工程科学与技术   2017, Vol. 49 Issue (3): 209-216
计算机辅助硅胶假体建模、分析与制作方法
王素, 王鹏举, 徐亮, 杨洋洋, 陈东华, 吴晓南     
四川大学 制造科学与工程学院,四川 成都 610065
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61672363);国家自然科学基金资助项目(61540006);国家科技部重点专项资助项目(SQ2016YFSF100184)
摘要: 为研究计算机辅助硅胶假体制作方法,以双组分硅橡胶为研究对象,参照人体用硅胶假体几何特征并根据普通小鼠乳房特性,综合考虑温度和材料属性参数,进行计算机辅助3维建模和模具、假体温度场数值模拟,分析假体表面实际受热温度与模具加热温度(以下简称模温)吻合情况;基于有限元分析方法,模拟假体模型受载状况,从柔软度和疲劳寿命2个方面探讨假体模型在修复胸壁软组织缺损中应用的可行性;基于打印材料和制作工艺,分析假体制备试验可行性,然后采用3D打印技术设计制备模具;综合考虑粘膜效应影响和交联反应效率,模温分别取5、25、60 ℃,进行硅胶假体制备实验。通过不同的硅胶与固化剂配比和模温处理,比较不同配比和模温对制备假体柔软度、黏度和脱模耗时的影响;基于最小二乘曲线拟合原理,数据优化分析,检验回归方程显著性,确定配比与模温。实验结果表明,一定范围内,配比对假体影响显著,模温对其影响甚微。当硅胶与固化剂配比为10∶0.43,模温为55 ℃时,所得假体具有良好柔韧性等特点。
关键词: 硅胶假体    3维建模    有限元分析    3D打印    配比    模温    优化分析    
Computer-aided Modeling Analysis and Manufacturing Approach for Silicone Prosthesis
WANG Su, WANG Pengju, XU Liang, YANG Yangyang, CHENG Donghua, WU Xiaonan     
School of Manufacturing Sci. and Eng., Sichuan Univ., Chengdu 610065, China
Abstract: Computer-aided manufacturing approach for silicone prosthesis with two-component silicone rubber was studied and modeled by 3D modeling.The model was based on temperature,material parameters and geometric features for body and normal mice.The temperature difference between mold and prosthesis surface was discussed by numerical simulation on the temperature field of die and prosthesis.The feasibility of the modeling in repairing the soft tissue defect of chest wall was validated by applying phantom load from softness and fatigue life.The verification was based on finite element method.The test feasibility was based on printing material and manufacturing process.The mold were manufacturing by 3D printing.The test were carried out based on the effects of mucosal and crosslinking reaction efficiency in die at 5,25 and 60 ℃.The effects of prosthesis softness,viscosity and stripping time were discussed by choosing different ratio of silicone and curing agent and temperature.The ratio and temperature were determined by optimizing data in the least square method and examing the regression equation prominence.The results showed that the prosthesis is affected by ratio,but not by temperature within certain range.The soft prostheses are generated when the ratio is set in 10∶0.43,and at 55 ℃.
Key words: silicone prosthesis    3D modeling    finite element method    3D printing    ratio    mold temperature    optimization analysis    

硅胶假体作为一种兼具生物相容性和高性价比的人体植入物,具有良好柔韧性和安全性等特点,医学上应用广泛[1]。目前乳房假体植入手术效果更多地取决于临床经验,且批量生产的假体常常不能和病人病理部位的解剖学特征完美匹配。如何选择个性化假体急待研究[2]

目前对硅胶假体制作方法的研究甚少。现有制作方法是:将硅橡胶溶解浇注而成的外囊和混炼模压成型的底盖结合,封盖硫化后注入硅凝胶,最后封闭注胶口。上述制作方法,成型假体造型单一,重建时修型复杂,且未考虑硅胶假体物理特性、力学特性和耐久性。此外外囊和底盖成型后均需涂敷隔离胶,人工涂刷操作随意性和人为误差较大,且底盖容易掺杂,封好的底盖不是很平整,影响假体美观。作者利用计算机辅助建模、有限元分析与3D打印技术,进行设计、分析并制造模具,在特定配比和温度下,应用硅胶和固化剂产生交联反应,制备个性化假体,并运用于小鼠乳房实验中。论文成果对医学上硅胶假体研究与应用具有理论与实际价值。

