物理模型设计时可以选择不同的几何比尺。几何比尺的不同，首先会影响水流运动特性的相似。Heller^[1]进行了几何比尺不同、满足弗汝德相似的定床试验，发现不同几何比尺的模型与原型水面线及能量梯度的相似性因水体表面张力和粘滞力的偏差不同而有所差异。在Ettema等^[2]进行的局部冲刷试验中，由于不能保证试验气缸直径也以相同于泥沙粒径的长度比尺缩放，使得不同几何比尺的试验中大尺度湍流都有所偏离，引起模型试验准确性的差异。谢鉴衡^[3]提出，在满足弗汝德相似的同时，为避免不同几何比尺下雷诺相似条件偏离对模型试验对象产生实质性影响，必须保证模型水流为紊流且表面张力不干扰模型性的水流运动。

其次，任何几何比尺下设计的模型，都不能避免因模型沙粒径不同于原型而引起泥沙颗粒间内聚力的偏差。根据Thomas^[4]和Crouzy^[5]等的分析，大比尺模型引起内聚力偏差并不影响对泥沙落淤成洲的定性研究，但关于边坡泥沙颗粒间内聚力的分析，小比尺模型更能保证其准确性。模型比尺的不同选择甚至可能使原型中以推移质形式运动的泥沙在模型中以悬移质形式前进，影响模型中泥沙运动的相似性^[6]。Abderrezzak等^[7]按 ${\lambda _d} = {\lambda _h}$ 进行模型选沙，设计 ${\lambda _h}$ 分别为15、18.7、23和30的模型试验组，观测原型与模型试验组的拖曳力 $\theta $ 、临界拖曳力 ${\theta _{\rm{c}}}$ 及两者差值 $\theta - {\theta _{\rm{c}}}$ ，结果表明各模型中的 $\theta $ 及 ${\theta _{\rm{c}}}$ 较原型都存在不同程度的偏离，且 ${\theta _{\rm{c}}}$ 的偏离程度随几何比尺增大表现为先增大后减小。Mazumder^[8]研究指出，由于粒径小于0.22 mm的泥沙不能有效模拟原型中泥沙与水流间的相互作用，使泥沙输移产生偏离；且模型几何比尺越大，根据原型沙级配确定的非均匀模型试验沙中小于0.22 mm的泥沙越多，泥沙输移偏差程度越大。为确保黏性沙与水流间作用力的相似性，Schmocker和Hager^[9]建议模型中非均匀沙的中值粒径不小于0.5 mm；Oliveto和Hager^[10]的试验中选择将非均匀沙的中值粒径控制在0.8 mm左右；而粗颗粒散体沙间的黏结力相对较小，因几何比尺变化引起的颗粒间内聚力偏差的影响也相对较小。

沙波是水流与河床泥沙相互作用的结果，因此几何比尺在影响水流运动相似、水流与河床泥沙相互作用相似的同时，必然对沙波形成发展过程及形态产生影响。曹叔尤和刘兴年^[11]在宽级配非均匀卵石沙波模型试验中发现泥沙中值粒径的大小是河床是否形成沙垄的重要影响因素。陈立等^[12]通过对前期沙波试验数据的整理，分析发现基于起动相似设计的正态动床模型，在模型沙与原型沙重率相同的情况下，模型与原型中沙波是相似的。本文在此基础上，通过理论分析进一步研究当满足起动相似时，模拟沙沉降速度的偏离程度随几何比尺的变化，并根据沉降速度偏离程度随几何比尺的变化特点，选择沉降速度偏离幅度较大时的几何比尺进行正态水槽试验，验证沙波的相似性。

动床模型选沙相似是模型沙波相似的基础条件，按照满足泥沙悬浮相似或泥沙起动相似得到的泥沙粒径比尺表达式不同。模型满足几何相似，假定几何比尺和水平比尺分别为 ${\lambda _h}$ 和 ${\lambda _l}$ ， ${\lambda _l}/{\lambda _h} = \eta $ 为变率。

1）由散粒体泥沙起动流速公式——沙莫夫起动流速公式得到泥沙起动流速比尺关系式：

式中， ${\gamma _{\rm{s}}}$ 和 $\gamma $ 分别为泥沙的重率和水的重率，d为泥沙粒径，h为水深。

对于平原河流，曼宁系数 $n \propto {d^{1/6}}$ ，水力半径 $R \approx h$ ，比降 $J = h/l$ ，由曼宁公式和谢才公式得到流速比尺关系式：

