弧形闸门因具有泄流顺畅、启闭灵活和启闭力小等优点而被广泛应用。近年来随着高坝大库的兴建，坝高前100名的大坝中超过300 m级的大库已非常多见^[1]。高坝大库的建设对泄洪闸门安全性要求越来越高，闸门主框架直接决定着整体弧门乃至整个枢纽的安全，虽然中国《水利水电工程钢闸门设计规范（SL74—2013）》^[2]和美国《水工钢结构设计》^[3]、《溢洪道弧形闸门设计》^[4]中都建议主横梁式弧形闸门的主梁悬臂长度为其跨度的0.2倍，但这种布置仅考虑了全关闭工况主横梁的抗弯强度，没有考虑支臂端弯矩的影响，而支臂端部弯矩又决定着支臂的安全和经济。针对弧门主框架合理悬臂长度问题，李自冲^[5]从瞬间开启工况出发确定出小湾电站弧门主横梁的最优悬臂长度为0.18倍的主梁跨度，但没有考虑支臂端弯矩对框架安全的影响；王正中等^[6]根据支臂端处弯矩为零给出了带悬臂直支臂弧门框架的悬臂长度为0.225倍的主梁跨度，但仅考虑了弧门全闭工况的支臂端处弯矩；王正中等^[7–10]采用拓扑优化方法对弧门横向框架进行了拓扑优化和以弧门主纵梁在支承处横截面的转角为零的布置原则对弧门框架进行了优化布置，得出了弧门主框架的合理悬臂长度，但仅考虑了正常蓄水位闸门全闭工况；郑健等^[11]采用3维有限元法仅对闸门主框架的布置进行了优化。此外，刘礼华^[12]，练继建^[13–14]和李永科^[15]等对闸门结构进行了尺寸优化，但没有结合框架结构及启闭机的布置优化。

中国规范给出的弧门主框架单位单刚度比的取值范围太大，凭经验选取人为随意性较大，针对此问题，宋许成等^[16]以弧门主框架和闸墩结构最经济为目标对悬臂长度为0.2倍主梁跨度的斜支臂弧门框架的单位刚度比进行了研究；王正中^[17]从单位刚度比的定义出发，得到了带悬臂主横梁弧门框架单位刚度比的表达式；李宗利等^[18]以弧门主框架重量最轻为目标对主框架单位刚度比进行了优化，但都仅考虑了正常蓄水位弧门全闭工况，对往往是控制工况的瞬间开启和全部开启工况没有考虑，所得的弧门主横梁和支臂单位刚度比都不尽合理。此外，上述对弧门主框架悬臂长度、主框架单位刚度比的研究中都没有考虑弧门半径的优选，更没有考虑启闭机布置对弧门的影响，实际上启闭机对闸门结构的受力有重要的影响；曾又林等^[19–20]分别按启闭力，以及启闭机造价对液压启闭机进行了优化布置；杜培文等^[21]以总造价为目标函数对表孔弧门液压启闭机进行了优化布置，但以上仅对启闭机结构进行优化布置，因此得到的仅是启闭机结构的局部最优布置。

弧门主框架结构和启闭机结构的布置形式决定着水工金属结构乃至整个水工枢纽建筑物安全和经济^[22]，所以仅从单一工况、单一目标和单一优化变量研究弧门主框架或启闭机的优化布置都是不合理的。孙斌等^[23]采用多目标优化的方法对机翼形水工建筑物进行了水力优化；宋晓猛等^[24]基于代理模型的水文模型参数多目标优化对传统多目标优化算法进行了改进，借鉴其多目标优化思想，为保证弧门结构和启闭机结构的安全和经济，需要对弧门和启闭机组成的系统进行多工况、多目标和多优化变量全局布置优化研究，并保证整体结构在正常蓄水位闸门全闭、校核洪水位瞬间开启和全部开启工况下的安全和经济。这不仅可以弥补现行规范和现有研究成果中主梁悬臂长度、主框架单位刚度比、弧门半径以及液压启闭机布置中不确定、不合理、不经济的不足，也为中国工程设计中弧门主框架和启闭机的布置提供既安全经济又简洁实用的方法，还为中美规范的进一步修订完善提供理论基础。

1 弧门框架结构和启闭机结构

主横梁式弧形闸门的主梁水平放置，主横梁与左右两个支臂构成主框架如图1所示。图1（a）中为带悬臂的直支臂框架；图1（b）中为斜支臂弧门框架，其支臂与主梁斜交，主梁两端的悬臂长度规范规定宜取0.2L（L为主横梁跨度）；图1（c）中为直支臂门型框架，主梁与支臂正交，且支臂设在主梁的两端。实际上（a）框架和（c）框架都为（b）框架的特例：当悬臂长度为0时，（b）框架就成了（c）框架；当（b）框架中支臂与主横梁垂直时，就变成了（a）框架。

