1971年，忆阻（memristor）（记忆（memory）和电阻（resistor）的缩写）首次由Chua^[1]从理论上提出，他在研究物理电路时推断，除了电阻、电容、电感器3个基本电路元件外，还存在第4个元件即忆阻，它表示磁通与电荷的关系。尽管电阻和忆阻有相同的量纲和许多相同的性质，但电阻的阻值是由流经它的电流决定的，忆阻的阻值即忆阻值（memristance）是由流经它的电荷确定的，满足函数关系式 $M(q) = \displaystyle\frac{{{\rm{d}}\vartheta }}{{{\rm{d}}q}}$ ， $\vartheta $ 为磁通量。因此，通过测定忆阻的阻值，便可知道流经它的电荷量，从而有记忆电荷的作用。2008年，HP公司的研究人员^[2]做出了纳米忆阻实物模型，验证了忆阻的存在。由于忆阻的电阻记忆特性与生物神经元突触的学习功能尤其相似，适合模拟神经元突触的部分运作，使得电子神经网络更接近人脑，因此，研究忆阻神经网络具有重要的理论和现实意义。忆阻的研究已得到许多学者的广泛关注。文献[3–5]在经典的递归电路模型上用忆阻模拟神经元突触，并代替电阻来构造神经网络，得到了由许多子系统构成的基于忆阻神经网络系统的数学表达结构，其本质是一个系数依赖于状态的切换神经网络。另外，在神经元的信息发送与接收过程中，时滞是不可避免的。自Hu等^[3]首次提出基于忆阻时滞神经网络模型以来，关于忆阻时滞神经网络的动力学行为，例如，稳定^[3–4]、半同步控制^[5]、可靠镇定^[6]等方面的研究已取得了丰硕的成果。

另一方面，耗散是物理系统的一种重要性质，耗散理论为控制系统的分析和设计提供了一个基于能量的输入–输出的描述性框架^[7]。Wu等^[7]指出：虽然耗散性与系统的稳定性存在紧密的关系，但是前者揭示系统的性能比后者多，比如，无源性、几乎扰动解耦、H_∞控制等性能。而且无源理论、Kalman-Yakubovich引理、有界实引理等理论均可看作是耗散理论的特殊情况。随着线性矩阵不等式方法的发展，对各种动力系统的耗散问题进行了研究^[8–14]。Zhang等^[8]研究了随机混杂系统的可靠耗散问题。Wu等^[9]考虑了离散随机神经网络的耗散问题。文献[10–14]研究了带有不同时滞的神经网络的耗散问题。Wu等^[10]运用Jensen积分不等式来估计所构造KLF微分的上界，得到了较大保守性的耗散条件。Zeng等^[11] 估计积分项上界时仅仅考虑了时滞上界d，而未考虑时滞d（t），这势必会带来一定的保守性。正如文献[15]所指出的，从数学角度看，基于自由权矩阵不等式^[12]与Wirtinger积分不等式^[16]在减少保守性方面的作用是相同的。而且与结合Wirtinger积分不等式和倒凸技术方法相比，它在处理时变时滞系统时，会引入更多的未知变量，这将带来较大的计算量。作为耗散的特例，文献[17–21]研究了时滞神经网络的无源问题。不同于文献[13,17–21]，本文中的激活函数具有更一般的形式。

为了得到更弱保守性的耗散条件，本文从两方面进行了改进。

1）LKF的构造。本文构造的LKF中除了有目前常见的状态向量2次项、1重积分项和2重积分项外，还增加了时滞系数的状态向量2次项和3重积分项，这样的构造方法能更充分地考虑时滞d（t）、时滞上界d以及时滞微分 $\dot d(t)$ 。

2）倒凸技术和Wirtinger积分不等式结合。用Wirtinger积分不等式处理积分项时，常常出现时滞项在分母上的情况，针对这种情况，常见的凸组合技术很难处理，然而倒凸技术能较好地消除这种情况，仅需增加少量的未知变量。

1 问题阐述和准备 1.1 模型描述

4个基本二端电路元件之间关系见图1。

正如文献[14]所述，由Krichoff电流定律，一类时滞神经网络第i个子系统为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\displaystyle\!\!\!{{{\dot x}_i}(t) = - {a_i}({x_i}(t)){x_i}(t) + }\\[3pt]\qquad \;\;\; \displaystyle{\sum\limits_{j = 1}^n {{w_{{{ij}}}}} ({x_i}(t)){f_j}({x_j}(t)) + }\\[5pt]\qquad \;\;\; \displaystyle{\sum\limits_{j = 1}^n {w_{ij}^{\left( 1 \right)}} ({{{x}}_i}(t)){f_j}({{{x}}_j}(t - {d_j}(t))) + {J_i}(t)}\text{；}\\\displaystyle\!\!\!{{{{y}}_i}(t) = {f_i}({{{x}}_i}(t)),t \ge {\rm{0, }}{\mathop{i}\nolimits} = 1,2, \cdots ,n}\text{；}\\[4pt]\displaystyle\!\!\!{{{{x}}_i}(t) = {\varphi _i}(t),t \in \left[ { - d,0} \right]}\end{array}} \right.$

(1)

式中： ${x_i}(t)$ 为加在电容器C_i两端的电压； ${f_i}({x_i}(t))$ 和 ${f_i}({x_i}(t - {d_i}(t)))$ 分别为不带时滞和带有时滞的激活函数； ${J_i}(t)$ 为外部输入； ${y_i}(t)$ 为神经网络的输出；时滞 ${d_j}(t)$ 满足 $0 \le {d_j}(t) \le d,{\rm{ }}{\dot d_j}(t) \le \mu ,j = 1, 2, \cdots ,n$ ，其中，d、μ是已知常数；初始状态 ${\varphi _i}(t)$ 在 $\left[ { - d,0} \right]$ 上有界且连续可微， ， $ \mathbb{R}^n$ 表示n维欧氏空间， $\mathbb{C}([ - d,0],{\mathbb{R}^n})$ 表示所有连续函数的Banach空间； ${a_i}({x_i}(t))$ 、 ${w_{ij}}({x_i}(t))\text{、}\!\!\! w_{ij}^{{\rm{(1)}}}({x_i}(t))$ ， $i,j = 1,2, \cdots $ ，n表示基于忆阻神经网络的连接权重，且满足：

$\begin{array}{l}\displaystyle{a_{{i}}}({{{x}}_i}(t)) = \frac{1}{{{C_i}}}[\sum\limits_{j = 1}^n {{\rm{sign}}_{ij}({M_{ij}} + {N_{ij}})} + {{\overline{R}}_i}],\\[10pt]\displaystyle{w_{ij}}({{{x}}_i}(t)) = \frac{{{\rm{sign}}_{ij}{M_{ij}}}}{{{C_i}}},w_{ij}^{{\rm{(1)}}}({x_i}(t)) = \frac{{{\rm{sign}}_{ij}{N_{ij}}}}{{{C_i}}}\text{。}\end{array}$

