北方寒旱区轻骨料混凝土在服役期间常因意外撞击、风沙吹蚀、地震等灾变导致不同程度的应力损伤，严重影响其抗冻使用寿命。研究具有初始应力损伤的轻骨料混凝土抗冻融性能并建立预测模型，对灾变后轻骨料混凝土的耐久性评估及维护加固具有重要意义^[1]。建立轻骨料混凝土冻融损伤预测模型的常规思路是在损伤力学相关理论的基础上，考虑轻骨料混凝土冻融损伤特性并借助试验手段来确定相关参数，通过对普通混凝土抗冻融损伤模型进行修正建立应力损伤轻骨料混凝土冻融损伤模型。Dong等^[2]建立轻骨料混凝土直线和曲线双段式冻融损伤模型并依据试验结果对模型进行验证；牛建刚等^[3]认为塑钢纤维轻骨料混凝土抗压强度冻融损伤模型宜用指数函数型模型；高矗等^[4]以Loland混凝土损伤模型为基础建立轻骨料混凝土冻融损伤演化模型。轻骨料混凝土骨料和骨料–水泥石界面过渡区（ITZ）的性质与普通混凝土有显著差异^[5-6]，相关材料参数的确定方法尚需完善，至今无法获取准确、完善的材料损伤参数信息，故按常规思路建立的轻骨料混凝土冻融损伤模型的适用性有待商榷，尚不能有效指导工程实践。

依据邓聚龙^[7]、刘思峰^[8]等创立的灰色系统理论，轻骨料混凝土冻融损伤预测模型研究呈现出信息不完全、不准确的小数据、贫信息的不确定性系统特征，具备典型的“灰色”特质。灰色系统理论通过对已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，将未知因素弱化，强化已知因素的影响程度，可实现对不确定系统演化规律的正确描述，进而实现对系统未来变化的定量预测。Liu等^[9]利用GM(1,4)模型建立风积沙轻骨料混凝土抗压强度预测模型；冯忠居等^[10]建立高寒盐沼泽区混凝土耐久性的GM(1,1)预测模型。灰色系统理论中的GM(1,1)模型具有建模过程简单、模型表达简洁、应用广泛的突出特点，是灰色预测理论的基本模型。基于此，本研究针对现阶段尚无公认的轻骨料混凝土冻融损伤模型的现状，依照系统科学的“简单性原则”和“互克性原理”^[11]，尝试利用灰色系统理论的GM(1,1)模型，以不同冻融循环次数下轻骨料混凝土相对动弹性模量实测数据为依据，建立基于GM(1,1)的轻骨料混凝土抗冻性预测模型，定量研究初始应力损伤对轻骨料混凝土抗冻融性能的影响并预测抗冻耐久寿命。

1 试验方法 1.1 原材料

水泥为冀东P·O 42.5普通硅酸盐水泥，各项指标见表1；细骨料为天然河砂，中砂，级配良好，堆积密度为1 537 kg/m³，表观密度为2 585 kg/m³，含泥量为1.6%；天然浮石轻骨料取自内蒙古中西部地区，各项指标见表2；引气减水剂为AE-11型高效引气减水剂。

1.2 试验设计

试验采用尺寸为40 mm×40 mm×160 mm的轻骨料混凝土棱柱体试件，配合比为：m（水泥）∶m（水）∶m（砂）∶m（浮石）∶m（引气减水剂）=450∶180∶730∶530∶9。在标准条件下养护至28 d后利用万能试验机对试件进行纵、横向反复加载预加初始应力损伤（图1）。根据式（1），利用超声波波速定义损伤度，通过调整加载次数 $n$ 和荷载大小，使试件的应力损伤度分别为0、0.05、0.12、0.19和0.27，各组试件均为3块，试件容许误差为±0.01。

$ {D}_{\sigma }=1-\frac{{v}_{\sigma n}^{2}}{{v}_{\sigma 0}^{2}} $

(1)

式中： $ {D}_{\sigma } $ 为试件在冻融循环前气干状态下的损伤度； $ {v}_{\sigma 0} $ 、 $ {v}_{\sigma n} $ 分别为试件预加损伤前、后气干状态下的波速，km/s。

冻融循环试验按照GB/T50082—2009中“快冻法”进行。试验开始前将各组试件置于15～20 ℃的清水中浸泡4 d，测定其在湿润状态下的初始波速。然后放入快速冻融试验机内进行冻融循环试验（图2），每隔25次冻融循环测试其在湿润状态下的波速，利用式（2）确定不同冻融循环次数下各组试件的相对动弹性模量。

$ {E}_{t}=\frac{{v}_{ft}^{2}}{{v}_{f0}^{2}}\times 100{\text{%}} $

(2)

