作为太阳能电池模组生产过程中的关键设备，太阳能激光划片机是利用激光器发出高能量的激光照射电池片表面，切割出有一定宽度和深度的切缝。随着太阳能电池片逐渐变薄，对激光切割运动控制系统的快速起停和运动到规定位置的能力要求越高^[1]。滚珠丝杠副运动控制系统由伺服电机、滚珠丝杠和光栅尺等组成，被广泛应用在激光加工、数控机床、仪器仪表等领域。目前滚珠丝杠副运动系统通常使用算法简单、易于实现的PI控制器；然而，针对多变量、非线性、强耦合的滚珠丝杠副运动系统，当其内部参数发生改变、存在较明显的振动时，PI控制方法就难以实现高性能的定位和调速^[2]。为解决这一问题，国内外研究学者提出了众多的控制方法，例如鲁棒控制^[3]、自适应控制^[4]、滑模控制^[5]、模糊控制^[6]等，滑模控制因具有快速响应性、强鲁棒性、算法结构简单和易于工程实现的优点被广泛应用^[7]。

但滑模控制因其特性，在实际应用中常常伴随着系统抖振，目前国内外研究热点之一是如何快速趋近并达到滑模态，同时消除滑模态上运动时的抖振，其中经典方法之一是滑模趋近律方法^[8]。国内外研究学者针对滑模控制中存在的固有抖振问题做了较多研究，例如准滑动模态方法、干扰观测器方法、趋近律方法和模糊控制方法等^[9]。由于每种方法都具有局限性，针对本文研究对象，采用趋近律控制思想和模糊控制理论相结合的方法，以达到降低抖振的最佳效果。

高为炳^[10]采用指数趋近律控制方法，通过调整控制增益，不仅削弱了控制信号的高频抖振，还保证了系统在趋近滑模态过程中的动态品质，但较大的增益又会导致抖振；Jiang等^[11]的控制思想是将指数趋近律与模糊控制相结合，研究并建立了指数项系数和切换函数间的模糊关系，实现趋近律系数动态调整；梅红等^[12]通过进一步改进，提出了双幂次趋近律滑模控制（double-power sliding mode reaching law control，DSMC）方法，通过合理地选择双幂次项的两个控制增益，在降低抖振的同时，提高系统的快速响应性能；刘京等^[13]指出系统出现扰动并采用DSMC方法时，在保证滑模面存在性和可达性的前提下，控制增益与扰动呈正相关，导致系统高频抖振主因是较大的控制增益，这将会严重影响到系统的控制性能。

考虑到DSMC方法的控制增益动态调整性能不足，对控制系统的抖振以及滚珠丝杠副的振动较为敏感，结合模糊控制，对比分析PI控制器和双幂次滑模趋近律的控制效果，设计了一种模糊自适应双幂次趋近律滑模控制（fuzzy adaptive double-power sliding mode reaching law control，FDSMC）方法。

1 滚珠丝杠副动力学模型

太阳能激光划片机采用的是一种非接触式加工方式，滚珠丝杠副运动系统将不会产生刀具移动时所受到的外部轴向阻力，但会受到各种内在的轴向振动和扭转振动。如滚珠丝杠副轴向振动的主要激励因素是滚珠进入返向器时的冲击^[14]、滚珠丝杠副系统的工作台位置和工件质量变化引起扭转振动固有频率的显著变化^[15]等。目前使用最广泛的动力学模型只包含系统轴向及扭转动力学模型，因此本文采用集中参数方法^[16]，将滚珠丝杠副运动系统分为7大部分，分别为电机转子、联轴器输入端、联轴器输出端、滚珠丝杠前段、滚珠丝杠中段、滚珠丝杠后段和移动部件，并假设移动部件位于丝杠的中间位置。其系统动力学模型如图1所示。

