体压差与流量不再满足线性关系，需要根据Darcy-Forchheimer方程求解，如式（5）所示：

$- \nabla p = \frac{\mu }{\alpha }\mathit{\boldsymbol{v}} + {C_F}\rho {u^2}$

(5)

式中，α为黏性渗透系数，C_F为惯性系数，μ为气体黏度。

气体经过多孔质出口边界流入气膜间隙时存在速度滑移现象，这种现象可以由Beaver-Joseph方程求解得到气体在边界处的流动规律，如式（6）所示：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{\mathit{\boldsymbol{v}}_r} = \frac{1}{{2\mu }}\frac{{\partial p}}{{\partial r}}({\textit z} - h)({\textit z} + \frac{h}{3}{\xi _0})}\text{，}\\& {{\mathit{\boldsymbol{v}}_\theta } = \frac{1}{{2\mu r}}\frac{{\partial p}}{{\partial \theta }}({\textit z} - h)({\textit z} + \frac{h}{3}{\xi _1})}\text{，}\\& {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\textit z}} = - \frac{{{\phi _{\textit z}}}}{\mu }\frac{{\partial {p'}}}{{\partial {\textit z}}}}\end{aligned}} \right.$

(6)

式中：v_r、v_θ、v_z分别为气膜间隙内的r、θ、z方向的气体速度，h表示轴承间隙，ξ₀、ξ₁分别为r和θ方向的滑移参数。

通过联立求解以上的守恒方程、Darcy-Forchheimer方程和滑移方程，可以得到气膜内的压力分布。

1.2 动网格技术

动网格技术实际上是利用牛顿第二定律求解刚体边界的加速度、速度，进而得到刚体边界的位移，从而控制网格移动。牛顿第二定律在动网格中表述如式（7）和（8）所示：

$\int_{{t_0}}^t {{\rm d}{v} = } \int_{{t_0}}^t {\frac{F}{m}{\rm d}t}$

(7)

${v_t} = {v_{t - \Delta t}} + \frac{F}{m}\Delta t$

(8)

网格移动过程中，网格移动更新是以胡克定律为核心思想，网格移动与气膜力的关系如式（9）所示：

${F_i} = \sum\limits_j^{{n_i}} {{k_{ij}}(\Delta {x_j} - \Delta {x_i}} ), \;{k_{ij}} = - \frac{1}{{\sqrt {\left| {{x_i} - {x_j}} \right|} }}$

(9)

式中，F_i为节点i的气膜力，x_i和x_j分别为节点i和j的位置，∆x_i、∆x_j为节点位置的变化量，k_ij为节点i与节点j之间的弹性系数，n_i与为节点i与相邻的节点数。

主轴平动时，主轴边界上的节点按照胡克定律进行移动，通过气体内部节点传递至多孔质边界，传递过程中，为减小网格畸变程度，需要对主轴边界和多孔质边界上的网格节点进行更新，更新方程见式（10）：

$x_i^{n + 1} = x_i^n + \beta \Delta x_i^m$

(10)

式中，n和n+1为相邻迭代时间步的位置，β为移动节点的松弛因子，m为迭代次数。

流体内部节点满足受力平衡，气膜网格内部节点移动时，网格更新满足式（11）：

$\Delta x_i^{m + 1} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_j^{n_i} {{k_{ij}}\Delta x_j^m} }}{{\displaystyle\sum\limits_j^{n_i} {{k_{ij}}} }}$

(11)

1.3 瞬态求解过程

瞬态求解过程是指对主轴实际运转过程中的受力及运动状态的变化进行求解一种过程。瞬态求解过程中，只需要对方程中与时间有关的瞬态项进行处理，采用一阶向后差分处理式如式（12）所示：

$\left\{ {\begin{aligned}& {\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\int_V {\rho \phi {\rm d}V = \frac{{{{(\rho \phi V)}^{n + 1}} - (\rho \phi V)}}{{\Delta t}}} }\text{，}\\& {{V^{n + 1}} = {V^n} + \frac{{{\rm d}V}}{{{\rm d}t}}\Delta t}\text{，}\\& {\frac{{{\rm d}V}}{{{\rm d}t}} = \int_{\partial V} {{u_g} \cdot {\rm d}A = \sum\limits_j^{{n_f}} {{u_{g,j}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{A}}_j}} } }\text{，}\\& {{u_{g,j}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{A}}_j} = \frac{{\rm \delta {V_j}}}{{\Delta t}}}\end{aligned}} \right.$

(12)