1 参数化建模

综合考虑硅胶乳房假体的几何参数、温度和材料属性参数依次进行假体与模具参数化建模。

1.1 3维模型构建

参照乳房假体植入术的临床效果(见图1),设计模具截面如图2所示。设假体截面高为aa,底面半径为bb,弧面半径为r;模具底面边长为cc,高为dd。对设定的假体模型(见图3),通过测量截面几何数据,由式(1)~(2)依次计算假体模型表面积和体积。

图1 乳房假体植入术的临床效果 Fig. 1 Clinical effect of breast prosthesis implantation

图2 模具截面 Fig. 2 Section of mould

图3 假体模型 Fig. 3 Prosthesis model

$r = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2a}}$ (1)
$S = 2{\rm{\pi }}ar$ (2)
$V = {\rm{\pi }}a{r^2} - \frac{{{\rm{\pi }}{r^3}}}{3} + \frac{{{\rm{\pi }}{{(r - a)}^3}}}{3}$ (3)
$m = \rho V$ (4)

式中,m为假体模型质量,ρ为硅橡胶密度,S为假体模型侧面积,V为假体模型容积。建模时,取:aa=6.55 mm,bb=7.5 mm,ρ=1.03 g/cm3得:r=7.57 mm,S=311.54 mm2V=726.02 mm3m=0.75 g,符合小鼠乳房特征。

图4所示建模路线,得到图5所示模具模型。该建模方法易于开始时确定模具尺寸参数,操作直观、方便。后续对假体进行有限元分析时,假体模型可通过已建立的全局变量及方程式在图像区域快速构建。

图4 设计流程图 Fig. 4 Flow chat of design

图5 模具模型 Fig. 5 Mold model

1.2 模具温度场模拟

假体在成型过程中的加热和散热复杂,包含电加热套、模具、白凡士林、硅胶假体及空气之间的热传导。考虑到涂抹于模具型腔表面的薄层软性白凡士林粘附剂吸热较少,忽略其热量消耗。假设模具只沿高度和壁厚方向,分别从底面和4个侧面,施加55 ℃模温,忽略其外表面的辐射散热。将模具沿高度方向离散为M个节点:

${\rm{0 = }}{s_1} < {s_2} < \cdot \cdot \cdot < {s_i} < \cdot \cdot \cdot < {s_M} = H,$

沿壁厚方向离散为N个节点:

${\rm{0 = }}{\delta _1} < {\delta _2} < \cdot \cdot \cdot < {\delta _i} < \cdot \cdot \cdot < {\delta _N} = H,$

将时间域离散为L个节点:

$\,\,\,\,\,\,\,{\rm{0 = }}{\tau _1} < {\tau _2} < \cdot \cdot \cdot < {\tau _j} < \cdot \cdot \cdot < {\tau _L} = H\text{。}$

则其温度场控制方程为:

$K\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {s^2}}} = \rho c\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }}$ (5)
$K\frac{{{\partial ^2}T'}}{{\partial {\delta ^{\rm{2}}}}} = \rho c\frac{{\partial T'}}{{\partial \tau }}$ (6)

式中,K为热传导系数,T为温度,ρ为密度,c为比热。

$T_i^n$ ${T^n}'$ 依次表示tn ${t'_n}$ 时刻siδi处模温,式(5)、(6)分别由中心差商和向前差商近似得:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{\displaystyle{T_{i + 1}^n - 2T_i^n + T_{i - 1}^n}}{{{\displaystyle{\left( {\Delta s} \right)}^2}}} - \frac{\displaystyle{\rho c}}{\displaystyle{K}}\frac{\displaystyle{T_i^{n + 1} - T_i^n}}{\displaystyle{\Delta \tau }} = 0 ,\\[9pt]\frac{\displaystyle{{{T}_{i + 1}^n}\!\!\!\!\!'- {{2T}_i^n}\!' + {T}_{i - 1}^n}\!\!\!\!\!'}{{{\displaystyle{\left( {\Delta \delta } \right)}^2}}} - \frac{\displaystyle{\rho c}}{\displaystyle{K}}\frac{\displaystyle{{{T}_i^{n + 1}}\!' - {{T}_i^n}\!'}}{\displaystyle{\Delta \tau }} = 0\end{array} \right.$ (7)