图1中： ${k_1},{k_2}, \cdots ,{k_5}$ 及 ${c_1},{c_2} ,\cdots ,{c_5}$ 分别为各部件间的扭转刚度和阻尼； ${k_6}$ 和 ${c_6}$ 分别为丝杠与移动部件间的轴向刚度和阻尼； ${\varphi _1},{\varphi _2}, \cdots ,{\varphi _6}$ 为各部件的角位移； ${I_1},{I_2}, \cdots ,{I_6}$ 为各部件的转动惯量； $M$ 和 $x$ 为移动部件质量和位移； ${T_{\rm{m}}}$ 为电机扭矩。

系统动能表示为：

$T = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^6 {{I_i}} \dot \varphi _i^2 + \frac{1}{2}M{\dot x^2}$

(1)

系统的势能表示为：

$U = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^5 {{k_i}{{({\varphi _{i + 1}} - {\varphi _i})}^2}} + \frac{1}{2}{k_6}{\left(x - \frac{h}{{2\text{π} }}{\varphi _5}\right)^2}$

(2)

式中， $h$ 为丝杠导程。

引入耗散函数 $G$ ，可得：

$G = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^5 {{c_i}{{({{\dot \varphi }_{i + 1}} - {{\dot \varphi }_i})}^2}} + \frac{1}{2}{c_6}{\left(\dot x - \frac{h}{{2{\text{π}} }}{\dot \varphi _5}\right)^2}$

(3)

则系统的拉格朗日方程为：

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_i}}}\right) - \frac{{\partial T}}{{\partial {q_i}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {q_i}}} + \frac{{\partial G}}{{\partial {{\dot q}_i}}} = {Q_i},i = 1,2, \cdots ,7$

(4)

式中： ${q_i}$ 为广义坐标系， ${q_1}= {\varphi _1}$ ， ${q_2} = {\varphi _2}, \cdots ,{q_6}= {\varphi _6} $ ， $ {q_7} = x$ ； ${Q_i}$ 为广义坐标方向上的广义力， ${Q_1} = {T_{\rm{m}}}$ ， ${Q_2} = 0, \cdots ,{Q_7} = 0 $ 。将式（1）～（3）代入式（4），可得系统的动力学方程为：

${ M}\ddot q + { C}\dot q + { K}q = Q$

(5)

式中，M为质量矩阵， ${ C}$ 为阻尼矩阵，K为刚度矩阵。

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{ M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{{I_2}}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{{I_3}}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{{I_4}}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{{I_5}}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{{I_6}}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&M \end{array}} \right],\\ { C}\! \!=\!\! \left[ \!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}\!\!&\!\!{ - {c_1}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ { - {c_1}}\!\!&\!\!{{c_1} \!\!+\!\! {c_2}}\!\!&\!\!{ - {c_2}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{ - {c_2}}\!\!&\!\!{{c_2} \!\!+\!\! {c_3}}\!\!&\!\!{ - {c_3}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - {c_3}}\!\!&\!\!{{c_3} \!\!+\!\! {c_4}}\!\!&\!\!{ - {c_4}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - {c_4}}\!\!&\!\!{{c_4} \!\!+\!\! {c_5} \!\!+\!\! \dfrac{{{c_6}{h^2}}}{{4{\text{π}^2}}}}\!\!&\!\!{ - {c_5}}\!\!&\!\!{ - \dfrac{{{c_6}h}}{{2\text{π}}}} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - {c_5}}\!\!&\!\!{{c_5}}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - \dfrac{{{c_6}h}}{{2\text{π} }}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{{c_6}} \end{array}}\!\! \right],\\ { K} \!\!=\!\! \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}}\!\!&\!\!{ - {k_1}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ { - {k_1}}\!\!&\!\!{{k_1} \!\!+\!\! {k_2}}\!\!&\!\!{ - {k_2}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{ - {k_2}}\!\!&\!\!{{k_2} \!\!+\!\! {k_3}}\!\!&\!\!{ - {k_3}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - {k_3}}\!\!&\!\!{{k_3} \!\!+\!\! {k_4}}\!\!&\!\!{ - {k_4}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - {k_4}}\!\!&\!\!{{k_4} \!\!+\!\! {k_5} \!\!+\!\! \dfrac{{{k_6}{h^2}}}{{4{\text{π}^2}}}}\!\!&\!\!{ - {k_5}}\!\!&\!\!{ - \dfrac{{{k_6}h}}{{2\text{π}}}} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - {k_5}}\!\!&\!\!{{k_5}}\!\!&\!\!{} \\ {}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{ - \dfrac{{{k_6}h}}{{2\text{π}}}}\!\!&\!\!{}\!\!&\!\!{{k_6}} \end{array}}\!\! \right]{\text{。}} \end{array}$

