近年来，随着精密定位、航空航天等尖端技术的发展，集传动与控制于一体的机电集成微型传动系统成为研究的热点^[1]。其中利用压电陶瓷材料作驱动的各类微型电机因具有位移分辨率高、频率响应快、控制方便、无电磁干扰等优点而被广泛关注^[2–4]。20世纪90年代以来，各种类型的压电微电机被科研工作者设计和制造出来。Hamamoto 等^[5]利用4个旋转行波的压电驱动器设计出一种外形类似蜻蜓的飞行器，另外Tomoaki ^[6]设计和制造了一台定子体积为1 mm³的超微型压电电机，该电机成为世界上最小的压电电机之一；Jeong 等^[7]设计出用于移动设备上的旋转压电电机，该电机采用三足式结构，具有较好的实用性能；Ho 等^[8]提出一种压电螺旋传动电机，该电机由4个压电叠堆驱动，工作在双剪切模态，传动速度为2.137 mm/s；Liu和Yang等^[9–10]先后研制出单足T形直线压电超声电机及应用绑定复合梁的圆柱形行波压电超声电机。

传统压电电机利用定转子间的摩擦力来传递运动，存在接触面磨损严重、效率低等问题。非接触式压电电机有效地避免了摩擦，但是其输出转矩较小而影响了其应用。为解决上述存在问题，笔者提出了一种压电活齿传动系统^[11]，该系统利用活齿的滚动滑动代替定转子间的摩擦，具有输出转矩大、寿命长、结构简单等优点。

输出转矩大小将直接影响传动系统的实用性，设计传动系统最重要的目标是尽量实现转矩的最大化。本文在压电活齿传动结构设计的基础上，推导出系统的输出转矩方程，并对输出转矩进行优化。本文的研究对于压电活齿传动结构的改进提供理论基础。

1 压电活齿传动驱动原理

压电活齿传动系统结构和工作原理如图1所示。压电活齿传动系统集成压电驱动、谐波传动、活齿传动于一体，系统由驱动部分和传动部分构成，其中驱动部分由压电叠堆和位移放大机构构成，传动部分由波发生器、中心轮、活齿架、活齿构成。电机工作时，对位置互为90°的2个压电叠堆分别通入相位差为90°的正弦信号后，两压电叠堆在电压信号激励下分别进行伸缩变形，2个方向的变形量在位移放大机构的作用下被逐级放大，最终在波发生器边缘处形成连续谐波，谐波力推动活齿沿中心轮齿廓滑动，活齿的滚动带动活齿架发生转动，重复以上过程，在连续电压信号的驱动下，与活齿架固连的输出轴获得连续转动。

2 系统输出转矩方程

考虑非线性时压电应变方程为^[12]：

${\varepsilon _3} = {d_{33}}\frac{U}{{{l_{\rm{p}}}}} + \frac{1}{2}{d_{333}}{\left( {\frac{U}{{{l_{\rm p}}}}} \right)^2}$

(1)

式中：d₃₃为压电应变常数，m/V；l_p是压电叠堆中陶瓷片厚度，mm；d₃₃₃为二次非线性压电系数；U为压电叠堆驱动信号， $U\left( t \right) = {U_{{\rm p} - {\rm p}}}[1 + {\rm sin}(2\text{π} ft)]/2$ ，U_p-p为驱动信号峰峰值，V；f为驱动频率，Hz。

根据关系式σ =F_p/A_p和σ =c₃₃ε，可得压电叠堆的非线性输出力为：

${F_{\rm{p}}}{\rm{ = }}\frac{{{c_{33}}{A_{\rm{p}}}U}}{{2l_{\rm{p}}^2}}\left( {2{d_{33}}{l_{\rm{p}}} + {d_{333}}U} \right)$

(2)

式中，c₃₃为压电叠堆的弹性刚度系数，A_p为压电叠堆横截面积。

压电叠堆的变形力在位移放大机构的作用下转化为波发生器谐波力F_H。图2中，F_k是压缩弹簧产生的力，对图中O点和O₁点取矩，可得谐波力为：

${F_{\rm H}} = \frac{{\left( {{F_{\rm{p}}}{l_1} - {M_{O}}} \right){l_5} - k{\delta _k}{l_3}({l_5}{\rm{ + }}{l_6})}}{{{l_3}\left( {{l_5}{\rm{ + }}{l_6}{\rm{ + }}{l_7}} \right)}}$

(3)

其中，M_O为铰链O处的力矩， ${M_O} = {K_{\rm \alpha z}}\arctan \left( {{\delta _{\rm np}}/{l_1}} \right)$ ，K_αz是O处的转动刚度，由文献[13]可得其计算公式。