其中：符号函数 ${\rm{sign}}_{ij} \! = \! \left\{ \begin{array}{l}\!\! 1, \; i \ne {\mathop{j}\nolimits}\text{；}\\ \!\!\! {- 1, \;}{\mathop{i}\nolimits} \! = \! {\mathop{j}\nolimits}\text{；}\end{array} \right.$ $ R_{ij}$ 为通过 ${f_i}({{{x}}_i}(t))$ 和 ${{{x}}_i}(t)$ 的忆阻且 ${f_i}(0) = 0$ ；F_ij为通过 ${f_i}({{{x}}_i}(t - {d_i}(t)))$ 和 ${{{x}}_i}(t)$ 的忆阻；M_ij和N_ij分别为R_ij和F_ij的忆阻值；R_i为电容器C_i并联的电阻； ${\overline{R}}_{i}$ 为R_i的电感。根据忆阻的特性和电流–电压特征图^[4]，为方便起见，令：

$\begin{array}{l}{a_i}({x_i}(t)) = \left\{ \begin{array}{l}{\! \! \! {\hat a}_i},\;\left| {{x_i}(t)} \right| \le {I_i}\text{；}\\{\! \! \!{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} }_i},\;\left| {{x_i}(t)} \right| > {I_i}\text{。}\end{array} \right.\\[10pt]{w_{ij}}({x_i}(t)) = \left\{ \begin{array}{l}{\! \! \!{\hat w}_{ij}},\;\left| {{x_i}(t)} \right| \le {I_i}\text{；}\\[4pt]{\! \! \!{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} }_{ij}},\;\left| {{x_i}(t)} \right| > {I_i}\text{。}\end{array} \right.\\[10pt]w_{{\rm{ij}}}^{{\rm{(1)}}}({x_i}(t)) = \left\{ \begin{array}{l}\! \! \! \hat w_{ij}^{{\rm{(1)}}},\;\left| {{x_i}(t)} \right| \le {I_i}\text{；}\\[6pt]\! \! \!\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{\rm{(1)}}},\;\left| {{x_i}(t)} \right| > {I_i}\text{。}\end{array} \right.\end{array}$

其中，切换界值 ${I_{\rm{i}}} > 0$ ， ${\hat a_{\rm{i}}} > 0\text{，}\! \! {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} _i} > 0\text{，}\!\!{\hat w_{ij}}\text{、}\!\!{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}}$ $\text{、}\!\!\hat w_{ij}^{{\rm{(1)}}}\text{、}\!\!$ $\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{\rm{(1)}}}$ 是常数。

1.2 问题准备

由于系统（1）中的 ${a_i}( \cdot )\text{、}{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{{\rm{ij}}}}( \cdot )\text{、}\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{\rm{(1)}}}( \cdot )$ 均为不连续函数，因此，系统（1）是一个不连续系统，传统微分方程的相关理论在这里无法使用。Filippov^[22]提出了一套有关不连续的微分方程的解的理论。由Filippov理论可知，一个具有不连续项的微分方程和与之对应的微分包含具有相同的解集。因此，在研究具有不连续项的微分方程的性能时，要转化成研究相应的微分包含的性能。有关微分包含和集值映射理论具体参见文献[22–23]。应用微分包含和集值映射理论^[22–23]，式（1）可写成微分包含形式：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{{\dot x}_i}(t) \in - {\rm{co}}\{ {{\hat a}_i},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} }_i}\} {x_i}(t) + \sum\limits_{j = 1}^n {{\rm{co}}\{ {{\hat w}_{{ij}}},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} }_{ij}}\} {f_j}({x_j}(t))} }+\\[-4pt]& \quad \quad \;\;\; { \sum\limits_{j = 1}^n {{\rm{co}}\{ \hat w_{ij}^{(1)},\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{(1)}\} {f_j}({x_j}(t - {d_{\mathop{\rm j}\nolimits} }(t))) + {J_i}(t)} }\text{；}\\[-2pt]& {{y_i}(t) = {f_i}({x_i}(t)),t \ge {{0},i} = {\rm{1,2,}} \cdots ,n}\text{；}\\& {{x_i}(t) = {\varphi _i}(t),t \in \left[ { - d,0} \right]}\end{aligned}} \right.$

(2)

根据文献[6,13]的描述方式， $\forall i,j = 1,2, \cdots ,n,\exists \;{{{a}}_i} \! \in$ $ {\rm{co}}\left\{ {{{\hat a}_i},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {{a}}} }_i}} \right\},{{{w}}_{ij}} \in {\rm{co}}\{ {{{\hat w}}_{ij}},{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {{w}}} _{ij}}\} $ ， ${{w}}_{ij}^{{\rm{(1)}}} \in {\rm{co}}\{ {{\hat w}}_{ij}^{{\rm{(1)}}},\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {{w}}} _{ij}^{{\rm{(1)}}}\} $ ，其中， ${\rm{co}}\left\{ {{{\hat a}_i},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {{a}}} }_i}} \right\}$ 表示由实数 ${{{\hat a}_i}\text{、}{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {{a}}} }_i}}$ 生成的闭凸包，使得式（2）等价于：

$\left\{ \begin{aligned}& {{\dot x}_i}(t) = - {a_i}{x_i}(t) + \sum\limits_{j = 1}^n {{w_{ij}}} {f_j}({x_j}(t))+\\[-3pt]& \qquad \; \; \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {w_{ij}^{\left( 1 \right)}} {f_j}({x_j}(t - {d_j}(t))) + {J_i}(t)\text{；}\\[-2pt]& \; {y_i}(t) = {f_i}({x_i}(t)),t \ge 0,i = 1,2, \cdots ,n\text{；}\\& \; {x_i}(t) = {\varphi _i}(t),t \in \left[ { - d,0} \right]\end{aligned} \right.$

(3)

其中： ${a_i}\text{、}{w_{ij}}\text{、}w_{ij}^{(1)}$ 是依赖于时间t和系统（1）的初值的。 ${{\overline a }_i} = \max \{ {\hat a_i},\,{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} _i}\} ,\;{\underline a _i} = \min \{ {\hat a_i},\;{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} _i}\} $ ， ${\overline w_{ij}} = \max \{ {\hat w_{ij}},\;{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}}\}$ ， ${\underline w _{ij}} = \min \{ {\hat w_{{\rm{ij}}}},{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{{\rm{ij}}}}\} $ ， $\overline w_{ij}^{{\rm{(1)}}} = \max \{ \hat w_{ij}^{{\rm{(1)}}},\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{\rm{(1)}}}\} $ ， $\underline w _{ij}^{{\rm{(1)}}} = \min \{ \hat w_{ij}^{{\rm{(1)}}},$ $\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{\rm{(1)}}}\} $ 。显然， ${\rm{co}}\{ {\hat a_i},\;{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} _i}\} = [{\underline a _i},\;{\bar a_i}]$ ， ${\rm{co}}\{{{{\hat w}}_{ij}},{{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} }}_{ij}}\} = [{\underline w _{ij}},\;{\overline w_{ij}}]$ ， ${\rm{co}}\{ \hat w_{ij}^{{\rm{(1)}}},\;\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{{{ij}}}^{{\rm{(1)}}}\} = [\underline w _{ij}^{{\rm{(1)}}},\;\overline w_{ij}^{{\rm{(1)}}}]$ ， $\forall {i,j} = {\rm{1,2,}} \cdots ,n$ 。

