熔化极气体保护焊（gas metal arc welding，GMAW），是一种用气体作为保护介质，利用送给连续的熔化极和工件间产生的电弧加热焊丝和母材金属使其熔化的焊接方法^[1]。在GMAW过程中，焊接电弧的改变会引起工艺参数的改变，从而影响焊缝成型和焊接质量，甚至影响焊接过程的稳定性，因此保持焊接电弧长的稳定，对确保焊接质量至关重要。电流与弧长控制系统是一个具有参数不确定的非线性、时变系统，这主要体现在系统的未建模动态，因此很难建立一个较精确的模型，并基于该模型实施对弧长的鲁棒稳定控制。

在现有关于GMAW电流与弧长系统的研究中，文献[1]运用非线性输出反馈观测器的思想，采用滑模的方法实现了电流与弧长系统的跟踪控制；文献[2]推导出GMAW系统的数学模型并确定其系统参数，设计了一种自适应滑模控制器来估计不确定因素的范围并补偿其对融化电极和电弧长度造成的不良波动，通过调节焊机的电流控制电弧系统的稳定；文献[3]运用反馈线性化的方法，将非线性弧长系统映射成线性系统，进而用线性状态误差反馈方法对其控制，但非线性项的忽略降低了系统的鲁棒性能；文献[4]在将弧长系统反馈线化性的基础上，采用滑模变结构的方法实现弧长的精确控制；文献[5]采用自适应卡尔曼滤波器方法对弧长进行了估计，并证明了弧长系统的鲁棒稳定性；文献[6]针对GMAW的弧长系统，提出了一种T–S模糊自适应观测器，在焊枪到工件距离未知的情况下，可以有效地跟踪弧长变化的信息。上述方法均为基于模型的方法。但是，GMAW因其自身焊接过程的复杂性，并且操作中受到的内外部扰动和不确定因素，很难建立准确的全局数学模型。模型越复杂，依此模型设计的控制器越复杂，进而稳定性、快速性和准确性都难以保证。另外，基于模型的控制方法往往存在未建模动态和鲁棒性问题，这让它在实际应用尤其是复杂环境中存在很多隐患^[7–8]。

无模型自适应控制（model-free adaptive control, MFAC）^[9–10]是一种先进的智能控制方法，该方法不需要利用被控对象的模型信息，只依赖实际系统的输入输出数据，就能实现系统的自适应控制，并确保其闭环稳定。MFAC方法目前已经在自动泊车、交通、电力电网、化工、发电机组、飞控等领域中取得良好的效果^[11–15]。其具有广泛的适用性，计算量小，鲁棒性强，很好地处理非线性时变系统实际应用中的各类控制问题。

在焊接的实际操作中，随时面临着各类复杂的干扰和不确定性，本文考虑一类复杂的扰动和不确定形式，使其更适合解决GMAW弧长系统这类应用问题。在常规无模型自适应控制^[9–10]方案的泛模型的基础上，将系统所受的干扰与不确定性引入非参数动态线性化模型中，通过构建准则函数推导出弧长系统的控制律，采用投影法估计伪偏导数，利用径向神经网络可任意精度地逼近非线性函数^[16]，且无需提供系统模型参数的特性，实时估计扰动并动态补偿。

1 GMAW动态弧长系统

GMAW焊接过程可以用如式（1）所示的电路描述，其系统示意图如图1所示。

${U_{\rm t}} = {R_{\rm w}}I + {L_{\rm w}}\dot I + {R_{\rm c}}I + {l_{\rm s}}{\rho _{\rm r}}I + h\left( {I,{l_{\rm a}}} \right)$

(1)

式中， ${U_{\rm t}}$ 为焊机端电压， ${R_{\rm w}}$ 为导线电阻， ${L_{\rm w}}$ 为导线电感， ${R_{\rm c}}$ 为电极导电嘴电阻的总和， ${l_{\rm s}}$ 为电极长度， ${\rho _{\rm r}}$ 为电极电阻率， $I$ 为焊接电流，电弧电压用电流和弧长的函数 $h\left( {I,{l_{\rm a}}} \right)$ 来描述。

弧长控制器的作用是在熔滴的产生和掉落过程中提供一个稳定的弧长，以保证焊接过程的稳定性。弧长控制的过程如图2所示。

由文献[17–18]可得弧长变化率：

${\dot l_{\rm a}} = {m_1}I + {m_2}{I^2}({l_{\rm c}} - {l_{\rm a}}) - {v_{\rm e}}$

(2)

式中， ${l_{\rm a}}$ 为弧长， ${l_{\rm c}}$ 为导电嘴到工件的距离， ${v_{\rm e}}$ 为送丝速度， ${m_1}$ 、 ${m_2}$ 为熔化系数。

为了焊接过程的稳定，必须严格控制焊接电流的稳定，所以考虑一个电流内环控制器^[17]，设实际焊接电流为 $I$ ，参考电流信号为 ${I_{\rm r}}$ ，用1阶传递函数逼近所有的电流动态，并进行拉普拉斯反变换，得时域微分方程：