在活齿系统传动过程中，只有半数活齿参与啮合，任取一个处于啮合状态的活齿作为研究对象，其受力如图3所示。

在图3中，活齿主要受到来自波发生器、中心轮、活齿架的3个力作用，即F_Hj、F_Bj、F_Kj。图3中，θ和θ₀分别活齿架转角和1号活齿的初始位置，根据位置关系知活齿与纵坐标的夹角和波发生器转角分别为 ${\beta _j} = [ {\theta _0} + i\theta + $ $ 2\text{π} \left( {j - 1} \right) ]$ 、 ${\beta _{1j}} = i{\beta _j}$ ，进而可知得知 ${\beta _{2j}} = \left( {i - 1} \right){\beta _j}$ ， ${\beta _{3j}} = $ $ \arcsin \left( {a\sin \ {\beta _{2j}}/b} \right) $ ，i和j分别表示传动比和第j个活齿，b=R+r，R和r分别为波发生器和活齿半径。分别沿x、y方向对啮合活齿列平衡方程：

$\left\{ \!\!\! \begin{aligned}{F_{{\rm S}j}}\cos \ {\beta _j}{\rm{ + }}{F_{{\rm H}j}}\sin \left( {{\beta _j} - {\beta _{3j}}} \right) - {F_{{\rm K}j}}\sin \ {\alpha _j}{\rm{ = }}0,\\ - {F_{{\rm S}j}}\sin \ {\beta _j}{\rm{ + }}{F_{{\rm H}j}}\cos \left( {{\beta _j} - {\beta _{3j}}} \right) - {F_{{\rm K}j}}\cos \ {\alpha _j}{\rm{ = }}0\end{aligned} \right.$

(4)

式中，α_j为活齿轨迹切线与x轴夹角。

图4是活齿与波发生器间接触受力与变形图，在图4（a）中，各活齿受力F_Hj在x方向的合力即为式（7）对应的谐波推力F_H，在图4（b）中，由赫兹理论和几何关系可得关于变形量δ_Hj的协调方程：

$\left\{ \begin{aligned}& \sum\limits_{j{\rm{ = }}1}^m {{F_{{\rm H}j}}} {\rm{sin}}\ {\theta _{{\rm H}j}}{\rm{ = }}{F_{\rm H}},\\& {\lambda _{\rm H}}\sqrt[3]{{\frac{9}{{16}}{A_{\rm H}}F_{{\rm H}j}^2{{\left( {\frac{{1 - \mu _1^2}}{{{E_1}}}{\rm{ + }}\frac{{1 - \mu _2^2}}{{{E_2}}}} \right)}^2}}}{\rm{ = }}\\& \quad\quad \frac{{{\delta _{{\rm H}\max }}}}{b}\left( {a\cos \ {\beta _{2j}}{\rm{ + }}\sqrt {{b^2}{\rm{ - }}{a^2}{{\sin }^2}{\beta _{2j}}} } \right)\sin \ {\beta _{2j}}\end{aligned} \right.$

(5)

式中，m为啮合齿数，θ_Hj为啮合力方向同纵轴的夹角，且 ${\theta _{{\rm H}j}}{\rm{ = }}{\theta _{\rm{0}}}{\rm{ + }}i\theta {\rm{ + }}{\beta _{3j}}{\rm{ + }}2\text{π} {\rm{(}}j - {\rm{1)/}}i$ ，λ_H、A_H为赫兹系数，μ₁、μ₂和E₁、E₂为活齿和波发生器的泊松比和弹性模量，δ_Hmax为波发生器最大变形量。

联立式（4）和（5）可得各构件受力大小。由活齿架的受力F_Sj可得系统输出转矩

$\begin{aligned}[b]T \!=\! & \sum\limits_{j{\rm{ = }}1}^m {{F_{{\rm S}j}}{S_j}} {\rm{ = }}\sum\limits_{j{\rm{ = }}1}^m {\frac{{4E\sin \ {\beta _{2j}}\sin \left( {{\alpha _j} \!-\! {\beta _j}{\rm{ \!+\! }}{\beta _{3j}}} \right)}}{{3b\left( {{\rm{1}} - {\mu ^{\rm{2}}}} \right)\cos \left( {{\alpha _j} - {\beta _j}} \right)}}}\cdot \\& \sqrt {\frac{\xi }{b}\left( {a\cos \ {\beta _{2j}}{\rm{ + }}\sqrt {{b^2} - {a^2}{{\sin }^2}{\beta _{2j}}} } \right)\sin \ {\beta _{2j}}} \ \cdot \\& \left( {a\cos \ {\beta _{2j}}{\rm{ \!+\! }}\sqrt {{b^2} \!-\! {a^2}{{\sin }^2}{\beta _{2j}}} } \right)\left( {a\cos \ {\beta _{{\rm{2}}j}}{\rm{ \!+\! }}b\cos \ {\beta _{3j}}} \right)\!\!\!\!\!\!\!\!\end{aligned}$