满足系统（1）的初始条件 ${x_{{i}}}(t) \! = \! {\varphi _{{i}}}(t),{\rm{ }}t \! \in \! [ - d,0]$ ，在Filippov意义下的解 ${\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) \! = \! {[{x_{\rm{1}}}(t), \cdots ,\! {x_n}(t)]^{\rm{T}}} \! \in \! {{\mathbb{R}}^n}$ 在 $[0,\infty )$ 的任一紧区间上是绝对连续的，对 $i = 1,2, \cdots ,n$ ，有：

$\begin{aligned}{{\dot x}_{\rm{i}}}(t) \in & - {\rm{co}}\{ {{\hat a}_i},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} }_i}\} {x_i}(t) + \sum\limits_{j = 1}^n {{\rm{co}}\{ {{\hat w}_{ij}},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} }_{ij}}\} } {f_j}({x_j}(t)) + \\& \sum\limits_{j = 1}^n{{\rm{co}}\{ \hat w_{ij}^{{\rm{(1)}}},\mathord{\buildrel{\lower1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{\rm{(1)}}}\} } {f_j}({x_{{j}}}(t - {d_j}(t))) + {J_i}(t)\text{。}\end{aligned}$

为了方便，式（3）也可写成向量形式：

(4)

或 $\exists {\mathit{\boldsymbol{A}}} \in {\rm{co}}\{ {{{\hat {\mathit{\boldsymbol{A}}}}},\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {\mathit{\boldsymbol{A}}}} } \},{\mathit{\boldsymbol{W}}} \in {\rm{co}}\{ {{{\hat {\mathit{\boldsymbol{W}}}}},\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {\mathit{\boldsymbol{W}}}} } \},{{\mathit{\boldsymbol{W}}}_1} \in {\rm{co}}\{ {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}},{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {\mathit{\boldsymbol{W}}}} }_1}} \}$ 。

式（4）中，矩阵区间 $[\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} ,{\mathit{\boldsymbol{\overline {W}}}}]$ 表示 $\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} \ll {\mathit{\boldsymbol{\overline {W}}}}$ 。若 $\forall {\mathit{\boldsymbol{W}}} = $ $ {({w_{ij}})_{{mxn}}} \in [\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} {\mathit{\boldsymbol{,\overline {W}}}}]$ 意味着 $\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} \ll {\mathit{\boldsymbol{W}}} \ll {\mathit{\boldsymbol{\overline{\bm{W}}}}}$ ，即 ${\underline w _{ij}} \ll {w_{ij}} \ll {{\overline w}_{ij}},$ $i \! = \! 1,2, \cdots$ ， $m, j \! = \! 1,2, \cdots , n$ 。这也适合于其他矩阵区间。

式（4）等价于：

$\left\{ \begin{aligned}\dot {x}(t) = & - {\mathit{\boldsymbol{Ax}}}(t) + {\mathit{\boldsymbol{Wf}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)) + \\& {{\mathit{\boldsymbol{W}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{f}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t - d(t))) + {\mathit{\boldsymbol{J}}}(t),t \ge 0\text{；}\\{\mathit{\boldsymbol{y}}}(t) = & {\mathit{\boldsymbol{f}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t))\text{；}\\{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) = & {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}(t)\end{aligned} \right.$

(5)

显然

$\begin{aligned}& {\text{co }}\{{{\hat {\mathit{\boldsymbol{A}}}}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\mathit{\boldsymbol{A}}} }}{\text{\} }} = [\underline {\mathit{\boldsymbol{A}}} ,{{\overline {\mathit{\boldsymbol{A}}}}}],{\rm{co}}\{ {\hat {\mathit{\boldsymbol{W}}}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\mathit{\boldsymbol{W}}} }}\} = [\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} ,{\overline {\mathit{\boldsymbol{W}}}}], \\& \hfill {\rm{co}}\{ {{\hat {\mathit{\boldsymbol{W}}}}_1},{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\mathit{\boldsymbol{W}}} }}}_1}\} = [{\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} _1},{{\overline {\mathit{\boldsymbol{W}}}}_1}] \text{。}\hfill \\ \end{aligned}$

其中：

$\begin{array}{l}\;\;\;\; {\hat {\mathit{\boldsymbol{A}}}} = {({{\hat a}_i})_{{{n{\rm x}n}}}},{{\hat {\mathit{\boldsymbol{W}}}}} = {({{\hat w}_{ij}})_{{{n{\rm x}n}}}},{{{{\hat {\mathit{\boldsymbol{W}}}}}}_1} = {(\hat w_{ij}^{{{(1)}}})_{{{n{\rm x}n}}}},{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {\mathit{\boldsymbol{A}}}} } = {({{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} }_i})_{{{n{\rm x}n}}}},\\\;\;\; {{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {\mathit{\boldsymbol{W}}}} }} = {({{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} }_{ij}})_{{{n{\rm x}n}}}},{{{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over {\mathit{\boldsymbol{W}}}} }}}_1} = {(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over w} _{ij}^{{{(1)}}})_{{{n{\rm x}n}}}},{\overline {\mathit{\boldsymbol{A}}}} = {({{\overline a}_i})_{{{n{\rm x}n}}}},{{ }}\underline {\mathit{\boldsymbol{A}}} = {({\underline a _i})_{{{n{\rm x}n}}}},\\[5pt]{\overline {\mathit{\boldsymbol{W}}}} = {({{\overline w}_{ij}})_{{{n{\rm x}n}}}},\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} = {({\underline w _{ij}})_{{{n{\rm x}n}}}},{{\overline {\mathit{\boldsymbol{W}}}}_1} = {(\overline w_{ij}^{\left( {{1}} \right)})_{{{n{\rm x}n}}}},{\underline {\mathit{\boldsymbol{W}}} _1} = {(\underline w _{ij}^{\left( {{1}} \right)})_{{{n{\rm x}n}}}},\\[5pt]\qquad \quad \;\;{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) = {\left[ {{x_1}(t),{x_2}(t), \cdots ,{x_{{n}}}(t)} \right]^{{\rm T}}} \in {{\mathbb{R}}^{{n}}},\\[5pt]{\mathit{\boldsymbol{f}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)) = {[{f_1}({x_1}(t)),{f_2}({x_2}(t)), \cdots ,{f_{{n}}}({x_{{n}}}(t))]^{{\rm T}}} \in {{\mathbb{R}}^n},\\[5pt]{\mathit{\boldsymbol{f}}}({x}(t - d(t))) = [{f_1}({x_1}(t - d(t))),{f_2}({x_2}(t - d(t))),\\[5pt]\qquad \qquad \qquad \; \cdots ,{f_{{n}}}({x_{{n}}}(t - d(t))){]^{{\rm T}}} \in {{\mathbb{R}}^{{n}}},\\[5pt]\quad\quad\quad{\mathit{\boldsymbol{y}}}(t) = {[{y_1}(t),{y_2}(t), \cdots ,{y_{{n}}}(t),]^{{\rm T}}} \in {{\mathbb{R}}^{{n}}},\\[5pt]\quad\quad\quad{\mathit{\boldsymbol{J}}}(t) = {[{J_1}(t),{J_2}(t), \cdots ,{J_{{n}}}(t)]^{{\rm T}}} \in {{\mathbb{R}}^{{n}}}\text{。}\end{array}$