由泥沙起动相似可知 ${\lambda _{U_{\rm{c}}}} = {\lambda _U}$ ，联立式（1）和（2）得到粒径比尺关系式为：

2）在天然河道中，悬移质泥沙一般都比较细，即使是三峡蓄水后长江中下游的中值粒径最大也不超过0.15 mm，因而一般认为原型沙沉降处于滞性区。故此处选择滞性区沉降速度公式，建立沉速比尺与粒径比尺之间的关系。滞性区泥沙的沉降速度公式包括斯托克斯公式、刚恰洛夫公式及沙玉清公式等，均可表示为：

假定原型与模型中的运动黏度 $\upsilon $ 不变，得到粒径比尺为：

由悬移质运动的扩散方程推导得到满足悬浮相似条件的沉降速度比尺的一般形式：

将式（6）代入式（5）得到满足悬浮相似的泥沙粒径比尺为：

其中，m的取值视时均流速及紊动扩散两种作用影响程度的相对强弱而定。

显然，基于起动相似确定的粒径比尺，在确保起动流速相似性的同时，模型沙沉降速度却发生了偏离。根据式（3）得到按照起动相似和悬浮相似选沙的模型沙的斯托克斯沉降速度 ${\omega _1}$ 为：

反之亦然，基于悬浮相似确定的粒径比尺，虽然泥沙起动流速存在有偏离，但却保证了模型沙沉降速度的相似性。根据式（7）得到无偏离的模型沙斯托克斯沉降速度 ${\omega _2}$ ：

由式（8）和（9）不难看出，满足起动相似和悬浮相似的模型沙沉降速度 ${\omega _{\rm{1}}}$ 和 ${\omega _{\rm{2}}}$ ，与 ${\lambda _h}$ 、 ${\lambda _{\frac{{{{\rm{\gamma }}_{_{\rm{s}}}}{\rm{ - \gamma }}}}{{\rm{\gamma }}}}}$ 和 $\eta $ 等变量密切相关。在一定的模型沙与原型沙重率、原型沙粒径和模型变率条件下，基于起动相似得到的模型沙沉降速度的偏离程度会因几何比尺的不同而有所变化，必会引起模型中泥沙运动状态的差异，并最终对沙波相似产生影响。正态模型中变率 $\eta {\rm{ = }}1$ ，即 ${\lambda _h} = {\lambda _l}$ 。图1给出了模型沙沉降速度随几何比尺的变化，其中 ${\gamma _{\rm{s}}} = 1.05 \times {10^3}\ {\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ 、 $\gamma = 1 \times {10^3}\ {\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ 、 $g = 9.8\ {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$ 、 $\upsilon = 1.07 \times {10^{ - 7}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{/s}}$ 且模型正态，图1（a）和（b）的d_原分别为0.425 mm和0.511 mm。

图1(Fig. 1)

图1 沉降速度随几何比尺的变化 Fig. 1 Relation graph between settling velocity and geometric scales

从图1可以看出，随着几何比尺的增大，模型沙沉降速度 ${\omega _{\rm{1}}}$ 和 ${\omega _{\rm{2}}}$ 均表现为逐渐减小，且变化幅度也在变缓。当 $ {\lambda _{ l}} $ <1时，基于起动相似得到的模型沙沉降速度较满足悬浮相似的模型沙沉降速度大；当 ${\lambda _{ l}}$ =1时，即模型与原型大小相同的极端情形， ${\omega _1} = {\omega _2}$ ；当 ${\lambda _l} > 1$ 时， ${\omega _1}$ 始终小于 ${\omega _2}$ 。

从 ${\omega _{\rm{1}}}$ 和 ${\omega _{\rm{2}}}$ 之间差值随几何比尺的变化来看，当 ${\lambda _{\rm l}} < 1$ 时， $\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|$ 随着几何比尺的减小而迅速增大，意味着几何比尺过小可能会到导致模型沙沉降速度偏差严重。当 ${\lambda _{\rm l}} \ge 1$ 时， $\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|$ 随着几何比尺的增大表现为先增大后减小，在几何比尺为2的附近达到极大值。

