索作为索体系桥梁的主要受力构件，对桥梁的内力分布影响很大。索一旦发生损坏或断裂将会导致桥梁出现塌陷、垮塌等严重问题。合理准确地识别索力值对桥梁的正常运营具有重要意义。目前，由于索发生破坏而引起的桥梁事故有很多。例如：广州海印大桥事故、四川攀枝花金沙江大桥事故、台湾宜兰大桥事故等。因此，准确识别索力值是避免索体系桥梁发生破坏的关键技术手段。

振动法是测量索力的重要方法，其原理为根据索力与自振频率之间的关系得到索力值。国内外已经有很多学者基于振动法对索力识别进行了相关研究。Robert^[1]、Zui^[2]等分别提出振动的弦和两端固结梁模型索力计算公式；宋宏旭等^[3]利用微分方程的奇异摄动解法，提出边界条件为两端铰接和两端固结的桥梁索力计算公式；陈淮^[4]、潘志强^[5]和陈庆志^[6]等分别利用引入无量纲参数ξ结合数值拟合的方法、比弦振动法和能量守恒定律推导出两端固结条件下索力计算公式；刘文峰^[7]和艾玉麒^[8]等基于能量法提出一端铰接、一端固结梁模型索力计算公式；楼纪昂^[9]设计了振动法测量索力的室内试验装置，并提出一端铰接、一端固结梁模型索力计算公式；王建飞^[10]和包朝江^[11]分别引入无量纲参数ξ和不同边界条件下的系数K_n，建立考虑抗弯刚度的3种不同边界条件下的索力计算公式。

分析目前已有的索力计算公式，在应用前均需提前判别索两端的边界条件。若能准确判别索的边界条件，将测量数据代入相应公式，可较为准确地求出索力值。但在实际情况下，索的边界状态往往很难准确确定，需要根据拉索的长度、刚度等信息进行综合判断^[12]。一旦边界条件判别错误，索力计算结果的准确性将无法得到保证。

神经网络对解决非线性问题具有非常高效的能力，可以无限逼近任何一种非线性关系。目前，已有学者将索力识别与神经网络进行结合研究。李冬生^[13]利用200多组实测数据，结合BP神经网络进行了索力预测模型的训练，但训练数据量太少，结果具有局限性；袁俊桃^[14]和万磊^[15]尽管利用了大量的有限元模拟数据对BP神经网络索力预测模型进行训练，但索力预测是基于附加质量法，且未能实现忽略边界条件的影响而准确预测索力值的效果。因此，本文利用ANSYS进行拉索振动有限元模拟，得到大量的模拟数据；然后，在前人研究的基础上，利用BP神经网络结合有限元模拟数据，进行多参数索力预测模型的训练，同时创造性地利用广义回归神经网络对索力预测模型进行训练，并将预测效果与BP神经网络索力预测模型相对比；此外，将两种神经网络索力预测模型应用到实际工程中进行验证，并将预测误差与前人推导的索力计算公式的计算误差相对比，得到无需判别索所处边界条件的索力预测模型，达到准确识别索力值的目的。

1 拉索振动的数值模拟

桥梁拉索的振动可以等效为梁的振动^[10]。因此，利用ANSYS对两端铰接、两端固结、一端铰接一端固结3种边界条件下的桥梁拉索进行建模；通过模态分析提取不同条件下拉索的前3阶频率，并利用已有索力计算公式对模拟结果进行验证。

1.1 模型的建立、分析与验证

利用BEAM188单元，通过释放端头的轴向位移并施加轴向拉力的方式，对3种边界条件下拉索的振动进行模拟。根据《斜拉索热挤聚乙烯高强钢丝束拉索技术条件》，选取PES（C）7–55型号的拉索进行模型分析与验证，抗弯刚度EI=257 237.63 N·m²，线密度m=18.3 kg/m，半径r=0.036 m。以两端铰接条件下，长度为10 m、索力建模值为1 200 kN的拉索为例，其振动模态如图1所示。