$\dot I = - \frac{1}{\tau }I + \frac{1}{\tau }{I_{\rm r}}$

(3)

利用方程（2）和（3）建立电流与弧长系统的状态空间描述。定义焊接电流 $I$ 和弧长 ${l_{\rm a}}$ 为状态变量，参考电流 ${I_{\rm r}}$ 为输入，弧长 ${l_{\rm a}}$ 为输出，有：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{x_1} = I,}\\& {{x_2} = {l_{\rm a}},}\\& {u = {I_{\rm r}},}\\& {y = {l_{\rm a}}}\end{aligned}} \right.$

(4)

由此得到非线性动态系统状态方程为：

$\left\{ {\begin{aligned}& {\dot x = f(x) + \textit{z}(x)u,}\\& {y = h(x)}\end{aligned}} \right.$

(5)

式中，

$\begin{aligned}& f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_1}(x)}\\{{f_2}(x)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \displaystyle\frac{1}{\tau }{x_1}}\\[5pt]{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_1^2}({l_{\rm c}} - {x_2}) - {v_{\rm e}}}\end{array}} \right],\\& \quad\quad\quad\quad\textit{z}(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\textit{z}_1}(x)}\\{{\textit{z}_2}(x)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle\frac{1}{\tau }}\\0\end{array}} \right],\\& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad h(x) = {x_2}\text{。}\end{aligned}$

其中， $\tau $ 为时间常数。

以上为弧长非线性动力学系统模型的建立过程，但是该模型的建立只提供输入输出数据，并不用于控制器的设计。

2 改进的无模型自适应控制算法设计

在实际焊接过程中，人工操作的不稳定，焊件表面的不平滑，高压电网的波动等，都会打破系统的稳定。针对系统内外部的干扰以及其他不确定性无法预估并抑制的问题，对原有算法进行改进，引入径向神经网络干扰观测器，对系统干扰及其他不确定因素进行估计，并补偿到控制输入中，增强GMAW系统的鲁棒性。文献[19]只考虑了外界输出干扰，本文考虑一种包含了内外部干扰及未建模动态等不确定因素的总扰动，更符合GMAW弧长控制器运作的实际情况，据此，系统可以描述为：

$\begin{aligned}[b] y(k + 1) = & f(y(k),y(k - 1), \cdots\!,\;y(k - {n_{\rm y}}),\\& u(k),u(k - 1), \cdots\!,\;u(k - {n_{\rm u}}),\\& d(k),d(k - 1), \cdots\!,\;d(k - {n_{\rm d}}))\end{aligned}$

(6)

式中， $y(k) \in {\rm{\mathbb{R}}},u(k) \in {\rm{\mathbb{R}}}$ 分别表示系统在 $k$ 时刻的输出和输入； $f(\cdot):{{\rm{\mathbb{R}}}^{{n_{\rm u}} + {n_{\rm y}} + 2}} \mapsto {\rm{\mathbb{R}}}$ 为未知的非线性函数； ${n_{\rm y}}\text{、}{n_{\rm u}}\text{、}{n_{\rm d}}$ 是3个未知的正整数； $d(k)$ 表示系统 $k$ 时刻的总扰动，包括未建模动态、内部和外部扰动、其他不确定性因素，且假设 $d(k)$ 是有界的，即 ${\rm{||}}d(k)|| \le m,$ $m > 0$ 为一个常数。

2.1 带干扰的泛模型

对系统（6），作以下假设。

假设1 　系统（6）是输入输出可观可控的。

假设2 　函数 $f(\cdot)$ 关于系统控制输入 $u(k)$ 的偏导数是连续的。

假设3 　系统（6）满足广义Lipschitz条件，即对任意的时刻 ${k_1} \ne {k_2}$ ， ${k_1},{k_2} \ge 0$ 和 $u({k_1}) \ne u({k_2})$ 时，有：

$|\Delta y(k + 1)| \le {b_1}|\Delta u(k)|$

(7)

式中， $\Delta y(k + 1) = y(k + 1) - y(k),$ $\Delta u(k) = u(k) - u(k - 1),$ ${b_1} > 0$ 是一个常数。

假设4 　函数 $f(\cdot)$ 关于系统当前总扰动 $d(k)$ 的偏导数是连续的。

假设5 　系统（6）对 $d(k)$ 是满足广义Lipschitz条件，即对任意的 ${k_1} \ne {k_2},$ ${k_1},{k_2} \ge 0$ 和 $d({k_1}) \ne d({k_2})$ 时，有：

$|\Delta y(k + 1)| \le {b_2}|\Delta d(k)|$

(8)

式中， $\Delta y(k + 1) = y(k + 1) - y(k),$ $\Delta d(k) = d(k) - d(k - 1),$ ${b_2} > 0$ 是一个常数。