假　设 　连续有界激活函数 $f({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t))$ 满足

$l_j^{ - } \le \frac{{{f_j}(a) - {f_j}(b)}}{{a - b}} \le l_j^{ + }, j = 1, 2,\cdots ,n$

(6)

式中： ${f_j}(0) = 0$ ；对所有 $a,b \in {\mathbb{R}},\;a \ne b; \;l_{\rm{j}}^{\rm{ - }}\text{、}\! \! l_{\rm{j}}^{\rm{ + }}$ 是常数。

若b=0时，

$l_j^{\rm{ - }} \le \frac{{{f_j}(a)}}{a} \le l_j^{\rm{ + }}$

(7)

下面介绍严格 $({\mathit{\boldsymbol{G,S,T}}}) - \gamma $ 耗散定义和引理。

定　义 　给定对称矩阵G，T和矩阵S，对所有 ${t_{\rm{f}}} \ge 0$ ，在零初始状态下，如果下列不等式 $\left\langle {{{\left. {{\mathit{\boldsymbol{y}}},{\mathit{\boldsymbol{Gy}}}} \right\rangle }_\tau }} \right. + $ $2\left\langle {{{\left. {{\mathit{\boldsymbol{y}}},{\mathit{\boldsymbol{SJ}}}} \right\rangle }_\tau }} \right. + \left\langle {{{\left. {{\mathit{\boldsymbol{J}}},{\mathit{\boldsymbol{TJ}}}} \right\rangle }_\tau }} \right. \ge \gamma \left\langle {{{\left. {{\mathit{\boldsymbol{J}}},{\mathit{\boldsymbol{J}}}} \right\rangle }_\tau }} \right.$ ， $\forall {\mathit{\boldsymbol{J}}} \in L_{2e}^{{n}}$ 成立，则称系统（5）为严格 $({\mathit{\boldsymbol{G,S,T}}}) - \gamma $ 耗散的，其中， $L_{2e}^{{n}} = \{ f\text{是} \mathbb{R}^{+}$ 上的可测函数， ${P_\tau } f \in {{L}}_{\rm{2}}^n,\forall \tau \in \mathbb{R}^{+} \}$ ， $({P_{\rm{\tau }}}f)(t) = \left\{ \begin{array}{l}\!\!\! f(t),\;\;t \le \tau \text{；}\\\!\!\! 0,\;\;t > \tau \text{。}\end{array} \right.$ 对任意函数 ${\mathit{\boldsymbol{x}}} = \{ {\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)\} ,{\mathit{\boldsymbol{y}}} = \{ {\mathit{\boldsymbol{y}}}(t)\} \in L_{2e}^{{n}}$ ，矩阵N定义为 $\left\langle {{{\left. {{\mathit{\boldsymbol{x}}},{\mathit{\boldsymbol{Ny}}}} \right\rangle }_\tau }} \right. = \int_0^{\rm{\tau }} {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{Ny}}}(t){\rm{d}}t} $ 。

引理1^[16] 　设 ${\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)$ 是取值在 $[a,b] \in {{\mathbb{R}}^{\rm{n}}}$ 上的连续可微函数，则对给定矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{R}}} > 0$ ，有下列积分不等式成立：

$\begin{array}{l} - (b - a)\int\limits_a^b {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s)} {\mathit{\boldsymbol{R\dot x}}}(s){\rm{d}}s\le\\\quad \;\; - {[{\mathit{\boldsymbol{x}}}(b) - {\mathit{\boldsymbol{x}}}(a)]^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}[{\mathit{\boldsymbol{x}}}(b) - {\mathit{\boldsymbol{x}}}(a)] - 3{{\mathit{\boldsymbol{\varOmega }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{R\varOmega }}}\text{。}\end{array}$

其中： ${\mathit{\boldsymbol{\varOmega }}} = {\mathit{\boldsymbol{x}}}(b) + {\mathit{\boldsymbol{x}}}(a) - ({\displaystyle\frac{2}{{b - a}}})\int\limits_a^b {{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s)} {\rm{d}}s$ 。引理1 又称为Wirtinger积分不等式。显然，当 $3{{\mathit{\boldsymbol{\varOmega }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{R\varOmega }}}$ 不存在时，Jensen积分不等式是其特殊情况。

引理2^[24] 　对任意向量α₁、α₂，对称矩阵R和任意矩阵S，满足 ${\mathit{\boldsymbol{\overline{{R}}}}}{ = }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{R}}} & {\mathit{\boldsymbol{S}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{*}}} & {\mathit{\boldsymbol{R}}} \end{array}} \right] \ge 0$ （ ${\mathit{\boldsymbol{\overline{{R}}}}}$ 是半正定矩阵），实参数 $\beta \in [0,1]$ ，有如下不等式成立：

$\frac{1}{\beta }{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}_1^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}{{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}_1} + \frac{1}{{1 - \beta }}{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}{{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}_2} \ge {{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{R}}} & {\mathit{\boldsymbol{S}}}\\{\mathit{\boldsymbol{*}}} & {\mathit{\boldsymbol{R}}}\end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}\text{。}$

其中，*表示对称矩阵的对称部分， ${{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}^{\rm{T}}} \! = \! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}} \;\; {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]$ 。

引理3^[25] 　对矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{R}}} > 0$ ，参数a<b和向量泛函 ${\mathit{\boldsymbol{\omega}}} :[a,b] \mapsto {{\mathbb{R}}^{{m}}}$ ，下列积分不等式成立：

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{{{(b - a)}^2}}}{2}\int\limits_a^b {\int\limits_\theta ^b {{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}}^{\rm T}}(s){\mathit{\boldsymbol{R\omega }}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\theta } } \ge \\\qquad \quad \displaystyle(\int\limits_a^b {\int\limits_\theta ^b {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\theta {)^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}} } (\int\limits_a^b {\int\limits_\theta ^b {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\theta )} } \text{。}\end{array}$

2 耗散条件分析

给出保证时滞神经网络系统严格耗散的时滞依赖稳定性条件。

定　理 　给定d>0，μ；如果存在2n×2n维正定矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{P}}} > 0,{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_i} > 0({\mathop{ i}\nolimits} = 1,2)$ ，R₂>0，X；n×n维矩阵 ${{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_i} > 0(i = 1,2,$ $3),{{\mathit{\boldsymbol{R}}}_1} > 0$ ；对角矩阵 ${{\mathit{\boldsymbol{\varLambda }}}_{{i}}} \! \ge \! 0({{i}} \! = \! 1,2),{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_{{i}}} \! \ge \! 0({{i}} \! = \! 1,2, \cdots ,5)$ ，以及参数 $\gamma > 0$ ；使得当 $d(t) \in \{ 0,d\} $ 时，如果下列线性矩阵不等式成立：