利用王建飞^[10]推导的索力计算公式对模拟结果进行验证，基于1阶频率的3种不同边界条件下的索力计算公式如式（1）～（3）所示：

$\qquad {\text{两端铰接：}}T=4m{l}^{2}{f}_{1}^{2}-\frac{\text{π}^{2}}{{l}^{2}}EI$

(1)

$ \qquad \begin{aligned}[b] {\text{两端固结：}}&T=4m{l}^{2}{\left({f}_{1}^{2}-2.3{f}_{1}\sqrt{\frac{EI}{m{l}^{4}}}-0.575\frac{EI}{m{l}^{4}}\right)}^{},\\ &\xi =\sqrt{\frac{T}{EI}}l>7.1\\[-18pt]\end{aligned}$

(2)

$\qquad \begin{aligned}[b] {\text{一固一铰：}}&T\!=\!4m{l}^{2}\left(\!{f}_{1}^{2}\!\!-\!\!1.43{f}_{1}\!\!\sqrt{\frac{EI}{m{l}^{4}}}\!-\!{0.357}\;5\frac{EI}{m{l}^{4}}\right),\\ &\xi =\sqrt{\frac{T}{EI}}l>4.9\\[-18pt]\end{aligned}$

(3)

式（1）～（3）中，T为计算索力，m、l、EI、f₁分别为线密度、索长、抗弯刚度和1阶频率， $\xi $ 为无量纲参数。将有限元模拟数据代入式（1）～（3）进行计算，计算结果如表1所示。

由表1可以看出，索力建模值与计算值的误差基本控制在5%左右。因此，可以利用该有限元模型对拉索的振动进行模拟。

1.2 数据模拟

根据《斜拉索热挤聚乙烯高强钢丝束拉索技术条件》的规定，选择PES（C）7–55、PES（C）7–73、PES（C）7–109、PES（C）7–139、PES（C）7–151、PES（C）7–187、PES（C）7–211、PES（C）7–223共8种型号的成品拉索进行模拟。成品拉索的弹性模量通常不低于1.91×10¹¹ Pa，且在实际条件下，拉索的弹性模量可能会稍微大一些，但对研究结论并不产生影响。模拟取拉索的弹性模量为1.95×10¹¹ Pa。

在实际工程中，考虑拉索的安全及经济性，合理的拉索索力应介于设计索力50%～100%之间。因此，索力值的限制范围为《斜拉索热挤聚乙烯高强钢丝束拉索技术条件》规定中各型号拉索设计索力的一半到设计索力之间。模拟中，8种不同型号的拉索建模所采用的参数信息如表2所示。

利用ANSYS进行数据模拟时，拉索的长度在3～100 m范围内随机选取，索力在表2中各个型号拉索的索力范围内随机选取，通过模态分析提取不同条件下拉索的前3阶频率。同一型号的拉索在两端铰接、两端固结、一端铰接一端固结3种不同边界条件下的模拟数据各随机产生2 000组，共产生48 000组数据，用来进行索力预测模型的训练和预测。

2 BP神经网络索力预测模型 2.1 BP神经网络原理

BP神经网络^[16]以其自学习、自适应等能力，可以逼近任意多元非线性函数，网络结构由输入、输出及隐含层构成，其工作原理如图2所示。

图2中，输入神经元与输出神经元之间的关系如式（4）所示：

$y\left( x \right) = f\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{x_i} - \theta } } \right)$

(4)

式中，x_i为第i个神经元的输入，f（x）为激活函数，w_i为第i个神经元的连接权重，θ为阈值，y为输出。

由式（4）可知，连接权重w_i关系到神经网络模型的性能。BP神经网络利用反向传播的方式调节模型的连接权重，利用第n+1层神经元的误差对网络中第n层神经元的误差进行修正，即反向更新第n层神经元的权重，从而尽可能降低输出值与实际值之间的误差，权重的反向更新计算如式（5）所示：

${\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;w_n^{(m)}(i,j)} = w_n^{(m - 1)}(i,j) + \eta \delta _n^{(m)}x_{n - 1}^{(m)}(j)$