如上所述，沉降速度偏离在几何比尺为2附近最大，为了研究此时正态模型沙波的相似性，以及几何比尺改变时沙波波高、波长与原型的偏离特性，设计满足几何相似、水流运动相似、泥沙起动相似的正态模型试验。试验选用重率约为1.05×10³ kg/m³的塑料沙为试验用沙，分2对照组进行，其中对照组1以 ${D_{{\rm{50}}}} = 0.425 \ {\rm{mm}}$ 为原型组， ${D_{{\rm{50}}}} = 0.267 \ {\rm{mm}}$ 和 ${D_{{\rm{50}}}} = $ 0.206 mm为模型组，几何比尺分别为1.592和2.060，3组试验用沙非均匀系数 $\xi $ 分别为1.14、1.18和1.18；对照组2的原型组中值粒径为0.511 mm， ${D_{{\rm{50}}}} = 0.608 \ {\rm{mm}}$ 为模型组，几何比尺为0.84，2组试验用沙非均匀系数 $\xi $ 均为1.18，试验沙级配曲线见图2。

图2(Fig. 2)

图2 试验用塑料沙级配曲线 Fig. 2 Grading curve of plastic particles in the experiment

沙波试验在武汉大学活动玻璃水槽试验系统中进行，水槽尺寸为10 m×0.5 m×0.6 m（长×宽×高），水槽进出口各铺长1 m、厚11 cm的固定床面，其间部分铺设11 cm厚的试验沙（水槽系统见图3）。

图3(Fig. 3)

图3 试验玻璃水槽系统示意图 Fig. 3 Sketch of glass flume system

根据试验沙粒径，确定各对照组的几何比尺、单宽流量比尺等，并得到各粒径组的试验条件，分别见表1、2。

表1(Tab. 1)

表1 试验组模型比尺 Tab. 1 Model scale in test group

表1 试验组模型比尺 Tab. 1 Model scale in test group 比尺 几何比尺 ${\lambda _l}$ 流速比尺 ${\lambda _u}$ 流量比尺 ${\lambda _q}$ ${D_{{\rm{50}}}} = 0.206 \ {\rm{mm}}$ （原型组 ${D_{{\rm{50}}}} = 0.425 \ {\rm{mm}}$ ） 2.060 1.440 2.960 ${D_{{\rm{50}}}} = 0.267 \ {\rm{mm}}$ （原型组 ${D_{{\rm{50}}}} = 0.425 \ {\rm{mm}}$ ） 1.592 1.262 2.001 ${D_{{\rm{50}}}} = 0.608 \ {\rm{mm}}$ （原型组 ${D_{{\rm{50}}}} = 0.511 \ {\rm{mm}}$ ） 0.840 0.917 0.771

表2(Tab. 2)

表2 各粒径组模型沙的试验条件 Tab. 2 Experimental condition of model sand in different grain size fractions

表2 各粒径组模型沙的试验条件 Tab. 2 Experimental condition of model sand in different grain size fractions 试验组 粒径D50/mm 水位/cm 试验组次 流量/(10–3 m3·s–1) 对照组1 0.425 20.0 A1–A6 7.0(A1) 8.0(A2) 9.0(A3) 9.5(A4) 10.0(A5) 11.0(A6) — 24.0 A7–A11 9.9(A7) 10.9(A8) 11.9(A9) 12.5(A10) 12.9(A11) — — 0.206 9.6 B1–B6 3.5(B1) 4.0(B2) 4.5(B3) 4.8(B4) 4.9(B5) 5.3(B6) — 11.6 B7–B11 4.9(B7) 5.(B8) 5.9(B9) 6.2(B10) 6.4(B11) — — 0.267 12.5 C1–C6 3.5(C1) 4.0(C2) 4.5(C3) 4.8(C4) 4.9(C5) 5.3(C6) — 15.0 C7–C11 4.9(C7) 5.4(C8) 5.9(C9) 6.2(C10) 6.4(C11) — — 对照组2 0.511 12.5 D1–D7 4.0(D1) 4.5(D2) 4.8(D3) 5.0(D4) 5.5(D5) 6.5(D6) 7.2(D7) 15.0 D8–D14 5.5(D8) 6.0(D9) 6.2(D10) 6.5(D11) 7.3(D12) 8.6(D13) 9.5(D14) 0.608 14.9 E1–E7 5.2(E1) 5.8(E2) 6.2(E3) 6.5(E4) 7.1(E5) 8.4(E6) 9.3(E7) 17.8 E8–E14 7.3(E8) 7.8(E9) 8.0(E10) 8.4(E11) 9.4(E12) 10.9(E13) 12.3(E14)

待沙波发展稳定后，用测针测量沙波迎流面波谷、波峰及背流面波谷处的河床高程，确定沙波波高为：

本文沙波波长的测量起于迎流面波谷，止于沙波背流面波谷，具体见图4。

图4(Fig. 4)