摩擦力对精确控制系统有较大影响的主要原因是其高度非线性及复杂性，宏观表现为机械伺服系统低速运行时出现爬行现象，稳态时有较大的静差或出现极限环振荡等^[17]，而且 $f(v)$ 是系统在运动过程中所受黏滞摩擦、静摩擦和库伦摩擦叠加而成，其精确数学模型难以得到，因此本文采用Stribeck摩擦模型估计摩擦力 $f(v)$ ^[18]：

$f(v)= [{f_{\rm e}} + ({f_{\rm s}} - {f_{\rm e}}){{\rm{e}}^{ - {{({v / {{v_{\rm s}}}})}^2}}}]{\rm sgn} (v)$

(6)

式中， ${f_{\rm e}}$ 为库伦摩擦， ${f_{\rm s}}$ 为最大静摩擦力， $v$ 为直线速度， ${v_{\rm s}}$ 为Stribeck速度。

由式（5）、（6）可得，滚珠丝杠副系统运动方程为：

${ M}\ddot x = {k_{\rm{f}}}u -{ C}\dot x - { K}x - f(v)$

(7)

由式（7）可得系统的状态空间方程为：

$\left\{ \begin{array}{l}\!\!\! \left[ \begin{array}{l} \!\!\!{{\dot x}_1} \\ \!\!\!{{\dot x}_2} \\ \end{array} \!\!\! \right] = \left[ \begin{array}{l}\!\!\! \;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;1 \\ \!\!\! - \dfrac{ K}{ M}\;\; - \dfrac{ C}{ M}\; \\ \end{array} \!\!\! \right]\left[ \begin{array}{l} \!\!\! {x_1} \\ \!\!\! {x_2} \\ \end{array}\!\!\! \right] + \left[ \begin{array}{l} \!\!\! \;0 \\ \!\!\! \dfrac{1}{ M} \\ \end{array} \!\!\! \right]\cdot[{k_{\rm f}}u - f(v)]; \\ \!\!y = [1\;\;0]\left[ \begin{array}{l} \!\!\!{x_1} \\ \!\!\!{x_2} \\ \end{array} \!\!\! \right] \\ \end{array} \right.$

(8)

式中： ${k_{\rm f}}$ 表示推力系数； $u$ 为控制律； $y$ 为系统的输出； ${x_{\rm d}}$ 为给定的位置参考值，定义状态标量 ${ X} = {[{x_1},{x_2}]^{\rm T}} =$ $ {[x,v]^{\rm T}}$ ，并做出如下假设：

假设1： ${x_{\rm d}}$ 是2阶连续可微且有界的。

假设2： $\dot{{\rm{|}} {d{\rm{||}}}} \le \; \rho $ ， $\;\rho $ 为正常数。

2 双幂次滑模趋近律控制方法

双幂次趋近律滑模控制方法通过选择合理的滑模面，设计双幂次函数控制律，使得系统以滑模变量 $s{\rm{ = }}0$ 为界限，此界限即为滑模面。通过选择合适控制增益，可加快系统状态从任意初始位置趋近并到达滑模面的速度，实现了系统二阶滑模特性的速度调节，系统的抖振也被较大的被削弱^[19]。

选取滑模面为：

$s = ke + \dot e$

(9)

式中： $k > 0$ ； $e = {x_{\rm d}} - {x_1}$ 为速度跟踪误差， ${x_{\rm d}}$ 为给定的位置参考值。

对 $s$ 求导，结合式（8）可得：

$ \begin{aligned}[b] &\dot s = k\dot e + \ddot e = k({\dot x_{\rm d}} - {x_2}) + {\ddot x_{\rm d}} - {\dot x_2} = k{\dot x_{\rm d}} + {\ddot x_{\rm d}} - k{x_2} +\\ &\;\;\;\;\;\;\frac{{{K}}}{{{M}}}{x_2} + \frac{{{C}}}{{{M}}}{\dot x_2} - \frac{1}{{{M}}}[{k_{\rm f}}u - f(v)] \end{aligned}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(10)