(5)

式中： $w_n^{(m)}(i,j) $ 表示在第m次迭代下，神经网络第n–1层第j个神经元到第n层第i个神经元的权重；η表示学习率； $\delta _n^{(m)} $ 表示第n层神经元在第m次迭代下的误差； $x_{n - 1}^{(m)}{(j)} $ 表示在第m次迭代下，第n–1层输入神经元向量的第j个分量。

2.2 BP神经网络索力预测模型的建立、训练与预测 2.2.1 BP神经网络索力预测模型结构的确定

由王建飞^[10]、任新伟^[17]、卿双全^[18]、袁警^[19]等推导的索力计算公式可知，索长L、线密度m、抗弯刚度EI、频率f为影响索力值大小的主要因素。经反复试验，选取索长L、线密度m、抗弯刚度EI、1阶频率f₁、2阶频率f₂、3阶频率f₃作为神经网络的输入，索力T作为输出。

隐含层节点数根据经验公式（6）^[20]进行确定：

$h = \sqrt {a + b} + c$

(6)

式中：h、a、b分别为隐含层、输入层、输出层节点数；c为调节常数，范围为[1，10]。

通过反复试验，本文构建的神经网络模型共包含2个隐含层，各个隐含层的神经元节点数均为13。如图3所示，神经网络结构为6–13–13–1。输入层与隐含层、隐含层与隐含层之间的激励函数选取具有阈值特性的连续可微函数tansig，隐含层与输出层之间选取线性激励函数purelin，训练算法选取L–M优化算法trainlm。

2.2.2 索力预测模型的训练与预测

利用MATLAB将48 000数据随机划分为训练集和预测集，共有38 400组数据用来训练，9 600组数据用来预测。经测试，神经网络的学习速率设置为0.1，网络迭代次数设置为1 000，显示间隔设置为100，均方误差设置为0.001。

训练过程中，神经网络各层之间的连接权值和阈值不断进行调整，最终得到的神经网络索力预测模型的训练、验证及预测曲线如图4所示。由图4可以看出：模型的训练、验证及预测曲线基本重合，表明神经网络没有产生过拟合现象。

利用训练完成的索力预测模型对9 600组预测数据进行预测，预测误差百分比如图5所示。

通过分析：最大误差为18.67%；误差大于10%的数据共有20组，占总预测数据的0.21%；误差大于5%的数据共有293组，占总预测数据的3.05%。利用平均绝对百分误差（MAPE）对模型进行评价，计算公式如式（7）所示：

${\rm{MAPE}} = \frac{{100}}{n}\sum\limits_{t = 1}^n {\left| {\frac{{(y'_t - {y_t})}}{{{y_t}}}} \right|} $

(7)

式中， $y'_t $ 、y_t分别为索力预测值和实际索力值。

通过计算，预测集中的9 600组数据，其平均绝对百分误差（MAPE）为1.959%，表明模型的预测效果良好，但是还有进一步优化的空间。

3 广义回归神经网络索力预测模型 3.1 广义回归神经网络原理

广义回归神经网络（GRNN）是一种由径向基函数引申而来的前馈式神经网络模型，由输入层、模式层、求和层和输出层组成，网络结构如图6所示^[21]。该神经网络与BP神经网络相比，无需估算网络的隐含层层数及隐含神经元个数，只需要确定径向基函数的平滑系数spread，其他参数可通过样本学习的方式进行获得，能够尽可能地避免人为因素的干扰，对非线性关系具有更好的拟合能力。

1）输入层

输入神经元的个数与学习样本中输入向量的维数一致，各个神经元均为简单的分布单元，可将输入变量直接传递到模式层。

2）模式层

模式层中神经元的个数与学习样本的数量相同，每个神经元与不同的学习样本相对应。输入信号传递到该层神经元后经过，Green 函数处理传递到求和层。模式层中神经元 i 的传递函数如式（8）所示：