式中： ${E_t}$ 为试件经 $t$ 次冻融循环后的相对动弹性模量； ${v_{f0}}$ 、 ${v_{ft}}$ 分别为预加初始损伤前、经 $t$ 次冻融循环后湿润状态下的波速，km/s。

2 试验结果

图3为不同初始应力损伤度下轻骨料混凝土相对动弹性模量随冻融循环次数变化的关系曲线。由图3可知：初始应力损伤度为0.05的轻骨料混凝土抗冻融性能与基准组（初始损伤度为0）相比差异不大；初始应力损伤度为0.12、0.19和0.27的轻骨料混凝土冻融损伤程度明显高于基准组及初始损伤度为0.05的轻骨料混凝土，且初始应力损伤度越大，其冻融劣化速率（即曲线斜率）随冻融循环次数增加显著增大。由此说明：初始应力损伤会加速轻骨料混凝土冻融损伤的发展，从而导致轻骨料混凝土抗冻融性能明显劣化。

3 GM(1,1)抗冻融性能预测模型 3.1 GM(1,1)模型

设原始数据序列为：

$ {X}^{\left(0\right)}=\left({x}_{1}^{\left(0\right)},{x}_{2}^{\left(0\right)},\cdots ,{x}_{n}^{\left(0\right)}\right){;} $

$ {X}^{\left(0\right)} $ 的一次累加生成序列为：

$ {X}^{\left(1\right)}=\left({x}_{1}^{\left(1\right)},{x}_{2}^{\left(1\right)},\cdots ,{x}_{n}^{\left(1\right)}\right){\text{。}} $

其中， ${x}_{k}^{\left(1\right)}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}{x}_{k}^{\left(0\right)},{x}_{k}^{\left(0\right)}\ge 0,k={1,2},\cdots ,n$ 。

定义 $ {{\textit{Z}}}^{\left(1\right)}=\left({{\textit{z}}}_{2}^{\left(1\right)},\right. $ $ \left.{{\textit{z}}}_{3}^{\left(1\right)},\cdots ,{{\textit{z}}}_{n}^{\left(1\right)}\right) $ ，其中， ${{\textit{z}}}_{k}^{\left(1\right)}=\dfrac{1}{2}\left({x}_{k}^{\left(1\right)}+\right. $ $ \left.{x}_{k-1}^{\left(1\right)}\right),k={2,3},\cdots ,n$ 。称

$ {x}_{k}^{\left(0\right)}+a{{\textit{z}}}_{k}^{\left(1\right)}=b $

(3)

为均值GM(1,1)模型（EGM）。称

$ \frac{{\rm{d}}{x}^{\left(1\right)}}{{\rm{d}}t}+a{x}^{\left(1\right)}=b $

(4)

为均值GM(1,1)模型的白化微分方程^[8]。其中：参数 $ a $ 为发展系数， $ b $ 为灰色作用量， $ a $ 和 $ b $ 的值依赖于原始序列和背景值的构造形式^[12]。

参数向量 $ \widehat{{{a}}}={\left[a,b\right]}^{\rm{ T}} $ 运用最小二乘法确定：

$ \widehat{{{a}}}={\left[{{{B}}}^{{ {\rm{T}}}}{{B}}\right]}^{-1}{{{B}}}^{{ {\rm{T}}}}{{Y}} $

(5)

其中：

$ {{Y}} = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {x_2^{\left( 0 \right)}}\\ {x_3^{\left( 0 \right)}}\\ \vdots \\ {x_n^{\left( 0 \right)}} \end{array}} \!\!\!\!\right],\;\;{{B}} = \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\textit{z}}_2^{\left( 1 \right)}}&1\\ { - {\textit{z}}_3^{\left( 1 \right)}}&1\\ \vdots &\vdots\\ { - {\textit{z}}_n^{\left( 1 \right)}}&1 \end{array}} \!\!\!\!\right] $

(6)

求解白化微分方程式（4）可得均值GM(1,1)模型的时间响应式为：

$ {\widehat{x}}_{k}^{\;\left(1\right)}=\left({x}_{1}^{\left(0\right)}-\frac{b}{a}\right){{\rm{e}}}^{-a(k-1)},k=2,\cdots ,n $

(7)

对应 $ {X}^{\left(0\right)} $ 的时间响应式为：

$ {\widehat{x}}_{k}^{\;\left(0\right)}=\left(1-{{\rm{e}}}^{a}\right)\left({x}_{1}^{\left(0\right)}-\frac{b}{a}\right){{\rm{e}}}^{-a(k-1)} $

(8)