表孔弧门液压启闭机油缸的支承有端部支承和中部支承两种型式。因端部支承具有行程小，上支承点支座构造简单，安装方便和造价低的优点，在中国绝大多数水工枢纽中应用较广，布置图如图2所示。图2中启闭机布置位置α角的合理取值对闸门和启闭机结构的整体安全运行起决定性作用，但现行规范中仅给出了取值范围。对闸门和启闭机系统结构进行多工况多目标整体布置优化，确定各布置参数的最优取值对闸门及启闭机系统的安全和经济非常重要。

图2中：O点为弧门支铰位置；O₁为启闭机的支承点；O₂和O₃分别为O点到O₁B和O₁A的垂足；α和β分别为启闭机拉杆在初始位置和全开位置与半径方向的夹角，结合R/H_R和工程经验可确定α∈[25° 50°]或β∈[8° 20°]。通过α角和启闭机杆的长度即可确定出O₁的位置。

2 弧门主框架内力分析 2.1 主框架内力分析

弧门主框架横梁上主要作用着弧形竖直次梁传来的集中力和部分面板传来的水压力以及启门力，计算时可将框架承受的静水压力P换算成沿主梁跨长上作用的均布荷载q=P/L（L为主梁的跨度）。计算简图如图3所示，按下端铰接，承受均布荷载和集中荷载。为方便计算框架内力，可将框架上承受的均布荷载（q）和启门力（F_Q）分为3种情况，如图4中的（a）、（b）和（c）。

图3中：L为主梁的跨度，c为主梁的悬臂长度，b为主横梁中间跨度，d为启闭机吊点距闸墩侧墙的距离，F_Q为液压启闭机的启门力，q为主横梁上的均布荷载，h为斜支臂弧门支臂在垂直主梁方向上的投影长度，S为斜支臂弧门的支臂长度，a为斜支臂弧门支臂在平行主梁方向上的投影长度，l为液压启闭机在框架平面内的投影长度，H为支铰处水平推力，V为支铰处竖向反力。

根据力线平移定理把启门力F_Q平移到支臂与主梁的连接处，则产生一个附加力偶F_Q1（c–d），其中F_Q1为弧门初始位置时启门力作用在弧门主横梁上的法向分力，F_Q1=F_Qcos α，α为液压启闭机的启闭杆与弧门半径方向的夹角如图2所示。图4（a）中悬臂段c的弯矩大小为M=qc²/2+F_Q1c–d），M为主梁支座处的负弯矩；图4（b）悬臂段荷载传至刚架节点的集中力P =qc+F_Q1；图4（c）作用于主横梁跨间上的均布荷载为q。

弧门瞬间开启时启门力要克服支铰摩阻力、止水摩阻力和弧门自重等作用，其中弧门瞬间开启的启门力计算公式：

${F_{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} } = \frac{1}{{{R_2}}}\left[ {{n_{\mathop{\rm T}\nolimits} }\left( {{T_{{\mathop{\rm zd}\nolimits} }}{r_0} + {T_{{\rm zs}}}{r_1}} \right) + n_{\mathop{\rm G}\nolimits} 'G{r_2} + {G_{\mathop{\rm f}\nolimits} }{R_1} + {P_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{r_4}} \right]$

(1)

式中：r₀，r₁，r₂，r₄分别为转动铰摩阻力、止水摩阻力、闸门自重和下吸力对闸门转动中心的力臂；R₁，R₂分别为加重（或下压力）的启门力对弧门转动中心的力臂；T_zd、T_zs分别为支承摩阻力和止水摩阻力；n_T为摩擦阻力安全系数，可采用1.2； $n{'_{\rm G}}$ 为计算持住力和启门力用的闸门自重修正系数，可采用1.0～1.1；G为闸门自重；G_f为加重块重量； $ P_{\rm {\!\!x}}$ 为下吸力。

主框架单位刚度比：

${K_0} = \left( {{I_1}/b} \right)/\left( {{I_2}/S} \right)$

(2)

式中，I₁和I₂分别为主横梁和支臂的截面惯性矩。

主梁跨中段和悬臂段关系：

$b + 2c = L$

(3)