$ {p}_{i}=\exp{\left[-\frac{{\left({{X}}-{{{X}}}_{i}\right)}^{{\rm{T}}}\left({{X}}-{{{X}}}_{i}\right)}{2{\sigma }^{2}}\right]}^{},i=1,2,\cdots ,n$

(8)

式中，p_i 为神经元i的传递函数，X和X_i分别为网络的输入变量和神经元i对应的学习样本，σ 为光滑因子。

3）求和层

模式层传递的信号通过求和层后，分别使用算术求和与加权求和进行求和处理。算术求和时，模式层中的各个神经元与求和层神经元之间的连接权值为1，传递函数如式（9）所示：

${S\!_{\rm{D}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} $

(9)

式中，S_D 为求和层的算术求和。

加权求和时，加入了权值系数，传递函数如式（10）所示：

$ {S\!_{{\rm{N}}j}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{y_{ij}}} {p_i},\;j = 1,2, \cdots ,k$

(10)

式中：S_Nj 为求和层的加权求和；y_ij 为各个神经元之间的连接权值，是模式层中第 i 个输出样本 Y_i 中的第 j 个元素。

4）输出层

输出神经元的个数与学习样本中输出向量的维数相同，各个神经元将求和层的输出相除即为输出层的输出，输出函数如公式（11）所示：

$ {y}_{j}={\frac{{S}\!_{{\rm{N}}j}}{{S}\!_{\rm{D}}}}_{}{,}_{}j=1,2,\cdots ,k$

(11)

式中，y_j 为输出层的输出。

3.2 广义回归神经网络索力预测模型的训练和预测

根据BP神经网络索力预测模型结构，选取索长L、线密度m、抗弯刚度EI、1阶频率f₁、2阶频率f₂、3阶频率f₃作为模型的网络输入，索力T作为网络输出。

最佳spread值利用五折交叉验证的方法获得，最佳spread值在[0.002 05，0.002 15]范围内寻优。利用MATLAB将模拟得到的48 000组数据随机划分为训练集和预测集，训练数据共38 400组，预测数据共9 600组。通过训练得到部分预测数据的预测值与实际值之间的对比如图7所示，所有预测数据的预测误差如图8所示。

利用SPSS软件对预测值和实际值进行回归分析，得到数据的方差分析及系数结果如表3、4所示，标准化残差直方图及残差正态概率图如图9所示。

通过SPSS分析可知，在置信水平为95%的条件下，预测值与设计值之间的相关系数r =0.999。对预测误差进行统计发现：最大误差为13.12%；误差大于10%的数据共有9组，占总预测数据的0.094%；误差大于5%的数据共有334组，占总预测数据的3.48%。通过式（7）计算，平均绝对百分误差（MAPE）为1.590%，表明广义回归神经网络索力预测模型的预测效果良好，且优于BP神经网络索力预测模型。

4 工程案例验证 4.1 工程概况

山西省大同市开源街御河桥，即开源桥，全长465 m。其中：主桥为一座独塔斜拉桥，跨径组合为138+138=276 m；引桥为多跨预应力连续梁结构，西侧跨径组合为3×33=99 m，东侧跨径组合为3×30=90 m，御河东路跨线桥2×35=70 m。主桥采用有建筑造型的桥塔，下设直径2.2 m的钻孔灌注桩。引桥下部结构采用双柱式桥墩，下设直径1.5 m的钻孔灌注桩。桥梁测量现场如图10所示。

开源桥的拉索分布在东南、西南、东北、西北4个方向，测试拉索的基本参数如表5所示。

4.2 两种神经网络索力预测模型预测值与实测值对比分析

利用18 000组数据进行神经网络索力预测模型的训练，同一型号的拉索在3种不同的边界条件下各产生2 000组数据，索长及索力在其对应的范围内随机生成。PES7–151型号的拉索，其索长和索力范围分别为[45，80]和[2 400，3 300]；PES7–163型号的拉索，其索长和索力范围分别为[75，100]和[2 800，3 300]；PES7–187型号的拉索，其索长和索力范围分别为[95，130]和[3 150，3 700]。上述范围的索长和索力，其单位分别为m和kN。