根据热力学原理,热量自发地从高温物体传递到低温物体,实际模温取 $\max \left\{ {T,T'} \right\}$ ,根据n时刻节点sisi+1δiδi+1处温度,由方程组(7)分别建立模具上各节点温度对应的线性方程组,采用数值迭代法获取模具的温度分布。

1.3 制品温度场模拟

制品为弧面硅胶假体,温度场控制方程采用球坐标系(rφθ)(见图6)表示:

图6 球坐标系下的导热微分方程 Fig. 6 Heat conduction differential equation in spherical coordinate system

$ \begin{aligned}[b]& \frac{\displaystyle{1}}{{\displaystyle{r^2}}}\frac{\displaystyle{\partial }}{\displaystyle{\partial r}}\left( {\lambda {r^2}\frac{\displaystyle{\partial T}}{\displaystyle{\partial r}}} \right) + \frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{{r^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta }}\frac{\displaystyle{\partial }}{\displaystyle{\partial \varphi }}\left( {\lambda \frac{\displaystyle{\partial T}}{\displaystyle{\partial \varphi }}} \right) + \\[2pt]& \frac{\displaystyle{1}}{{\displaystyle{r^2}\sin \theta }}\frac{\displaystyle{\partial }}{\displaystyle{\partial \theta }}\left( {\lambda \sin \theta \frac{\displaystyle{\partial T}}{\displaystyle{\partial \theta }}} \right) = \rho c\frac{\displaystyle{\partial T}}{\displaystyle{\partial \tau }} \end{aligned} $ (8)

式中,导热系数为λ。方程(4)对应齐次方程的基本解:

${T^ * }(A,B) = \frac{{pc}}{{4{\rm{\pi }}Kr\left( {A,B} \right)}}$ (9)

式中:r(AB)为AB间的距离,A为源点,B为场点。

$\frac{\displaystyle{\partial T}}{\displaystyle{\partial \tau }} = \sum\limits_{j = 1}^N {{f_j}\left( X \right)\frac{\displaystyle{\partial {\beta _j}\left( T \right)}}{\displaystyle{\partial \tau }}} $ ,其中,坐标函数fj(X)为函数ψ的二阶导数, $\frac{\displaystyle{\partial {\psi _j}}}{\displaystyle{\partial n}} = {P_j}$ ${Q^ * } = \frac{\displaystyle{\partial {T^ * }}}{\displaystyle{\partial n}}$

对制品表面上或内部任意区域的源点和场点,方程(8)、(9)联立得:

$\begin{aligned}[b]& - \int_\varGamma {\left[ {{T^ * }\left( {A,B} \right) \cdot Q(B) - {Q^ * }(A,B)T\left( B \right)} \right]} {\rm{d}}s + \\& \varphi \left( A \right)T\left( A \right) = \frac{\displaystyle{\rho c}}{\displaystyle{K}}{ \sum\limits_{{{j = 1}}}^N } {\frac{\displaystyle{\partial {\beta _j}\left( T \right)}}{\displaystyle{\partial \tau }}} \times \\& \left\{ {\int_\varGamma {\left[ {{T^ * }\left( {A,B} \right) \cdot {P_j}(B) - {Q^ * }(A,B){\psi _j}\left( B \right)} \right]} {\rm{d}}s + } \right.\\& \left. {{\psi _j}(A){\varphi _j}(A)} \right\}\end{aligned}$ (10)

式中: $\varGamma = {\varGamma _1} + {\varGamma _2}$ φ(A)为角点系数,取值与源点A位置有关:

$\varphi (A) = \left\{ \begin{array}{l}\!\!\! 1 , \;{A \in \varOmega }\text{;}\\[7pt]\!\!\! 1/2 , \; {A{\text{在}}\varGamma {\text{中且光滑}}}\text{;}\\[7pt]\!\!\! \theta /2{\rm{\pi }} , \; {A{\text{在}}\varGamma {\text{中不光滑且内角为}}\theta }\text{。}\end{array} \right.$

将假体离散成三角形单元,方程(10)用矩阵形式表示:

$\frac{{\rho c}}{K}\left( {{\mathit{\boldsymbol{H\psi }}} + {\mathit{\boldsymbol{G\psi }}}} \right)\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial \tau }}} \right) = {\mathit{\boldsymbol{HQ}}} + {\mathit{\boldsymbol{GT}}}$ (11)

式中,HG为系数矩阵,取值与三角形离散单元及模具有关。初始条件:

$T = {T_0}\left( {r,\varphi ,\theta } \right)$ (12)

式中,T0为初始温度。

边界条件:

$\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\left( {\frac{{\partial {T_{\rm{i}}}}}{{{\partial _{\rm{n}}}}}} \right) = \frac{h}{k}\left( {{T_{\rm{a}}} - {T_{\rm{i}}}} \right),\\\displaystyle{T_{\rm{i}}} = {T_{\rm{e}}}\end{array} \right.$ (13)

式中,h为对流换热系数,Ta为空气温度。

将初始条件及边界条件代入式(11),求解该方程组获取假体的温度分布。

1.4 计算结果

确定材料的热力学属性参数:模具材料为ABS树脂,导热系数为0.25 W/(m·K);假体材料为硅橡胶,导热系数为0.27 W/m,空气对流热换系数为12.5 W/(m·℃)。上述两种材料导热系数对应温度均为293.15 K,计算温度场分布,如图78所示。

图7 模具温度场 Fig. 7 Temperature field of mold

图8 假体温度场 Fig. 8 Temperature field of prosthesis

模具及假体温度场均为一组圆环状等温线。假体成型过程中,模具型腔内表面及假体下部分等温线较稀疏,上部分等温线较密集,温度梯度沿加热边界向散热边界方向不断增大。模具型腔表面温度即假体表面实际受热温度,大约为47.51~53.60 ℃。热传导传递到假体的温度与其相差不大,大约为46.58~53.60 ℃。计算得到假体温度与实验预设置的模温吻合良好,符合实际情况。

2 有限元模型构建与分析

对于硅胶假体而言,基本上不受较大的冲击力,只有植入时受到较大的局部应力,但在模具设计时已考虑。植入人体后除了能承受正常作用于假体表面的外力,在实际中还有碰撞、摩擦等偶然作用力,对假体的质量影响较大,其中应力与摩擦力均为瞬时力,故进行静力学分析。

2.1 材料参数的设定

所制备硅胶假体为超弹性体。在ANSYS环境下,假设作用于假体表面压力不超过1 N,假体变形较小,可近似为线弹性体。假体由硅胶与固化剂均匀配置,可采用各向同性材料参数,弹性模量为0.38 MPa,泊松比为0.48,平均应力为0。目前研究中对硅橡胶材料的S-N曲线报道较少,论文基于橡胶材料的S-N曲线,建立相应的“弹性模量”参数,近似获得硅橡胶的疲劳S-N曲线,如图9所示。

图9 硅橡胶的疲劳寿命曲线 Fig. 9 Fatigue life curve of silicone rubber

2.2 有限元网格划分

为减少单元数量,采用六面体单元划分网络。假体几何尺寸较小,为保证精度,对3维实体进行网格细化。由于作用力施加于假体弧面,弧面部分形状变化幅度较大,为复杂应力梯度区域,细化为高密度网络。3维实体共划分为424 968个节点,300 948个单元,如图10所示。

图10 有限元网格划分 Fig. 10 Finite Element Meshing

2.3 施加载荷及约束

固定3维模型底面。实际假体受力复杂,计算受力比较理想的3种情况,如图11所示:①沿Y轴负方向施加载荷于弧面,设定5个载荷步,时间步长为1 s,分别施加随时间递增的0.2~1 N,步长为0.2 N的压力,运用线弹性方法求解;②沿X轴正方向施加载荷于弧面,作用力为1 N;③沿Y轴负方向施加位移约束于弧面,y=–0.2 mm,应力比为–1。说明:Y轴垂直于模型底面。