由上述3种情况所产生的侧推力：

$\begin{aligned}[b]H =& - \frac{{3q{c^2}}}{{2h\left( {2{K_0} + 3} \right)}} - \displaystyle\frac{{3{F_{{\mathop{\rm Q}\nolimits} 1}}\left( {c - d} \right)}}{{h\left( {2{K_0} + 3} \right)}} + \\&\displaystyle\frac{{\left( {{F_{\rm {\!\!Q1}}} + qc} \right)a}}{h} + \displaystyle\frac{{qb\left[ {b + 2a\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right]}}{{4h\left( {2{K_0} + 3} \right)}}\end{aligned}$

(4)

支铰处竖向反力：

$V = \frac{{qL}}{2} + {F_{\!\! \rm Q1}}$

(5)

斜支臂弧门框架支臂端部弯矩、主梁支座处负弯矩和主梁跨中正弯矩的计算公式：

${M_{\rm h}} = Va - Hh$

(6)

$M = - \frac{{q{c^2}}}{2} - {F_{\!\! \rm Q1}}\left( {c - d} \right)$

(7)

${M_{\rm l0}} = \frac{1}{8}q{b^2} + {M_{\mathop{\rm h}\nolimits} } - \frac{{q{c^2}}}{2} - {F_{\rm {\!\!Q1}}}\left( {c - d} \right)$

(8)

将式（3）、（4）和（5）分别带入式（6）、（7）和（8）可得到校核水位瞬间开启工况下（b）型框架的支臂端弯矩、主梁支座处负弯矩和主梁跨中正弯矩：

${M_{\mathop{\rm h}\nolimits} } = \frac{{\left( {2{c^2} + 4Lc - {L^2}} \right)q + 12\left( {c - d} \right){F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 1}}}}{{4\left( {2{K_0} + 3} \right)}}$

(9)

$M = - \frac{{q{c^2}}}{2} - {F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 1}}\left( {c - d} \right)$

(10)

${M_{\rm l0}} = \frac{{{{\left( {L - 2c} \right)}^2}q - 2\left[ {\left( {4c - L} \right)Lq + 8\left( {c - d} \right){F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 1}}} \right]{K_0}}}{{8\left( {2{K_0} + 3} \right)}}$

(11)

因实际工程中对闸门结构和启闭机结构布置时往往考虑3种工况：正常蓄水位为闸门全闭、校核水位瞬间开启和全开工况，所以以下给出计算正常蓄水全闭工况和全开工况的（b）型弧门框架内力。

正常蓄水位闸门全闭工况（b）型框架内力：此时启门力为0，即F_Q=0，带入式（9）、（10）和（11）可得到支臂端弯矩，主梁支座处负弯矩和主梁跨中正弯矩：

${M_{\rm h}} = \frac{{\left( {2{c^2} + 4Lc - {L^2}} \right)q}}{{4\left( {2{K_0} + 3} \right)}}$

(12)

$M = - \frac{{q{c^2}}}{2}$

(13)

${M_{\rm l0}} = \frac{{\left[ {{{\left( {L - 2c} \right)}^2} + 2L\left( {L - 4c} \right){K_0}} \right]q}}{{8\left( {2{K_0} + 3} \right)}}$

(14)

弧门全部开启工况（b）型框架内力为：弧门框架不受水荷载作用，仅受启门力作用，弧门框架的支臂端弯矩，主梁支座处负弯矩和主梁跨中正弯矩：

${M_{\rm h}} = \frac{{3\left( {c - d} \right){F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 2}}}}{{2{K_0} + 3}}$

(15)

$M = - {F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 2}}\left( {c - d} \right)$

(16)

${M_{\rm {l0}}} = \frac{{ - 2{K_0}\left( {c - d} \right){F_{\rm {\!\!Q2}}}}}{{2{K_0} + 3}}$

(17)

式中， $F_{\rm {\!\!Q2}} $ 为闸门全开时启门力在横向主框架平面内的法向分量。

2.2 主框架内力的无量纲化

为保证所建立的优化模型具有通用性和计算简洁性，对主框架内力和启门力进行无量纲处理。不妨以门型框架在正常蓄水位闸门全闭工况的支臂端弯矩M_h0=–L²q/20（取单位刚度比K₀=1）为参考值对目标函数、优化变量、约束条件进行无量纲化。无量纲优化变量为λ = c/L、γ = d/L、K₀、R/H_R、 ${\overline F _{{\rm{\!\! Q1}}}} = {F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 1}}/qL$ 、 ${\overline F _{{\rm{\!\! Q2}}}}= {F_{{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} 2}}/qL$ 。