双幂次滑模趋近律为：

$\dot s = - \alpha {\left| s \right|^a}{\rm sgn} (s) - \beta {\left| s \right|^b}{\rm sgn} (s)$

(11)

式中： $ \alpha ,\;\beta > 0{\text{；}}a > 1{\text{；}}0 < b < 1$ 。

由式（11）可知，双幂次滑模趋近律由两部分组成，一部分在系统状态远离滑模面时起主导作用，另一部分是在系统状态趋近滑模面时起主导作用。再由幂函数的性质可知：控制增益 $\alpha $ 在系统初始状态时起主导作用，控制增益 $\beta $ 在系统趋近滑模面时起主导作用，因此，选择合理的增益能明显提高系统到达滑模面的收敛速度。

结合式（10）和（11）可得系统的双幂次滑模趋近律的控制律为：

$ \begin{aligned}[b] u =& - \frac{ M}{{{k_{\rm{f}}}}}\left[\left({ K} - \frac{ K}{ M}\right)\dot x - { C}\ddot x - k{\dot x_{\rm{d}}} - {\ddot x_{\rm{d}}} - \frac{{f(v)}}{ M} +\right.\\ &\left. \alpha {\left| s \right|^a}{\rm sgn} (s)+ \beta {\left| s \right|^b}{\rm sgn} (s)\right] \end{aligned}$

(12)

由式（11）可得，系统存在与初始状态 ${s_0}$ 无关的上界收敛时间 ${T_{\max }}$ ，使得 $\dot s$ 收敛到零， ${T_{\max }}$ 的表达式：

${T_{\max }}{\rm{ = }}\frac{1}{{\alpha (a - 1)}} + \frac{1}{{\beta (b - 1)}}$

(13)

对于实际系统，因符号函数 ${\rm sgn} (s)$ 在物理实现上的动作滞后延时，造成控制律 $u$ 的大幅切换，导致实际系统的抖振现象^[20]。

在实际工程中，通常采用连续趋近的方法在一定程度上抑制由于切换控制引起的系统抖动，采用饱和函数 ${\rm sat}(s)$ 代替式（12）中的符号函数 ${\rm sgn} (s)$ ，则 ${\rm{sat}}(s)$ 为：

${\rm sat}(s)= \left\{ \begin{aligned} & {\rm sgn} (s),\;\left| s \right| > \rho; \\ & \frac{s}{\rho },\;\left| s \right| \le \rho \\ \end{aligned} \right.$

(14)

式中， $\;\rho $ 为边界层。

结合式（14），式（12）可以改写为：

$ \begin{aligned}[b] u =& - \frac{ M}{{{k_{\rm{f}}}}}\left[\left({ K} - \frac{ K}{ M}\right)\dot x -{ C}\ddot x - k{\dot x_{\rm d}} - {\ddot x_{\rm d}} - \frac{{f(v)}}{ M} +\right.\\ &\left. \alpha {\left| s \right|^a}{\rm{sat}}(s) + \beta {\left| s \right|^b}{\rm{sat}}(s)\right.] \end{aligned}$

(15)

选取Lyapunov函数：

$V = \frac{1}{2}{s^2}$

(16)

结合式（11）和（15），对式（16）两边求导可得：

$ V = s\dot s = - \alpha |s{|^{a + 1}} - \beta |s{|^{b + 1}} \le 0 \\ $

(17)