(6)

式中：S_j理论半径， ${S\!\!_j} = a\cos \ {\beta _{{\rm{2}}j}}{\rm{ + }}b\cos \ {\beta _{3j}}$ 。

3 传动系统转矩优化 3.1 选取设计变量

在设计过程中，将进行优化的量作为设计变量，设计变量是1组结构参数，在设计过程中一般看作1个矢量。如果有n个设计变量，则可表示为 X=[x₁, x₂, x₃, ···, x_n]^T。

系统转矩优化模型中，选取压电陶瓷片厚度l_p、陶瓷片数量n、长度l₁、l₃、l₅、l₈（图2中l₈=l₅+l₆+l₇）、波发生器偏移量a、半径尺寸b为设计变量。设计变量表示为 ${X} = {\left[ {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8}} \right]^{\rm{T}}} = {\left[ {{l_{\rm p}},n,{l_1},{l_3},{l_5},{l_8},a,b} \right]^{\rm{T}}}$ 。

3.2 确定目标函数

系统转矩优化的最终目标是实现输出转矩最大化，而在MATLAB中通常以求取最小值作为优化的目标函数，故这里将目标函数最大值转化为取最小值min f（X）=–T。

3.3 建立设计约束

在优化过程中，对设计变量施加的合理的约束限制即为设计约束。约束分为不等式约束和等式约束。本文中的约束条件有：

1）构成压电堆的压电陶瓷片片数在100和200之间，且认为压电叠堆的总长度是不变的，可得：

$\left\{ \begin{aligned}&0 < {l_{\rm p}} \le 0.2 \ {\rm{mm}},\\[3pt]&100 \le n \le 200,\\[3pt]&n{l_{\rm p}} = {l_{n{\rm p}}}\end{aligned} \right.$

(7)

2）为便于零件的装配，设置长度l₁、l₅均大于5 mm，长度l₈比l₅大10 mm，可得

$\left\{ \begin{aligned}&{l_1} \ge 5 \ {\rm{mm}},\\[3pt]&{l_3} > 0,\\[3pt]&{l_5} \ge 5 \ {\rm{mm}},\\[3pt]&{l_8} \ge {l_5} + 10 \ {\rm{mm}}\end{aligned} \right.$

(8)

3）设置偏心距小于1 mm，以半径参数形成的圆周周长应保证排列30个直径为2 mm的活齿，且活齿间存在1 mm的间隙，得出

$\left\{ \begin{aligned}&0 < a \le 1 \;{\rm{mm}},\\[3pt]&2\text{π} b \ge \left( {2 \times 30 + 29} \right)\; {\rm{mm}}\end{aligned} \right.$

(9)

4）波发生器边缘处获得的摆动量应大于等于偏心距，可得：

$\frac{{{l_8}}}{{{l_5}\sqrt {l_1^2 + \delta _{n{\rm p}}^2} }}\left[ {\left( {{l_1} + {l_2}} \right)\left( {{l_1} - \sqrt {l_1^2 + \delta _{n{\rm p}}^2} } \right) + {l_3}{\delta _{n{\rm p}}}} \right] \ge a$

(10)

3.4 优化数学模型

根据以上分析，可以建立压电活齿传动输出转矩优化数学模型为：

$\begin{aligned}\min f\left( {X} \right) \!=\! & -\! \sum\limits_{j{\rm{ = }}1}^m {\frac{{4E\sin \ {\beta _{2j}}\sin \left( {{\alpha _j} - {\beta _j}{\rm{ + }}{\beta _{3j}}} \right)}}{{3b\left( {{\rm{1}} - {\mu ^{\rm{2}}}} \right)\cos \left( {{\alpha _j} - {\beta _j}} \right)}}} \cdot \\& \sqrt {\frac{\xi }{b}\left( {a\cos \ {\beta _{2j}}{\rm{ \!+\! }}\sqrt {{b^2} \!-\! {a^2}{{\sin }^2}{\beta _{2j}}} } \right)\sin \ {\beta _{2j}}} \; \cdot \\& \left( {a\cos \ {\beta _{2j}}{\rm{ \!+\! }}\sqrt {{b^2} \!-\! {a^2}{{\sin }^2}{\beta _{2j}}} } \right)\left( {a\cos \ {\beta _{{\rm{2}}j}}{\rm{ \!+\! }}b\cos \ {\beta _{3j}}} \right)\!\!\!\end{aligned}$

(11)

s. t.

