螺杆泵采油工艺自问世以来，在世界范围内得到了广泛的应用，其无杆举升的特点适合应用于稠油油藏开采，已然成为稠油开采常用的举升工艺之一^[1-2]。现有螺杆泵定子衬套一般采用普通丁腈橡胶螺杆泵，在工作中容易发生热量集中，导致部分区域过早疲劳失效，发生烧心现象，失效后定子和转子无法形成有效过盈配合，密封腔随即发生泄漏，螺杆泵工作效率迅速降低^[3]。因此亟需开展稠油开采中螺杆泵工作力学特性探究，揭示螺杆泵定子衬套老化及漏失机理，并通过对现有结构优化和参数匹配，实现延长螺杆泵使用寿命、提高机械转速和降低稠油开采成本的目的^[4-5]。

目前，针对螺杆定转子和衬套橡胶研究方面，韩传军^[6]、韩国有^[7]、王明起^[8]等设计了橡胶单轴拉伸试验方案并拟合了丁腈橡胶的本构模型；Zhang^[9]、Borisova^[10]、祖海英^[11]等分析总结了螺杆定转子的失效原因；韩传军^[12]、秦佳^[13]、曹刚^[14]等开展了螺杆泵定子有限元模拟方法研究，其中，Zhang^[9]通过对比2维和3维螺杆泵模型内轮廓线变形规律确认了2维和3维模型结果的一致性。然而，基于常温橡胶的螺杆泵研究的模拟结果与工作一段时间老化后的螺杆泵工作状态存在一定误差，且普通丁腈螺杆泵无法适应稠油的高温开采环境。为改善常规定子橡胶衬套生热不均和散热慢导致的高温环境下衬套寿命低的问题，提出了耐高温氢化丁腈橡胶等壁厚定子衬套结构。目前针对稠油高温环境下等壁厚螺杆泵工作性能的系统研究较少，缺乏研究给出它和普通丁腈在工作深度的界限，也缺乏足够的截面参数选择依据。

作者基于普通丁腈橡胶和氢化丁腈橡胶的热老化和拉伸试验拟合橡胶本构模型^[15]，并根据单向解耦的滞后生热理论建立了新型有限元模型，更加符合实际工况。该模型涉及传热、滞后生热、摩擦、离心力等因素的热–机耦合作用问题，据此研究了工作井深、过盈量和壁厚对滞后生热现象的影响。

1 橡胶参数拟合 1.1 理论模型

橡胶材料作为一种超弹性材料，拥有非线性的力学特征和复杂的变形理论，因此在仿真研究中必须匹配准确的本构模型。作者过往的研究验证了Mooney–Rivlin（M–R）模型能更准确地描述普通丁腈橡胶应变规律，Yeoh模型能更准确地描述氢化丁腈橡胶应变规律^[16-18]。基于以上研究，为优化本构模型参数，本文去除了拟合过程中个别无规律数据。

描述普通丁腈橡胶的Mooney–Rivlin模型假设橡胶材料应变能密度W可以分解为应变偏量能和体积应变能两部分，W的函数形式如下：

$ W=\sum\limits_{i = 0,j = 0}^\infty {{C}_{{ij}}({I}_{1}-3{)}^{i}({I}_{2}-3{)}^{j}}$

(1)

式中，W为应变能密度，C_ij为通过拟合得到的材料参数，I₁、I₂为第1、第2应变不变量。假设橡胶是一种完全不可压缩的材料，式（1）对I₁、I₂求偏导得到：

$\frac{{\partial W}}{{\partial {I_1}}} = {C_1},\frac{{\partial W}}{{\partial {I_2}}} = {C_2}$

(2)