${\mathit{\boldsymbol{\varXi}}} < 0$

(8)

${\mathit{\boldsymbol{\varGamma }}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{{\overline {\mathit{\boldsymbol{Z}}}}}}_{\rm{2}}}} & {\mathit{\boldsymbol{X}}}\\{\rm{*}} & {{{{{\overline {\mathit{\boldsymbol{Z}}}}}}_{\rm{2}}}}\end{array}} \right] \ge 0$

(9)

则系统（5）为严格 $({\mathit{\boldsymbol{G}}},{\mathit{\boldsymbol{S}}},{\mathit{\boldsymbol{T}}}) - \gamma $ 耗散的。

$\begin{aligned}&\text{其中：} {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t) = [{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t)\quad {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t - d(t))\quad {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t - d)\quad {{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{\rm{T}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t))\\& \qquad \qquad \quad \;\;\; {{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{\rm{T}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t - d(t)))\quad {{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{\rm{T}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t - d))\quad {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}(t)\quad {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}(t)\\& \qquad \qquad \quad \;\;\;{{\mathit{\boldsymbol{J}}}^{\rm{T}}}(t){]^{\rm{T}}}\text{；}\\& \quad \quad \;\;{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_i} = [{0_{n \times (i - 1)n}} \quad {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{{n}}} \quad {0_{n \times (9 - i)n}}]\text{，}i = 1,2, \cdots ,9\text{；}\\& \quad \;\;{{\mathit{\boldsymbol{{\varSigma}}}}_1} = {\rm{diag}}\{ l_1^ + ,l_2^ + , \cdots ,l_n^+\} \text{，}{{\mathit{\boldsymbol{{\varSigma}}}}_2} = {\mathop{\rm diag}\nolimits} \{ l_1^ - ,l_2^ - , \cdots ,l_{{n}}^- \}\text{，}\\& {\rm{diag}}\{ \cdot \} \text{表示对角矩阵；} {{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_1} = {[{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}\;\;d(t){\mathit{\boldsymbol{e}}}_7^{\rm{T}} + (d - d(t)){\mathit{\boldsymbol{e}}}_8^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}\text{；}\\& \qquad \qquad {{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_2} = {[ - {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{A}}}^{\rm{T}}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{4}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{W}}}^{\rm{T}}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{5}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{W}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{9}}^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}\text{；}\\& \quad {{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_3} = {[{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_2} \quad {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}} - {\mathit{\boldsymbol{e}}}_3^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}\text{；}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{i + 3}} = {[{\mathit{\boldsymbol{e}}}_i^{\rm{T}}\;\;{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{{i + 3}}^{\rm{T}}]^{\rm{{\rm{T}}}}}\text{，}i = 1,2,3\text{；}\\& \qquad \quad {{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_i} = {[{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i - 6}^{\rm{{\rm{T}}}} - {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i - 5}^{\rm{T}} \quad {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i - 6}^{\rm{T}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i - 5}^{\rm{T}} - 2{\mathit{\boldsymbol{e}}}_i^{\rm{T}}{\rm{]}}^{\rm{T}}},i = {\rm{7,8}}\text{；}\\& \qquad \qquad \;\;{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_9} = {[{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_7}\;\;{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_8}]^{\rm{T}}}\text{；}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{10}} = {[{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}} - {\mathit{\boldsymbol{e}}}_7^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}\text{；}\\&　 \qquad \qquad \qquad \quad{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{11}} = {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{2}}^{\rm{T}} \quad - {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{8}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}}\text{；}\\[-3pt]& {{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{{\rm{1}}j}} = {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{\varSigma}} _{(3 + {{( - 1)}^j})/2}}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{{\rm{(2}}j - 3 - {{( - 1)}^j}{\rm{)/4}}}^{\rm{T}} + {{( - 1)}^j}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{{\rm{(2}}j + 9 - {{( - 1)}^j}{\rm{)/4}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}}\text{，}\\& \qquad \;\;(j = 3,4, \cdots ,8)\text{；}\\& \;\;\,{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_i} = {[{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 11)/2}^{\rm{T}}{\rm{ - }}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 9)/2}^{\rm{T}}{\rm{ - }}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 17)/2}^{\rm{T}}{{\varSigma} _2} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 15)/2}^{\rm{T}}{{\varSigma} _2}]^{\rm{T}}},\,\, i = 19,21\text{；}\\& {{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_i} = {\rm{ - }}{[{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 12)/2}^{\rm{T}}{\rm{ - }}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 10)/2}^{\rm{T}}{\rm{ - }}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 18)/2}^{\rm{T}}{{\varSigma} _1} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{(i - 16)/2}^{\rm{T}}{{\varSigma} _1}]^{\rm{T}}},\,\, i = 20,22\text{；}\end{aligned}$

${\rm{sym}}({\mathit{\boldsymbol{A}}}) = {\mathit{\boldsymbol{A}}} + {{\mathit{\boldsymbol{A}}}^{\rm{T}}}\text{。}$

证明：构造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函

$V(t) = \sum\limits_{i = 1}^5 {{V_i}(t)} $

(10)

式中：

$\begin{aligned}[b]\!\!\!\!\!\!{ V_1}(t) \!=\! & 2\sum\limits_{i = 1}^{{n}} {\int_0^{{x_i}} {[{\lambda _{1i}}(l_{{i}}^ + s - {f_i}(s))} + {\lambda _{{{2i}}}}({f_{{i}}}(s) - }l_i^ - s)]{\rm{d}}s + \\& \qquad {\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_1^{\rm{T}}(t){\mathit{\boldsymbol{P}}}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_1}(t)\end{aligned}$

(11)

${{V}_2}(t) = \int\limits_{t - d(t)}^t {{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_2}(s){\rm{d}}s + } \int\limits_{t - d}^{t - d(t)} {{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_2}(s){\rm{d}}}s$

(12)

$\begin{aligned}{{V}_3}(t) = & \int\limits_{ - d}^0 {\int\limits_{t + \theta }^t {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm T}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\theta } } + d\int\limits_{ - d}^0 {\int\limits_{t + \theta }^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_2}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\theta } } \end{aligned}$

(13)

${{V}_4}(t) = \int\limits_{ - d}^0 {\int\limits_\rho ^0 {\int\limits_{t + \beta }^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\beta {\rm{d}}\rho } } } $

(14)

${{V}_5}(t) = d(t){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){{\mathit{\boldsymbol{R}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) + (d - d(t)){\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_{\rm{3}}^{\rm{T}}(t){{\mathit{\boldsymbol{R}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_3}(t)\text{。}$

(15)