2.2.1 主梁跨中正弯矩绝对值的无量纲数学表达式

1）正常蓄水位闸门全闭工况：

$\frac{{{{\left| {{M_{{\mathop{\rm l}\nolimits} 0}}} \right|}_1}}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \frac{{\left| {5\left[ {{{\left( {1 - 2\lambda } \right)}^2} + 2\left( {1 - 4\lambda } \right){K_0}} \right]} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}$

(18)

2）校核水位瞬开工况：

$\frac{{{{\left| {{M_{\rm {l0}}}} \right|}_2}}}{{\left| {{M_{{\mathop{\rm h}\nolimits} 0}}} \right|}} \!=\! \frac{{\left| {5\left\{ {{{\left( {1\! -\! 2\lambda } \right)}^2} \!-\! 2\left[ {\left( {4\lambda\! -\! 1} \right) \!+\! 8\left( {\lambda \! -\! \gamma } \right)\overline {{F_{\rm {\!\!Q1}}}} } \right]{K_0}} \right\}} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}\!\!\!\!\!\!$

(19)

3）闸门全开时主梁跨中无正弯矩。

比较式（18）和（19）可知，闸门瞬间开启时启门力的作用会减小主梁跨中正弯矩，所以闸门主梁跨中正弯矩的最大值为正常蓄水位弧门全闭工况的值，也即式（18）。

2.2.2 主梁支座处负弯矩绝对值的无量纲数学表达式

1）正常蓄水位闸门全闭工况：

$\frac{{{{\left| M \right|}_1}}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - q{c^2}/2} \right|}}{{\left| { - q{L^2}/20} \right|}} = 10{\lambda ^2}$

(20)

2）校核水位瞬开工况：

$\frac{{{{\left| M \right|}_2}}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \left| {10\left[ {{\lambda ^2} + 2\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline {F}}_{\rm {\!\!Q1}} } \right]} \right|$

(21)

3）闸门全开工况：

$\frac{{{{\left| M \right|}_3}}}{{\left| {{M_{{\mathop{\rm h}\nolimits} 0}}} \right|}} = \left| {20\left( {\lambda - \gamma } \right){{\overline{F}}_{\! \! \text{Q}2}} } \right|$

(22)

显然：式（21）大于式（20），但式（21）和（22）的大小暂时无法确定，以下分两种情况分析：

1）当式（21）大于式（22）时，校核洪水位瞬开工况为主梁支座负弯矩绝对值的控制工况；

2）当式（21）小于式（22）时，闸门全开工况为主梁支座负弯矩绝对值的控制工况。

2.2.3 支臂端处负弯矩绝对值的无量纲数学表达式

1）正常蓄水位闸门全闭工况：

$\frac{{\left| {{{\left( {{M_{\mathop{\rm h}\nolimits} }} \right)}_1}} \right|}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \frac{{\left| {5\left( {2{\lambda ^2} + 4\lambda - 1} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}$

(23)

2）校核水位瞬开工况：

$\frac{{\left| {{{\left( {{M_{\rm h}}} \right)}_2}} \right|}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \frac{{\left| {5\left[ {\left( {2{\lambda ^2} + 4\lambda - 1} \right) + 12\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline {F}}_{\rm {\!\!Q1}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}$

(24)

3）闸门全开工况：

$\frac{{\left| {{{\left( {{M_{\mathop{\rm h}\nolimits} }} \right)}_3}} \right|}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \frac{{\left| {20\left( {\lambda - \gamma } \right){{\overline{F}}_{\text{Q}2}} } \right|}}{{\left| {\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}$

(25)

综合比较：在λ的取值范围内式（23）大于式（24），但式（23）和式（25）的大小暂时无法确定，以下分两种情况分析：

1）当式（23）大于式（25）时，正常蓄水位闸门全闭工况为支臂端处负弯矩绝对值的控制工况；

2）当式（23）小于式（25）时，闸门全开工况为支臂端处负弯矩绝对值的控制工况。

闸门半径的无量纲表达式：

$\overline R = \frac{R}{{{H_{\rm{R}}}}}$

(26)

式中，R为弧门半径，H_R为弧门高度。

2.2.4 启闭机布置的无量纲数学表达式

优化液压启闭机结构布置的分目标为启闭机的启门力最小，而合理的启闭机结构布置型式应满足弧门的初始启门力和最终启门力相等^[25–26]，采用无量纲化的启门力表达式：

${\overline F _{\rm{Q}}} = \frac{{{F_{\rm{Q}}}}}{{Lq}}$

(27)