式中，C₁、C₂为材料力学性能常数，是需要通过试验数据处理得到的。又有I₁、I₂、I₃与3个方向的主拉伸比λ₁、λ₂、λ₃关系如下：

$\left\{ \begin{aligned} & {{I_1} = {\lambda^2 _1} + {\lambda^2 _2} + {\lambda^2 _3}}, \\ & {{I_2} = {\lambda^2 _1}{\lambda^2 _2} + {\lambda^2 _2}{\lambda^2 _3} + {\lambda^2 _3}{\lambda^2 _1}}, \\ & {{I_3} = {\lambda^2 _1}{\lambda _2}^2{\lambda^2 _3}} \end{aligned} \right.$

(3)

对于不可压缩的橡胶材料，I₃=1，则 $ \sqrt{{I}_{3}} $ =λ₁λ₂λ₃=1，结合柯西应力张量公式，以及橡胶材料主应力t与其主生长比λ和实际应力σ关系，得到式（4）。其中，P为柯西张量参数：

$ \left\{ \begin{aligned} & \sigma =2\left({\lambda }^{2}_{i}\frac{\partial W}{\partial {I}_{1}}-\frac{1}{{\lambda }^{2}_{i}}\frac{\partial W}{\partial {I}_{2}}\right)-P,i=1,2,3;\\& {t}_{i}=2\left({\lambda }^{2}_{i}\frac{\partial W}{\partial {I}_{1}}+\frac{1}{{\lambda }^{2}_{i}}\frac{\partial W}{\partial {I}_{2}}\right)+P,i=1,2,3;\\& {{t}}=\lambda \sigma \end{aligned}\right.$

(4)

使用式（3）、（4）代换可得到工程应力和工程应变的关系，再计算应力差并抵消公式中参数P可得：

${t_1} - {t_2} = 2\left( {{\lambda^2 _1} - {\lambda^2 _2}} \right)\left( {\frac{{\partial W}}{{\partial {I_1}}} + {\lambda^2 _3}\frac{{\partial w}}{{\partial {I_2}}}} \right)$

(5)

在单轴拉伸试验中，式（5）中t₂=t₃=0，由式（4）可得到：

$\left\{ \begin{aligned} & {{\lambda^2 _2} = {\lambda^2 _3} = \frac{1}{{{\lambda _1}}}}, \\ & {{t_1} = 2\left( {{\lambda^2 _1} - \frac{1}{{{\lambda _1}}}} \right)\left( {\frac{{\partial W}}{{\partial {I_1}}} + \frac{1}{{{\lambda _1}}}\frac{{\partial w}}{{\partial {I_2}}}} \right)} \end{aligned}\right.$

(6)

将式（2）代入式（6）中，能得到Mooney–Rivlin的结论式：

$\sigma = t\frac{1}{\lambda } = 2\left( {{\lambda ^2} - \frac{1}{\lambda }} \right)\left( {{C_1} + \frac{1}{\lambda }{C_2}} \right)$

(7)

以 $\dfrac{1}{\lambda }$ 为横坐标，以 $\dfrac{\sigma }{{2\left( {\lambda - \dfrac{1}{{{\lambda ^2}}}} \right)}}$ 为纵坐标，明显可以将C₁、C₂视为该坐标系内一次函数的参数。将试验得到的点数据拟合为一条直线以后，此直线截距为C₁，斜率为C₂。

描述氢化丁腈橡胶的Yeoh模型的应变能密度关系，见式（8）：

$ W=\sum\limits_{i = 1}^N {{C}_{i0}({I}_{1}-3{)}^{i}}+\sum\limits_{i = 1}^N {\frac{1}{{d}_{i}}(J-1{)}^{2i}}$

(8)

对W两端I₁、I₂求偏导，可得式（9）：

$\frac{{\partial W}}{{\partial{I_1}}} = {C_{10}} + 2{C_{20}}\left( {{I_1} - 3} \right) + 3{C_{30}}{({I_1} - 3)^2},\frac{{\partial W}}{{\partial{I_2}}} = 0$

(9)