定理1 　若非线性系统（6）满足假设1～5, 则当 $\Delta u(k) \ne 0$ 时，一定存在伪偏导数 $\varphi (k)\text{、}\psi (k)$ , 使得：

$y(k + 1) = y(k) + \varphi (k)\Delta u(k) + \psi (k)\Delta d(k)$

(9)

式中， $|\varphi (k)| \le {b_1},|\psi (k)| \le {b_2}$ 。

证明：由控制系统（6）可得：

$\begin{array}{l}\Delta y(k + 1) =\quad \\\quad f(y(k),y(k - 1), \cdots, y(k - {n_{\rm y}}),u(k),u(k - 1), \cdots ,\\\quad u(k - {n_{\rm u}}),d(k),d(k - 1) ,\cdots, d(k - {n_{\rm d}})) - \\\quad f(y(k - 1),y(k - 2) ,\cdots, y(k - {n_{\rm y}} - 1),u(k - 1),\\\quad u(k - 2) ,\cdots, u(k - {n_{\rm u}} - 1),d(k - 1),d(k - 2) ,\cdots, \\\quad d(k - {n_{\rm d}} - 1)) = \\ \quad f(y(k),y(k - 1), \cdots, y(k - {n_{\rm y}}),\\\quad u(k),u(k - 1), \cdots, u(k - {n_{\rm u}}),d(k),d(k - 1), \cdots, \\\quad d(k - {n_{\rm d}})) - f(y(k),y(k - 1), \cdots, y(k - {n_{\rm y}}),\\\quad u(k - 1),u(k - 1), \cdots ,u(k - {n_{\rm u}}),d(k),d(k - 1), \cdots ,\\\quad d(k - {n_{\rm d}})) + f(y(k),y(k - 1), \cdots ,y(k - {n_{\rm y}}),\\\quad u(k - 1),u(k - 1), \cdots ,u(k - {n_{\rm u}}),d(k),d(k - 1), \cdots ,\\\quad d(k - {n_{\rm d}})) - f(y(k),y(k - 1), \cdots ,y(k - {n_{\rm y}}),\\\quad u(k - 1),u(k - 1), \cdots ,u(k - {n_{\rm u}}),d(k - 1),d(k - 1), \cdots ,\\\quad d(k - {n_{\rm d}})) + f(y(k),y(k - 1), \cdots ,y(k - {n_{\rm y}}),\\\quad u(k - 1),u(k - 1), \cdots ,u(k - {n_{\rm u}}),d(k - 1),d(k - 1), \cdots ,\\\quad d(k - {n_{\rm d}})) - f(y(k - 1),y(k - 2), \cdots ,y(k - {n_{\rm y}} - 1),\\\quad u(k - 1),u(k - 2), \cdots ,u(k - {n_{\rm u}} - 1),d(k - 1),\\\quad d(k - 2), \cdots ,d(k - {n_{\rm d}} - 1))。\end{array}$

(10)

根据假设3、假设5和微分中值定理，式（10）可写为：

$\begin{array}{l}\Delta y(k + 1) = \\\displaystyle\frac{{\partial {f^*}}}{{\partial u(k)}}\Delta u(k) + \displaystyle\frac{{\partial {f^*}}}{{\partial d(k)}}\Delta d(k) + \delta (k)\end{array}$

(11)

式中， $\displaystyle\frac{{\partial {f^*}}}{{\partial u(k)}}$ 是 $f(\cdot)$ 关于 $u(k)$ 的偏导数， $\displaystyle\frac{{\partial {f^*}}}{{\partial d(k)}}$ 是 $f(\cdot )$ 关于 $d(k)$ 的偏导数，且

$\begin{aligned}& \delta (k) = \\& \quad f(y(k),y(k - 1), \cdots ,y(k - {n_y}),u(k - 1),u(k - 1), \cdots ,\\& \quad u(k - {n_{\rm u}}),d(k - 1),d(k - 1), \cdots ,d(k - {n_{\rm d}}) - \\& \quad f(y(k - 1), \cdots ,y(k - {n_{\rm y}} - 1),u(k - 1), \cdots ,\\& \quad u(k - {n_{\rm u}} - 1),d(k - 1), \cdots ,d(k - {n_{\rm d}} - 1)\end{aligned}$

(12)

由于 $\Delta u(k) \ne 0$ ，一定存在一个变量 $\alpha (k)$ ，使得 $\delta (k) = \alpha (k)\Delta u(k)$ 成立。式（11）可以改写为：

$\Delta y(k + 1) = \varphi (k)\Delta u(k) + \psi (k)\Delta d(k)$

(13)

式中， $\varphi (k) = \displaystyle\frac{{\partial {f^*}}}{{\partial u(k)}} + \alpha (k)$ ， $ \psi (k) = \displaystyle\frac{{\partial {f^*}}}{{\partial d(k)}}$ 。

定理1得证。

注1 　定义变量 $g(k)$ ，使得：

$g(k) = \psi (k)\Delta d(k)$

(14)