$\begin{aligned}& \text{且}\,\,{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_1}(t) = {[{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t)\quad {\rm{ (}}\int\limits_{t - d}^t {{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s)} {\rm{d}}s{)^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}},\\& \qquad \;\;{{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_2}(s) = {[{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(s) \quad {{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{\rm{T}}}{\rm{(}}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s))]^{\rm{T}}},\\& {{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_1}(t) = \int\limits_{t - d(t)}^t {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s)}}{{d(t)}}} {\rm{d}}s,{{\varepsilon} _2}(t) = \int\limits_{t - d}^{t - d(t)} {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s)}}{{d - d(t)}}} {\rm{d}}s,{\rm{ }}\\& \qquad \quad {{\mathit{\boldsymbol{\eta }}}_3}(s) = {[{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(s){\rm{ }}\quad {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}(t)]^{\rm{T}}}\text{。}\end{aligned}$

${V_i}(t)(i = 1,2,3)$ 分别沿系统（5）求导得：

$\begin{aligned}[b]& {{\dot {V}}_1}(t) = 2{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)}\\{d(t){{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_1}(t) + (d - d(t)){{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_2}(t)}\end{array}} \right]^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}} \;\cdot \\& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(t)}\\{{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) - {\mathit{\boldsymbol{x}}}(t - d)}\end{array}} \right] + 2{\rm{\{ [}}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){\varSigma}_{1} - {{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{\rm{T}}}{\rm{(}}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t){\rm{)]}}{{\mathit{\boldsymbol{\varLambda }}}_{\rm{1}}} + \\& \qquad \;\;{\rm{[}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{\rm{T}}}{\rm{(}}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t){\rm{)}} - {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){\displaystyle{\varSigma}_2}{\rm{]}}{{\mathit{\boldsymbol{\varLambda }}}_2}{\rm{\} }}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(t) = {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){{\varXi} _1}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)\end{aligned}$

(16)

${\dot {V}_2}(t) = {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t)({{\mathit{\boldsymbol{\varXi }}}_2} + \dot d(t)({\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_5^{\rm{T}}({{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_1} - {{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_2}){{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_5})){\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)$

(17)

$\begin{aligned}[b]{{\dot {V}}_3}(t) = {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t)(d{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_1} + {d^2}{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{\rm{3}}^{\rm{T}}{{Z}_2}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_3}){\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t) - \\[-2pt]\int\limits_{t - d}^t {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s){\rm{d}}s - d\int\limits_{t - d}^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_2}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(s){\rm{d}}s} } \end{aligned}$

(18)

对式（18）的第1个积分项应用Jensen积分不等式得：

$\begin{aligned}[b]& - \int\limits_{t - d}^t {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s){\rm{d}}s = - \int\limits_{t - d(t)}^t {{{x}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s){\rm{d}}s} } - \\& \qquad \qquad \quad \int\limits_{t - d}^{t - d(t)} {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}\left( s \right){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}}\left( s \right){\rm{d}}s \le } \\&\qquad {{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t)( - d(t){\mathit{\boldsymbol{e}}}_7^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_7} - }(d - d(t)){\mathit{\boldsymbol{e}}}_8^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_8}){\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)\end{aligned}$

(19)

对式（18）的第2个积分项应用引理1和2得：

$\begin{aligned}[b]& - d\int\limits_{t - d}^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_2}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(s){\rm{d}}s} = - d\int\limits_{t - d(t)}^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_2}{{\dot {x}}}(s){\rm{d}}s} - \\[-2pt]& d\int\limits_{t - d}^{t - d(t)} {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_2}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(s){\rm{d}}s} \le - \frac{d}{{d(t)}}{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{\rm{7}}^{\rm{T}}{{\overline {\mathit{\boldsymbol{Z}}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_7}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t) + \\[-2pt]& \frac{d}{{d - d(t)}}{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{\rm{8}}^{\rm{T}}{{\overline {\mathit{\boldsymbol{Z}}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_8}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t) \le - {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm T}}(t)({\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_9^{\rm T}{\mathit{\boldsymbol{\varGamma }}}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_9}){\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)\end{aligned}$

(20)

将式（19）～（20）代入式（18）中，可以得到：

${\dot V_3}(t) \le {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){{\mathit{\boldsymbol{\varXi }}}_3}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)$

(21)

${V_4}(t)$ 沿系统（5）求导得：

$\begin{aligned}[b]{{\dot {V}}_4}(t) = \frac{{{d^2}}}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_3^{\rm{T}}{{Z}_3}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi}}} _3}{\xi} (t) - {{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_3}(t) - \\[-2pt]{{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}} _4}(t) - (d - d(t))\int\limits_{t - d(t)}^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{{\dot {x}}}(s){\rm{d}}s} \end{aligned}$

(22)

式中，

$\begin{aligned}{{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_3}(t) = - \int\limits_{ - d(t)}^0 {\int\limits_{t + \beta }^t {{{{{\dot {x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{{\dot {x}}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\beta } }\text{，}\\{{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_4}(t) = - \int\limits_{ - d}^{ - d(t)} {\int\limits_{t + \beta }^{t - d(t)} {{{{{\dot {x}}}}^{\rm T}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{{\dot{x}}}(s){\rm{d}}s{\rm{d}}\beta } }\text{。} \end{aligned}$

用引理3估计 ${{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_3}(t)$ 得：

${{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_3}(t) \le - 2{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{{\rm{10}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{10}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)$

(23)

相似地

${{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}}_4}(t) \le - 2{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{{\rm{11}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{11}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)$

(24)

由引理1得：

$\begin{aligned}[b]& \displaystyle - (d - d(t))\int\limits_{t - d(t)}^t {{{{{\dot {x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_3}{{\dot{x}}}(s){\rm{d}}s} \le \\ & \qquad \displaystyle - (d - d(t)){{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{\rm{7}}^{\rm{T}}\left(\frac{{{{{\mathit{\boldsymbol{\overline{{Z}}}}}}_3}}}{d}\right){{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_7}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)\end{aligned}$

(25)

将式（23）～（25）代入式（22）有：

${\dot {V}_4}(t) \le {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){{\mathit{\boldsymbol{\varXi }}}_4}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)$

(26)

${V_5}(t)$ 沿系统（5）求导得：

$\begin{aligned}[b]{{\dot {V}}_5}(t) \le & \;{{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t)[{{\mathit{\boldsymbol{\varXi }}}_5} \! + \! \dot d(t)({\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}({{\mathit{\boldsymbol{R}}}_1} \! - \! {\mathit{\boldsymbol{R}}}_{11}^{(2)}){{\mathit{\boldsymbol{e}}}_1} \! - \! {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{12}^{(2)}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_2}\! \\[4pt]& - {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{12}^{(2)}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_4} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{22}^{(2)}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_4} + {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{4}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{22}^{(2)}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_4})]{\mathit{\boldsymbol{\xi}}} (t)\end{aligned}$

(27)

在 $\dot {V}(t)$ 中依赖于 $\dot d(t)$ 项，即：

$\qquad \qquad \; \dot d(t){{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{{\rm{11}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{\varPhi}}}{{\mathit{\boldsymbol{\varPi }}}_{11}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t) \le {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){{\mathit{\boldsymbol{\varXi }}}_6}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t)$

(28)

由式（6）～（7）知，存在对角阵 ${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_{{i}}} \ge 0,({{i}} = 1,2, \cdots ,$ 5)，有：