将式（6）代入式（9），并根据I和λ的关系式（4）可获得Yeoh模型的结论式：

$ \frac{\sigma }{2\left(\lambda -\dfrac{1}{{\lambda }^{2}}\right)}={C}_{10}+2{C}_{20}\left({\lambda }^{2}+\frac{2}{\lambda }-3\right)+3{C}_{30}{\left({\lambda }^{2}+\frac{2}{\lambda }-3\right)}^{2}$

(10)

以 $\left({\lambda }^{2}+\dfrac{2}{\lambda }-3\right)$ 作为横坐标，以 $\dfrac{\sigma }{{2\left( {\lambda - \dfrac{1}{{{\lambda ^2}}}} \right)}}$ 为纵坐标，式（10）可视为二次函数，Yeoh模型的参数C₁₀、C₂₀和C₃₀对应函数的常数项、1/2的一次项系数和1/3二次项系数。

1.2 橡胶老化拉伸试验

按照ASTM标准，将普通丁腈橡胶和氢化丁腈橡胶的哑铃型试样放置于老化试验箱内，分别在70、100、130和150 ℃环境下进行热老化处理，每个温度处理5个试片。将经过热老化处理的试样夹持在拉伸试验仪上，进行多次应变超过100%的预拉伸，避免Mullins效应，如图1所示。

将老化处理后的哑铃型试样拉伸至断裂，记录橡胶试样的工程应力–应变数据，如图2所示。由图2可见：普通丁腈橡胶在常温和70 ℃的老化处理后力学性能相近，经过70 ℃以上的老化处理后出现了明显的老化和硬化现象，具体表现为最大应变递减和相同应变对应应力递增；氢化丁腈橡胶从常温到130 ℃的老化处理后力学性能相近，尤其在低应变条件下应力–应变曲线几乎重合，仅150 ℃的老化处理后出现明显应力增加现象。

1.3 本构模型参数拟合

将普通丁腈和氢化丁腈的工程应力–应变数据按照第1.1节中橡胶本构模型理论，计算出对应的本构模型横纵坐标，并通过线型拟合和二次拟合分别得到Mooney–Rivlin和Yeoh两种本构模型函数，如图3所示。

输出拟合函数的各项系数，即可得到Mooney–Rivlin和Yeoh模型的各项常数参数，不同温度老化后的参数如图4所示。

2 单头螺杆泵热滞后分析

根据以上公式建立的两种橡胶的本构模型，搭建了传热、滞后生热、摩擦、离心力等复合因素的热–机耦合有限元模型，从工作深度、过盈量和壁厚研究了两种橡胶的等壁厚单头螺杆泵的滞后生热规律，为解决稠油开采中烧心穿孔、匹配定子橡胶衬套参数、优选定子橡胶材料和提升螺杆寿命等问题提供理论依据。

2.1 橡胶的滞后生热理论

通过单向解耦法，将螺杆泵定子、转子复杂的热滞后现象分解为形变分析，损耗分析和热传导分析3个部分^[19]。

能量损耗公式表达式如下：

$\begin{aligned}[b] U''_{ij} =& {\rm{{\text{π}} sin\;\delta }}\mathop \sum \limits_{m = 0}^M m \cdot {}_{}^{ij}E_m^{\cos} \cdot {}_{}^{ij}S_m^{\cos} + {\text{π}} \sin\; {\rm{\delta }} + \\ & \frac{{\rm{{\text{π}} }}}{2}\mathop \sum \limits_{m = 0}^M m \cdot {}_{}^{ij}E_m^{\cos} \cdot {}_{}^{ij}S_m^{\cos} - {\rm{{\text{π}} \cos\;\delta }}\mathop \sum \limits_{m = 0}^M m \cdot {}_{}^{ij}E_m^{\cos} \cdot \\ & {}_{}^{ij}S_m^{\cos} -{\text{π}} \cos\; {\rm{\delta }} + \frac{{\rm{{\text{π}} }}}{2}\mathop \sum \limits_{m = 0}^M m \cdot {}_{}^{ij}E_m^{\cos} \cdot {}_{}^{ij}S_m^{\cos}\\[-10pt] \end{aligned}$

(11)