$\left\{ \begin{aligned}& 0 < {x_1} \le 0.2\;{\rm{mm}},\\& 100 \le {x_2} \le 200,\\& {x_3} \ge 5\;{\rm{mm}},\\& {x_4} > 0,\\& {x_5} \ge 5\;{\rm{mm}},\\& {x_6} \ge {x_5} + 10\;{\rm{mm}},\\& 0 < {x_7} \le 1\;{\rm{mm}},\\& 2\text{π} {x_8} \ge \left( {2 \times 30 + 29} \right)\;{\rm{mm}},\\& \frac{{{x_6}\left[ {\left( {{x_3} + {l_2}} \right)\left( {{x_3} - \sqrt {x_3^2 + \delta _{n{\rm p}}^2} } \right) + {x_4}{\delta _{n{\rm p}}}} \right]}}{{{x_5}\sqrt {x_3^2 + \delta _{n{\rm p}}^2} }} \ge {x_7},\\& {x_1}{x_2} = {l_{n{\rm p}}}\end{aligned} \right.$

(12)

4 结果分析 4.1 系统输出转矩结果

表1为转矩优化前给定的系统参数，将参数代入式（11）可得系统的输出转矩如图5所示，其中图5（a）和（b）分别为转矩随电压峰峰值和活齿架转角的变化曲线。

由图5可知：

1）在任一确定时刻，输出转矩T 随电压U_p-p近似正比例线性变化，但在局部区域内输出转矩T与电压U_p-p的关系表现为非线性变化。

2）随着活齿架转角θ的变化，系统输出转矩T呈现周期性变化，每转过π/435时输出转矩T的值就回到初始值。当θ<π/435时，随着θ的增大输出转矩T非线性减小，且速率慢慢降低。T随θ周期变化的原因是参与啮合的活齿数目在N/2和N/2+1（N为活齿总数）之间周期变化。

3）U_p-p不同时T的变化规律相同，只是T的大小不同。从总体来看，转矩T随活齿架转角θ变化较小，转矩值T趋向平稳。

4.2 转矩优化结果

通过建立的优化模型，可以求得优化后的参数如表2所示。其他参数不变时，输出转矩随各设计变量的变化如图6所示。由表2和图6可知：

1）经过优化，在满足传动条件的情况下的最大输出转矩为0.91 Nm，l₁、l₃、l₈和a的优化值大于初始设计值，l₅和b的优化值小于初始设计值。

2）输出转矩T 随l_p和a的增加而线性减小，随n、l₃和l₅的增加而非线性减小，随着l₃、l₈和b的增加而线性增加。

3）从整体上看，设计变量n、l₁、l₃、l₅、l₈、b的变化对输出转矩的影响较大，且转矩T随变量n、l₁、l₅成反比例变化，随变量l₃、l₈、b成正比例变化。

4.3 优化前后对比

表3为优化前后参数的取值变化，由表3可以得出结论：

1）优化后，输出转矩T增加了111.63%，系统的承载性能获得巨大提高。

2）参数l_p和n在优化前后没有变化，l₅、l₈和b的取值变化较小，l₁、l₃和a的取值变化较大，可见，通过适当改变l₁、l₃和a的取值来提高系统的输出转矩是可行的。

3）经过系统优化，参数l₁、l₃、l₈和a的取值增加，且l₁和a的增幅分别超过1倍和2倍；同时，参数l₅和b的取值减小，且减幅均小于等于10%。

分别改变各参数的取值范围，比较输出转矩在优化前后随参数的变化范围，如图7所示。由图7知：

1）输出转矩T随l_p、l₃和l₈的增加而非线性减小，随l₁、l₅和a的增加而线性增加，随n和b的变化很小可忽略其影响。T随参数变化的原因可归结为，l_p增大时压电叠堆的输出力减小，l₃和l₈增大时位移放大倍数增加而使谐波力减小，同时l₁和l₅增大时放大倍数减小而使谐波力增大，a增大时会使活齿的受力增加。

2）优化前后T取值差随参数的增加而发生改变，随着l₁、l₃和l₈的增加，T取值差逐渐减小，随着a的增加，T取值差增加，而随n、l₁和b的增加，T取值差保持恒定。

3）从整体看，T随n、l₁、l₈和b的变化规律受系统优化的影响很小。

5 结　论

在分析压电活齿传动系统工作原理的基础上，推导了系统的输出转矩方程，建立了系统输出转矩优化数学模型，给出了转矩输出特性和转矩优化结果，对比了优化前后参数取值的变化及转矩随参数的变化的规律。结果表明：1）输出转矩以π/435为周期随活齿架转角周期性变化；2）优化后电机的输出转矩提高了111.63%；3）参数l_p、l₁、l₃、l₅、l₈和a的变化对优化前后输出转矩的影响均较明显，且参数l_p、l₃、l₅和a的变化对优化前后转矩差的影响显著。研究结果为压电活齿传动系统的结构改进和性能提高奠定了理论基础。