则式（13）可化为：

$y(k + 1) = y(k) + \varphi (k)\Delta u(k) + g(k)$

(15)

2.2 控制律的设计

不同于一般的线性化方法，考虑了干扰的泛模型（13）是将非线性系统无限折线化，逼近成一个线性系统。只有对其控制输入 $u(k)$ 的变化量进行限制，这种逼近才在合理的范围内。

考虑如下的准则函数^[9–10]：

$\begin{aligned}[b]J(u(k)) = & {(y^*(k + 1) - y(k + 1))^2} + \\& \lambda {(u(k) - u(k - 1))^2}\end{aligned}$

(16)

式中， ${y^*}(k + 1)$ 和 $y(k + 1)$ 为系统 $k + 1$ 时刻的期望跟踪信号与实际输出， $u(k)$ 与 $u(k - 1)$ 分别是系统 $k$ 与 $k - 1$ 时刻的输入控制量， $\lambda $ 为权重系数。

将式（15）代入式（16），对 $u(k)$ 求导，使其等于零，可得控制律算法如下：

$\begin{aligned}[b] u(k) = & u(k - 1) + \displaystyle\frac{{{\rho _1}\varphi (k)}}{{\lambda + |\varphi (k){|^2}}}(y^*(k + 1) - y(k)) - \\& \displaystyle\frac{{{\rho _2}\varphi (k)}}{{\lambda + |\varphi (k){|^2}}}g(k)\end{aligned}$

(17)

式中， ${\rho _1}\text{、}{\rho _2}$ 是运算步长序列。

注2 　 $\lambda $ 的引入是因为：① 对控制输入量的变化加以限制，同时减少系统稳态误差，保证控制输入信号的平滑性；② 防止出现式（17）中分母为零的奇异状况。

式（17）中， $\varphi (k)$ 、 $f(k)$ 都是未知的，需要对其进行在线辨识。

2.3 伪偏导数投影估计算法

针对 $\varphi (k)$ ，采用投影估计算法，从消除稳态偏差和保证系统稳定的角度出发，采用与控制策略成对称相似结构的控制输入目标函数：

$\begin{aligned}[b] J(\hat \varphi (k)) = & |{y^0}(k) - y(k - 1) - \varphi (k)\Delta u(k) - \\& \hat g(k - 1){|^2} + \mu |\hat \varphi (k) - \hat \varphi (k - 1){|^2}\end{aligned}$

(18)

式中， ${y^0}(k)$ 是系统的实际输出， $\hat \varphi (k)$ 为 $\varphi (k)$ 的估计值, $\mu > 0$ 为权重因子。

令 $\hat \varphi (k)$ 的导数为零，得伪偏导数的估计算法为：

$\begin{aligned}[b] \hat \varphi (k) =& \hat \varphi (k - 1) + \displaystyle\frac{{\eta \Delta u(k - 1)}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\cdot\\& (\Delta y(k) - \hat \varphi (k - 1)\Delta u(k - 1) - \hat g(k - 1))\end{aligned}$

(19)

$\hat \varphi (k) = \hat \varphi (1)$ ，如果 $|\hat \varphi (k)| \le \varepsilon $ 或 $|\Delta u(k - 1)| \le \varepsilon $ 或

${\rm{sign}}(\hat \varphi (k)) \ne {\rm{sign}}(\hat \varphi (1))$

(20)

式（19）～（20）中， $\eta \in (0,1]$ 为步长序列， $\hat g(k - 1)$ 为 $g(k)$ 在 $k - 1$ 时刻的估计值， $\varepsilon $ 为一个充分小的正数， $\hat \varphi (1)$ 为 $\hat \varphi (k)$ 的初始值。

注3 　式（20）为参数重置算法，它保证了定理1的条件，也保证了式（19）对时变参数有更强的跟踪能力^[9]。

2.4 径向神经网络估计算法

针对未知项 $g(k)$ ，采用径向神经网络估计算法，其结构如图3所示^[20–21]。

输入向量

$\mathit{\boldsymbol{X}} = [\Delta y(k),\Delta y(k - 1),\Delta u(k - 1),\Delta u(k - 2)]\text{。}$

输出为 $\hat g(k)$ ，即

$\hat g(k) = {w_1}{h_1} + {w_2}{h_2} + \cdots + {w_m}{h_m}$

(21)

由泛模型可得：

$g(k - 1) = y(k) - y(k - 1) + \varphi (k - 1)\Delta u(k - 1)$

(22)

径向基向量为 ${\mathit{\boldsymbol{H}}} = [{h_1},{h_2}, \cdots ,{h_m}]$ 。其中， $m$ 为隐含节点数。

径向基函数取高斯基函数为：

${\theta _i} = \exp \left( - \frac{{{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{X}}} - {{c}_i}} \right\|}^2}}}{{2{\sigma _i}^2}}\right),i = 1,2, \cdots ,m$