图11 假体表面受力图 Fig. 11 Forces FBD of prosthesis surface

2.4 求解结果及分析

计算假体的变形和疲劳寿命:1)Fy=–1 N时应变计算结果如图12所示,假体模形的变形主要集中在弧顶到底面的大部分区域,说明弧顶的变形大于其它部位。受力1 N时总变形最大值为0.048 802 mm,总变形满足医学上对假体柔软度要求。当作用力变化时,最大应变随之改变,如图13所示;2)Fx=1 N时的应变计算结果如图14所示,假体模型的最大变形为0.240 23 mm,最小变形为0,变形主要集中于弧面顶部区域,且弧顶到底面区域应变变化较1)快,说明横向应变比纵向应变变化剧烈,横向变形较大,上述两种情况计算结果符合人体用硅胶假体;3)对底面施加固定约束,对弧面施加位移约束y=0.2 mm,模型寿命分布计算结果如图15所示,最小寿命为698 840 min,应力分布较均匀,假定应变一个周期耗时1 s,一天循环1 000次,则模型寿命至少为114 a,满足要求。

图12 Fy= –1 N时的应变云图 Fig. 12 Total deformation when Fy= –1 N

图13 不同Fy作用时的应变值 Fig. 13 Corresponding total deformation when Fy take different value

图14 Fx=1 N时的应变云图 Fig. 14 Total deformation when Fx=1 N

图15 y=0.2 mm时的寿命分布图 Fig. 15 Life distribution when y=0.2 mm

3 模具制作 3.1 材料可行性分析

ABS树脂是丁二烯、苯乙烯和丙烯腈3种单体的接枝共聚物,具有优异的热稳定性和耐化学性能,熔点为175 ℃[3]。双组分液体硅橡胶通常由含氢硅油、乙烯基生胶及铂催化剂等组成。白凡士林系从石油中得到的多种烃的半固体混合物,熔点为45~60 ℃,相对密度为0.815~0.880[4]。白凡士林和ABS树脂对假体影响尚待研究。

硅胶与固化剂发生交联反应,分为2个阶段:1)不完全聚合预聚物的形成;2)预聚物的成型固化。其中,反应时间与温度有关。液态硅胶密度比水大,易与ABS树脂接触。烃类加聚反应与芳香环氰化反应目前研究中均未提及铂催化剂[5-6]。烃类异构反应需要铂催化剂作用和远高于55 ℃的温度[7]。因此,ABS树脂、硅胶与固化剂混合液和白凡士林相互间不发生化学反应,实验可行。

3.2 模具制备

通过载入模具的STL格式文件,考虑实验目的、打印效率和成本,填充内部支撑设为“松散”,3维打印机将ABS材料高温熔化挤出,并在成型后迅速凝固。将接触面残留ABS树脂材料用砂纸适当打磨模具内表面,使其不均匀粗糙,以满足医学上对硅胶假体表面的要求[8]

4 实验案例

采用控制变量法。以标准假体黏度计、柔软度仪测定值为参考标准,超过测定值越多,粘度越大且柔软性越好。取与标准样品黏度、柔软度相近假体为目标假体,采用双组分硅橡胶配置硅胶与固化剂的混合液。固化剂与硅胶比例小于1%时,固化不均匀;固化剂与硅胶比例大于5%时,制得硅胶假体硬度较大、撕裂强度较小。实验中,硅胶用量均为10 mL。硅胶假体制备过程中,要考虑的因素有液态硅胶加入量、固化剂用量、加热温度和加热时间等。由于交联反应时间较长,实验周期应尽可能缩短。实验流程如图16所示。

图16 硅胶假体制备流程图 Fig. 16 Flow chart of the preparation of silicone prosthesis

ABS型塑料模具具有热胀冷缩效应,其使用温度为–40~80 ℃,相应收缩率为0.4%~0.8%。硅胶假体制备过程中,需在室温下浇注硅胶与固化剂的混合液于涂抹有白凡士林的模具型腔,并静置一段时间,消除气泡。假体成型后体积有较小缩变,假体与模具间产生较小缝隙,导致粘模。因此假体成型前后模具温差不宜过大,以降低模具变形对实验的影响。温度低于5 ℃时,硅胶与固化剂不发生交联反应。文献[9]中,ABS树脂变形温度为62~95 ℃,玻璃化转变温度为90~100 ℃,医学上对假体表面精度要求较高,为防止模具显著变形,设置电加热套温度不超过60 ℃。模温取5~60 ℃时,假体成型前后模具温差变化在实验允许范围内,模具变形对制备假体影响较小。模温取室温时,假体成型前后模具温差近似不变,模具变形几乎为零,假体与模具间缝隙微小,便于脱模。