式中，F_Q为液压启闭机的启门力。

3 弧门主框架和启闭机系统结构布置的多工况多目标整体优化模型

弧门主框架和启闭机系统结构的多工况多目标整体布置优化问题是工程力学问题和数学优化问题的有机结合。下面将分别对优化目标、优化变量和约束条件进行阐述并给出相应的数学表达式。

3.1 优化目标 3.1.1 保证弧门主梁在相同材料用量下强度最高

1）使各种工况下主梁跨中正弯矩的最大值与各种工况下主梁支座处负弯矩绝对值的最大值相等。

2）使两者相等时的最大值在不同工况下取得最小。

将其转换成数学表达式，即由式（18）、（21）和（22）可得：

$\begin{aligned}& \min\left\{\displaystyle\frac{{\left| {5\left[ {{{\left( {1 - 2\lambda } \right)}^2} + 2\left( {1 - 4\lambda } \right){K_0}} \right]} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}= \right.\\& \qquad \max \left\{ {\left| {10\left[ {{\lambda ^2} \!+\! 2\left( {\lambda \!-\! \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q1}}} } \right]} \right|,} \,{20\left( {\lambda \! -\! \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q2}}} } \right\} \Biggr{\}}\end{aligned} $

(28)

3.1.2 保证支臂在相同材料用量下稳定性最高

1）使弧门支臂端处弯矩绝对值在不同工况下最小。

2）保证闸门半径在规范合理取值范围内尽可能最小。

将其转换成数学表达式，即由式（23）、（25）和（26）可得：

$\min \left\{ {\max \left\{\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle\frac{{\left| {5\left( {2{\lambda ^2} + 4\lambda - 1} \right)} \right|}}{{\left( {2{K_0} + 3} \right)}},} & {\displaystyle\frac{{\left| {20\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q2}}} } \right|}}{{\left( {2{K_0} + 3} \right)}}}\!\!\!\end{array}} \right\}} \!\!\right\}\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(29)

$\min \left\{ {\, \overline{R} \,} \right\}$

(30)

3.1.3 保证液压启闭机的容量最小

转换成数学表达式由式（27）得：

$\min \left\{ {\overline F _{\rm{Q}}} \right\}$

(31)

3.2 优化变量

优化变量为：主框架的悬臂长度 $\lambda $ ，主框架单位刚度比K₀，启闭机吊点位置距闸墩侧墙无量纲距离γ，弧形闸门面板曲率半径与门高的比值 $\overline R $ ，液压启闭机的启门力 $ F_{\rm {\!\!Q}}$ ，启闭机的布置位置角α。

3.3 约束条件

1）为使优化模型求解方便，把各种工况下主梁跨中正弯矩最大值与各种工况下主梁支座处负弯矩绝对值的最大值相等作为约束条件；其表示为： $\displaystyle\frac{{{{\left| {{M_{{\mathop{\rm l}\nolimits} 0}}} \right|}_1}}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}} = \max \left\{ {\displaystyle\frac{{{{\left| M \right|}_2}}}{{\left| {{M_{{\mathop{\rm h}\nolimits} 0}}} \right|}},\displaystyle\frac{{{{\left| M \right|}_3}}}{{\left| {{M_{\rm {h0}}}} \right|}}} \right\}$ ，由式（18）、（21）和（22）可得：

$\begin{aligned}[b] & \displaystyle\frac{{\left| {5\left[ {{{\left( {1 - 2\lambda } \right)}^2} + 2\left( {1 - 4\lambda } \right){K_0}} \right]} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}} = \\& \quad\max \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!{\left | {10\left[ {{\lambda ^2} \!+\! 2\left( {\lambda \! -\! \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q1}}} } \right]} \right|,} \; {20\left( {\lambda\! -\! \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q1}}} }\end{array}} \!\!\! \right\}\quad\quad \end{aligned}$

(32)

2）规范中各优化变量的取值范围及布置构造要求。

从保证弧门闸墩不受拉力的角度出发^[5,7]可确定带悬臂直支臂弧门框架的最大悬臂长度为0.225L时，所以得到弧门主框架悬臂长度的范围为0～0.225L，即λ∈[0, 0.225]。

结合中国现行规范中直支臂和斜支臂弧门框架单位刚度比的取值得到K₀∈[3, 11]。

在闸门运行中为保证液压启闭机在弧门启闭全过程中的正常运行，要保证启闭机在主横梁悬臂段处的吊点位置距闸墩侧墙至少为d₁（d₁为液压缸内径），为使支臂与主横梁连接处有一定的安全距离，实际工程中吊点位置距离支臂与主梁连接处的距离至少应为d₁，d₁可根据《液压启闭机系列参数（SL508—2010）》^[27]中启闭机额定容量与液压缸内径的关系确定。不妨设吊点距闸墩为d，则可得出d的范围为1.5d₁～c–1.5d₁，即γ∈[1.5d₁, （c–1.5d₁）/L]。