$\begin{aligned}[b]\! \! 0 \! \le \! & {\varpi _i}(s)\! : = \! \! 2{[{\mathit{\boldsymbol{\varSigma }}}\! _1{\mathit{\boldsymbol{x}}}\! (s) \! - \! {\mathit{\boldsymbol{f}}}\! ({\mathit{\boldsymbol{x}}} (s))]^{\rm{T}}}\! {{\mathit{\boldsymbol{H}}}\! _{{i}}}[{\mathit{\boldsymbol{f}}}\! ({\mathit{\boldsymbol{x}}} (s)) \! \! - \! \! {\mathit{\boldsymbol{\varSigma }}}\! _2{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s){]^{\rm{T}}},\!\\ & \qquad \qquad \qquad \quad ({{i}} = 1,2,3)\end{aligned}$

(29)

$\begin{aligned}0 \le & {\varpi _i}(s): = 2[{\mathit{\boldsymbol{\varSigma }}}{}_1({\mathit{\boldsymbol{x}}}({s_1}) - {\mathit{\boldsymbol{x}}}({s_2})) - ({\mathit{\boldsymbol{f}}}({{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s_1)}) - {\mathit{\boldsymbol{f}}}({{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s_2)})){]^{\rm{T}}}\\& {{H}_{{i}}}[({\mathit{\boldsymbol{f}}}({{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s_1)}) - {\mathit{\boldsymbol{f}}}({{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s_2)})) - {\mathit{\boldsymbol{\varSigma }}}{}_2({\mathit{\boldsymbol{x}}}({s_1}) - {\mathit{\boldsymbol{x}}}({s_2})){]^{\rm{T}}},{\rm{ }}({{i}} = 4,5)\end{aligned}$

(30)

于是，下列不等式成立：

${\varpi _1}(t) + {\varpi _2}(t - d(t)) + {\varpi _3}(t - d) \ge 0$

(31)

$\qquad \quad \quad \;\;{\varpi _4}(t,t - d(t)) + {\varpi _5}(t - d(t),t - d) \ge 0$

(32)

将式（31）～（32）加起来得:

${{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){{\mathit{\boldsymbol{\varXi }}}_7}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t) \ge 0$

(33)

由式（16）～（33）得：

$\begin{aligned}[b]\dot {V}(t) - & {{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{Gy}}}(t) - 2{{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{SJ}}}(t) - {{\mathit{\boldsymbol{J}}}^{\rm{T}}}(t) \times \\[3pt]& ({\mathit{\boldsymbol{T}}} - \gamma {\mathit{\boldsymbol{I}}}){\mathit{\boldsymbol{J}}}(t) \le {{\mathit{\boldsymbol{\xi }}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{\varXi \xi }}}(t)\end{aligned}$

(34)

因此，由式（8）可知，对任意 ${\mathit{\boldsymbol{\xi }}}(t) \ne 0$ ，有：

$\begin{aligned}[b]{{\dot {V}}}(t) - & {{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{Gy}}}(t) - 2{{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{SJ}}}(t) - {{\mathit{\boldsymbol{J}}}^{\rm{T}}}(t) \times \\& ({\mathit{\boldsymbol{T}}} - \gamma {\mathit{\boldsymbol{I}}}){\mathit{\boldsymbol{J}}}(t) \le 0\end{aligned}$

(35)

对式（35）两边从0到 ${t_p}({t_p} > 0)$ 积分得：

$\begin{aligned}[b]\int_0^{{t_p}} & {[{{\dot {V}}}(t) - {{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm T}}(t){\mathit{\boldsymbol{Gy}}}(t) - 2{{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{SJ}}}(t)} - \\& {{\mathit{\boldsymbol{J}}}^{\rm{T}}}(t)({\mathit{\boldsymbol{T}}} - \gamma {\mathit{\boldsymbol{I}}}){\mathit{\boldsymbol{J}}}(t)]{\rm{d}}t \le 0\end{aligned}$

(36)

式（36）表明，在零初始状态下有式（37）成立。

$\begin{aligned}[b]\int_0^{{t_p}} & {[ - {{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm T}}(t){\mathit{\boldsymbol{Gy}}}(t) - 2{{\mathit{\boldsymbol{y}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{SJ}}}(t)} \! - \! \\ & {{\mathit{\boldsymbol{J}}}^{\rm{T}}}(t)({\mathit{\boldsymbol{T}}} \! - \! \gamma {\mathit{\boldsymbol{I}}}){\mathit{\boldsymbol{J}}}(t)]{\rm{d}}t \le - {V}({t_p}) \le 0\end{aligned}$

(37)

故由定义知，若式（8）～（9）满足，系统（5）为严格 $({\mathit{\boldsymbol{G,S,T}}}) - \gamma $ 耗散的。结论得证。

注意：1）在上述正文中，在许多电路中，放大器的输入–输出函数既不是单调递增的也不是连续可微的。因此，在设计和实现人工神经网络时，非单调函数可能更适合于描述神经元的激活函数。本文假设自2006年由Wang等^[26]第一次提出以来，关于它的研究引起了许多学者^[15–17]的关注。本文假设中的 $l_j^ - \text{、}l_j^{\rm{ + }}({\mathop{j}\nolimits} = 1,2, \cdots ,n)$ 可以取正数、负数或者是零，因此，它比常见的sigmoid函数或Lipschtiz条件^[18–23]具有更一般的形式。

2）不同于文献[10–14,17–21]，在 ${V}(t)$ 中增加了 ${V_5}(t)$ 项，它充分考虑了时滞 ${{d}}(t)$ 和时滞微分 $\dot d(t)$ 的信息。另外，比如在应用Wirtinger积分不等式估计1阶积分 ${\rm{ - }}d\int_{t - d(t)}^t {{{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}}^{\rm{T}}}(s){{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_2}{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}(s){\rm{d}}s} $ 的上界时，由于Wirtinger积分不等式同时考虑了 ${\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)\text{、}{\!\!\!\mathit{\boldsymbol{x}}}(t - d(t))$ 和 $\int_{t - d(t)}^t {{\mathit{\boldsymbol{x}}}(s){\rm{d}}s} $ 这3方面，因此，它比Jensen积分不等式更能精确地估计1阶积分的上界，这将带来较弱的保守性。

作为耗散的一种特殊情况，时滞神经网络的无源分析也受到一些学者的关注^[18–21]。若设定理中 ${\mathit{\boldsymbol{G}}} = 0,{\mathit{\boldsymbol{S}}} = {\mathit{\boldsymbol{I}}},$ 和 ${\mathit{\boldsymbol{T}}} = 2\gamma {\mathit{\boldsymbol{I}}}$ ，易得系统（5）的无源条件。

推　论 　给定d>0，μ；如果存在2n×2n维数矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{P}}} > 0,{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{i}} > 0(i = 1,2),{{\mathit{\boldsymbol{R}}}_2} > 0,{\mathit{\boldsymbol{X}}}$ ；维数n×n矩阵 ${{\mathit{\boldsymbol{Z}}}_{i}} > 0(i = 1,2,3),{{\mathit{\boldsymbol{R}}}_1} > 0$ ；对角阵 ${{\mathit{\boldsymbol{\varLambda }}}_{{i}}} \ge 0({{i}} = 1,2),{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_i} \ge $ $0(i = 1,2, \cdots ,5)$ ；以及参数 $\gamma > 0$ ；使得当 $d(t) \in \{ 0,d\} $ 时，如果满足线性矩阵不等式（9）和（38）