式中， ${}_{}^{ij}E_m^{\cos}$ 、 ${}_{}^{ij}S_m^{\cos}$ 为傅里叶展开项系数，U为损耗分析中所得到的单元损耗能量。轴对称稳态温度场的热传导方程为：

${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k}}\frac{\partial }{{\partial {{r}}}}{{r}}\frac{{\partial {{T'}}}}{{\partial {{r}}}} + {{k}}\frac{\partial }{{\partial {\textit{z}}}}\left( {{{r}}\frac{{\partial {{T'}}}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right) + {{r\xi }}\left( {{{r}},{\textit{z}}} \right) = 0$

(12)

式中，T为周期时间， $\xi $ 为热生产率。

传导分析采用和形变分析相同的网格划分方法，各单元的热生产率ξ如下：

$ {\xi }_{{\rm{element}}}=\frac{U''}{T}$

(13)

2.2 有限元模型建立

基于橡胶本构模型和滞后生热理论，建立热–机耦合有限元模型。本文通过优化以往的有限元模型，滞后生热算法要求衬套受內压应变和转子运动应变分两步进行，仿真全过程分为3个步骤：首先，建立静力学模型使定子衬套在工作內压下发生变形；其次，将变形后的定子衬套导入动力学模型模拟定子和转子相对运动中衬套产生的应变；最后，根据单向解耦的滞后生热理论建立热力学模型，计算出动力学模型中产生的热量。

相较以往模型，在动力学和热力学过程中通过耦合转子过盈量和定子内壁位移来调节干涉，使定子衬套等量变形；优化后模型得到的定子衬套变形量与定子衬套线型相关，在极坐标下呈现波浪状，更加符合实际工况。

基于GLB120–27型建立的单头螺杆模型等壁厚单头螺杆泵，其结构参数为外径120 mm、转子直径54 mm、定子偏心距5 mm、初始过盈量0.5 mm、壁厚10 mm^[19]。根据地层温度梯度经验公式3 ℃/100 m，计算出橡胶拉伸试验温度70、100、130和150 ℃对应的螺杆泵井下工作深度分别为1667、2667、3667和4333 m。取稠油密度为960 kg/m³，根据液体压力公式P=ρgh，计算出不同井深下螺杆泵承受的液柱压力，结合螺杆泵泵压5.0～21.7 MPa，得到螺杆泵工作中腔室最大压力分别为37.7、47.3、56.9和63.3 MPa。为研究不同条件下等壁厚单头螺杆泵的滞后生热规律，基于橡胶的滞后生热理论，建立了单头螺杆泵的有限元模型。因为转子转动一周后生热和传热之间能实现平衡，所以模型结果取转子公转一周后，定子橡胶衬套截面的温度分布图，其动力学模型的加载条件如图5所示。

2.3 过盈量

过盈量作为定子橡胶衬套的基础结构参数之一，是影响衬套应力和应变大小，以及保证螺杆泵在不同深度环境下定转子能形成有效密封腔的重要因素。虽然过盈量越大，螺杆泵密封性能越好，但是橡胶衬套滞后生热现象也越严重。为了兼顾螺杆泵的工作性能和使用寿命，需要确定过盈量和定子橡胶衬套截面最高温度间的数值关系。

GLB120–27型螺杆泵过盈量为0.2～0.7 mm，然而，研究的工作深度跨度大，因此选用0.4、0.5、0.6和0.7 mm这4组较大的过盈量，并建立螺杆泵在不同工作深度下的有限元模型。

螺杆泵动力学模型中定子橡胶衬套截面的应力最大值一般出现在转子运动到内腔两端时。如图6所示，模拟不同工作深度和过盈量下定子衬套截面最大应力，相同工作深度下，两种橡胶衬套的最大应力均随着过盈量的增加而增加；相同过盈量下，两种橡胶衬套的最大应力随工作深度增加呈现先降低后增加的规律，普通丁腈橡胶在2667 m工作深度，即100 ℃环境达到最低，氢化丁腈橡胶在3667 m工作深度即130 ℃环境达到最低。最大应力的变化规律是橡胶老化和内腔压力共同作用的结果，随着工作深度的增加，橡胶老化现象加剧，使应力增大；同时内腔压力升高，橡胶衬套内壁位移增加，使应力减小，二者共同作用使最大应力表现为上述规律。