3.2 建立GM(1,1)抗冻融性能预测模型

应力损伤轻骨料混凝土相对动弹性模量随冻融循环次数变化试验实测值 $ {x}_{k}^{\left(0\right)} $ 和一次累加值（1-AGO） $ {x}_{k}^{\left(1\right)} $ 见表3，由表3中数据，根据式（4）～（7）可得，不同初始应力损伤度下轻骨料混凝土相对动弹性模量预测模型见表4，模型中参数 $ a $ 和 $ b $ 的值见表5。

4 模型比较与精度分析 4.1 GM(1,1)模型与修正Loland模型比较

将 $ k={2,3},\cdots ,n $ （分别对应 ${25,50,\cdots ,275} $ 次冻融循环）代入表4中的预测模型，并将计算结果 $ {\widehat{x}}_{k}^{\;\left(1\right)} $ 通过式（8）还原为 $ {\widehat{x}}_{k}^{\;\left(0\right)} $ ，可得到基于GM(1,1)的各初始应力损伤度下轻骨料混凝土在不同冻融循环次数时相对动弹性模量预测值 $ {\widehat{x}}_{k}^{\;\left(0\right)} $ 及对应的相对误差，见图4。

高矗等^[4]根据损伤力学相关理论^[13]，以Loland混凝土损伤模型和Powers的静水压力理论为基础，对轻骨料混凝土冻融损伤演化过程分析，并通过模型修正和简化建立包含初始应力损伤和冻融损伤的轻骨料混凝土力学损伤演化方程，如式（9）所示：

$ {D}_{n}^{\left(2\right)}=1-{\left[(1-{D}_{\sigma }{)}^{c}-dt\right]}^{\frac{1}{c}} $

(9)

式中， $ {D}_{n}^{\left(2\right)} $ 为轻骨料混凝土经历 $t$ 次冻融循环后的损伤度， $ c $ 和 $ d $ 为待定系数。

利用式（9），根据不同冻融循环次数下应力损伤轻骨料混凝土的相对动弹性模量实测值拟合出应力损伤轻骨料混凝土的相对动弹性模量预测模型，简称修正Loland模型，如式（10）所示：

$ {\widehat{E}}_{t}={\left[(1-{D}_{\sigma }{)}^{2.509}-0.002\;2t\right]}^{\frac{1}{2.509}}\times 100{\text{%}} $

(10)

利用式（10），可得到基于修正Loland模型的各初始应力损伤度下轻骨料混凝土在不同冻融循环次数时相对动弹性模量预测值 $ {\widehat{E}}_{t} $ 及对应的相对误差，见图4。

由图4可知：对比GM(1,1)模型与修正Loland模型的相对动弹性模量预测值及相对误差，各初始应力损伤度下的GM(1,1)模型在整个冻融循环过程中预测相对误差都较小且随冻融循环次数变化不大，平均相对误差均低于4.5%，说明GM(1,1)模型具有良好的预测精度和可靠性。在175次冻融循环以前，修正Loland模型与GM(1,1)模型预测精度差异不大；但随着冻融循环次数增加，修正Loland模型的相对误差增大，预测精度显著降低，说明修正Loland模型不适用于对轻骨料混凝土抗冻融性能进行中长期预测。对比不同初始损伤度下两模型的平均相对误差，修正Loland模型除初始损伤度为0.12时略低于GM(1,1)模型，其余初始损伤度下则明显高于GM(1,1)模型。综上所述，GM(1,1)模型预测精度整体上要优于修正Loland模型，利用GM(1,1)模型对应力损伤轻骨料混凝土抗冻融性能全过程进行定量描述及预测具有更高的精度和可靠性。

4.2 GM(1,1)模型精度分析

为进一步检验建立的GM(1,1)模型能否满足抗冻融性能预测精度要求，对其进行均方差比值检验和小误差概率检验。残差均值与方差分别为：

$ \bar \varepsilon = \frac{1}{n}\mathop {\mathop \sum \limits^n }\limits_{k = 1} {\varepsilon _k} $

(11)

$ S\!_1^2 = \frac{1}{n}\mathop {\mathop \sum \limits^n }\limits_{k = 1} {\left[ {{\varepsilon _k} - \overline \varepsilon } \right]^2}$

(12)

原始数据序列的均值与方差分别为：

$ \overline x = \frac{1}{n}\mathop {\mathop \sum \limits^n }\limits_{k = 1} x_k^{\left( 0 \right)} $

(13)

$ S\!_2^2 = \frac{1}{n}\mathop {\mathop \sum \limits^n }\limits_{k = 1} {\left[ {x_k^{\left( 0 \right)} - \overline x} \right]^2} $