$\sum\limits_{i = 1}^7 {{{\mathit{\boldsymbol{\varXi}}} _i}} + {\overline {\mathit{\boldsymbol{\varXi}}} _8} < 0$

(38)

则系统（5）为无源的。

式中： ${\overline {\mathit{\boldsymbol{\varXi}}} _8} = {\rm{sym}}\{ {\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm{4}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{e}}}{}_9\} - \gamma {\mathit{\boldsymbol{e}}}_9^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{e}}}{}_9$ ， ${{\varXi} _i}({{i}} = 1,2, \cdots ,7)$ 已在定理中定义。

下面给出求解最优耗散性能指标的优化模型：

对给定d、μ，设 $\delta {\rm{ = - }}\gamma $ ，有：　　　　　 $\min\; \gamma \quad {\rm s.t.}$ 式（8）～（9）成立。

则得到最优耗散指标 ${\gamma ^{\rm{*}}}({\gamma ^{\rm{*}}} = - \delta )$ 。

3 数值例子和仿真

将给出两个例子和仿真来验证所提方法的有效性。

例1：考虑一个二阶基于忆阻时滞神经网络（1），其参数矩阵为：

$\begin{aligned}& {\mathit{\boldsymbol{A}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)) = {\rm{diag}}\{ {a_1}({x_1}(t)),{a_2}({x_2}(t))\} ,\\& {\mathit{\boldsymbol{W}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{w_{11}}({x_1}(t))} & {{w_{12}}({x_1}(t))}\\{{w_{21}}({x_2}(t))} & {{w_{22}}({x_2}(t))}\end{array}} \right],\\[2pt]& {{\mathit{\boldsymbol{W}}}_1}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{w_{11}^{(1)}({x_1}(t))} & {w_{12}^{(1)}({x_1}(t))}\\{w_{21}^{(1)}({x_2}(t))} & {w_{22}^{(1)}({x_2}(t))}\end{array}} \right]\text{。}\end{aligned}$

其中：

$\begin{aligned}{a_1}({x_1}(t))\!\! =\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!2.1\text{，}\left| {{x_1}(t)} \right| \!\le\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!1.9\text{，}\left| {{x_1}(t)} \right| \!>\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right.{a_2}({x_2}(t)) \!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!1.6\text{，}\left| {{x_2}(t)} \right| \!\le\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!1.4\text{，}\left| {{x_2}(t)} \right| \!>\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right.\end{aligned}$

$\begin{aligned}& {w_{11}}({x_1}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\! - 1.2\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\! - 0.9\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right. \!\!\!{w_{12}}({x_1}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!1.1\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!0.9\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right.\\[2pt]& {w_{21}}({x_2}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!0.6\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!0.4\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right. \!\!\!{w_{22}}({x_2}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l} \!\!\!\!\!- 1.2\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\ \!\!\!\!\!- 0.9\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right.\\[2pt]& w_{11}^{(1)}({x_1}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l} \!\!\!\!\!- 0.6\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\ \!\!\!\!\!- 0.4\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right. \!\!\!w_{12}^{(1)}({x_1}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!0.7\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!0.5\text{，}\!\!\!\left| {{x_1}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right.\\[2pt]& w_{21}^{(1)}({x_2}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!0.8\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!0.6\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right. \!\!\!w_{22}^{(1)}({x_2}(t)) \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!0.9\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!\le\!\! {\rm{1}}\text{；}\\\!\!\!\!\!0.7\text{，}\!\!\!\left| {{x_2}(t)} \right| \!\!>\!\! {\rm{1}}\text{。}\end{array} \right.\end{aligned}$

应用微分包含和集值映射理论得：

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{A}}} ={\rm{diag}}\{ 2,1.5\} ,{\mathit{\boldsymbol{W}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1} \;\;\; 1\\{0.5} \;\;\; { - 1}\end{array}} \right],{{\mathit{\boldsymbol{W}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 0.5} \;\;\; {0.6}\\{0.7}\;\;\; {0.8}\end{array}} \right],\end{array}$

且 $l_1^ + = l_2^ + = 0.9,\;l_1^ - = l_2^ - = - 0.1$ 。

取 ${\mathit{\boldsymbol{G}}} \! = \! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { \! - 0.9} & \! 0\\ \! {\rm{*}} & \! { - 0.9} \end{array}} \right]$ ， ${\mathit{\boldsymbol{S}}} \! = \! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \! {0.5} & \! 0\\ \! {0.3} & \! 1 \end{array}} \right]$ ， ${\mathit{\boldsymbol{T}}} \! = \! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \! 2 & \! 0\\ \! {\rm{*}} & \! 2 \end{array}} \right]$ 。

当d=0.4，对不同μ，由定理得出最优耗散性能γ*。表1为本文方法（定理）的结果和文献[10–12]结果的对照。

从表1可以看出，定理所得结果比文献[12]的结果提高了5%，这说明本文方法能更有效地减少严格耗散条件的保守性。

例2：考虑一个2阶基于忆阻时滞神经网络（1）^[13,17–21]，其系数矩阵为：

$\begin{array}{l}{A} \! = \! \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{ 1.4} \;\;\; \! 0\\0 \;\;\;\;\; {\! 1.5}\end{array}}\right],\;{W} \! = \! \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\! {1.2} \;\;\; \! 1.0\\\! { - 1.2} \;\;\; \! {1.3}\end{array}}\right],{{W}_1} \! = \! \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\! \!{ - 0.2} \;\;\; {0.5}\\ {0.3} \;\;\;\;\; { - 0.8}\end{array}}\right]\text{。}\end{array}$

激活函数 ${f_{i}}({x_{i}}(t)) = 0.05(\left| {{x_{i}}(t) + 1} \right| - \left| {{x_{{i}}}(t) - 1} \right|)\text{，}$ $({i} = 1,2)$ 。

针对不同的μ，表2为由本文推论和文献[13,17–21]获得的保证系统（1）无源的最大允许时滞上界d。从表2可以看出，提出的方法大大地减少了文献[13,17–21]方法的保守性。

特别地，当 $d(t) = 1 + 0.27\sin (7t)$ ，图2～3表明不含 ${\mathit{\boldsymbol{J}}}(t)$ 的系统（1）是稳定的。然而，由图4～5可以看出， ${\mathit{\boldsymbol{J}}}(t)$ 的存在的确破坏了系统（1）的稳定性。

4 结　论

应用微分包含和集值映射理论，结合Wirtinger积分不等式和倒凸技术，得到了较弱保守性的时滞依赖的耗散条件，数值例子表明，与现有文献相比，所得到的耗散条件有较弱的保守性。仿真结果验证了耗散条件的有效性。在接下来的研究工作中，考虑把本文方法推广到忆阻时滞神经网络的状态估计、有限时间稳定等其他动力行为中。