(23)

隐节点 $i$ 的高斯函数中心向量为 ${\mathit{\boldsymbol{c}}_i} = [{c_{i1}},{c_{i2}}, \cdots ,{c_{im}}]$ ；隐节点的宽度参数为 $\mathit{\boldsymbol{\sigma}} = {[{\sigma _1},{\sigma _2}, \cdots ,{\sigma _m}]^{\rm T}}$ ；权重向量为 $\mathit{\boldsymbol{W}} = {[{w_1},{w_2}, \cdots ,{w_m}]^{\rm{T}}}$ 。

采用随机梯度法和动量修正项的方法，得到各参数修正公式为：

$\begin{aligned}[b]{w_i}(k) = & {w_i}(k - 1) + {\eta _1}(g(k) - \hat g(k)){h_i} + \\& {\alpha _1}({w_i}(k - 1) - {w_i}(k - 2))\end{aligned}$

(24)

$\Delta {\sigma _i}(k) = (g(k) - \hat g(k)){w_i}{h_i}||\mathit{\boldsymbol{X}} - {{c}_i}|{|^2}/\sigma _i^3$

(25)

$\begin{aligned}[b]{\sigma _i}(k) = & {\sigma _i}(k - 1) + \eta \Delta {\sigma _i} + \\ & {\alpha _1}({\sigma _i}(k - 2) - {\sigma _i}(k - 3))\end{aligned}$

(26)

$\Delta {c_{ij}} = (g(k) - \hat g(k)){w_i}({x_i} - {c_{ij}})/\sigma _i^2$

(27)

$\begin{aligned}[b]{c_{ij}}(k) = & {c_{ij}}(k - 1) + {\eta _1}\Delta {c_{ij}} + \\& {\alpha _1}({c_{ij}}(k - 2) - {c_{ij}}(k - 3))\end{aligned}$

(28)

式中， ${\eta _1}$ 为学习速率， ${\alpha _1}$ 为动量因子。

得到最终的控制律为：

$\begin{aligned}[b] u(k) = & u(k - 1) + \frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\cdot\\& (y^*(k + 1) - y(k)) - \frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\hat g(k)\end{aligned}$

(29)

2.5 鲁棒稳定性分析

选取合适的网络结构及参数，神经网络可以近似任何的非线性函数，故存在一个任意小的正数 $\varsigma $ ，使得估计误差小于 $\varsigma $ ^[22–23]，即:

$\max |g(k) - \hat g(k)| \le \varsigma ,k = 1,2, \cdots ,n$

(30)

这里，给出如下两个假设：

假设6 　对某一给定的有界期望输出信号 $y^*(k + 1)$ ，总存在一个有界的 ${u^*}(k)$ ，使系统输入此信号时，输出等于 $y^*(k + 1)$ 。

假设7 　对任意时刻 $k$ 及 $\Delta u(k) \ne 0$ ，系统伪偏导数的符号保持不变，即满足 $\varphi (k) > {c_1} > 0$ 或 $\varphi (k) < - {c_1}$ ，其中， ${c_1}$ 是一个小正数。

不失一般性地，本文只讨论 $\varphi (k) > {c_1}$ 的情形。

注4 　假设6确保了系统输出可控，假设7指当控制输入增加时相应的系统输出是不减的。GMAW弧长系统均满足这些条件。

定理2 　对于非线性系统（6），在满足假设1～5的情形下，当 $y^*(k + 1) = \text{常数}$ 时，使用改进的无模型自适应算法（19）、（20）、（29），则存在一个正数 ${\lambda _{\min }} > 0$ ，使得当 $\lambda > {\lambda _{\min }}$ 时有：

①系统输出跟踪误差单调有界收敛；

②闭环系统有界输入输出（bounded input bounded output，BIBO）稳定，即输出序列 $\{ y(k)\} $ 和输入序列 $\{ u(k)\} $ 是有界的。

证明：1）证明 $\hat \varphi (k)$ 有界。

如果满足 $|\hat \varphi (k)| \le \varepsilon $ 或 $|\Delta u(k - 1)| \le \varepsilon $ 或 ${\rm{sign}}(\hat \varphi (k)) \ne$ $ {\rm{sign}}(\hat \varphi (1))$ 时，由重置算法（20）可知， $\hat \varphi (k)$ 是有界的；

其他情况下，定义 $\tilde \varphi (k) = \hat \varphi (k) - \varphi (k)$ ， $\tilde g(k) =$ $ \hat g(k) - g(k)$ ，式（19）两边同时减去 $\hat \varphi (k)$ ，可得：

$\begin{aligned}[b]\tilde \varphi (k) = & \hat \varphi (k - 1) + \frac{{\eta \Delta u(k - 1)}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\cdot\\& (\Delta y(k) - \hat \varphi (k - 1)\Delta u(k - 1) - \hat g(k - 1)) - \varphi (k)\end{aligned}$

(31)