图4 沙波测量示意图 Fig. 4 Sketch of sand wave measurement

对比实测沙波处的水深和流速，选取原型与模型沙波处的平均水深偏差不超过±3%、流速偏差不超过±5%的沙波进行分析。并将B、C试验组沙波的波高分别按几何比尺2.060和1.592换算至原型中，E试验组沙波波高按0.840换算，与水深、流速满足相似条件的原型组沙波进行对比。

对试验数据统计后得到：1）模型试验组B与原型试验组A存在有263对水深和流速都满足相似条件的沙波；模型试验组C与原型试验组A共计175对满足水流相似条件的沙波。2）模型试验组E与原型试验组D共计1 079对符合水流相似要求的沙波。图5给出了各模型与模型试验组沙波波高的对比情况。

图5(Fig. 5)

图5 模型组波高与原型组波高对比 Fig. 5 Comparison of wave height between model and natural

显然，各模型组波高较原型均存在有一定程度的偏差，就偏大偏小的沙波在对角线两侧分布的数量而言差别不大，考虑到沙波偏差的随机性，无法直观地看出沙波整体的偏差幅度。经MATLAB正态分布判断程序分析后确定，试验中沙波波高、波长偏差遵循正态分布。基于试验数据，绘制沙波波高、波长偏差百分数概率密度的曲线（图6）。

图6(Fig. 6)

图6 波高、波长偏差百分数的概率密度曲线 Fig. 6 Probability density curve of deviation percentage of sand wave height and length

从图6中可以看出，当原型沙与模型沙重率、形状相同，基于起动相似选沙时，不论几何比尺的大小，模型沙波均能较好地反映原型沙波的平面形态。其中模型沙波波高的偏差幅度均不大于5%，波长的偏差幅度不大于6%，再次证明了基于起动相似设计的正态模型可以确保沙波的相似性。另一方面，模型几何比尺的变化对沙波波高波长的偏差幅度有一定程度的影响。当模型几何比尺为0.84时，模型沙波波高、波长均较原型偏小，分别为–1.55%和–2.16%；而 ${\lambda _l} = 2.06$ 和 ${\lambda _l} = 1.592$ 的模型试验组，其沙波波高、波长均较原型偏大，且 ${\lambda _l} = 2.06$ 的模型试验组沙波的偏差幅度更大，具体见表3。

表3(Tab. 3)

表3 沙波波长波高偏差幅度 Tab. 3 Deviation percentage of sand wave height and length

表3 沙波波长波高偏差幅度 Tab. 3 Deviation percentage of sand wave height and length % 要素 几何比尺 ${\lambda _l}$ 0.840 1.592 2.060 波高 –1.55 3.89 4.94 波长 –2.16 5.16 5.95

将各几何比尺下模型沙波波高波长的偏差幅度点绘至图1中，结合满足不同选沙相似率的模型沙沉降速度，不难发现：当 ${\lambda _l} = 0.840$ 时，基于起动相似设计的模型沙沉降速度偏小，相同水流条件下泥沙落淤速度慢，模型中的沙波波高、波长均较原型偏小；当 ${\lambda _l} = 1.592$ 或 ${\lambda _l} = 2.060$ 时，满足起动相似的模型沙沉降速度偏大，泥沙落淤较快，相应模型中沙波波高波长都较原型偏大。且不同几何比尺下波高波长的偏差百分数与 $\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|$ 随几何比尺的变化曲线吻合较好。

根据理论分析结果，基于起动相似设计的模型沙在 ${\lambda _l} = 2.06$ 附近的沉降速度偏差幅度最大，沙波相似性也最差。试验数据显示，该几何比尺下的波高波长偏差幅度均不大于6%，即表明当 ${\lambda _l} \ge 1$ 时，不论几何比尺的大小，都能保证模型沙波与原型沙波的相似性。

1）当 ${\lambda _l} < 1$ ，满足起动相似的模型沙沉降速度偏小，相同水流条件下泥沙落淤速度慢，模型中的沙波波高、波长均较原型偏小；当 ${\lambda _l} \ge 1$ 时，满足起动相似的模型沙沉降速度偏大，泥沙落淤较快，相应模型中沙波波高波长都较原型偏大。

2）当模型正态，按照起动相似选沙、原型沙与模型沙相同时，若模型比尺的取值不宜比1小过多，否则可能会因模型沙沉降速度偏差严重而使得沙波相似性的偏离；若 ${\lambda _l} \ge 1$ ，即使是沉降速度偏离最大的几何比尺，也能保证模型沙波与原型沙波的相似性。