做3组试验:硅胶与固化剂配比取10∶0.5,模温分别取5、25、60 ℃,进行假体制备。讨论不同模温处理对制备假体影响(见表1),综合考虑模具与假体的变形误差、假体柔软度和黏度及制备效率等因素,确定模温:当模温低于5 ℃时,未见混合液凝固;高于60 ℃时,模具已变形。一定范围内,模温增加,流动停滞耗时从<5 ℃时的无限长时间降到55 ℃时的20~25 min,脱模耗时从<5 ℃时的无限长时间降到55 ℃时的55~60 min,制备效率提高,黏度计和柔软度仪测定值均无明显变化。

表1 100∶5配比不同模温处理对制备假体影响的多重比较 Tab. 1 Multiple alignment for effect of different die temperature on the preparation of silica gel with the ratio of 100∶5

为提高假体实验制备效率,取模温为55 ℃,基于5%固化剂与硅胶配比,同时考虑成型假体柔软度、黏度及制备效率等因素,讨论不同配比处理对制备假体影响(见表2):未添加固化剂时,未见硅胶凝固;一定配比范围内,固化剂加量处理,流动停滞耗时从未加固化剂时的无限长时间逐渐减少到固化剂用量为0.6 mL时的8~10 min,脱模耗时从未加固化剂时的无限长时间逐渐减少到固化剂用量为0.6 mL时的40~45 min,黏度计和柔软度仪测定值均逐渐减小,假体黏度减小,硬度、脆性增加。当柔韧性满足要求时,硅胶与固化剂配比在100∶4~100∶5之间。

表2 55 ℃模温不同配比处理对制备假体影响的多重比较 Tab. 2 Multiple alignment for effect of different ratio on the preparation of silica gel at die temperature 55 ℃

5 数据优化分析

根据以上实验结果,采用最优化技术对数据进行分析,可得到硅胶假体制备过程的数学模型[10],从而从理论上构建流动停滞耗时、脱模耗时随固化剂用量变化的函数。设:Y为流动停滞耗时随固化剂用量变化的函数,Z为脱模耗时随固化剂用量变化的函数,abY的待定系数,cdZ的待定系数,X为固化剂用量(mL)。

则约束条件:

$Y{\rm{ = }}a\ln X + b,\;Z{\rm{ = }}c\ln X + d\text{。}$

目标函数:

$\begin{array}{l}\varphi \left( {a,b} \right) = \sum\limits_{i = 1}^4 {{{\left( {a\ln {X_i} + b - {Y_i}} \right)}^2}}\text{,} \\[8pt]\varphi \left( {c,d} \right) = \sum\limits_{i = 1}^4 {{{\left( {c\ln {X_i} + d - {Z_i}} \right)}^2}} \text{。}\end{array}$

基于最小二乘法曲线拟合:

$\left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\frac{\displaystyle{\partial \varphi \left( {a,b} \right)}}{\displaystyle{\partial a}} = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a\ln {X_i} + b - {Y_i}} \right)\ln {X_i}} = 0\text{,}\\[8pt]\!\!\!\! \frac{\displaystyle{\partial \varphi \left( {a,b} \right)}}{\displaystyle{\partial b}} = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a\ln {X_i} + b - {Y_i}} \right)} = 0\end{array} \right.$ (14)
$\left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\! \frac{\displaystyle{\partial \varphi \left( {c,d} \right)}}{\displaystyle{\partial c}} = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {c\ln {X_i} + d - {Z_i}} \right)\ln {X_i}} = 0\text{,}\\[8pt]\!\!\!\! \frac{\displaystyle{\partial \varphi \left( {c,d} \right)}}{\displaystyle{\partial d}} = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {c\ln {X_i} + d - {Z_i}} \right)} = 0\end{array} \right.$ (15)

解方程组(14)得: $a = - 117.60,\,\,b = - 60.60\text{。}$

则:

$Y = - 117.6\ln X - 60.6$ (16)

解方程组(15)得: $c = - 242.90,\,\,d = - 107.86\text{。}$

则:

$Z = - 242.9\ln X - 107.86$ (17)

检验回归方程(16)、(17)的显著性:

离差平方和:

$\begin{array}{l}\displaystyle{L_{XX}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\ln {X_i}} \right)}^2}} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\ln {X_i}} } \right)^2} = 0.27,\\[10pt]\displaystyle{L_{YY}} = \sum\limits_{i = 1}^n {Y_i^2} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{Y_i}} } \right)^2} = 4\,\,033.50,\\[10pt]\displaystyle{L_{ZZ}} = \sum\limits_{i = 1}^n {Z_i^2} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{Z_i}} } \right)^2} = 18\,\,631.25\text{。}\end{array}$

离差乘积和:

$\begin{array}{l}\displaystyle {L_{XY}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\ln {X_i}} \right){Y_i}} - \frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\ln {X_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{Y_i}} } \right) = - 31.04,\\[10pt]\displaystyle {L_{XZ}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\ln {X_i}} \right){Z_i}} - \frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\ln {X_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{Z_i}} } \right) = - 64.20\text{。}\end{array}$

相关系数:

$\begin{array}{l}{R_1} = \frac{\displaystyle{{L_{XY}}}}{\displaystyle{\sqrt {{L_{XX}}} \sqrt {{L_{YY}}} }} = - 0.94,\\[12pt]{R_2} = \frac{\displaystyle{{L_{XZ}}}}{\displaystyle{\sqrt {{L_{XX}}} \sqrt {{L_{ZZ}}} }} = - 0.91,\end{array}$
$\begin{array}{l}{F_1} = \left( {n - 2} \right)\frac{\displaystyle{R_1^2}}{\displaystyle{1 - R_1^2}} = 15.18,\\[12pt]{F_2} = \left( {n - 2} \right)\frac{\displaystyle{R_2^2}}{\displaystyle{1 - R_2^2}} = 9.63\text{。}\end{array}$

F[10]知:F0.1(1,2)=8.53;

${F_\alpha }(1,n - 2) = {F_{0.1}}(1,2) = 8.53 < {F_2} < {F_1}\text{。}$

因此,回归方程(16)、(17)回归效果显著。固化过程中,流动停滞耗时和脱模耗时均服从对数规律: $Y = - 117.6{\rm{ln}}\,\,X - 60.6$ $Z = - 242.9{\rm{ln}}\,\,X - 107.86$ ,其中X为固化剂含量(mL)且0<X≤0.6。

依次取X值为:0.41、0.42、0.43、0.44、0.45、0.46、0.47、0.48、0.49 mL,其他条件不变,分别做9组对照实验,经过相应脱模时间后分离取出假体,验证假体柔软性、黏度。相应流动停滞耗时、脱模耗时理论值见表3。实验表明,当X=0.43 mL时:Y=38.65 min,Z=97.14 min,柔软性、黏度均满足要求。

因此,当硅胶与固化剂比例为100∶4.3,模温为55 ℃时,所得假体满足医学要求,可作为一种较为理想的方案应用于临床。

表3 55 ℃模温不同固化剂用量处理对脱模耗时与流动停滞耗时的影响 Tab. 3 Effect of time for flow stagnation and demould of different amount of hardener on the preparation of silica gel at die temperature 55 ℃

6 结 论

结合硅胶假体截面的几何尺寸,依次进行了假体及模具参数化建模、假体有限元应变与疲劳寿命分析,进行了两组制备实验:模温相同,硅胶与固化剂配比不同;硅胶与固化剂配比相同,模温不同。两组试验分别从温度与配比角度出发,控制变量,验证温度和配比对制备过程的影响。结果表明:

1)模温为55 ℃时,一定范围内,假体的柔软度和黏性随配比增加降低。

2)配比为10∶0.43时,一定范围内,假体的柔软度和黏性随模温变化甚微。

硅胶假体制备实验为此类或相似产品的制备提供一种新的方案,包括:1)模具及产品模型参数化建模;2)产品模型有限元分析,探讨其在组织修复中应用的可行性;3)产品制备与最优化。临床上仍然需进一步积累动物实验病例数,观察小鼠生理状态,获得其临床效果样本,以构建更为适合的微小型硅胶假体制作方案。

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