(14)

均方差比值：

$ C=\frac{{S}\!_{1}}{{S}\!_{2}} $

(15)

小误差概率：

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p}=P\left(\left|{\varepsilon }_{k}-\overline {\varepsilon }\right|<0.674\;5{S}\!_{2}\right) $

(16)

模型精度由均方差比值 $ C $ 和小误差概率 $ p $ 共同决定，只有两者皆在允许范围内，建立的模型精度才满足要求^[8]，如表6所示。

根据式（11）～（16），可求出模型的均方差比值 $ C $ 和小误差概率 $ p $ ，不同初始应力损伤度下轻骨料混凝土相对动弹性模量预测模型对应的 $ C $ 和 $ p $ 计算结果见表7，由表7可知：不同初始应力损伤度下，预测模型精度等级皆为1级（好），满足GM(1,1)模型预测精度要求。根据刘思峰等^[14]的研究可知，当发展系数 $ a $ ≤0.3时，GM(1,1)模型可用于中长期预测。由表5可知，不同初始应力损伤度下，轻骨料混凝土相对动弹性模量预测模型的发展系数 $a$ 均远小于0.3。因此，建立的GM(1,1)可用于对应力损伤轻骨料混凝土全寿命周期内抗冻融性能进行定量评估。

5 抗冻融性能评估

以混凝土相对动弹性模量低于60%作为混凝土抗冻融性能失效控制标准，可根据建立的GM(1,1)模型预测出不同初始应力损伤度下轻骨料混凝土可经受的室内最大冻融循环次数。依据金伟良等^[15]的研究：内蒙古中西部地区的年均等效室内冻融循环次数为9～11次，特取均值10次。由此可得不同初始应力损伤度下，轻骨料混凝土耐久寿命预测结果如表8所示。

由表8可知：初始应力损伤为0时，轻骨料混凝土抗冻耐久寿命可达45 a，说明轻骨料混凝土自身具有良好的抗冻融性能；由前述试验结果可知损伤度为0.05的轻骨料混凝土抗冻融性能与基准组差异不大，而抗冻耐久寿命预测结果却差异较大（分别为45和30 a）。分析主要原因是：对轻骨料混凝土预加初始应力损伤的实质是使轻骨料混凝土内部产生初始微裂纹，初始应力损伤较小（0.05）时，初始裂纹尺寸较小且分布稀疏。由冻融循环引起的混凝土损伤是疲劳损伤，依据疲劳损伤累积假说^[16]，在冻融循环前期（275次以前），由应力损伤产生的初始微裂纹等缺陷由于尺寸较小且分布稀疏而发展缓慢，尚未及时暴露出来；而在冻融循环后期，初始微裂纹等缺陷逐渐被“发掘”，初始微裂纹随冻融循环次数增加而加速扩展延伸并萌生出新裂纹，新旧裂纹相互交叉贯穿，从而引起宏观抗冻融性能加速劣化。当初始损伤度为0.12、0.19和0.27时，其抗冻耐久寿命分别为25、17.5和10 a。综上所述：初始应力损伤对轻骨料混凝土抗冻耐久性能劣化具有“加速效应”，且加速速率与初始应力损伤度正相关；在损伤度较小时，冻融循环前期“加速效应”暂时没有显化，后期会逐步暴露出来。因此，对轻骨料混凝土遭受的较小灾变也要引起足够重视，以免使抗冻耐久性预测产生较大偏差，对轻骨料混凝土结构物的服役及维护加固产生不利影响。

6 结　论

1）轻骨料混凝土具有良好的抗冻融性能，在内蒙古中西部地区抗冻耐久寿命可达45 a；当初始损伤度为0.05、0.12、0.19和0.27时，抗冻耐久寿命分别缩短至30、25、17.5和10 a，轻骨料混凝土抗冻融性能明显劣化，且劣化速率与初始应力损伤度正相关。

2）各初始应力损伤度下，GM(1,1)模型的平均相对误差均低于4.5%，GM(1,1)模型的预测精度整体上要优于修正Loland模型；冻融循环次数大于175时，修正Loland模型预测精度显著降低，已不适用于对轻骨料混凝土抗冻融性能进行中长期预测；GM(1,1)模型预测精度和可靠性较高，可用于对应力损伤轻骨料混凝土全寿命周期内抗冻融性能进行定量描述及预测。

3）将灰色系统理论引入轻骨料混凝土抗冻融性能研究，利用GM(1,1)模型定量评估初始应力损伤对轻骨料混凝土抗冻融性能的影响，可为轻骨料混凝土在北方寒旱区应用中面临的实际问题提供新的解决思路和理论依据。