因此，控制律 $u$ 满足滑模面的可达条件，能够驱使系统趋近于滑模面区。

3 模糊自适应双幂次趋近律滑模

上述的双幂次滑模趋近律是通过调整增益到一个合理的固定值，以此控制激光切割速度，但会导致的问题是激光切割过程中切割速度不具有动态调整性能。而实际切割过程中，由于采用以DSMC控制为核心的控制方法，控制系统不可避免地存在抖振，滚珠丝杠副系统又存在机械式的轴向及扭转振动，将会导致激光切割出来的太阳能电池片的切缝深度不均匀，切缝质量不高，甚至切毁电池片。为此，将电池片的激光切缝深度作为实时的自适应增益参考，以此在激光切割过程中对双幂次滑模趋近律的控制增益 $\alpha $ 、 $\beta $ 进行实时调控，进而实时调控激光切割速度，以达到激光切割速度具有良好的动态调整性能的目的。

激光切割数学模型^[21]如下：

$D = \frac{{a\alpha }}{{C_{\rm{p}}R\rho c\sqrt {\text{π} }}}{\left(\frac{P}{V}\right)^b}$

(18)

式中： $D$ 、 $P$ 、 $V$ 分别为激光切割的深度、功率和速度； $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是与材料有关的常数，其中 $0 < b < 1$ ； $C_{\rm{p}}$ 为比热容； $R$ 为激光束直径； $\rho $ 为材料密度； $\alpha $ 为能量吸收率（这里认为等于1）。做出假设如下：

假设1：激光在切割材料过程中激光功率恒定不变；

假设2：激光切割材料时，材料的能量吸收率不变。

太阳能激光划片机主要是通过控制激光切割模型中的切割速度 $V$ 和激光功率 $P$ 调整切割深度的。而由式（18）可知，在假设的前提下，切割深度 $D$ 有且只与切割速度 $V$ 有关，而且两者之间呈非线性关系，固定的增益很难保证在加工越来越薄的太阳能电池片时，切缝的深度及平整度。因此为了实现更好的控制效果，通过基于模糊规则表的模糊控制，将激光切割数学模型融合到双幂次滑模趋近律函数中，两者通过切割速度 $V$ ，建立起模糊关系，根据激光切割过程中的实时动态深度实现对双幂次滑模趋近律中的控制增益 $\alpha $ 、 $\beta $ 进行模糊动态调整，削弱控制系统中的抖振以及滚珠丝杠副中的轴向振动、扭转振动对切割速度的影响，保证了激光切缝的质量。

通过模糊控制，将切割深度 $D$ 作为自适应参考，动态地调整控制增益 $\alpha $ 、 $\;\beta $ ，可以在一定程度上有效地降低系统抖振，提高控制系统的响应速度。模糊控制是将跟踪误差和误差变化量作为模糊规则的输入，控制输入作为规则的输出，根据经验构造模糊规则表，可实现无需模型信息的控制。切割深度 $D$ 及其变化率 $\dot D$ 反映了系统切割速度 $V$ 的趋近情况，而切割速度 $V$ 取决于双幂次滑模控制律中的控制增益 $\alpha $ 、 $\;\beta $ ，因此，将 $D$ 和 $\dot D$ 作为模糊规则的输入，控制增益 $\alpha $ 、 $\beta $ 作为模糊规则的输出，构建模糊控制系统。

对 $\varPsi (\alpha ,\beta )$ 的每个分量 ${\varPsi _{ij}}(\alpha ,\beta )$ 分别建立模糊系统，以 ${D_i}$ 和 ${\dot D_j}$ 作为规则的输入，输出为 $\varPsi (\alpha ,\beta )$ ，则表达式如下：

$\varPsi (\alpha ,\beta )= {\rm fuzzy}({D_i},{\dot D_j})$

(19)

模糊规则表示为如下IF–THEN形式：

${\rm Rule:IF}\;{D_i}\;{\rm is}\;{u_i}\;{\rm AND}\;{\dot D_j}\;\;{\rm is}\;{u_j}\;{\rm THEN}\;\varPsi \;{\rm is}\;u_{ij}^{\alpha \beta }{\text{。}}$

其中， ${u_i}$ 、 ${u_j}$ 和 ${u^{\alpha \beta }_{ij}}$ 分别为输入和输出模糊子集。

采用乘积推理机，规则前部分的隶属函数为：

$ {{f}_{ij}}={{u}_{i}}({{D}_{i}})\centerdot {{u}_{j}}({{\dot{D}}_{j}}) $

(20)