将测试拉索的基本参数及测量得到的频率输入到两种神经网络中进行索力预测，预测结果对比如图11和表6所示。

由图11和表6可知，将BP神经网络索力预测模型应用于该工程实例中，其最大预测误差为7.86%，广义回归神经网络索力预测模型的最大预测误差为4.55%。同时，通过式（7）计算，BP神经网络和广义回归神经网络索力预测模型的平均绝对百分误差（MAPE）分别为2.824%和1.476%，表明广义回归神经网络索力预测模型的预测效果更好，具有较高的工程应用价值。

4.3 不同参考文献中索力识别方法与本文广义回归神经网络识别方法对比

Zui^[2]、任伟新^[17]、陈淮^[4]、王建飞^[10]等均对两端固结条件下拉索的索力计算公式进行了推导，其计算公式分别如式（12）、（13）、（14）、（15）所示。

$ T=4m{({f}_{1}l)}^{2}\left[1-2.20\frac{C}{{f}_{1}}-0.550{\left(\frac{C}{{f}_{1}}\right)}^{2}\right],\;\xi\ge 17$

(12)

$ \left\{\!\!\!\!\begin{array}{l}T=m{\left[2l{f}_{1}-\dfrac{2.363}{l}\sqrt{\dfrac{EI}{m}}\right]}^{2},\;18\le \xi \le 210;\\ T=4m{l}^{2}{f}_{1}^{2},\;\xi \ge 210\end{array}\right.$

(13)

$ T=m{({f}_{1}l)}^{2}{\left[1+\sqrt{1-4.314\frac{C}{{f}_{1}}}\right]}^{2}\begin{array}{cc},\xi >20\end{array}$

(14)

$ T=4m{l}^{2}\left({f}_{1}^{2}-2.3{f}_{1}\sqrt{\frac{EI}{m{l}^{4}}}-0.575\frac{EI}{m{l}^{4}}\right),\;\xi >7.1$

(15)

式（12）～（15）中， $\xi = \sqrt {\dfrac{T}{{EI}}} l,C = \sqrt {\dfrac{{EI}}{{m{l^4}}}} $ ，T为计算索力，m、l、EI、f₁分别为线密度、索长、抗弯刚度和1阶频率。测试拉索的张拉条件为两端固结，将测试拉索的相关数据代入到各公式中，不同索力识别方法的识别效果对比如图12所示。

将不同索力识别方法的识别误差利用式（7）进行计算，得到平均绝对百分误差，对比结果如图13所示。由图12、13可知，与不同参考文献中的索力识别方法相对比，本文建立的广义回归神经网络索力预测模型的识别精度更高。

5 结　论

利用ANSYS建模得到的振动模拟数据，结合BP神经网络和广义回归神经网络建立索力预测模型，得到如下结论：

1）利用ANSYS中的BEAM188单元，通过释放端头的轴向位移并施加轴向拉力的方式，对不同边界条件下桥梁拉索的振动进行模拟，并将模拟结果利用已有索力计算公式进行验证，结果表明本文建模方式可靠。

2）利用BP神经网络结合模拟数据构建结构为6–13–13–1的索力预测模型，输入索长、线密度、抗弯刚度、1阶频率、2阶频率和3阶频率可直接预测出索力值，且预测效果良好，但还有进一步优化的空间。

3）以索长、线密度、抗弯刚度、1阶频率、2阶频率、3阶频率为输入单元，以索力为输出单元，利用广义回归神经网络建立不考虑边界条件的索力预测模型，最佳spread值为0.00 215。同时，将BP神经网络索力预测模型和广义回归神经网络索力预测模型应用于工程实例中进行验证，其平均绝对百分误差（MAPE）分别为2.824%和1.476%，表明广义回归神经网络的预测效果更好，具有良好的工程应用价值。

4）与不同参考文献中的索力识别方法相对比，本文建立的广义回归神经网络索力预测模型识别方法不仅能够避免难以判别边界条件对桥梁索力值的影响，而且具有更高的索力识别精度。