综合中国现行规范中露顶式和潜孔式弧形闸门的面板曲率半径与门高的比值得到 $\overline R \in \left[ {1.0,\;2.2} \right]$ 。进而得到约束条件的无量纲数学可表示为：

$\left\{ \begin{aligned}& \!\lambda \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0 ,\; {0.225}\end{array}} \right],\\&\!{K_0} \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3 ,\; {11}\end{array}} \right],\\& \!\gamma \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1.5{d_1}/L}, \; {\left( {c - 1.5{d_1}} \right)/L}\end{array}} \right],\\& \overline R \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1.0}, \; {2.2}\end{array}} \right]\end{aligned} \right.$

(33)

3）保证液压启闭机在弧门启闭全过程中的正常运行条件及其经济性。

弧门液压启闭机的启门力应满足 ${\overline F _{\rm{Q}}}$ 在（ $ F_{\rm {\!\!Q}}$ ）_min/Lq和（ $ F_{\rm {\!\!Q}}$ ）_max/Lq之间，其中，（ $F_{\rm {\!\!Q}} $ ）_min和（ $F_{\rm {\!\!Q}} $ ）_max分别最小启门力和最大启门力。

如图5所示，考虑到合理液压启闭机的布置应满足初始启门力和最终启门力相等，即 $F_{\rm {\!\!QR1}} $ = $ F_{\rm {\!\!QRn}}$ 。

其中，F_QR1和F_QRn分别为液压启闭机初始启门力和最终启门力。初始启门力F_QR1和全开启门力F_QRn相等时启闭机容量最小，满足M₁/R₁=M_n/R_n，进而可得到式（34）^[27]。

$\begin{aligned}[b]& \sin \left\{ {a\cos ({l_{AB}}/2R) - a\cos \left[ {\left( {3l_{\rm w}^2 + 2{l_{\rm w}}{l_{\rm q}} + l_{AB}^2} \right)/} \right.} \right.\\& \qquad \left. {\left. {\left( {4{l_{AB}}{l_{\rm w}} + 2{l_{AB}}{l_{\rm q}}} \right)} \right]} \right\} - \\& \qquad {M_1}/{M_{\rm{n}}} \times \sin \left\{ {a\cos \left[ {\left( {l_{AB}^2 - 2{l_{\rm w}}{l_{\rm q}} - 3l_{\rm w}^2} \right)/} \right.} \right.\\& \qquad \left. {\left. {\left( {2{l_{AB}}{l_{\rm w}} + 2{l_{AB}}{l_{\rm{q}}}} \right) - a\cos ({l_{AB}}/2R)} \right]} \right\} = 0\end{aligned}$

(34)

也可得出α和β的关系为：

$\frac{{{M_1}}}{{\sin \; \alpha }} = \frac{{{M_{\rm{n}}}}}{{\sin \; \beta }}$

(35)

式中，M₁为初始总力矩，M_n为全开时总力矩，R₁为初始启门力臂，R_n为全开时启门力臂，l_AB为A、B两点之间的距离，l_w为液压启闭机的行程，l_q为液压启闭机油缸长度。由液压启闭机的正常运行条件及经济性得约束条件的数学表达式：

$\left\{ \begin{aligned}& {\overline F _{\rm{Q}}} \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle\frac{{{{\left( {{F_{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} }} \right)}_{\min }}}}{{Lq}}} , \; {\displaystyle\frac{{{{\left( {{F_{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} }} \right)}_{\max }}}}{{Lq}}}\end{array}} \right],\\&{F_{{\mathop{\rm {\!\!QR}}\nolimits} 1}} = {F_{\rm {\!\!QRn}}},\\&\alpha \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{25^\circ } ,\; {50^\circ }\end{array}} \right]\end{aligned} \right.$

(36)

3.4 优化模型

由上述布置优化目标和约束条件可得到求解λ、K₀、γ、 $\overline R $ 、F_Q和α的多工况多目标整体布置优化弧门和启闭机系统结构的优化模型，其中优化目标如式（37）所示：