将 $\Delta y(k) = \varphi (k - 1)\Delta u(k - 1) + g(k - 1)$ 代入式（31）中，则

$\begin{aligned}[b]\tilde \varphi (k) = & \tilde \varphi (k - 1)\left(1 - \frac{{\eta |\Delta u(k - 1){|^2}}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\right) - \\& \frac{{\eta \Delta u(k - 1)}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\tilde g(k - 1) - \Delta \varphi (k)\end{aligned}$

(32)

取绝对值，可得：

$\begin{aligned}[b]|\tilde \varphi (k)| < & |\tilde \varphi (k - 1)|\;\left|(1 - \frac{{\eta |\Delta u(k - 1){|^2}}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}})\right| + \\& \left|\frac{{\eta \Delta u(k - 1)}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\right|\;|\tilde g(k - 1)| + |\Delta \varphi (k)|\end{aligned}$

(33)

可以看出函数 $\displaystyle\frac{{\eta |\Delta u(k - 1){|^2}}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}$ 关于变量 $|\Delta u(k - 1){|^2}$ 是单调递增的，其最小值为 $\displaystyle\frac{{\eta {\varepsilon ^2}}}{{\mu + {\varepsilon ^2}}}$ 。那么，当 $0 < \eta \le 1$ 、 $\mu > 0$ 时，一定存在常数 ${d_1}$ ，满足：

$0 < \left|1 - \frac{{\eta |\Delta u(k - 1){|^2}}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\right| < 1 - \frac{{\eta {\varepsilon ^2}}}{{\mu + {\varepsilon ^2}}} = {d_1} < 1$

(34)

又有

$\begin{aligned}[b] \left|\frac{{\eta \Delta u(k - 1)}}{{\mu + |\Delta u(k - 1){|^2}}}\right|= \left|\frac{\eta }{{\displaystyle\frac{\mu }{{|\Delta u(k - 1)|}} + |\Delta u(k - 1)|}}\right| \le \frac{\eta }{{2\sqrt \mu }}\text{。}\end{aligned}$

所以有

$|\tilde \varphi (k)| < {d_1}|\tilde \varphi (k - 1)| + \frac{\eta }{{2\sqrt \mu }}\delta + 2{b_1}$

(35)

记 $\displaystyle\frac{\eta }{{2\sqrt \mu }}\delta + 2{b_1} = c$ ，则

$\begin{aligned}[b] |\tilde \varphi (k)| < &{d_1}|\tilde \varphi (k - 1)| + c < \\& {d_1}^2|\tilde \varphi (k - 2)| + {d_1}c + c < \cdots < \\& {d_1}^{k - 1}|\tilde \varphi (1)| + {d_1}^{k - 2}c + {d_1}^{k - 3}c + \cdots + c = \\& {d_1}^{k - 1}|\tilde \varphi (1)| + \sum\limits_{i = 2}^k {{d_1}^{k - i}c} = \\& {d_1}^{k - 1}|\tilde \varphi (1)| + \frac{{c(1 - {d_1}^{k - 1})}}{{1 - {d_1}}}\end{aligned}$

(36)

可见， $\tilde \varphi (k)$ 有界。又因为 $\varphi (k)$ 有界，故 $\tilde \varphi (k)$ 有界。

2）证明 $y(k)$ 和 $u(k)$ 有界

定义系统跟踪误差为：

$e(k + 1) = y^*(k + 1) - y(k + 1)$

(37)

将式（15）、（29）代入式（37），可得：

$\begin{aligned}[b] e(k + 1) = & y^*(k + 1) - \left(y(k) + \frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\cdot\right.\\& \left. (y^*(k + 1) - y(k)) - \frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\hat g(k) + g(k)\right)= \\& \left(1 - \frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\right)e(k) + \frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\hat g(k) - g(k)\end{aligned}$

(38)

记 $\displaystyle\frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}} = {M_1}$ ， $\displaystyle\frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}} = {M_2}$ ，则有:

$e(k + 1) = (1 - {M_1})e(k) + {M_2}\hat g(k) - g(k)$

(39)

根据假设的条件 $\varphi (k) > \sigma $ 、重置算法的保证条件 $\hat \varphi (k) > \varepsilon $ 以及上述证明的 $\hat \varphi (k)$ 有界可知，选取 $\lambda > {\lambda _{\min }}$ ，则一定存在一个常数 $0 < {l_1} < 1$ , 使得：

$0 < {l_1} \le \frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)\varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}} \le \frac{{{\rho _1}{b_1}\hat \varphi (k)}}{{2\sqrt \lambda \hat \varphi (k)}} = \frac{{{\rho _1}{b_1}}}{{2\sqrt {{\lambda _{\min }}} }} = 1$

(40)

式中， ${b_1}$ 为满足定理1结论 $|\hat \varphi (k)| \le {b_1}$ 的常数。

即 $0 < {l_1} \le {M_1}$ 。同理，存在一个常数 $0 < {l_2} < 1$ ，使得 $0 < {l_1} \le {M_2}$ ，可得， ${\lambda _{\min }} = \displaystyle\frac{{{\rho _1}{b_1}}}{4}$ 。