式中，n和n+1为当前时间和下个时间的物理参量， $\displaystyle\frac{{{\rm d}V}}{{{\rm d}t}}$ 为控制体的体积微分，n_f为控制体的面数量，A_j为j面的表面积矢量，δV_j为在时间步长∆t内控制面j作用引起的体积变化量。整个回转误差求解过程如图1所示。

2 回转误差影响规律分析 2.1 制造误差表征

通过分析测量数据图（图2是实验测得的多组测量数据中的不同主轴圆度的测量结果），得到了主轴的圆度误差幅值在0～1.2 μm之间，且从图2中可以得出圆度误差信号是由一个个不同的振幅与不同的频率的正余弦波形信号叠加而成，可以通过傅里叶变换对其进行分解，所以本文通过将圆度误差信号表征成图3所示的不同波形的几何模型，再在不同波形的情况下改变振幅，以表征圆度误差，从而可以比较准确地表征出主轴圆度误差对多孔质气体静压主轴的回转误差的影响规律。文中误差幅值表示图3中波峰的高度到理想圆的距离，误差频率表示波数的多少（模型中用N表示）。通过误差幅值与误差频率概念，可以合理对其进行表征，并仿真计算其对多孔质气体静压轴承的回转精度的影响规律。

2.2 数值模拟模型建立

在对多孔质气体静压轴承的径向静动态特性研究时，保留与其相关的流体域、固体域以及边界条件，将与其无关的结构简化后得到几何模型和流场网格划分如图4所示。

数值求解边界条件设定：入口气体压强为506 625 Pa，出口压力与大气压强一致，动态运转速度为300 rad/s，多孔质的黏性阻力系数为1.25×10^–4，惯性阻力系数为2.49×10^–7，流体为理想空气。

2.3 圆度误差影响规律分析 2.3.1 相同波形，不同幅值的分析

根据实验测得了主轴的圆度误差值，分析数据结果合理选择了圆度误差幅值为0、0.5、1.0 μm的主轴进行仿真计算，计算得到了单波、双波、三波以及四波4种不同波形的不同幅值的仿真结果。单波的仿真结果如图5所示。通过图5可以看出，随着误差幅值的增加单波X、Y向主轴所受承载力逐渐增大，而且位移幅值远远大于理想情况（即误差幅值为0 μm）时的位移。Y方向的位移初始时，震荡变化明显，这也与误差方向为Y方向的情况比较相符。从图7可以看出单波不同幅值的轨迹都显得比较混乱，侧面反映了单波对主轴回转精度的影响比较明显。

双波的仿真结果如图6所示，从图6可以看出，随着误差幅值的增加，主轴位移逐渐增大，当误差幅值为1.0 μm时，主轴的位移的波峰与波谷初始差值达到了38 nm，稳定之后，仍然有21 nm。从图7可以看出，双波主轴运动轨迹逐渐趋于椭圆状。

三波的仿真结果如图8所示，从图8可以看出，主轴位移更趋近于正余弦波形，波峰、波谷外的局部震相较单波与双波的情形逐渐降低。从图7可以看出，三波主轴的运动轨迹更加扁，而且随着幅值的增加，轨迹震荡越大。

四波仿真结果如图9所示，从图9可以看出，随着幅值的增加，位移呈现的规律与其他波形大致相同，区别在于位移幅值的大小不一样，这也间接说明了不同的波形对于主轴回转精度的影响是不一样的。四波主轴运动轨迹相较于三波主轴运动轨迹更加趋近于圆。

通过比较每种波形的不同幅值的图像，可以得出以下结论:随着幅值的增加，主轴在转动过程中，X、Y向坐标会不断增大，主轴中心偏离原点半径会越来越大；单波误差对主轴回转精度的影响远远大于其他波形，特别是对单波波形所在方向即Y方向的影响远远大于其他波形。而从不同波形的极坐标图比较可以看出，基数波的轨迹比偶数波更趋近于椭圆。而当误差幅值为1.0 μm时计算出的主轴回转误差的值更是达到了23 nm。

2.3.2 相同幅值，不同波形的分析

为了准确比较各个波形对主轴回转精度的影响，将4种波形在误差幅值为1.0 μm的情况分别进行了比较，结果如图10所示。从图10主轴的X、Y向受力比较可以看出，不同波形对主轴的X、Y向受力与坐标影响比较明显，远远大于没有制造误差时的情况。图11反映出单波的影响最为明显，特别是单波所在方向引起的震荡远远大于其他波形；而通过比较奇单波、三波与双波、四波对主轴受力以及回转轨迹的影响可以得到，奇数波对主轴回转精度的影响大于偶数波；而且，随着波数的增加，回转误差逐渐降低。所以，由上述结论可知，在制造空气静压主轴时，应尽量避免单波情形出现，并且尽量选择误差波形比较均匀的空气静压主轴作为工作主轴，这样能提高主轴的回转精度。