$\ \ \left\{ \begin{aligned}& \min \left\{ {\displaystyle\frac{{\left| {5\left[ {{{\left( {1 - 2\lambda } \right)}^2} + 2\left( {1 - 4\lambda } \right){K_0}} \right]} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}} = } \right.\\& \qquad \left. {\max \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {10\left[ {{\lambda ^2} \! + \! 2\left( {\lambda \! - \! \gamma } \right){\overline{F}}_{\! \rm{Q1}} } \right]} \right|,}\;{20\left( {\lambda \! - \! \gamma } \right) {\overline{F}}_{\! \rm{Q2}} }\end{array}} \right\}} \right\},\\& \min \left\{ {\max \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle\frac{{\left| {5\left( {2{\lambda ^2} + 4\lambda - 1} \right)} \right|}}{{\left( {2{K_0} + 3} \right)}},} \ {\displaystyle\frac{{\left| {20\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline{F}}_{\! \rm{Q2}} } \right|}}{{\left( {2{K_0} + 3} \right)}}}\end{array}} \right\}} \right\},\\& \min \left\{ {\, \overline R \,} \right\},\\&\min \left\{ {{\overline F _{\rm{Q}}}} \right\}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ \ (37)\end{aligned}\right. $

(37)

约束条件为：

$\left\{ \begin{aligned}& \displaystyle\frac{{\left| {5\left[ {{{\left( {1 - 2\lambda } \right)}^2} + 2\left( {1 - 4\lambda } \right){K_0}} \right]} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}=\\ & \quad \quad \max \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {10\left[ {{\lambda ^2} + 2\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q1}}} } \right]} \right|}, \ {20\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline F_{\rm{Q2}}} }\end{array}} \right\},\\& \lambda \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0, \; {0.225}\end{array}} \right],\\& {K_0} \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3, \; {11}\end{array}} \right],\\ & \gamma \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle\frac{{1.5{d_1}}}{L}}, \; {\displaystyle\frac{{c - 1.5{d_1}}}{L}}\end{array}} \right],\\& \overline{R} \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1.0}, \; {2.2}\end{array}} \right],\\& {\overline F _{\rm{Q}}} \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle\frac{{{{\left( {{F_{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} }} \right)}_{\min }}}}{{Lq}}} , \; {\displaystyle\frac{{{{\left( {{F_{\mathop{\rm {\!\!Q}}\nolimits} }} \right)}_{\max }}}}{{Lq}}}\end{array}} \right],\\& {F_{\rm {\!\!QR1}}} = {F_{{\rm {\!\!QR}}n}},\\& \alpha \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{25^\circ }, \; {50^\circ }\end{array}} \right]\text{。}\end{aligned} \right.$

式（37）即为多工况多目标整体布置优化弧门和启闭机系统结构的优化模型，结合工程力学问题并利用多目标优化法中的理想点法采用数学处理软件MATHEMATIC9.0进行编程即可求解。

4 工程实例

为使该多工况多目标整体布置优化弧门结构和启闭机结构的优化模型得到更好的应用，给出具体工程实例。某水电站为表孔双主横梁斜支臂弧形工作闸门，如图6所示。孔口宽14 m，高18 m，主梁的悬臂长度为2.5 m，校核洪水位为228.6 m，正常蓄水位为228 m，底槛高程为210 m，弧门半径为21 m。该工程设计中正常蓄水位弧门全闭工况和弧门全开工况下的各种阻力矩分别为：初始开度时，转动铰摩阻力矩为900 kN·m，止水摩阻力矩为4 840 kN·m，门叶自重阻力矩为24 560 kN·m；弧门全开工况时，转动铰摩阻力矩为300 kN·m，门叶自重阻力矩为15 840 kN·m。

采用整体布置优化模型式（37）进行优化布置。求解步骤为：

1）由 $\overline R \in \left[ {1.0,\; 2.2} \right]$ 可知该弧门的半径范围在18 ～39.6 m。

2）再结合F_QR1=F_QRn和式（1），可确定出弧门启门力的最小值为2 076.8 kN，最大值为3 842.28 kN。

3）由初步确定的启门力最大值，根据《液压启闭机系列参数》规范可查得d₁为0.4 m，进一步得到γ∈[0.042 9, 0.136]。

4）由q=176.4 kN/m，得到 ${\overline F _{\rm{Q}}}$ 的范围为[0.841，1.556]，进一步得到 ${\overline F _{\rm{Q1}}}$ 的范围为[0.541，1.41]。