式中， ${u_i}({D_i})$ 和 ${u_j}({\dot D_j})$ 分别为 ${D_i}$ 、 ${\dot D_j}$ 的隶属度。

采用重心法进行反模糊化，得到如下模糊控制器：

$\varPsi (\alpha ,\beta ) = \frac{{\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\displaystyle \sum\limits_{j = 1}^m {{f_{ij}}({D_i},{{\dot D}_j})u_{ij}^{\alpha \beta }} } }}{{\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\displaystyle \sum\limits_{j = 1}^m {{f_{ij}}({D_i},{{\dot D}_j})} } }}$

(21)

式中， ${u^{\alpha \beta }_{ij}}$ 的值由模糊规则确定。

将输入模糊子集 ${u_i}$ 、 ${u_j}$ 与输出模糊子集 $u_{ij}^{\alpha \beta }$ 分为7大区域，分别为NB（负大）、NM（负中）、NS（负小）、ZE（零）、PS（正小）、PM（正中）、PB（正大），输入、输出系统的隶属函数如图2所示。

制定模糊规则的思路是： $D$ 绝对值较大时，双幂次趋近律增益 $\alpha $ 取正大值， $\;\beta $ 取负大值，加快系统逼近滑模面的速度；随着 $D$ 绝对值减小， $\alpha $ 逐渐减小直至适中， $\;\beta $ 逐渐正向增大，以避免发生超调；当 $D$ 绝对值较小时， $\;\beta $ 取正大值，使系统快速地趋近平衡点。 $\dot D$ 绝对值的大小反映了系统趋近平衡点的速度，也反映了 $\alpha $ 、 $\;\beta $ 的取值大小； $\dot D$ 绝对值越大， $\alpha $ 取值越大， $\dot D$ 绝对值越小， $\;\beta $ 取值越大。具体规则见表1、2。

4 仿真与实验

为了验证本文提出的模糊自适应双幂次滑模趋近律控制方法的控制性能，采用MATLAB进行了模型仿真对比和性能实验研究。FDSMC系统框图如图3所示。

4.1 仿真分析

为了验证本文所提算法的有效性及控制性能，将FDSMC、DSMC及PI这3种控制方法在同等激光切割条件下进行对比仿真。

由于滚珠丝杠副运动平台采用的是Stribeck摩擦模型，运动过程中受到的摩擦力 $f(v)$ 采用文献[22]的方法进行测量，参数如下： ${f_{\rm e}} = 10\;{\rm{N}}$ ， ${f_{\rm s}} = 5\;{\rm{N}}$ ， ${v_{\rm s}} \approx $ 4 m/s。图4是PI控制系统图，其控制方法的参数为 $P = 300$ ， $I = 0.05 $ ；DSMC控制方法的参数为 $a = 2.4, $ $b = 0.8$ ； $k = 15 $ ， $\alpha = 800 $ ， $\;\beta = 12 $ ；本文所提出的FDSMC控制方法的参数为： $\rho = 0.05,$ $a = 2.2,$ $b = 0.5,$ $k = 20,$ ${\alpha _0} = 0.5,$ $ \;{\beta _0} = 1$ 。

分析仿真结果如图5～7可知：PI控制方法在速度调控时，存在较大的超调，会造成激光切缝深度的不均匀，同时，收敛时间较长，也会增加激光切割路径的长度，降低了生产效率；DSMC控制方法有效地解决了PI控制方法的速度超调现象，并提高了系统的收敛速度，但是系统存在严重的抖振现象，也会导致激光切缝的质量不佳，不利于激光切割；本文所提的FDSMC控制方法不仅解决了速度的超调问题，加快了系统的收敛速度，而且有效地抑制了系统的抖振。