取工作温度为100 ℃、不同过盈量的两种橡胶衬套截面温度云图和截面最大温度值，研究过盈量对橡胶衬套的影响，结果如图7所示。由图7可见，氢化丁腈橡胶定子衬套截面最大温度均低于普通丁腈橡胶定子衬套截面最大温度，同时二者表现出的变化规律一致，即随着过盈量增加，两种橡胶衬套截面的最高温度增加，可通过软件拟合为误差小于0.5%的函数曲线，即开口向上的上升二次函数。

综合考虑工作深度和过盈量对两种橡胶衬套截面最高温度的影响，结果如图8所示。由图8可见，在工作温度70 ℃条件下，不同过盈量的普通丁腈衬套截面最高温度均低于氢化丁腈衬套截面最高温度；然而，在100～150 ℃条件下，普通丁腈衬套截面最高温度均超过氢化丁腈衬套截面最高温度，研究表明当螺杆泵工作环境超过100 ℃，普通丁腈橡胶衬套更容易发生老化。尤其在150 ℃条件下，过盈量为0.4 mm的两种橡胶衬套截面应力较小，即定转子的密封性能较低，因此深井环境下合理选择螺杆泵过盈量是螺杆泵参数匹配的重点之一。

综上所述，普通丁腈定子橡胶衬套随工作深度增加、过盈量增大和老化现象导致的接触压力增加会使加剧滞后生热现象；氢化丁腈橡胶生热更少，且高温力学性能稳定，为提高螺杆泵密封能力可以适当增加过盈量。

2.4 壁厚

壁厚作为决定等壁厚螺杆截面线型的结构参数，其取值对螺杆泵工作性能有重要影响。依据GLB120–27型螺杆泵壁厚为10 mm，选取8、10、12和14 mm这4组壁厚，研究壁厚与定子橡胶衬套滞后生热的数值关系。

沿图9（a）所示线路，取工作深度为2667 m的内腔压力下，不同壁厚橡胶衬套内壁的真实位移，见9（b）。结果表明，由于橡胶的不可压缩性，同壁厚普通丁腈橡胶衬套和氢化丁腈衬套在相同內压下真实位移几乎重合；壁厚每增加2 mm，内壁真实位移平均增加0.059～0.067 mm，对应增长率28%～19%，即随着壁厚的增加，真实位移差值增加同时增长率减小。

取工作深度为2667 m（对应温度100 ℃）两种橡胶的定子衬套截面温度云图，研究不同壁厚和橡胶衬套滞后生热的数值关系，结果如图10所示：随着壁厚增加，相同內压下橡胶衬套的变形幅度增大，定转子之间真实过盈量和接触压力减小，导致衬套截面温度全面降低，可拟合为函数曲线，即开口向上的下降二次函数，当壁厚为14 mm的橡胶衬套几乎无滞后生热，对应动力学过程表明定转子之间发生泄漏；增加橡胶衬套壁厚能改善其截面温度分布的不均匀性，提高螺杆泵寿命。

上述研究表明，随着定子橡胶衬套壁厚增加，螺杆泵密封性能降低，必须通过动力学过程的最小接触应力判断螺杆泵是否发生泄漏。综合考虑工作深度和壁厚对两种橡胶衬套截面最高温度的影响，结果如图11所示。

由图11可见，在工作深度1667 m（对应温度70 ℃）条件下，不同壁厚的普通丁腈橡胶衬套最高温度均低于氢化丁腈橡胶衬套最高温度；然而，在工作深度2667～4333 m（对应温度100～150 ℃）条件下，普通丁腈橡胶衬套最高温度均高于氢化丁腈橡胶衬套最高温度；在工作深度2667～4333 m条件下，壁厚为14 mm的两种橡胶衬套均发生泄漏，壁厚为12 mm也有发生泄漏的风险。