5）由λ∈[0, 0.225]、K₀∈[3, 11]、γ∈[1.5d₁, （c–1.5d₁）/L]和 ${\overline F _{\rm{Q1}}}$ ，采用MATHEMATIC9.0即可确定出当且仅当λ为0.160，K₀为8.689，γ为0.129 9， $\overline F_{\rm {\!\!Q1}} $ 为0.945时， $\begin{array}{l}\left| \,\,{5\left[ \,\,{{{\left( {1 - 2\lambda } \right)}^2} \,+\,\, 2\left( {1 - 4\lambda } \right)\,{K_0}}\, \right]}\, \right|/\left| {2\left( {2{K_0} \,+\,\, 3} \,\right)}\, \right| = \end{array}$ $\left| {10\left[ {{\lambda ^2} + 2\left( {\lambda - \gamma } \right){\overline F _{\rm{Q1}}}} \right]} \right| $ 成立，进一步得到 $F_{\rm {\!\!Q1}} $ 为2 333.77 kN。

6）结合优化目标min{ ${\overline F _{\rm{Q1}}}$ 和min{ $\overline R$ }，采用MATHEMATIC9.0求解可得出当α为34.6°时，可使优化目标min{ ${\overline F _{\rm{Q1}}}$ }和min{ $\overline R$ }同时满足。

7）再由 $F_{\rm {\!\!Q}} $ = $ F_{\rm {\!\!Q1}}$ /cos α，可得F_Q=2 834.62 kN，可以选定液压启闭机的容量为2×1 600 kN，对应的液压缸内径为0.36 m；选定液压启闭机尺寸后带入式（34）进行验证，可知初始启门力 $ F_{\rm {\!\!QR1}}$ 和全开启门力 $ F_{{\rm {\!QRn}}}$ 相等的条件满足。

8）结合第7）步和式（1）得弧门半径为23.5 m，此时R/H_R为1.3，满足约束条件。

9）得到优化目标分别为 $\displaystyle\frac{{\left| {5\left[ {{{\left( {1\! -\! 2\lambda } \right)}^2} \!+\! 2\left( {1\! -\! 4\lambda } \right){K_0}} \right]} \right|}}{{\left| {2\left( {2{K_0} + 3} \right)} \right|}}\! = $ $\left| {10\left[ {{\lambda ^2} \!+\! 2\left( {\lambda \!-\! \gamma } \right){\overline {F}}_{\rm {\!\!Q1}} } \right]} \right|$ 为0.825， $\left| {5\left( {2{\lambda ^2}\! +\! 4\lambda \! -\! 1} \right)} \right|/$ $\left| {\left( {2{K_0} \!+\! 3} \right)} \right|$ 为0.076， ${\overline F _{\rm{Q}}}$ 为1.15， $\overline R$ 为1.3。

经计算表明正常蓄水位闸门全闭工况为主梁跨中正弯矩控制工况，校核水位瞬开工况为主梁支座负弯矩控制工况，正常蓄水位闸门全闭工况为支臂端处弯矩控制工况，其最优布置结果：1）闸门主框架的布置：弧门曲率半径与门高的比为 $\overline R$ 为1.3；悬臂长度λ为0.160；主横梁与支臂的单位刚度比K₀为8.689；启闭机吊点位置γ为0.129 9。2）液压启闭机的布置：启闭机的合理容量为2×1 600 kN，启闭机布置位置α为34.6°。

结合文献[26,28]中实际工程布置的结果，给出整体优化布置和实际工程布置结果对比如表1所示。

由表1可知：1）主梁跨中和主梁支座处控制弯矩均大幅度减小，并保证了主梁跨中控制弯矩与支座处控制弯矩相等，使主梁在相同材料用量下抗弯强度最高；2）支臂端处控制弯矩和支铰处反力均显著减小，使支臂在相同材料用量下稳定性提高；3）可使启闭机的额定容量降低一个等级；4）使用该整体优化布置方法可对闸门和启闭机整体结构进行合理明确的布置，可保证整体结构布置的安全性与经济性的统一。

5 结 论

通过多工况多目标整体优化的方法对闸门与启闭机系统结构进行整体结构布置优化，得出以下结论：

1）采用多工况多目标整体优化的方法对闸门主框架和启闭机系统结构进行整体优化布置，克服了以往研究成果中仅考虑某一工况或孤立研究闸门主框架布置和启闭机布置的不足；

2）多工况多目标整体优化可得到弧门及启闭机系统结构的全局最优结构布置，该方法简洁实用，并可显著减小主梁和支臂的控制弯矩以及启闭机的容量，实现了该系统结构布置安全性与经济性的统一；

3）多工况多目标整体优化给出了合理确切的整体结构布置结果，克服了以往多凭经验进行闸门结构和启闭机布置的不足；

4）为闸门和启闭机结构的尺寸优化奠定了全局优化的理论基础。