通过数据采集对比与分析，FDSMC、DSMC和PI控制方法的性能参数如表3所示。

其中： $T$ 为调整时间，反映了系统调整时间； ${e_{\max }}$ 为峰值输出误差，表征系统的动态性能； $H$ 为速度误差的2范数，量化系统的平均速度跟踪精度， $H = \sqrt {\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^N {{{\left| {e(i)} \right|}^2}} } $ ； ${S^2}$ 为速度误差的方差，量化系统速度跟踪误差的平均波动程度， ${S^2}= {\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^N {\left| {e(i) - \overline e } \right|} ^2}$ ， $\overline e $ 为速度跟踪误差的算术平均数。

由表3可知，DSMC和FDSMC方法相较于PI控制方法，收敛速度明显更快，特别是由加速向匀速转换的调整阶段。在峰值输出误差、平均速度误差和平均波动程度方面，本文所提控制方法较DSMC都有明显的改进。

4.2 激光切割实验

由激光切割模型可知，切割深度D与切割速度 $V$ 呈负相关，对切割速度 $V$ 的精准控制也就间接地控制了切割深度D。激光切割时不能将太阳能电池片切穿，避免破坏PN结，因激光烧结引起的粘连、短路等事故^[23]。切割深度也不能过浅，避免当沿着太阳能电池片上的划痕折断时导致电池片产生碎裂。并且，在匀速切割阶段的位置跟踪误差和在速度调整阶段所需时间的长短对于激光切割系统最终的切割精度和生产效率指标都具有直接的影响。

选用20 W武汉锐科光纤激光器、台湾上银双轴机器人和自制的真空吸附夹具等搭建了激光切割实验平台，实验材料选用尺寸为156 mm×156 mm、厚度为0.25 mm的普通太阳能电池片。分别用3种不同的激光切割速度切割电池片，通过金相显微镜获得切割后电池片的切缝图像，如图8所示。

划片是生产电池模组工艺流程中的第1步，即先通过激光切割电池片，然后裂片，机械式地将其折断。因此切缝图像中的黑色部分是激光切割的痕迹，浅色部分是裂片所留的痕迹。实验结果可知，会使切割速度 $V$ 太小，会使切割深度过深，导致电池片电路烧结，无法使用，甚至使电池片粘贴在切割工作台上；切割速度 $V$ 太大，会使切割的深度不够，在进行后续分片工序时，会产生电池片边缘的损伤，甚至无法分片；且切缝都呈锯齿状，这是由于激光行进速度不稳定导致的。同时，经多次实验比较发现，最佳切割深度范围为电池片厚度的1/2～2/3，最佳的切割速度为200 mm/s。

其他工艺参数不变的情况下，切割速度选择为200 mm/s。采用3种控制方法进行电池片激光切割。通过金相显微镜获得切割后电池片的切缝图像，如图9所示。

由图9可知：PI控制方法和DSMC控制方法的切割缝隙参差不齐，呈锯齿状，这是由于控制系统存在抖振、滚珠丝杠副也存在系统振动，这是导致切割速度产生波动的主要因素，说明系统的自适应能力不足。PI控制方法和DSMC控制方法切缝两端与中间的深度有明显的差距，这是由于速度响应慢、调整慢、不稳定所引起的。而本文所提FDSMC方法的电池片切割缝隙平整，有效抑制了系统的抖振，有效提高了控制系统的自适应性及鲁棒性，表明其良好的速度控制性能。

5 结　论

1）采用集中参数方法，建立了滚珠丝杠副的动力学模型，为基于模型的控制提供了参考。分析对比PI控制方法和DSMC方法，发现PI控制方法存在超调现象较大，并且调整时间长等问题，而DSMC方法存在严重的抖振现象。

2）以DSMC方法为核心，加入模糊控制原理，分析激光切割深度 $D$ 、切割速度 $V$ 与DSMC控制增益 $\alpha $ 、 $\;\beta $ 之间的模糊关系，设计了一种FDSMC控制方法。降低了因控制增益过大从而激发系统产生的高频抖振，提高了系统的动态响应性能与速度控制性能。

3）通过激光切割实验，经金相显微镜观察切割后的电池片切缝，本文所提FDSMC控制方法的电池片切割缝隙平整，表明其良好的速度控制性能。