综上所述，增加定子橡胶衬套的壁厚，可以减少内壁产生的应力，也可以改善橡胶衬套截面温度分布的不均匀性，然而，会降低螺杆泵的密封性能。因此壁厚应当在不发生漏失条件下取最大值，根据模拟结果，可使用12 mm。

2.5 正交试验

为了综合研究工作深度、过盈量和壁厚对两种橡胶衬套的滞后生热现象影响，采用正交试验法设计对比试验。根据上述研究，取螺杆泵在非漏失区的截面参数建模仿真，工作深度1667、2667和3667 m，过盈量0.4、0.5和0.6 mm，壁厚8、10和12 mm，仿真结果如表1所示，数据处理结果如表2所示。

正交试验分析不同因素影响下橡胶衬套截面的最高温度和与环境的温度差，通过均值和极差的计算可知，各因素的影响大小由主到次为：工作深度>过盈量>壁厚。因为螺杆泵需要避免漏失，所以，无法通过正交结果给出最优方案。可以结合过盈量和壁厚对滞后生热的影响函数，使用数值运算方法计算变化参数下的衬套截面最高温度。

正交试验表明：在高温软化和自身力学性能作用下，容易发生烧心穿孔失效，在70 ℃及以下工作温度（对应工作深度1667 m）时，普通丁腈橡胶的截面应力和热滞后现象优于氢化丁腈，因此，在不超过1667 m深的环境使用普通丁腈橡胶螺杆泵具有更高的性价比；氢化丁腈橡胶在不同温度下，性能相对可靠，力学性能基本一致，直到150 ℃工作温度（对应工作深度4333 m）才开始出现老化，在超过1667 m深的环境中更可靠。

3 结　论

基于GLB120–27型等壁厚单头螺杆泵建立了一种新型有限元模型，研究了两种橡胶在不同工作深度、不同过盈量和不同壁厚条件下的滞后生热规律，并列出3种因素的正交表，结论如下：

1）普通丁腈橡胶在常温和70 ℃的老化处理后，力学性能相近，70 ℃以上的老化处理后，出现了明显的老化和硬化现象；氢化丁腈橡胶从常温到130 ℃的老化处理后，力学性能相近，尤其在低应变条件下应力–应变曲线几乎重合。

2）相同过盈量下，由于液柱压力和橡胶老化作用，普通丁腈橡胶和氢化丁腈橡胶的定子衬套与转子之间的最大应力均随工作深度增加呈现先降低后增加的规律；随着过盈量的增加，螺杆泵密封性能提高。橡胶衬套壁厚的增加将导致衬套变形的幅度增大，壁厚每增加2 mm，内壁真实位移平均增加0.059～0.067 mm，对应增长率28%～19%；随着橡胶衬套壁厚的增加，螺杆泵的密封性能降低，衬套产生的应力降低，衬套截面温度分布均匀性提高。

3）正交试验结果表明，各因素的影响大小由主到次为：工作深度>过盈量>壁厚。随着过盈量的增加，截面最高温度呈开口向上的上升二次函数；随着壁厚的增加，截面最高温度呈开口向上的下降二次函数。结合过盈量和壁厚对滞后生热的影响函数，使用数值运算方法计算变化参数下的衬套截面最高温度。

4）综合对比螺杆泵过盈量和壁厚的有限元研究，在70 ℃及以下工作温度（对应工作深度1667 m）时，普通丁腈橡胶性能优于氢化丁腈，使用该螺杆泵具有较高的性价比，然而它在高温环境会发生严重老化，是目前应用中发生烧心穿孔失效的主要原因；氢化丁腈橡胶在150 ℃的工作温度（对应工作深度4333 m）才开始出现老化，比普通丁腈力学性能稳定，所以可靠性占优。