又根据式（40）、 $0 < {\rho _1} \le 1$ 和 $\lambda > {\lambda _{\min }}$ ，则一定存在一个常数 ${d_2} < 1$ ，使得：

$|1 - {M_1}| = 1 - {M_1} \le 1 - {l_1} = {d_2} < 1$

(41)

根据式（30）和（40），显然存在一个正数 $\gamma $ ，使得式（42）成立：

$|{M_2}\hat g(k) - g(k)| < \gamma $

(42)

结合式（39）、（41）、（42），有：

$\begin{aligned}[b] |e(k + 1)| \le \; &{d_2}|e(k)| + \gamma \le \\& {d_2}^2|e(k - 1)| + {d_2}\gamma + \gamma \le \cdots \le \\& {d_2}^k|e(1)| + {d_2}^{k - 1}\gamma + \cdots + {d_2}\gamma + \gamma = \\& \frac{{\gamma (1 - {d_2}^k)}}{{1 - {d_2}}}\end{aligned}$

(43)

所以有：

$|e(k)| < \frac{{\gamma (1 - {d_2}^k)}}{{1 - {d_2}}} < \frac{\gamma }{{1 - {d_2}}}$

(44)

故 $e(k)$ 有界收敛。因为 $y^*(k + 1)$ 为常数，则由式（37）知， $y(k)$ 有界。

所以，证得输出序列 $\{ y(k)\} $ 有界。

由式（29）可得：

$\begin{aligned}[b] |\Delta u(k)| = & \left|\frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}(y^*(k + 1) - y(k)) - \frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\hat g(k)\right| = \\& \left|\frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}e(k) - \frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\hat g(k)\right|\end{aligned}$

(45)

根据式（30）、假设5和 $d(k)$ 有界，可知：

$g(k) = \psi (k)\Delta d(k) < 2{b_2}m$

(46)

又根据式（30）和（46），可得：

$|\hat g(k)| < \varsigma + 2{b_2}m$

(47)

所以有：

$\begin{aligned}[b]|\Delta u(k)| \le \; & \left|\frac{{{\rho _1}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\right|\;|e(k)| + \left|\frac{{{\rho _2}\hat \varphi (k)}}{{\lambda + |\hat \varphi (k){|^2}}}\right|\;|\hat g(k)| \le \\ & \left|\frac{{{\rho _1}}}{{2\sqrt \lambda }}\right|\;|e(k)| + \left|\frac{{{\rho _2}}}{{2\sqrt \lambda }}\right|\;|\hat g(k)| = \\& {P_1}|e(k)| + {P_2}|\hat g(k)|\end{aligned}$

(48)

式中， ${P_1} = \displaystyle\frac{{{\rho _1}}}{{2\sqrt \lambda }}$ 、 ${P_2} = \displaystyle\frac{{{\rho _2}}}{{2\sqrt \lambda }}$ 是两个有界常数。

故证得 $|\Delta u(k)|$ 是有界的。又因为

$\begin{aligned}& |u(k)| \le |u(k) - u(k - 1)| + |u(k - 1)| \le \\[2pt]& \quad |u(k) - u(k - 1)| + |u(k - 1) - u(k - 2)| + |u(k - 2)| \le \\[2pt]& \quad |\Delta u(k)| + |\Delta u(k - 1)| + \cdots + |\Delta u(2)| + |\Delta u(1)| \le \\[2pt]& \quad {P_1}(|e(k)| + |e(k - 1)| + \cdots + |e(2)| + |e(1)|) + \\[2pt]& \quad {P_2}(|\hat g(k)| + |\hat g(k - 1)| + \cdots + |\hat g(2)| + |\hat g(1)|) \le \\[2pt]&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{P_1}\frac{{k\gamma }}{{1 - {d_2}}} + {P_2}k(\varsigma + 2{b_2}m)。\end{aligned}$

(49)

故证得输入序列 $\{ u(k)\} $ 有界。

由此，从理论上证明了该方法在GMAW弧长系统上的稳定性。

方程（19）、（20）、（21）、（29）是改进的无模型自适应方法，它不需系统的模型信息，与控制系统的参数、阶数无关。

GMAW弧长系统结构框图如图4所示。

3 仿真验证

为了验证本文所提方法对GMAW弧长控制系统在受到内外界干扰和不确定因素的情况下，弧长输出跟踪的有效性，采用MATLAB进行仿真，并将常规无模型自适应方法（MFAC）、文献[19]中提出的方法（improved model-free adaptive control 1.0，IMFAC1.0）和本文提出的方法（记为IMFAC2.0）进行比对。弧长控制器的作用是提供稳定的弧长输出，故给定期望输出 ${y^*}(k + 1) = 0.003$ ，单位为m。