从图10主轴的X、Y向受力比较可以看出，不同波形对主轴的X、Y向受力与坐标影响比较明显，远远大于没有制造误差时的情况。图11反映出单波的影响最为明显，特别是单波所在方向引起的震荡远远大于其他波形；而通过比较奇单波、三波与双波、四波对主轴受力以及回转轨迹的影响可以得到，奇数波对主轴回转精度的影响大于偶数波；而且，随着波数的增加，回转误差逐渐降低。所以，由上述结论可知，在制造空气静压主轴时，应尽量避免单波情形出现，并且尽量选择误差波形比较均匀的空气静压主轴作为工作主轴，这样能提高主轴的回转精度。

2.3.3 圆度误差的影响机理分析

为准确分析制造误差对多孔质气体静压轴承的回转精度的影响机理，故选取了理想主轴与幅值为1.0 μm的三波主轴的速度云图，见图12。通过比较可以看出，三波制造误差对气膜间隙内的流场产生了影响，影响了原本均匀的流场，从而使主轴受力发生变化，如图13所示。进而在动态计算过程中，影响气膜间隙内部的速度矢量及速度大小，从而影响主轴的位移变化。从图13可知流场内部的受力及位移变化规律。

总结以上分析可以得到：首先是由于误差幅值的存在，影响了气膜间隙内部流场分布，进而影响气膜力；当主轴运动时，由于气膜内部流场的不均匀，导致运转过程中，受力不平衡，发生变化，从而影响主轴的加速度，速度变化，导致主轴位移发生偏移，进而偏离理想平衡位置，产生回转误差。

流场的分布是多孔质气体静压轴系运转的关键，任何能够影响多孔质内部流场和气膜间隙内部流场的因素，都会对主轴的回转精度产生一定的影响，产生影响的大小则由内部流场变化大小决定。这在一定程度上说明了误差均化机理产生的缘由，正是由于流场能够随着误差频率的增加而变得更加均匀，才使得波数越多，回转误差幅值逐渐减小。

由图14可知，无论是奇数波还是偶数波，只要是存在波峰的地方，压强云图中会出现压强集中部分；通过比较发现，偶数波比奇数波的压强云图更加均压强集中的部分会逐渐增多，而当波数接近均匀，且压强分布随着波数的增加出现极限之处，这些不均匀的部分就会结合成一个整体，这时所有压强分布均匀一致，出现的压强云图将与理想情况一致，从而使多孔质气体静压轴承回转误差近似为0，这也与孙金方等^[17]提出的误差均化机理的结论一致。

2.4 回转精度的实验验证

为了验证仿真结果的正确性，搭建了如图15所示的实验平台对径向主轴的圆度误差以及回转精度进行测试。首先将空气主轴安装在底盘支架上，电机与主轴底部通过相关装置连接。标准球竖直粘在主轴上方，位移传感器与圆度标准球接触，在回转误差测量过程中采用反向法测量。

由于轴承制造误差的随机性，现有实验条件不能对所有类型的制造误差进行一一测定，固对现有轴承的单波制造误差的主轴进行验证。

空气主轴圆度误差测试结果如图16所示，测得的圆度误差的最大幅值为1.0 μm，主轴回转误差的最大值为50 nm；仿真计算得出的最大误差值23 nm，圆度误差仿真计算值占实验测得的回转误差（包含垂直度、圆柱度、圆度等引起的回转误差）的46%，故得出圆度误差是影响主轴回转精度的主要因素。

3 结　论

通过实验结果与仿真结果的比较，验证了本文采用的仿真方法与仿真模型的正确性和有效性。可以得到以下结论：

1）基于动网格技术提出的一种空气主轴回转精度的预测方法，能够有效解决回转精度的计算问题，并且经过工程试验验证了该方法的准确性和有效性，能够为日后的工程应用提供参考，具有一定的实际应用价值。

2）圆度误差是影响主轴回转精度的主要因素。圆度误差对主轴的回转精度的影响主要是因为圆度幅值对内部流场的分布造成了重大影响，从而导致主轴受力不均，进而影响回转精度，产生回转误差。

3）奇偶波对主轴运动轨迹的影响是有一定区别的。相同幅值下，奇数波的影响要略大于偶数波，单波除外，单波的影响要远大于其他波形，特别是在主轴开始转动时，误差影响很大。无论奇数波还是偶数波都随着误差频率（即波数）的增加，回转误差幅值逐渐降低。

4）误差幅值的增加会显著影响回转精度，导致回转误差值增加，因此空气主轴的加工精度是保证多孔质气体静压主轴回转精度的重要因素。