首先，考虑没有干扰的理想情况，即 $d(k) = 0$ 时，仿真中所用弧长系统各参数取值、物理意义等如表1所示。

其中， ${m_1}$ 由焊丝电阻率、电机直径、电极电阻、伸出长度和电流决定， ${m_2}$ 由弧柱电位梯度、弧长决定， $\tau $ 由电路具体参数决定。伪偏导数、控制输入和输出的初始值为 $\hat \varphi (1) = 1$ ， $u(1) = 160$ , $u(2) = 160$ ， $y(1) = 0.002\;5$ ， $y(2) = 0.003$ ， $\varepsilon = 0.00\;001$ 。此时，3种方法得到的结果一致，如图5、6所示。

由图5、6可以看出，在没有干扰的理想情况下，无模型自适应方案在约0.6 s时已经可以跟踪到期望的弧长输出值，达到稳定，且超调量不大，体现出无模型自适应的良好控制性能。

现考虑系统受到扰动的情况，弧长系统经过欧拉离散并加入干扰项后如式（50）所示：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{x_1}(k + 1) =\left(- \frac{1}{\tau }{x_1}(k) + \frac{1}{\tau }u(k)\right)T + {x_1}(k),}\\& {x_2}(k + 1) = ({m_1}{x_1}(k) + {m_2}{x_1}^2(k)\\&\quad\quad\quad\quad\;\; ({l_{\rm c}} - {x_2}(k)) - {v_{\rm e}})T + {x_2}(k) + {d_1}(k),\\& {y(k) = {x_2}(k) + {d_2}(k)}\end{aligned}} \right.$

(50)

式中， $T$ 为采样时间。

将控制器实际模型参数在标称参数0.8～1.2倍的范围内随机取值，模拟弧长系统模型的不确定性。经过多次参数整定，选定控制器参数为 ${\rho _1} = 0.5$ , ${\rho _2} = 0.8$ ， $\eta = 1$ ， $\mu = 0.001$ ，其余初始参数同理想情况下，径向神经网络隐层节点数为5。在焊接开始工作时，为模拟实际操作中的不确定因素，加入如下干扰信号：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{d_1}(k) = 0.000\;3\cos (k{\rm{{\text{π}} }}/30\;000),}\\& {{d_2}(k) = 0.000\;1\cos (k{\rm{{\text{π}} }}/100\;000)}\end{aligned}} \right.$

(51)

达到稳定后，模拟系统突然受到内外界扰动的影响，在 $t = 1$ s，施加干扰，在 $t = 2$ s去除干扰，扰动值 ${d_1}$ 为均值为0，方差为10^–5的高斯白噪声，模拟不可测干扰， ${d_2}$ 为可测的输出干扰，取值为：

${d_2}(k) = 0.000\;1\cos (k{\rm{{\text{π}} }}/30\;000)$

(52)

再次达到稳定后，在 $t = 2.5$ s加入不可测的阶跃干扰如下，模拟内部扰动：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{d_1}(k) = 0.001,}\\& {{d_2}(k) = 0}\end{aligned}} \right.$

(53)

将MFAC、IMFAC1.0和IMFAC2.0方法分别在上述干扰和参数条件下仿真并比较，其弧长输出跟踪性能如图7所示，相应的控制输入对比如图8所示。

由图7、8可知，在考虑各类干扰作用时，MFAC、IMFAC1.0和IMFAC2.0算法均表现出一定的抗扰性并能达联盟到稳定。在初始阶段，MFAC、IMFAC1.0和IMFAC2.0方案的震荡幅度和超调量依次减小，达到稳定的时间依次缩短，IMFAC2.0的输出曲线较之前两者更为平缓；在1～2 s中，受到不可测的高斯白噪声干扰和可测的余弦输出干扰时，MFAC和IMFAC1.0方法产生较大的超调和明显的不稳定，而IMFAC2.0曲线平滑，表现出良好的抗扰动性能；2.5 s时加入阶跃干扰后，相较MFAC和IMFAC1.0方法，IMFAC2.0算法对弧长的调节时间更短，超调量更小，快速收敛到稳定。可见，IMFAC2.0算法对于各种类型的扰动都有优良的控制品质。

4 结　论

GMAW弧长控制系统是一个复杂的、难以建立精确模型的非线性时变系统，在实际焊接过程中，常受到不可预测的各类干扰影响。针对这个问题，提出考虑各种干扰的无模型自适应方法控制GMAW弧长系统，利用径向神经网络对函数的任意逼近性对扰动和不确定因素提前补偿。控制器设计只基于被控对象的I/O数据，没有训练过程和结构参数，完全采用数据驱动，解决了未建模动态和鲁棒性的问题。仿真结果验证了此方法在遇到各类干扰时，超调量更小，收敛速度更快，曲线更加平滑，尤其是面对不可测的随机干扰时，表现出良好的跟踪性能和抗扰动性能，更适合用于实际的GMAW过程。